Стационарные модели переноса излучения и сложного теплообмена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ковтанюк, Андрей Егорович

• Ковтанюк, Андрей Егорович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ковтанюк, Андрей Егорович

Оглавление

Введение

Глава 1. Перенос полихроматического излучения в трехмерной неоднородной среде

§1. Краевая задача для математической модели переноса излучения с энергетической зависимостью

1.1. Постановка и исследование прямой задачи для уравнения переноса

1.2. Свойства решения прямой задачи

§2. Метод многократного облучения решения задачи компьютерной томографии

2.1. Постановка и исследование прямой задачи для параметризованного уравнения переноса

2.2. Определение коэффициента ослабления путем многократного облучения

2.3. Алгоритм восстановления коэффициента ослабления на основе многократного облучения

2.4. Алгоритмы параллельных вычислений реконструкции структуры трехмерного объекта

Основные результаты и выводы

Глава 2. Перенос поляризованного излучения в трехмерной неоднородной среде

§3. Прямые и обратные задачи для уравнения переноса поляризованного излучения

3.1. Постановка и исследование прямой задачи для векторного уравнения переноса излучения

3.2. Постановка и исследование задачи томографии для векторного уравнения переноса

§4. Алгоритмы решения прямых и обратных задач для векторного

уравнения переноса

4.1. Метод Монте-Карло нахождения решения прямой задачи

4.2. Численное решение задачи томографии

Основные результаты и выводы

Глава 3. Перенос поляризованного излучения в слоистой среде

§5. Краевая задача для уравнения переноса поляризованного излучения в слоистой среде

5.1. Однозначная разрешимость прямой задачи

5.2. Численное моделирование прохождения поляризованного излучения через слоистую среду

§6. Задача томографии для уравнения переноса поляризованного

излучения в слоистой среде

6.1. Постановка и решение задачи томографии

6.2. Тестирование алгоритма решения задачи томографии

Глава 4. Радиационно-кондуктивный теплообмен в слое

§7. Влияние различных факторов на точность диффузионного приближения уравнения переноса

7.1. Основные принципы построения диффузионного приближения уравнения переноса в слоистой среде

7.2. Диффузионное приближение в полубесконечном слое

7.3. Диффузионное приближение в однородном слое

7.4. Диффузионное приближение в неоднородном полубесконечном слое

7.5. Некоторые выводы о применимости диффузионного приближения

§8. Моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами

8.1. Постановка задачи радиационно-кондуктивного теплообмена

8.2. Рекурсивный алгоритм решения краевой задачи для модели радиационно-кондуктивного теплообмена

8.3. Диффузионное приближение модели радиационно-кондук-тивного теплообмена

8.4. Численное моделирование радиационно-кондуктивного теплообменна

§9. Итерационный алгоритм для диффузионной модели радиационно-кондуктивного теплообмена

9.1. Постановка задачи

9.2. Сведение краевой задачи к операторному уравнению

9.3. Разрешимость краевой задачи

9.4. Единственность решения краевой задачи

9.5. Численное моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена на основе диффузионной модели

§10. Однозначная разрешимость краевой задачи для диффузионной

модели радиационно-кондуктивного теплообмена

10.1. Разрешимость краевой задачи

10.2. Единственность решения краевой задачи

Основные результаты и выводы

Глава 5. Сложный теплообмен в трехмерной среде

§11. Однозначная разрешимость задачи радиационно-конвективно-

кондуктивного переноса тепла

11.1. Постановка краевой задачи

11.2. Разрешимость краевой задачи

11.3. Достаточные условия единственности решения

11.4. Численное моделирование сложного теплообмена

12.1. Постановка задачи оптимального управления

12.2. Разрешимость задачи оптимального управления

12.3. Необходимые условия оптимальности

12.4. Условия регулярности оператора ограничений

Основные результаты и выводы

Заключение

Список цитируемой литературы

209

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарные модели переноса излучения и сложного теплообмена»

ВВЕДЕНИЕ

Основным объектом исследования диссертационной работы являются стационарные математические модели, описывающие процессы прохождения излучения различной природы (рентгеновское, оптическое, тепловое, электронное и пр.) через рассеивающую и поглощающую среду. В основе изучаемых моделей лежит интегро-дифференциальное уравнения переноса.

Основными характеристиками уравнения переноса являются: f(r,tv,E) - интенсивность излучения в точке г трехмерной области G, распространяющегося в направлении единичного вектора ш, и £ Г2 и имеющего энергию Е, Е £ [Ех.Е^] ц(г,Е) - коэффициент ослабления излучения; к(г, ш-ш', Е, Е') - индикатриса рассеяния, описывающая плотность вероятности перехода излучения из состояния (ш',Е') в {uj,E)\ J(r,u>,E) - функция, описывающая внутренние источники излучения. Перечисленные величины связаны следующим уравнением баланса:

со ■ Vr/(r, tu. Е) + /х(г, E)f(r, lo, Е) —

е2

Ei Q

С помощью уравнения (1) можно, в частности, описывать и перенос поляризованного оптического излучения. В этом случае /(г.и.Е) представляет собой вектор-функцию, компоненты которой выражаются через параметры Стокса; k(r,u> • си'.Е.Е') - матрица рассеяния размерности 4 х 4; J(r,oj.E) - вектор-функция, описывающая поляризационные характеристики внутренних источников. В случае моделирования переноса теплового излучения функция-источник J уравнения (1) зависит от температуры среды

и описывает излучение абсолютно черного тела. В итоге модель представляет собой нелинейную систему двух дифференциальных уравнений, включающую уравнение переноса теплового излучения и уравнение кондуктивно-конвективного переноса тепла.

Из краевых задач для уравнения переноса излучения наиболее изученной является прямая или классическая краевая задача. Пусть С выпуклая область и п(г) единичный вектор внешней нормали в точке г 6 Если к уравнению (1) добавить граничное условие

Цг,со,Е) = {г,ш,Е) е дв х П х [ЕЪЕ2], п{г) • ш < 0, (2)

то прямая задача заключается в нахождении функции / из соотношений (1), (2), в которых известны ц, к, J и функция /г, интерпретируемая как интенсивность излучения, проникающего в среду С через поверхность

Во многих краевых задачах коэффициенты /с, 7 уравнения (1) полагаются кусочно-непрерывными функциями относительно пространственной переменной г. С практической точки зрения это означает, что среда С составлена из разнородных по своим радиационным свойствам материалов. На поверхностях, где рвутся коэффициенты уравнения, нередко ставятся условия сопряжения, которые накладывают дополнительные ограничения на функцию /. Чаще всего эти ограничения требуют выполнения определенных условий согласования для соответствующих предельных значений функции / на поверхностях разрыва коэффициентов уравнения переноса.

