Теоретико-игровые задачи со случайной продолжительностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Громова, Екатерина Викторовна

• Громова, Екатерина Викторовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Громова, Екатерина Викторовна

1.5.3 Другие модели....................................... 56

2 Дифференциальные игры со случайным моментом окончания 57

2.1 Постановка задачи. Игра Г^(жоДо, Ту) ..................... 57

2.2 Упрощение интегрального выигрыша в игре

Г^(жоДо,7у)............................................... 59

2.2.1 Пример. Упрощение интегрального выигрыша в игре

Г^(жоДо,7/)......................................... 64

2.2.2 Смешанный вид выигрыша в игреГ^(жоДо,7у)........... 66

2.2.3 Об упрощении функции выигрыша в линейно-квадратичных

дифференциальных играх.............................. 68

2.2.4 Пример. Об упрощении выигрыша в линейно-квадратичных

дифференциальных играх.............................. 71

2.3 Кооперативный вариант игрыГ^(жоДо,7у)..................... 73

2.3.1 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.......... 73

2.3.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Другой способ

вывода....................................... 77

2.3.3 Пример игры (программные стратегии) . . 79

2.3.4 Пример игры Г^(жоДо, ?/) (позиционные стратегии) ... 81

3 Дифференциальные игры со случайным моментом окончания.

Модификации 88

3.1 Дифференциальные игры с дисконтированием

и случайным моментом окончания. Описание игры

Г^ДжоУо,7у).......................................... 88

3.1.1 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана для игры

Г^^(жоДо,7у)................................... 91

3.1.2 Пример игры Г^ДжоУо, Ту) (программные стратегии) . . д2

Оглавление

4

3.2 Описание игры Г^"(жо,^О'Ту)........................... 96

3.2.1 Пример игры игры (программные стратегии) 98

3.2.2 Пример игры игры (позиционные стратегии) 106

3.3 Дифференциальные игры со случайным моментом окончания и асимметричными игроками.

ИграГ^"'^(жоДо,7у)....................................109

3.3.1 Упрощение функции выигрыша в игреГ^"'^(жоДо,7/) НО

3.3.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана в игре

Г^"^(жоДо,Т/) ..................................111

3.4 Дифференциальные игры с составной функцией распределения

случайного момента окончания..........................112

3.4.1 Описание игры Г^(жоДо)..........................112

3.4.2 Два вида переключений функции ҒД) в игре Г^(жоДо) - Н6

3.4.3 Пример игры Г^(жоДо)............................116

3.5 Дифференциальные игры со случайным моментом начала игры 123

3.5.1 Постановка задачи. Игра Г^Д^оДо,Ту) ............123

3.5.2 Упрощение выигрыша в игре Г^Джо До, Ту).........123

4 Игры со случайной продолжительностью. Задача минимизации риска 125

4.1 Постановка задачи.....................................125

4.2 Минимизация дисперсии интегрального выигрыша..........127

4.3 Второй момент как функция выигрыша....................131

II Кооперативные дифференциальные игры со случайной про-

Оглавление

5

должительностью в форме характеристической функции 133

5 Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью 134

5.1 Устойчивая кооперация в кооперативнв1х дифференциалвнвгх иг-

рах с предписанной продолжителвноствю...................134

5.1.1 Основнвю понятия..................................134

5.1.2 Принцип динамической устойчивости в игре Гу(фо,Ф,Ту) 138

5.1.3 Защита от иррационалвного поведения участников .... 141

5.1.4 Условия защитв1 от иррационалвного поведения для коа-

лиций ...........................................142

5.1.5 Пример. Динамически устойчиввш вектор Шеи ли в игре

Гу(жо,Ф,ТД.......................................144

5.2 Силвно динамически устойчивое С-ядро в игре

Гу(жо,Ф,Ту)............................................153

5.2.1 Алгоритм построения силвно динамически устойчивого

С-ядра...........................................161

5.2.2 Алгоритм построения опорного решения для игрв1 2 лиц 162

5.2.3 Пример. Силвно динамически устойчивое решение в игре

двух лиц.........................................164

5.2.4 Пример. Силвно динамически устойчивое решение в игре

трех лиц.........................................172

5.3 О построении характеристической функции в игреГ(жо,6дТД . 173

5.3.1 а-характеристическая функция в игре Г(жо,Ф,7/) . . . 175

5.3.2 (5-характеристическая функция в игре Г(жо,6дТД. . . . 179

5.3.3 характеристическая функция в игре Г(жо,6дТД . . . 182

Оглавление

6

5.3.4 Пример построения а-, характеристической функ-

ции в игре Г(жо,^о,?/) ..........................185

5.4 Двухуровневая кооперация...............................189

5.4.1 Игра с заданной коалиционной структурой..........189

5.4.2 Пример. Динамически устойчиввш принцип оптималвно-

сти в игре с двухуровневой кооперацией...........194

6 Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания 202

6.1 Игра в форме характеристической функции .... 202

6.2 Принцип динамической устойчивости в игре

Гу(жоДо,7/)............................................204

6.3 Защита от иррационалвного поведения игроков ...........210

6.4 Пример. Динамически устойчиввш вектор Шепли

вигреГу(жоДо,7у).......................................214

6.5 Регуляризация в игре 216

6.5.1 Пример регуляризации вектора Шепли...............221

6.6 Силвно динамически устойчивое С-ядро в игре Гу(жо До, ТД . . 228

6.6.1 Пример. Проверка достаточнвгх условий для силвно динамической устойчивости С-ядра....................232

7 Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания. Модификации 233

7.1 Принцип динамической устойчивости

вигреГТДжоДо,ТД........................................233

7.2 Силвно динамически устойчивое С-ядро в игреГуДжоДо,ТД . 237

7.2.1 Пример. Динамически устойчиввш вектор Шепли в игре

rp^xo.to.Ty).....................................239

Оглавление

7

7.3

Принцип динамической и сильно динамической устойчивости в игреГ^"(жоДо,7/) ....................................

241

7.4

7.3.1 Пример. Динамически устойчивый вектор Шепли в игре гУ"'(ж.^.Л,)..........................................

Принцип динамической устойчивости в игреГ^(жоДо)......

242

243

III

Многошаговые игры со случайной продолжительностью

246

Кооперативные многошаговые игры со случайным числом

шагов

247

Определение многошаговой кооперативной игры Gy (фо) в форме

характеристической функции

247

Принцип динамической устойчивости в игре Gy (фо)

254

Введение новой характеристической функции

262

Регуляризованнв1е динамически устойчивые принципа! оптималь-

ности

263

Регуляризация вектора Шепли и С-ядра в игре Gy (фо)

Алгоритм регуляризации вектора Шепли в игре Gy(^o)

265

268

Сильно динамически устойчивые принципы оптимальности ... 270

Регуляризованные сильно динамически устойчивые принципы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-игровые задачи со случайной продолжительностью»

оптимальности

272

Пример динамически устойчивого решения в кооперативной мно-

гошаговой игре двух лиц

273

Пример регуляризации вектора Шепли в кооперативной мно-

гошаговой игре двух лиц

286

Многошаговые игры на деревьях событий

294

9.1 Постановка задачи

294

8

9

Оглавление 8

9.2 Кооперативный вариант игры...........................297

9.3 Динамически устойчиввш вектор Шепли..................299

9.3.1 Пример .......................................302

Заключение 308

Литература 309

Ввөдөниө

1. Актуальность и степень разработанности темы иссле-

дования

Основными задачами современной теории игр являются конструирование и анализ принципов оптималвного поведения участников в различнвгх задачах конфликтного управления. Реалвно происходящие конфликтв1 развиваются во времени, поэтому особую актуалвноств приобретают динамические модели. Дифференциалвнвю игрв1 являются удобнв1ми математическими моделями для описания конфликтно- управляемвгх процессов, происходящих в экономике, экологии, менеджменте и других сферах человеческой деятелвности.

Теория дифференциалвнвгх игр ввщелиласв в отделвнвш раздел математики в пятидесятв1х годах XX в. Одной из перввгх работ в области диффе-ренциалвнвгх игр принято считатв работу Р. Айзекса [3], в которой в терминах состояний и управлений бвыа сформулирована задача перехвата самолета управляемой ракетой, а также ввшедено основополагающее уравнение для нахождения решения. Вклад Р. Айзекса вместе с классическим исследованием Р. Веллмана [7] создали основу для исполвзования резулвтатов теории оптималвного управления в задачах конфликтного управления с несколвкими участниками. Перввю интереснвю резулвтатв1 в теории дифференциалвнвгх игр бвгли полученв1 Л. Берковицем [174], Г. Лейтманом [260], В. Флемингом [208], А. Фридманом [209] и др.

9

L Актуальность и степень разработанности темы исследование

10

Значительный вклад в дальнейшее развитие дифференциальных игр внесли отечественные ученые Л.С. Понтрягин [118, 119], Л.А. Петросян [98, 97], Н.Н. Красовский [68, 69], Б.Н. Пшеничный [122], работы которых в основном были связаны с дифференциальными играми преследования. Важнейшие результаты в области обоснования и методов нахождения решений антагонистических дифференциальных игр были получены в работах Красовского Н. Н. и А.И. Субботина [70, 130, 131]. Параллельно начала развиваться теория неантагонистических дифференциальных игр, в которых в качестве принципа оптимальности использовалось равновесие по Нэшу [278]. Особо следует отметить работы отечественных ученых, внесших большой вклад в развитие неантагонистических дифференциальных игр: Э. М. Вайсборда, Р.В. Гамкре-лидзе, Н. Л. Григоренко, В.И. Жуковского, А. Ф. Клейменова, А. Ф. Кононенко, А.В. Кряжимского, А. Б. Куржанского, В.Н. Лагунова, Н. Ю. Лукоянова, С.С. Кумкова, О. А. Малафеева, Мищенко Е.Ф., В.С. Пацко, Н. Н. Петрова, Н. Никандр. Петрова, Субботиной Н.Н. , Тынянского Н.Т., Чикрия А.А., Чистякова С. В., Ченцова А. Г. [13, 24, 25, 40, 41, 43, 55, 56, 57, 58, 60, 64, 75, 81, 82, 83, 84, 87, 93, 94, 142, 143, 144, 145, 147, 148, 149, 340, 360] и многих других.

Позднее работы, использующие методы дифференциальных игр, появились и в области моделирования конфликтно- управляемых экономических процессов, в том числе в задачах природоохранной политики, оптимальной эксплуатации природных ресурсов и пр. (см., например, [196, 175, 211]). Данная область развивается достаточно быстро, подробный анализ указанных работ можно найти в [194] (см. также [109]). Особо отметим работы Л.А. Петросяна, В.В. Захарова, Н.А. Зенкевича, В.В. Мазалова, А.Н. Реттиевой, С. Йоргенсена, Е. Докнера, Н. Лонга, Г. Соргера, Дж. Заккура, Я. Кравчика, Дж. Филара и др. [46, 47, 22, 79, 123, 179, 185, 186, 191, 195, 196, 205, 212, 231, 232, 237, 236, 238, 239, 241, 242, 243, 256, 338, 359], посвященные использованию теоретико

L Актуальность и степень разработанности темы исследование

11

игрового подхода для решения проблемы охраны окружающей среды.

