Термоядерные рентгеновские барстеры: зажигание и распространение термоядерного горения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Грязных, Дмитрий Анатольевич

• Грязных, Дмитрий Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Грязных, Дмитрий Анатольевич

Оглавление

Введение

1. Рентгеновские термоядерные барстеры

1.1. Термоядерное горение в звёздах

1.2. Рентгеновские двойные, аккреция, аккреционный диск и пограничный слой

1.3. Рентгеновские барстеры

1.4. Наблюдения термоядерных барстеров

1.5. Инициирование горения

2. Зажигание и распространение термоядерного горения

2.1. Модельная система горения в ограниченной области

2.2. Зажигание в ограниченной области

2.3. Распространение горения в тонком слое или шнуре

Выводы к главе

3. Термоядерное горение в слое на поверхности нейтронной звезды

3.1. Уравнения динамики А^-зонного плоского тонкого слоя

3.2. Однослойная модель без потока вещества

3.3. Однослойная однокомпонентная модель с горением и потоком вещества

3.4. Двухслойная двухкомпонентная модель

3.5. Основные свойства полученных решений и сравнение с данными наблюдений

3.6. Локальное зажигание и распространение горения в поверхностном слое

Выводы к главе

4. Влияние турбулентного перемешивания на развитие термоядерных рентгеновских барстов

4.1. Феноменологические модели турбулентности

4.2. Моделирование неустойчивого термоядерного горения в поверхностном слое

4.3. Моделирование рентгеновского барстера

Выводы к главе

5. Численное моделирование распространения термоядерного горения в

слое гелия на поверхности нейтронной звезды

5.1. Моделирование распространения термоядерного горения в слое гелия с плотностью на дне 1.75 х 108 г/см3

5.2. Моделирование распространения термоядерного горения в слое гелия с плотностью на дне 1.8 х 107 г/см3

5.3. Анализ результатов

Выводы к главе

Заключение

Список публикаций автора по теме диссертации

Список литературы

A. Горение сферы, шнура или слоя

B. Модель замыкания системы уравнений многозонного слоя

C. Параметры уравнения состояния и скоростей реакций

D. Распределение вещества на поверхности вращающейся звезды

E. Используемые газодинамические программы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термоядерные рентгеновские барстеры: зажигание и распространение термоядерного горения»

Введение

Актуальность темы исследования

Предметом исследования представленной диссертации являются механизмы зажигания и распространения термоядерного горения в поверхностных слоях нейтронных звёзд при рентгеновских барстах.

Термоядерные реакции являются основным источником энергии звёзд и определяющим фактором их эволюции на всех этапах, включая медленные изменения и быстрые взрывы. На медленных этапах эволюции звезда находится в устойчивом гидростатическом и тепловом равновесии. Тепловая устойчивость невырожденной звезды на этапе Главной последовательности объясняется её отрицательной эффективной теплоёмкостью, поэтому небольшие изменения энергии приводят к обратному изменению температуры и, как следствие, компенсирующему изменению темпа термоядерных реакций. Времена существенных изменений параметров таких звёзд (не учитывая устойчивые колебания) определяются временами выгорания вещества и составляют миллиарды лет. Напротив, взрывные явления в звёздах длятся секунды. Они объясняются потерей гидростатической или тепловой устойчивости. Первый тип неустойчивости может привести к коллапсу звезды, наблюдаемому как вспышка сверхновой II типа [26, 83]. Тепловая неустойчивость горения приводит к термоядерному взрыву на звезде [44]. Такой взрыв возможен либо в центре вырожденной звезды или в слое на её поверхности. В первом случае он разрушает звезду и наблюдается как вспышка сверхновой типа 1а [47], во втором взрывы наблюдаются как оптические новые [41] или рентгеновские барсты [55, 77], не разрушают звезду и могут наблюдаться повторно.

Для повторных термоядерных взрывов на поверхности звезды требуется, чтобы существовал приток вещества. Такой приток может дать аккреция от звезды-компаньона в двойной системе. Если вещество падает на поверхность нейтронной звезды, то потери гравитационной энергии в аккреционном диске и атмосфере столь высоки, что система наблюдается как яркий источник в рентгеновском диапазоне — рентгеновская двойная звезда. В поверхностном слое вещество разогревается до температур порядка 108 К, так что гелий интенсивно горит в термоядерной За-реакции. Зависимость её скорости от температуры столь высока,

что она может быть термически неустойчива — небольшое повышение температуры приводит к такому повышению темпа энерговыделения, который не может быть компенсирован повышением темпа отвода энергии излучением. Происходит термоядерный взрыв — резкий рост темпа реакции, вызывающий значительное повышение температуры в слое и излучения с его поверхности. Взрыв заканчивается после выгорания гелия в поверхностном слое. Продолжающийся процесс накопления вещества приводит через некоторое время к повторению условий для нового взрыва.

Такие процессы были обнаружены рентгеновскими телескопами, установленными на искусственных спутниках Земли в 1975 г [25, 33], и были названы рентгеновскими барста-ми. Они происходят в некоторых рентгеновских двойных звёздах малой массы, в которых компоненты находятся настолько близко к друг другу, что вещество с поверхности донора попадает в область гравитационного воздействия (полость Роила) акцептора, являющегося нейтронной звездой. Рентгеновские источники, в которых наблюдаются барсты, называются барстерами. В некоторых из них барсты повторяются всего через несколько часов. Таким образом, рентгеновские барстеры являются системами с наиболее часто происходящими термоядерными взрывами, доступными для наблюдения. Современные космические телескопы имеют высокое пространственное и временное разрешение (с миллисекундной точностью, превосходящей скорость вращения нейтронных звёзд), аккуратно измеряют плотность потока энергии и спектр излучения.

Измеренные рентгеновскими телескопами параметры хорошо согласуются с изложенным выше механизмом рентгеновских барстов, основанным на тепловой неустойчивости термоядерного горения. Термоядерный характер барстов (типа I, другой тип II связан с неустой-чивостями аккреции) подтверждается тепловым спектром излучения барста (для типа II характерен жёсткий спектр) и измеренным отношением энергий, выделяемых в стабильном излучении и в барстах. Оно совпадает с отношением гравитационной энергии, выделяющейся при аккреции на нейтронную звезду, и энерговыделения термоядерных реакций синтеза. Продолжительность барстов согласуется с темпом термоядерной За-реакции. В одномерных численных расчётах хорошо воспроизводятся наблюдаемые времена роста барстов (секунды), продолжения (минуты) и повторения (часы), а также полная энергия (1039-Ю40 эрг) [24, 40, 59].

Однако в одномерных расчётах предполагается сферическая симметрия нейтронной звезды и, как следствие, одновременное инициирование термоядерного взрыва по всей по-

верхности. Время вспышек составляет десятки секунд, а интервал между ними — часы, так что для одновременного инициирования симметрия должна быть очень высока (с относительной точностью порядка Ю-4). В реальных барстерах такая симметрия не может быть обеспечена. Основным источником асимметрии является вращение нейтронной звезды (200600 Гц). Также асимметричным может быть локальный темп аккреции вследствие существования аккреционного диска [74] и пограничного слоя [9, 67]. На поверхности могут существовать долгоживущие течения (например, вихревые). Подобные асимметрии подтверждаются наблюдением килогерцовых квазипериодических осцилляций яркости в рентгеновских источниках.

