Статистическая обработка данных с использованием априорной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Дмитриев, Юрий Глебович

• Дмитриев, Юрий Глебович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дмитриев, Юрий Глебович

Список сокращений и обозначений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. УЧЕТ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ МЕТОДОМ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ

§1. Введение

§2. Метод коррелированных процессов при наличии смещений в априорных условиях

2.1. Постановка задачи

2.2. Структура оптимальной оценки

2.3. Адаптивные оценки при известных смещениях в априорных условиях

2.4. Адаптивные оценки при неизвестных смещениях в априорных условиях

§3. Априорные условия с заданным множеством значений

3.1. Постановка задачи

3.2. Структура оценок

3.3. Оценки, основанные на ?У-статистиках

3.4. Оценки, как функционалы Мизеса от э.ф.р.

§4. Априорные условия с неполным числом возможных значений 55 Выводы

ГЛАВА 2. УСЛОВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§1. Введение

§2. Постановка задачи

§3. Оценивание при отсутствии смещений в априорных условиях

§4. Адаптивные оценки. Примеры.

§5. Оценивание при наличии смещений в априорных условиях

§6. Адаптивные оценки при наличии смещениий в априорных условиях

Выводы

ГЛАВА 3. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ В УЧЕТЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

§1. Введение. Общая идея метода проекций

§2. Проектирование на основе псевдометрик

§3. Метод минимального расстояния

§4. Проектирование в пространства условно-инвариантных распределений

4.1. Определения. Примеры.

4.2. Проектор и проекции

§5. Проектирование в классы Б® -симметричных распределений

5.1. Центр симметрии задан

5.2. Центр симметрии не задан

§6. Проектирование в квантильные классы распределений

§7. Проектирование в класс непрерывных распределений

§8. Проектирование в класс распределений с известными математическими ожиданиями от заданных функций

8.1. Проектирование на основе расстояния Кульбака-Лейблера

8.2. Линеаризованный проектор

8.3. Проекция одномерной функции распределения при полилинейных условиях

§9. Проектирование в параметрические классы распределений

§10. Проектирование в пересечения классов распределений

10.1. Квантильные классы условно-инвариантных распределений

10.2. Квантильные классы непрерывных распределений

10.3. Проектирование в классы непрерывных условно-инвариантных распределений

10.4. Квантильные классы непрерывных условно-инвариантных распределений

10.5. Классы 5? - -симметричных распределений с известными средними от заданных функций

10.6. Проектирование в сужения параметрических классов распределений 141 Выводы

ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С УЧЕТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

§1. Введение

§2. Эмпирическое распределение

§3. Статистические оценки Sa-симметричных распределений

3.1. Неравноплечная симметрия

3.2. Равноплечная симметрия

§4. Статистические оценки распределений из квантильных классов

4.1. Общий случай

4.2. Функция распределения на прямой

4.3. Сглаженное эмпирическое распределение

§5. Статистические оценки непрерывных функций распределения

§6. Учет информации условно-инвариантного типа

6.1. Общая схема построения оценок

6.2. Статистические свойства оценок распределений

§7. Оценки распределений с известными математическими ожиданиями от заданных функций

7.1. Модифицированные эмпирические распределения и информационные статистики

7.2. Линеаризованные оценки и информационные статистики

§8. Оценки распределений из пересечений априорных классов

8.1. Непараметрические классы распределений

8.2. Параметрические классы распределений

§9. Вероятности попадания модифицированных эмпирических функций распределения в заданные полосы 185 Выводы

ГЛАВА 5. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

§1. Введение

§2. Метод расстояний в построении статистик критериев

§3. Модифицированные статистики критериев согласия

§4. Модифицированные статистики Колмогорова-Смирнова

4.1. Простая гипотеза

4.2. Точные распределения модифицированных статистик

4.3. Предельные распределения модифицированных статистик

§5. Модифицированные статистики критерия омега - квадрат

5.1. Статистики для распределений с заданными квантилями

5.2. Статистики для Sa - симметричных распределений

5.3. Статистики критерия для Sa - симметричных распределений с заданными квантилями

§6. Критерий симметрии омега-квадрат для распределений с известной медианой

§7. О мощностных свойствах модифицированных критериев

7.1. Случай фиксированных альтернатив

7.2. Случай сближающихся альтернатив 235 Выводы

ГЛАВА 6. ПРИВЛЕЧЕНИЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ МИНИМУМА ВЕРХНИХ ГРАНИЦ ПОГРЕШНОСТЕЙ

§1. Введение

§2. Границы погрешностей оценок одномерных интегралов на классах функций

§3. Границы погрешностей на классах функций W[

§4. Влияние учета дополнительной информации

§5. Границы погрешностей оценивания кратных интегралов

§6. Асимптотические границы погрешностей

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическая обработка данных с использованием априорной информации»

Задачи статистической обработки данных обычно формулируются в терминах функционалов от распределения вероятностей, выражающих различные вероятностные характеристики, и их решение сводится к нахождению значений этих функционалов по результатам эксперимента. При построении статистических оценок функционалов часто используется метод подстановки, заключающийся в замене неизвестного распределения эмпирическим распределением. На практике почти всегда что-нибудь известно об оцениваемом распределении. Эти знания, составляющие априорную информацию, могут быть совершенно различными; они могут заключать в себе информацию о непрерывности, симметрии относительно известного или неизвестного центра, о квантилях и моментах, о монотонности функции интенсивности, о функциональном виде распределения и т.д., а также различные комбинации этих сведений. Наличие априорной информации естественным образом ставит задачу ее использования для улучшения эмпирических оценок. Задачи оценивания, в которых имеется существенная априорная информация, получили название условных.

