Стратегии и алгоритмы оптимального резервирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Губин, Владимир Николаевич

• Губин, Владимир Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Губин, Владимир Николаевич

Введение ........................................................................4

Глава 1. Постановка задачи. Вспомогательные результаты ... 18

1.1. Постановки некоторых задач оптимального резервирования ... 18

1.2. Модели резервируемых устройств....... ......................24

1.3. Метод динамического программирования для нахождения оптимальной стратегии......................................................28

1.4. Вычисление математического ожидания времени безотказной работы системы Бк+1......................................................29

1.5. Сигма-оператор. Сигма-уравнения и сигма-неравенства............35

Глава 2. Исследование свойств оптимальных стратегий..........41

2.1. Исследование выпуклости функции Т(к,г) по к в системе Зт. . . 41

2.2. Поведение функции К0(г) ............................................47

2.3. Выводы ко второй главе ..............................................57

Глава 3. Выпуклость функции Т(г)......................................59

3.1. Исследование знака выражения (а — I)2 Т(г + 1)..................59

3.2. Оптимальность включения двух элементов до конца работы системы ....................................................................63

3.3. Промежуток оптимальности включения (га + 1) исправных элементов в системе ¿>то....................................................66

3.4. Выводы к третьей главе................................................70

Глава 4. Алгоритм вычисления оптимальной стратегии резервирования ......................................................................71

4.1. Построение алгоритма вычисления оптимальной стратегии на конечном промежутке......................................................71

4.2. Построение алгоритма вычисления оптимальной стратегии на бесконечном промежутке................................................72

4.3. Реализация алгоритма вычисления оптимальной стратегии при фиксированных параметрах тир....................................74

Заключение......................................................................86

Литература......................................................................89

Приложение А. Программа для вычисления Т(г) и Ко (г) перебором значений функции Т(к, г)..........................................97

Приложение Б. Программа для вычисления Т(г) и Ко(г) с помощью полученных свойств оптимальных стратегий........100

Приложение В. Результаты численных экспериментов......103

В.1. Таблица значений Т(г) и Ко(г) при тп = 2, р = 0.9........103

В.2. Таблица значений Т(г) и К0(г) при т = 2, р — 0.7........104

Приложение Г. Акт о внедрении результатов диссертации .... 104

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стратегии и алгоритмы оптимального резервирования»

С развитием техники появляются всё более сложные технические устройства, от которых требуется безотказная работа в период эксплуатации. Из-за усложнения систем растет количество составляющих их элементов. Несмотря на то, что надежность элементов, составляющих систему, растет, надежность системы в целом увеличивается в меньшей степени. Поэтому на первый план выступила проблема обеспечения высокой надёжности сложных систем. Важность этой проблемы обусловлена прежде всего тем, что отказ сложного технического устройства влечет за собой значительные финансовые, а иногда и человеческие потери. Следует отметить, что вопросам обеспечения высокой надежности при создании и эксплуатации устройств и систем всегда уделялось значительное внимание. Однако, эти вопросы долгое время не выделялись в самостоятельную научную дисциплину.

В России проблема надёжности устройств впервые была затронута на сессии Академии наук СССР в 1934 году. После это начали разрабатываться методы расчёта показателей надежности и испытаний изделий на надежность. Учитывая, что отказ представляет собой случайное событие, стал активно использоваться аппарат теории вероятностей и математической статистики. Если говорить о теории надежности в том ее виде, в каком она существует на данный момент, то она начала зарождаться в США после второй мировой войны. Американцы ощутили проблему ненадежности во время Корейской войны из-за частых отказов военной техники. Им приходилось дальше всех добираться до баз, где можно было отремонтировать технику и пополнить запас. В связи с этим и возникла идея о повышении надежности военной техники.

Понятие надежности объекта [24] часто формулируется как совокупность свойств, обеспечивающих выполнение объектом поставленных задач в установленном объеме и сохранение значений необходимых параметров в требуемых пределах в течение заданного периода времени при определенных условиях экс-

плуатации . Также надежность определяется через набор частных ионятий и характеристик. К ним относят безотказность, ремонтопригодность, сохранность, долговечность и другие характеристики.