Поэтому предполагается, что тепловая неустойчивость инициирует быстрое термоядерное горение в небольшом участке поверхностного слоя, которое затем распространяется вдоль всей поверхности звезды [49]. Принимая для оценок длительность нарастания фронта равной ~ 1 с, радиус нейтронной звезды ~ 10 км, получим скорость распространения волны горения ~ 100 км/с.

Простые оценки этой скорости опираются на аналитически вычисляемые параметры стационарных и плоских волн горения, способных распространяться в однородной среде. Если получаемые линейные размеры таких волн много меньше размеров, на которых существенно изменяются параметры рассматриваемой среды, то такая оценка вполне применима. Используемые модели включают детонацию, в которой горение распространяется за счёт сжатия вещества ударной волной, и дефлаграцию, в которой происходит кондуктивный или конвективный перенос энергии от горячих продуктов горения к несгоревшему веществу.

Зная размер и массу звезды, темп аккреции и промежуток между барстами, можно определить толщину накопившегося перед вспышкой слоя и плотность на его дне. Она составляет 106-107 г/см3. Для таких плотностей толщина детонационной волны оказывается больше масштаба изменения давления в атмосфере нейтронной звезды, что исключает возможность её развития [81]. Толщина дефлаграционной волны заметно меньше, но оценки её скорости дают значения ~ 0.01-0.1 км/с для кондуктивного переноса энергии и ~ 0.33 км/с —для конвективного [28, 38, 63], что заметно меньше скоростей, требуемых для объяснения наблюдаемых параметров барстеров.

Степень разработанности темы.

В одной из первых статей по теории рентгеновских барстеров (Джосс, 1978) [49] было отмечено, что тепловая неустойчивость изначально инициирует быстрое термоядерное горение в небольшом участке поверхностного слоя, которое затем распространяется вдоль всей поверхности звезды. Однако механизм этого распространения оставался невыясненным.

Открытие в 1996 г. осцилляций яркости на фронте некоторых барстов [58, 75, 78] было воспринято как подтверждение распространения горения, т. к. они доказывают начальную асимметричность нагрева поверхности нейтронной звезды. В последнее десятилетие были обнаружены четыре миллисекундных рентгеновских пульсаров, в которых происходят бар-сты [82]. Они подтвердили, что частота осцилляций равна частоте вращения нейтронной звезды. Однако в указанной интерпретации непонятно доминирующее обнаружение осцилляций за пиком горения и небольшое изменение их частоты.

Распространение термоядерного горения с 1950-х годов исследовалось в ядерных центрах СССР. Основные результаты и перспективы практического использования термоядерной детонации для энергетических целей изложены в обзоре 1998 г. JI. П. Феоктистова [20].

Детальные расчёты параметров волн термоядерной детонации и дефлаграции в гелии были проведены Тиммесом и Нимейером (2000) [81]. Были использованы условия однородного вещества и получены результаты для стационарных одномерных волн. Скорость детонации оказывается ~ 109 см/с, но её толщина больше масштаба изменения давления в атмосфере нейтронной звезды. Скорость дефлаграции заметно меньше требуемых значений.

Для завышенной плотности на дне слоя гелия (108 г/см3) Фрикселлом и Вусли [39] в 1982 г. был проведён двумерный расчёт зажигания и распространения горения. В данных условиях возможно распространение детонационной волны. Такие условия могут быть только для низких темпов аккреции на нейтронную звезду, так что она не может быть видна в рентгеновских телескопов. В такой системе один раз за десятки или сотни лет происходят очень энергичные термоядерные взрывы. Авторы указанной статьи предположили, что этот процесс может быть механизмом гамма всплесков. Но получаемый тепловой спектр несовместим с современными наблюдениями этих явлений.

В 2001 г. этот расчёт был повторён на современном уровне с помощью кода FLASH [46]. Предполагалось, что он будет опорным для дальнейших более реалистичных расчётов. Но последние так и не удались.

Альтернативный сценарий распространения горения был предложен Спитковским, Левиным и Ушомирским (2002) [76]. Они учли вращение звезды и показали, что в этих условиях на её поверхности при барстах будут образовываться долгоживущие вихри. Данный сценарий может быть основным механизмом осцилляций, дрейф вихрей объясняет изменение их частоты. Но предположение авторов указанной статьи, что они могут быть механизмом распространения горения, не было обосновано, потому что в их модели отсутствовал баланс энергии.

Левин с другими соавторами в 2012 г. провёл численное моделирование этого процесса в упрощённой постановке [37] (параметры вращения на полюсе взяты как условия на всей поверхности, которая выбрана плоской). Однако в использованной авторами методике перенос энергии оказывается столь эффективным, что слой оказывается изотермическим еще до вспышки. Перенос горячего вещества над слоем приводит к прогреву холодных участков, что оказывается механизмом распространения горения (аналог дефлаграции). Столь быстрый прогрев верхних участков слоя представляется нереалистичным. В этой модели распространение горения от экватора не происходит, хотя именно на экваторе скорее всего должны достигаться условия для зажигания.

Цели и задачи

Целью исследования является поиск механизма распространения термоядерного горения в поверхностных слоях нейтронных звёзд при рентгеновских барстах согласующегося с данными наблюдений.

Для этого решаются следующие задачи:

1) Исследование зажигания и распространения горения в ограниченных областях на качественном уровне с помощью простых моделей.

2) Исследование зажигания и распространения термоядерного горения в слое на поверхности аккретирующей нейтронной звезды с использованием простых качественных моделей и прямого численного моделирования.

3) Исследование роли турбулентности для развития зажигания при термоядерных взрывах в поверхностном слое.

4) Оценка реализуемости разных режимов зажигания и распространения термоядерного горения при рентгеновских барстах, сравнение с данными наблюдений.

Научная новизна

К новым научным результатам, полученным в данной работе, относятся:

1) Простая модель зажигания и распространения горения в ограниченной области, позволяющая качественно исследовать их режимы и оценить временные и энергетические параметры.

2) Малозонная модель тонкого поверхностного слоя, учитывающая генерацию и перенос энергии, эволюцию состава за счёт реакций, приток вещества снаружи (аккрецию) и его перетекание между слоями.

3) Модель и оценка параметров волн распространения термоядерного горения в слое на поверхности нейтронной звезды.

4) Обоснование механизма распространения горения вследствие самоподжатия слоя веществом, поднимающимся при локальном зажигании и переносимом вдоль поверхности, оценка его параметров.

5) Применение полуэмпирической Ке модели турбулентности со стандартными значениями параметров для численного моделирования термоядерных взрывов звёзд.

Теоретическая и практическая значимость

Ценность исследования заключается в согласовании теоретических моделей термоядерных взрывов нейтронных звёзд (барстов) с данными наблюдений. Для этого требуется устранить расхождение в оценках скоростей различных режимов распространения термоядерного горения, которые могут реализоваться в слое на поверхности нейтронной звезды, с наблюдаемым временем роста барстов.

Практическая значимость работы состоит в

1) Развитии моделей распространения горения.

2) Построении простой малозонной модели, позволяющей проводить исследования процессов зажигания и распространения горения в ограниченной области (шнуре или слое).