К числу первых работ по условному оцениванию функции распределения и функционалов относятся исследования Ю.Н.Тюрина, E.F.Schuster, D.Hinkley, Б.Я.Левита, Ю.А.Кошевника, Г.М. Кошкина, Ф.П. Тарасен-ло, Ю.К.Устинова и автора. Важнейшим стимулом к разработке методов привлечения дополнительной априорной информации в статистическую обработку данных экспериментов послужили разнообразные практические- задачи, решаемые методом статистических испытаний. Статистические испытания - одна из главных составных частей проектирования сложных систем различного профиля и назначения. Потенциальными объектами испытаний служат как система в целом, так и ее подсистемы, элементы, а также их модели. Проведение большого числа серий мспыта-ний над множеством объектов и с разными частными задачами приводит к накоплению крупного информационного массива результатов экспериментов и статистических оценок. Разнообразие априорной информации, эмпирических данных и взаимосвязей между ними делает актуальной разработку методов обработки данных, которые за счет использования различного рода информации позволяют повысить точность статистических оценок и сократить объем экспериментов. Так в [86] для анализа систем предложен комбинированный метод оценивания вероятностных характеристик, использующий результаты натурных испытаний и дополнительную информацию о системе, полученную в результате теоретических исследований и статистического моделирования. Такой метод, называемый также методом коррелированных процессов, позволяет повысить точность оценивания вероятностных характеристик при заданном числе натурных экспериментов, проведение которых, как правило, трудоемко и требует больших материальных затрат.

В [95] методом ортогонального проектирования на подпространства в гильбертовом пространстве построены оценки функции распределения с учетом знания ее моментов и симметрии относительно известного центра. Идеи, изложенные в этой работе, развивались Ю.Г.Дмитриевым [15,17,18], Ю.Г.Дмитриевым и Ф.П.Тарсенко [40,41.112], Ю.Г.Дмитриевым и Ю.К.Устиновым [46-50], Б.Я.Левитом [75], Ю.А.Кошевником [68-71].

В [15] построены модифицированные с учетом дополнительной информации эмпирические оценки функции рапределения обладающие тем свойством, что конечномерные распределения процесса waNF(t) = N-^[FaN(t)-F(t)]. слабо сходятся к соответствующим конечномерным рапределениям гаус-совского процесса ДяЭД-оо^М^М, * е я\ где Лу® - ортогональный проектор в гильбертовом пространстве 1,2(.Р) квадратично ^-интегрируемых функций, броуновский мост, Р £

Та. Дисперсии предельных при ТУ —» со распределений определенного вида функционалов оказались меньше, по сравнению с предельными дисперсиями функционалов от эмпирического процесса.

В [117,120,124,125] приводятся оценки с учетом симметрии функции распределения относительно известного и неизвестного центра.

В работах [68 -71 ,75] для регулярных задач условного оценивания было установлено неравенство информации, описывающее нижние границы асимптотического риска оценок функционалов . Это неравенство позволяет сформулировать коструктивное достаточное условие асимптотической оптимальности, или локально асимптотической минимаксности (ЛАМ) оценок распределений и функционалов от них.

Особую значимость учет допонительной информации в оценивании распределения вероятностей и функционалов приобретает в теории надежности. В [84,85] описаны методы оценивания показателей надежности изделий и их составных частей по результатам испытаний или эксплуатационных наблюдений с использованием дополнительной информации. Источником зтой информации служат анализ надежности при проектировании, результаты предыдущих испытаний изделий. В [3, гл.5] приводятся граничные оценки для вероятностей безотказной работы и других показателей надежности в предположении, что известен один из моментов распределения времени безотказной работы или квантиль этого распределения, а само распределение имеет монотонную функцию интенсивности. В прекрасной монографии [87, гл.6] решается задача оценки вероятности безотказной работы в условиях частичной априорной информации об приорном распределении в байесовской постановке.

На практикев встречаются ситуации, когда распределение вероятностей полностью известно, а исходную задачу нельзя считать решенной, так как искомый функционал от распределения остается неизвестным в силу трудностей или отсутствия аналитических методов его вычисления. Такой случай полной априорной определенности имеет место в задачах, решаемых методом Монте-Карло (методом статистических испытаний). Для повышения точности вычисления математических ожиданий ( интегралов) методом Монте-Карло разработаны [57,59,91] различные приемы уменьшения дисперсии оценок - выделение главной части, симметризация подынтегральной функции, метод " существенной" выборки, метод расслоенной выборки, и т.д. По существу, все эти приемы есть способы учета имеющейся информации при оценивании математического ожидания (или какого-либо другого функционала) по выборке, генерируемой ЭВМ в соответствии с заданным законом распределения.

Отметим некоторые задачи статистической радиотехники, решаемые с использованием дополнительной информации. В [74,121] из эвристических соображений построены непараметрические обнаружители постоянного сигнала при известных квантилях функции распределения аддитивной помехи. Укажем также на работу автора [16]. В [62] рассмотрена задача учета информации об асимметрии и эксцессе помехи при выделении постоянного сигнала на фоне аддитивного шума. В [99] показывается, какие возможности открывает учет априорной информации различного уровня при решении задач идентификации, в [58,89,102] рассматриваются оценки параметров регрессии при наличии априорной информации о параметрах модели.

