Модифицированные оценки линейных функционалов от распределений вероятностей с учетом дополнительной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Головчинер, Ольга Николаевна

• Головчинер, Ольга Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Головчинер, Ольга Николаевна

Введение

Глава 1. Статистические оценки функционалов при несмещенных априорных условиях

1.1 Постановка задачи.

1.2 Условное оценивание на основе 11-статистик.

1.2.1 Оптимальная оценка.

1.2.2 Адаптивная оценка.

1.2.3 Регуляризованная оценка.

Сходимость в среднеквадратическом.

1.2.3.1 Регуляризация оценки вц.

1.2.3.2 Регуляризация коэффициента Хц- ■ •

1.3 Условное оценивание на основе статистик Мизеса

-1.3.1 Оптимальная оценка.

1.3.2 Адаптивная оценка.

1.3.3 Регуляризованная оценка.

Сходимость в среднеквадратическом

1.4 Сравнение оценок на основе 11-статистик и. статистик Мизеса.

1.5 Пример .;.

1.6 Выводы.

Глава 2. Статистические оценки функционалов при априорных условиях со смещениями

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оптимальная оценка.

2.3 Адаптивные оценки.

2.4 Выводы.

Глава 3. Имитационное моделирование

3.1 Введение. Постановка задачи.

3.2 Моделирование оценок с несмещенными априорными условиями

3.2.1 Оценивание с двумя возможными значениями априорного функционала.

3.2.2 Оценивание с тремя возможными значениями априорного функционала.

3.2.3 Оценивание с двумя априорными функционалами.

3.3 Моделирование оценок со смещениями в априорных условиях.

3.4 Выводы.

Глава 4. Учет симметрии в оценивании функционала

4.1 Постановка задачи.

4.2 Оценка первого типа.

4.3 Оценка второго типа.

4.4 Имитационное моделирование.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модифицированные оценки линейных функционалов от распределений вероятностей с учетом дополнительной информации»

Одной из основных задач статистической обработки данных является определение вероятностных характеристик исследуемого явления, системы и т.д. Математическая формулировка таких задач обычно сводится к оцениванию функционалов от распределения вероятностей наблюдаемой случайной величины, и решение сводится к нахождению значений этих функционалов по результатам проводимых экспериментов, наблюдений и измерений. Подстановка распределения вероятностей в функционал однозначно определяет его значение, но, поскольку в реальных ситуациях это распределение обычно неизвестно, его приходится оценивать по выборке и заменять реальное распределение эмпирическим (метод подстановки).

Практически всегда исследователь, кроме выборки, обладает какой-либо дополнительной информацией об оцениваемом распределении. Это могут быть сведения о непрерывности, симметричности, моментах и квантилях, характеристиках некоторой дополнительной переменной и т.п. Источниками такой информации могут служить теоретические выводы, физический смысл наблюдаемой величины, условия эксперимента или результаты ранее проведенных исследований, экспертные оценки и т.д. В любом случае, независимо от вида и источника информации, возникает проблема рационального учета имеющихся сведений с целью повышения качества оценок (уменьшения их дисперсии) или уменьшения объема выборки, требуемой для достижения заданной точности. Проблема усложняется тем, что доступная информация зачастую является неточной, неполной, неоднозначной, особенно когда речь идет об оценках экспертов, но именно такие классы априорной информации представляют наибольший интерес и наименее исследованы.

Обзор литературы

Задачи статистического оценивания, в которых имеется существенная априорная информация, получили название условных. Первые работы, посвященные задачам условного оценивания, появились в зарубежной печати в середине прошлого века ( [70]). Большое количество возникших в то время практических задач, решаемых методами статистических испытаний, способствовало росту объемов исследований и количества публикаций за-рубежых и отечественных ученых: Н.О. Hartley [71], Ю.Н. Тюрина [60,61], E.F. Schuster [80,81], Б.Я. Левита [50-52], Ю.А. Кошевника [45,46], В.Н. Пугачева [56], Ф.П. Тарасенко [32,33], Ю.Г. Дмитриева [17-22,27,28,32,33,36], Г.М. Кошкина [27,28], Ю.К. Устинова [36].

Многие идеи и подходы, предложенные перечисленными авторами, были использованы и развиты в последующих работах, что привело к появлению различных направлений в области условного статистического оценивания.