В диссертации будут рассматриваться краевые задачи как с традиционными условиями сопряжения типа непрерывной "склейки" решения на границе раздела сред, так и с обобщенными условиями, учитывающими эффекты зеркального отражения и преломления по закону Снеллиуса. Обобщенные условия позволяют учитывать изменение интенсивности излучения при переходе через границу раздела сред. Необходимость использования таких условий вызвана тем. что при распространении излучения в оптическом и близком к нему диапазоне длин волн проявляются эффекты отражения и преломления на контактных границах разнородных сред. Поэтому классические модели

переноса излучения уже не способны адекватно описывать физический процесс. Выходом из этой ситуации является учет эффектов отражения и преломления с помощью нетрадиционных условий сопряжения, позволяющих описывать изменение направления светового потока.

Теория краевых задач с традиционными условиями сопряжения на сегодняшний день достаточно хорошо разработана. Особо можно выделить работу B.C. Владимирова [23], сыгравшую ключевую роль в становлении и развитии математической теории переноса, а также работу Т. А. Гермогеновой [25], в которой исследованы свойства решения краевых задач для уравнения переноса.

Исследования краевых задач с обобщенными условиями сопряжения берут свое начало с плоско-параллельного случая, который успешно применялся для моделирования переноса оптического излучения в атмосфере Земли (см., например, работы А. Исимару, Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова, Т.А. Сушкевич и др. [32,62,79,80]). С развитием лазерной техники широкое распространение получил класс задач оптической диагностики биологических тканей (см., например, работы Д.А. Зимнякова, И.В. Меглинского, А.Ю. Се-тейкина, В.В. Тучина, S.R. Arridge, A.J. Welch и др. [21,63,76,83,84,107,169]). В работах И.В. Прохорова и др. [72,152] впервые доказана однозначная разрешимость и изучены качественные свойства решения краевых задач для скалярного уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения в трехмерной ограниченной области и для случая плоскопараллельной симметрии, в частности, изучены экстремальные задачи переноса излучения в слоистой среде в контексте оптической диагностики биологической ткани [72,152].

Обратимся теперь к неклассическим или, так называемым, обратным задачам теории переноса излучения. В общей постановке, обратные задачи, рассматриваемые в диссертационной работе, можно сформулировать так: найти полностью или частично коэффициенты, характеризующие внутреннюю структуру среды, по интенсивности излучения /, известной на части или на всей границе среды G и для некоторого множества направлений си. Ясно, что излучение на границе доступно для измерения, а знание хотя бы частичной информации о коэффициентах внутри G дает определенное представление о

внутреннем строении среды.

История обратных задач для уравнения переноса берет свое начало с 1962 года с работы М.В. Масленникова [58], в которой он рассмотрел классическую проблему Милна в полубесконечном слое и исследовал задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. Подробное изложение этих результатов содержится в [59,60]. В 1964 году в связи с использованием информации с метеорологических спутников Земли были опубликованы работы Г.И. Марчука [56,57], посвященные постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. Затем К. Кейзом было предложено решение обратной задачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения [174]. В 1973 году была опубликована первая работа Д.С. Анико-нова [5], получившая развитие в серии дальнейших публикаций (см., например, [6-10,14,103,104]). В настоящее время теория обратных задач весьма обширна (см., например, работы Ю.Е. Аниконова, В.И. Грыня, А.Я. Казакова, В.Р. Кирейтова, А.И. Прилепко, И.В. Прохорова, В.Г. Романова, В.А. Шарафутдинова, S.R. Arridge, О. Dorn, N.J. McCormick, С.Е. Siewert и др. [16,17, 27, 28,33, 35,36, 70, 71, 74, 75, 93, 94,106,107,113,114,143-145,155,156]). Несмотря на большое количество работ по обратным задачам для уравнения переноса, пересечения результатов разных авторов незначительны. Это объясняется большим разнообразием постановок задач и методов их решения.

Отметим основные классы краевых и обратных задач, представленные в настоящей работе. Помимо уже упомянутых "традиционных" краевых задач для уравнения переноса, описывающего довольно широкий вид излучений, в диссертации рассмотрены краевые задачи для переноса оптического излучения с учетом поляризационных эффектов, а также краевые задачи радиационно-кондуктивного переноса тепла. Также рассмотрен ряд обратных задач, постановки и методы решения которых являются оригинальными. Опишем рассмотренные в диссертационной работе классы задач более подробно.

При моделировании прохождения оптического излучения через вещество важным является изучение свойств решения краевой задачи для векторного

уравнения переноса, описывающего поляризационные эффекты. Это позволяет более полно описать характеристики излучения, что может послужить основой для разработки новых методов оптической диагностики.

Уравнение переноса с учетом поляризации впервые сформулировано в работе С.Чандрасекара (1946) [91]. В ней приведено моноэнергетическое уравнение переноса для случая изотропной среды и молекулярного рассеяния. Подробное описание вектор-параметра Стокса и матрицы рассеяния изложено в работах Г.В. Розенберга, В.В. Соболева, РВ. Хюлста, А. Исимару, Д.И. Нагирнера, J.E. Fernandez, J.H. Hubbell [32,66,73,77,90,117]. В них рассмотрены различные формы описания вектор-параметра Стокса, а также частные виды матрицы рассеяния для различных видов взаимодействия (молекулярное рассеяние, рассеяние на сферических частицах, комптоновское рассеяние) и соответствующие им записи уравнения переноса.

Теоретические аспекты решения векторного уравнения переноса изложены в работах РИ. Марчука, Т.А. Гермогеновой, Э.П. Зеге, A.B. Латышева, РА. Михайлова, Т.А. Сушкевич, С.Е. Siewert, O.J. Smith [24,54,62,64,157, 161-163,172]. В [24,62,64], в частности, изучаются общие функциональные свойства прямой задачи и приводятся условия сходимости ряда Неймана в различных пространствах. Постановки и методы решения краевых задач для плоско-параллельного случая рассмотрены Э.П. Зеге, A.B. Латышевым, Т.А. Сушкевич, С.Е. Siewert, O.J. Smith и др. [54,161,162,172]. В частности, в [163] предлагается новый подход для определения решения уравнения переноса поляризованного излучения, который допускает параллельную вычислительную реализацию.

Важным классом краевых задач теории переноса являются задачи, связанные с моделированием радиационного переноса тепла. При моделировании переноса теплового излучения функция-источник уравнения (1) зависит от температуры среды и описывает излучение абсолютно черного тела. В связи с этим, для моделирования радиационного переноса тепла используется нелинейная система двух дифференциальных уравнений, включающая уравнение переноса теплового излучения и уравнение кондуктивно-конвективного переноса тепла [146.149]. При формулировке граничных условий нередко при-

нято учитывать эффекты зеркального и диффузного отражения. Такая модель переноса тепла иногда называется моделью сложного теплообмена.

