Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Солодушкин, Святослав Игоревич

• Солодушкин, Святослав Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Солодушкин, Святослав Игоревич

I ВВЕДЕНИЕ

II Постановка задачи

1 Линейная управляемая система

2 Замена задачи стабилизации на задачу управления

III Обобщенные уравнения Риккати

3 Вывод обобщенных уравнений Риккати

4 Явные решения обобщенных уравнений Риккати

IV Построение и анализ регулятора

5 Достаточные условия стабилизируемости

6 Проверка положительной определенности функционалов

7 Критерий стабилизируемости

V Численные методы поиска стабилизирующего управления

8 Численное интегрирование функционально-дифференциальных уравнений

8.1 Основные предположения и определения

8.2 Построение временной сетки.

8.3 Нахождение коэффициентов метода.

8.4 Интерполяция предыстории.

8.5 Построение фундаментальной матрицы решений.

9 Поиск параметров стабилизирующего управления

VI Примеры

10 Стабилизация двумерной системы

11 Стабилизация одномерной системы

12 Противомикробное лечение инфекционного заболевания (четырехмерная система)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении»

Диссертация посвящена разработке конструктивных методов аналитического конструирования регуляторов (АКОР) для систем с последействием.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов), разработанная A.M. Летовым и Р. Калманом в начале 60-х годов, благодаря ясной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), примем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Исследование задач АКОР для систем с последействием инициировано статьей Н.Н. Красовского [18], в которой было показано, что оптимальное стабилизирующее управление является линейным непрерывным функционалом на функциональном (фазовом) пространстве системы с последействием, а также были выведены соотношения, описывающие параметры оптимального управления и оптимального значения функционала качества.

Основой построения общей теории АКОР для систем с последействием, также как и общей теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), является предложенная Н.Н. Красовским [16, 17] функциональная трактовка решений таких систем.

К настоящему времени теоретические аспекты АКОР для систем с последействием разработаны с достаточной полнотой, (см., например, [13,18,38, 41-43,49,52,53,55,58,60,62] и ссылки в них) однако, в силу бесконечномерной природы систем с последействием, практическое применение теории наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Поэтому разработка конструктивных алгоритмов АКОР для систем с последействием постоянно находится в центре внимания математиков и инженеров.

Одной из основных трудностей, сдерживающих практическое использование АКОР в задачах синтеза управления для систем с последействием, является необходимость решения специальной системы обобщенных уравнений Риккати (ОУР), описывающей коэффициенты оптимального управления и представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными. В связи с этим уже в первых работах, где были получены

ОУР [57,58], проблема АКОР для систем с последействием была сформулирована в виде двух задач: Задача А : нахождение явных решений ОУР;

Задача В : разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

Следует особо подчеркнуть, что решение Задачи А не является самоцелью, а позволяет построить синтез управления в явном виде. Также отметим, что для систем с последействием, в отличие от конечномерных систем, линейное управление с обратной связью, построенное на основе решения ОУР, не всегда является стабилизирующим. Поэтому выделение исследования устойчивости в отдельную Задачу В представляется естественным. В настоящей работе исследуются и решаются Задача А и Задача В.

Явные решения ОУР (Задача А). Предложенные в [13,42,57-59] приближенные методы решения ОУР являются сложными для практической реализации, поэтому в настоящее время задача нахождения явных решений ОУР имеет принципиальный характер. Разработанный в данной диссертации подход к построению явных решений ОУР основывается на идее введения дополнительных (функциональных) слагаемых в квадратичный функционал качества. Модификация функционала качества в теории АКОР для конечномерных систем была предложена в работе А.А.Красовского [14]. Введение дополнительного квадратичного слагаемого в функционал качества позволило упростить матричные уравнения, описывающие коэффициенты оптимального стабилизирующего управления. В рамках такого подхода для ОДУ оптимальное стабилизирующее управление определяется матрицей усиления являющейся решением не АУР, а более простого уравнения Ляпунова. Соответствующая процедура называется аналитическим конструированием по критерию обобщенной работы, так как добавочное слагаемое в функционале качества может быть интерпретировано как "энергия"(обобщенная работа) оптимального управления. Обобщение данного подхода на системы с последействием было реализовано в работах [12,60] и других. Отметим работу [60], в которой разработан алгоритм построения точных решений ОУР на основе включения в квадратичный критерий качества дополнительных функциональных составляющих. Такое обобщение увеличивает число свободных параметров в системе и, при соответствующем их выборе, позволяет построить специальную процедуру нахождения явных решений ОУР. Трудности реализации данного метода связаны с необходимостью нахождения неустойчивых полюсов разомкнутой системы и построения специальной вспомогательной системы функций.

