Теоретические и экспериментальные исследования распространения упругих волн в поврежденных материалах с целью построения методики их контроля и диагностики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Моничев, Станислав Александрович

• Моничев, Станислав Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моничев, Станислав Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В РАЗНОМОДУЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ И ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. История возникновения понятия разномодульности материалов. Существующие модели. Цели и задачи данной работы.

1.2. Основные соотношения разномодульной теории упругости.

1.3. Уравнения динамики поврежденной упругой среды.

1.4. Уравнения динамики поврежденного стержня.

ГЛАВА 2. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ПОВРЕЖДЕННОЙ СРЕДЕ.

2.1. Продольные волны.

2.2. Сдвиговые волны.

2.3. Экспериментальные исследования.

2.3.1. Измерение скоростей продольной и сдвиговой ультразвуковых волн в среде с заданной зоной повреждения.

2.3.2. Генерация второй гармоники сдвиговой ультразвуковой волны, обусловленная дефектами структуры.

ГЛАВА 3. ВОЛНЫ В СТЕРЖНЕ ИЗ РАЗНОМО ДУЛЬНОГО МАТЕРИАЛА

3.1. Продольные волны.

3.2. Крутильные волны.

3.3. Экспериментальные исследования. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретические и экспериментальные исследования распространения упругих волн в поврежденных материалах с целью построения методики их контроля и диагностики»

Многие конструкционные материалы в процессе эксплуатации испытывают разные статические и динамические нагрузки, подвержены различным напряжениям, сжимающим или растягивающим, изгибным или крутильным. Как правило, выбор структуры материала зависит от условий его дальнейшей эксплуатации и напрямую зависит от вида нагрузки, а так же сопротивляемости или податливости в том или ином направлении. До недавнего времени считалось, что, для описания напряженного состояния твердого тела достаточно линейного представления Гука. Однако, эксперименты [110] показали, что во многих случаях это совсем не так. Речь идет о разносопротивляемости конструкционных материалов сжимающим и растягивающим напряжениям [11-24], что, зачастую, зависит даже не от анизотропии свойств конструкции вдоль осей главных напряжений, а, скорее, от микроповреждений и неоднородностей «размазанных» случайно по всему объему материала [25-29]. Справедливо предположить, что наличие микродефектов может сказаться не лучшим образом на «работоспособности» материала, а, зачастую, приводит к его разрушению раньше предполагаемого срока [30].

Задачи о моделировании и диагностике поврежденности крайне актуальны в наше время [31,32], тем более, что на смену консервативным конструкционным материалам (металлы и сплавы) приходят новые, композитные (стекло-углепластики) и композиционные (комбинации различных сплавов). Один из вариантов решения такой задачи представлен в данной диссертации.

ГЛАВА 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В РАЗНОМОДУЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ И ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. История возникновения понятия разномодульности материалов. Существующие модели. Цели и задачи данной работы.

Необходимость исследования зависимости свойств упругой среды от знака напряжения возникла в начале 70-х годов двадцатого столетия. Тогда появился ряд работ, в которых приводились результаты экспериментов, показывающие, что в условиях одноосного растяжения и сжатия, а также плоского напряженного состояния поведение исследуемых материалов существенно отличалось от того, которое бы объяснялось основами классической теории упругости. Данные касались измерений модуля Юнга при испытаниях материалов на растяжение и на сжатие. Так, для конструкционных графитов ВПП и АРВ модуль при сжатии был больше модуля упругости при растяжении соответственно на 10 и 20 % [1-3], а для графита ПРОГ -примерно в два раза [2]. С другой стороны, у графита ATJ-S модули при растяжении были на 20% больше модулей при сжатии [4,5]. Для волокнистых композитов ситуация оставалась столь же противоречивой. Например, у. эпоксидной смолы, армированной однонаправленными стекловолокнами, модули при сжатии были на 20% меньше модулей при растяжении [5], хотя у композитов, состоящих из эпоксидной смолы со слоями однонаправленных волокон бора, модули при сжатии примерно на 15-20% превосходили модули при растяжении [6]. У композита углерод-углерод с трехосным плетением волокон значение модуля Юнга при растяжении в четыре-пять раз превышало значение модуля при сжатии [7]. При этом наблюдалась лишь незначительная анизотропия свойств композита.