Интерес к задачам сложного теплообмена в рассеивающих средах с отражающими границами связан с их прикладной значимостью. К возможным приложениям можно отнести моделирование переноса тепла в камерах сгорания и промышленных печах, оценка эффективности систем охлаждения, управление тепловыми процессами при производстве стекловолокна и других полупрозрачных материалов и пр. Так, в работах S. Andre, J.M. Banoczi, А. Klar, N. Siedow и др. [97, 98, 108, 126] изучаются термосвойства некоторых полупрозрачных и изоляционных материалов в рамках радиационно-кондуктивной модели переноса тепла. Во многих работах значительное внимание уделяется вопросам численного моделирования (см., например, работы J.M. Banoczi, А. Klar, R. Pinnau, N. Siedow, G. Thömes и др. [108,126,151,160,164]).

При проведении вычислительных экспериментов сложного теплообмена обычно используют упрощенную модель, в которой уравнение переноса заменяется на его Pn или SPn приближение (см., например, работы L.B. Barichello, R. Pinnau, С.Е. Siewert [109,151,159,160]). Реализация же модели, содержащей уравнение переноса теплового излучения, требует больших вычислительных затрат, поэтому использование технологии параллельных вычислений здесь более чем уместно. В этой связи упомянем работу А.Ю. Шаенко [92], в которой рассмотрена параллельная реализация метода Монте-Карло для решения нестационарной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена.

Теоретический анализ краевых задач, связанных с различными моделями радиационного теплообмена, представлен не так широко. Можно отметить работы A.A. Амосова, Р.-Е. Druet, В. Ducomet, R. Pinnau, О. Tse [4, 96,115,116.150,166], посвященные анализу различных эволюционных задач, учитывающих радиационный теплообмен. В работах A.A. Амосова и С.Т. Kelley [2, 3,125] доказывается однозначная разрешимость некоторых стационарных задач сложного теплообмена, включающих уравнение переноса излучения, в одно- и трехмерном случаях. Тем не менее, до недавнего времени фактически отсутствовали работы по исследованию однозначной разрешимо-

сти стационарных краевых задач для диффузионных моделей радиационно-кондуктивного теплообмена в одно- и трехмерном случаях.

Задачи оптимального управления для моделей сложного теплообмена в рассеивающей среде с отражающими границами являются весьма актуальными в контексте различных инженерных приложений. Значительное число работ посвящено задачам управления эволюционных систем, описывающих радиационный теплообмен (см., например, работы D. Clever, М. Frank, М. Herty, R. Pinnau, G. Thömes, О. Tse и др. [111,118,123,150,164,165,167]). В упомянутых работах перенос излучения описывается интегро-дифференциальным уравнением переноса или его приближениями. Температурное поле описывается уравнением теплопроводности, которое учитывает радиационный теплообмен. Тем не менее, в настоящее время фактически отсутствуют работы по теоретическому анализу задач оптимального уравнения для стационарных систем сложного теплообмена. Основная трудность таких задач, в дополнении к нелинейности, является отсутствие результатов об однозначной разрешимости таких систем в трехмерном случае.

Целью диссертационной работы является теоретический и численный анализ прямых и обратных задач для стационарных моделей переноса излучения, включающий в себя: исследование качественных свойств решения краевых задач для стационарных моделей переноса излучения различной природы (рентгеновское, оптическое, тепловое); доказательство однозначной разрешимости прямых и обратных задач для моделей переноса; разработка численных алгоритмов решения прямых и обратных задач переноса излучения; создание специализированного программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы.

Изучение качественных свойств решения рассмотренных в работе краевых задач основывается на методах теории интегральных и дифференциальных уравнений. Исследование обратных задач проводится на основе теории условно-корректных задач, при этом используются полученные в диссертационной работе свойства решения прямой задачи. При доказательстве однозначной разрешимости задач сложного теплообмена применяются методы функционального анализа. Вычислительные алгоритмы разрабатываются на

основе современных методов компьютерного моделирования с применением технологий параллельных вычислений.

Остановимся подробно на основных положениях диссертационной работы и решаемых задачах.

В Главе 1 изучается параметрическое уравнение переноса излучения с энергетической зависимостью. Введение параметра в функцию, описывающую интенсивность излучения, позволяет описать серийный характер облучения среды, что затем используется для разработки алгоритма реконструкции внутренней структуры среды путем ее многократного облучения. В §1 формулируется прямая задача для параметрического уравнения переноса, изучаются свойства ее решения. В §2 формулируется задача компьютерной томографии и излагается метод многократного облучения для ее решения. Предложенный подход основывается на использовании внешних источников излучения специального типа. Предлагается источник излучения, описываемый функцией, производная по параметру от которой имеет особенность в горизонтальных направлениях Предложенный подход развивает направление в решении задач компьютерной томографии, основанное на использовании источников излучения специального типа и представленное в работах Д.С. Аниконова, И.В. Прохорова, А.Н. Бондаренко [10-12,22,99,101]. В заключении §2 обсуждаются результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффективность предложенного метода, а также предлагаются и исследуются алгоритмы параллельных вычислений решения трехмерной задачи компьютерной томографии.

В Главе 2 рассматривается модель переноса поляризованного излучения а трехмерной среде. В используемой модели на контактных границах неод-нородностей выполняется условие непрерывной склейки решения. В §3 доказывается однозначная разрешимость и изучаются непрерывные свойства решения краевой задачи для векторного уравнения переноса при разрывном внешнем источнике излучения. Формулируется задача томографии, заключающаяся в нахождении коэффициента полного взаимодействия по известному излучению на границе среды. Предлагается алгоритм решения задачи томографии, основанный на использовании внешнего источника излучения специ-

ального типа. В §4 разрабатывается алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, нахождения решения прямой задачи, обсуждаются вычислительные аспекты реализации алгоритма решения задачи томографии. Проведены вычислительные эксперименты, демонстрирующие эффективность предложенного алгоритма.

В Главе 3 настоящей работы рассматривается краевая задача для уравнения переноса поляризованного излучения в среде, имеющей плоскопараллельное строение, с обобщенными условиями сопряжения на контактных границах слоев. В §5 исследуются свойства решения краевой задачи. Получены теоремы об однозначной разрешимости краевой задачи и оценки типа принципа максимума. Предлагается вычислительный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, для нахождения характеристик поляризованного излучения в слоистой среде. Приводятся результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффекты поляризации и деполяризации излучения при его прохождении через рассеивающую слоистую среду. В §6 на основе векторной модели переноса излучения изучается задача оптической томографии, заключающаяся в определении рефракционных индексов слоистой среды по известному выходящему из среды излучению. Отметим, что в работе И.В. Прохорова и И.П. Яровенко [152] были предложены методы определения относительных рефракционных индексов на основе скалярного уравнения переноса. Эти подходы основываются на свойствах гладкости решения прямой задачи для скалярного уравнения переноса. Обобщение решения на случай векторного уравнения переноса позволяет получить дополнительные преимущества при решении задачи томографии. Предлагаемый в §6 метод основывается на модели переноса поляризованного излучения, что позволяет предложить более устойчивый к шумам алгоритм реконструкции. Эффективность предложенного подхода демонстрируется результатами вычислительных экспериментов, приведенных в заключительной части параграфа.