Во многих указанных выше работах рассматриваются кооперативные дифференциал внвю и динамические игрвг Исполвзование кооперативного подхода обосновано <<: неагрессивными характером поведения игроков во многих экономических приложениях теории игр. Теория кооперативных ^однократных^ игр бвыа введена в работе Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна [141], которая получила развитие в отечественных научных школах, возглавляемых Н. Н. Воробвевв1м [16] и Ю.Б. Гермейером [20]. Особенно следует отметитв успехи, полученные в работах по кооперативная играм представителями Ленинградской школы О. Н. Бондаревой [10], Е. Б. Яновской [350] и др.

В кооперативных играх под принципом оптимальности, как правило, понимается способ распределения заработанного совместными усилиями игроков суммарного выигрыша. Наиболее часто в работах в прикладных задачах используются такие принципы оптимальности, как вектор Л. С. Шеи л и [324], (7-ядро, JV- ядро и др. (см. [114, 16, 109, 227]).

Непосредственный перенос результатов теории кооперативных <юднократ-ныхӯ игр на динамические модели привносит дополнительные проблемы для исследования. Предварительно следует пояснить различие в специфике решаемых задач в кооперативных и некооперативных играх. При изучении оптимального поведения игроков в некооперативных играх последние, как правило, рассматриваются в нормальной форме, т. е. задается система Г =< JV, >, где N = {1,2,...,%}- множество игроков, А7 - мно-

жество стратегий игрока ц Ку - функция выигрыша игрока ц определенная на 76 = П 76у Конфликт интересов игроков состоит в том, что перед каждым

! = 1

игроком ц 2 G JV, стоит задача выбора одной из стратегий щ G Ку, максимизирующей выигрыш Ку этого игрока, зависящий, в том числе, и от выбранных стратегий других игроков. В этом смысле подход к решению круга задач в

L Актуальность и степень разработанности темы исследование

12

некооперативной постановке игрв1 может бвггв назван ^стратегическим^ [101].

В кооперативной постановке все игроки перед началом игрв1 договариваются действоватв совместно оптималвно (кооперируются), т.е. договариваются исполвзоватв стратегии м* = максимизирующие суммар-

ниш ввшгрвпп V(JV) = max Y2 АДм). При достаточно слабвгх ограничениях на условия достижимости максимума и пр. в кооперативнвгх играх ^достаточно простое найти оптималвнвю стратегии м* = (м^Д, - - - , Д) (о поиске Парето-оптималвнв1х решений см. [88]). В кооперативном варианте игрв1 главной задачей, носящей конфликтнвш характер, становится проблема справедливого раздела V(JV) между игроками. В связи с этим подход к решению задач в кооперативнв1х играх может бв1тв назван <шестратегическим;>>, подчеркивая то, что задача нахождения оптималвнвгх стратегий не носит конфликтнвш характер и не является основной.

При изучении кооперативнв1х игр ввщеляют так назвшаемвю кооператив-нвю игрв1 с трансферабелвной и нетрансферабелвной полезноствю [354]. Свойство трансферабелвности означает, что игроки имеют возможноств складв1-ватв и делитв ввшгрвппи. В трансферабелвнвгх кооперативнвгх играх под принципом оптималвности понимают способ раздела суммарного максималвно-го ввшгрвппа, совместно заработанного игроками [101]. Отметим, что в ан-ГЛОЯЗВ1ЧНОЙ литературе вместо словосочетания ^принцип оптималвности^ ис-полвзуется понятие ^кооперативного решениям, однако мв1 в основном будем придерживатвся терминологии, введенной Н.Н. Воробвевв1м в [16].

Теория кооперативнвгх дифференциалвнвгх игр получила бурное развитие после ввгхода монографии Л.А. Петросяна, Н. Н. Данилова [101], в которой, в том числе, обсуждаласв проблема динамической неустойчивости классических принципов оптималвности, перенесеннвгх из теории статических коопера-ТИВНВ1Х игр на динамическую постановку. Это обстоятелвство вперввю бвыо

L Актуальность и степень разработанности темы исследование

13

замечено Л.А. Петросяном в 1977 году [110]. Позднее введенные им терми-НВ1 динамической и силвно динамической устойчивости в англоязычной литературе трансформировалисв в ^состоятельность во временив и ^сильную состоятелвноств во временив соответственно. В работах по кооперативная дифференциальным играм с предписанной продолжительностью Л. А. Петросяном [105, 107, 110, 111, 113] был разработан математический аппарат, названный процедурой распределения дележа, позволяющий добиться динамической устойчивости (или реализуемости во времени) выбранного игроками перед началом игры принципа оптимальности. На основе предложенного Л.А. Петросяном подхода, была изучена проблема динамической и сильно динамической устойчивости в кооперативных дифференциальных и многошаговых играх (Д.В. Кузютин, Л.А. Петросян), в том числе в стохастической постановке (см. А.В. Белицкая, Л.В. Грауэр, М. Дементьева, В.В. Захаров, Н.А. Зенкевич, А.В. Зятчин, Н.В. Козловская, Н.В. Колабутин, В. В. Мазалов, М.В. Марковкин, Е.М. Парилина, А. Н. Реттиева, Я. Б. Панкратова, О. Л. Петросян, А.Н. Реттиева, С.И. Тарашнина, А.В. Тур и др.), в сетевых играх (А.А. Седаков, М.В. Булгакова), играх с нетрансферабельной полезностью (Д. Янг)[99, 23,45,48,49,50,51,62,71,90,91,95,104,106,123,135].

Попытка применения классических для ^однократных^ кооперативных игр принципов оптимальности в динамических моделях приводит к тому, что они оказываются нереализуемыми во времени (динамически неустойчивыми). Данный факт был замечен в различных формулировках: Ф. Кидланд, Е. Прескотт [249] обнаружили динамическую неустойчивость решений в некоторых экономических задачах, А. Ори [230] заметил динамическую неустойчивость вектора Шепли в задаче о переговорах, также проблема динамической неустойчивости в повторяющихся играх была обозначена в работе И. Куриель [189], однако только в концепции, предложенной Л.А. Петросяном, предлагался спо

L Актуальность и степень разработанности темы исследование

14

соб решения данной проблемы.

Отдельным актуальным направлением в теории игр является использование элементов случайности (или неопределенности) при моделировании конфликтных процессов. Развитие данной области непосредственно связано с развитием теории стохастических игр, введенных Шепли в 1953 году [327], а также дифференциальных игр при наличии неопределенности (см. Жуковский В.И., [37, 39], Кононенко А.Ф. [64], Петросян Л.А. и Янг Д.В. К. [354]), поскольку использование при моделировании фактора той или иной неопределенности позволяет наиболее адекватно описывать самые разнообразные процессы, происходящие в экономике, экологии, менеджменте, торговле, при принятии решений в области международных отношений, систем безопасности и пр. (см., например, [190, 191, 225, 202, 200]). Важные результаты в области теории оптимального управления при наличии неопределенностей получены А.Б. Куржанским [74], см. также [255].

В данной работе рассматривается новый класс дифференциальных игр — кооперативные дифференциальные игры % лиц со случайной продолжительностью. Случайность времени существования любого организма, системы, процесса заложена в окружающую человека реальность, поэтому спектр приложений кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью может быть велик. Отметим, что в работе Л.А. Петросяна и Н.В. Мурзова "Теоретико-игровые задачи механики "в 1966 г. [108] впервые были исследованы дифференциальные игры преследования двух лиц со случайной продолжительностью. В рассматриваемой авторами задаче игроки получали терминальный выигрыш в случайный момент времени Т. В этой же работе впервые было выведено уравнение типа Айзекса-Веллмана для заданной таким образом антагонистической дифференциальной игры.

Стоит отметить, что управляемые процессы со случайным моментом окон

15

чания для задач с одним агентом (игроком) также были независимо рассмотрены в области оптималвного управления, начиная с работв1 М. Яари [348], в которой формулироваласв задача оптималвного страхования жизни потребителя при условии, что момент окончания жизни являлся случайной величиной (см. также [187], [308]). В работе [182] задача оптималвного управления со случайная моментом остановки была сформулирована в общем виде. Результаты данной работы использовались далее в прикладных задачах [212], [291].

Продолжительность игры является важным параметром, влияющим на оптимальное поведение игроков. Отдельной областью теории игр, в которых объектом исследования также является момент окончания игры, являются так называемые игры с оптимальной остановкой (см. Е. Б. Дынкин[35]). В этой области следует выделить работы В.В. Мазалова, Сакагучи, К. Шайов-ски, В. К. Доманского, Э. Пресмана и др. [76, 267, 269, 197, 120], см. также многочисленные работы А.Н. Ширяева [335] и библиографию к ним.

В диссертационной работе Громовой Е.В. изучаются кооперативные дифференциальные и многошаговые игры, в которых динамика является детерминированной, а выигрыш рассматривается в смысле его математического ожидания на случайном интервале [Ф,Т]. Некоторые вспомогательные сведения и результаты из области теории оптимального управления, теории дифференциальных игр, теории вероятностей и математического моделирования, которые были использованы в исследовании, также сформулированы в §1.1 — §1.5.

2. Цели, задачи, новизна исследования

Основной целью диссертационной работы является построение конструктивной теории кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью и разработка подходов к определению динамически устойчивых

2. Цели, задачи, новизна исследовании

16

принципов оптимальности для указанного класса кооперативных игр. В связи с поставленной целью, можно выделить следующие основные задачи диссертационной работы:

— формально описать и исследовать широкий класс теоретико-игровых динамических задач со случайной продолжительностью в форме дифференциальных игр со случайной продолжительностью;

— разработать математический аппарат для построения принципов оптимальности в кооперативной постановке дифференциальных игр со случайной продолжительностью;

— сформулировать алгоритм построения динамически и сильно динамически устойчивых принципов оптимальности для указанного класса игр;

— адаптировать полученные результаты для дискретной постановки игры.

Научная новизна диссертационной работы. В работе впервые рассмотрена общая постановка дифференциальных игр со случайной продолжительностью; предложен математический аппарат для построения кооперативной теории для указанного класса игр; описаны и решены новые проблемы, возникающие при непосредственном переносе результатов классической теории кооперативных игр для данного широкого класса динамических игр.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит в основном теоретический характер. Построена кооперативная теория дифференциальных игр со случайной продолжительностью, получены достаточные, а в ряде случаев и необходимые условия существования динамически и сильно динамически устойчивых принципов оптимальности для указанного класса игр. Однако круг практических приложений разработанных алгоритмов может быть достаточно велик, в том числе в изученных в диссертации

17

математических моделях управления объемами вредных вв1бросов, разработки месторождения несколвкими фирмами, управления капиталовложениями во время рекламной кампании и пр., в которв1х присутствует конфликт интересов, основа для кооперации и наличие неопределенности.

3. Положения, выносимые на защиту

Основные результаты, выносимые на защиту:

* Формализован класс кооперативнв1х дифференциалвнв1х игр % лиц

Г^(жо,Ф, 7у) со случайная моментом окончания Т, где Т является абсолютно непрерв1вной случайной величиной с функцией распределения Ғ(^, t G [to,Ty].