Систематические исследования физической природы такого поведения материалов указали на наиболее вероятные причины зависимости упругих характеристик от вида напряженного состояния. Исследованные материалы представляли собой либо крупнозернистые или пористые среды [1-5,10], либо композиционные материалы [6,7] на основе полимерного или эпоксидного связующего, армированного различными волокнами (как однонаправленными, так и тканой, перекрестной структуры). Тем самым, предполагалось наличие в первых и вторых множества микронеоднородностей или микротрещин, вследствие чего, рассуждения строились следующим образом.

Тело, содержащее щелевидную трещину, при растяжении в перпендикулярном плоскости направлении имеет большую податливость, чем при сжатии, поскольку при сжатии берега трещины смыкаются. Другими словами, если характер пористости, а также упругие свойства частиц наполнителя и связующего таковы, что при сжатии площадь контакта частиц увеличивается, то естественно ожидать увеличение модуля упругости при сжатии по сравнению с модулем при растяжении. Это наблюдалось у графитов с низким модулем упругости [13]. Композиты на тканевой основе имеют, как правило, значительную пористость. При растяжении волокна натягиваются, а при сжатии они могут выпучиваться в пространство пор. Картину проявления таких своеобразных свойств материала можно схематически изобразить, как показано на рис. 1.

Рис.1. Диаграмма напряжение-деформация для материала с различными модулями при растяжении и сжатии.

Соотношение величин модулей может определяться отношением жесткостей волокон или зерен к жесткости матрицы (армирующей фазы). В зависимости от соотношения жесткостей может получиться так, что, либо волокна или зерна начнут соприкасаться одно с другим и этим сделать материал более жестким, либо отдельные волокна потеряют устойчивость и материал станет менее жестким. Однако полностью физические причины различного поведения материалов при сжатии и растяжении установить очень сложно. Поэтому следует пользоваться феноменологическим описанием такого поведения материала. Другими словами, не зная, почему материал проявляет определенные свойства, можно построить модель его поведения. Были предложены несколько математических моделей материалов, обладающих разными модулями при растяжении и сжатии, а сама теория получила название разномодульной.

Так, в модели, предложенной Амбарцумяном и Хачатряном [16] предполагается, что рассматриваемый разномодульный материал проявляет различные упругие свойства в зависимости от знаков главных напряжений данной взятой точки изотропной упругой среды, при этом материал не имеет предпочтительных направлений. Также в зависимости от знака главных напряжений имеются две различные системы упругих постоянных. То есть, при чистом (одноосном) растяжении в любом направлении рассматриваемый материал имеет модуль упругости Е+, а при чистом (одноосном) сжатии в любом направлении - модуль Е . Коэффициенты Пуассона, характеризующие, соответственно, поперечное сужение при растяжении и характерное поперечное расширение при сжатии принимают значения <7+ и а . При этом, каждая из податливостей в законе связи деформаций с напряжениями скачком меняет свое значение при изменении знака напряжения, при котором стоит сомножителем данная податливость. Это приводит к тому, что значение податливости может определяться знаком только одного напряжения, поэтому для выполнения условия симметрии матрицы податливостей (в противном случае, в процессе деформации будет генерироваться энергия) необходимо требовать равенство податливостей со смешанными индексами для ст+ сграстягивающих и сжимающих напряжений, т. е. —— = ——. Как

Е Е показано в [5], такое условие сужает класс рассматриваемых материалов, поскольку искусственный способ введения перекрестных податливостей, зависящих только от одного из главных напряжений, нельзя обобщить на случай, например, ортотропного или любого другого материала, свойства которого зависят от направления приложения нагрузки материала.

