Управление орбитальным движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Шмыров, Василий Александрович

• Шмыров, Василий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шмыров, Василий Александрович

Введение

Глава! Стабилизация управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной (прямолинейной) точки либрации L1 системы Земля-Солнце

§1.1 Вывод уравнений движения

§ 1.2 * Исследование линейного приближения

§1.3 Стабилизация орбитального движения в общем случае

§1.4 Плоский случай

§1.5 Стабилизация орбитального движения КА с помощью сил светового давления

§1.6 Область стабилизации

Глава 2 Построение управления орбитальным движением КА по линейному приближению

§2.1 Приведение уравнений линейного приближения к системе с разделяющимися переменными с помощью канонического преобразования

§2.2 Классификация движений в линейном приближении

§2.3 Управление по линейному приближению

§2.4 Теорема стабилизации

Глава 3 Управление орбитальным движением КА в виде оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности»

§3.1 Оптимальное демпфирование в линейном приближении

§3.2 Нормализация Биркгофа

§3.3 Построение квадратичного приближения для «функции опасности»

§3.4 Сравнение законов управления и результатов численного моделирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление орбитальным движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации»

Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата (КЛ), является модель ограниченной круговой задачи трех тел [46], [56]. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам. При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (еЕ = 0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации.

Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Lx, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect) [47]. Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует - SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью.

Точка либрации L, неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в Lx или для перехода на другие орбиты [58]. Данное свойство можно также применить для борьбы с астероидной опасностью - большая (по массе и размерам) космическая станция может гораздо эффективнее повлиять на движение астероида опасно сближающегося с Землей [49], чем отдельный космический корабль. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания К А (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами [31]-[33], [36], [42], [47], [50], [52], [53], [58], [62]-[67], [69], [71]-[73], [75], [76], [78]-[86], [89], [90], [95], [97], [98]. При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управлением помощью импульсного воздействия [58], управление с помощью непрерывной тяги [42], использование сил светового давления и другие.

Особо следует отметить идею использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. Эта заманчивая идея - использовать «бесплатную» силу давления солнечных лучей давно привлекает внимание ученых. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования КА или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [48], [49]), а также по управлению вращательным движением. В 90-х годах появился ряд фундаментальных работ по управлению поступательно-вращательным движением КА с помощью солнечного паруса [26], [87]. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, отрабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади — сложная техническая проблема [48]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять.

Орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации происходит под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [50] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением К А в окрестности коллинеарной точки либрации L{ с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М. Л. Лидов [32], [36], при этом предполагалось, что КА может двигаться либо в окрестности солнечной, либо лунной коллинеарной точки либрации.

В работе С. С. Лукьянова [36] подробно рассмотрена задача управления орбитальным движением КА для плоского случая задачи трех тел. Рассмотрение проводится для линейного приближения. Понятно, что качественные результаты этой работы легко переносятся и на плоский нелинейный случай, поскольку в плоском линейном случае имеется асимптотическая устойчивость. Однако для пространственного случая в линейном приближении уравнения, описывающие движение пространственных переменных, отделяются и не зависят от управления. Таким образом, для системы пространственных переменных асимптотической устойчивости нет при любом выборе управляющей функции. Это означает, что задача стабилизации в пространственном случае не переносится автоматически с линейного случая на нелинейный, и требует самостоятельного исследования. Это исследование проведено во второй части главы 1. Удалось построить такую управляющую функцию, что уравнения управляемого движения оказались га-мильтоновыми, а соответствующий гамильтониан оказалось возможным рассматривать в качестве функции Ляпунова. Это и обеспечило устойчивость (но не асимптотическую устойчивость) управляемого движения в окрестности коллинеарной точки либрации.

В работе [42] предложена оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения КА в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. Исследование, как и в работе [36], проведено для плоского линейного случая.

Исследование линейного приближения, проведенное в работах [36] и [42] хорошо описывают качественный характер управления орбитальным движением КА в окрестности точек либрации. Однако для численного моделирования такого движения нужно рассматривать пространственный случай. Первые численные результаты по моделированию неуправляемого движения (см. рис. 4 (гл. 1), рис. 14 (гл. 3)) показали, что при смещении положения КА по нормали к плоскости эклиптики наблюдается быстрый уход из окрестности точки либрации. Таким образом, для обеспечения адекватности математической модели требуется изучение нелинейного пространственного случая. Здесь возникают следующие задачи.