Выделение теории надежности в отдельную дисциплину произошло в конце 40-х-начале 50-х годов 20 века. Эта область науки стала очень популярной в связи с научно-техническим прогрессом и, как следствие, необходимостью повышать качество технических устройств. К любому техническому устройству мы вынуждены предъявлять некоторые требования, необходимые для успешного функционирования этого устройства. Теория надежности устанавливает закономерности возникновения отказов устройств и методы их прогнозирования; изыскивает способы повышения надежности изделий при конструировании и последующем изготовлении, а также приемы поддержания надежности во время их хранения и эксплуатации; разрабатывает методы проверки надежности изделий и способы контроля надежности при приемке больших партий продукции.

Теория надежности вводит в рассмотрение количественные показатели качества продукции. Чаще всего показателями качества устройств выступают вероятность безотказной работы на некотором промежутке, среднее время безотказной работы системы и интенсивность отказов.

На пике развития математической теории надежности вышло очень много литературы по этому разделу. К основополагающим книгам по математической теории надежности можно отнести монографии Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляева, А. Д.Соловьева [7], Я. Б.Шора [47], А.Л. Райкина [31, 33], Р. Барлоу, Ф. Прошана [48], а также перевод книги Д. К. Ллойда и М. Липова [22].

На этапе проектирования надежность технических систем можно повысить двумя основными способами:

1. повышение надежности элементов, входящих в систему;

2. введение в систему избыточности.

Первый способ для многих типов систем и их подсистем в настоящее время почти исчерпал себя, в силу того, что надежность элементов, входящих в систему, достигла достаточно высоких значений, и для дальнейшего увеличения их надежности потребуются большие финансовые затраты. Поэтому данный способ повышения надежности в настоящее время оказывается во многих случаях невыгодным с позиции затрат. Второй способ связан с введением в систему избыточности и имеет различные направления. В системах управления все многообразие возможных путей реализации избыточности можно представить в следующих видах [18], [29]:

• параметрическом;

• режимном;

• временном;

• структурном;

• функциональном;

• информационном.

Параметрическая избыточность — метод повышения надежности системы с помощью введения запасов на случай изменения параметров системы.

Режимная избыточность - метод повышения надежности систем путем введения в систему запасов на случай нагрузки, значительно превышающей номинальную.

Временная избыточность — метод повышения надежности систем, предусматривающий использование избыточного времени.

Информационная избыточность — метод повышения надежности систем, предусматривающий использование дополнительной информации.

Функциональная избыточность — метод повышения надежности систем, при котором функции отказавших элементов принимают на себя исправные

элементы.

Структурная избыточность — метод повышения надежности систем, предусматривающий использование резервных элементов.

Остановимся подробнее на структурной избыточности, а именно, на методе резервирования. Это один из наиболее распространенных методов повышения надежности на практике. Резервирование представляет собой присоединение к элементу или блоку элементов системы одного или нескольких резервных элементов (блоков), которые в случае возникновения отказа основного элемента или блока элементов подключаются в систему вместо отказавших элементов и выполняют их функции.

В настоящее время резервирование систем характеризуется тремя признаками [17]:

1. состоянием резервного элемента;

2. масштабами резервирования;

3. кратностью резервирования.

В зависимости от состояния резервного элемента различают:

• нагруженное или горячее резервирование;

• полунагруженное или теплое резервирование;

• ненагруженное или холодное резервирование.

По масштабам резервирования выделяют общее резервирование и раздельное резервирование. Общее резервирование состоит в резервировании объекта в целом, раздельное - в резервировании объекта по отдельным участкам. По соотношению количества основных и резервных элементов резервирование может быть кратным и некратным.

Кратностью резервирования называется отношение числа резервных элементов к числу резервируемых. На основе этого признака выделяют резервирование с целой и дробной кратностью.

В связи с появлением резервирования стали возникать задачи оптимального распределения резерва с целью повышения надежности следующего вида:

1. Максимизировать выбранный показатель качества системы путем поэлементного нагруженного резервирования при заданных ограничениях на общие затраты, связанные с введением резервных элементов;

2. Достичь требуемого показателя качества системы при минимально возможных затратах на используемые резервные элементы;

То есть но существу первыми задачами в теории оптимального резервирования были задачи оптимального распределения ресурсов [34, 39, 48]. Первые задачи в этом направлении, видимо, были сформулированы в [35, 50, 52]. В настоящее время имеется множество работ, посвященных решению задач оптимального резервирования. Это, например, работа Аврамченко Р.Ф. [3], в которой решается задача выбора оптимальной программы включений запасных элементов в нагруженный режим, Гаганова Г.Г. и Ивлева В.В. [4], в которой рассматривается решение задачи о нахождении оптимального количества резервных элементов. В работах [1], [2] излагается решение задачи оптимального резервирования аппаратуры при нескольких ограничениях. Также вышло учебное пособие Половко A.M., Гурова C.B. [28], в котором рассматриваются вопросы выбора кратности резервирования систем с высоким уровнем надежности.