В Главе 4 изучается задача радиационно-кондуктивного теплообмена. Исходная нелинейная математическая модель включает в себя уравнение переноса теплового излучения и уравнение теплопроводности. В §7 в терминах ма-

лого параметра, описывающего величину рассеяния в среде, проводится оценка близости усредненного по направлениям решения уравнения переноса и его диффузионного (также называемого Рх) приближения. Оценки проводятся на различных оптических удалениях от границ слоя и внутренних неодно-родностей. В §8 предлагается рекурсивный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, для решения стационарной задачи радиационно-кондуктивно-го теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами. Проведено численное сравнение с решением, полученным на основе диффузионного приближения, и расчетными данными из [159,160], полученными при использовании Рм аппроксимации. Отмечено хорошее согласование решений для случая относительно невысоких температур. Проанализированы два различных подхода в параллелизации алгоритма. Показано, что предложенные алгоритмы обеспечивают хорошее, близкое к линейному, ускорение времени выполнения программы. На основе предложенного алгоритма решается задача улучшения теплоотдачи от границ слоя за счет выбора коэффициентов зеркального и диффузного отражения. В §9 предлагается итерационный алгоритм для нахождения решения Рх приближения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена. Обоснование сходимости алгоритма основано на построении оператора решения и доказательстве его сжимающих свойств. Сформулированы ограничения на коэффициенты задачи, обеспечивающие сжимающие свойства оператора решения. Отмечено, что эти ограничения будут заведомо выполняться при подавляющем рассеянии в среде, что является благоприятным случаем для использования Р1 приближения. Сжимающее свойство оператора решения обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса, что и демонстрируется в приведенном в заключении параграфа вычислительном эксперименте. В §10 доказываются теоремы существования и единственности решения краевой задачи для диффузионной модели радиационно-кондуктивного теплообмена для рассеивающего слоя с отражающими границами.

В Главе 5 изучается краевая задача для диффузионной модели радиацион-но-конвективно-кондуктивного переноса тепла в трехмерной рассеивающей среде с отражающими границами. Основные результаты §11 состоят в получении новых априорных оценок решения краевой задачи для стационарной

модели сложного теплообмена, на основе которых доказана разрешимость задачи и выведены достаточные условия единственности решения. Кроме того, найдены условия на параметры модели, геометрию области и поле скоростей, гарантирующие однозначную разрешимость в случае равномерного потока среды. Результаты теоретического анализа иллюстрируются примерами численного моделирования температурных полей в канале прямоугольной формы.

Задача, рассматриваемая в §12, может трактоваться как задача определения отражающих свойств границы для максимизации выходящей из среды энергии. С практической точки это означает подбор специального материала с заданными отражающими свойствами для границ среды с целью увеличения теплоотдачи. Решение данной задачи может найти применение при конструировании деталей двигателей, частей летательных аппаратов, разработки охлаждающих систем. Данная задача представляет собой задачу оптимального мультипликативного управления для нелинейной эллиптической системы. На основе новых априорных оценок решения системы оптимальности доказывается разрешимость задачи оптимального управления. Для случая теплообмена в канале найдены достаточные условия, обеспечивающие регулярность системы оптимальности. Основным результатом является доказательство аналога принципа bang-bang для рассмотренной задачи оптимального управления.

Основные результаты диссертации были представлены автором в виде устных докладов на международных конференциях: "Russia-Japan Workshop on Differential Equations in Applied Mathematics" (Хабаровск, 1994), "Mathematical Modeling and Cryptography" (Владивосток, 1995), "High Performance Scientific Computing" (Hanoi, Vietnam, 2009, 2012), "Russia-Taiwan Symposium on Methods and Tools of Parallel Programming Multicomputers" (Vladivostok, Russia, 2010), "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (Antalya, Turkey, 2010), Seminar der Stipendiatten der Programme "Michail Lomonosov II" und "Immanuil Kant II" (Moskau, Russia, 2011), "Open Cirrus Summit 2011" (Moscow, Russia, 2011), "Mathematical Modeling of Microbiological Systems" (Marburg, Germany, 2012), "Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012"

(Новосибирск, 2012), "Научный сервис в сети Интернет" (Абрау Дюрсо, 2012), "Облачные вычисления. Образование. Исследования. Разработка" (Москва, 2011-2013), "International Conference on Combustion Waves Structure and Dynamics" (Vladivostok, Russia, 2013), "IFIP TC7 Conference on System Modeling and Optimization" (Klagenfurt, Austria, 2013), "High Performance Computing 2013" (Kyiv, Ukraine, 2013), "International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) 2014" (Санкт-Петербург, 2014), а также на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 1998-2013), Всероссийской научно-технической конференции "Технические проблемы освоения Мирового океана" (Владивосток, 2009, 2011), и на Всероссийском симпозиуме "Физика геосфер" (Владивосток, 2011).

Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах Института прикладной математики ДВО РАН и Кафедры информатики, математического и компьютерного моделирования ДВФУ. Также результаты диссертации были представлены на семинарах Института математики СО РАН (Новосибирск, 2012), Кафедры математического моделирования (Мб) Технического университета Мюнхена (Мюнхен, Германия, 2010-2013) и на семинаре математического факультета Технического университета Кайзерслаутерна (Кайзерслаутерн, Германия, 2011).

В целом диссертация состоит из 12 параграфов, структурно разделенных на пять глав. В конце диссертации приводится список цитируемой литературы. В начале в алфавитном порядке приводятся работы на русском языке, затем - на английском. В работе используется двойная нумерация формул, утверждений, определений и замечаний. Первая цифра указывает на номер главы.

ГЛАВА 1. ПЕРЕНОС ПОЛИХРОМАТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

§1. Краевая задача для математической модели переноса излучения с энергетической зависимостью

1.1. Постановка и исследование прямой задачи для уравнения

переноса

Рассмотрим стационарное линейное интегро-дифференциальное уравнение переноса

и • Уг/(г, ш, Е) + /¿(г, Е)/{г, ш, Е) =

е2

^У 1к{г,и>-и',Е,Е1)!(г.и',Е')(1ш1(1Е' + 3{г)и,Е), (1.1)

Ех П

где г Е С?, С - выпуклая ограниченная область в евклидовом пространстве Е3, и е О = {си е м3 : М = 1},Ее [Еи Е2} = I, Ег > О,Е2< оо.

Для характеристики неоднородности среды (7 введем в рассмотрение множество С 0; Со — С. являющееся объединением конечного числа открытых связных компонент:

V

= и^г, р < оо, СгП С, = 0, ъфз.

1=\

Области Сг, г > 0, можно интерпретировать как некоторые части неоднородной среды С, заполненные г-м веществом. В такой трактовке структура разбиения С^.Сг, определяется внутренним строением среды С.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ковтанюк, Андрей Егорович, 2014 год

Список цитируемой литературы

[1] Акилов Г.П., Макаров Б.М., Хавин В.П. Элементарное введение в теорию интеграла. - JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1969.