Применение критериев значимости требует численного определения вероятностных распределений статистик при нулевой гипотезе. Точная информация о распределении статистик часто ограничена несколькими первыми моментами или некоторой другой частичной информациею. Эти сведения помогают повысить точность вычислений при использовании бутстреп метода Б.Эфрона [103]. Использование имеющейся информации в проверке статистических гипотез рассматривалось в работах [54, 104, 107-110].

Таким образом, потребности практики приводят к необходимости развития известных и создания новых подходов и методов учета априорной информации различного типа с целью реализации и повышения качества статистических процедур обработки данных, а также теоретического обоснования этих методов.

Целью настоящей работы является развитие метода коррелированных процессов для задачи условного оценивания при наличии смещений и многозначности значений в априорных условиях, разработка новых методов и алгоритмов привлечения различных типов дополнительной информации о распределениях в процедуры статистической обработки данных, исследование влияния учета априорной информации на свойства получаемых статистических процедур.

Подход, развиваемый в данной работе, исходит из следующего. Как известно, математические модели случайных экспериментов основываются на понятии вероятностного пространства {О, Л, -Р}, ( О - множество элементарных исходов, Л - сигма-алгебра событий, Р - вероятность, заданная на событиях А £ Л). Эксперимент, связанный со случайной величиной осуществляющей измеримое отображение в {Лописывается вероятностным пространством {Л!, В, Р^}, где Р^{А} — Р{£ £ А} - распределение случайной величины На практике при изучении конкретного эксперимента вероятность Р и, следовательно, распределение Р,£ редко бывают известны полностью. Часто можно априори утверждать, лишь, что Р£ является элементом некоторого заданного класса распределений Vе1. Этот класс Ра может совпадать с классом V, включающим в себя все распределения, которые можно задать на Б (случай полной априорной неопределенности), в других же случаях представляет собой некоторое более узкое семейство распределений, заданное в той или иной явной форме (ситуация, когда имеется определенная априорная информация).

Если G(P{) - некоторый действительный функционал, то в силу неизвестности Р,'с меется неопределенность в его значении. Задача статистической обработки данных состоит в том, чтобы уменьшить эту неопределенность, используя информацию, доставляемую наблюдениями Х[,.,Хдг над случайной величиной £ (статистическими данными), и имеющимися сведениями о классе Va.

При построении статистических оценок функционалов G(P^) часто используется метод подстановки [9,30], заключающийся в том, что вместо неизвестного распределения Р{\ (или соответствующей функции распределения Ре) подставляются их статистические оценки. В связи с этим первостепенную важность приобретает построение различных оценок распределений. Традиционные методы статистического оценивания распределений вероятностей исходят, как правило, из полной априорной неопределенности относительно искомого распределения. В этом случае в качестве статистической оценки обычно берут эмпирическое распределение PN [9,79], построенное по исходным наблюдениям объема N.

В данной работе излагается достаточно общий подход к проблеме учета априорной информации в статистической обработке данных, названный методом проекций. Основная идея этого подхода заключается в следующем. По имеющейся априорной информации в классе всех распределений V выделяется априорный класс Vй - подкласс тех распределений, которые удовлетворяют данным свойствам. Затем строится проектор П ': V —>• Vя на априорный класс, являющийся отображением V на Vй, неподвижным на Va. Построение статистической оценки распределения Р, использующей априорную информацию Р £ Ра, заключается в применении проектора П к эмпирическому распределению Рдг, отвечающему выборке объема N. Оценкой Р является проекция РРдг, оценкой функционала G(P) является G(IIPN) . Проектор П : V —)• Vй можно построить как отображение, ставящее в соответствие каждому Р £ V элемент Ра £ Vя, ближайший к Р в смысле заданного расстояния с1.

Важнейшее достоинство этого метода заключается в том, что он разбивает задачу учета априорной информации на две самостоятельные части: до статистическую, состоящую из построения и исследования упомянутых проекторов, и собственно статистическую, состоящую из изучения статистических свойств получающихся оценок распределений и функционалов от них.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ Сибирского физико-технического института при Томском государственном университете.

В рамках госбюджетных тем:

Оптимизация измерительных и связных информационных систем" (координационный план АН СССР на 1971-1975 гг., проблема ТК-22, № гос. регистрации 70005304);

Адаптивные, обучаемые и самообучающиеся системы" (координационный план АН СССР на 1976-1980 гг. по комплексной проблеме "Кибернетика", шифр 1.12.1.2, № гос. регистрации 78017018);

Разработка непараметрических и устойчивых к неадекватностям моделей статистических процедур" (1981-1985 гг., шифр "Функционал-Р", № гос. регистрации 73024024); в рамках хоздоговорных тем: Создание системы алгоритмов и программ для статистической обработки экспериментальных данных" (1974-1976 гг., шифр "Статистика", № гос. регистрации 74063880),

Разработка и внедрение непараметрических и робастных методов в моделированиеввв, в автоматизацию проектированиям и автоматизацию технологических процессов в производстве микросхем" (1987-1989 гг. шифр "Статистика", № гос. регистрации 75015423).

По базовому финансированию Министерства общего и профессионального образования (МОПО) в рамках тем:

Стохастическое моделирование систем обработки информации, классификации и селекции" в 1991-1995 г.г. (шифр "Модель" №4-13-91);

Математическое моделирование систем управления, обработки и передачи информации" в 1996-1998 г.г. (шифр "Система" №4-4-96Ф).

Часть исследований выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ Томского государственного университета по базовому финансированию МОПО в рамках темы Разработка и исследование математических моделей и программной поддержки статистической обработки разнотипных данных" в 1994-1999 гг. (шифр № 1.38.96Ф), а также по программам, поддержанных грантом Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) №95-01-00289 "Непараметрические и робастные методы обнаружения зависимостей, классификации и селекции" (1995-1996 г.г., руководитель Тарасенко Ф.П.).