3) Тестировании численных методик и Ке модели турбулентности с привлечением качественно новых процессов, для которых существуют многочисленные экспериментальные данные.

Методология и методы исследования

Теоретической основой исследования являются модели химической кинетики, рассматривающие различные режимы инициирования и распространения горения.

Термоядерный барст является примером теплового взрыва, теория которого создана и развита Н.Н.Семёновым и Д. А. Франк-Каменецким [21, 73]. Применим эту теорию для качественного изучения термоядерных барстов и оценок их параметров. Она позволяет определить условия зажигания, как накопление некоторой критической массы вещества. Определяющим параметром для развития вспышки является время зажигания (или индукции). Это время равно бесконечности для критического значения массы и резко сокращается при накоплении сверх критического значения. Когда время зажигания меньше характерного времени изменения массы, происходит тепловой взрыв. Если потери вещества за это время незначительны, то вспышке ничего не мешает, вещество затем быстро выгорает при высокой температуре.

Теоретические модели химической кинетики [14, 22], позволяют получить оценки для различных стационарных режимов распространения горения с учётом разных физических механизмов генерации, переноса и потери энергии. Эти стационарные режимы определяются не условиями зажигания, а параметрами на максимуме горения. Можно исследовать распространение горения в условиях неодновременного зажигания. Величина, обратная к градиенту времени индукции, даёт оценку начальной скорости спонтанного распространения горения. В дальнейшем развитие вспышек порождает перенос вещества и энергии в продольном направлении, что, при определённых условиях, может привести к распространению горения.

Одной из методологических основ исследования является использование малозонных моделей типа теории «мелкой воды» [12, §108], дополненных учётом переноса энергии и эволюции состава вследствие аккреции и реакций. Такое обобщение позволяет изучать на качественном уровне процессы зажигания и распространения горения.

Для качественных оценок критериев и параметров зажигания, переноса вещества и энергии в слоях на поверхности нейтронных звёзд удобно использовать простые модели, в которых вертикальные распределения газодинамических параметров заменены на несколько величин — средних значений по глубинам небольшого числа слоёв. Для условий гидростатического и теплового равновесия такие модели вполне адекватны, но они также позволяют исследовать устойчивость равновесия и при его потере оценить время зажигания. Такой под-

ход во многом эквивалентен теории теплового взрыва Семёнова. Однослойные модели давно и успешно применяются для качественного исследования рентгеновских барстеров [65]. Учёт двух компонент аккретируемого вещества (водород и гелий) с качественно отличными характеристиками термоядерных реакций требует построения, по меньшей мере, двухслойных моделей. Эти модели можно обобщить для описания слоя с неоднородными условиями.

Также исследования опираются на численные методики, созданные и развиваемые в РФЯЦ ВНИИТФ, применяемые для решения разных задач физики плазмы. Другой методологической основой являются данные наблюдений космических рентгеновских телескопов за термоядерными рентгеновскими барстерами [80].

Положения, выносимые на защиту

1) Получена простая и достаточно общая оценка условий и времени зажигания при взрывном горении в ограниченной области.

2) Получены простые оценки параметров распространения термоядерного горения в слое на поверхности нейтронной звезды в разных режимах.

3) Построена простая малозонная модель, учитывающая все основные процессы генерации и переноса энергии, потоков вещества вдоль слоя и между слоями (включая аккрецию извне), позволяющая на качественном уровне исследовать различные процессы при термоядерных взрывах в слое на поверхности нейтронной звезды.

4) Зажигание термоядерного горения в локальной области на поверхности нейтронной звезды вызывает подъём вещества этой области. Дальнейшее его растекание вдоль поверхности способствует синхронизации зажигания в различных областях нейтронной звезды вследствие их дополнительного поджатия.

Степень достоверности.

Достоверность результатов исследования подтверждается сравнениями аналитических оценок, полученных в простых моделях, численного моделирования по качественно различным программам и экспериментальных данных, полученных рентгеновскими телескопами.

Апробация результатов и публикации.

Результаты исследований, представленные в диссертации, были опубликованы в 5 статьях [1-5] в журналах из списка ВАК, рекомендуемых для опубликования результатов диссертаций.

Результаты были представлены на следующих научных конференциях: Международная конференция «VII Забабахинские научные чтения» (Снежинск, РФЯЦ ВНИИТФ, 2003 г.), Международная конференция «Космология и астрофизика высоких энергий» (Москва, ИКИ, 2004 г.), Международная конференция «VIII Забабахинские научные чтения» (Снежинск, РФЯЦ ВНИИТФ, 2005 г.).

Структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и 5 приложений. Общий объём диссертации 191 страниц, она включает 69 рисунков. Список литературы включает 86 наименований.

Глава 1.

Рентгеновские термоядерные барстеры

В данной вводной главе приведены основные сведения о рентгеновских барстерах I типа, объясняемых термоядерными взрывами в поверхностных слоях нейтронных звёзд. Кратко описываются теоретические модели этих процессов, история их открытия и основные экспериментальные данные.

1.1. Термоядерное горение в звёздах

Термоядерные реакции являются основным источником энергии звёзд и определяющим фактором их эволюции на всех этапах, включая медленные изменения и быстрые взрывы. На медленных этапах эволюции звезда находится в устойчивом гидростатическом и тепловом равновесии. Тепловая устойчивость невырожденной звезды на этапе Главной последовательности объясняется её отрицательной эффективной теплоёмкостью, поэтому небольшие изменения энергии приводят к обратному изменению температуры и, как следствие, компенсирующему изменению темпа термоядерных реакций. Времена существенных изменений параметров таких звёзд (не учитывая устойчивые колебания) определяются временами выгорания вещества и составляют миллиарды лет.

Напротив, взрывные явления в звёздах длятся секунды. Они объясняются потерей гидростатической или тепловой устойчивости. Первый тип неустойчивости может привести к коллапсу звезды, наблюдаемому как вспышка сверхновой II типа [26, 83]. Тепловая неустойчивость горения объясняется сильной зависимостью скоростей реакций от температуры. Она реализуется, если темп энерговыделения растёт быстрее темпа отвода энергии. Развитие тепловой неустойчивости — зажигание — приводит к тепловому взрыву [44].

В неоднородной большой области зажигание может произойти локально, а затем горение распространиться на значительно большую область. Существуют разные механизмы распространения горения. В достаточно больших областях волны горения могут достичь стационарных состояния — детонации или дефлаграции. Также это приводит к тепловой устойчивости горения в ядре невырожденных звёзд.

Тепловая неустойчивость термоядерного горения в звёздах возможна в нескольких случаях. Во-первых, если ядро звезды находится в вырожденном состоянии. В белых карликах тепловая неустойчивость горения вырожденного углерод-кислородного вещества, может привести к взрыву, наблюдаемому как вспышка сверхновой (типа 1а) [47]. Во-вторых, если горение протекает не в центре, а на дне некоторого слоя. Так в звёздах промежуточных масс (6-8М0) на некотором этапе горение происходит в слое гелия, находящемся на некоторой глубине, а в центре гелий уже выгорел. Неустойчивость приводит к периодическим вспышкам. В двойных системах с вырожденной звездой-акцептором (белым карликом или нейтронной звездой) на поверхности последней образуется слой вещества. Тепловая неустойчивость термоядерного горения в этом слое может привести к квазипериодическим взрывам, наблюдаемым как вспышки повторных новых звёзд [41] или рентгеновские барсты [55, 77].