* Вперввю предложенв1 и исследованв1 следующие модификации игрв1 лиц Г^(ж0, t0, Ту^^^^^^^^щгальная игра % лиц Г^'^(ж0, t0, Ту) со случайная моментом окончания Т и дисконтированием подынтегральных функций полезности игроков; дифференциальная игра % лиц Г^"(ж0,^0,7у), со случайным моментом окончанияТ^. = min{Ti, 72,..., 70},где {Т^}}=1 — независимые случайные величины, описывающие момент окончания игрового процесса для игроков {2} G N.

* Впервые введена и изучена дифференциальная игра^ Г^ (ж0, t0), в

которой функция распределения случайной величины Т может меняться при развитии игры во времени t G [t0, w), предложен способ задания составной функции распределения t G [t0, w), доказана Теорема

о том, что (t) принадлежит к классу допустимых функций.

* Определена дифференциальная игра шгц Г^°(ж0,ф,7у) со случайным моментом начала игры 70, где 70 — случайная величина.

3. Положения, выносимые иа защиту

18

• Доказаны Теоремы об упрощении математического ожидания интегрального выигрыша игрока для игр Г^(жо, ф, Ту), Г^(жо, ф, Ту) Г^^'"(жо,^о, Ту),

(жо,^о,Ту).

• Для кооперативной формулировки игры Г^(жоДо,Ту) выведено уравнение типа Гамильтона-Якоби-Беллмана и доказана Теорема о достаточных условиях существования оптимальных управлений в классе позиционных стратегий.

• Доказана Теорема о достаточных условиях существования оптимальных управлений в классе позиционных стратегий для частного случая игры ГТДжоДо,Ту) в которой дисконтирование осуществляется с интегральной ставкой дисконтирования т(т)Тт.

• Для класса кооперативных дифференциальных игр с предписанной про-

должительностью Г(жоДо,Ту) предложен новый способ построения характеристической функции (жоДо,7у; Д), Д С Ж, доказана Теорема о

супераддитивности V(жо До, Ту; Д).

продолжительностьюГ(жо,^о,Ту) введено понятие опорного решения в G-ядре, а также доказана конструктивная Теорема о достаточных условиях, гарантирующих сильную динамическую устойчивость G-ядра. Алгоритм построения сильно динамически устойчивого С-ядра описан в общем случае для игры % лиц. Конструктивный алгоритм построения опорного решения описан для игры 2 лиц.

• Проблема динамической устойчивости кооперативных решений изучена и решена для дифференциальных игр с предписанной продолжительностью Г(жоДо,Ту) с фиксированным коалиционным разбиением игроков. Предложен алгоритм вычисления процедуры распределения дележа для

3. Положения, выносимые иа защиту

19

описанной модели с двухуровневой кооперацией игроков.

• Проблема динамической и силвной динамической устойчивости принци-

пов оптималвности изучена и решена для кооперативной дифференциал вной игрв1 со случайной продолжителвноствю Г^(жо,Ф,7у), а также ее модификаций (ж0,^0,Ту), Г^^'"(ж0,^0,Ту) Г^^(ж0,ф). Сформулиро-

ванв1 Теоремвц гарантирующие ввшолнение динамической устойчивости и защитв1 от иррационалвного поведения участников во всех указаннв1х классах игр.

• Предложен алгоритм регуляризации вектора Шепли в игреГ^(ж0,^0,7у).

игрв1 Г^(ж0,^0,7у) доказанв1 Теорема о необходимв1х и Теорема о достаточнв1х условиях непустотв1 множества опорнв1х решений в G-ядре.

• Введен класс кооперативнвгх многошаговв1х игр со случайнв1м числом шагов. Сформулированв1 и доказанв1 Теоремв1 о регуляризации вектора Шепли и G-ядра для данного класса игр.

Апробация работы. Основнвю резулвтатв1 диссертационной работв1 бвыи доложенв1 на семинарах кафедрв1 математической теории игр и статистических решений Санкт-Петербургского государственного университета, на семинарах Центра теории игр (СПбГУ), на семинаре Механико-математического факулвтета Саратовского государственного университета (2004), на семинарах Болонского университета, Италия (2011), Унив. г. Падуя, Италия (2011), У нив. Ла Сапиенца, Рим, Италия (2011); семинарах научного центра GERAD унив. Монреаля, Канада (2011, 2015, 2016); на семинаре унив. Анауак, Мехико, Мексика (2014); на семинаре кафедрв1 оптималвного управления факулвтета ввшислителвной математики и математической кибернетики Московского государственного университета (2016), на XXX и XXXI научнвгх кон

3. Положения, выносимые иа защиту

20

ференциях ^Процессы управления и устойчивостью, Санкт-Петербург(1999, 2000), на V Российской мультиконференции по проблемам управления, Санкт-Петербург (2012), на I Российском экономическом конгрессе, Москва (2009), а также на следующих международных конференциях: ^Устойчивость и процессы управлениям, посвящ. В.И. Зубову, Санкт-Петербург (2005, 2010, 2015); Международный семинар ^Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби-Беллманам, Екатеринбург (2005), Russian-Finnish Graduate School Seminar ^Dynamic Games and Multicriteria Optimizations, Petrozavodsk (2006); 2nd International Conference on Game Theory and Application, Qingdao, China (2007); International Conference on Game Theory and Management, St.Petersburg (2007 — 2012, 2014, 2016); Международный Конгресс ^Нелинейный динамический анализа, Санкт-Петербург ( 2007), Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль(2009); Int. Conference Stochastic Optimal Stopping, Petrozavodsk (2010); Spain-Italy-Netherlands Meeting on Game Theory (Paris 2011, St. Petersburg 2015); 25th IFIP TC 7 Conference on System Modeling and Optimization, Berlin (2011), Workshop on Dynamic Games in Management Science, Montreal, Canada (2008, 2011, 2016); Viennese Workshop on Optimal Control, Dynamic Games and Nonlinear Dynamics, Vienna (2012, 2015); Conference on Constructive Nonsmooth Analysis, St.Petersburg (2012); Международная научная конференция ^Математика, экономика, менеджмент: 100 лет со дня рождения Л.В. Канторовичам, Санкт-Петербург (2012); International Symposium on Dynamic Games and Applications (Wroclaw 2008; Amsterdam 2014); 28th European Conference on Operational Research, Poznan, Poland (2016).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26, 27, 96, 109, 102,103,150,151,152,153,154,155,156,157,158, 215, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 240, 252, 253, 254, 265, 293, 310, 347], из которых 18 работ опубли

21

кованы в реферируемв1х ведущих российских и международная журналах: 10 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ (2 из которых переведены в журналах, индексируемых в наукометрических базах Scopus/ Web of Science), 8 работ опубликованы в журналах, индексируемых в наукометрических базах Scopus/ Web of Science.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех частей, разбитых на главы и параграфы, заключения и списка используемой литературы.

В диссертационной работе использована тройная нумерация формул, теорем, определений, следствий, замечаний. Первое число означает номер главы, второе - номер параграфа в главе, третье - номер в параграфе. Параграфы пронумерованы для каждой главы отдельно. Литература приведена в алфавитном порядке.

4. Краткое содержание работы

В диссертационной работе Громовой Е.В. изучаются динамические игры с детерминированной динамикой, в которых продолжительность игры является случайной величиной. Работа состоит из частей I, II, III, организованных следующим образом.

Часть I ^Дифференциальные игры со случайной продолжительностью^ посвящена дифференциальным играм, в которых момент окончания или момент начала игры является случайной величиной с известной функцией распределения. Часть I состоит из Глав I, II, III, IV.

В Главе 1 приводится формулировка классической дифференциальной игры с предписанной продолжительностью Г(ж0, ф, Ту), а также некоторые вспомогательные сведения из области оптимального управления, дифференциалы

4. Краткое содержание работы

22

ных игр и теории вероятностей. Кроме того, описаны динамика и вид функций мгновенного ввшгрвппа (полезности) в теоретико-игроввгх задачах рационалв-ного природополвзования, экологического менеджмента и управления рекламной кампанией, которвю будут исполвзованв1 в последующих главах в качестве примеров, иллюстрирующих теоретические резулвтатвг

В Главе II рассматриваются дифференциалвнвю игрв1 со случайнв1м моментом окончания. В §2.1 вводится определение nrpBiT^(ж0,ф,Ту), являющейся модификацией игрв1 Г(ж0,ф,Ту). Предполагается, что момент окончания игрв1 не известен заранее, а является реализацией некоторой случайной величинв1 Т с известной функцией распределения К(t), t G [Ф,Т/]- Кроме того, далее предполагаем существование функции плотности распределения /(t). В §2.2 изучается вопрос упрощения функционала ввшгрвппа в игре Г^(ж0,ф,7у). Математическое ожидание интегралвного ввшгрвша игрока для игрв1 Г^(ж0,^0,Ту) является функционалом нестандартного для задач оптималвного управления вида, т.к. содержит повторное интегрирование. В §2.2 даннвш функционал приведен к стандартному виду при помощи заменв1 порядка интегрирования. Кроме того, в §2.2.2 рассматривается случай смешанного функционала ввшгрвша игрока, т.е. интегралвного и терминалвного ввшгрвша. В § 2.2.3 доказана Теорема об упрощении функционала ввшгрвша для общего случая линейно-квадратичнвгх дифференциалвнв1х игр. Теоретические резулвтатв1 демонстрируются для дифференциалвной игрв1 управления объемами вреднвгх вв1бросов в атмосферу (§2.2.1) и дифференциалвной игрв1 управления капиталовложениями в рекламную кампанию (§2.2.4).

В § 2.3 игра Г^(ж0,ф,7у) изучается в кооперативной форме. Предполагается, что игроки исполвзуют управлениям* = (м^,... , м*), максимизирующие их суммарнвш ввшгрвш. В том случае, когда задача решается в классе позицион-НВ1Х управлений, исполвзуется уравнение типа Гамилвтона- Якоби- Беллма-

4. Краткое содержание работы

23

на, выведенное в § 2.3.1 для случая смешанного ввшгрвппа. В § 2.3.2 уравнение типа Гамилвтона - Якоби - Веллмана ввшедено другим способом, который не предполагает предварителвного упрощения интегралвного ввшгрвппа игрока. В § 2.3.3 и в § 2.3.4 оптималвнвш управления найденв1, соответственно, в классе программных и позиционных стратегий для приложений дифференциальных игр в области природоохранного менеджмента (§ 2.3.3) и совместной разработки месторождения р игроками (§2.3.4).

В Главе III рассматриваются некоторые модификации игрыГ^(ж0,ф,Ту) со случайная моментом окончания, а именно, в §3.1 — §3.4 введенв1 клас-СВ1 дифференциалвнв1х игр, обозначенная как Г^(ж0, ф, Ту), Г^"(ж0, t0, Ту), Г^^'"(ж0,^0,Ту) Г^(ж0,^0^^ ^ра Г^'^(ж0,^0,Ту) заканчивается в случайный момент времени Т с функцией распределения Т(t) t G [t0,Ty], причем мгновенные выигрыши игроков дисконтируются при помощи функции дисконтирования ). При использовании экспоненциального вида дисконтирования

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Громова, Екатерина Викторовна, 2016 год

Литература

[1] Аваков Е. Р. Необходимая условия первого порядка для анормальных задач вариационного исчисления / Е.Р. Аваков. // Дифференц. уравнения, 1991, Т. 27, № 5, С. 739-745.