Так, метод привлечения дополнительной переменной и расслоения выборки, примененный в [70] для уменьшения дисперсии оценки среднего, был развит в работах [71], [72] и др.

Идея использования ортогонального проектирования для оценивания функции распределения с учетом информации о ее моментах и симметрии развивалась как в перечисленных выше работах Б.Я.Левита, Ю.А.Кошевника, Ю.Г.Дмитриева, Ф.П.Тарасенко и Ю.К.Устинова, так и в исследованиях их последователей, например, [25,39,40].

Метод эмпирического правдоподобия, предложенный A.B. Owen в [76] и ряде последующих работ, послужил основой целого направления в статистической обработке данных, в том числе, с привлечением разных видов априорной информации. Так, в [67] рассматривается применение метода эмпирического правдоподобия для уточнения статистических оценок характеристик случайной величины y в конечных совокупностях. Предложенные оценки, кроме выборки, основаны на информации о значении математического ожидания заданной векторной функции от дополнительной переменной X, некоторые характеристики которой известны. Использованный метод привлечения априорной информации был усовершенствован и обобщен в статье [78], в которой авторы предложили алгоритм получения оценок как неизвестного параметра, так и исследуемого распределения, определили асимптотически нормальное распределение функций оценок и показали, что статистика отношения эмпирического правдоподобия для параметров имеет асимптотическое %2-распределение. На базе этих результатов, а также на идеях использования априорной информации при непараметрическом оценивании функционала, изложенных в [69], B.Zhang [84-86] разработал модифицированное - "ргоШе"отношение эмпирического правдоподобия и основанную на нем альтернативную эмпирическую функцию распределения. Эта функция, в отличие от традиционной, приписывает разные веса имеющимся наблюдениям, в соответствии с привлекаемой дополнительной информацией, и позволяет получить, например, более точные доверительные интервалы. Рассмотренные методы эмпирического правдоподобия позволяют использовать практически любую априорную информацию об оцениваемом распределении, но при условии ее определенности и точности, они очень чувствительны к ошибкам в привлекаемых априорных данных.

Другое направление исследований, освещаемое в зарубежных источниках, связано с дополнительной информацией в оценивании характеристик конечных совокупностей. Так, целая серия статей различных авторов [66,73,79,83] посвящена построению и сравнению между собой оценок функций распределения наблюдаемой случайной величины при условии, что известны все значения, принимаемые другой, дополнительной переменной. Изложенные в этих работах идеи использованы и развиты другими авторами. Например, в [74] строится оценка медианы, в [63] рассматриваются способы привлечения информации о нескольких дополнительных переменных, а в [64] для оценивания дисперсии комбинируются методы, изложенные как в [66,79], так и в упоминавшейся ранее [72].

Многие публикации касаются применения дополнительной информации для решения задач, возникающих в определенных сферах науки и техники. Например, в статистической радиотехнике [19,30,49], теории надежности [55], оценке качества [4,42,43] и т.д.

Одним из базовых методов, используемых в настоящей работе, является метод коррелированных процессов, впервые предложенный

B.Н.Пугачевым [56] для оценивания вероятностных характеристик путем комбинирования результатов натурных испытаний с дополнительной информацией об исследуемой системе, полученной в результате теоретических изысканий и статистического моделирования. Этот метод развивался и обобщался разными авторами и в разных направлениях. Так, В.А.Гуревичем [16] была предложена техника привлечения в качестве дополнительной информации при оценивании функционалов оценок, полученных в ходе предыдущих экспериментов. Ю.Г.Дмитриевым и П.Ф.Тарасенко [17,18,20,24,29,31,58] метод коррелированных процессов развивался для задачи условного оценивания при наличии смещений и многозначности значений в априорных условиях. Применению этого же метода для обработки данных с пропусками посвящены работы Ю.Г.Дмитриева,

C.С.Таримы и А.А.Князевой [26,34,35,37,43,59,82].

Настоящая работа продолжает исследование задачи привлечения многозначной дополнительной информации и информации со смещениями для уточнения статистической оценки функционала от распределения вероятностей, начатое Ю.Г.Дмитриевым. В качестве дополнительной информации здесь рассматриваются значения других функционалов от того же распределения, заданные с точностью до конечных множеств значений (многозначность априорной информации), причем эти множества могут и не содержать истинных значений (смещения в априорных условиях). Автору не встречались публикации других исследователей, затрагивающие эту проблему.