1.2. Рентгеновские двойные, аккреция, аккреционный диск и

пограничный слой

При вспышках сверхновых II типа может образоваться нейтронная звезда. Она может оказаться связанной гравитационно с другой звездой, т. е. входить в двойную систему. Для этого либо сверхновая должна вспыхнуть в двойной системе, либо нейтронная звезда должна быть захвачена двойной системой, которая при этом потеряет одну из компонент. Более массивная вторая невырожденная звезда теряет часть вещества, которое может быть захвачено нейтронной звездой. Так происходит процесс аккреции.

Вещество обладает большим моментом импульса, не потеряв который, оно не может упасть на звезду-акцептор. Вокруг последней образуется кольцевая структура — аккреционный диск [74]. Дифференциальное вращение приводит к генерации гидродинамических неустойчивостей, создающих механизмы диссипации энергии и момента импульса. Вещество опускается ближе к звезде-акцептору. При этом угловая скорость вращения возрастает до значений заметно больших скоростей вращения звезды. Для дальнейшего падения требуется дополнительно затормозить вещество в небольшом пограничном слое между аккреционным диском и звездой [9, 67].

Нейтронная звезда может быть меньше радиуса минимальной устойчивой орбиты. Тогда аккретируемое вещество падает практически свободно. Если звезда обладает сильным магнитным дипольным полем, то вещество падает практически полностью на её полюса.

Большая гравитационная энергия, выделяющаяся при падении на нейтронную звезду, как в аккреционном диске, так и на поверхности (примерно в равных долях), приводит к разогреву их вещества до температур в ~ 10 кэВ. Она переходит в излучение рентгеновского диапазона — так образуются рентгеновские двойные звёзды [70].

Если звезда-донор является тяжёлой, то она интенсивно теряет вещество через звёздный ветер. Такие системы называются рентгеновскими двойными большой массы (high mass X-ray binaries, HMXB). Эти системы могут быть только молодыми. Нейтронные звёзды могут сохранить большое магнитное поле и наблюдаться как рентгеновские пульсары.

На позднем этапе эволюции звезда-донор может расшириться больше полости Роша. Аккреция будет идти активно через точку Лагранжа. Такие системы называются рентгеновскими двойными малой массы (low mass X-ray binaries, LMXB). Эти системы достаточно старые. Нейтронные звёзды в них, как правило, имеют слабое магнитное поле.

1.3. Рентгеновские барстеры

Рентгеновские барсты [55, 77] — квазипериодические вспышки в некоторых рентгеновских двойных звёздах малой массы (барстерах). Акцептором в двойной системе является нейтронная звезда. Накапливаемое на поверхности вещество (обычного звёздного состава, в редких случаях — чистый гелий) сгорает в термоядерных реакциях. При определённых условиях термоядерное горение термически неустойчиво. Вследствие этого при накоплении слоя определённой толщины происходят термоядерные взрывы, наблюдаемые как рентгеновские барсты (I типа). Характеристики барстов в одном источнике могут заметно меняться со временем в соответствии с изменением темпа аккреции (см. рисунок 1.1).

Барсты I типа объясняются тепловой неустойчивостью термоядерного горения аккре-тируемого на поверхности нейтронной звезды. Родственный процесс — повторные новые, в которых донором является белый карлик.

Термоядерная природа подтверждается из наблюдаемых соотношения энергии, выделившейся в барсте, к полной энергии стабильного излучения между последовательными бар-стами (а), равной отношению удельных гравитационной энергии и энерговыделению термоядерных реакций (зависит от состава). Для наблюдаемых барстеров оценка темпа аккреции (по яркости стабильного излучения) лежит в диапазоне 0.01 < ш/rh-Edd ^ 1, где mi?dd — Эд-дингтоновский темп аккреции (максимально возможный для стационарной звезды). При

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Грязных, Дмитрий Анатольевич, 2013 год

Список литературы

6. Авраменко, М. И. О к-е модели турбулентности / М. И. Авраменко. — 2-е, перераб. и дополн. изд. - Снежинск: Изд-во РФЯЦ - ВНИИТФ, 2010. - 120 с.

7. Бисноватый-Коган, Г. С. Физические вопросы теории звездной эволюции / Г. С. Бисноватый-Коган. — Москва: Наука, 1989.

8. Зельдович, Я. Б. К теории равномерного распространения пламени / Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий // Доклады АН СССР. — 1938. - Т. 19.- С. 693-698.

9. Иногамов, Н. А. Слой растекания при дисковой аккреции на поверхности нейтронной звезды / Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев // Письма в Астрономический журнал. — 1999. — Т. 25, № 5. - С. 323-349.

10. Иногамов, Н. А. Слой растекания при дисковой аккреции на поверхности нейтронной звезды и проблема торможения быстроврагцающегося вещества / Н. А. Иногамов, Р. А. Сюняев // Письма в Астрономический журнал. — 2010. — Т. 36, № 12. — С. 896-945.

11. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — пер. с англ., 720 с.

12. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 10 томах / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 3-е, перераб. изд. — М.: Наука, 1986. — Т. VI: Гидродинамика. — 736 с.

13. Литвиненко, И. А. Моделирование трехмерного течения газа методом частиц на адаптивно-встраиваемой сетке / И. А. Литвиненко, О. Н. Павленко // Вопросы атомной науки и техники, сер. Математическое моделирование физических процессов. — 2003. — Т. 4,- С. 61.

14. Математическая теория горения и взрыва / Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт, В. Б. Либ-рович, Г. М. Махвиладзе. — М.: Наука, 1980. — 478 с.

15. Неуважаев, В. Е. Развитие турбулентного перемешивания, вызванное неустойчивостью Рихтмайера—Мешкова / В. Е. Неуважаев // Математическое моделирование, — 1991. — Т. 3, № 7. - С. 10-28.

16. Неуважаев, В. Е. Турбулентное перемешивание границы раздела в численном газодинамическом расчете / В. Е. Неуважаев, В. Г. Яковлев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1976. — Т. 16. — С. 440-450.

17. Неявная схема для численного моделирования физических процессов в лазерной плазме / Н. М. Барышева, А. И. Зуев, Н. Г. Карлыханов и др. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1982. — Т. 22, № 2. — С. 401-410.

18. О возникновении детонации в неравномерно нагретом газе / Я. Б. Зельдович, В. Б. Либ-рович, Г. М. Махвиладзе, Г. И. Сивашинский // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1970. — № 2. — С. 76-84.

19. Скотт, Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур / Э. Скотт. Фундаментальная и прикладная физика, — 2 изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.— пер. с англ., 560 с.

20. Феоктистов, Л. П. Термоядерная детонация / Л. П. Феоктистов // Успехи физических наук. - 1998. - Т. 168, № 11. - С. 1247-1255.

21. Франк-Каменецкий, Д. А. Распределение температур в реакционном сосуде и стационарная теория теплового взрыва / Д. А. Франк-Каменецкий // Журнал физической химии. - 1939. - Т. 13. - С. 738-755.

22. Франк-Каменецкий, Д. А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Д. А. Франк-Каменецкий. — 4-е изд. — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2008. — 408 с.