Для решения задач оптимального резервирования используются такие методы, как метод динамического программирования [49], метод покоординатного спуска и метод множителей Лагранжа[39], а также различные модификации этих методов.

В это же время проводились исследования по улучшению такой характеристики системы как среднее время безотказной работы [40], [41].

По способу подключения элементов в теории надежности выделяют также задачи динамического резервирования. При динамическом резервировании элементы могут подключаться двумя способами:

1. когда распределение резерва проводится в каждый момент проверки в зависимости от состояния системы в этот момент;

2. когда распределение резерва проводится в заранее определенные моменты времени и во время функционирования системы не изменяется.

Задачи первого типа рассмотрены в работах [6, 20, 21, 23, 25-27, 30, 36, 45]. Задачи второго типа рассмотрены в [8], [19], [33] и [42].

Решение задач динамического резервирования остается актуальным, поскольку чаще на практике используются два вида резервирования: нагруженное резервирование, когда все резервные элементы находятся в рабочем режиме, и ненагруженное резервирование, когда некоторое количество элементов находится в рабочем состоянии, остальные - в резерве; после выхода из строя одного из рабочих элементов, его заменяют исправным элементом из резерва. Ясно, что второй вид резервирования с позиции использования резерва более рационален, чем первый.

Однако, при использовании холодного резервирования на практике возникают определенные сложности. Это связано с тем, что требуется постоянный контроль состояния системы, чтобы знать, когда откажет рабочий элемент, и в случае отказа заменить его исправным из резерва. Если же в определенные моменты времени в системе существует возможность контроля ее состояния или если но крайней мере в некоторые моменты времени существует возможность подключения элементов из резерва, то использование динамического резервирования является весьма эффективным.

Исследования в области динамического резервирования до сих пор востребованы, поскольку его можно использовать при резервировании систем, в которых нет возможности постоянно контролировать состояния, а включение

всех элементов сразу не является оптимальным с точки зрения оптимизации надежности системы. Прежде всего динамическое резервирование необходимо использовать в системах, которые являются дорогостоящими или не подлежат ремонту. Это, например, космические станции, спутники, системы передачи данных. В связи с этим исследования в области динамического резервирования актуальны и в настоящее время.

Классическая постановка задачи динамического резервирования, впервые описанная в работах [5, 30], выглядит следующим образом. Имеется система, состоящая из одного основного элемента, параллельно которому (в смысле надежности) может быть включено некоторое конечное число элементов того же типа. К моменту начала работы системы всего в наличии имеется г исправных элементов, среди которых один - основной. Система функционирует на интервале времени (0, Т). Через некоторый промежуток времени фиксированной длины А в моменты времени = кА, где к = 0,1,2,... ,п, проводится проверка исправности включенных в работу элементов. Время на проверку и на включение новых элементов из резерва считается пренебрежимо малым и в дальнейшем не учитывается. Часть элементов, которые не включены в работу, находится в холодном резерве (т.е. эти элементы своего ресурса не расходуют). Отказ элемента, включенного в работу, не влияет на исправность других элементов. Отказавшие элементы не восстанавливаются. Обозначим через q вероятность отказа одного элемента на интервале длиной А, через р — 1 — q -вероятность безотказной работы одного элемента на этом же интервале длиной Д. Стратегия управления резервом заключается в задании целочисленной функции 1 ^ К (г, в) ^ г, которая указывает, какое количество элементов необходимо включить в работу при наличии г исправных элементов, где я - вектор параметров системы. Требуется найти стратегию включения исправных элементов в моменты проверок, при которой вероятность безотказной работы системы на заданном промежутке времени (0, Т) была бы максимальной (вероятность отказа системы на интервале (0, Т) минимальна).