[2] Амосов A.A. О разрешимости одной задачи теплообмена излучением // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 6. С. 1341-1344.

[3] Амосов A.A. О предельной связи между двумя задачами теплообмена излучением // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. № 5. С. 1080-1083.

[4] Амосов A.A. Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальным краевым условием типа теплообмена излучением // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 93-104.

[5] Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса //Труды 11-ой конференции студентов и аспирантов Новосибирского Государственного Университета, Апрель 1973, С. 21-22.

[6] Аниконов Д. С. Об обратных задачах для уравнения переноса // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 2. №1. С. 7-17.

[7] Аниконов Д. С. О единственности определения коэффициента и правой части уравнения переноса // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 2. № 1. С. 8-18.

[8] Аниконов Д. С. К вопросу единственности решения обратных задач для уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 3-9.

[9] Аниконов Д. С. Единственность совместного определения двух коэффициентов уравнения переноса // Доклады АН. 1984. Т. 277. №4. С. 777-780.

[10] Аниконов Д. С. Единственность определения коэффициента уравнения переноса при специальном типе источника // Доклады АН. 1985. Т. 284. №5. С. 511-515.

[11] Аниконов Д. С. Решение задачи томографии при специальном типе источника // В сб.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск. 1985. С .3-10.

[12] Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Определения коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения // Доклады АН. 1992. Т. 327. №2. С. 205-207.

[13] Аниконов Д. С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии // Доклады АН. 1994. Т. 335. №6. С. 702704.

[14] Аниконов Д. С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. - М.: Логос, 2000.

[15] Аниконов Д. С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В., Коновалова Д. С., Назаров В.Г., Яровенко И.П. Радиационная томография и уравнение переноса излучения // Дальневосточный матем. журнал. 2008. Т. 8. №1. С. 5-19.

[16] Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений // Доклады АН. 1984. .№4. С. 779-781.

[17] Аниконов Ю. Е., Степанов В. Н. Геометрия выпуклых поверхностей и обратные задачи теории рассеяния // Сиб. матем. журнал. 1994. Т. 35. №5. С. 955-973.

[18] Апресян Л.А.. Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения,- М.: Наука, 1983.

[19] Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.- М.: Наука, 1981.

[20] Баранник C.B., Головинский А.Л., Демин A.B., Маленко А.Л. О возможностях параллельной обработки данных в ГРИД-системе хранения медицинских изображений для повышения эффективности диагностики // Ргос. 2nd International Conference "Cluster Computing"2013 (Ukraine, Lviv, June 3-5, 2013). P. 22-25.

[21] Бердник B.B. Восстановление характеристик светорассеивающего слоя по коэффициентам отражения и пропускания. Нейросетевой подход // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 1. С. 105-112.

[22] Бондаренко А.Н. Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории рассеяния частиц // Доклады АН. 1992. Т. 322. №2. С. 274-276.

[23] Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц// Тр.МИАН СССР. 1961. Т. 61. С. 3-158.

[24] Гермогенова Т.А., Коновалов И.В., Кузьмина М.Г. Основы математической теории переноса поляризованного излучения (строгие результаты) // Принцип инвариантности и его приложения. Труды Всесоюзного симпозиума, Бюракан, 1981. - Ереван: Изд-во Ан АрмССР. 1989. С. 271-284.

[25] Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. -М.: Наука. 1986.

[26] Гермогенова Т.А. Регулярные компоненты асимптотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах// Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1997. Vol. 37. № 4. С. 464-482.

[27] Грынь В. И. Об обратных диагностических задачах атмосферной оптики // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. №10. С. 1506-1525.

[28] Грынь В. И. Об обратных задачах стационарного переноса излучения // ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. №12. С. 758-771.

[29] Грузман И. С., Киричук B.C., Косых В.П., Перетягин Г.И., Спектор A.A. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учебное пособие - Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2002.

[30] Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование.- М.: Наука, 1982.

[31] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. - М,: Наука. 1974.

[32] Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно - неоднородных средах,- М.: Мир. Т.1,2. 1981.

[33] Казаков А.Я. Обратные задачи теории переноса излучения в шаре и цилиндре // Доклады АН. 1983. Т. 287. №3. С. 587-592.

[34] Кейз К., Цвайфелъ П. Линейная теория переноса. - М.: Мир. 1972.

[35] Кирейтов В.Р. Обратные задачи фотометрии.- Новосибирск: Из-во ВЦ СОАН СССР, 1983.

[36] Кирейтов В. Р. Задача Коши, Дирихле и некоторые обратные задачи для односкоростного уравнения Пайерлса теории переноса излучения в однородно поглощающей среде с изотропными источниками // Сиб. мат. журнал. 1995. Т. 36. №3, С. 551-572.

[37] Ковтанюк А.Е. Определение внутренней структуры среды путем многократного облучения // Дальневосточный мат. сборник. 1995. №1. С. 101118.

[38] Ковтанюк А.Е. Специальные граничные условия для уравнения переноса излучения // Дальневосточный мат. сборник. 1996. №2. С. 99-110.

[39] Ковтанюк А.Е., Мальцева Е.В. Влияние различных факторов на точность диффузионного приближения уравнения переноса в плоскопараллельном случае // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т.6. №1 (13). С. 40-50.

[40] Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В., Назаров В.Г., Яровенко И.П., Мун В.М. Задачи рентгеновской и оптической томографии // Сибирские электронные матем. известия. 2008. №5. С. 483-498.

[41] Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Численное решение обратной задачи для уравнения переноса поляризованного излучения // Сибирский журнал вычислительной математики. 2008. Т.Н. №1. С. 55-68.

[42] Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Краевая задача для уравнения переноса поляризованного излучения в слоистой среде с френелевскими условиями сопряжения на границе раздела сред // Дальневосточный матем. журнал. 2010. Т. 10. №1. С. 50-59.

[43] Ковтанюк А.Е.,Назаров В.Г., Прохоров И.В., Яровенко И.П. Способ идентификации материалов путем многократного радиографического облучения // Патент на изобретение Российской Федерации. №2426102, 10.08.2011.

[44] Ковтанюк А.Е. Высокопроизводительный алгоритм расчета температурного профиля в модели радиационно-кондуктивного теплообмена в плоском слое // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614228 от 30.05.2011.

[45] Ковтанюк А.Е. Решение прямой задачи для уравнения переноса поляризованного излучения на основе параллельного алгоритма метода Монте-Карло // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012616226 от 06.07.2012

[46] Ковтанюк А.Е. Вычисление характеристик поляризованного излучения в слоистой среде на основе сверхмасштабируемого алгоритма метода Монте-Карло // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012618049 от 07.09.2012.

[47] Ковтанюк А.Е. Решение задачи электронной томографии на основе сверхмасштабируемого алгоритма обращения преобразования Радо-

на // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012616225 от 06.07.2012.