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических форумах:

VI конгрессе ИФАК по стохастическому управлению (Венгрия, 1974)

IV. V, VI научных конференциях Западно-Сибирского региона MB и

ССО РСФСР по математике и механике (Томск, 1974, 1976, 1977).

V Всесоюзном совещании по методам Монте-Карло (Новосибирск, 1976)

II -VII Всесоюзных школах-семинарах по непараметрическим и ро-бастным методам статистики в кибернетике (Шушенское, 1977, Дивно-горек, 1981, Томск, 1983, Шушенское, 1985, Томск, 1987)

VII Всесоюзной конференции по теории и передачи информации (Москва-Куйбышев, 1981)

Международном симпозиуме по теории информации ( Ташкент, 1984)

Colloquium on Goodness-of-Fit. June 25-29. 1984. Debrecen

Всесоюзной конференции "Теория, методология и практика системных исследований". Секция 5. Математические методы анализа систем, (Москва, 1985)

Всесоэной конференции "Методы и програмное обеспечение обработки информации и прикладного статистического анализа данных на ЭВМ" ( Минск, 1985)

II Симпозиуме ИФАК по стохастическому управлению (Вильнюс, 1986)

I Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986)

International Symposium on Data Analysis, INRIA, Antibes / Juan les Pins (France) 11-14 Sept. 1989.

IV Всесоюзной научно-технической конференции " Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции" ( Тарту (ЭССР), 1989)

Всесоюзной конференции "Информационные методы повышения эффективности и помехоустойчивости радиосистем и систем связи" ( Москва-Ташкент, 1990)

Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, 1990)

Всесоюзная конференция по имитационному моделированию и анализу данных (Минск, 1990)

Республиканской научной школе-семинаре "Компьютерный анализ данных и моделирование" (Минск, 1992)

VIII, IX, X Международных симпозиумах по непараметрическим и робастным методам в кибернетике (Красноярск, 1995, 1997, 1999)

II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996)

Юбилейной научной конференции Сибирского физико-технического института им. академика В.Д.Кузнецова при Томском государственном университете (Томск, 1998)

Юбилейной межрегиональной научной конференции "Исследования по анализу и алгебре", посвященной 50-летию механико-математического факультета ТГУ (Томск, 1998)

Третьем Корейско-Российском международном научно-техническом симпозиуме (Новосибирск, 1999)

Международном семинаре "Стохастические системы управления" Дрезденского технического ун-та и НИИ АЭМ при ТУСУР (Томск, 1999) Структура диссертации

Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения, включающего документы об использовании результатов диссертации в учебном процессе. Объем диссертации - "275 страниц, в том числе таблиц - 4, рисунков - 3. В работе принята двойная нумерация формул, теорем, лемм, следствий и таблиц, в каждой главе самостоятельная: первое число — номер параграфа, второе — номер формулы, теоремы, леммы т.д. в пределах параграфа. При ссылках на формулы, теоремы, леммы и т.д. других глав применяется тройная нумерация, в которой первая цифра — номер главы.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Дмитриев, Юрий Глебович

Выводы

1. Наличие полной информации о функции распределения и рассмотрение классов подынтегральных функций с кусочно-непрерывными частными производными не выше первого порядка по каждой переменной, интегрируемых в квадрате или по модулю, дало возможность рассмотреть при построении оценок интеграла J с учетом условий (1.2) новый критерий качества - минимум верхней грани погрешности оценок, отличный от минимума дисперсии.

2. Такой критерий, во-первых, приводит к новым оценкам ^у(А'), уступающим оптимальным по дисперсии, но более простым в вычислительном отношении для конкретной задачи; во-вторых, позволяет одновременно учесть имеющуюся информацию как о подынтегральной функции, так и о свойствах функции распределения; в-третьих, дает возможность получить на рассматриваемых классах подынтегральных функций точные границы погрешности для оценок /дг(Ао), оптимальных по дисперсии, при любом N.

3. Найденные точные границы погрешностей оценок интересны тем, что они пригодны для всех функций /г из заданных классов (см. §§2,3,5) и обобщают соответствующие результаты из [91, стр. 129] и [4, стр. 144] в направлении модификаций оценок с учетом свойств функции распределения и многомерности оцениваемых интегралов.

4. Соотношения (6.1) и (6.2) позволяют строить доверительные интервалы для оценок кратных интегралов с использованием асимптотических распределений статистик омега-квадрат и их модификаций за счет учета свойств распределения выборки.

5. Учет информации о симметрии и квантилях равномерного в [0,1] распределения в структуре оценок интегралов приводит не только к повышению точности оценивания, но и делает их устойчивыми (робастны-ми) к отклонениям распределения выборкии от равномерного закона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации, и некоторые выводы,, вытекающие из них.

В диссертации предложены и исследованы методы учета дополнительной априорной информации о распределениях случайных величин в статистической обработке данных. В основе методов лежит функциональная интерпретация статистик. Известный на практике метод коррелированных процессов получил дальнейшее развитие и применен к решению новых задач.

1. Рассмотрена задача оценивания линейного функционала (глава 1) при наличии смещений в априорных условиях (2.1'), что позволило существенно расширить круг априорных знаний и число практических задач, решаемых с помощью метода коррелированных процессов. В классе линейных оценок (2.2) найдена наилучшая оценка по критерию минимума среднеквадратического отклонения (СКО) .