[2] Асеев С. М. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста / С. М. Асеев, А. В. Кряжимский. - М: Наука, 2007 Тр. МИАН, 257, 3-271,- 272 с.

[3] Айзекс Р. Дифференциальные игры / Р. Айзекс. - М.: Мир. 1967, - 479 с.

[4] Ауман Р. Значение для неатомических игр / Р. Ауман, Л. Шейл и. -Принстон: Изд-во Принстонского ун-та, 1974, - 283 с.

[5] Белицкая А. В. Сетевая игра сокращения вредных выбросов в атмосферу / А. В. Белицкая, Л. А. Петросян. // МТИП, 4:2, 2012, С. 3-13.

[6] Веллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Веллман. - М.: Наука, 2-е изд. - 352 с.

[7] Веллман Р. Динамическое программирование / Р. Веллман. - М.: И.Л.,

1960.

[8] Берж К. Общая теория игр нескольких лиц / К. Берж. - М.: Физматгиз,

1961, - 114 с.

309

Литература

310

[9] Блекуэлл Д. Теория игр и статистических решений / Д. Блекуэлл, М. Гиршик. - М.: И.Л., 1958, - 330 с.

[10] Бондарева О. Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативнвгх игр / О. Н. Бонадрев. - М.: Государственное издателвство физико-математической литературвц Проблемв1 кибернетики. Ввшуск 10, 1963, С. 119-139.

[11] Бондарева О. Н. О теоретико-игроввгх моделях в экономике / О. Н. Бо-надрева. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, - 115 с.

[12] Буре В. М. Теория вероятностей и математическая статистика / В. М. Буре, Е. М. Парилина. - СПб: Изд-во "Лайв 2013, - 416 с.

[13] Вайсборд Э. М. Введение в дифференциалвнвш игрв1 несколвких лиц и их приложения / Э. М. Вайсборд, В. И. Жуковский. - М.: Сов. радио, 1980, - 303 с.

[14] Воробвев Н. Н. Основв1 теории игр. Бескоалиционная игрв1 / Н. Н. Во-робвев. - М.: Наука, 1984.

[15] Воробвев Н. Н. Современное состояние теории игр / Н. Н. Воробвев. -Успехи мат. наук, 1970, Т. 25, № 2, С. 69-90.

[16] Воробвев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков / Н. Н. Воробвев. - М.:Наука, 1985. - 272 с.

[17] Габасов Р. Ф. Особые оптимальные управления / Р. Ф. Габасов, Ф. М. Кириллова. - М.: Наука, 1973. - 256 с.

[18] Гаврилов Л. А. Биология продолжителвности жизни / Л. А. Гаврилов, Н. С. Гаврилова. - М.: Наука, 1991.

Литература

311

[19] Гермейер Ю. Б. Дискретный принцип максимума в задачах определения максимина / Ю. Б. Гермейер. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1970, Т. 10, № 2, С. 461-465.

[20] Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами: с предисловием Н. Н. Моисеева / Ю. Б. Гермейер. - М.: Наука, 1976. - 328 с.

[21] Гермейер Ю. Б. Слабоустойчивые совместные решения в повторяющихся играх / Ю. Б. Гермейер. // Докл. АН СССР, 1974, 216, № 3, С. 481-484.

[22] Горелик В. А. Теоретико-игровые модели принятия решений в экологоэкономических системах / В. А. Горелик, А. Ф. Кононенко. - М., 1982.

[23] Грауэр Л. В. Многошаговые игры / Л. В. Грауэр, Л. А. Петросян. // Прикладная математика и механика, 2004, Т. 68, № 4, С. 667-677.

[24] Григоренко Н. Л. Дифференциальные игры преследования несколькими объектами / Н. Л. Григоренко. - М.:Изд-во МГУ, 1983, - 217 с.

[25] Григоренко Н.Л. К теории дифференциальных игр трех лиц / Н. Л. Григоренко. // Труды ИММ УрО РАН, 2006, Т. 12, № 1, С. 78-86.

[26] Громова Е. В. Об одном способе построения характеристической функции в кооперативных дифференциальных играх / Е. В. Громова, Л. А. Петросян. // Математическая теория игр и ее приложения, 7:4, 2015, С. 19-39.

[27] Громова Е. В. Сильно динамически устойчивое кооперативное решение в одной дифференциальной игре управления вредными выбросами / Е.

В. Громова, Л. А. Петросян. - УБС, 55, 2015, С. 140-159.

[28] Данилов Н. Н. Игровые модели принятия решений / Н. Н. Данилов. -Кемерово: КГТУ, 1981.

Литература

312

[29] Данилов Н. Н. Неантагонистические игры двух лиц / Н. Н. Данилов, Н.

A. Зенкевич. - Кемерово: Изд-во КемГУ, 1990.

[30] Данскин Дж. М. Теория максимина / Дж. М. Данскин - М.: Сов. радио, 1970, - 126 с.

[31] Данфорд Н. Линейные операторвг Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. - М: Изд-во иностранной литературы, 1962.

[32] Демвянов В. Ф. Введение в минимакс / В. Ф Демвянов, В. Н. Малоземов. - М.: Наука, 1972.

[33] Доманский В. К. Игрв1 на случайных процессах, Успехи теории игр / В. К. Доманский, Г. Н. Дюбин. - Вилвнюс: Минтис, 1973, С. 36-43.

[34] Дрешер М. Стратегические игрвг Теория и приложения / М. Дрешер. -М.: Сов. радио, 1964, - 186 с.

[35] Двшкин Е. Б. Игровой вариант задачи об оптималвной остановке / Е. Б. Дынкин. // ДАН СССР, 1969, 185, № 1, С. 16-19.

[36] Дюбин Г. Н. Введение в прикладную теорию игр / Г. Н. Дюбин, В. Г. Суздалв. - М.: Наука, 1981, - 311 с.

[37] Жуковский В. И. Введение в дифференциальные игрв1 при неопределенности / В. И. Жуковский.- М.: Международный НИИ Проблем управления, 1997, - 446 с.

[38] Жуковский В. И. Гарантировании^ риски и исходы в "игре с природой"/

B. И. Жуковский, Н. Г. Солдатов. - Пробл. управл., 2014, № 1, С. 14-26.

[39] Жуковский В. И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения / В. И. Жуковский. - М.: Эдиториал УРСС, 1999, - 334 с.

Литература

313

[40] Жуковский В. И. Линейно-квадратичные дифференциалвнвю игрв1 / В. И. Жуковский, А. А. Чикрий. - Киев: Наукова думка, 1994.

[41] Жуковский В. И. Некоторвю игроввю задачи управления и их приложения. / В. И. Жуковский, М. Е. Салакудзе. - Тбилиси, 1998, - 462 с.

[42] Жуковский В. И. Равновесие по Бержу в модели олигополии Курно / В. И. Жуковский, К. Н. Кудрявцев, А. С. Горбатов. // Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компвют. науки, 25:2 (2015), С. 147-156.

[43] Жуковский В. И. Равновеснвю управления многокритериалвнвгх динамических систем / В. И. Жуковский, Н. Т. Твшянский - М.: Изд-во МГУ, 1984.

[44] Жуковский В. И. Риски и исходв1 в одной многокритериалвной динамической задаче / В. И. Жуковский, К. С. Сорокин. // Изв. ИМИ УдГУ, 2004, №2(30), С. 53-64.

[45] Захаров В. В. Устойчивая кооперация в динамических задачах маршрутизации транспорта / В. В. Захаров, А. И. Щегряев. // МТИП, 4:2, 2012,

С.39-56.

[46] Захаров В. В. Введение в математическую экологию / В. В. Захаров, Л. А. Петросян. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1986, - 295 с.

[47] Захаров В. В. Математические модели в экологии. /Захаров В. В., Петросян Л. А. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996.

[48] Зенкевич И. А. Динамические игрв1 и их приложения в менеджменте / И. А. Зенкевич, Л. А. Петросян, Д. В. К. Янг. - СПб.: Изд-во "Ввклпая школа менеджмента 2009, - 415 с.

Литература

314

[49] Зенкевич Н. А. Построение сильного равновесия в дифференциальной игре многих лиц / Н. А. Зенкевич, А. В. Зятчин. // МТИП, 2:2, 2010, С. 42-65.

[50] Зенкевич Н. А. Стохастическая модель устойчивого совместного предприятия / Н. А. Зенкевич, Н. В. Колабутин, Д. В. К. Янг. // МТИП, 1:1, 2009, С.16-45.

[51] Зенкевич Н. А. Устойчивый вектор Шейл и в задаче экологического производства / Н. А. Зенкевич, Н. В. Козловская. // Математическая теория игр и ее приложения, Т. 2, № 1, 2010, С. 67-92.

[52] Зорич В. А. Математический анализ. Часть I: Изд. 4-е испр. / В. А. Зорич. - М.: МЦНМО, 2002, - 664 с.

[53] Зубов В. И. Динамика управляемых систем / В. И. Зубов. - М., 1982.

[54] Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва <<:Наука^, 1975, -496 с.

[55] Клейменов А. Ф. Задачи конфликтного управления / А. Ф. Клейменов. // Прикл. математика и механика, 1975, Т.39, №2, С. 225-234.

[56] Клейменов А. Ф. К кооперативной теории бескоалиционных позиционных дифференциальных игр / А. Ф. Клейменов. // Докл. АН СССР, 1990, Т. 32, № 1, С. 32-35.

[57] Клейменов А. Ф. Кооперативные решения в позиционной дифференциальной игре многих лиц с непрерывными функциями платежей / А. Ф. Клейменов. // Прикл. математика и механика, 1990, Т. 54, № 3, С. 389394.

Литература

315

[58] Клейменов А. Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры / А. Ф. Клейменов. - Екатеринбург: Наука. УРО, 1993, - 185 с.

[59] Клейменов А. Ф. Неантагонистическая позиционная дифференциальная игра двух лиц с интегральными и векторными показателями игроков / А. Ф. Клейменов. - Тр. ИММ УрО РАН, 19:1 (2013), С. 130-135.

[60] Клейменов А. Ф. О решениях в неантагонистической позиционной дифференциальной игре / А. Ф. Клейменов. // Прикл. математика и механика, 1997, Т. 61, № 5, С. 739-746.

[61] Клейменов А. Ф. Построение решений в одной многокритериальной задаче управления фирмой / А. Ф. Клейменов, А. А. Семенищев. // Вести. Тамбов, гос. ун-та, сер. Естеств. и техн, наук, Т. 5, № 4, 2000, С. 458-459.

[62] Колабутин Н. В. Двухуровневая кооперация в дифференциальной игре технологического альянса / Н. В. Колабутин. // Вести. С.-Петербург, ун-та, Сер. 10, Прикл. матем. Информ. Проц., 2015, № 1, С. 42-63.

[63] Колмогоров А. Ф. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Ф. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1981, - 389 с.

[64] Кононенко А. Ф. Структура оптимальной стратегии в динамических управляемых системах / А. Ф. Кононенко. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 20:5 (1980), С. 1105-1116.