Для решения поставленной задачи в работе Герцбаха [5] предложен метод динамического программирования. В этой же работе получено достаточное условие оптимальности нулевой стратегии, согласно которой все исправные элементы включаются в работу. Этой же задачей занимались в своих работах Мандель A.C. и Райкин A.J1. [23, 30]. Однако, для описанной задачи в перечисленных работах большинство свойств оптимальных стратегий были получены лишь экспериментально, но не доказаны теоретически. В 70-х годах Пестовым Г.Г. и Ушаковой J1.B. в [26, 27] был дополнен перечень основных свойств оптимальных стратегий для модели резервирования, в которой в качестве критерия оптимизации выбрана вероятность безотказной работы системы на промежутке времени (0, Т). Кроме того, все свойства, изложенные в [26, 27] были строго доказаны. Позднее Томиленко В.А. в [36] получил обобщение некоторых свойств оптимальных стратегий на случай резервирования с дробной кратностью.

Значительный интерес представляет изучение свойств стратегий, оптимальных но критерию среднего времени безотказной работы системы на конечном и на бесконечном промежутках, и построение эффективного алгоритма нахождения оптимальных стратегий для моделей резервирования на конечном и на бесконечном промежутке.

Целью диссертационной работы является разработка быстрого алгоритма для вычисления оптимальной стратегии по заданному критерию резервирования.

Задачи, которые необходимо решить для поставленной цели:

I

1. выделить класс задач динамического резервирования, для которых эффективно работает сигма-оператор;

2. сформулировать и доказать общие свойства оптимальных стратегий для трех моделей динамического резервирования;

3. найти то количество резервных элементов, при котором оптимальной стратегией в системе Sm является включение в работу (т + 1) исправных

элементов;

4. построить алгоритм поиска оптимальной стратегии для трех рассматриваемых моделей резервирования на основе доказанных свойств оптимальных стратегий.

Краткое содержание работы.

В первой главе приведен обзор некоторых задач оптимального резервирования. Далее сформулированы три модели динамического резервирования и поставлены задачи для этих трех моделей. Здесь же изложен метод динамического программирования Беллмана для задач динамического резервирования. Затем рассмотрен частный случай поставленной задачи, когда в систему можно включить не более (к + 1) элементов, и система работает исправно, если включено не менее к исправных элементов. Показано, что оптимальная стратегия для такой системы будет такова:

• если имеется не меньше, чем (к + 1) исправных элементов, то в работу включается (к + 1) элементов;

• если в данный момент имеется только к исправных элементов, то все они включаются в работу.

Для данной системы вычислено среднее время безотказной работы системы при оптимальной стратегии:

Показано, что даже при наличии сколь угодно большого числа резервных элементов значение среднего времени безотказной работы системы при оптимальной стратегии для описанной системы, монотонно возрастая, стремится к конечной величине, равной ((1 — рк)( 1 — (кд + 1)рк))~1.

Г(г) =

Далее на множестве функций (Т(г)} вводится линейный оператор а. По определению для каждого г > 0 полагаем aT(r + 1) = Т(г). С помощью (j-оператора получены вспомогательные сигма-неравенства.

Во второй главе установлена область выпуклости функции Т(к, г) по переменной к при фиксированном г, а также найдены промежутки возрастания и убывания этой функции. Доказано, что Ko(r) < Ko(r + 1) < Kq{t) + 1, то есть при увеличении резерва на единицу, оптимальная стратегия может только возрасти, причем не более, чем на единицу. Исследовано поведение функции Kq(t) при г —>■ оо и доказано, что существует lim Ко(г). Поскольку отноше-

г—> оо

ние Т(г -f 1 )/Т(г) ограничено и убывает с ростом г, то по теореме из анализа существует предел этого отношения. Доказано, что если lim К0(г) = оо, то

г—юо

и- Ч^=1-

г-> оо Т(Г)

В третьей главе исследуется выпуклость функции Т(г), для этого изучается знак выражения {а — 1 )2Т(г 4-1). Как показано во второй главе, промежуток 1 ^ г < оо разбивается на непересекающиеся промежутки /<о-постоянства, причем, начиная с некоторого значения г = го,

• при входе в очередной промежуток /^о-постоянства выражение (сг — 1 )2Т(г + 1) становится положительным;

• внутри промежутка /<о-постоянства и на выходе из него выражение

(а - 1)2Г(г + 1) отрицательно.

Также в данной главе показано, что из выпуклости функции Т(г) следует, что отношение Т(г + 1 )/Т{г) убывает с ростом г.