В работах [10,50] удалось преодолеть эти трудности за счет подходящего выбора коэффициентов обобщенного функционала качества и разработать подход, позволяющий найти явный вид решений ОУР. При этом, для нахождения решения полной системы ОУР достаточно решить либо классическое АУР, либо специальные экспоненциальные матричные уравнения. Соответствующие алгоритмы позволяют решить Задачу А нахождения явных решений ОУР. Отметим, что в рамках разрабатываемого подхода обобщенный квадратичный функционал качества не может быть произвольно заданным, а определяется в соответствии с некоторыми правилами и имеет специальную структуру. Однако наличие подобного рода ограничений на функционал качества можно считать естественным, так как в задачах стабилизации, как правило, критерий качества не связан с физической природой объекта управления, а его структура и параметры определяются исходя из инженерных требований (простоты вычислений, времени переходного процесса и т.д.). В нашем случае таким требованием является нахождение явных решений ОУР и построении синтеза управления в явной форме.

Проверка стабилизирующих свойств управлений (Задача В). Ввиду бесконечномерности фазового пространства линейных систем с последействием (что отражается, например, в счетном числе собственных чисел соответствующего квазиполинома), исследование стабилизирующих свойств синтеза управлений существенно сложнее, чем в случае конечномерных систем. Нахождение синтеза управления в явном виде (па основе решения Задачи А) позволяет свести исследование стабилизирующих свойств управления к анализу устойчивости замкнутой системы. В данной работе используется конструктивный критерий асимптотической устойчивости линейных систем с последействием, на основе анализа свойств фундаментальной матрицы системы. Учитывая, что фундаментальная матрица линейной системы с последействием может быть найдена на основе эффективных численных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения, то соответствующий критерий позволяет реализовать конструктивные алгоритмы проверки устойчивости замкнутой системы. Еще один возможный подход к исследованию стабилизирующих свойств управлений основан на использовании функционалов Ляпунова-Красовского. Отметим, что в рамках теории АКОР для ОДУ основной метод проверки стабилизирующих свойств управлений состоит в применении метода функций Ляпунова модернизированного в соответствии с принципами динамического программирования. В рамках такого подхода, позволяющего в случае ОДУ получить конструктивные условия устойчивости, принципиальным является положительная определенность подынтегралыюго квадратичного функционала в критерии качества и положительная определенность оптимального значения (являющегося квадратичной формой) функционала качества. В теории АКОР для систем с последействием исследование стабилизирующих свойств синтеза управления может быть проведено на основе использования функционалов Ляпунова-Красовского. В настоящей работе па основе применения метода функционалов Ляпунова-Красовского, также получен ряд достаточных условий устойчивости в терминах коэффициентов системы и функционала качества. Однако, в общем случае, применение функционалов Ляпунова-Красовского наталкивается на трудности, связанные с требованием их положительной определенности, и полученные на этом пути достаточные условия устойчивости являются, как правило, достаточно сложно проверяемыми.

Еще одно замечание относительно соотношения между задачами стабилизации и оптимальной стабилизации состоит в следующем. Основной целью является разработка методов построения стабилизирующего но, вообще говоря, не обязательно оптимального управления; при этом, однако, используется методология АКОР, основанная на минимизации вспомогательного функционала качества. Рассмотрение такой оптимизационной задачи позволяет получить ряд математических соотношений (обобщенных уравнений Риккати), которым удовлетворяют (при некоторых предположениях) параметры определенного класса стабилизирующих управлений (если система может быть в принципе стабилизирована управлениями такой структуры). В рамках данной работы основная идея использования минимизируемого функционала состоит в обосновании использования ОУР при построении стабилизирующего управления. При этом, в конечном счете, задача минимизации является вспомогательной и свойство оптимальности управления не является принципиальным и, вообще говоря, специально не исследуется. При этом мы основываемся на том, что ( [22], с. 284): "Остается единственный путь: поиск форм функционалов и отвечающих им оптимальных регуляторов, при которых переходный процесс в замкнутой системе обладал бы наперед заданными свойствами. В этом случае роль оптимизирующего функционала будет заключаться, быть может, не столько в том, что он будет достигать минимума, сколько в возможности завершить синтез оптимального управления, обладающего заданными свойствами."

Цель диссертации состоит в разработке конструктивных аналитических и численных методов синтеза стабилизирующих управлений для систем с последействием в координатах и управлении па основе минимизации обобщенных квадратичных функционалов качества.

Методика исследования основана на функциональном подходе в качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Систематически применяются понятия и методы функционального анализа, теории устойчивости и управления, и численные методы.

Научная новизна. Разработаны новые конструктивные алгоритмы анализа и синтеза управлений для систем с последействием в управляющих параметрах на основе решения линейно-квадратичных задач управления.