[65] Кононенко А. Ф. Принятие решений в условиях неопределенности / А. Ф. Кононенко, А. Д. Хафизов, В. В. Чумаков. - М., 1991.

[66] Костюнин С. Ю. Об одной дифференциальной игре, моделирующей разработку невозобновляемого ресурса / С. Ю. Костюнин, А. Палестини,

Литература

316

Е. В. Шевкопляс. // Вести. С.-Петербург, ун-та, Сер. 10, Прикл. матем. Информ. Проц, упр., 2013, № 3, С. 73-82.

[67] Костюнин С. Ю. Об упрощении интегрального выигрыша в дифференциальных играх со случайной продолжительностью / С. Ю. Костюнин, Е. В. Шевкопляс. // Вести. С.-Петербург, ун-та, Сер. 10, Прикл. матем. Информ. Проц, упр., 2011, № 4, С. 47-56.

[68] Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. - М.: Наука, 1970, - 420 с.

[69] Красовский Н. Н. О дифференциальной игре на перехват / Н. Н. Красовский, А. Н. Котельников. // Труды математического института им.

В.А. Стеклова, 2010, Т. 268, С. 168-214.

[70] Красовский Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. - М.:Наука, 1974, - 456 с.

[71] Кузютин Д. В. О свойствах равновесий в многокритериальных позиционных играх пп лиц / Д. В. кузютин, М. В. Никитина, Я. Б. Панкратова. // МТИП, 6:1, 2014, С. 19-40.

[72] Кукушкин Н. Н. Теория неантагонистических игр / Н. Н. Кукушкин, В.

В. Морозов. - М.: Изд-во МГУ, 1977.

[73] Куммер Бернд. Игры на графах / Куммер Бернд. - М: Мир, 1982.

[74] Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. Б. Куржанский. - М.: Наука, 1977, - 325 с.

[75] Лагунов В. Н. Многошаговые позиционные игры N лиц / В. Н. Лагунов, В. В. Сушкин - Тверь, 1993.

Литература

317

[76] Мазалов В. В. Игровые моментв1 остановки / В. В. Мазалов. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1987.

[77] Мазалов В. В. Математическая теория игр и её приложения / В. В Мазалов и др. - СПб.: Лайв, 2010.

[78] Мазалов В. В. Равновесие в бескоалиционной игре и лиц с вв1бором момента времени / В. В. Мазалов, М. Сакагучи. // Математическая теория игр и ее приложения, Т. 1, Ввш. 1, 2009, С. 65-85.

[79] Мазалов В. В. Равновесие по Нэшу в задачах охранв1 окружающей средв1 / В. В. Мазалов, А. Н. Реттиева. // Матем. моделирование, 18:5, 2006,

С. 73-90.

[80] Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу / Б. М. Макаров, А. Н. Подкорвыов. - СПб: БХВ-Петербург, 2011.

[81] Малафеев О. А. О существовании ситуации с-равновесия в динамических играх с зависимв1ми движениями / О. А. Малафеев. // Ж. ввшисл. матем. и матем. физ., 14:1 (1974), С. 88-98.

[82] Малафеев О. А. О существовании ситуации равновесия в дифференциальных бескоалиционная играх двух лиц с независимыми движениями / О. А. Малафеев. // Вестник ЛГУ, № 7, 1980.

[83] Малафеев О. А. Стационарные стратегии в дифференциальных играх / О. А. Малафеев. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 17:1 (1977), С. 42-51.

[84] Малафеев О. А. Управляемые конфликтные системы / О. А. Малафеев. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000, - 280 с.

Литература

318

[85] Матвеевский В. Р. Надежности технических систем. Учебное пособие / В. Р. Матвеевский. - М: МГУ электроники и математики, 2002.

[86] Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели / Э. Мулен. - М.: Мир, 1993.

[87] Никитин Ф. Ф. О дифференциальных антагонистических играх с неограниченной продолжительностью / Ф. Ф. Никитин, С. В. Чистяков. // Вестник СПбГУ, Сер. 1, Вып. 3, 2004, С. 37-43.

[88] Ногин В. Д. Проблема сужения множества Парето: подходы к решению / В. Д. Ногин. // ^Искусственный интеллект и принятие решений^, 2008, № 1, С. 98-112.

[89] Ногин В. Д. Эффективные и собственно эффективные решения многокритериальных задач / В. Д. Ногин. // В сб. ^Методы многоцелевой оптимизации^, Владивосток, 1982, С. 59-72.

[90] Парилина Е. М. Кооперативная игра передачи данных в беспроводной сети / Е. М. Парилина. // Математическая теория игр и ее приложения, Т. 1, Вып. 4, 2009, С. 93-110.

[91] Парилина Е. М. Устойчивая кооперация в стохастических играх / Е. М. Парилина. // МТИП, 2:3, 2010, С. 21-40.

[92] Партхасаратхи Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц / Т. Партха-саратхи, Т. Рагхаван - Москва, 1974, - 259 с.

[93] Петров Н. Н. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем / Н. Н. Петров. // Дифференциальные уравнения, Т. 6, № 5, 1970, С. 784-797.

Литература

319

[94] Петров Н. Н. О существовании значения игрв1 преследования / Н. Н. Петров. // ДАН СССР, Т. 190, № 6, 1970, С. 1289-1291.

[95] Петросян Л. А. Двухступенчатая сетевые игры / Л. А. Петросян, А. А. Седаков, А. О. Бочкарев. // МТИП, 5:4, 2013, С. 84-104.

[96] Петросян Л. А. Двухуровневая кооперация в коалиционных дифференциальных играх / Л. А. Петросян, Е. В. Громова // Тр. ИММ УрО РАН, 20( 3), 2014, С. 193-203.

[97] Петросян Л. А. Динамические игры и их приложения / Л. А. Петросян, Г. В. Томский.- Л., 1982.

[98] Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования / Л. А. Петросян. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

[99] Петросян Л. А. Игры в развернутой форме: Оптимальность и устойчивость / Л. А. Петросян, Д. В. Кузютин. - СПб: Изд. СПбГУ, 2000.

[100] Петросян Л. А. Игры с переменным коалиционным разбиением / Л. А. Петросян, С. И. Мамкина. // Вестник СПбГУ, Сер. 1, Вып. 3, 2004, С. 60-69.

[101] Петросян Л. А. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения / Л. А. Петросян, Н. Н. Данилов. - Томск: Изд-во Томского университета, 1985, - 273 с.

[102] Петросян Л. А. Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью / Л. А. Петросян, Е. В. Шевкопляс. // Вести. С.-Петерб. ун-та, Сер. 1: Математика, механика, астрономия, 2000, Вып. 4,

С. 18-23.

Литература

320

[103] Петросян Л. А. Многошаговые кооперативные игрв1 со случайной про-должителвноствю / Л. А. Петросян, Е. М. Баранова, Е. В. Шевкопляс. - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, Сборник науч, трудов ^Оптимальное управление и дифференциальные игры^ в Тр. Инет, мат-ки и мех-ки, Т. 10, № 2, 2004, С. 116-130.

[104] Петросян Л. А. Многошаговые сетевые игрв1 с полной информацией / Л. А. Петросян, А. А. Седаков. // МТИП, 1:2, 2009, С. 66-81.

[105] Петросян Л. А. О новых силвно динамически устойчивых принципах оп-тималвности в кооперативных дифференциальных играх / Л. А. Петросян. - М:Трудв1 математического института им. Стеклова "Оптималвное управление и дифференциальные уравнения 1995, Т. 211, С. 370-376.

[106] Петросян Л. А. Принципв1 устойчивой кооперации / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич. // Математическая теория игр и ее приложения, Т. 1, Ввш. 1,2009, С. 102-117.

[107] Петросян Л. А. Силвно динамически устойчивые дифференциальные принципв1 оптималвности / Л. А. Петросян. // Вестник ЛГУ, Серия 1: математика, механика, астрономия, 1993, № 4, С. 35-40.

[108] Петросян Л. А. Теоретико-игровые проблемв1 в механике / Л. А. Петросян, Н. В. Мурзов. // Литовский математический сборник, 1966, № VI-3.

С. 423-433.

[109] Петросян Л. А. Теория игр / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. В. Шевкопляс. - СПб: БХВ-Петербург, 2012, - 424 с.

[110] Петросян Л. А. Устойчивости решений в дифференциальных играх со многими участниками / Л. А. Петросян. // Вестник ЛГУ, 1977, №4, С. 46-52.

Литература

321

[111] Петросян Л. А. Устойчивые решения неантагонистических дифференциальных игр с трансферабельными выигрышами / Л. А. Петросян, Н. Н. Данилов. // Вестник ЛГУ, 1979, № 1, С. 46-54.

[112] Петросян Л. А. Устойчивые решения позиционных игр (монография) / Л. А. Петросян, Д. В. Кузютин. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.

[113] Петросян Л. А. Характеристические функции кооперативных дифференциальных игр / Л. А. Петросян. // Вестник СПбГУ, сер. 1: Математика, механика, астрономия, 1995, № 1, С. 48-52.

[114] Печерский С. Л. Кооперативные игры: решения и аксиомы / С. Л. Печерский, Е. Б. Яновская. - СПб.: Изд-во Европ. унив-та в С.-Петербурге, 2004, - 459 с.

[115] Печерский С. Л. Теория игр для экономистов. Вводный курс / С. Л. Печерский, А. А. Беляева. - СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001

[116] Подиновский В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. - М., 1982.

[117] Половинкин Е. С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е. С. Половинкин, М. В. Балашов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 416 с.

[118] Понтрягин Л. С. К теории дифференциальных игр / Л. С. Понтрягин. // Успехи математических наук, 1966, 21, 4 (130), с. 219-274.

[119] Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. - М.: Наука,1976.

Литература

322

[120] Пресман Э. Л. Игровые задачи оптимальной остановки. Существование и единственность точек равновесия. Вероятн. проблемы управления в экономике / Э. Л. Пресман, И. М. Сонин. - М.: Наука, 1977, С. 115-144.

[121] Прохоров Ю. В. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы / Ю. В. Прохоров, Ю. А. Рязанов. - М.: Наука, 1967, - 358 с.

[122] Пшеничный Б.Н. Дифференциальные игры/ Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. - Киев: Наук, думка, 1992. - 260 с.

[123] Реттиева А. Н. Кооперативное регулирующее условие в задаче разделения биоресурсов / А. Н. Реттиева. // УБС, 26.1, 2009, С. 366-384.

[124] Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ / Р. Т. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973, - 470 с.

[125] Сайон М. Об игре, не обладающей значением / М. Сайон, Ф. Вульф. // Сборник статей, Сер. 4, С. 290-300.

[126] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Т. 2 / Дж. Сансоне. - М.: И.Л., 1954, - 269 с.

[127] Седаков А. О сильной динамической устойчивости сс-ядра / А. Седаков. // МТИП, 7:2, 2015, С. 69-84.

[128] Слобожанин Н. М. Информация и управление в динамических играх / Н. М. Слобожанин. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002, - 308 с.

[129] Соловьев А. И. Декомпозиция задачи оптимального потребления на дискретном рынке / А. И. Солобьев. // УБС, 53 (2015), С. 45-57.