Целью работы является уточнение и модификация оценок функционалов, предложенных в [24], с целью улучшения их асимптотических свойств, а также исследование свойств построенных оценок при конечных объемах наблюдений методом имитационного моделирования.

Для построения оценок в работе использовались метод коррелированных процессов [24, 56] и метод кусочно-гладкой аппроксимации оценок [2,47]. Свойства полученных оценок анализировались с помощью аппарата математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Для анализа качества оценок при конечных объемах наблюдений проводилось имитационное моделирование на ЭВМ с применением пакетов Statistica 6.0 и Ма^етайса 5.0.

Положения, выносимые на защиту.

1. Регуляризованные оценки функционала с учетом дополнительной априорной информации, доказательство их сходимости в среднеквад-ратическом.

2. Адаптивная оценка функционала для дополнительных условий со смещениями, сочетающая оценивание параметра с проверкой априорных условий на несмещенность,

3. Результаты исследования свойств оценок при конечных объемах наблюдений, полученные методом имитационного моделирования.

4. Оценки функционалов от симметричного распределения с центром симметрии, заданным с точностью до конечного множества значений, результаты исследования их свойств.

Структура диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и пяти приложений.

Во введении обоснована актуальность проблемы, определены цели и методы исследования, выполнен обзор литературы по проблеме учета дополнительной информации в статистическом оценивании и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена проблеме учета многозначной дополнительной информации при несмещенных дополнительных условиях. В первом параграфе главы приводится общая постановка задачи, дается определение несмещенных априорных условий и описывается метод построения оценок. По сравнению с [24], постановка задачи обобщена на случай разного количества возможных значений дополнительных функционалов. В двух следующих параграфах рассматриваются условные оценки, основанные на разных способах оценивания вектора смещений - 11-статистиках и функционалах Мизеса. Приводятся формулы оптимальных (в смысле минимума средне-квадратической ошибки) и адаптивных оценок, более точные, чем в [24]. Повышение точности вычисления коэффициентов оказалось необходимым для исследования свойств оценок при конечных объемах наблюдений. Доказывается состоятельность и асимптотическая нормальность оценок для случая произвольного количества значений дополнительных функционалов. Методом кусочно-гладкой аппроксимации строятся регуляризованные оценки, для которых доказывается свойство сходимости в среднеквадра-тическом к истинному значению оцениваемого параметра. В заключение главы проводится сравнение рассмотренных способов оценивания вектора смещений априорных условий.

Во второй главе рассматривается аналогичная задача, но при наличии ненулевых компонент в векторе смещений - со смещениями в априорных условиях. После постановки задачи и определения оптимальной оценки, рассматриваются разные методы адаптации, поскольку использованный ранее традиционный метод приводит к оценке, которая не сходится к оптимальной. Строится адаптивная оценка, сочетающая оценивание неизвестного параметра с проверкой априорных условий на несмещенность. Доказывается, что при наличии нулевых компонент в векторе смещений построенная оценка имеет асимптотически нормальное распределение с дисперсией, соответствующей несмещенным условиям, а в худшем случае, когда все априорныеусловия имеют смещения, ее предельное распределение совпадает с распределением безусловной оценки.

В третьей главе описывается имитационное моделирование построенных в предыдущих главах оценок, проведенное с целью исследования их свойств при конечных объемах наблюдений. Полученные результаты приводятся в виде выводов, иллюстрирующих их графиков среднеквадратиче-ских ошибок оценок, и таблиц, размещенных в приложениях А-Е.

В четвертой главе рассматриваются два способа применения метода коррелированных процессов для привлечения дополнительной информации о том, что оцениваемое распределение является симметричным относительно одной из нескольких заданных точек. Строятся оптимальные и адаптивные оценки с одинаковыми асимптотическими распределениями. Свойства оценок при конечных объемах наблюдений исследуются и сравниваются методом имитационного моделирования.

В приложениях приведены таблицы с данными, полученными в результате имитационного моделирования, описанного в третьей и четвертой главах работы.

Публикации по работе

Результаты работы были опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Об условной оценке функционала Вестник ТГУ. Приложение. - 2004.- № 9 (II). - с. 145-150.

2. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Оценивание функционалов от распределений с учетом априорных догадок // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т.Н. - вып.4. - с.785-786.

3. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. О сходимости в среднеквадратиче-ском оценки функционала // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи". 4.1. -Томск: Изд-во ТГУ, 2004, с.24-25.

4. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Условное оценивание функционала на основе U-статистик. // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения: сборник научных статей международной конференции, посвященной 70-летию проф. Медведева. - Минск: Изд-во БГУ, 2005. - с.52-59.

5. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Оценивание линейного функционала при смещениях в априорных условиях // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т.12. - вып.1. - с.138-139.

6. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Статистики Мизеса в условном оценивании линейного функционала // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т.12. - вып. 4. - с.935-936

7. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Об оценке функционала при наличии смещений в априорных условиях // Вестник ТГУ. Приложение. - 2005. - № 14. - с.280-285

8. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Условное оценивание функционала на основе статистики Мизеса // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование"Анжеро-Судженск. 2005. -Томск: Изд-во ТГУ, 2005. - 4.2. - с.11-12.

9. Головчинер О.Н. Об условной оценке доли объектов // Инноватика-2005: сб. материалов I Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: Изд-во ТГУ, 2005. - с.22-24.

10. Головчинер О.Н. Статистическое моделирование условных оценок функционалов // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование"(ИТММ-2005),ч.2 - Томск: Изд-во ТГУ, 2005. - с.6-8.

И. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Об оценке функционала от симметричного распределения // Вестник ТГУ. Приложение. - 2006. - № 17. - с.280-285.

12. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Статистическое оценивание функционала с учетом симметрии распределения // Вестник ТГУ. Серия "Информатика. Кибернетика. Математика". - 2006. - № 293. - с.84-88.

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ, а также на следующих научных конференциях и симпозиумах:

• VIII Всероссийская научно-практическая конференция "Научное творчество молодежи "(Томск, 2004);

• V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, Осенняя сессия);

• Международная конференция, посвященная 70-летию профессора, доктора физ.-мат. наук Г.А. Медведева (Минск, 2005);

• III Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование"(Анжеро-Судженск, 2005);

• VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия (С.-Петербург, 2005);

• I Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Инноватика-2005"(Томск, 2005);

• VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Осенняя сессия (Сочи, 2005);

• IV Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование "(Анжеро-Судженск, 2005);

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Головчинер, Ольга Николаевна

заключение

В настоящей работе рассмотрена задача условного оценивания функционала при наличии многозначности и смещений в априорных условиях. Получены следующие результаты:

1. Постановка задачи обобщен а на случай разного количества возможных значений дополнительных функционалов.

2. Для несмещенных априорных условий в классе линейных оценок (1.4) найдены оптимальные в смысле минимума среднеквадратиче-ской ошибки оценки двух типов — на основе 1)-статистик и функционалов Мизеса. Получены более точные, чем в предшествующих работах [23,24], выражения оптимальных коэффициентов (1.26) и (1.54), необходимые для исследования свойств оценок при конечных объемах наблюдений.

Показано, что привлечение дополнительной информации не увеличивает среднеквадратическую ошибку оценки по сравнению с безусловной, определены параметры, влияющие на величину выигрыша в точности оценивания при конечных объемах наблюдений. Доказаны асимптотическая нормальность адаптивных оценок и их сходимость по распределению к оптимальным.

3. С помощью метода кусочно-гладкой аппроксимации адаптивных оценок построены регуляризованные оценки (1.35), (1.40) и (1.59), обладающие свойством сходимости в среднеквадратическом к оцениваемому значению функционала.

4. Для априорных условий со смещениями и произвольным количеством возможных значений дополнительных функционалов построена оценка, оптимальная в смысле минимума среднеквадратической ошибки, доказана ее асимптотическая нормальность, получено выражение оптимального коэффициента (2.9) с точностью до слагаемых более высокого порядка малости, чем в [17,24].

5. Построена адаптивная оценка (2.16), асимптотическая дисперсия которой соответствует несмещенным априорным условиям, если они присутствуют. Показано, что при наличии смещения не более чем в одном условии эта оценка эквивалентна оптимальной (в смысле слабой сходимости), а если все априорные условия имеют смещения, ее предельное распределение совпадает с распределением безусловной оценки. ■

6. Имитационное моделирование, проведенное в системе 31а1л81лса 6.0 для исследования свойств построенных оценок при конечных объемах наблюдений, показало, что исследуемые алгоритмы условного оценивания позволяют существенно (до 10 раз) повысить точность оценок при несмещенных априорных условиях, несмотря на многозначность в привлекаемой информации.