2. Предложены адаптивные оценки (2.25) и (2.34) (глава 1), которые при нулевых смещениях в априорных условиях сходятся по распределению к оптимальной, а при наличии смещений слабо сходится к безусловной оценке, в которой априорная информация не учитывается. Эти оценки "настроены" на выполнение полной несмещенности в априорных условиях, то есть, когда все компоненты вектора смешений равны нулю. Адаптивная оценка (2.38) обладает тем преимуществом перед (2.25) и (2.34), что "подстраивается" к случаям, когда только часть компонент вектора априорных смещений равна нулю.

3. Впервые рассмотрена задача оценки функционала (1.1) (глава 1), когда априорные функционалы принимают значения из заданного конечного множества (см.(3.2)). Соотношения (3.2) отражают большую априорную неопределенность относительно неизвестного распределения Р по сравнению с условием (1.2). Построены адаптивные оценки, сходящиеся по распределению к оптимальной и для этой ситуации. Оказалось, что увеличение неопределенности в априорных условиях (3.2) за счет множественности значений ( в конечном числе) в априорных функционалах не ухудшает асимптотических свойств адаптивной оценки по сравнению со случаем, когда априори известно, что каждый из априорных функционалов принимает только одно значение.

4. Показано (глава 2), что метод коррелированных процессов можно с успехом применять в оценивании функционалов от условных плотностей вероятностей с привлечением дополнительной информации в виде знания конечного числа других функционалов плотности. Тем самым расширена область применимости этого метода в плане решения новых задач.

Предложен класс асимптотически нормальных оценок с минимальной дисперсией для непараметрического оценивания функционалов плотности (не обязательно линейных). Приведены примеры , иллюстрирующие выигрыш в точности оценивания при учете дополнительной информации.

5. Важной особенностью предложенных в главах 1,2 адаптивных оценок функционалов (при неизвестных априорных смещениях ) является одновременное осуществление в них проверки априорных условий на несмещенность и непосредственно оценивания.

6. Предложен новый метод учета априорной информации о распределениях, названный методом проекций. Результирующей оценкой является функционал от проекции эмпирического распределения.

7. Дано общее определение условно-инвариантного распределения и тем самым в математическую статистику вводится понятие априорной информация условно-инвариантного типа. Построен общий проектор в класс условно-инвариантных распределений.

8. Предложены оценки распределений вероятностей с использованием в их структуре различных типов дополнительной априорной информации о распределениях. Способ построения таких оценок - метод проекций, заключающийся в проектировании исходного эмпирического распределения (или какой либо другой оценки) в априорный класс распределений, выделяемый имеющейся информацией. В результате получаются оценки, обладающие априорными свойствами.

9. Впервые получены статистические оценки распределений условно-инвариантного типа. Для оценок этого типа приводятся фомулы вычисления вероятностей попадания в заданные полосы при конечном числе наблюдений. Эти формулы обобщают результат работы [66, стр.213, (3.9)].

10. Оценки распределений с учетом знания моментов от заданных функций (§7 ) обобщают результаты работ [94,95], где приводятся иные оценки, хотя и являющиеся состоятельнми, но не обладающие всеми свойствами распределений. Полученные здесь оценки являются распределениями.

11. Сформулирована задача проверки статистических гипотез при наличии априорной информации о распределениях. До недавнего времени использование дополнительной информации в проверке статистических гипотез носило лишь качестаенный характер: имеющаяся информация использовалась при изучении свойств статситических оценок и критериев. Применение метода расстояний в построении критериев позволило ввести априорную информацию непосредственно в структуру статистик критериев. В результате получены модифицированные статистики таких известных критериев, как Колмогорова, Колмогорова-Смирнова, омега-квадрат. Для статистик, модифицированных с учетом информации о симметрии, квантилях, непрерывности распределений и различных комбинаций этих сведений получены точные и асимптотические распределения при нулевой гипотезе.

12. Получены вычислителные формулы для модифицированных статистик критериев согласия Мизеса-Смирнова, Колмогорова -Смирнова. Для непрерывных функций распределения все критерии являются непараметрическими. Показано, что учет дополнительной иформации о распределениях в структуре статистик приводит, как правило, к увеличению мощностных свойств рассмотренных критериев согласия.

13. В главе 6 исследованы свойства модифицмрованных оценок для вычисления интегралов методом Монте-Карло. Наличие полной информации о функции распределения и рассмотрение классов подынтегральных функций с кусочно-непрерывными частными производными не выше первого порядка по каждой переменной, интегрируемых в квадрате или по модулю, дало возможность рассмотреть при построении оценок интегралов с учетом условий (1.2) новый критерий качества - минимум верхней грани погрешности оценок, отличный от минимума дисперсии.

14. Найденные точные границы погрешностей оценок интересны тем, что они пригодны для всех подынтегральных функций из заданных классов (см. §§2,3,5) и обобщают соответствующие результаты из [91, стр. 129] и [4, стр. 144] в направлении модификаций оценок с учетом свойств функции распределения и многомерности оцениваемых интегралов.

15. Учет информации о симметрии и квантилях равномерного в [0,1] распределения в структуре оценок интегралов приводит не только к повышению точности оценивания, но и делает их устойчивыми (робаст-ными) к отклонениям распределения выборкии от равномерного закона. Этот факт ранее выпадал из поля зрения исследователей, его наличие дает дополнительные преимущества известным методам построения оценок с уменьшенной дисперсией - симметризации подынтегральной функ-циив и расслоения выборки.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дмитриев, Юрий Глебович, 2000 год

1. Ангелова И.Е.} Дмитриев Ю.Г. Непараметрическое оценивание интегральных функционалов от условных плотностей с учетом априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1986. Вып. 10. С. 5-8.