В модели, предложенной Джонсом [5], используется так называемая взвешенная матрица податливостей, в которой уже введены весовые коэффициенты, зависящие от абсолютных величин двух главных напряжений. То есть, податливости зависят не только от знака главных напряжений, но и от их величины. Податливости со смешанными индексами здесь меняются непрерывно при изменении значений напряжений от значений, когда все напряжения растягивающие, до значений, когда все напряжения сжимающие. Модель Амбарцумяна, соответственно, рассматривается как частный случай.

Развитие разномодульной теории к середине 80-х годов двадцатого века привело к новому подходу для решения задач, связанных с изучением упругих сред. Так, в модели Ломакина — Работнова [13] вводится потенциал разномодульного изотропного твердого тела, в который входит каждая из податливостей. Модули упругости являются функциями напряженного состояния, которое описывается переменной, включающей в себя первый и второй инварианты тензора деформаций. Такая инвариантная форма записи уравнений, описывающих разномодульность материала, представляет неоспоримое удобство при решении задач. Одними из продолжателей подобного описания поведения разномодульных сред стали Ляховский и Мясников. В [26] ими рассматривается задача о построении функционала, описывающего поведение упругой среды с микронарушениями. Ими впервые вводится параметр, отвечающий за наличие в материале микродеффектов (как говорилось, ранее, одна из основных причин проявления материалом различных свойств на растяжение и сжатие), который непосредственно входит в выражение для внутренней энергии тела, посредством дополнительного неаналитического слагаемого. Это приводит к зависимости модулей среды от вида напряженного состояния, что согласуется с моделью Ломакина-Работнова [13]. Данное представление удобно для решения задач, связанных с распространением упругих волн в различных средах. В частности, в [28] показано, что введение поправки к гуковской модели среды может привести к существенному изменению хода сейсмических волн при изменении напряженного состояния.

Следует, однако, заметить, что подтверждение и дальнейшее изучение той или иной теории связано не только с ее стремительным развитием, но, зачастую, и с серьезной критикой. Существуют работы [33], в которых получены значительные расхождения значений модулей упругости для одного и того же материала в одном и том же направлении. Приводятся результаты экспериментов, из которых видно, что проведенные испытания на растяжение и на сжатие дали практически одинаковые модули (разница 1.5 - 2%) [33]. Автор делает вывод, что основная гипотеза разномодульной теории упругости не имеет опытного подтверждения.

Противоречивость экспериментов, а так же различия в поведении вроде бы одинаковых по структуре материалов, позволяет говорить скорее не о том, что данная теория не состоятельна, а, видимо, о недостаточной изученности явления или гипотезы на которой она основана. Поэтому мы решили исследовать разномодульность в следующем ключе.

Как уже говорилось, модель, описывающая разномодульные среды, отличается от линейной модели Гука. Статические испытания образцов различных материалов с достаточной долей уверенности достоверности) это подтверждают [1-Ю]. Но как проявит себя разномодульность при возбуждении в материале упругой волны? Не секрет, что наряду с откликом на статические нагрузки (разность модулей упругости при изменении знака напряжений) важно знать динамические свойства материала. Как известно, при прохождении волны сквозь нелинейную среду ее параметры могут сильно меняться [34-36]. При этом, нелинейные эффекты могут накапливаться, что приводит, как правило, к изменению свойств самой среды. В нашем случае это может отразиться, например, на параметрах, характеризующих микронарушения, что, в свою очередь, может спровоцировать прогрессирование поврежденности, а, следовательно, отразится на свойствах материала в целом. Однако, решение динамической задачи о распространении упругой волны в разномодульном материале имеет еще один, прикладной, аспект. Зная, как свойства среды влияют на параметры волны, можно осуществлять диагностику материала неразрушающими методами [37-42].

Исследованию разномодульных, а точнее, в контексте нашего рассмотрения, поврежденных сред в рамках поставленной выше динамической задачи и посвящена данная диссертация. Другими словами, целями данной диссертационной работы являются: во первых, исследование поврежденной упругой среды на основе волновых эффектов связанных с возбуждением в ней упругих волн, во-вторых, изучение возможности построения метода диагностики поврежденности на основе этих волновых эффектов. г

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Моничев, Станислав Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За основу диссертационной работы взята теоретическая модель поврежденности материала, основанная на положениях разномодульной теории упругости. Целью работы стало исследование влияния внутренних дефектов на основные параметры упругих волн, распространяющихся в поврежденных материалах.