[48] Ковтанюк А.Е. Алгоритмы параллельных вычислений для задач радиационно-кондуктивного теплообмена // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4. № 3. С. 543-552.

[49] Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Решение задачи сложного теплообмена в 3D области канального типа // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013612632 от 7.03.2013.

[50] Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Решение задачи радиационно-конвективно-кондуктивного теплообмена // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013615458 от 10.06.2013.

[51] Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена // Журнал выч. математ. и мат. физики. 2014. Т. 54. № 4. С. 191-199.

[52] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. - М.: Наука, 1981.

[53] Латышев A.B. Векторная краевая задача Римана-Гильберта в граничных задачах рассеяния поляризованного излучения// Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1995. Т. 35. № 7. С. 1108-1127.

[54] Латышев A.B., Моисеев A.B. Граничная задача для уравнения переноса излучения поляризованного света // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. № 1. С. 97-115.

[55] Лейпунский О.И., Новожилов Б.В., Сахаров В.И. Распространение гамма-квантов в веществе. - М.: ГИФМЛ, 1960.

[56] Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // Доклады АН. 1964. Т. 156. т. С. 503-506.

[57] Марчук Г. И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач // Космические исследования. 1964. Т. 2. №3. С.462-477.

[58] Масленников М.В. Об одной обратной задаче теории прохождения через вещество // Доклады АН. 1962. Т. 145. №5. С. 1019-1021.

[59] Масленников М.В. Единственность обратной задачи асимптотической теории переноса излучения // ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2. №6. С. 1044-1053.

[60] Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1968. Т. 97. № 1. С. 3-133.

[61] Масленников М.В. Некоторые интегральные соотношения в теории пере-носаизлучения // Препринт. Ин-т прикладной математики АН СССР. № 6. 1970.

[62] Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назарлиев М.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука. 1976.

[63] Меглинский И.В. , Башкатов А.Н., Генина Э.А., Чурмаков Д.Ю., Тучин В. В. Исследование возможности увеличения глубины зондирования методом отражательной конфокальной микроскопии при иммерсионном просветлении приповерхностных слоев кожи человека // Квантовая электроника. 2002. Т. 32. №10. С. 875-882.

[64] Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. - Новосибирск: СО РАН, 2000.

[65] Михайлов Г. А., Ухинов С.А., Чимаева А. С. Дисперсия стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в теории переноса поляризованного излучения// Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2006. Т. 46. № 11. С. 2099-2113.

[66] Нагирнер Д.И. Лекции по теории переноса излучения. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.

[67] Назарлиев М.А. Статистическое моделирование радиационных процессов в атмосфере - Новосибирск: Наука. 1990.

[68] Натансон И.П. теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.

[69] Потапов В. С. Метод решения уравнения теории переноса для оптически толстого слоя с отражающими границами // Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 100. №2. С. 287-302.

[70] Прилепко А.И.,Иванков А.Л. Обратные задачи для нестационарного уравнения переноса // Доклады АН. 1984. Т. 276. №3. С. 555-559.

[71] Прилепко А.И.,Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, №5. С. 870-885.

[72] Прохоров И. В. О разрешимости краевой задачи для уравнения переноса излучения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред// Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. № 6. С. 169-192.

[73] Розенберг Г.В. Вектор-параметр Стокса // Успехи физ. наук. 1955. Т. 56. № 1. С. 77-109.

[74] Романов В.Г. Оценки условной устойчивости для двумерной задачи восстановления коэффициента поглощения и правой части уравнения переноса // Сиб. мат. журнал. 1994. Т. 35, №6. С. 1335-1356.

[75] Романов В. Г. Задача о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния // Доклады АН. 1996. Т. 351. №1. С. 29-31.

[76] Сетейкин А.Ю. Анализ по методу Монте-Карло процессов распространения лазерного излучения в многослойных биоматериалах // Оптика и спектроскопия. 2005. Т. 99. № 4. С. 685-688.

[77] Соболев B.B. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. -М.: ГИТТЛ, 1956.

[78] Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло - М.: Наука. 1973.

[79] Сушкевич Т. А. Решение общей краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтальной неоднородностью // Доклады АН. 1994. Т. 339. №2. С. 726-747.

[80] Сушкевич Т.А. Решение краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтально - неоднородной границей раздела двух сред //Доклады АН. 1996. Т. 350. №4. С. 460-464.

[81] Сушкевич Т.А., Стрелков С.А., Максакова C.B. Математическая модель переноса поляризованного излучения // Журнал мат. моделирования. 1998. Т. 10, № 7. С. 61-75.

[82] Сушкевич Т.А. Математические модели переноса излучения. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006.

[83] Тучин В. В. Исследование биотканей методами светорассеяния // Успехи физ. наук. 1997. Т. 167. №5. С. 517-539.

[84] Тучин В.В., Вашкатов А.Н., Генина Э.А., Синичкин Ю.П., Лакодина H.A. In vivo исследование динамики иммерсионного просветления кожи человека // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. .№12. С. 10-14.

[85] Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма-излучения. - М.: Госа-томиздат, 1963 1999.

[86] Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системати. -Новосибирск: Научная книга, 1999.

[87] Хандорин A.A., Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Решение трехмерной задачи компьютерной томографии // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014612193 от 20.02.2014.

[88] Хачатуров А. А. Определение значения меры для области п-мерного евклидовою пространства по ее значениям для всех полупространств // Успехи мат. наук. 1954. Т. 9. №3(61). С. 205-212.

[89] Хелгансон С. Преобразование Радона.- М.: Мир. 1983.

[90] Хюлст Г. Ван де. Рассеяние света малыми частицами. М.: ИЛ, 1961.

[91] Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. - М.: ИЛ, 1953.

[92] Шаенко А.Ю. Распределенный параллельный расчет радиационно-кондуктивного теплообмена методом Монте-Карло на базе графических ускорителей // Доклады пятой международной конференции "Параллельные вычисления pi задачи управления Москва. 2010. С. 281-293.

[93] Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для рефрагирующей среды // Сиб. матем. журнал. 1994. Т. 35. №4. С. 937-945.

[94] Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стацио-нараном уравнении переноса // Доклады АН. 1996. Т. 347. №5. С. 604-606.

[95] Шварц Л. Анализ. Т. 1. - М.: Мир, 1972.

[96] Amosov A.A. Stationary nonlinear nonlocal problem of radiative-conductive heat transfer in a system of opaque bodies with properties depending on the radiation frequency // Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 164. № 3. P. 309-344.

[97] Andre S., Degiovanni A. A theoretical study of the transient coupled conduction and radiation heat transfer in glass: phonic diffusivity measurements by the Nash technique // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. Vol. 38. № 18. P. 3401-3412.

[98] Andre S., Degiovanni A. A new way of solving transient radiative-conductive heat transfer problems // J. Heat Transfer. 1998. Vol. 120. № 4. P. 943-955.