23. Шушлебин, А. Н. Численное моделирование двумерных газодинамических потоков в трехтемпературном приближении / А. Н. Шушлебин, В. Д. Фролов, В. А. Лыков // Вычислительные технологии, — Новосибирск, 1995. — Т. 4.

24. Ayasli, S. Thermonuclear processes on accreting neutron stars: A systematic study / S. Ayasli, P. C. Joss // The Astrophysical Journal. — 1982. — Vol. 256. — P. 637-665.

25. Belian, R. D. The discovery of X-ray bursts from a region in the constellation Norma / R. D. Belian, J. P. Conner, W. D. Evans // The Astrophysical Journal Letters. — 1976. — Vol. 206. — P. L135-L138.

26. Bethe, H. A. Supernova mechanisms / H. A. Bethe // Reviews of Modern Physics. — 1990. — Vol. 62. — P. 801-866.

27. Bhattacharyya, S. Signature of temporary burning front stalling from a non-photospheric radius expansion double-peaked burst / S. Bhattacharyya, Т. E. Strohmayer // The Astro-physical Journal. "— 2006. — Vol. 641. — P. L53-L56.

28. Bildsten, L. Propagation of nuclear burning fronts on accreting neutron stars: X-ray bursts and sub-Hertz noise / L. Bildsten // The Astrophysical Journal. — 1995. — Vol. 438. —

P. 852-875.

29. Canuto, V. M. Compressible turbulence / V. M. Canuto // The Astrophysical Journal. — 1997. — Vol. 482. — P. 827-851.

30. Canuto, V. M. Turbulence in stars. III. Unified treatment of diffusion, convection, semicon-vection, salt fingers, and differential rotation / V. M. Canuto // The Astrophysical Journal. — 1999. — Vol. 524. — P. 311-340.

31. Caughlan, G. R. Thermonuclear reaction rates V / G. R. Caughlan, W. A. Fowler // Atomic Data and Nuclear Data Tables. — 1988. — Vol. 40. — P. 283-334.

32. Cooper, R. L. A two-zone model for type I X-ray bursts on accreting neutron stars / R. L. Cooper, R. Narayan // The Astrophysical Journal. — 2006. — Vol. 652. — P. 584-596.

33. Discovery of intense X-ray bursts from the globular cluster NGC 6624 / J. Grindlay, H. Gursky, H. Schnopper et al. // The Astrophysical Journal Letters. — 1976. — Vol. 205. — P. L127-L130.

34. Discovery of X-ray burst triplets in EXO 0748-676 / L. Boirin, L. Keek, M. Mendez et al. // Astronomy and Astrophysics. — 2007. — Vol. 465. — P. 559-573.

35. End point of the rp process on accreting neutron stars / H. Schatz, A. Aprahamian, V. Barnard et al. // Physical Review Letters. — 2001. — Vol. 86. — P. 3471-3474.

36. Experimental investigation into the evolution of turbulent mixing of gases by using the OSA facility / Yu. A. Kucherenko, O. E. Shestachenko, Yu. A. Piskunov et al. // Laser and Particle Beams. — 2003. — Vol. 21. — P. 389-392.

37. Flame propagation on the surfaces of rapidly rotating neutron stars during Type-I X-ray bursts / Yu. Cavecchi, A. L. Watts, J. Braithwaite, Y. Levin // Monthly Notices of Royal Astronomical Society. — 2012. — Submitted.

38. Fryxell, B. A. Finite propagation time in multidimensional thermonuclear runaways / B. A. Fryxell, S. E. Woosely // The Astrophysical Journal. — 1982. — Vol. 261. — P. 332-336.

39. Fryxell, B. A. A two-dimensional model for 7-ray bursts / B. A. Fryxell, S. E. Woosely // The Astrophysical Journal. — 1982. — Vol. 258. — P. 733-739.

40. Fushiki, I. New insights from a global view of X-ray bursts / I. Fushiki, D. Q. Lamb // The Astrophysical Journal Letters. — 1987. — Vol. 323. — P. L55-L60.

41. Gallagher, J. S. Theory and observations of classical novae / J. S. Gallagher, S. Starrfield //

Annual Reviews of Astronomy and Astrophysics. — 1978. — Vol. 16. — P. 171-214.

42. Haensel, P. Equation of state and structure of an accreting neutron star / P. Haensel, J. L. Zdunik // Astronomy and Astrophysics. — 1990. — Vol. 229. — P. 117-122.

43. Haensel, P. Models of crustal heating in accreting neutron stars / P. Haensel, J. L. Zdunik // Astronomy and Astrophysics. — 2008. — Vol. 480. — P. 459-464.

44. Hansen, C. J. Steady-state nuclear fusion in accreting neutron-star envelopes / C. J. Hansen, H. M. Van Horn // The Astrophysical Journal. — 1975. — Vol. 195. — P. 735-741.

45. Harlow, F. H. The particle-in-cell computing method for fluid dynamics / F. H. Harlow // Methods of Computational Physics. — 1964. — Vol. 3. — P. 319-343.

46. Helium detonations on neutron stars / M. Zingale, F. X. Timmes, B. Fryxell et al. // The Astrophysical Journal Supplement Series. — 2001. — Vol. 133. — P. 195-220.

47. Hillebrandt, W. Type la supernova explosion models / W. Hillebrandt, J. C. Niemeyer // Annual Reviews of Astronomy and Astrophysics. — 2000. — Vol. 38. — P. 191-230.

48. Instability and turbulent mixing of ablatively accelerated thin layer / V. E. Neuvazhayev, V. A. Lykov, E. L. Ljagina et al. // Physics of Plasmas. — 1998. — Vol. 5. — P. 1094-1103.

49. Joss, P. C. Helium-burning flashes on an accreting neutron stars: A model for X-ray burst source / P. C. Joss // The Astrophysical Journal Letters. — 1978. — Vol. 225. — P. L123-L127.

50. Kato, S. Overstable convection in a medium stratified in mean molecular weight / S. Kato // Publications of Astronomical Society of Japan. — 1966. — Vol. 18. — P. 374-383.

51. Khokhlov, A. M. Mechanism for the initiation of detonations in the degenerate matter of supernovae / A. M. Khokhlov // Astronomy and Astrophysics. — 1991. — Vol. 246. — P. 383-396.

52. Launder, B. E. Lectures in mathematical models of turbulence / B. E. Launder, D. B. Spalding. — New York: Academic Press, 1972.

53. Launder, B. E. The numerical computation of turbulent flows / B. E. Launder, D. B. Spalding // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1974. — Vol. 3. — P. 269-289.

54. Ledoux, P. Stellar models with convection and with discontinuity of the mean moleacular weight / P. Ledoux // The Astrophysical Journal. — 1947. — Vol. 105. — P. 305-321.

55. Lewin, W. H. G. X-ray bursts / W. H. G. Lewin, J. van Paradijs, R. E. Taam // Space Science Reviews. — 1993. — Vol. 62. — P. 223-389.

56. Liberman, M. Introduction to Physics and Chemistry of Combustion / Michael Liberman. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — 360 p.

57. Millisecond oscillations and photospheric radius expansion in thermonuclear X-ray bursts / M. P. Muno, D. Chakrabarty, D. K. Galloway, P. Savoy // The Astrophysical Journal Letters.

— 2001. — Vol. 553. — P. L157-L160.