Далее рассмотрена задача об оптимальности включения в работу двух исправных элементов, то есть о нахождении такого отрезка [71,7*2], на котором К0(г) = 2. Для этой задачи найдены ограничения на резерв в виде [2, 3 + и(р)],

где и{р) -

In д(р)

In f(p)

= з(р) = (1-рд) I 1 +

2р 4 \ (р+1)! 13

Затем рассматривается обобщение этой задачи на случай резервирования с дробной кратностью. Показано, что для системы Бт оптимальной стратегией является включение в работу (т+1) исправных элементов, если резерв системы заключен в промежутке [т + 1, т + 2 + (¿], где

а п т\ \ (т + а — целая часть отношения (то / та); а = —-т+1 ;

с- , ......6„ „_, , ,, 6= 1

'/(« - а2 + С1+1р'"д)((а - 1)Тт(т) + Ь)' 1 - ' В четвертой главе с помощью свойств оптимальных стратегий, полученных в предыдущих главах, построены быстрые алгоритмы нахождения оптимальной стратегии на конечном и на бесконечном промежутках. Также в данной главе приведены результаты численных экспериментов для модели резервирования на бесконечном промежутке при фиксированных параметрах т и р, когда в качестве критерия оптимизации выбрано среднее время безотказной работы системы. Эти численные эксперименты подтверждают свойства оптимальных стратегий, доказанные теоретически в данной работе.

Научная новизна состоит в решении задачи оптимального управления резервом для трех моделей динамического резервирования, в которых в роли критерия оптимизации выступает либо среднее время безотказной работы системы на конечном или бесконечном промежутке, либо надежность системы на конечном промежутке, а также в том, что с помощью доказанных в данной работе свойств оптимальных стратегий построены эффективные алгоритмы вычисления оптимальных стратегий для этих моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы на практике для улучшения показателей качества сложных технических систем, которые являются дорогостоящими, долгое время не ремонтируются или вовсе не подлежат ремонту, например, для увеличения среднего времени безотказной работы системы или для повышения надежности системы на конечном промежутке. Также полученные результаты

можно использовать при чтении спецкурсов по теории надежности.

Положения, выносимые на защиту:

• Для модели резервирования с дробной кратностью, где в качестве критерия оптимизации выступает среднее время безотказной работы системы на бесконечном промежутке, в общем случае найдена область выпуклости по к функции Т(к,г) при фиксированном г;

• Для модели резервирования на бесконечном промежутке доказано, что с увеличением резерва на единицу оптимальное количество включаемых в работу элементов может только возрасти, но не более, чем на единицу;

• Доказано существование предела функции К0(г) при г —» оо, где Ко(г) - оптимальное количество элементов, которое необходимо включить в работу при наличии г исправных элементов в резерве;

• Найдены границы интервала, как функции параметра р, на котором оптимальной стратегией является включение в работу двух исправных элементов. Решена аналогичная задача для случая резервирования с дробной кратностью;

• Доказано, что существует такое го, что при г > г о

1. на входе в очередной промежуток /'Го-постоянства выражение (сг — 1 )2Т(г + 2) становится положительным;

2. внутри промежутка .^о-постоянства и на выходе из него выражение (сг — 1 )2Т(г + 2) отрицательно;

• Разработаны быстрые алгоритмы вычисления оптимальной стратегии как для конечного промежутка работы системы, так и для бесконечного.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается строгими математическими выкладками, основанными на использовании методов математического

анализа, теории вероятностей, динамического программирования, а также численными экспериментами.

Основные результаты диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа, а также на семинаре в ТУСУР и докладывались на следующих конференциях:

1. XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», Томск, 23-27 апреля 2012.

2. 51 Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 12-18 апреля 2013.

3. XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», Томск, 22-26 апреля 2013.

4. Всероссийская конференция но математике и механике, Томск, 02-04 октября 2013.

5. 52 Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 11-18 апреля 2014.

6. XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», Томск, 21-25 апреля 2014.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи [9-11] в журналах, входящих в список ВАК, 2 статьи в сборниках трудов конференций [12, 14] и 3 тезиса докладов [13, 15, 16].

Личный вклад автора. Основные научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем соискателя, доктором физико-математических наук, профессором Г.Г. Пестовым.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Г. Г. Пестову и участникам семинара при кафедре математического анализа ТГУ за обсуждение материалов диссертации и ценные советы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии и приложений. Общий объем диссертации 105 страниц, включая 15 рисунков и 11 таблиц. Библиография включает 52 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Губин, Владимир Николаевич

Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

• Для модели резервирования с дробной кратностью, где в качестве критерия оптимизации выступает среднее время безотказной работы на бесконечном промежутке, в общем случае найдена область выпуклости по к функции Т(к, г) при фиксированном г, где Т(к, г) - среднее время безотказной работы системы, если имеется г исправных элементов, на первом шаге включено к элементов, а на последующих шагах переходим на стратегию, оптимальную по данному критерию.