Большая часть асимптотических свойств оценок оказалась справедливой при рассмотренных конечных объемах наблюдений (от 10 до 100), а предложенная регуляризация позволила повысить точность и устойчивость адаптивных оценок.

Показано, что увеличение числа возможных значений дополнительных функционалов значительно снижает выигрыш от привлечения априорной информации при рассмотренных конечных объемах наблюдений.

7. Рассмотрены два способа решения задачи условного оценивания функционала от симметричной функции распределения с центром симметрии, заданным с точностью до конечного множества значений. Построены состоятельные и асимптотически нормальные адаптивные оценки (4.7), (4.9) и (4.11). Показано, что их асимптотические распределения совпадают с предельным распределением оценки при известном центре симметрии (4.1). Проведенное имитационное моделирование показало, что для выбранных условий различия в точности адаптивных оценок становятся несущественными при N > 50.

Следует отметить, что вследствие технической сложности, не проводилось сравнение доасимптотических свойств оценок при разных распределениях и подынтегральных функциях, а также детальное исследование свойств оценок со смещениями в априорных условиях. Эти вопросы требуют дополнительных исследований с применением другого программного и аппаратного обеспечения.

В качестве других возможных направлений продолжения работы можно указать поиск методов уменьшения количества учитываемых значений дополнительных функционалов и исключения условий со смещениями (например, с помощью предварительной проверки гипотез); а также рассмотрение других видов оценивания оптимальных коэффициентов, вместо адаптации с последующей регуляризацией оценки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Головчинер, Ольга Николаевна, 2007 год

1. Боровков A.A. Математическая статистика. Проверка гипотез. Оценка параметров М.: Наука, 1984.- 472 с.

2. Васильев В.А., Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М.: Наука, 2004. - 508 с.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1966.- 576 с.

4. Головчинер О.Н. Об условной оценке доли объектов // Инноватика-2005: сб. материалов I Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск: Изд-во ТГУ, 2005. - с.22-24.

5. Головчинер О.Н. Статистическое моделирование условных оценок функционалов // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование"(ИТММ-2005),ч.2 Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2005. -с. 6-8.

6. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. О сходимости в среднеквадратиче-ском оценки функционала // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи". 4.1. -Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2004, с.24-25.

7. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Об оценке функционала от симметричного распределения // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. - JVe 17.- с.280-285.

8. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Об оценке функционала при наличии смещений в априорных условиях // Вестник ТГУ. Приложение. 2005.- № 14. с.280-285

9. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Об условной оценке функционала // Вестник ТГУ. Приложение. 2004.- № 9 (II). - с. 145-150.

10. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Оценивание линейного функционала при смещениях в априорных условиях // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12. - вып.1. - с.138-139.

11. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Оценивание функционалов от распределений с учетом априорных догадок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т.Н. - вып.4. - с.785-786.

12. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Статистики Мизеса в условном оценивании линейного функционала // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т.12. - вып. 4. - с.935-936

13. Головчинер О.Н., Дмитриев Ю.Г. Статистическое оценивание функционала с учетом симметрии распределения // Вестник ТГУ. Серия "Информатика. Кибернетика. Математика". 2006. - № 293. - с.84-88.

14. Дмитриев Ю.Г. Непараметрические алгоритмы обнаружения постоянного сигнала при наличии априорной информации о помехе // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том.ун-та. -1979. - Вып. 5. - с. 52-60.

15. Дмитриев Ю.Г. О свойствах оценок функций распределения и функционалов при дополнительной априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том.ун-та. - 1976.- Вып. 4. -. с. 63-76.

16. Дмитриев Ю.Г. Об оценках параметров распределений при дополнительной информации // Математическая статистика и ее приложения.- Томск: Изд-во Том.ун-та. 1987. - Вып. 11.-е. 39-46.

17. Дмитриев Ю.Г. Об условном оценивании функционалов от распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001.- Т. 8. вып. 1. - с. 159-160

18. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Неравноплечная симметризация выборки в методе Монте-Карло // Вестник ТГУ. Томск: ТГУ, 2006. -№ 293. - с. 290-294

19. Дмитриев Ю.Г., Князева A.A. Оценивание вероятностей событий по данным с пропусками // Вестник ТГУ. Томск: ТГУ, 2006. - с. 295-297

20. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М. Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 10. - С. 47-59.

21. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А. и др. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. - 93 с.

22. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко П.Ф. Использование априорной информации в статистической обработке экспериментальных данных // Известия ВУЗов "Физика". 1992. - № 9. - С.10-15.

23. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко П.Ф. О непараметрических оценках функционалов // Материалы VII Всесоюз. семинара Непараметрические и робастные методы в кибернетике и информатике. - Томск: Изд-во Том.ун-та. - 1990. - Ч. 1. - с. 199-204.

24. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об использовании априорной информации при оценивании линейных функционалов // Математическая

25. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Применение функционального подхода к оцениванию функционалов с учетом априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том.ун-та. - 1979. - Вып. 5. - с. 128-141.

26. Дмитриев Ю.Г., Тарима С.С. Nonimputational Technique for Parameter Estimation on Missing Data // JSM. Toronto: JSM. - 2004.

27. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание функций распределения с использованием априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том.ун-та. -1986. - Вып. 10. - с. 62-76

28. Дмитриев, Ю.Г. Оценивание вероятностей событий по данным с пропусками // Вестник ТГУ. 2006. - № 290. - с. 295-297

29. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

30. Зенкова Ж.Н. б^-неравноплечная симметрия логнормального распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. Т. 11, вып. 4. - с. 812-813.

31. Зенкова Ж.Н, Статистическая обработка экспериментальных данных с учетом различных типов симметрии распределения: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. -Томск: ТГУ. 2005. - 179 с.

32. Кнут Д.Э. Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритмы. 3-е изд. - М.: Издательский дом "Вильяме", 2000. - 832 с.

33. Князева A.A. О статистических оценках по данным с пропусками // Сборник материалов I Всероссийской научно-практической конференции Инноватика-2005. Томск: ТГУ, 2005. - с. 45-47

34. Князева A.A. Проверка гипотез однородности на основе данных с пропусками // III Всеросс. науч.-практ. конф. "Инноватика-2007". -Томск: ТГУ, 2007. с. 141-143

35. Королюк B.C., Боровских Ю.В. Теория U статистик. Киев: Наукова Думка, 1981. - 384 с.

36. Кошевник Ю.А. О некоторых предельных свойствах непараметрических оценок функций распределения // Теория вероятностей и ее применения. 1984. - Т. 29. - Вып. 4. - с. 772-778.

37. Кошевник Ю.А. Об асимптотическом распределении непараметрических оценок функций распределения при условии симметрии // Статистические методы. Межвузовский сборник. Пермь: Изд-во Пермского ун-та. - 1978. - с. 39-57.

38. Кошкин Г.М. Моменты отклонений оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций // Сиб. матем. журнал. 1999. - Т.40. - J№ 3. -с.605-618

39. Крамер Г.-Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

40. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1976.

41. Левит Б.Я. Об оценке нелинейных функционалов // Проблемы передачи информации. 1978. - Т. 14. - Вып. 3. - с. 65-72.

42. Левит Б.Я. Об эффективности одного класса непараметрических оценок // Теория вероятностей и ее применения. 1975. - Т. 20. - Вып. 4. - с. 738-754.

43. Левит Б.Я. Условное оценивание линейных функционалов // Проблемы передачи информации. 1975. - Т. 11. - Вып. 4. с. 39-54.

44. Методологическое положение по статистике: Вып. 1. М.: Госкомстат России, 1996. - 674 с.

45. Мониторинг ситуации в сфере здравоохранения и социального развития. Аналитическая информация Электронный ресурс. // Официальный сайт Министерства здравоохоанения и социального развития РФ. http://www.mzsrrf.ru

46. Прохоренко В.А., Голиков В.Ф. Учет априорной информации при оценке надежности. Минск: Наука и техника, 1979.

47. Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик. М.: Сов.Радио, 1973. - 256 с.

48. Социальная статистика / Э.К. Васильева, И.И. Елисеева, О.Н. Кашина и др. М.: Финансы и статистика, 1999. - 414 с.

49. Тарасенко П.Ф. Разработка алгоритмов вовлечения априорной информации в процедуры статистического оценивания: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. -Томск: ТГУ, 1994. 208 с.