Во-первых, можно ли вообще стабилизировать орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации в общем пространственном случае. Эта задача решена в главе 1, где указан конкретный стабилизирующий закон управления и доказана устойчивость по Ляпунову стационарного решения для соответствующей управляемой системы.

Вторая, естественным образом возникающая задача: можно ли перенести результаты исследования линейного приближения на нелинейный пространственный случай. Эта задача решается положительным образом в главе 2. Теорема доказанная в конце главы 2 утверждает, что управление построенное по линейному приближению стабилизирует орбитальное движение КА в пространственном нелинейном случае и обеспечивает асимптотическую устойчивость по части переменных (точнее по переменным плоского движения).

Наконец, третья задача, исследованная в главе 3, заключается в отыскании эффективного (оптимального в определенном смысле) закона управления. Эта задача решается на основе сведения нелинейной гамильтоновой системы к линейной с помощью нормализации Биркгофа и построения неустойчивого инвариантного многообразия в фазовом пространстве переменных. Эта нормализация позволила ввести в рассмотрение так называемую «функцию опасности», которая обращается в нуль на неустойчивом инвариантном многообразии. Оптимальное демпфирование по отношению к модулю этой функции (который имеет смысл «расстояния» до неустойчивого инвариантного многообразия) и дает эффективный стабилизирующий закон управления. В третьей главе дается приближенное построение «функции опасности», а также приводятся результаты численного моделирования. Оказалось, что использование «функции опасности» в первом приближении дает весьма удовлетворительные результаты. Квадратичное приближение «функции опасности» позволило учесть влияние пространственных переменных.

Таким образом, рассмотрение нелинейного пространственного случая управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации показало, что результаты исследования линейного приближения могут быть использованы и в общем случае, с той только разницей, что управление с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце, уже не может обеспечить асимптотическую устойчивость и мы должны довольствоваться только устойчивостью по Ляпунову.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Шмыров, Василий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование управляемого орбитального движения? КА в окрестности коллинеарной точки либрации Lv под действием управляющей силы направленной по линии Земля-Солнце; проведенное в предыдущих главах, показало, что и в общем пространственном;нелинейном случае управление такого типа способно стабилизировать движение КА и обеспечить его пребывание в окрестности точки либрации длительное время. Возникающая при исследовании, основная^ трудность — вырожденность системы уравнений управляемого движения; проявляющаяся; в неуправляемости пространственных переменных в линеаризованном случае, удалось преодолеть с помощью специальной гамильтоновой техники. Так в главе 1 закон синтеза управления; выбран; так, чтобы управляемая? система осталась гамильтоновой; - что позволило воспользоваться методом функций Ляпунова и сделать заключение об устойчивости движения. Во второй главе показано, что результаты по управлению орбитальньш движением КА в плоском; линейном1 случае, полученные ранее, могут быть перенесены и на пространственный нелинейный случай. Доказательство этого факта и было; проведено с помощью свойств гамильтониана неуправляемого движения;

В; третьей главе выбор закона управления реализуется < на основе простого и естественного принципа - устранения неустойчивости движения через переход на инвариантное неустойчивое многообразие; Реализация этого принципа связана; с построением специальной функции, описывающей близость к инвариантному неустойчивому многообразию. Построение квадратичного приближения этой; функции выполнено на;основе методики Бирк-гофа для исследования гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия.

Применение гамильтоновой техники не только позволяет успешно решать задачи построения законов управления орбитальным движением и исследовать их свойства, но и предлагает единообразный подход, способный дать аналитическую основу для решения более сложных задач возникающих на практике. Ведь очевидно, что при планировании автономных станций^длительного пребывания в окрестности коллинеарной точки либрации потребуется учитывать и эксцентриситет земной; орбиты, и влияние Луны и многие другие возмущающие факторы. Учет этих факторов удобнее всего делать на основе некоторого единого подхода. При разработке такого подхода и следует в первую очередь обратить внимание на гамильтоновость уравнений движения.