Рассмотрена задача о построении функционала внутренней энергии слабонелинейной упругой среды, разносопротивляющейся растяжению и сжатию. Показано, что, согласно представлениям Ломакина-Работнова о зависимости упругих постоянных от вида напряженного состояния, в выражении для внутренней энергии следует учитывать неаналитическое слагаемое, включающее в себя весовой коэффициент v, характеризующий степень внутренних повреждений.

Выведены и решены уравнения продольных и сдвиговых волн, распространяющихся в упругой среде, учитывающие наличие внутренних повреждений. Показано, что коэффициент влияния повреждений на распространение волн имеет размерность модуля упругости, вследствие чего введено понятие модуля поврежденности.

Выведены и решены уравнения продольных и крутильных колебаний поврежденного стержня. Для описания продольных колебаний стержня без повреждений использовалось представление Бишопа.

Проведены прецизионные измерения скоростей продольных и сдвиговых волн в поврежденном материале. В качестве «инструмента» для определения скоростей волн использован эхо-импульсный метод возбуждения и приема упругих волн в твердом теле.

Проведены эксперименты по измерению скорости продольной волны, распространяющейся вдоль поврежденного стержня. Для достижения поврежденности стержней использовалась методика испытаний образцов на кручение, используемая на кафедре металловедения НГТУ им. А.А. Алексеева.

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Теоретически показано, что поврежденность влияет на скорость продольной волны в "поврежденной" среде и не влияет на скорость сдвиговой.

2. Теоретически показано, что с поврежденностью может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругости второй гармоники в спектре сдвиговой волны, распространяющейся в поврежденной среде, что подтверждается экспериментальными литературными данными.

3. Теоретически показано, что скорость продольной волны в поврежденном стержне зависит не только от частоты (дисперсия), но и от степени поврежденности материала стержня.

4. Результаты проведенных' нами экспериментов позволяют говорить о том, что в "поврежденной" среде скорость продольной волны скорее всего меньше, чем скорость в неповрежденном материале. В пределах погрешности измерения скорость сдвиговой волны не меняется.

5. Прецизионные измерения скорости продольной волны, распрстраняющейся вдоль поврежденного стержня, показали, что зависимость скорости от степени поврежденности немонотонная. При переходе через угол закрутки в 3-3,5 оборота монотонный характер этой зависимости нарушается.

6. Для области применимости рассматриваемой модели, где действуют выведенные уравнения (3 оборота подвижного захвата испытательной машины), построены зависимости модуля поврежденности от деформации.

7. Обычно при испытаниях в области упругости считается, что плотность образца не зависит от величины нагрузки. Однако в нашем случае плотность образцов существенно (на 0,8%) меняется при изменении степени закрутки от 3 до 5 оборотов. Таким образом, одновременно с накоплением повреждений происходит разрыхление материала, что требует уточнения используемой модели.

8. Эффект изменения характера зависимости скорости упругой волны от поврежденности при переходе через угол закрутки на 33,5 оборота можно использовать для предсказания начала интенсивного разрушения деталей, которые подвергаются воздействию крутящего момента за пределами упругой области.

Выражаю благодарность Ерофееву В.И. за общее руководство в процессе подготовки диссертационной работы, Никитиной Н.Е. за руководство проведением экспериментальных исследований методами ультразвуковой диагностики и неразрушающего контроля, Скуднову В.А. и Бугрову Ю.В. за предоставленную возможность использования оборудования и руководство механическими испытаниями, а также Мотовой Е.А. за консультации по пользованию аналитическими весами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моничев, Станислав Александрович, 2008 год

1. Строков В. И., Барабанов В. Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния//3аводская лаборатория. 1974.