2. Баклашов Н.И., Галъченко М.В., Гуревич В.А. Определение статистических характеристик систем с использованием результатов моделирования // Изв. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1986. N. 1. С. 146-154.

3. Барлоу Р.Б., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М.: Наука. 1984.- 328 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. Ч. I.- М.: Наука, 1975.- 632 с.

5. Беляев Ю.К. Множительные оценки вероятности безотказной работы // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985, N 4. С. 45-596. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М.: Наука. 1984.- 315 с.

6. Богомолов АА. Доверительные области для функций одновершинных и симметричных распределений // Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т. 24, вып. 2. С. 32-34.

7. Болдин М.В. Оценка распределения возмущений в схеме авторегрессии // Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т. 27, вып. 4. С. 805-810.

8. Боровков А А. Математическая статистика. Проверка гипотез. Оценка параметров.- М.: Наука. 1984.- 472 с.

9. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным.- М.: Наука, 1979.

10. Васильев ВА. Об оценивании распределения возмущений процесса авторегрессии // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1986. Вып. 10. С. 9-24.

11. Гитник А. П. О статистической оценке вероятности случайного события // Автоматика и вычислительная техника. 1975. Вып. 5. С. 6269.

12. Галъченко М.В., Гуревич В.А. Метод учета информации, содержащейся в ранее полученной оценке функционала // Статистические методы и модели. М.: ВПИИСИ, 1987. С. 4-11.

13. Добровидов А.В., Кошкин А.М. Непараметрическое оценивание сигналов. М.: Наука, 1997, - 336 с.

14. Дмитриев Ю.Г. О свойствах оценок функций распределения и функционалов при дополнительной априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1976. Вып. 4. С. 63-76.

15. Дмитриев Ю.Г. Непараметрические алгоритмы обнарзокения постоянного сигнала при наличии априорной информации о помехе // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1979. Вып. 5. С. 52-60.

16. Дмитриев Ю.Г. Учет априорной информации в критерии омега квадрат // Труды VU Всесоюзной конф. по теории и передачи информации. Москва-Куйбышев. 1981. Ч. 4. С. 61-65.

17. Дм/атриев Ю.Г. Критерии симметрии омега-квадрат для распределений с известной медианой // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1982. Вып. 8. С. 35-39.

18. Дмитриев Ю.Г. Об оценках параметров распределений при дополнительной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1987. Вып. U.C. 39-46.

19. Дмитриев Ю.Г. Учет априорной информации в синтезе статистических процедур // Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. Ч. II. Новосибирск. 1996. С. 176.

20. Дмитриев Ю.Г., Конев В.В. О погрешности простейшего модифицированного метода Монте-Карло // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1976. Вып. 4. С. 88-93.

21. Дмитриев Ю.Г., Конев В.В. О погрешности статистического оценивания кратных интегралов с использованием омега-квадрат критерия // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1977. Т. 17. Вып. 6. С. 1363-1373.

22. Дмитриев Ю.Г. Корниенко Ю.А. О погрешности вычисления интегралов методом расслоенной выборки // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1987. Вып. 11. С. 47-55.

23. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М. Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности // Автоматика и телемеханика. 1987. N 10. С. 47-58.

24. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А., Тарасенко Ф.П. Свойства оценок плотности и функции распределения высших порядков по зависимой выборке // Материалы IV науч. конф. по матем. и механ. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1974. Кн. I. С. 129-131.

25. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А., Тарасенко Ф.П. О непараметрическом оценивании функционалов по зависимой выборке // Материалы IV науч. конф. по матем. и механ. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1974. Кн. I. С. 131-133.

26. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А., Тарасенко Ф.П., Шуленин В. П. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1974. 93 с.

27. Дмитриев Ю.Г., Симахин В.А. Многоканальные непараметрические обнаружители полезных сигналов в случае независимых каналов // Труды СФТИ. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1971. N 62. С. 15-34.

28. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко П.Ф. О непараметрических оценках функционалов // Материалы VII Всесоюз. семинара Непараметрические и робастные методы в кибернетике и информатике. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1990. Ч. I. С. 199-204.

29. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко П.Ф. Использование априорной ин формации в статистической обработке экспериментальных данных // Известия ВУЗов "Физика'. 1992. N. 9. С. 10-15.

30. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. К вопросу о статистическом оценивании нелинейных функционалов от плотностей вероятностей // Труды СФТИ. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1973. N 63. С. 14-27.

31. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об оценивании функционалов от плотностей вероятностей и ее производных // Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т. XIX. Вып. 3. С. 662-668.

32. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об одном классе непараметрических оценок нелинейных функционалов // Теория вероятностей и ее применения. 1974. Т. XIX. Вып. 2. С. 404-409.

33. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. О непараметрическом оценивании функционалов // Труды VI конгресс ИФАК по стохастическому управлению. Венгрия. 1974. С. 41-47.

34. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об использовании априорной информации при оценивании линейных функционалов // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1976. Вып. 4. С. 52-62.

35. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Применение функционального подхода к оцениванию функционалов с учетом априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1979. Вып. 5. С. 128-141.

36. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Задачи согласия и однородности для распределений из априорного класса // Первый Всемирный Конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли. Тезисы. Ташкент. 1986. Т. 2. С. 917.

37. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П., Устинов Ю.К. Об учете априор ной информации методом проекций // Международный симпозиум по теории информации. Ташкент. 1984. С. 27-29.

38. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. К оцениванию симметричных функ ций распределения // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1983. Вып. 9. С. 62-72.

39. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Об оценивании функций распределения с известными квантилями // Всесоюз. конф. Теория, методология и практика системных исследований. Секция 5. Математические методы анализа систем. М. 1985. С. 103-105.

40. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Критерий Колмогорова, модифицированный с учетом априорной информации // Методы и программное обеспечение обработки информации и прикладного статистического анализа данных на ЭВМ. Тезисы докладов. Минск. 1985. С. 50.

41. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание функций распределения с использованием априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1986. Вып. 10. С. 62-76.

42. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание распределения вероятностей с использованием дополнительной информации. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1988. - 194 с.

43. Дмитриев Ю.Г., Шуленин В.П. Об учете априорной информации в задачах согласия и однородности // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1976. Вып. 4. С.77-87.

44. Емельянова Т.В., Тарасенко П.Ф., Устинов Ю.К. Условная инвариантность распределений относительно о- алгебры событий // Всеси-бирские чтения по математике и механике: Избр. докл. международной конф.- Томск, 1998.Т. 1. С. 115-121.

45. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука. 328 с.

46. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

47. Ерм,аков С.М., Михайлов А.Г. Курс статистического моделирования.-М.: Наука, 1976. 320 с.

48. Заварин А.Н. Использование априорной информации в непараметрических оценках функции регрессии// Автоматика и телемеханика. 1985. N 5. С. 79-85.

49. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

50. Зингер A.A., Каган A.M. Об использовании асимметрии и эксцесса при выделении постоянного сигнала на фоне аддитивного шума // Труды III Международного симпозиума по теории информации (тезисы). Москва-Таллин. 1973. Ч. I. С. 45-47.

51. Ибрагимов И.А. Хасъминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания.- М.: Наука. 1979.

52. Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука. 1973.

53. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978.

54. Королюк B.C., Боровских Ю.В. Аналитические проблемы асимптотики вероятностных распределений. Киев: Наукова Думка, 1981.

55. Королюк B.C., Боровских Ю.В. Теория £7-статистик. Киев: Наукова Думка, 1981. - 384 с.

56. Кошсвник Ю.А. Об асимптотическом распределении непараметрических оценок функций распределения при условии симметрии // Статистические методы. Межвузовский сборник. Пермь: Изд-во Пермского ун-та. 1978. С. 39-57.

57. Кошевник Ю.А. О некоторых предельных свойствах непараметрических оценок функций распределения // Теория вероятностей и ее применения. 1984. Т. 29, вып. 4. С. 772-778.

58. Кошевник Ю.А. Предельные теоремы для непараметрических оценок некоторых симметричных функций распределения // Методы анализа данных, оценивания и выбора. М.: ВНИИСИ, 1984. С. 55-58.

59. Кошевник Ю.А., Левит Б.Я. О непараметрическом аналоге информационной матрицы // Теория вероятностей и ее применения. 1976. Т. 21, вып. 4. С. 759-774.

60. Кошевник Ю.А., Левит Б.Я. Границы риска в задаче оценки симметричных распределений // Записки науч. семинаров ЛОМИ. Л.: 1980. Т. 98. С. 98-114.

61. Кулъбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.

62. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1976.

63. Левит Б.Я. Условное оценивание линейных функционалов // Проблемы передачи информации. 1975. Т. II, вып. 4. С. 39-54.

64. Левит Б.Я. Об эффективности одного класса непараметрических оценок // Теория вероятностей и ее применения. 1975. Т. 20, вып. 4. С. 738-7543.

65. Левит Б.Я. Бесконечномерные информационные неравенства // Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т. 23, вып. 2. С. 388-394.

66. Левит, Б.Я. Об оценке нелинейных функционалов // Проблемы передачи информации. 1978. Т. 14, вып. 3. С. 65-72.

67. Мания Г.М. Статистическое оценивание распределений вероятностей. Тбилиси: Иэд-во Тбилис. ун-та, 1974.

68. Мартынов Г.В. Вычисление функций распределений квадратичных форм от нормальных случайных величин // Теория верочтностей и ее применения. 1975. Т. 20, вып. 4. С. 797-809.

69. Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. М.: Наука, 1978.

70. Мартынов Г.В. Программа для вычисления функций распределения квадратичных форм // Численные методы математической статистики. Алгоритмы и программы. М.: Изд-во МГУ, 1976. С. 30-35.

71. Надежность технических систем // Справочник. Под ред. И.А. Ушакова. М.: Радио и связь. 1985.

72. Оценка показателей надежности при малом числе наблюдений с использованием, дополнительной информации // ГОСТ 27.201-81: Надежность в технике.

73. Прохоренко В.А., Голиков В.Ф. Учет априорной информации при оценке надежности. Минск: Наука и техника, 1979.

74. Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик. М.: Советское радио, 1973.

75. Савчук В.П. Байесовские методы статистического оценивания:

76. Надежность технических объектов.- М.: Наука. 1989.- 328 с.

77. Санов И.Н. О вероятности больших отклонений случайных величин // Математический сборник (новая серия). 1957. Т. 42, вып. 1. С. 11-43.

78. Сергеев В. Л. Идентификация систем с учетом априорной информации. Томск: Изд-во HTJI, 1999. - 148 с.

79. Смирнов Н.В. Об одном способе построения доверительных областей для нормальной функции распределения по данным выборки // Труды Института математики и механик АН УзССР. Т. 53. N 1. С 122-130.

80. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М. Наука. 1972. -312 с.