• Для модели резервирования на бесконечном промежутке доказано, что значение оптимальной стратегии К$(г) с ростом г на единицу возрастает (нестрого) не более, чем на 1.

• Доказано существование предела Ко(г) функции при г —» со, где Ко(г) -оптимальное количество элементов, включаемых в работу при наличии г исправных.

• Для модели резервирования на бесконечном промежутке по критерию среднего времени безотказной работы системы найдены границы интервала, как функции параметра р, на котором оптимальной стратегией является включение в работу двух исправных элементов.

• Доказано, что существует такое го, что при г > г о

а) на входе в очередной промежуток Ко-постоянства выражение

(а - 1 )2Г(г + 2) = Г (г + 2) - 2 T(r + 1) + Г(г) > 0;

б) внутри промежутка i^o-ностоянства и на выходе из него выражение (а - 1 )2Т(г + 2) < 0;

• Разработаны эффективные алгоритмы вычисления оптимальной стратегии как на конечном промежутке (модель М\ и Мз), так и на бесконечном (модель М2).

Подчеркнем отличия результатов полученной работы от предыдущих работ:

1. График функции Т(к, г) как функции от к при фиксированном г, начиная с некоторого значения к = к\ близок к прямой; причем чем ближе р к единице, тем меньше график функции Т(к, г) отличается от прямой.

2. Для отыскания оптимальной стратегии на бесконечном промежутке времени использовать метод динамического программирования не удается, так как нет наименьшего значения п, от которого можно отталкиваться, поэтому в данной работе предложен другой подход, который реализован с помощью уравнения (4.2) для оптимального значения к = Kq(t)\

3. Доказаны теоремы о поведении оптимальной стратегии при г —» оо для трех моделей динамического резервирования;

4. В отличие от работ [37, 44], в которых изучается поведение отношения T(r + 1 )/Т(г), в данной работе автором изучается поведение приращения Г(г + 1)-Г(г);

5. В данной работе приведено несколько графиков, которые иллюстрируют свойства оптимальных стратегий и функций Г(/г,г).

На основе доказанных свойств оптимальных стратегий разработан алгоритм, который быстро вычисляет оптимальную стратегию и соответствующее ей значение критерия оптимизации.

Результаты, полученные в работе могут быть использованы при разработке стратегии оптимального управления резервированными системами, в которых возможен контроль состояния в некоторые фиксированные моменты времени и существует возможность подключения в систему в эти моменты дополнительных элементов из резерва. Это, прежде всего, сложные дорогостоящие устройства, которые на некоторый период времени удалены от баз постоянного технического обслуживания такие, как, например, космические станции, спутники, системы связи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губин, Владимир Николаевич, 2015 год

1. Алексеев О.Г. Об одной задаче оптимального резервирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1967. - № 1. - С. 44-47.

2. Алексеев О.Г. Об алгоритме оптимального резервирования аппаратуры /О.Г. Алексеев, В.И. Якушев // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1967. - № 3.

3. Аврамченко Р. Ф. Выбор оптимального расписания включений запасных элементов в нагруженный режим // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1970. - № 3. - С. 67-70.

4. Гаганов П. Г. Определение оптимального объема запасных элементов для сложных технических систем /П.Г. Гаганов, В.В. Ивлев // Автоматика и телемеханика. - 1969. - №3. - С. 23-24.

5. Герцбах И. Б. Об оптимальном управлении включением резервных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1966. - №5. - С. 75-80.

6. Герцбах И. Б. Динамическое резервирование. Оптимальное управление включением резервных элементов / / Автоматика и вычислительная техника. - 1970. - №1. - С. 28-34.

7. Гнеденко Б. В. Математические методы в теории надежности/Б.В. Гнеден-ко , Ю.Л. Беляев, А.Д. Соловьев. - М.: Наука, 1965. - 524 с.

8. Голдовский И. Б. Методы оптимизации избыточности в целях повышения надежности технических систем: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М., 1984. -236 с.

9. Губин В.Н. Две задачи динамического резервирования / В.Н.Губин, В.В.