50. Тарима С.С. Использование дополнительной информации при оценке вероятностей и интерпретации натурного эксперимента : Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Томск: ТГУ, 2001. - 149с.

51. Тюрин Ю.Н. Линейная модель в многомерной непараметрической статистике //В сб.: Ученые записки по статистике. 1974. - Т. 26. - с. 7-24.

52. Тюрин Ю.Н. Об оценивании функции распределения // Теория вероятностей и ее применения. 1970. - Т. 15, Вып. 3. с. 567-568.

53. Эконометрическое моделирование: учебное пособие для вузов. Выпуск 1: Айвазян С.А.,Колеников С.О. Уровень бедности и дифференциация по расходам населения России. - М., 2002. - 74 с.

54. Abu-Dayyeh W. A., Ahmed M.S., Ahmed R.A., Muttlak H.A. Some estimators of a finite population mean using auxiliary information // Applied Mathematics and Computation. 2003. - V. 139. - p.287-298.

55. Arcos A., Rueda M., Martinez M.D., Gonzalez S., Roman Y. Incorporating the auxiliary information available in variance estimation // Applied Mathematics and Computation. 2005. - V. 160. - p.387-399

56. Box G.E.P., Muller M.E., Marsaglia G. A Note on the Generation of Random Normal Deviates // Annals of Mathematical Statistics. 1958. -№ 29. - c.610-611.

57. Chambers R.L., Dunstan R. Estimation distribution functions from survey data // Biometrika. 1986. - V. 73. - p.597-604.

58. Chen J., Qin J. Empirical Likelihood Estimation for Finite Population and the Effective Usage of Auxiliary Information // Biometrika. 1993. - V. 80. - Issue 1. - p.107-116.

59. Devroye L. Non-Uniform Random Varíate Generation. New York: Springer-Verlag, 1986. - 843 c.

60. Haberman S.J. Adjustment by minimum discriminant information // The Annals of Statistics. 1984. - V. 12. - p.971-988

61. Hansen H.H., Hurwitz W.N., Madow W.G. Sampling survey methods add theory. New York: John Wiley, 1953. - V 1,2.

62. Hartley H.O., Rao J.N.K., Keifer G. Variance estimation with one unit per stratum // J. of the Americam Statistical Association. 1969. - V. 64. -p.841-851

63. Isaki C.T. Variance estimation using auxiliary information // J. of the Americam Statistical Association. 1983. - V. 78. - p.117-123

64. Kuk A. A Kernel Method for Estimating Finite Population Distribution Functions Using Auxiliary Information. // Biometrika. 1993. - V. 80. -Issue 2. - p.385-392.

65. Owen А. В. Empirical Likelihood Ratio Confidence Intervals for a Single Functional // Biometrika. 1988. - V. 75. - Issue 2. h. 237-249.

66. Press, W.H., Flannery, B.P, Teukolsky, S.A. and Vetterling, W.T. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. New York: Cambridge University Press, 1992.

67. Qin J., Lawless J. Empirical Likelihood and General Estimating Equations // The Annals of Statistics. 1994. - V. 22. - Issue 1. - p.300-325.

68. Rao J.N.K., Kovar J.G., Mantel H.J. On estimation distribution functions and quantiles from survey data using auxiliary information // Biometrika.- 1990. V. 77. - p.365-375.

69. Schuster E.F. Estimating the distribution function of a symmetric distribution // Biometrika. 1975. - V. 62, № 3. - P. 631-635.

70. Schuster E.F. On the goodness-of-fit problem for continuous symmetric distributions //J. of the Americam Statistical Association. 1973. - V. 68.- p. 713-714.

71. Tarima S., Pavlov D. Using auxiliary infiometion in statistical function estimation // Probability and Statistics. 2006. -V. 10. - p.11-23.

72. Wang S., Dorfman A.H. A New Estimator for Finite Population Distribution Functions // Biometrika. -1996. V. 83. - Issue 3. - p.639-652.

73. Zhang B. Bootstrapping with auxiliary information // Canadian Journal of Statistics. 1999. - V. 27(2). - p.237-249.

74. Zhang B. Empirical Likelihood Confidence Intervals for M-functionals in the presence of auxiliary information. // Statistics and Probability Letters. -1997. -V. 32. p.87-97.