58. Millisecond X-ray variability from an accreting neutron star system / T. E. Strohmayer, W. Zhang, J. H. Swank et al. // The Astrophysical Journal Letters. — 1996. — Vol. 469.

— P. L9-L12.

59. Models for Type I X-ray bursts with improved nuclear physics / S. E. Woosley, A. Heger, A. Cumming et al. // The Astrophysical Journal Supplement Series. — 2004. — Vol. 151.

— P. 75-102.

60. Mohammadi, B. Analysis of the K-Epsilon Turbulence Model / B. Mohammadi, O. Pironneau.

— New York: John Wiley & Sons, 1994.

61. Narayan, R. Thermonuclear stability of material accreting onto a neutron star / R. Narayan, J. S. Heyl // The Astrophysical Journal. — 2003. — Vol. 599. — P. 419-449.

62. Niemeyer, J. C. Turbulent nuclear flames in type la Supernovae / J. C. Niemeyer, W. Hillebrandt // The Astrophysical Journal. — 1995. — Vol. 452. — P. 769-778.

63. Nozakura, T. Lateral propagation of the helium shell flash on an accreting neutron star / T. Nozakura, S. Ikeuchi, M. Y. Fujimoto // The Astrophysical Journal. — 1984. — Vol. 286. — P. 221-231.

64. Paczynski, B. Models of X-ray bursters with radius expansion / B. Paczyriski // The Astro-physical Journal. — 1983. — Vol. 267. — P. 315-321.

65. Paczynski, B. A one-zone model for shell flashes on accreting compact stars / B. Paczynski // The Astrophysical Journal. — 1983. — Vol. 264. — P. 282-295.

66. Patruno, A. Accreting millisecond X-ray pulsars / A. Patruno, A. L. Watts // Timing neutron stars: pulsations, oscillations and explosions / Ed. by T. Belloni, M. Mendez, C. M. Zhang.

— Springer, 2012.

67. Popham, R. Accretion disk layers arounf neutron stars: X-ray production in low-mass X-ray binaries / R. Popham, R. Sunyaev // The Astrophysical Journal. — 2001. — Vol. 547. — P. 355-383.

68. Prandtl, L. Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz / L. Prandtl // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1925. — Bd. 5. — S. 136-139.

69. Prandtl, L. Essentials of fluid dynamics / L. Prandtl. — London: Blakie, 1952.

70. Psaltis, D. Accreting neutron stars and black holes: a decade of discoveries / D. Psaltis // Compact Stellar X-ray Sources / Ed. by W. Lewin, M. van der Klis. — New York: Cambridge University Press, 2006. — Cambridge Astrophysics Series no. 39. — P. 1-38.

71. Rayleigh, L. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side / L. Rayleigh // Philosophical Magazine. — 1916. — Vol. 32, no. 6. — P. 529-546.

72. Schwarzschild, M. Evolution of very massive stars / M. Schwarzschild, R. Harm // The Astrophysical Journal. — 1958. — Vol. 128. — P. 348-360.

73. Semenoff, N. N. Zur theorie des verbrennnungsprozesses / N. N. Semenoff // Zeitschrift fur Physik. — 1928. — Bd. 48, H. 8. — S. 571-582.

74. Shakura, N. I. Black holes in binary systems, observational appearance / N. I. Shakura, R. A. Sunyaev // Astronomy and Astrophysics. — 1973. — Vol. 24. — P. 337-355.

75. Smith, D. A. Rossi X-ray Timing Explorer discovery of coherent millisecond pulsation during an X-ray burst from KS 1731-260 / D. A. Smith, E. H. Morgan, H. Bradt // The Astrophysical Journal Letters. — 1997. — Vol. 479. — P. L137-L140.

76. Spitkovsky, A. Propagation of thermonuclear flames on rapidly rotating neutron stars: Extreme weather during Type I X-ray bursts / A. Spitkovsky, Y. Levin, G. Ushomirsky // The Astrophysical Journal. — 2002. — Vol. 566. — P. 1018-1038.

77. Strohmayer, T. New view of thermonuclear bursts / T. Strohmayer, L. Bildsten // Compact Stellar X-ray Sources / Ed. by W. Lewin, M. van der Klis. — New York: Cambridge University Press, 2006. — Cambridge Astrophysics Series no. 39. — P. 113-156.

78. Strohmayer, T. E. 363 Hz oscillations during the rising phase of bursts from 4U 1728 — 34: Evidence for rotational modulation / T. E. Strohmayer, W. Zhang, J. H. Swank // The Astrophysical Journal Letters. — 1997. — Vol. 487. — P. L77-L80.

79. Successive X-ray bursts from accreting neutron stars / R. E. Taam, S. E. Woosley, T. A. Weaver, D. Q. Lamb // The Astrophysical Journal. — 1993. — Vol. 413. — P. 324-332.

80. Thermonuclear (type I) X-ray bursts observed by the Rossi X-ray Timing Explorer / D. K. Galloway, M. P. Muno, J. M. Hartman et al. // The Astrophysical Journal Supplement Series. — 2008. — Vol. 179. — P. 360-422.

81. Timmes, F. X. Regimes of helium burning / F. X. Timmes, J. C. Niemeyer // The Astro-

physical Journal. — 2000. — Vol. 537. — P. 993-997.

82. Watts, A. L. Thermonuclear burst oscillations / A. L. Watts // Annual Reviews of Astronomy and Astrophysics. — 2012. — Vol. 50. — P. 609-640.

83. Woosley, S. E. The evolution and explosion of massive stars / S. E. Woosley, A. Heger, T. A. Weaver // Reviews of Modern Physics. — 2002. — Vol. 74. — P. 1015-1071.

84. Woosley, S. E. Presupernova models: Sensitivity to convective algorithm and Coulomb corrections / S. E. Woosley, T. A. Weaver // Physics Reports. — 1988. — Vol. 163. — P. 79-94.

85. X-ray bursts from the accreting millisecond pulsar XTE J1814 — 338 / T. E. Strohmayer, C. B. Markwardt, J. H. Swank, J. in't Zand // The Astrophysical Journal Letters. — 2003. — Vol. 596. — P. L67-L70.

86. Zeldovich, Y. B. Regime classification of an exothermic reaction with nonuniform initial conditions / Ya. B. Zeldovich // Combustion and Flame. — 1980. — Vol. 30. — P. 211-214.

Приложение А. Горение сферы, шнура или слоя

В качестве примера системы, описываемой моделью из раздела 2.1, рассмотрим горение ограниченной области — шара, шнура или слоя — радиуса R. Будем обозначать размерность d = 3, 2,1 для этих трёх случаев. Считаем плотность р, температуру Т и концентрацию топлива X постоянными величинами в области. Площадь поверхности, объём и масса равны

S = QdRd~1, V = ]ildRd, M = pV

d

где Six = 1, Г22 = 7г, Г23 = Аж.

Рассмотрим закон теплопроводности

F = -—VT',

ртп

где I ^ 1, m ^ 0. Для радиационной теплопроводности и толстого (оптически непрозрачного слоя) с постоянной непрозрачностью к имеем

, л 1 .ас

I = 4, m = 1, к = —.

Зк

Для тонкого (оптически прозрачного слоя) слоя m = 0.