Травкина // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. Математика и механика. - 2013. -№5(25). - С. 5-12.

10. Губин В.Н. Об одном классе резервируемых устройств / В.Н. Губин, Г.Г. Пестов // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. Математика и механика. - 2014. -№4(29). - С. 14-23.

11. Губин В.Н. Об оптимальном резервировании на бесконечном промежутке // Современные проблемы науки и образования: электрон, журн. - 2014. - № 4. - URL: http://www.science-education.ru/118-14484 (дата обращения: 05.09.2014).

12. Губин В.Н. Модели систем с управляемых резервом / В.Н. Губин, В.В. Травкина // XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 23-27 апреля 2012 г.). -Томск, 2012. - Т.1: Естественные и точные науки. - С. 75-84.

13. Губин В.Н. Некоторые модели резервирования // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и НТП» (Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г.). Секция: Математика. - Новосибирск, 2013. -С. 250.

14. Губин В.Н. Некоторые модели резервированных устройств / В.Н. Губин, Г.Г. Пестов // XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 22-26 апреля 2013 г.). -Томск, 2013. - Т.1: Естественные и точные науки. - С. 66-71.

15. Губин В.Н. Некоторые модификации модели Райкина-Герцбаха // Всероссийская конференция по математике и механике (Томск, 02-04 октября 2013 г.). - Томск, 2013. - С. 181-182.

16. Губин В.Н. Некоторые теоремы о резервировании // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции «Студент и НТП» (Ново-

90

сибирск, 11-18 апреля 2014 г.). Секция: Математика. - Новосибирск, 2014.

- С. 233.

17. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных систем / Г.В. Дружинин.

- 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергия, 1971. - 536 с.

18. Епифанов АД. Надежность систем управления / А.Д. Епифанов. - М.: Машиностроение, 1975. - 179 с.

19. Конев В.В. Об оптимальном включении резервных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1974. - №4. - С. 75-83

20. Конев В. В. Об оптимальном программном включении резервных элементов // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1975. - №3. - С. 109-117.

21. Конев В. В. Оптимальное резервирование группы однотипных элементов / В.В. Конев, A.B. Овчинников // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1976. - №4. - С. 75-84.

22. Ллойд Д. К. Надежность: организация, исследования, методы, математический аппарат: пер. с англ. / Д.К. Ллойд, М. Липов; под ред. Н. П. Бусленко.

- М.: Сов. радио, 1966. - 668 с.

23. Манделъ A.C. Составление оптимального плана включений запасных элементов / A.C. Мандель, А.Л. Райкин // Автоматика и телемеханика. - 1967.

- №5. - С. 55-63.

24. Надежность технических систем: Справочник / Ю.К. Беляев [и др.]; под ред. И.А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.

25. Никаноров Е.М. Динамическое резервирование для поддержания готовности хранимых изделий / Е.М. Никаноров, А.Л. Райкин // Автоматика и телемеханика. - 1973. - №8. - С. 138-145.

26. Пестов Г.Г. Исследование оптимальных стратегий в задаче динамического резервирования / Г.Г. Пестов, JI.B. Ушакова // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1973. - №5. - С. 76-82.

27. Пестов Г.Г. Оптимальные стратегии в задаче динамического резервирования / Г.Г. Пестов, JI.B. Ушакова // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1971. - №5. - С. 69-72.

28. Половко A.M. Основы теории надежности / A.M. Половко, C.B. Гуров. -2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.

29. Пъо Маунг Ко. Оптимизация безотказности систем управления летательных аппаратов при активном нагруженном резервировании: дис. ... канд. техн. наук. - М., - 2009. - 143 с.

30. Райкин А.Л. Маневрирование аппаратурной избыточностью в реальных системах // Труды Ш Всесоюзного совещания по автоматическому управлению. Одесса, 1965. - М.: Наука, 1967. - Т.5: Технические средства автоматики. - С. 94.

31. Райкин А.Л. Элементы теории надежности для проектирования технических систем / A.JI. Райкин. - М.: Сов. радио, 1967. - 265 с.

32. Райкин А.Л. Вероятностные модели функционирования резервированных устройств / A.J1. Райкин. - М.: Наука, 1971. - 215 с.

33. Райкин А.Л. Элементы теории надёжности технических систем / A.JI. Райкин. - М.: Сов. радио, 1978. - 280 с.

34. Рубалъский Г.Б. Задачи управления запасом резервных изделий. // Оптимальное резервирование и управление запасами. - М., 1979. - С. 70-93.

