Управление механическими системами в условиях неопределенности при помощи кусочно-линейных обратных связей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Ананьевский, Игорь Михайлович

• Ананьевский, Игорь Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ананьевский, Игорь Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Управление механической системой в условиях неопределенности посредством ограниченной силы.

ГЛАВА 2 Управление линейной механической системой с упругими элементами в условиях неопределенности.

ГЛАВА 3 Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами.

ГЛАВА 4 Стабилизация механической системы с неизвестными параметрами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление механическими системами в условиях неопределенности при помощи кусочно-линейных обратных связей»

Диссертация посвящена построению алгоритмов управления для механических систем, содержащих неизвестные или неточно заданные параметры и подверженных неконтролируемым возмущениям.

Понятие " механическая система" широко используется при изучении законов функционирования различных систем во многих областях техники и промышленности. Применение этого термина подразумевает, что динамика исследуемой системы описывается дифференциальными уравнениями, имеющими лагранжеву или гамильтонову форму. Уравнения движения системы в форме Лагранжа имеют вид дТ дТ п . , ^г- = ^ + г = 1,., п, (0.0.1 (И % % где — обобщенные силы, которые мы будем считать неизвестными, щ — управляющие обобщенные силы (управления). Наряду с этими на систему могут действовать и другие, известные силы. Так как они известны, то их можно компенсировать при помощи управляющих сил. В диссертации предполагается, что такая компенсация уже проведена, а управления щ — оставшиеся после нее управляющие силы.

В качестве функции Лагранжа выступает кинетическая энергия системы Т(д, ¿¡) — положительно определенная квадратичная форма по обобщенным скоростям с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат:

1 я - £ М^ед. (0.0.2)

I 1,3=1

Очень часто параметры системы (массы, геометрические характеристики и т. д.) неизвестны или определены лишь с некоторой погрешностью. Важнейшую роль в этом случае приобретают алгоритмы управления, которые обеспечивают желаемые режимы работы системы.

Как объект управления механическая система представляет собой существенно нелинейную систему высокого порядка, для которой характерно наличие взаимодействия между степенями свободы. Интенсивность взаимодействия между степенями свободы характеризуется элементами а^ матрицы кинетической энергии системы. Если массо-инерционные параметры системы неизвестны или известны неточно, то функции а^ также неизвестны. Однако во многих случаях границы, в которых они заключены, можно считать заданными. В диссертации предполагается, что матрица кинетической энергии системы Л (д) неизвестна, однако ее собственные числа лежат в заданных пределах при всех возможных движениях системы.

Обобщенные координаты $ и скорости ф считаются доступными измерениям, т. е. фазовое состояние системы в каждый момент времени известно.

Наряду с неизвестной матрицей кинетической энергии А^) еще одним неопределенным фактором выступают неконтролируемые возмущения 5,-. При наличии одного или обоих этих факторов говорят об управлении системой в условиях неопределенности.

Характерным примером рассматриваемой ситуации является управляемое движение системы нескольких связанных тел, массо-инерционные характеристики которых неизвестны.

При этом система может испытывать действие неконтролируемых возмущений. Частным случаем может служить задача о перемещении многозвенным манипулятором груза неизвестной массы, расположенного в схвате.

Цель управления может заключаться в приведении системы в заданное состояние или множество за конечное или бесконечное время. В последнем случае говорят о стабилизации системы. Могут быть и другие цели управления, которые в диссертации не рассматриваются: отслеживание программной траектории, стабилизация около программной траектории, задачи оптимизации и т. д. Высокий порядок системы, ее нелинейность, наличие взаимовлияния между степенями свободы, неизвестность матрицы кинетической энергии, присутствие неконтролируемых возмущений являются основными осложняющими факторами при построении управления для системы (0.0.1).

Построению законов управления для механических систем посвящены многочисленные публикации в отечественной и зарубежной литературе. Алгоритмы, разработанные в диссертации, отличают следующие особенности: алгоритмы применимы для широкого класса нелинейных динамических систем; алгоритмы обеспечивают приведение системы из произвольного начального состояния в заданное терминальное множество за конечное время; управляющие силы удовлетворяют наложенным на них геометрическим ограничениям на протяжении всего процесса движения; алгоритмы позволяют управлять подверженной неконтролируемым ограниченным возмущениям системой с неизвестными параметрами и, следовательно, робастны.

Наряду с этим в диссертации исследуется асимптотическая устойчивость (т. е. возможность приведения за бесконечное время) нелинейных механических систем при помощи обратных связей, содержащих интегральные слагаемые (ПИД-регулято-ров), т. е. нелинейных систем с последействием.