Теоретическая и практическая ценность. Развитые в диссертации методы позволяют строить и анализировать синтез управления для систем с последействием. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете прикладных программ Time-delay System Stabilization в системе MATLAB. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ содержит историю вопроса и краткий обзор работ. Во введении обосновывается актуальность, формулируется цель диссертационной работы и пути сё достижения, отмечается новизна и практическое значение работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Солодушкин, Святослав Игоревич, 2009 год

1. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхст J1.E. Управлегате системами с последействием. М.Ж Наука, 1992.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1973. 632 с.

3. Долгий Ю.Ф., Ким А.В. К методу функционалов Ляпунова для систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 8. стр. 1313-1318.

4. Долгий Ю.Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных систем с распределенным запаздыванием. Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. стр. 92-105.

5. Ким А.В. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 3. стр. 385-391.

6. Ким А.В. О методе функционалов Ляпунова для систем с последействием // Автоматртка и телемеханика. 1990. Т. 1. стр. 79-83.

7. Ким А.В. Об уравнении Беллмапа для систем с последействием // Изв. АН СССР: Техническая кибернетика. 1991. № 2. стр. 54-69.

8. Ким А.В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 1996. 236 с.

9. Ким А.В., Волкашш Л.С. К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах. Известия Уральского государственного университета. 2003. №26 стр. 81-86.

10. Ким А.В., Ложников А.Б. Линейно-квадратичные задачи управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решенртя уравнений Риккати. Автоматика и телемеханика. 2000. № 7. стр. 15-31.

11. Ким А.В., Пименов В.Г. г-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравненрш. — М.-Ижевск:ИНЦ "Регулярная pi хаотргческая динамика 2004. 256 с.

12. Колмановский В.Б., Королева Н.И. Оптимальное управление некоторыми бршинейными системами с последействием. ПММ. 1989. Т. 53. стр. 238-243.

13. Колмановский В.Б., Майзенберг T.JI. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием. АиТ. 1973. № 1. стр. 47-62.

14. Красовский А.А. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем. АиТ. 1967. № 10. стр. 53-71.

15. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973. 558 с.

16. Красовский Н.Н. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. ПММ, 1956. Т. 20. № 3. стр. 315-327.

17. Красовский Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. ПММ, 1956. Т. 20. № 4. стр. 513-518.

18. Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании регулятора для систем с последействием. ПММ, 1962. Т. 26. № 1. стр. 39-51.

19. Красовский Н.Н. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием. Krasovskii N.N. Optimal Processes in Systems with Time Lag // Proc. 2nd IFAC Congress (Basel, 1963). Butterwoths, London. 1964.

20. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1959. 211 с.

21. Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования. Изв. АН СССР: Техн. Кибернетика. 1963. №6.

22. Летов A.M. Динамика полета и управление. М., 1969. 360 с.

23. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. I-V Автоматика и телемеханика, 1960. Т. 21, № 4, стр. 436-441. 1962. Т. 23, № 11, стр. 1405-1413.

24. Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближиенное решение задачи аналитического конструирования для систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1963. № 3.

25. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука. 1980. 264 с.

26. Осипов Ю.С. Стабилизация систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1. № 5. стр. 463-473.

27. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регулятора на элктронных моделирующих установках // Автоматика и телемеханика. 1963.Т.24. № 6. стр. 738-743.

28. Солодушкин С.И. Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Труды института математики и механики УрО РАН, 2008. Т. 14, № 4 с. 143-158.

29. Солодушкин С.И. Линейно-квадратичная задача стабилизации систем с запаздыванием по времени // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург, УрО РАН.2008. с. 291-297.

30. Солодушкин С.И. О стабилизации систем с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Мехаиика. Компьютерные науки. Ижевск. 2008. с. 140-141.

31. Солодушкин С.И. Линейно-квадратичная задача стабилизации систем с запаздыванием по времени Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. 2008. с. 131-133.

32. Солодушкин С.И. Стабилизация систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Системы управления и информационные технологии, 2009. 1.3(35) с. 404-406.

33. Солодушкин С.И. Об одном конструктивном критерии проверки стабилизируемое™ систем с запаздыванием по времени // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург, УрО РАН. 2009. с. 251-254.

34. Солодушкин С.И. Стабилизация систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Информационные технологии моделирования и управлеия, 2009. 2(54) с. 226-230.

35. Харатишвилли Г.Л. Оптимальные процессы с запаздыванием. Тбилиси: Мицниереба, 1966.

36. Vinter R.B., Kwong R.H. The Time Quadratic Control Problem for Linear Systems wiyh State and Control Delays: An Evolution Equation Approach // SIAM J. Control and Optimization. 1981. Vol. 19, № 1. pp. 139-153.

37. Wenzhang H. Generalization of Liapunov's Hteorem in a Linear Delay Sustems // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. № 1. pp. 83-94.

38. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. Tocyo: Math.Soc. Japan. 1966.