[99] Anikonov D.S, Prokhorov I.V. Determination of a Coefficient of the Transport Equation for Energy and Angular Singularities of Input Radiation // Dokl. Akad. Nauk. 1992. Vol. 327. № 2. P. 205-207.

[100] Anikonov D.S., Prokhorov I. V., Kovtanyuk A.E. Investigation of scattering and absorbing media by the methods of X-ray tomography //J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. Vol. 1. № 4. P. 259-281.

[101] Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., Prokhorov I.V. Tomography through the Transport Equation // Proceedings IMA Volumes. Springer. 1999. V. 110. P. 3344

[102] Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., Prokhorov I. V. Tomography through the Transport Equation // Proceedings IMA Volumes. Springer. 1999. V. 110. P. 3344

[103] Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., and Prokhorov I.V. Transport Equation and Tomography. - Utrecht-Boston. VSP. 2002. pp. viii+208.

[104] Anikonov D.S., Nazarov V.G., and Prokhorov I.V. Poorly Visible Media in X-Ray Tomography. - Utrecht-Boston. VSP. 2002. pp. viii+294p.

[105] Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., Konovalova D.S., Nazarov V.G., Prokhorov I. V. Investigation of Inverse and Other Nonclassical Problems in Russian Far East // In: Recent Developments in Theories and Numerics. Word Scientific Publisher. 2003. P. 13-26.

[106] Anikonov Yu.E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations-Utrecht, The Netherlands: VSP, 2001.

[107] Arridge S.R. Optical tomography in medical imaging // Inverse Problems. 1999. Vol. 15. P. 41-93.

[108] Banoczi J.M., Kelley C.T. A fast multilevel algorithm for the solution of nonlinear systems of conductive-radiative heat transfer equations // SI AM J. Sci. Comp 1998 Vol. 19. № 1. P. 266-279.

[109] Barichello L.B., Rodrigues P., Siewert C.E. An analytical discrete-ordinates solution for dual-mode heat transfer in a cylinder //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2002. Vol. 73. P. 583-602.

[110] Born M., Wolf E. Principles of Optics. Oxford: Pergamon. 1968.

[111] Clever D., Lang J. Optimal control of radiative heat transfer in glass cooling with restrictions on the temperature gradient // Optimal Control Appl. and Meth. 2012. Vol. 33. № 2. P. 157-175.

[112] Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals with some radiological applications // J. Applied Physics. 1964. Vol. 35. P. 2908-2913.

[113] Dorn O. Scattering and absorption transport sensitivity functions for optical tomography // Optics Express. 2000. Vol. 7. №13. P. 492-506.

[114] Dorn O. and Lesseher D. Level set methods for inverse scattering // Topical review. Inverse Problems. 2006. Vol. 22. R67-R131.

[115] Druet P.-E. Existence of weak solutions to the time-dependent MHD-equations coupled to heat transfer with nonlocal radiation boundary conditions // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2009. Vol. 10. № 5. P. 29142936.

[116] Ducomet B., Necasova S. Global Weak Solutions to the ID Compressible Navier-Stokes Equations with Radiation // Commun. Math. Anal. 2010. Vol. 8. № 3. P. 23-65.

[117] Fernandez J.E., Hubbell J.H., Hanson A.L., Spenser L.V. Polarization effects on multiple scattering gamma transport // Radiat. Rhys. Chem. 1993. Vol. 41. № 4/5. P. 579-630.

[118] Frank M., Klar A., Pinnau R. Optimal control of glass cooling using simplified PN theory // Trans. Theory Stat. Phys. 2010. Vol. 39. № 2-4. P. 282311.

[119] Germogenova T.A., Nikolaeva O.V. Optical tomography problems: Investigation by the methods of the radiation transport theory // Optics and Spectroscopy. 2006. Vol. 101. № 5. P. 7691,1776.

[120] Groenhuis R.A., Ferwerda H.A., Ten Bosch J.J. Scattering and absorption of turbidmaterials determined from reflection measurements. 1: Theory // Appl. Optim. 1983. Vol. 22. № 16. P. 2456-2462.

[121] Habelter G.J., Matkowsky B.J. Uniform asymptotic expansion in transport theory with small mean free paths, and the diffusion approximation //J. Math. Phys. 1975. Vol. 16. № 4-5. P. 846-854.

[122] Henke B.L., Gulhkson E.M., Davis J.C. Atomic data and nuclear data tables //J. Devoted to Complications of Experimental and Theoretical Results. 1993. Vol. 54. № 2. P. 181-343.

[123] Herty M., Pmnau R., Thommes G. Asymptotic and discrete concepts for optimal control in radiative transfer // Z. Angew. Math. Mech. 2007. Vol. 87. № 5. P. 333-347.

[124] Hubbell J.H., Seltzer S.M. Tables of X-ray mass attenuation coefficients and mass energy-absorption coefficients 1 KeV to 20 MeV for elements Z=1 to 92 and 48 additional substances of dosimetric interest // NISTIR-5632, Nat. Inst, of Stand, and Technol. Gaithersburg, 1995.

[125] Kelley C.T. Existence and uniqueness of solutions of nonlinear systems of conductive-radiative heat transfer equations // Transport Theory Statist. Phys. 1996. Vol. 25. № 2. P. 249-260.

[126] Klar A., Siedow N. Boundary layers and domain decomposition for radiative heat transfer and diffusion equations: applications to glass manufacturing process // Eur. J. Appl. Math. 1998. Vol. 9. № 4. P. 351-372.

[127] Kovtanyuk A.E., Prokhorov LV. Tomography problem for the polarized-radiation transfer equation //J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2006. Vol. 14.

lUo ft T> 1.10

J y ~ KJ . ± . J. J. .

[128] Kovtanyuk A.E., Prokhorov I. V. Numerical solution of the inverse problem for the polarized-radiation transfer equation // Numerical Analysis and Applications. 2008. Vol. 1. №1. P. 46-57.

[129] Kovtanyuk A.E., Nefedev K.V., Prokhorov I.V. Advanced computing method for solving of the polarized-radiation transfer equation // Lecture Notes in Computer Science. 2010. Vol. 6083. P. 268-276.

[130] Kovtanyuk A.E., Prokhorov I. V. Boundary-value problem for the polarized-radiation transfer equation with Fresnel interface conditions in layered medium // J. of Computational and Applied Mathematics. 2011. Vol. 235. №8. P. 2006-2014.

[131] Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Numerical simulations of a coupled conductive-radiative heat transfer model using a modified Monte Carlo method // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2012. Vol. 55. P. 649-654.

[132] Kovtanyuk A.E., Prokhorov I.V. Some inverse problem for the polarized-radiation transfer equation // In: Simulation and Optimization of Complex Processes. Springer. 2012.

[133] Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu. An iterative method for solving a complex heat transfer problem // Applied Mathematics and Computation. 2013. Vol. 219. P. 9356-9362.