Литература

323

[130] Субботин А. И. Обобщенные решения дифференцильных уравнений 1-го порядка. Перспективы динамической оптимизации / А. И. Субботин. -М.: Ижевск, 2003, - 336 с.

[131] Субботин А. И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Субботин, А. Г. Ченцов. - М.:Наука, 1981, - 288 с.

[132] Тиролв Ж. Рвшки и рвшочная властв: теория организации промышленности. В 2-х т.; пер. с англ.; под ред. Галвперина В. М. и Зенкевича Н. А. / Ж. Тиролв. - СПб.: Экономическая школа, 2000.

[133] Тур А. В. Линейно-квадратичнв1е неантагонистические дискретные игрв1 / А. В. Тур. // Управление болвшими системами, Ввшуск 26.1, М.: ИПУ РАН, 2009, С. 139-163.

[134] Тур А. В. Линейно-квадратичнв1е стохастические дискретные игрв1 со случайной продолжителвноствю / А. В. Тур. // Математическая теория игр и её приложения, Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2014, Т.6, В. 3, С. 76-92.

[135] Тур А. В. Стратегическая устойчивости в линейно-квадратичных дифференциальных играх с нетрансферабельными выигрышами / А. В. Тур. // Математическая теория игр и её приложения, Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2015, Т. 7, В. 4, С. 56-70.

[136] Тур А. В. Условие Д.В.К. Янга в линейно-квадратичных дискретных играх / А. В. Тур. // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос ун-та, 2009, С. 678-683.

Литература

324

[137] Тынянский Н. Т. Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 10 / Н. Т. Тынянский, В. И. Жуковский. - М.: ВИНИТИ, 1979.

[138] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2 / В. Феллер. - М.: Мир, 1984, - 1230 с.

[139] Филиппов А. Ф. Дифференциалвнвш уравнения с разрвшной правой ча-ствю / А. Ф Филиппов. - М.: Наука, 1985.

[140] Флеминг В. X. Детерминированное и стохастическое оптималвное управление / В. X. Флеминг, Р. В. Ришел. - М.: Мир. - 1978.

[141] Фон Нейман, Дж. и О. Моргенштейн. Теория игр и экономическое поведение / Фон Нейман, Дж. и О. Моргенштейн. - М.: Наука, 1970, - 625

с.

[142] Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданнвш момент времени / А. Г. Ченцов. // Мат. сб. 1976, Т. 99, № 3, С. 394-420.

[143] Ченцов А. Г. Об одном примере нерегулярной дифференциалвной игрв1 / А. Г. Ченцов. // ПММ, 1976, Т. 40, № 6, С. 1113-1116.

[144] Чистяков С. В. Динамический аспект решения классических кооператив-НВ1Х игр / С. В. Чистяков. // Докл. РАН, Т. 330, № 6, 1993, С. 707-709.

[145] Чистяков С. В. О бескоалиционная дифференциальных играх / С. В. Чистяков. // Докл. АН СССР. 1981, Т. 259, № 5, С. 1052-1055.

[146] Чистяков С. В. Операторв1 значения в теории дифференциальных игр / С. В. Чистяков. // Изв. ИМИ УдГУ, 2006, № 3(37), С. 169-172.

[147] Чистяков С. В. О построении силвно динамически устойчивых решений кооперативных дифференциальных игр / С. В. Чистяков. // Вести. СПбГУ, Сер. 1, № 1, 1992, С. 50-54.

Литература

325

[148] Чистяков С. В. Программные итерации и универсальные ^-оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре / С. В. Чистяков. // Докл. АН СССР, 1991, Т. 319, № 6, С. 1333-1336.

[149] Чистяков С. В. Теорема существования и единственности решения обобщенного уравнения Айзекса-Веллмана / / С. В. Чистяков, Ф. Ф. Никитин. // Дифференциальные уравнения, 2007, Т.43, №6, С. 757-766.

[150] Шевкопляс Е. В. Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Е. В. Шевкопляс. - СПб.: ООП НИИХ СПбГУ, 2004.

[151] Шевкопляс Е. В. Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью. / Е. В. Шевкопляс. // Труды XXX научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПбГУ, 1999, С. 547-551.

[152] Шевкопляс Е. В. Кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов / Е. В. Шевкопляс. // Труды XXXI научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПбГУ, 2000, С. 501-504.

[153] Шевкопляс Е. В. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана для кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью / Е. В. Шевкопляс. // Труды международной конференции ^Устойчивость и процессы управлениям, 2005, Т. 1, С. 630-639.

[154] Шевкопляс Е. В. О построении характеристической функции в кооперативных дифференциальных играх со случайной продолжительностью / Е. В. Шевкопляс. // Труды Межд. семинара "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби посвященно

Литература

326

го 60-летию академика А.И.Субботина, изд-во Уральского ун-та, Екатеринбург, 2006, № 1, С. 285-293.

[155] Шевкопляс Е. В. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана в дифференциальных играх со случайной продолжительностью / Е. В. Шевкопляс. // Математическая теория игр и ее приложения, 2009, Т.1, Вып. 2, С. 98-118.

[156] Шевкопляс Е. В. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана в дифференциальных играх со случайной продолжительностью / Е. В. Шевкопляс. // Управление большими системами, 26.1, М.: ИПУ РАН, 2009, С. 385408.

[157] Шевкопляс Е. В. Устойчивая кооперация в дифференциальных играх со случайной продолжительностью / Е. В. Шевкопляс. // Математическая теория игр и ее приложения, 2010, Т. 2, № 3, С. 79-105.

[158] Шевкопляс Е. В. Оптимальные решения в дифференциальных играх со случайной продолжительностью / Е. В. Шевкопляс. // Современная математика. Фундаментальные направления, 2011, Т. 42, С. 235-243.

[159] Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ / А. Н. Ширяев. - М.: Наука, 1976, - 272 с.

[160] Яновская Е. Б. Антагонистические игры; Проблемы кибернетики, Вып. 34. / Е. Б. Яновская. - М.: Наука, 1978, С. 221-246.

[161] Яновская Е. Б. О существовании значения антагонистических игр с полунепрерывными функциями выигрыша / Е. Б. Яновская. // Изв. АН СССР, Техн, кибернетика, № 6, 1973, С. 56-60.

Литература

327

[162] Antsaklis Р. A brief introduction to the theory and applications of hybrid systems / P. Antsaklis. // Proc. IEEE, Special Issue on Hybrid Systems: Theory and Applications, 88(7), 2000, P. 879-886.

[163] Aumann R. J. Acceptable points in general cooperative n-person games // Contributions to the Theory of Games IV ed. by Luce R.D., Tucker A.W. / R. J. Aumann. - Princeton: Princeton University Press, 1959, P. 287-324.

[164] Aumann R. J. Game theory // The New Palgreve, A Dictionary of Economics / R. J. Aumann. - London Macmillan, 1987, Vol. 2, P. 460-482.

[165] Aumann R. J. The Core of a Cooperative Game Without Side Payments / R. J. Aumann. // Transactions of the American Mathematical Society, 98, 1961, P. 539-552.

[166] Avrachenkov K. Cooperative Markov decision processes: time consistency, greedy players satisfaction, and cooperation maintenance / K. Avrachenkov, L. Cottatellucci, L. Maggi. // International Journal of Game Theory, 2012

[167] Baranova E. M. Cooperative Stochastic Games in Stationary Strategies / E. M. Baranova, L. A. Petrosjan. // Game theory and Applications, Nova Science Publishers, Vol. 11, 2006, P. 7-17.

[168] Bardi M. Optimal control and viscosity solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equation / M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta Springer. - 1997, - 574 p.

[169] Bagar T. Dynamic noncooperative game theory / T. Bagar, G. J. Olsder. // SIAM, 2nd edition, 1999, - 511 p.

[170] Bagar T. Existence of unique equilibrium solutions in nonzero-sum stochastic differential games / T. Bagar. // Differential games and control theory. II.

Литература

328

/ed. Е.О. Roxin, Р.Т. Liu, R. Sterbrg. New York: Marcel Dekker, Inc., 1977a, R 201-228.

[171] Bagar T. On the existence and uniqueness of closed-loop sampleddata Nash controls in linear-quadratic stochastic differential games / T. Bagar. // Optimization Techniques, Lecture Notes in Control and Information Sciences ed. by Iracki, K. et al. Springer-Verlag, New York, 1980, Ch.22, P. 193-203.

[172] Barndorff-Nielsen О. E. Change of time and change of measure / О. E. Barndorff-Nielsen, A. N. Shiryaev. // Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability, 21, 2nd ed., World Scientific, Hackensack, NJ, 2015, ISBN: 978-981-4678-58-2, - 344 p.

[173] Bass F. M. Generic and brand advertising strategies in a dynamic duopoly / F. M. Bass, A. Krishamoorthy, A. Prasad, S. P. Sethi // Marketing Science, 2005, 24(4), P. 556-568.

[174] Berkovitz L. D. A variational approach to differential games / L. D. Berkovitz. // In: Dresner, M., Shapley, L.S., Tucker, A.W. (ed) Advances in Game Theory, Princeton, Princeton University Press, NJ, 1964, P. 127174.

[175] Bierman H. S. Game Theory with Economic Applications / H. S. Bierman, L. Fernandez. - Addison: Wesley Publishing Company, Inc., Massachusetts, USA, 1993.

[176] Binmore K. Fun and Games. A Text on Game Theory. D. C. Heath and Company / K. Binmore. - Lexington, Massachusetts, USA, 1992.

[177] Brams S. J. Theory of Moves / S. J. Brams - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

Литература

329

[178] Branicky М. A unified framework for hybrid control: model and optimal control theory / M. Branicky, V. Borkar, S. Mitter. // IEEE Transactions on Automatic Control 43(1), 1998, P. 31-45.

[179] Breton M. A differential game of joint implementation of environmental projects / M. Breton, G. Zaccour, M. Zahaf. // Automatica, Vol. 41,№ 10, 2005, P. 1737-1749.

[180] Bonnard B. Singular trajectories and their role in control theory / B. Bonnard, M. Chyba. // Springer, 2003,T. 40.

[181] Burger E. Introduction to the Theory of Games / E. Burger. - N.Y.Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1963, - 211 p.

[182] Boukas E. K. An Optimal Control Problem with a Random Stopping Time / E. K. Boukas, A. Haurie, P. Michel. // SIAM Journal of optimization theory and applications: Vol. 64(3),1990, P. 471-480.

[183] Cannarsa P. Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi equations and optimal control / P. Cannarsa, C. Sinestrari. // Springer Science, Vol. 58, Business Media, 2004.

[184] Cesari L. Optimization - theory and applications: problems with ordinary differential equations / L. Cesari. // Springer, 1983.

[185] Chander P. and Tulkens, H. The Core of an Economy with Multilateral Environmental Externalities / P. Chander, H. Tulkens. // International Journal of Game Theory, 23, 1997, P. 379-401.

[186] Chander P. The gamma-core and coalition formation / P. Chander. // International Journal of Game Theory, 35, 2007, P. 539-556.

Литература

330

[187] Chang F. R. Stochastic Optimization in Continuous Time / F. R. Chang. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

[188] Chistyakov S. Strong Strategic Support of Cooperative Solutions in Differential Games / S. Chistyakov, L. Petrosyan. // Annals of the International Society of Dynamic Games, 2013, Volume 12, P. 99-107.