2. Березин А. В., Строков В. И., Барабанов В. Н. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов/УВ сб.: Конструкционные материалы на основе углерода. Вып. 11. М.: «Металлургия». 1976.

3. Березин А. В., Ломакин Е. В., Строков В. И., Барабанов В. Н. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния// Проблемы прочности. 1979. N2. С. 60—65.

4. Джонс P.M., Нельсон Д.А. Сопоставление теории с экспериментом для моделей материала при нелинейной деформации графита//Ракетная техника и космонавтика, 1976. Т. 14. № 10. с. 6273.

5. Jones R. М. Stress strain relations for materials with different moduli in tension and compression. AIAA Journal. 1977. Vol. 15. N1. Pp 16 - 23 (Русский перевод: Ракетная техника и космонавтика. 1977. N1).

6. Structural Design Guide for Advanced Composites Applications: Material Characterization. Vol. 1. 2nd ed. Jan. 1971. Advanced Composites Div. Air Fors Materials Lab.

7. Kratsch К. M., Schutzler J. C., Eitman D. A. Carbon carbon 3-D orthogonal material behaviour. AIAA Paper. 1972. No. 365.

8. Елсуфьев С. А. Исследование деформирования фторопласта-4 при линейном и плоском напряженных состояниях//Механика полимеров. 1968. N4. С. 742—746.

9. Елсуфьев С. А., Чебанов В. М. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния//Исследование по упругости и пластичности. JL: Изд-во ЛГУ. 1971. Вып. 8. С. 209—213.

10. Козачевский А. И. Модификация деформационной теории пластичности бетона и плоское напряженное состояние железобетона с трещинами//Строительная механика и расчет сооружений. 1983. N4. С. 12—16.

11. Kupfer Н., Hilsdorf Н.К., Rusch Н. Behavior of concrete under biaxial stresses// J. Amer. Concrete Inst. 1969. V. 66. No.8. P. 656—666.

12. Tasuji M.E., Slate F.O., Nilson A.H. Stress-strain response and fracture of concrete in biaxial loading//J. Amer. Concrete Inst. 1978. V. 75. No.7. P. 306—312.

13. Ломакин E. В., Работнов Ю. H. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела//Изв. АН СССР. МТТ. 1978. N6. С. 29-34.

14. Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию//Инженерный журнал МТТ. 1966. № 2. С. 18—24.

15. Ломакин Е. В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от напряженного состояния//Изв. АН СССР. МТТ. 1980. N4. С. 92—99.

16. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука. 1982. 317 с.

17. Матченко Н. М., Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах//Инж. ж. МТТ. 1968. N6. С. 108—110.

18. Матченко Н. М., Толоконников JI. А. О нелинейных соотношениях разномодульной теории упругости//Сб. работ по теории упругости. Тула: Тульск. Политехнический институт. 1968. С. 69-72.

19. Матченко Н. М., Толоконников JI. А., Трещев А. А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Квазилинейные соотношения//Изв. РАН. МТТ. 1995. N1. С. 73—78.

20. Бригадиров Г. В., Матченко Н. М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости//Изв. АН СССР. МТТ. 1971. N5. С. 109—111.

21. Аркания 3. В., Матченко Н. М., Трещев А. А. К построению определяющих уравнений разномодульной теории упругости изотропных сред//Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ. 1984. N9. С. 88—90.

22. Гаврилов Д. А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела//Проблемы прочности. 1979. N9. С. 10—12.

23. Гаврилов Д. А. Определяющие уравнения для нелинейных тел неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию//Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. N3. С. 37—41.

24. Ломакин Е. В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные свойства которого зависят от вида напряженного состояния//Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 3. С. 63— 69.

25. Березин А. В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. М.: Наука. 1990. 135 с.

26. Ляховский В. А., Мясников В. П. О поведении упругой среды с микронарушениями//Физика земли. 1984. N10. С. 71 -75.

27. Ляховский В. А., Мясников В. П. Поведение вязкой упругой среды с микронарушениями при растяжении и сдвиге//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. № 4. С. 28—

28. Ляховский В. А., Мясников В. П. Разномодульность, анизотроптя и отражающие границы//Физика земли. 1986. N11. С. 69 -73.