35. Смолицкий Х.Л. К вопросу об оптимальном резервировании аппаратуры

/ Х.Л. Смолицкий, П.А. Чукреев // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и автоматика. - 1959. - №4. - С. 79-85.

36. Томиленко В.А. Об одной задаче динамического резервирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1975. - №4. - С. 93-100.

37. Томиленко В.А. О стратегиях управления двухступенчатыми системами с ограниченным ресурсом: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск. - 1981. - 161 с.

38. Травкина В. В. Оптимальное резервирование по критерию среднего времени безотказной работы // Научная студенческая конференция механико-математического факультета (Томск, 12-19 апреля 2011 г.). - Томск, 2011. - С. 81-82.

39. Ушаков И.А. Методы решения простейших задач оптимального резервирования при наличии ограничений / И.А. Ушаков. - М.: Сов. радио, 1969. -174 с.

40. Ушаков И.А. Приближенное решение задачи об оптимизации среднего времени безотказной работы системы // Надежность и контроль качества. -1971. - №11. - С. 61-64.

41. Ушаков И.А. Оптимизация среднего времени безотказной работы системы / И.А. Ушаков, М.В. Топольский // Надежность и контроль качества. -1974. - №3. - С. 57-67.

42. Ушаков И.А. Задачи оптимального резервирования // Оптимальное резервирование и управление запасами. - М., 1979, - С. 3-69.

43. Ушаков И.А. Курс теории надежности систем / И.А. Ушаков. - М.: Дрофа, 2008. - 239 с.

44. Ушакова JI. В. Некоторые свойства оптимальных стратегий в задаче динамического резервирования: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск. - 1973. -86 с.

45. Ушакова Л. В. Об одной задаче управляемого резервирования при неодинаковых интервалах контроля // Надежность и контроль качества - 1979. -№8. - С. 3-12.

46. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. - 5-е изд. - М.: Агар, 2000. - 256 с.

47. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности / Я. Б. Шор. - М.: Сов. радио, 1962. - 553 с.

48. Barlow R. Mathematical theory of reliability / R. Barlow, F. Proschan. -Philadelphia: SIAM, 1966. - 258 p.

49. Bellman R. Applied dynamic programming / R. Bellman, S. Dreifus // Princeton; London: Princeton Univercity Press: Oxford Univercity Press, 1962. - 384 p.

50. Moskowitz F. Some reliability aspects of system design / F. Moskowitz, J. Mclean // IRE Trans. PGRQC. - 1956.

51. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung / A. Renyi. - Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1962. - 547 s.

52. Winter B. Optimal diagnostic procedures // IRE Trans. - 1960. - №3.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Губин В.Н. Две задачи динамического резервирования / В.Н. Губин, В.В. Травкина // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. Математика и механика. - 2013.

- №5(25). - С. 5-12.

2. Губин В.Н. Об одном классе резервируемых устройств / В.Н. Губин, Г.Г. Пестов // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. Математика и механика. - 2014. - №4(29).

- С. 14-23.

3. Губин В.Н. Об оптимальном резервировании на бесконечном промежутке // Современные проблемы науки и образования: электрон, журн. - 2014. - № 4. -URL: http://www.science-education.ru/118-14484 (дата обращения: 05.09.2014).

Статьи в других научных изданиях:

4. Губин В.Н. Модели систем с управляемых резервом / В.Н. Губин, В.В. Травкина // XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 23-27 апреля 2012 г.). - Томск, 2012.

- Т.1: Естественные и точные науки. - С. 75-84.

5. Губин В.Н. Некоторые модели резервирования // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и НТП» (Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г.). Секция: Математика. - Новосибирск, 2013. - С. 250.

6. Губин В.Н. Некоторые модели резервированных устройств / В.Н. Губин, Г.Г. Пестов // XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 22-26 апреля 2013 г.). - Томск, 2013. - Т.1: Естественные и точные науки. - С. 66-71.

7. Губин В.Н. Некоторые модификации модели Райкина-Герцбаха // Всероссийская конференция по математике и механике (Томск, 02-04 октября 2013 г.). - Томск, 2013. - С. 181-182.

8. Губин В.Н. Некоторые теоремы о резервировании // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции «Студент и НТП» (Новосибирск, 11-18 апреля 2014 г.). Секция: Математика. - Новосибирск, 2014. - С. 233.