Зададим внешнюю температуру То. Поток на границе считаем равным

г_ к П-Т1 pm R

Разумеется, правильным будет построение стационарного распределения температуры в области с заданной температурой Т в центре и Т0 на границе, как это делается в стационарной теории Франк-Каменецкого [14, гл. 2]. Но такое аккуратное рассмотрение, как и учёт распределений р и X, приведёт только к включению в уравнения безразмерных множителей порядка единицы.

Динамика горения описывается уравнением

8Х

— = —Xnpn~1q(T). (А.1)

Закон изменения температуры области будет иметь вид

Mcf = -Р^ + A (Т< _ т1) | + MQXnpn~1q(T), (А.2)

где С — теплоёмкость области, Q — тепловой эффект реакции, Р — давление на границе (можно задать уравнением состояния Р — Р(р,Т,Х)).

Соотношение темпов нагрева и охлаждения зависит от параметра

Е = pm+nR2.

Если (m + n)d Ф 2, то р выражается через Е:

__2

id \ (™+")<*-2 d р=[—М J

С этим обозначением можно переписать (А.2)

Ef = + ^ « " т')+

Система уравнений (А.1) и (А.2) будет частным случаем модельной системы (2.1), если пренебречь нагревом за счёт сжатия, Е переобозначить как М, QIC — как Q, функцию охлаждения определять как

L(T, М,Х) = ?—dkTl, О

а темп реакции — как

R(T, М, X) = Xnpn~1q(T), где плотность р должна быть выражена через М = Е.

Приложение В. Модель замыкания системы уравнений многозонного

слоя

Для замыкания системы уравнений динамики многозонного слоя (3.2) требуется ввести предположения о вертикальной структуре слоёв, выразив её через имеющиеся параметры.

Силу тяжести считаем постоянной: </? = дх. Возможно, д зависит от продольных координат. В слое считаем установившимся гидростатическое равновесие, на верхней границе Р0 = 0. Тогда Р = ду.

Используем уравнение состояния идеального газа

„ рТ аТ4 „ 3 Т аТ4 /л 6 2 р, р

Плотность потока энергии

¥ = - — ЪТ\ Зкр

Считаем, что в слое г (уг-1 ^ У ^ Уг) являются постоянными параметр р, = рг и непрозрачность к = кг, которые могут зависеть от состава X.

Считаем, что на дне слоя температура заметно выше, чем наверху. Термоядерные реакции тогда протекают, главным образом, на дне. Считаем что сразу над границей слоя вертикальная компонента плотности потока энергии Рг скачком меняется от до Р2л1- \ и остаётся постоянной при уг~\ ^ у < уг. Обозначим

1г =

г,г— 1

сд

Температуры Тг на границах слоёв у = уг равны

3 9

з=1

Распределения температуры и плотности в слое имеют вид

т* = тги + -ег(у-уг-О,

9 = 9

а

г

7т

аТ4

Уг-1 -^ + (1- ¿г) (У -Уг-1)

3 д

Из требования положительности плотности и температуры получаем условия

г г

3=1 3=1

Далее следует найти величины

¿у

Г йУ и - - Г

Уг~ 1 Р

ГУг у I I ГУг ^

Гг = д *с1у = ——- +

¿Уг-! Р 1 1- 1г ]=1

ГУ, ГУ 9Р

/ дгйу = - —г ¿г = -Рг_^^ + Рггг + Тг = Мгдгг - уг-ХдК + Рг,

•>Уг-1 " Уг— 1 аг

ГУ ** Уг—1

/5 з \ 3 г~1 г_±

Мг£г = Мгдгг + + + £г) М3дкг - ^ М3дНг.

ГУг Я

/ Ейу = ЪТг-—\ Тйу

У г—1

-1 г—1

3=1 3=1

Оставшиеся два интеграла можно вычислить аналитически, заменяя переменную интегрирования с у на Т:

с1у 4 Т4 г1Т

Гу1 ву _ 4 Г 1 Л,_! Р 9Рг (1 - А) Уг.-!

^ ^г(2? ~ " ^+т4

Для самого верхнего слоя При этом 0 < 1\ < 1.

Для всех слоёв получаем

N

j=i

j=i

/г,

д^г (1 - ¿г)

Г

T*dT

4 ЕД V1 № - TU) ~ + Т4

тг =

1 4 М1Ч)5

г—1

^ г—1 . г—1

г 5=1 J г J=1

'5 3

Мгег = Мгдгг + I - + -ег

5=1

1 4

2 2 7 /хг (1 - 4) 5

1 г_1

МЛ + у^^МАТг-Т^)

5 = 1

г—1

5 = 1

5 = 1

При этом должно выполняться условие 0 < *3М3 < М3.

Пусть скорость реакции в слое задаётся кинетикой типа Аррениуса:

Д = (^ехр X".

Считаем, что температура в слое Т<ГП так что темп реакции резко возрастает на дне. При усреднении темпа реакции по глубине слоя пользуемся соотношением между температурой и плотностью, получаемого для верхнего слоя:

Р = дДгОТ —-,

а концентрацию топлива считаем постоянной X = Хг. Получаем

Я

- Г " К L-г

гр4 / гр

Rdy = 4гпЛ г„л К "

тгА - ти "*\тг

где темп реакции на дне слоя равен

3(n-l)-m+4 /гр \ pTJTr

expf^f / xz^-n+ze-l'xdx,

J JT^/Tr

T,

Rt = XPr1(^) exp

Tr

Для натуральных а

/

x

ae~1/xdx =

(-i)a (а + 1)!

e-V^i-lf j\x>+1 - E^l/x)

5=0

где интегральная показательная функция Е\ (z) определена как

г, , n f°° kJk

ад-у е

Разложение в ряд даёт

Таким образом,

.7=0

Поэтому, если во всём слое Т -С Тг, то

АМ \ %) 1гМг \ Тг

Конечно, вклад верха слоя (Е^-х) ничтожен, но он точно компенсирует темп реакции в верхних слоях, который иначе бы был добавлен в рассматриваемый слой.

Найдём также выражение для горизонтальных компонент плотности потока энергии. Пусть рассматриваемая точка попадает в слой г. Имеем распределение температуры по высоте

Т = Тг-^-( 1 _ 4) (г - г,).

Тогда

В частности,

¥ = -

4с £г

К>г№г 1 ^г

т гр

УТг + М (1 _ 1г) Угг + чег

р , = Р — V Р

1—1 — ± г "г, р » <-и

кг I — с,.

4с Д Ег =---—

■УТг - ^ДУг,. к.

Далее найдём

Л

ггг

2,

+ 1 4

=-п

^ (1

— /

- к-,

Г' Ес?Т = Л,К -

2 кг 1

Приложение С. Параметры уравнения состояния и скоростей реакций

Рассмотрим реакции горения водорода в СМО-цикле и гелия в За-реакции. Массовые концентрации водорода и гелия будем обозначать X и У соответственно. Обозначим Z = 1 — X — У массовую концентрацию тяжёлых элементов. В этой смеси определим

1

Темп СМО-цикла считаем не зависящим от температуры

■^сж) = ^сгчо^, Асио = 9.1 х 10 4 с 1.

Энерговыделение равно

бсмо = ¿ою-Ясмо, ^смо = 6.4 х ю18 эрг/г.