Применяемые в диссертации подходы основаны на использовании методов теории устойчивости движения, в частности, второго метода Ляпунова.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена изложению и обоснованию " основного" алгоритма управления — алгоритма, обеспечивающего приведение лагранжевой системы из произвольного начального состояния в заданное положение за конечное время. При этом матрица кинетической энергии системы считается неизвестной и на систему действуют неконтролируемые ограниченные возмущениям. В предложенном законе управления используются линейные обратные связи по скоростям и координатам с кусочно-постоянными коэффициентами. Коэффициенты усиления стремятся к бесконечности по мере приближения системы к терминальному состоянию, однако управляющие силы остаются ограниченными и удовлетворяют наложенным условиям. Алгоритм обоснован при помощи второго метода Ляпунова. Работа алгоритма проиллюстрирована на примере численного моделирования динамики двузвенника.

Главы 2 и 3 посвящены исследованию механических систем, содержащих упругие элементы. В отличие от главы 1, где предполагалось, что система управляется по каждой степени свободы, в главах 2 и 3 рассматриваются системы, у которых число степеней свободы больше, чем число непосредственно управляемых переменных. В этом случае движение системы разделяется на два этапа. Сначала, также используя кусочно-линейное управление, система приводится в некоторую окрестность терминального множества. Затем выделяется подсистема, отвечающая непосредственно управляемым переменным, а влияние на нее оставшейся части системы трактуется как возмущение. Эта подсистема при помощи алгоритма, разработанного в главе 1, приводится в терминальное состояние.

Во второй главе рассматривается линейная механической система, представляющая собой 2п масс, расположенных на горизонтальной прямой и соединенных поочередно упругими пружинами и телескопическими шарнирами с приводами (такая модель может служить для описания телескопического манипулятора с упругими шарнирами). Предложен закон управления, приводящий шарниры в заданные положения и делающий колебания пружин достаточно малыми.

Большой практический интерес представляют задачи о перемещении грузов, содержащих упругие элементы или маятниковые конструкции. В третьей главе рассматриваются простейшие системы такого вида: два тела, соединенные пружиной, либо тело с подвешенным к нему вторым телом (маятник на тележке). К одному из тел (несущему) приложена ограниченная управляющая сила, оба тела испытывают действие сил сухого трения. Считается, что массы тел, жесткость пружины и коэффициенты трения неизвестны. Предложены алгоритмы управления, приводящие несущие тела в заданные положения за конечное время. Проведено численное моделирование движений рассматриваемых систем, управляемых при помощи указанных алгоритмов.

Для уменьшения влияния на механическую систему некоторых возмущающих факторов (например, действия сил сухого трения) при формировании управления используют не только мгновенные обратные связи (ПД-регуляторы), но и обратные связи, содержащие интегральные слагаемые (ПИД-регуляторы). Четвертая глава посвящена исследованию асимптотической устойчивости механических систем, управляемых при помощи ПИД-регуляторов. В этом случае замкнутая система представляет собой существенно нелинейную систему дифференциальных уравнений с последействием. Для их изучения в главе 4 применяется метод функционалов Ляпунова - Кра-совского. Исследованы регуляторы, содержащие мгновенные обратные связи по фазовым координатам и скоростям и обратные связи с последействием в различных сочетаниях. В частности, показано, что для асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы, управляемой при помощи ПИД-регулятора, достаточно, чтобы регулятор содержал только интегральные слагаемые. На примере численного моделирования движений плоского двузвенника проиллюстрировано различие в качестве переходных процессов в системах, управляемых при помощи рассматриваемых регуляторов разных типов.

Приведем краткий обзор работ, посвященных теории управления движением механических систем. Подробнее остановимся на публикациях, в которых исследуются задачи, близкие по постановке к тем, что рассмотрены в диссертации.

Теория управления - ставшая уже классической область науки, в создание которой внесли значительный вклад H.H. Кра-совский [56, 57, 58, 63, 166], Л. С. Понтрягин [106, 107, 108], Р. Беллман [20, 21], Р. Калман [47, 48, 165] и др.

Большое влияние на формирование теории управления движением оказали исследования А. Г. Бутковского [27, 28, 29], В. И. Зубова [43, 45], А. В. Кряжимского [65, 66, 67, 68, 175], А. Б. Куржанского [70, 167], Ю. С. Осипова [68, 94, 95, 97, 175],

A. И. Субботина [121, 122, 123, 181], Я. 3. Цыпкина [131, 132, 133, 134], Ф. Л. Черноусько [137, 141, 142, 143, 144, 145],

B. А. Якубовича [126, 149], А. Брайсона [22], Г. Лейтмана [170, 171, 172], Ж.-Л. Лионса [74], А. Исидори [163, 164] и др.

Развитию теории управления движением, построению законов управления для механических систем посвящены работы Л. Д. Акуленко [1, 2], Н. Н. Болотника [23, 24], А. С. Ковалевой [51], В. В. Малышева [78], А. А. Первозванского [100, 101], Е. С. Пятницкого [40, 110, 111], В. И. Уткина [124, 125], А. Л. Формальского [71, 127], А. Л. Фрадкова [128, 129], X. Ни-мейера [157, 173], А. ван дер Схафта [177, 178, 179] и др.