81. Тарасенко П.Ф. Разработка алгоритмов вовлечения априорной информации в процедуры статистического оценивания. Кандидат.диссерт. физ.-мат. наук. Томск, ТГУ, 1994.

82. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1976,- 292 с.

83. Тюрин Ю.Н. Об оценивании функции распределения // Теория вероятностей и ее применения. 1970. Т. 15, вып. 3. С. 567-568.

84. Тюрин Ю.Н. Линейная модель в многомерной непараметрической статистике //В сб.: Ученые записки по статистике. 1974. Т. 26. С. 7-24.

85. Устинов Ю.К. Условно-инвариантные рапределения новый класс распределений // Труды Первого Всемирного конгресса общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли. Тезисы. М.: Наука. 1986. Т. 3. С. 997.

86. Филиппова A.A. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятностей и ее применения. 1962. Т. 7, вып. 1. С. 26-60.

87. Хъюбер Р. Робастность в статистике М.: Мир. 1986.

88. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации.1. М.: Наука. 1984. 320 с.

89. Чибисов Д.М. Об асимптотической мощности и эффективности критерия омега-квадрат // ДАН СССР. Т. 138, вып. 2. С. 322-325.

90. Шуленин В.П. Использование устойчивых оценок параметра положения для построения оценок симметричных распределений / / Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1981, вып. 7. С. 188-198.

91. Щербаков П. С. Использование априорной информации для уточнения оценок параметров // Автоматика и телемеханика. 1988. N 5. С. 80-89.

92. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа.- М.: Ф и С. 1988. 263 с.

93. Янковский Б.Е. Проверка гипотезы о виде функции распределения при априорно известных математическом ожидании и дисперсии// Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск, 1987. N 2. С. 200-208.

94. Anderson T.W., Darling D.A. Asymptotic theory of certain goodness-of-fit criteris based on stochastic processes // AMS. 1952. V. 23. P. 193-199.

95. Beran R. Minimum Distance Procedures // Handbook of Statistics. 1984. V. 4. P. 741-754.

96. Boos D.D. A test of asymmetry associated with the Hodges-Lehmann estimator// J. Amer. Statist. Assoc., 1982, v.77, N 379, p. 647-649.

97. Brunk H.D. On the range of the difference between hypeothetical distribution function and Pyke's modified distribution function //Annals of Math. Statist. 1962. V.33, N 2. P. 523-532.

98. Castella G., Hwang J.T. Employing vague prior information in the construction of confidence sets //J. Multivar. Anal., 1987, v. 21, N 1. p. 79-104.

99. Cohen A., ho S.-H., Singh K. Estimating a quantile of symmetric distribution // Ann. Statist., 1985, v.13, N 3, p. 1114-1128.

100. Dmitriev Yu.G., Koshkin G.M. On the use of a priori information in nonparametric regression estimation // Second IFAC Simposium on Stochastic Control. (Vilnius, USSR, 19-23 May, 1986). Preprints. Part II. Moscow, VINITI, 1986. P. 106-111.

101. Dmitriev Yu.G., Koshkin G.M. On the use of a priori information in nonparametric regression estimation // Proceeding 2nd IFAC Simposium on Stochastic Control. Oxford e.a., Pergamon Press. 1987. P. 223-228.

102. Dmitriev Yu. G., Tarasenko F.P. On the use of a priori information in estimatid linear functional of distribution // Problems Control and Inform. Theory. 1978. V. 7. N 6. P. 459-469.

103. Dmitriev Yu.G., Tarasenko F.P. Tarasenko P.F. Modified bootstrap procedures in data analysis. Paper presented to International Symposium on Data Analysis, INRIA, Antibes / Juan les Pins (France) 11-14 Sept. 1989.

104. Dmitriev Yu.G., Tarasenko F.P., Ustinov Yu.K. Tests of goodness-of-fit for symmetrical distributions // Colloquium on Goodness-of-Fit. June 25-29. 1984. Debrecen. ABSTRACTS. Janos Rolyai Mathematical Soc. P. 6.

105. Doksum K.A. Measures of location and asymmetry // Scand J. Statist. 1975. V. 2. P. 11-22.

106. Hinkley D. On estimating a symmetric distribution // Biometrilca. 1976. V. 63. N 3. P. 680-681.

107. Hodges J.L., Lehmann E.L. Estimates of location based on rank tests // Annals of Math. Statist. 1963. V. 34. P. 588-611.

108. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann. Math. Statist.-1948.-19, N 3.-P. 293-325.

109. Kraft, C.H., Lepage Y., van Eeden C. Estimation of a symmetric density fanction // Comm. Statist. Theor. Meth. 1985. V. 14, N 2. P. 273-288.

110. Lainiotis D.G. On a clacc generalised PCC 11 IEEE Trans. IT-14. 1968. N 4. P. 31-40.

111. Rao P. Nonparametric Functional Estimation. Academic Press. 1983.

112. Pyke R. The supremum and infimum of the Poisson process // Annals of Math. Statist. 1959. V. 30. P. 568-576.

113. Schuster E.F. Estimating the distribution function of a symmetric distribution // Biometrika. 1975. V. 62. N 3. P. 631-635.

114. Статистические задачи технической кибернетики, 4 курс ФПМК,

115. Математические модели страхового и банковского дела, 4 курс

116. Статистическое моделирование, 4 курс ФПМК,

117. Дополнительные главы математической статистики, 5 курс ФПМК,

118. Теория информации, 5 курс ФПМК, Председатель методического совета ФПМК ТГУ1. ФПМК1. Декан ФПМК ТПУд.т.н., профессор Ю.И.Параевтд.т.н., профессор А.М.Горцев