[189] Curiel I. Multi-stage sequencing situations / I. Curiel. // International Journal of Games Theory 39(1), 2010, P. 151-162.

[190] Dasgupta P. Resource depletion under technological uncertainty / P. Dasgupta, J. Stiglitz. // Econometrica 49, 1981, P. 85- 104.

[191] Dasgupta P. Strategic considerations in invention and innovation: the case of natural resources / P. Dasgupta, R. Gilbert, J. Stiglitz. // Econometrica, 51,1983, P. 1439-1448.

[192] Dementieva M. Dynamic Regularization of Self-Enforcing International Environmental Agreement in the Game of Heterogeneous Players / M. Dementieva, Yu. Pavlova, V. Zakharov. // Contributions to Game Theory and Management, 1, 2007, P. 68-91.

[193] Dixit A. K. Investment under Uncertainty / A. K. Dixit, R. S. Pindyck. -Princeton: Princeton University Press, 1994.

[194] Dockner E. Differential Games in Economics and Management Science / E. Dockner, S. Jorgensen, N. V. Long,G. Sorger. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 394 p.

[195] Dockner E. J. On the Profitability of Horizontal Mergers in Industries with Dynamic Competition / E. J. Dockner, A. Gaunersdorfer. // Japan and the World Economy, 2001, № 4, P. 195-216.

Литература

331

[196] Dockner Е. J. International pollution control: Cooperative versus noncooperative strategies / E. J. Dockner, Van Long N. // Journal of Environmental Economics and Management, 1993, Vol. 25, P. 13-29.

[197] Domansky V. Dynkin games with randomized optimal stopping rules / V. Domansky. // Annals of the International Society of Dynamic Games, Vol.7, Birkhauser, Boston, MA, USA, 2004, P. 247-262.

[198] Dresher M. Games of strategy, theory and applications / M. Dresher. - N.Y.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1961.

[199] Engwerda J. LQ dynamic optimization and differential games / J. Engwerda. - John Wiley V Sons, 2005.

[200] Epstein G. S. The extraction of natural resources from two sites under uncertainty / G. S. Epstein. // Econ. Lett. 51, 1996, P. 309-313.

[201] Evans L. C. Partial Differential Equations / L. C. Evans. // Volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, 2nd edition, 2010.

[202] Feliz R. A. The optimal extraction rate of a natural resource under uncertainty / R. A. Feliz. // Econ. Lett. 43, 1993, P. 231- 234.

[203] Ferenstein E. Z. On some kind of Dynkin's stopping game / E. Z. Ferenstein. // Demonstratio Mathematica, 2001, 34, 1, P. 191-197.

[204] Fershtman C. Dynamic Duopolistic Competition with Sticky Prices / C. Fershtman, M. Kamien. // Econometrica, 1987, Vol. 55, No. 5. P. 1151-1164.

[205] Filar J. A. A regional allocation of world CO2 emission re-ductions / J. A. Filar, P. S. Gaertner. // Mathematics and Computers in Simulation, 1997, 43, P. 269-275.

Литература

332

[206] Finkelstein М. Failure rate modelling for reliability and risk / M. Finkelstein. // Springer, 2008, - 290p.

[207] Fishburn P. C. Utility theory for decision making / P. C. Fishburn. - New York; London; Sydney; Toronto: Wiley, 1970.

[208] Fleming W. H. Deterministic and Stochastic Optimal Control / W. H. Fleming, R. W. Rishel. - New York: Springer-Verlag, 1975.

[209] Friedman A. Differential Games / A. Friedman. - Wiley, N.Y., 1971, p. 350.

[210] Fudenberg D. Game theory / D. Fudenberg, J. Tirole. - Mass: MIT Press, 1991.

[211] Gibbons R. Game Theory for Applied Economists / R. Gibbons. - Princeton, New Jersey: Prine. Univ. Press, 1992.

[212] Giri В. C. Recent trends in modeling of deteriorating inventory / В. C. Giri, S. K. Goyal. // European Journal of Operational Research, 2001, Vol. 134, No 1, P. 1-16.

[213] Goebel R. Hybrid dynamical systems / R. Goebel, R. Sanfelice, A. Teel. // IEEE Control Systems Magazine, 29(2), 2009, P. 28-93.

[214] Grauer L. V. Strong Nash Equilibrium in Multistage Games / L. V. Grauer, L. A. Petrosjan. // International Game Theory Review, 2002, Vol. 4(3), P. 255-264.

[215] Gromov D. Differential games with random duration: A hybrid systems formulation. / D. Gromov, E. Gromova. // In: Petrosyan LA, Zenkevich NA (eds) Contributions to game theory and management, Vol VII, Graduate School of Management SPbU, 2014, P. 104-119.

Литература

333

[216] Gromov D. On a Class of Hybrid Differential Games / D. Gromov, E. Gromova. // Dynamic Games and Applications, 2016.

[217] Gromova E. A differential game model for the extraction of non-renewable resources with random initial times: The cooperative and competitive cases / E. Gromova, Jose Daniel Lopez-Barrientos. // International Game Theory Review, 2016, Vol. 2, № 18, 1640004, - 19 p.

[218] Gromova E. A differential game of pollution control with participation of developed and developing countries / E. Gromova, K. Plekhanova. // Contributions to Game Theory and Management, 8, 2015, P. 64-83.

[219] Gromova E. V. A game-theoretic model of pollution control with asymmetric time horizons / E. V. Gromova, A. V. Tur, L. I. Balandina. // Contributions to Game Theory and Management, 2016, Vol. 9, P. 170-179.

[220] Gromova E. Control of Information Horizon for Cooperative Differential Game of Pollution Control / E. Gromova, O. Petrosjan. // Proceedings of the Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference), 2016.

[221] Gromova E. V. Differential Game of Pollution Control with Random Terminal Instants / E. V. Gromova, A. V. Tur. // Abstracts of the tenth International Conference on Game Theory and Management (GTM2017), -53 p.

[222] Gromova E. Risk and Deviation Measures for a Class of Optimal Control Problems with Random Time Horizon / E. Gromova, A. Malakhova, D. Gromov. // 2016 SICE International Symposium on Control Systems, 2016.

[223] Gromova E. The Shapley value as a sustainable cooperative solution in differential games of 3 players / E. Gromova // Recent Advances in Game

Литература

334

Theory and Applications. Petrosyan, L.A., Mazalov, V.V. (Eds.), Birkhauser, 2016, P.67-89.

[224] Halkin H. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horizons / H. Halkin. // Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1974, P. 267-272.

[225] Harris C. Innovation and natural resources: a dynamic game with uncertainty / C. Harris, J. Vickers. // Rand J. Econ. 26(3), 1995, P. 418-430.

[226] Hart S. The potential of the Shapley value / S. Hart, A. Mas-Colell. // Essays in Honor of Lloyd S. Shapley, Alvin E. Roth (Ed.), 1989, P. 127-137.

[227] Hart S. The Shapley value / S. Hart. //In Game Theory. J. Eatwell, M. Milgate, P. Newman (Eds.), Palgrave Macmillan UK, 1989, P. 210-216.

[228] Hart S. The Shapley value / S. Hart. //In "The New Palgrave Dictionary of Economics Second Edition, 2008.

[229] Haurie A. A Multigenerational Game Model to Analyze Sustainable Development / A. Haurie. // Annals of Operations Research, 2005, V. 137, № 1, P. 369-386.

[230] Haurie A. A note on nonzero-sum differential games with bargaining solutions / A. Haurie. // Journal of Optimization Theory and Applications, 1976, V. 18, N 1, P.31-39.

[231] Haurie A. Differential game models of global environmental management / A. Haurie, G. Zaccour. // Annals of Dynamic Games, Boston, 1994, P. 124-132.

[232] Haurie A. Games and dynamic games / A. Haurie. et al. // World Scientific Books, 2012.

Литература

335

[233] Haurie A. Some Properties of the Characteristic Function and Core of Multistage Game of Coalitions / A. Haurie. // IEEE Transactions on Automatic Control, April 1975, P. 238-241.

[234] Henley E. J. Reliability engineering and risk assessment / E. J. Henley, H. Kumamoto. // Prentice-Hall, Inc., 1981.

[235] Isaacs R. Differential Games / R. Isaacs. - New York: Wiley, 1965.

[236] Jorgensen S. Agreeability and Time Consistency in Linear-State Differential Games / S. Jorgensen, G. Martin-Herran, G. Zaccour. // Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 119, № 1, 2003, P. 49-63.

[237] Jprgensen S. Developments in Differential Game Theory and Numerical Methods: Economic and Management Applications / S. Jorgensen, G. Zaccour. // Computational Management Science, 2007, Vol. 4, N 2, P. 159182.

[238] Jorgensen S. Feedback Nash equilibria in a problem of optimal fishery management / S. Jorgensen, G. Sorger. // Journal of Optimization Theory and Applications, 1990, 64, P. 293-310.

[239] Jorgensen S. Inter and intragenerational renewable resource extraction / S. Jorgensen, D. W. Yeung. // Annals of Operations Research, 1999, 88, P. 275-289.

[240] Jorgensen S. Sustaining Cooperation in a Differential Game of Advertising Goodwill Accumulation / S. Jorgensen, E. Gromova. // European Journal of Operational Research, 2016, Vol. 254, № 1, P. 294-303.

Литература

336

[241] Jprgensen S. Time-Consistent Side Payment in a Dynamic Game of Downstream Pollution / S. Jprgensen, G. Zaccour. // Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 25, 2001, P. 1973-1987.

[242] Kaitala V. Equilibria in a stochastic resource management game under imperfect information / V. Kaitala. // European Journal of Operational Research, 71, 1993, P. 439-453.

[243] Kaitala V. Sustainable international agreements on greenhouse warming / V. Kaitala, M. Pohjola. //A game theory study, in Carraro and Filar (eds.), Control and Game Theoretic Models of the Environment, Annals of the International Society of Dynamic Games, Vol. II. Boston: Birkhauser, 1995.

[244] Kamien Morton I. Limit Pricing and Uncertain Entry / Morton I. Kamien, Nancy L. Schwartz. // Econometrica, Vol. 39, No. 3, (May, 1971), P. 441-454

[245] Karlin S. / S. Karlin, R. Restrepo. // In H. Kuhn and A. Tucker, editors, Contributions to the Theory of Games. - N.Y.: Princeton Univ. Press, Princeton, 1957.

[246] Karlin S. Reduction of certain classes of games to integral equations / S. Karlin. - N.Y.: Princeton Univ. Press, Princeton, 1953.

[247] Karlin S. Mathematical Methods and Theory in Games, Programming and Economics / S. Karlin. - London: Pergamon Press, 1959, - 840 p.

[248] Karp L. Non-constant discounting in continuous time / L. Karp. // Journal of Economic Theory, 2007, V. 132, P. 557-568.

[249] Kidland F. E. Rules rather than decisions: the inconsistency of optimal plans / F. E. Kidland, E. C. Prescott. // J. of Political Economy, 1977, Vol. 85, P. 473-490.