Можно выделить два подхода к решению задач управления, постановки которых близки к тем, что рассмотрены в диссертации. Один основан на сведении этих задач к игровым, в которых неопределенные факторы выступают как управляющие параметры, находящиеся в распоряжении противника. Во втором используются методы теории устойчивости движения.

Остановимся подробнее сначала на первом подходе. В работах Ф. Л. Черноусько [138, 139, 140] для системы (0.0.1) разработан метод построения управления, формируемого по принципу обратной связи и приводящего систему из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное время. При этом предполагается, что матрица кинетической энергии известна.

Метод основан на декомпозиции системы на ряд более простых подсистем с одной степенью свободы каждая, т. е. на сведении исходной задачи управления нелинейной системой (0.0.1) порядка 2п к задаче управления системой п простых независимых линейных уравнений второго порядка. Для этого исходная система (0.0.1) приводится к виду + г = 1,.,п, (0.0.3) где

V = А~1в, и = А~1и. Компоненты вектора С задаются выражениями ч. с 1дазк

Ф = - £ ИзтШк + = -г-1- э,к=1 (УЯк 2

Исходная задача сводится к задаче об остановке за конечное время каждой из п линейных систем (0.0.3) в заданном состоянии (терминальная скорость равна нулю) и удержании их там. В уравнениях (0.0.3) величины 11{ являются управляющими параметрами, а величины V* трактуются как противодействие противника. При малых скоростях д и некоторых предположениях относительно матрицы А и возмущений 5 ресурсы управляющего игрока оказываются выше ресурсов противника, и такая игровая задача имеет решение [58].

Движение системы разделяется на два этапа. На первом этапе при помощи управления, направленного против вектора скорости, осуществляется торможение системы. Затем, в области малых скоростей, на основе решения игровой задачи строится управление, приводящее систему в заданное состояние фазового пространства.

Отметим, что в процессе движения на втором этапе возникают скользящие режимы.

Данный подход, основанный на декомпозиции, позволяет строить алгоритмы приводящие за конечное время систему в терминальное состояние с ненулевой терминальной скоростью [14].

Изложенный метод декомпозиции применен и в работах других авторов [37, 38, 39].

Прием, подобный методу декомпозиции, применяется в работах В. И. Воротникова [31, 32, 33] для одного частного случая, а именно, для решения задачи переориентации твердого тела при наличии помехи.

Второй подход к решению задач управления для системы (0.0.1), основанный на применении методов теории устойчивости движений, используется значительно шире. Традиционно целью управления в этом случае является либо обеспечение асимптотической устойчивости некоторых решений замкнутой системы, либо обеспечение требуемого качества переходных процессов, либо приведение системы в некоторую окрестность терминального состояния и т. п.

Возникшая благодаря работам А. М. Ляпунова [75] теория устойчивости движения нашла свое развитие в работах

Н. Г. Четаева [146,147], Е. А. Барбашина [16,17,18], Н. Н. Кра-совского [55, 59], И. Г. Малкина [76, 77], В. М. Матросова [83, 84], В. В. Румянцева [113,114,115] и др. Из зарубежных ученых отметим Р. Беллмана [155], К. Кордунеану [158], В. Лак-шмикантама [168], И. Массера [174], Ж. Лассаля, С. Лефшеца [169], Л. Сальвадори [176], Т. Иошизава [183].

Методы теории устойчивости, в частности, метод функций Ляпунова, используются при решении многих практических задач: о стабилизации спутника [19, 35, 64, 73, 93, 114, 116, 135], об устойчивости гироскопических систем [42, 46, 50, 82, 99], о движении твердого тела с полостью, заполненной жидкостью [90, 104], при исследовании движения других систем с распределенными параметрами [28, 41, 49, 71], в задачах небесной механики [19, 79, 81], при исследовании систем автоматического регулирования [45, 100, 112, 131, 133] и т.д. Во многих работах используются подходы, основанные на применении линейного приближения [73, 171].

Остановимся подробнее на публикациях, в которых при помощи методов теории устойчивости исследуются задачи, близкие по постановке к тем, что рассмотрены в диссертации. В первую очередь следует привести здесь работы Е. С. Пятницкого [109, 110]. В них изучаются системы вида (0.0.1) в предположениях, аналогичных тем, что сформулированы в диссертации: матрица кинетической энергии системы неизвестна, система испытывает действие неконтролируемых возмущений, на управляющие силы наложены ограничения Ы, г = 1, . . . , 71.

Задачи управления решаются автором без привлечения линейного приближения.

Предложенный Е. С. Пятницким принцип декомпозиции состоит в том, чтобы, во-первых, при помощи управления полностью устранить динамическое взаимовлияние между степенями свободы, а во-вторых, выбрать это управление так, чтобы система двигалась в соответствии с целью управления. Вторая задача заключается в выборе такой вектор-функции v(qit)1 чтобы на траектории системы qi = Vi(q,t), г = 1,., п, (0.0.4) выполнялась цель управления исходной системой. Для выведения исходной системы на движение в режиме (0.0.4) используется управление щ — —hisign {qi — Vi(t)), г = 1,., п.