[134] Kovtanyuk A.E., Prokhorov I.V. Polarized optical imaging problem of biological tissues // Int. J. of Biomathematics and Biostatistics. 2013. Vol. 2. № 1. P. 49-57.

[135] Kovtanyuk A.E.. Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2014. Vol. 409. P. 808-815.

[136] Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-

radiative heat transfer // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2014. Vol. 412. P. 520-528.

[137] Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu. Steady-state problem of complex heat transfer // Computational Math, and Math. Physics. 2014. Vol. 54. № 4. P. 719726.

[138] Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. DOI: 10.1016/j.cnsns.2014.06.040.

[139] Kovtanyuk A.E. The use of GPUs for solving the computed tomography problem // J. of Nano- and Electronic Phys. 2014. Vol. 6. № 3. P. 03050-103050-4.

[140] Kufner A., Fucik S. Nonlinear Differential Equations, Studies in Applied Mechanics 2. New York: Elsevier, 1980.

[141] Larsen E.W., Morel J.E. Asymptotic solution of numerical transport problems in optically thick, diffuse regimes II // J. Comp. Phys. 1989. Vol. 83. № 1. P. 212-236.

[142] Marshak R. Note on the spherical harmonic method as applied to the Milne problem for sphere // Phys. Rev. 1947. Vol. 71. № 7. P. 443-446.

[143] McCormick N.J. and Kuscer I. On the inverse problem in radiative transfer //J. Math. Phys. 1974. Vol. 15. P. 926-927. .

[144] Mc.Cormic N.J. and Sanchez R. General solution of inverse transport problem // J. Math. Phys. 1982. Vol. 22. №4. P. 487-453.

[145] McCormick N.J. Methods for solving inverse problems for radiation transport - an update // Transport Theory and Statist. Phys. 1986. Vol. 15. P. 759-772.

[1461 Modest M.F. Radiative Heat Transfer. New York: McGraw-Hill. 1993.

L J

[147] Motamedi M., Rastegar S., LeCarpentier G., Welch A.J. Light and temperature distribution in laser irradiated tissue: the influence of anisotropic scattering and refractive index // Appl. Optim. 1989. Vol. 28. № 12. P. 22302237.

[148] Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. - Stuttgart: B.G.Teubner and John Wiley & Sons, 1986.

[149] Ozisik M.N. Radiative Transfer and Interaction with Conduction and Convection. New York: John Wiley, 1973.

[150] Pmnau R. Analysis of Optimal Boundary Control for Radiative Heat Transfer Modelled by the SPN-System // Comm. Math. Sci. 2007. Vol. 5. № 4. P. 951-969.

[151] Pinnau R., Seaid M. Simplified PN Models and Natural Convection-Radiation // Math, in Industry. 2008. Vol. 12. P. 397-401.

[152] Prokhorov LV., Yarovenko LP., and Krasnikova T.V. An extremum problem for the radiation transfer equation // Journal of Inverse and 111-Posed Problems. 2005. Vol. 13. № 4. P. 365-382.

[153] Seteikin A.Yu., Gershevich M.M., Ershov LA. The simulation of the interaction between low-intensity laser beams and multilayer scattering biological materials // Tech. Phys. The Russian J. Appl. Phys. 2002. Vol. 47. № 1. P. 97-101.

[154] Siewert C.E. Determination of the Single Scattering Albedo from Polarization Measurements of the Rayleigh Atmosphere // Astrophysics and Space Sciences. 1979. Vol. 60. P. 237-239.

[155] Siewert C.E. On the inverse problem for three-term phase function //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1979. Vol. 22. P. 441-446.

[156] Siewert C.E., Dunnt W.L. On the inverse problem for planeparallel media with nonuniform surface illumination //J. Math. Phys. 1982. Vol. 22. №7. P. 1376-1378.

[157] Siewert C.E., Pinheiro F.J. V. On the Scattering of Polarized Light // J. of Applied Mathematics and Physics. 1982. Vol. 33. P. 807-817.

[158] Siewert C.E. Solution an Inverse Problem in Radiative Transfer with Polarization //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1983. Vol. 30. № 6. P. 523526.

[159] Siewert C.E.. Thomas J.R. A computational method for solving a class of coupled conductive-radiative heat-transfer problems //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1991. Vol. 45. № 5. P. 273-281.

[160] Siewert C.E. An improved iterative method for solving a class of coupled conductive-radiative heat-transfer problems //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1995. Vol. 54. № 4. P. 599-605.

[161] Siewert C.E. A discrete-Ordinates Solution for Radiative-Transfer Models that Include Polarization Effects //J. Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2000. Vol. 64. P. 227-254.

[162] Smith O.J., Siewert C.E. The half-space GreenYs function for an atmosphere with a polarized radiation field // Journal Math. Phys. 1967. Vol. 12. № 8. P. 24671,12474.

[163] Sushkevich T.A., Strelkov S. A. Model of polarized transfer in atmosphere-earth surface system // Siberian J. on Numerical Mathematics. 1999. Vol. 2. № 1. P. 89-98.

[164] Thömes G., Pinnau R., Seaid M., Götz T., Klar A. Numerical methods and optimal control for glass cooling processes // Trans. Theory Stat. Phys. 2002. Vol. 31. № 4-6. P. 513-529.

[165] Tse O., Pinnau R., Siedow N. Identification of temperature dependent parameters in a simplified radiative heat transfer // Australian J. Basic and Appl. Sei. 2011. Vol. 5. № 1. P. 7-14.

[166] Tse 0., Pinnau R., Siedow ACmentification of temperature dependent parameters in laser-interstitial thermo therapy // Math. Models Methods Appl. Sci. 2012. Vol. 22. № 9.

[167] Tse 0., Pinnau R. Optimal control of a simplified natural convection-radiation model // Comm. Math. Sci. 2013. Vol. 11. № 3. P. 679-707.

[168] Tuchm V. V. Light scattering study of tissues // Phys.-Usp. 1997. Vol. 40. P. 495-515.

[169] Welch A. J., van Germet M.C. Tissue Optics. New York: Academic, 1992.

[170] Wilson B. C., Patterson M.S. The physics of photodynamic therapy // Phys. Med. Biol. 1986. Vol. 31. P. 327-360.

[171] Yoon G., Prahl S.A., Welch A.J. Accuracies of the diffusion approximation and its similarity relations for laser irradiated biological media // Appl. Optim. 1989. Vol. 28. № 12. P. 2250-2255.

[172] Zege E.P., Chaikovskaya L.L Approximate theory of linearly polarized light propagation through a scattering medium //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2000. Vol. 66. № 5. P. 413-435.

[173] Zimnyakov D.A., Tuchm V.V. Optical tomography of tissues // Quantum Electron. 2002. Vol. 32. № 10. P. 849-867.

[174] Zweifel P.E. Conference on mathematical aspects of transport equation // Transport Theory and Statist. Phys. 1973. Vol. 3. №1. P. 55-57.