Литература

337

[250] Kohlberg Е. On the strategic stability of equilibria / E. Kohlberg, J. F. Mertens. // Econometrica, Vol. 54, 1986, P. 1003-1039.

[251] Kostyunin S.. A differential game-based approach to extraction of exhaustible resource with random terminal instants / S. Kostyunin, A. Palestini, E. Shevkoplyas. // Contributions to Game Theory and Management, 2012, № 5, P. 147-155.

[252] Kostyunin S. Differential game of resource extraction with random time horizon and different hazard functions / S. Kostyunin, A. Palestini, E. Shevkoplyas. // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й меж-дунар. науч, конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 571-576.

[253] Kostyunin S. Y. On a exhaustible resource extraction differential game with random terminal instants / S. Y. Kostyunin, A. Palestini, Е. V. Shevkoplyas. // Vestnik St. Petersburg Univ. Ser. 10. Prikl. Mat. Inform. Prots. Upr., no. 3, 2013, P. 73-82.

[254] Kostyunin S. On a nonrenewable resource extraction game played by asymmetric firms / S. Y. Kostyunin, A. Palestini, Е. V. Shevkoplyas. // SIAM Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 163, No. 2, 2014, P. 660-673.

[255] Krasovskii A. N. Control under lack of information / A. N. Krasovskii, N. N. Krasovskii. - Birkhauser, Boston, 1995, - 320 p.

[256] Krawczyk J. Management of pollution from decentralized agents by the local government / J. Krawczyk, G. Zaccour. // International Journal of Environment and Pollution, V. 12, №2/3, 1999, P. 343-357.

Литература

338

[257] Kreps D. М. Structural consistency, consistency and sequential rationality /

D. M. Kreps, G. Ramey. // Econometrica, Vol. 55, 1987, P. 1331-1348.

[258] Kreps D. M. Game theory and economic modeling / D. M. Kreps. - Oxford: Oxford Univ. Press, 1990.

[259] Kuhn H. W. Extensive games and the problem of information / H. W. Kuhn. // Annals of Mathematics Studies, Vol. 28, P. 193-216.

[260] Leitmann G. Cooperative and Non-Cooperative Many Players Differential Games / G. Leitmann. - N.Y.:Springer-Verlag, 1974.

[261] Leitmann G. Profit maximization through advertising: nonzerosum differential game approach / G. Leitmann, W. E. Schmitendorf. // IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 23, 1978, P. 645-650.

[262] Lunze J. Handbook of hybrid systems control: theory, tools, applications / J. Lunze, F. Lamnabhi-Lagarrigue. - Cambridge: Cambridge University Press, 2009.

[263] Mangasarian O. Sufficient conditions for the optimal control of nonlinear systems / O. Mangasarian. // SIAM Journal on Control, 4, 1966, P. 139152.

[264] Marin-Solano J. Non-constant discounting in finite horizon: the free terminal time case / J. Marin-Solano, J. Navas. // Journal of Economic Dynamics and Control, 2009, V. 33, P. 666-675.

[265] Marin-Solano J. Non-constant discounting and differential games with random time horizon / J. Marin-Solano, E. V. Shevkoplyas. // Automatica, 47(12), 2011, P. 2626-2638.

Литература

339

[266] Masoudi N. A differential game of international pollution control with evolving environmental costs/ Masoudi N., Zaccour G. // Environment and Development Economics 18(06), P. 680-700

[267] Mazalov V. V. Dynamic games with optimal stopping / V. V. Mazalov. // Game theory and Applicatoins, 1996, Vol. II. Nova Science Publishers, New York, P. 37-46.

[268] Mazalov V. Fish wars with many players / V. Mazalov, A. Rettieva. // Int. Game Theory Rev, 2010, V. 12, no. 4, P. 385-405.

[269] Mazalov V. V. Games with optimal stopping of Wiener processes / V. V. Mazalov, S. V. Vinnichenko. // Probability Theory and Applications, 1988, Vol. 33, P. 590-591.

[270] McMillan J. Games, Strategies and Managers / J. McMillan. - Oxford: Oxford University Press, 1992.

[271] Melikyan A. Solution of a Nonzero-Sum Game via Reduction to a Zero-Sum Game / A. Melikyan, G. Olsder, A. Akhmetzhanov. // International Game Theory Review, Vol. 10(4), 2008, P. 437-459.

[272] Michel P. On the transversality condition in infinite horizon optimal problems / P. Michel. // Econometrica, 50(4), 1982, P. 975-985.

[273] Mood A. Introduction to the Theory of Probability and Statistics / A. Mood, F. Graybill, D. Boes. // McGraw Hill, 1974.

[274] Morari M. Hybrid systems modeling and control / M. Morari, M. Baotic, F. Borrelli. // European Journal of Control 9(2), 2003, P. 177-189.

[275] Morozov V. V. On optimal partial hedging in discrete markets / V. V. Morozov, A. I. Soloviev. // Optimization, 2013, Vol. 62, № 11, P. 1403-1418.

Литература

340

[276] Myerson R. В. Game theory / R. B. Myerson. - Cambridge: Massachusetts, Harvard University Press, 1991.

[277] Myerson R. B. Refinements of the Nash equilibrium concept / R. B. Myerson. // International Journal of Game Theory, Vol. 7, 1978, P. 73-80.

[278] Nash J. F. Equilibrium points in n-person games / J. F. Nash. // Proc. Nat. Acad. Sci., USA. Vol. 36, 1950, P. 48-49.

[279] Nash J. F. Non-cooperative games / J. F. Nash. // Annals of Mathematics, Vol. 54, 1951, P. 286-295.

[280] Nash J. F. Two-person cooperative games / J. F. Nash. // Econometrica, Vol. 21, 1953, P. 128-140.

[281] Neumann J. von. Zur Theorie der Gesellschaftsspiele / Neumann J. von. Zur. // Math. Ann, Vol. 100, 1928.

[282] Neumann J. The Theory of Games and Economic Behavior / J. Neumann,

O. Morgenstern. - Princeton: Princeton University Press, 1944.

[283] Ordeshook P. C. Game theory and political theory: An introduction / P. C. Ordeshook. - Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

[284] Owen G. Game Theory / G. Owen. - Emerald Group Publishing Limited; 3rd edition, 1995, - 460 p.

[285] Parilina E. Approximated cooperative equilibria for games played over event trees / E. Parilina, G. Zaccour. // Operations Research Letters, 2015, 43 (5),

P. 507-513.

[286] Parilina E. Node-consistent core for games played over event trees / E. Parilina, G. Zaccour. // Automatica, 2015, Vol. 53, P. 304-311.

Литература

341

[287] Parilina Е. Price of anarchy in a linear-state stochastic dynamic game /

E. Parilina, A. Sedakov, G. Zaccour. // European Journal of Operational Research, 2017, DOE 10.1016/j.ejor.2016.09.025.

[288] Parilina E. Stable cooperation in stochastic games / E. Parilina. // Autom. Remote Control, 76:6, 2015, P. 1111-1122.

[289] Peleg B. Introduction to the theory of cooperative games / B. Peleg and P. Sudholter. - Springer, Second ed., 2007, - 328 p.

[290] Perles M.A. Superadditive Solution to Nash Bargaining Games / M. A. Perles, M. Mashler. // International Journal of Game Theory, 10, 1981.

[291] Perry D. Function space integration for annuities / D. Perry, W. Stadje. // Insurance: Mathematics and Economics, 2001, Vol. 29, N 1, P. 73-82.

[292] Petrosjan L. A. Agreeable solutions in differential games / L. A. Petrosjan. // International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra, Vol. 7, 1997, P. 65-177.

[293] Petrosjan L. A. Cooperative solutions for games with random duration / L. A. Petrosjan, Е. V. Shevkoplyas. // Game Theory and Applications, 2003, Vol. 9, P. 125-139.

[294] Petrosjan L. A Cooperative Stochastic Games / L. A. Petrosjan // Advances in Dynamic Games, Annals of the International Society of Dynamic Games, Application to Economics, Engineering and Environmental Management, ed. by A. Haurie, S. Muto, L. A. Petrosjan, T.E.S. Raghavan, 2006, P. 139-146.

[295] Petrosjan L. A. Differential Games of Pursuit / L. A. Petrosjan. - Singapore: World Scientific, 1993.

Литература

342

[296] Petrosjan L. Dynamic games with coalitional structures / L. Petrosjan, S. Mamkina. // International Game Theory Review, Vol. 8, 2006, №.2, P. 295307.

[297] Petrosjan L. A. Dynamically stable cooperation and the tenet of transitory compensation / L. A. Petrosjan, D. W. K. Yeung. // Труды международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, "Устойчивости и процессы управления - Санкт-Петербург, 2005, Vol. 1, -10 с.

[298] Petrosjan L. A. Game Theory / L. A. Petrosjan, N. A. Zenkevich. -Singapore: World Scientific, 1996.

[299] Petrosjan L. A. Mathematical Models in Environmental Policy Analysis / L. A. Petrosjan, V. V. Zakharov. - New York: Nova Science Pbl., 1996.

[300] Petrosyan L. Strategic support of Cooperative Solutions in 2-Person Differential Games with Dependent Motions / L. Petrosyan, S. Chistyakov. // Contributions to Game Theory and Management, 2013, Vol. 6, P. 388-394.

[301] Petrosyan L. Strong Strategic Support of Cooperative Solutions in Differential Games / L. Petrosyan, S. Chistyakov. // Annals of the International Society of Dynamic Games, 2013, Volume 12, P. 99-107.

[302] Petrosjan L. A. Subgame consistent cooperative solutions in stochastic differential games / L. A. Petrosjan, D. W. K. Yeung. // J. of optimization theory and applications, 2004, Vol. 120, № 3, P. 651-666.

[303] Petrosjan L. Time-consistent Shapley value allocation of pollution cost reduction / L. Petrosjan, G. Zaccour. // Journal of Economic Dynamics and Control, 27 (3), 2003, P. 381-398.

Литература

343

[304] Petrosjan L. A. The Shapley value for differential games // New Trends in Dynamic Games and Applications / eds G.Y. Olsder / L. A. Petrosjan. -Boston: Birkhauser, 1996.

[305] Petrosjan L. A. Strong Nash Equilibrium in Multistage Games / L. A. Petrosjan, L. V. Grauer. // International Game Theory Review, 2002, Vol. 4(3), P. 255-264.

[306] Petrosjan L. A. The time-consistency problem in nonlinear dynamics // RBCM - J. of the Braz. Soc. Mechanical Sciences, 1997. - Vol. 19. - № 2. - P. 281-303.

[307] Pliska S. R. Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models / S. R. Pliska. - Blackwell Publishers, 1997.

[308] Pliska S. R. Optimal life insurance purchase and consumption/investment under uncertain lifetime / S. R. Pliska, J. Ye. // Journal of Banking &: Finance, 2007, Vol. 31, N 5, P. 1307-1319.

[309] Reddy P. V. A friendly computable characteristic function / P.V. Reddy, G. Zaccour // GERAD Research Report G, 2014, 78.

[310] Reddy P. V. Time-consistent Shapley value for games played over event trees / P.V. Reddy, E. V. Shevkoplyas, G. Zaccour // Automatica, 2013, Vol. 49, № 6, P. 1521-1527.