С помощью функции Ляпунова вида

1 п

G = - £ aik(q) (сц - Vi(t)) (qk - vk(t)) * i,k=l показано, что при некоторых предположениях на начальные состояния и при условии, что силы Qi удовлетворяют ограничениям sup\Qi\ < hi, г = 1,.,гс, (0.0.5) через конечный промежуток времени система (0.0.1) будет двигаться в режиме (0.0.2).

Данный подход, в частности, позволяет доказать полную управляемость системы (0.0.1) при условии (0.0.5).

В [111] этот результат обобщен на классы механических систем. Класс определяется заданием ограниченных областей, в которых могут принимать значения управления и обобщенные силы. Для таких классов установлены необходимые и достаточные условия полной управляемости класса, т. е. полной управляемости любой системы, принадлежащей классу. Рассмотрение совокупности систем объясняется тем, что неопределенность описания характерна для технических систем: параметры системы могут меняться в пределах допусков.

В [86] при помощи описанного принципа декомпозиции решаются задачи построения универсальных законов управления (в классе релейных, т. е. разрывных управлений) движением манипуляционного робота общего вида. Показано, что предлагаемые законы управления позволяют стабилизировать практически все возможные движения объекта управления и при наличии неидеальностей в системе управления (малой инерционности исполнительных приводов, запаздывания сигналов преобразователей и т. д.)

В [85] синтез универсальных законов управления ищется в классе непрерывных управлений.

В работах [25, 26] рассматриваются задачи стабилизации ла-гранжевой системы с упругими связями между свободными и управляемыми степенями свободы. Такая система уравнений описывает, в частности, динамику робота-манипулятора с упругими сочленениями. На управляющие воздействия наложены ограничения. Анализ предложенных законов управления основывается на прямом методе Ляпунова.

В ряде работ аналогичные задачи управления роботом-манипулятором с упругими шарнирами рассматриваются в отсутствие ограничений на управляющие воздействия [120, 182].

В четвертой главе диссертации исследуется асимптотическая устойчивость нелинейных систем с последействием, т. е. систем, скорость которых в текущий момент времени зависит от координат в некоторые предшествующие моменты времени. Значительный интерес к такого рода системам обусловлен обилием приложений в таких, например, областях, как теория автоматического регулирования, механика сплошной среды, аэроупругость, теория популяций, математическая экономика и т. д. Внимание исследователей привлекает и наличие трудных и интересных математических проблем.

Наряду с обычными для конечномерных задач трудностями рассмотрение систем с последействием сопряжено с рядом специфических проблем, обусловленных, прежде всего, тем, что фазовое пространство таких систем, как правило, бесконечномерно.

Из многочисленных результатов в данной области отметим, прежде всего, работы Н. Н. Красовского [55, 56, 60, 61] и А. Д. Мышкиса [91, 92], а также В. Б. Колмановского [15, 52], М. А. Красносельского [54], Ю. А. Митропольского [89], Ю. С. Осипова [94, 95, 96, 97], Л. Э. Эльсгольца [148], Р. Белл-мана [156], К. Кордунеану, В. Лакшмикантама [159], Д. Хейла [162] и др.

Основополагающие результаты теории устойчивости систем запаздывающего типа с конечным последействием получены в [55]. Эти результаты обобщались рядом авторов в различных направлениях. В частности, одно из направлений связано с развитием теории устойчивости систем с произвольным (конечным или неограниченным) запаздыванием. Подробный обзор имеющихся в этой области результатов имеется, например, в [53].

Ряд общих утверждений о решении задач стабилизации можно сформулировать в терминах второго метода Ляпунова. Однако детально исследована лишь линейно-квадратичная задача [30, 43, 47, 61, 94]. В главе 4 рассмотрена задача стабилизации произвольной механической системы, функция Лагранжа которой не содержит потенциальной энергии.

Ниже сформулированы результаты, выносимые на защиту.

1. Разработаны законы управления нелинейной механической системой общего вида, динамика которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Предполагается, что матрица кинетической энергии системы неизвестна и на систему действуют неконтролируемые ограниченные возмущения. Предложенные законы управления позволяет переводить систему из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное время при помощи ограниченной по модулю силы. В приведенных алгоритмах используется линейная обратная связь с кусочно-постоянными коэффициентами: коэффициенты неограниченно возрастают по мере приближения системы к терминальному состоянию, однако управляющие силы удовлетворяют наложенным условиям. Алгоритм обоснован при помощи второго метода Ляпунова. Дана оценка сверху полного времени движения системы. Эффективность алгоритма продемонстрирована на примере численного моделирования динамики двузвенника.

2. Предложен подход, основанный на модификации указанного выше закона управления, позволяющий строить алгоритмы управления упругими механическими системами с неизвестными параметрами.