29. Мясников В. П., Олейников А. И. Основные общие соотношения модели изотропно—упругой разносопротивляющейся среды//Доклады АН СССР. 1992. Т. 322. N1. С. 57—60.

30. Беляев В. В., Наймарк О. Б. Кинетические переходы в средах с микротрещинами и разрушение металлов в волнах напряжений//ПМТФ. 1987. N1. С. 163—171

31. Маслов В. П., Мясников В. П., Данилов В. Г. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука. 1988.144 с.

32. Антонец В. А., Донской Д. М., Сутин А. М. Нелинейная вибродиагностика расслоений и непроклея в многослойных конструкциях//Механика композитных материалов. 1986. N5. С. 934—937.

33. Жуков А. М. Модули упругости материалов при растяжении и сжатии//ПМТФ. 1985. N4. С. 128 131.

34. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями // Акуст. журн. Т. 37. №3. 1991. С.477-483.

35. Erofeev V.I., Potapov A.I. Nonlinear Mathematical Models of Damaged Media With Microstructure. The Wave Process Analysis // Macro-and Micromechanical Aspects of Fracture / Proc. EUROMECH-291. St. Petersburg, 1992.

36. Ерофеев В.И. Волновые эффекты в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Волновая динамика машин. М.: Наука, 1991. С. 140-152.

37. Рохлин JI.JI. Акустические свойства легких сплавов. М.: Наука, 1974.139 с.

38. Глаговский Б.А., Московенко И.Б. Низкочастотные акустические методы в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 205 с.

39. Химченко Н.В., Бобров В.А. Неразрушающий контроль в химическом машиностоении. М.: Машиностроение, 1978. 158 с.

40. Баранов В.М. Ультразвуковой спектроскопический метод комплексного исследования материалов новой техники. Физико-механические свойства металлов. М.: Наука, 1976. С. 51-58.

41. Методы неразрушающих испытаний. Под. ред. Р. Шарпа М.: Мир, 1972. 494 с.

42. Никитина Н.Е. Акустоупругость. Опыт практического применения. Н. Новгород: ТАЛАМ, 2005. 208 с.

43. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

44. Косарев А.Ю. Асимптотика осредненных характеристик периодических упругих сред с сильно изменяющимися свойствами,-Докл. АН СССР, 1983, т. 267, №1. С. 38-42.

45. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 335 с.

46. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 364 с.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 2. 576 с.

48. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

49. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

50. Весницкий А.И., Крысов С.В., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем, исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Горький: Изд-во ГГУ, 1983. 65 с.

51. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.

52. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979, 296 с.

53. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1980, 432 с.

54. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука 1966.

55. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // Успехи физических наук. 1970. Т 102. №4. С. 549-586.

56. Моничев С.А. Фазовые и амплитудные нелинейные эффекты в поврежденной среде // Прикладная механика и технологии машиностроения / Сб. научн. трудов. Вып. 2(11). Н. Новгород:

57. Интелсервис», 2007. С. 27-33:

58. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

59. Методика. Диагностирование конструкционных материалов. Определение динамических констант упругости второго порядка акустическим методом. Горький: Гф ВНИИНМАШ, 1979. 32 с.

60. Н.Е. Никитина, С.А. Моничев. Ультразвуковой эхо-метод исследования упругих свойств твердых тел. Препринт № 24-04-03/Нф ИМАШ РАН. Н. Новгород. 2004. 22 с.

61. ГОСТ 3565-80. Испытания материалов на кручение.

62. Скуднов В.А. Предельные пластические деформации. М.: Металлургия, 1989. 176 с.

63. Моничев С.А. Эхо-акустика как метод исследования металлов в области упругих и пластических деформаций. Препринт № 24-06-05 / Нф ИМАШ РАН. Н. Новгород. 2006. 14 с.

64. Золотаревский B.C. Механические свойства металлов. М.: Металлургия, 1983.