В; работе получены следующие результаты:; доказана: принципиальная? возможность стабилизации движения КА в нелинейном пространственном случае с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. предложен закон управления орбитальным движением как функция расстояния от КА до Земли, стабилизирующий орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ц. построена область управляемости и; оценена величина t необходимого Заправляющего воздействия; показана возможность использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. построено » каноническое преобразование; позволяющее исследовать уравнения в линейном приближении и проклассифицировать основные типы движения. доказано, что законы управления; обеспечивающие асимптотическую устойчивость в плоском линейном случае обеспечивают устойчивость по Ляпунову в нелинейном пространственном случае. с помощью нормализации Биркгофа получено приближенное аналитическое выражение «для функции опасности», с помощью которой дано описание неустойчивого инвариантного многообразия в окрестности коллинеарной точки либрации Lx. построены законы управления типа оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности» и исследованы их свойства, проведено численное моделирование управляемого движения с различными законами управления - и даны графические иллюстрации результатов сравнение свойств движения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шмыров, Василий Александрович, 2005 год

1. Антонов В. А, Шмыров А. С. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими s кеплеровыми орбитами // Сб. Механика управляемого! движения и проблемы космической динамики; Л., 1972. С. 165-168.

2. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М., 1965. 330 с.

3. Барбагиин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967. 224 с.

4. Барбагиин Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970. 240 с.

5. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М., 1977. 430 с.

6. БиркгофД.Д. Динамические системы. М., Л., 1941. 320 с.

7. И.Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. М., 1990. 295 с.13 .Васильев JI. А: Определение давления света на космические летательные аппараты. М., 1985. 208 с.

8. А.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М:, 1988. 548 с.

9. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. М., 1971. 442 с.

10. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М., 1975. 702 с.17Джакалъя Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. Мм 1979.319 с.

11. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., 1975.799 с.

12. Жабко А. П., Кирпичников С. Н. Лекции по динамическим системам. Ч. 1: Основные понятия и вспомогательные сведения из функционального анализа. СПб., 2003. 124 с.

13. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. СПб., 2004. 380 с.

14. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975. 495 с.

15. Карпасюк И. В., Шмыров А. С. Канонические приближения уравнений движения в гравитационном поле // Вестник СПбГУ. Сер.1, 1998, вып.2 (№8), С. 86-93.

16. Кирпичников С. Н. Энергетически оптимальные полеты с учетом влияния светового давления // Вестн. Лгу, 1965; №7. С. 144-156.

17. Кирпичников С. Н:, Кирпичникова Е. С., Шмыров А. С. О плоском гелиоцентрическом поступательно-вращательном движении КА с солнечным парусом сложной формы // Вестн. С.-Петербург, ун-та; Сер. 1. 1993. Вып. 1 (№1). С. 102-111.

18. Козлов В. В. О неустойчивости равновесия в потенциальном поле // Успехи мат. наук, 1981.36. вып. 3; С. 215-216.2%.Левантовский В. ИI Механика космического полета в элементарном изложении. М., 1980. 511 с.

19. Лидов Ml Л:, Лукьянов С. С, Тесленко Н. М. Автоматическая станция в окрестности лунной либрационной точки L2II Препринт ИПМ АН СССР, №116,1974.

20. Лидов М. Л, Ляхова В. А., Тесленко Н. М. Исследование траекторий; полета на гало-орбиту в окрестности точки либрации Lz системы Земля-Солнце с использованием гравитации Луны // Письма в АЖ. 1991; Т. 17. №12. С. 1124.

21. Лукьянов А. Л/ Пленочные отражатели в космосе. М., 1977. 70 с.

22. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М., JL, 1951. 216 с.

23. Ляпунов; Ai Ml Общая? задача- об устойчивости движения. М., JI., 1950; 472 с:

24. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной; механике и космодина-мике. М., 1978.312 с.

25. Можейко И. Al, Морозов В. М. Стабилизация космического аппарата в окрестности^ коллинеарной точки либрации круговой? задачи трех тел // Вестн. МГУ, 1994; Сер. 1. №5. С. 45-48.

26. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М., 1973. 166 с.

27. Новоселов В. С. Аналитическая?динамика управляемого движения; СПб., 1998: 146 с.\

28. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972. 317 с.46.0хоцимскийД. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990. 448 с.

29. Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой f точке либрации // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1993. Вып. 1 (№1). С. 111-121.