3. Построен закон управления линейной системой масс, последовательно соединенных шарнирами и пружинами. Такая модель может быть использована для описания телескопического манипулятора с упругими шарнирами. Предполагается, что массы и жесткости пружин неизвестны, но лежат в заданных пределах. На управляющие силы наложены ограничения. Предложенный алгоритм позволяет за конечное время уменьшить упругие колебания системы до некоторого достаточно малого уровня, а "управляемые" координаты (отвечающим степеням свободы с шарнирами) привести в заданные состояния.

4. Разработаны алгоритмы управления различными двух-массовыми системами типа "груз на тележке", "маятник на тележке " и т. д., массо-инерционные и упругие характеристики которых неизвестны. При этом обе массы могут испытывать действие сил сухого трения с неизвестными непостоянными коэффициентами. Алгоритмы позволяют при помощи ограниченной управляющей силы приводить несущую массу в заданное состояние за конечное время, а колебания несомой делать достаточно малыми.

5. Исследована асимптотическая устойчивость нелинейных механических систем, управляемых при помощи обратных связей, содержащих интегральные слагаемые (ПИД-регуляторов), т. е. нелинейных систем с последействием. Рассмотрены регуляторы, содержащие мгновенные обратные связи по фазовым координатам и скоростям и обратные связи с последействием в различных сочетаниях. Доказана возможность стабилизации механической системы с неизвестными параметрами при помощи таких регуляторов.

По теме диссертации опубликовано 15 статей [4 - 13], [140 -144], из них 8 — в центральных научных журналах Российской АН.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах в Институте проблем механики РАН, в Московском и Санкт-Петербургском государственных университетах, Институте проблем управления РАН, а также на Всесоюзном семинаре "Динамика нелинейных процессов управления" (Таллин, 1987), на VI и VII Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Львов, 1988 и Свердловск, 1990), на VI Болгарском национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (София, 1989), на XII Международной конференции по нелинейным колебаниям (Краков, 1990), на II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем (Н.Новгород, 1990), на V Международной конференции по управлению и средствам связи (Греция, 1995), на IV и V Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996 и 1998), на I и II Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт-Петербург, 1996 и 1998), на II Международной конференции по робототехнике и системам управления (Австрия, 1996), на Международной конференции "Управление колебаниями и хаосом" (Санкт-Петербург, 1997).

Исследование по теме диссертации выполнены в Институте проблем механики РАН.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ананьевский, Игорь Михайлович, 1998 год

1. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1987.

2. Акуленко Л. Д. Конструктивное управление движением колебательных систем с дискретными и распределенными параметрами// ПММ. 1989. Т. 53, вып. 4.

3. Акуленко Л. Д., Болотник Н. Н. Синтез оптимального управления транспортными движениями промышленных роботов// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 4.

4. Ананьевский И. М. Метод функций Ляпунова в задаче управления лагранжевой динамической системой// Дифф. уравнения. 1995. Т. 31, № И.

5. Ананьевский И. М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы// ПММ. 1997. Т. 61, вып. 1.

6. Ананьевский И. М. Управление линейной механической системой с упругими элементами в условиях неопределенности/ / Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4.

7. Ананьевский И. М. Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами// Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998, К2 2.

8. Ананьевский И. М. Ограниченное управление механической системой в условиях неопределенности// Доклады АН. 1998. Т. 359, № 5.

9. Ананъевский И. М., Колмановский В. Б. Об управлении некоторыми механическими системами при неполной информации// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. № 1."

10. Ананъевский И. М., Колмановский В. Б. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием// Автомат, и телемех. 1989. № 9.

11. Ананъевский И. МКолмановский В. Б. Об устойчивости некоторых управляемых систем с последействием// Дифф. уравнения. 1989. Т. 25 № 11.

12. Ананъевский И. М. О некоторых приложениях теории устойчивости систем с последействием к задачам стабилизации механических систем// VI нац. конгресс по теор. и прикл. механике. Сб. трудов. Т. 1, София, 1989.

13. Ананъевский И. М. Прямой метод Ляпунова в задаче управления механической системой// Труды I Между-нар. науч.-практ. конф. "Математика и психология в педагогической системе "Технический университет". Одесса, 1996.

14. Ананъевский И. М., Добрынина И. С., Черноусъко Ф. Л. Метод декомпозиции в задаче управления динамической системой.//Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. № 2.

15. Андреева Е. А., Колмановский В. Б., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием. — М.: Наука, 1992.

16. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967.

17. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1980.

18. Барбашин Е. А., Красовский Н. Я. Об устойчивости движения в целом// Докл. АН СССР. 1952. Т. 86, № 3.

19. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1980.

20. Беллман Р. Динамическое программирование: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1960.

21. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1962.

22. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. — Мир, 1972.

23. Болотник Н. Н., Каплунов А. А. Некоторые задачи оптимального управления поворотом твердого тела/ / Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 5.

24. Болотник Н. Н., Черноусъко Ф. Л. Оптимизация управления манипуляционными роботами// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990. № 1.