Темп За-реакции равен

где

Энерговыделение равно

еза = ЕзаК-за, Е3а = 5.84 х 1017 эрг/г.

Приложение D. Распределение вещества на поверхности вращающейся

звезды

Решим задачу о распределении вещества на поверхности вращающейся звезды. Считаем, что подавляющая масса находится в центре, так что во вращающейся системе отсчёта потенциал силы тяготения и центробежной силы известен. Построим криволинейную систему координат (СК), в которой эквипотенциальные поверхности являются координатными. Найдём эффективную силу тяготения |a§| (или g в общепринятых обозначениях), которая имеет минимальное значение на экваторе и увеличивается к полюсам. Если приток вещества на поверхность (аккреция) не нарушает гидростатического равновесия, то локальная плотность темпа аккреции обратно пропорциональна |a§|.

Криволинейные системы координат

Приведём основные сведения о криволинейных системах координат [11, гл. б].

Рассмотрим криволинейную СК, в которой положение г задаётся тройкой чисел {ж1, х2, ж3}, являющих однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями прямоугольных декартовых координат:

х1 = xl(x,y,z), х2 = x2(x,y,z), х3 = x3(x,y,z).

Будем нумеровать их латинскими буквами. Якобиан преобразования

д(х1,х2, х3) о d{x,y,z)

Координатные поверхности отвечают сохраняющейся координате: хг = const. Координатные линии отвечают двум сохраняющимся координатам.

Элемент длины дуги задаётся квадратичной дифференциальной формой

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = ^ = gl3{xl,x2, x3) dxldx3,

13

где компоненты метрического тензора равны

/1 2 з\ _ дха дха _ дх дх ду ду дг дг д13{х ,х ,х ) = ^ д%1 д%3 = + + о^о^-

а

Обратным к нему будет тензор

дхг дх3 дхр* дх?*

а

Будем рассматривать правые СК, для которых

д = с^ [дгз{х\х2,:г3)] > 0.

Элемент объёма равен

¿V = л/дйх1йх2йх2.

Вдоль координатных линий определяют тройку векторов {ех, е2, е3}:

_ ^гс . ду . дг

Их можно нормировать и определить тройку единичных векторов {^^^з}:

. 1

^г ,-•

Л/Лг

Для векторного поля а(г) вводят контравариантные координаты аг = {а1, а2, а3} и физические координаты а-г = {а^, 05,03}:

а = + а^2 + а^з = °1е1 + а2е2 + а3ез-

Правила преобразования дают:

Г— г г \ ^ дхг ^ дха г

а г

Криволинейная СК называется ортогональной, если дгк — 0 для г Ф к. Будем рассматривать правые СК, для которых д = <?22$зз > 0. Для ортогональной системы

х 64

% 9гг '

дхг 1 дха

дха дгг дхг'

ддгг 2^дха д2ха

дх/, дхг дхгдхк'

а

ддг] д2ха дха 1 ^ дха д2хс

Ей ха иха иха и Ха __/ / Л

^ дхгдхк дхэ дхЮхк ~ ^гЗ)-

К а а

В ортогональной СК скалярные произведения векторов в физических координатах равны

а • Ь = аф^ + аф^, +

Градиент скалярного поля:

, 1 да

Дивергенция векторного поля:

- — У — (

9_ 9кк

к

Производные по направлению скалярного поля:

/ v7\ V^ Ч да

Лапласиан скалярного поля:

Да - — У — ( ^ да\ ^д дхг V 9гг дхг) '

Для определения криволинейных интегралов запишем векторный элемент линии dv = dsiii + ds2 i2 + ds3 i3 = y/g^dx1^ + y/g^dx2i2 + y/g^dx\,

где

dsi = y/gndx1, ds2 = y/g^dx2, ds3 = ^/g^dx3,

есть физические координаты элемента линии.

Если поверхность S есть координатная поверхность хк = const, координаты (хг,х3) образуют на этой поверхности (ортогональную) СК, то направленный элемент поверхности

dS = ^/gngn'ikdxldx3 = dslds:i ifc.

Элемент объёма равен

d,V = yfgdxldx2dx3 = ds\ds2ds3.

Примером ортогональной СК является сферическая СК {ж1, х2, ж3} = {в,ф,г}, для которой

х = г sin в eos ф, у = гвтввтф, z = rcos9.

Обратные преобразования дают

г = у/х2 + у2 + -г2, 9 = arceos Z . ф = arctan —.

у/х2 +у2 + z2' х

Компоненты метрического тензора равны

9rr = 1, дев = г2, дфф = г2 sin2 9.

Осесимметричная ортогональная СК с заданным семейством

координатных поверхностей

Пусть {хг,х2 = ф, х3} — осесимметричная ортогональная СК, для которой известно семейство координатных поверхностей, отвечающих радиальной координате:

х3 = ж3 (г, 9).

Координатные поверхности х3 = const топологически подобны сферам (по крайней мере, в некотором диапазоне значений ж3). Требуется найти другую координату

х1 = хг(г,9),

и вычислить соответствующие компоненты тензора дп, 9зз■ Координата ф не изменяется, 922 = 9фф = г2 sin2 9.

Закон преобразования тензоров даёт

(dxl\2 [дх3\2

J ^HarJ 9ал = 9г"

(dxl\2 (dx3\2

ум)911 + 933 = 9m

дх1 дх1 дх3 dx3

Получим

__grrgeo_

933 ~~ (дх3\2 (dx3\2'

дх3dx3

_ _ ЖЖП

дг д9

дх3дх1 дх3дх1

(D.la)

(D.lb) (D.lc)

Структура вращающейся звезды в гидростатическом равновесии

Рассмотрим вращающуюся звезду. Пусть она вращается как твёрдое тело. Считаем, что её гравитационное поле создано большой массой M в центре. Во вращающейся системе отсчёта силы гравитации и инерциальная центробежная сила потенциальны,

<р(г, в) = -G— - -u2r2 sin2 в. (D.2)

т 2

Введём осесимметричную ортогональную СК {ж1, ж2 = ф, ж3}. Считаем, что эквипотенциальные поверхности отвечают координатным поверхностям ж3 = const, т. е. ip = <р(ж3). Напряжённость гравитационного поля имеет только одну компоненту:

аз =

1 dip л/дззЛх3

JL + — (О^2 '1

две \d9 J grr \dr

2

= — I a

з1 •

Рассмотрим звезду в гидростатическом равновесии и с баротропным уравнением состояния Р = Р(р). Условие гидростатического равновесия имеет вид

VP = pa,

что в новой СК приводит к условию р = р(ж3) и

dP__ dip Р

Элемент длины координатной линии ж1 = const, ж2 = const равен

dh = Vd^dx3

■ dtp

\Ч\

Для вращающейся звезды существует последняя устойчивая изоповерхность <р. Для точки на экваторе (г = г1; в = 7г/2) условием устойчивости будет

4 - ш < 1 <D-3>

Рассмотрим координатную линию ж2 = const, ж3 = const. В координатах (г, в) она задаётся уравнением

dp, д<р -dr + ^dB = 0.

Изменение координаты х1 вдоль неё задаётся выражением

дх^ дх^ dx1 = —dr + —~d9. or дв

Элемент длины равен

dh = л/gTidx1,

элемент площади координатной поверхности х3 = const

dS3 = dh