30. Полякова Е. Я. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. М., 1986. 304 с.

31. Полякова Е. Я. Обзор современных исследований по проблеме предотвращения астероидной опасности с помощью эффектов светового давления солнечной радиации // Астероидная опасность-96. 1996. С. 101-102.

32. Полякова Е. Я Перспективы функционирования солнечного экрана вблизи внутренней точки либрации системы Солнце-Земля // Управляемое движение в гравитационном поле: Сборник научных работ. СПб., 2000. С. 110-117.

33. Полякова Е. Я, Шмыров А. С. Математическое обоснование теории орбитальной коррекции, выполняемой с помощью солнечного паруса// Космич. исследования, 1989. Т. 27. Вып. 1. С. 54-63.

34. Полякова Е. Н., Шмыров А. С., Шмыров В. А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной фотогравитационной точки либрации // От спутников до галактик. Тезисы докладов, 2005. С. 16.

35. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970. 332 с.

36. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983. 392 с.

37. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М., 1965. 572 с.

38. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды: В 3 т. Т. 1.М., 1971. 771 с.

39. Субаев PL А. Оптимальные двухимпульсные перелеты вточку либрации Li системы Солнце-Земля с использованием асимптотических траекторий // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3, Физика. Астрономия. 1991, т. 32, №5, С. 102-104.

40. Субботин М< Ф; Введение в теоретическую астрономию. М., 1968. 800 с.60^олшевников К. В1 Асимптотические методы небесной механики. Л;, 1985. 208 с.61 .Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах. СПб., 1995. 127 с.

41. Шмыров 'В. А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации«системы Земля-Солнце // Устойчивость и процессы управления. Международная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Россия,

42. Санкт-Петербург 29.06.2005-01.07.2005. Сб. трудов, СПб., 2005. С. 1694-1697.

43. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата: в; окрестности коллинеарной точки либрации Lt // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. 2005; Вып. 2 . С.133 -733.

44. Cielaszyk D., IVie B. New Approach to Halo Orbit Determination and Control? // Journal of Guidance,. Control, and;Dynamics. Vol; 19, №2,, March-April 1996, P. 266-273.

45. FarquharR. W., MuhonenD. P., Church L. C. Trajectories and orbital maneuvers for the ISEE-3/ICE comet mission?// Л1АА Paper, no. 841976, August 1984.

46. Farquhar Rl IV., Muhonen D. P., Newman C. Ri, Heuberger H: S. Trajectories and orbital maneuvers for the fist libration point satellite // Journal of Guidance and Control, Vol. 3, November-December 1980, P. 549554.

47. Gomez G. The dynamics around the: collinear equilibrium points of the RTBP // Phys. D. 157(2001), no. 4, P. 283-321.

48. Gomez G:, Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design near libration points. Vol. 2. World Scientific Publishing, 2001. 146 p.

49. Gomez G., Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design near libration points. Vol. 3. World Scientific Publishing, 2001. 262 p.

50. Howell1 К. C. Families of orbits in the vicinity of the: collinear libration points // J. Astronaut. Sci. 49(2001). no. 1, P. 107-125.

51. Howell К. C., Gordon S. C. Orbit determination error analysis and a station-keeping strategy for Sun-Earth L, libration point orbits // J: Astronaut. Sci. 49(1994): no. 2, P. 207-228.

52. Howell К. C, Borden В. Т., Lo M. W. Application of dynamical systems theory to trajectory design for a libration point mission // J. Astronaut. Sci. 45(1997). no. 2, P. 161-178.

53. Popescu M, Cardos V. The domain of initial conditions for the class of three-dimensional halo periodical1 orbits II Acta Astronautica, Vol. 36, No. 4, 1995. P. 193-196.

54. Rodriguez-Canabal J. SOHO mission analysis. ESOC Mission Analysis Office, June 1984.

55. Sharma R. K., Taqvi Z. A:, Bhatnagar К. B. Existence and stability of Iibration points in the restricted three-body problem when; the primariesare triaxial rigid bodies // Celest. Mech. Dynam. Astronom. 79(2001), no. 2, P. 119-133.

56. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators // Phys. tet: A. 1990; Vol: 150, N 5-7., P; 262-268;

57. Zubov V. I. Mathematical theory of the motion stability. St. Petersburg, 1997. 339 p.