25. Бурков И. В., Заремба А. Т. Динамика упругого манипулятора с электроприводом// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 1.

26. Бурков И. В., Фрейдович Л. Б. Стабилизация положения Лагранжевой системы с упругими элементами приограничениях на управление с измерением и без измерения скорости// ПММ. 1997. Т. 61, вып. 3.

27. Бутковский А. Г., Доманицкий С. М. О синтезе управляющей части оптимальных систем для некоторых объектов с запаздыванием// Теория и применение дискретных автоматических систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1960.

28. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975.

29. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. — М.: Наука, 1985.

30. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.

31. Воротников В. И. О нелинейном синтезе ограниченных управлений при помехах// Докл. АН. 1994. Т. 337. К2 1.

32. Воротников В. И. О синтезе ограниченных управлений в игровой задаче переориентации асимметричного твердого тела// Докл. АН. 1995. Т. 343. № 5.

33. Воротников В. И. О построении игровых ограниченных управлений для нелинейных динамических систем// ПММ. 1997. Т. 61. вып. 1.

34. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978.

35. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. — М.: Наука, 1968.

36. Демин В. Г., Фурасов В. Д. К стабилизации управляемых систем по части переменных// ПММ. 1976. Т. 40. вып. 2.

37. Добрынина И. С. Моделирование динамики манипуля-ционных роботов с применением метода декомпозиции управления//Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1995. К2 4.

38. Добрынина И. С., Карпов И. И., Черноусько Ф. Л. Компьютерное моделирование управления движением системы связанных твердых тел//Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. X« 1.

39. Добрынина И. С., Черноусько Ф. Л. Ограниченное управление линейной системой четвертого порядка. Изв.РАН. Техническая кибернетика, 1992, № 6.

40. Дунская Н. В., Пятницкий Е. С. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем// АиТ. 1988. № 12.

41. Дунская Н. В., Пятницкий Е. С. Синтез порождающей системы в задаче управления упругим стержнем// ПММ. 1994. Т. 58, вып. 5.

42. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988.

43. Зубов В. И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975.

44. Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957.

45. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — Л.: Судпромгиз, 1959.

46. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. — М.: Изд-во АН СССР. 1963.

47. Калман Р., Об общей теории систем управления. // Тр. 1-го конгр. Междунар. федерации по автоматич. управлению (1ЕАС). — М.: ИЗД-во АН СССР, 1961.

48. Калман Р., Фалб ПАрбиб М., Очерки по математической теории систем. — М.: Мир. 1971.

49. Климов Д. М., Маркеев А. П., Холостова О. В. Об устойчивом движении упруговязкого кольца в гравитационном поле// ПММ. 1991. Т. 55. вып. 1.

50. Климов Д. М., Харламов С. А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. — М.: Наука. 1978.

51. Ковалева А. С. Управление колебаниями и виброударными системами. — М.: Наука, 1990.

52. Колмановский В. ВНосов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981.

53. Кордуняну К., Лакшмикантам В. Обзор "Уравнения с неограниченным запаздыванием" // АиТ. 1985, № 7.

54. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1966.

55. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

56. Красовский Н. Н. Теория управления движением, — М.: Наука, 1968.

57. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений,М.: Наука, 1970.

58. Красовский Н. Н. Управление динамической системой,М.: Наука, 1985.

59. Красовский Н. Н. К теории второго метода А. М. Ляпунова исследования устойчивости движения// Докл. АН СССР. 1956. Т. 109, № 3.

60. Красовский Н. Н. Об устойчивости квазилинейных систем с последействием// Докл. АН СССР. 1958. Т. 119, № 3.

61. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздыванием времени// ПММ. 1962. Т. 26, вып. 1.

62. Красовский Н. Н., Осипов Ю. С. Линейные дифференциально-разностные игры// Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 4.

63. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1985.

64. Крементуло В. В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс. — М.: Наука, 1977.

65. Кряжимский А. В. Альтернатива в линейной игре сближения уклонения с неполной информацией// Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, № 4.

66. Кряжимский А. В. Об устойчивом позиционном управлении в дифференциальных играх// ПММ. 1978. Т. 42, вып. 6.

67. Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения уклонения// Докл. АН СССР. 1978. Т. 239, № 4.

68. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивые решения обратных задач динамики управляемых систем// Тр. МИАН СССР. 1988.

69. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе//Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N0 2.

70. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977.

71. Лавровский Э. К., Формальский А. Л. Стабилизация заданной позиции упругого стержня// ПММ. 1989. Т. 53, вып. 5.

72. Лебедев Д. В. О стабилизации движения динамической системы в условиях неопределенности// ПММ. 1990. Т. 54, вып. 6.73. сПетое А. М. Динамика полета и управление. — М.: Наука, 1969.

73. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972.

74. Ляпунова А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

75. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.; Наука, 1966.

76. Малкин И. Г. Обобщение основной теоремы Ляпунова об устойчивости движения// Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 3. — М.: Наука, 1966.

77. Малышев В. В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1987.

78. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1978.

79. Маркеев А. П. Асимптотические траектории и устойчивость движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы// ПММ. 1988. Т. 52. вып. 3.

80. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990.

81. Мартыненко Ю. Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. — М.: Наука. 1988.

82. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова в системах с обратной связью// Автоматика и телемеханика. 1972. № 2.

83. Матросов В. М.} Анапольский Л. ЮВасильев С. Н. Метод сравнения в математической теории систем. — Новосибирск: Наука, 1980.

84. Матюхин В. И. Непрерывные универсальные законы управления манипуляционным роботом// АиТ. 1997. No 4.

85. Матюхин В. И., Пятницкий Е. С. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов// АиТ. 1989. No 9.

86. Меликян A.A. Оптимальное гарантирующее управление динамической системой с поиском целевой точки// Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 4.

87. Меликян А. А., Черноусъко Ф. Л. Некоторые минимаксные задачи управления с неполной информацией// ПММ. 1971. Т. 35, вып.6.

88. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. — Киев: Вища школа, 1979.

89. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. — М.: Наука, 1965.

90. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука. 1972.

91. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, вып. 2.

92. Озиранер А. С. Об одноосной стабилизации динамически симметричного спутника на круговой орбите// Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 3.

93. Осипов Ю. С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием// Дифф. уравнения. 1965. Т. 1, К2 5.

94. Осипов Ю. С. Дифференциальные игры систем с последействием// Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 4.

95. Осипов Ю.С., Кряэюимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. — Свердловск, ИММ УрО АН СССР. 1991.

96. Осипов Ю. С., Пименов В. Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием// ПММ. 1978. Т. 42, вып. 6.

97. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. — Минск: Наука и техника, 1986.

98. Некоторые задачи навигации и управления// под ред. H.A. Парусникова, В.М. Морозова. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

99. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука. 1986.

100. Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. — М.: Наука. 1979.

101. Плисс В. А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1958.

102. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.: Наука, 1977.

103. Пооюарицкий Г. К. О влиянии вязкости на устойчивость равновесия и стационарных вращений твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью// ПММ. 1964. Т. 28, вып. 1.

104. Поляк Б. Е.} Цыпкин Я. 3. Адаптивные алгоритмы оценивания: сходимость, оптимальность, стабильность// АиТ. 1979, № 3.

105. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1983.

106. Понтрягин Л. С. К теории дифференциальных игр // УМН. 1966. Т. 21. N 4.

107. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования// Мат.сб. 1980. Т. 112. N 3.

108. Пятницкий Е. С. Синтез управления манипуляционны-ми роботами на принципе декомпозиции// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1987. № 3.

109. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами// Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. № 2.

110. Пятницкий E. С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями// ПММ. 1996. Т. 60. вып. 5.

111. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1992.

112. Румянцев В. В. Одна теорема об устойчивости движения// ПММ. 1960. Т. 24, вып. 1.

113. Румянцев В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников. — М.: Изд-во ВЦ АН СССР. 1967.

114. Румянцев В. В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами// ПММ. 1972. Т. 36, вып. 6.

115. Сарычев В. А. Асимптотически устойчивые стационарные вращения спутника// Косм, исследования. 1965. Т. 3, вып. 5.

116. Синтез систем управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции. Под ред. Пятницкого Е. С. М. 1987.

117. Соколов Б. Н. Стабилизация динамических систем при геометрических ограничениях на управление// ПММ.1991. Т. 55, вып. 1.

118. Соколов Б. Н. Ограниченное позиционное управление динамической системой большой размерности// ПММ.1992. Т. 56, вып. 6.

119. Спонг М. В. Моделирование и управление роботами с упругими сочленение// Констр. и технолог, машиностр. 1988. № 3.

120. Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр// Докл. АН СССР. 1980. Т.254. № 2.

121. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.

122. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. — М.: Наука, 1981.

123. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука. 1981.

124. Уткин В. И., Орлов Ю. В. Теория бесконечномерных систем управления нв скользящих режимах. — М.: Наука. 1990.

125. Фомин В. НФрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука. 1981.

126. Формальский А. Л. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. — М.: Наука, 1974.

127. Фрадков А. Л". Адаптивное управление сложными системами. — М.: Наука, 1990.

128. Фрадков А. Л. Схема скоростного градиента и ее применение в задачах адаптивного управления// АиТ. 1979. № 9.

129. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. — М.: Наука, 1977.

130. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. — М.: Наука. 1968.

131. Цыпкин Я. 3. Основы теории обучающихся систем. — М.: Наука. 1970.

132. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: Наука. 1977.

133. Цыпкин Я. 3Попков Ю. С. Теория нелинейных ип-пульсных систем. — М.: Наука. 1973.Динамика тела с полостями, содержащими жидкость ;

134. Черноусько Ф. Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника// ПММ. 1964. Т. 28, вып. 1.

135. Черноусько Ф.Л. О построении ограниченного управления в колебательных системах. М.: ПММ. 1988. Т. 52, вып. 4.

136. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

137. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах// ПММ. 1990. Т. 54, вып. 6.

138. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990. № 6.

139. Черноусько Ф. Л. Синтез управления нелинейной динамической системой // ПММ. 1992. Т. 56, Вып. 2.

140. Черноусъко Ф. Л. Оценка множеств достижимости линейных систем с неопределенной матрицей// Докл. АН. 1996. Т. 349, № 1.

141. Черноусъко Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.

142. Черноусъко Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980.

143. Черноусъко Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы. Динамика, управление, оптимизация. — М.: Наука, 1989.

144. Черноусъко Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. — М.: Наука, 1978.

145. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.

146. Четаев Н. Г. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1987.

147. Элъсголъц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971.

148. Якубович В. А. К теории адаптивных систем// Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, № 6.

149. Ananievski I. М., Kolmanovski V. В. Stabilization of some nonlinear hereditary mechanical systems// Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1990. vol. 15, № 2.

150. Ananievski I. M., Kolmanovski V. B. Stabilization and control of mechanical systems with unknown parameters// Proc. V Intern. Conf. on Advances in Communication and Control. Greece. 1995.

151. Ananievski I. M. Bounded control of mechanical system under uncertainty// Proc. II ECPD Intern. Conf. on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems. Vienna, Austria. 1996.

152. Ananievski L M. Bounded control of elastic linear mechanical system with unknown parameters// Proc. I Intern. Conf. "Control of Oscillations and Chaos", St. Petersburg, Russia.1997. Vol. 1.

153. Ananievski L M. Control of elastic mechanical systems under uncertainty// Proc. XXIII Summer School "Applications of Mathematics in Engineering", Sozopol. Heron Press, Sofia,1998.

154. Bellman R. Stability theory of differential equations. — N. Y.: McGraw-Hill, 1953.

155. Bellman R. On the existence and boundedness of solutions of non-linear differential-difference equations// Ann. Math. 1949. Vol. 50, № 2.

156. Berghuis H., Nijmeijer H. Global regulation of robots using only position measurement// Systems and Control Letters 21. 1993.

157. Corduneanu C. Some problems, concerning partial stability// L. N.Y.: Acad. Press, 1971.

158. Corduneanu C., Lakshmikantam V. Equations with unbounded delay: a survey// Nonlinear Analysis. 1980. № 5.

159. Dobrynina I. S., Chernousko F. L. Constrained Control of a Fourth-Order Linear System// International Journal of Computer and Systems Sciences. 1994. Vol.32, № 4.

160. Friedman A. Differential games. — Wiley. New York. 1971.

161. Hale J. K. Theory of functional differential equations. — New-York, Springer. 1977.

162. Isidori A. Nonlinear Control Systems. — Springer Verlag, New-York, third edition. 1995.

163. Isidori A. Semiglobal practical stabilization of uncertain non-minimum-phase nonlinear systems via output feedback// Proc. IVIFAC Nonlinear Control Systems Design Symp. University of Twente, Enschede, The Netherlands, 1998.

164. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME, ser. D, V. 82, № 1 (1960).

165. Krasovskii A. N., Krasovskii N. N. Control under lack of Information. — Boston, Birkhauser, 1995.

166. Kurzhanski A. B., Valyi I. Evolution and Control of Uncertain Systems// Tutorial-92-01, IIASA, Laxenburg, 1992.

167. Lakshmikantam V., Leela S. Differential and integral inequalities. Theory and applications. V. 1,2. — N.Y.: Acad. Press, 1969.

168. La Salle J. P., Lefshetz S. Stability by Lyapunov's direct method with applications. — N.Y.: Acad. Press, 1961.

169. Leightmann G. Multicriteria decision and differential games. — New-York — London. 1976.

170. Leightmann G. Deterministic control of uncertain systems// Acta Astronautica 7, 1980.

171. Leightmann G., Corless M. Adaptive control of systems containing uncertain functions with uncertain bounds// J. Onimization Theory Appl. 41, 1983.

172. Loria A., Panteley E., Nijmeijer H., Fossen T. I. Robust adaptive control of passive systems with unknown disturbances/ / Proc. IV IFAC Nonlinear Control Systems Design Symp. University of Twente, Enschede, The Netherlands, 1998.

173. Massera I. L. Contributions to stability theory// Ann. of Math. 1956. V. 64.

174. Osipov Ju. S., Kryazhimski A. V. Inverse problem of ordinary differential equations: Dynamical solutions. — London: Gordon and Breach, 1995.

175. Schweppe F. C. Uncertain dynamic systems. — Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1973.

176. Subbotin A. I. Generalized solutions of first-order PDEs: the dynamical optimization perspective. — Birkaeuser Boston. 1995.

177. Tome P. A simple PD controller for robots with elastic joints// IEEE Trans. Automat, and Contr. 1988. V. 33, № 11.

178. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. — Tokyo: Math. Soc. Japan. 1966.