Системы наложений отрезков в приложении к слоениям и динамическим системам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Скрипченко, Александра Сергеевна

• Скрипченко, Александра Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скрипченко, Александра Сергеевна

Введение

Глава 1. Задача С.П.Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле

1.1 Формулировка.

1.2 Основные результаты.

Глава 2. Системы наложений отрезков

2.1 Определение

2.2 Перекладывания отрезков как частный случай систем наложений отрезков.

2.3 Частный случай: отображения сдвигов отрезков.

2.4 Основные результаты о системах наложений отрезков.

2.5 Ленточные комплексы и необходимые сведения из теории М-деревьев.

Глава 3. Симметричные системы наложений отрезков порядка три тонкого типа

3.1 Системы наложений отрезков тонкого типа. Индукция Раузи

3.2 Теорема о ренормализации для симметричных систем наложений отрезков порядка 3.

3.3 Пример симметричной системы наложений отрезков тонкого типа

Глава 4.

Изучение хаотических режимов 3-периодических поверхностей

4.1 Построение хаотического режима с помощью симметричной системы наложений отрезков тонкого типа.60

4.2 Связность некоторых хаотических сечений З-периодических поверхностей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы наложений отрезков в приложении к слоениям и динамическим системам»

Диссертационная работа посвящена изучению систем наложений отрезков и их приложений к задаче С. П. Новикова об асимптотическом поведении плоских сечений 3-иериодических поверхностей, которая была сформулирована Новиковым в 1982 году в [10| в связи с изучением теории проводимости монокристаллов в магнитном ноле.

Поверхность в М3 называется 3-периодической, если она инвариантна относительно сдвигов па вектора некоторой целочисленной решетки Z3. В задаче Новикова рассматриваемая поверхность является Z3 - накрывающей ферми-повсрхности, поэтому должна быть поверхностью уровня некоторой гладкой 3-периодической функции. Предметом исследования является асимптотическое поведение неограниченных компонент, если таковые имеются, плоских сечений этой поверхности плоскостями определенного направления. С точки зрения физики, речь идет о полуклассическом движении электрона в металле при наличии однородного магнитного поля: направление плоскостей сечения определяется направлением магнитного поля, а сама поверхность, как уже было сказано, является ферми-поверхпостью металла. Исследования Новикова в этой области продолжают работу научной школы И.М.Лифшица (см. [8] и [7]). С точки зрения топологии, рассматриваемая задача проистекает из теории морсовских форм и многомерных гамильтонианов.

Поставленная задача эквивалентна задаче об устройстве слоев слоения, заданного с помощью формы H\dxl + H^dx2 + H^dx3, где

H\xl + Н2х2 + Я3ж3 = const семейство параллельных плоскостей, которыми мы сечем нашу поверхность, на Z3 - проекции рассматриваемой 3-периодической поверхности (то есть на поверхности уровня некоторой гладкой функции в трехмерном торе).

Первые результаты были получены А. В. Зоричем (см. [6]) в 1984 году и И. А. Дынниковым (см. |2]-[4] и [19]) в начале 90-х годов. В частности, было доказано, что обычно плоские сечения З-периодических поверхностей либо состоят только из компактных компонент (тривиальный случай), либо содержат неограниченные компоненты, каждая из которых представляет из себя прямую линию, возмущенную конечной деформацией (интегрируемый случай). С. П. Царев построил первый пример, когда это свойство не выполняется: неограниченные компоненты, хотя и имели асимптотическое направление, не содержались в полосе конечной ширины. Пример Царева, впрочем, не обладал необходимой общностью - коэффициенты, задающие направление плоскости, не были полностью несоизмеримы над полем рациональных чисел. Впоследствии такие траектории были названы слабо хаотическими. В 1997 году Дынников показал, что возможен еще один -хаотический - случай, когда неограниченные компоненты соответствующих сечений не имеют выраженного асимптотического направления, а

Итц{НъН2,Н3) = 3. (0.1)

Таким образом, как было доказано в работах Зорича и Дынникова, при выполнении условия (0.1) возможно три принципиально разных варианта устройства слоев рассматриваемого слоения:

• Тривиальный случай: все компоненты //-сечений компактны.

• Интегрируемый случай: слоение разбивается сепаратрисными циклами на торы с дырками и цилиндры. На торах слоение ведет себя как иррациональная обмотка, а цилиндры состоят из замкнутых слоев.

• Хаотический случай: слоение имеет минимальную компоненту рода д> 3.

Пример Царева является промежуточным между вторым и третьим случаем приведенной классификации.

В настоящее время все оставшиеся в задаче Новикова открытые вопросы связаны с хаотическим случаем. С учетом того, что интересующие пас свойства сечений в общем случае определяются лишь конечным числом параметров - положением особых точек слоения и координатами ковектора Н - в работе [19] был доказан результат, сформулированный в теореме 4: хаотические режимы составляют нигде не плотное множество в пространстве пар из гомологичных нулю поверхностей в трехмерном торе и ковекторов в Ж3. В 2003 году Новиковым и А. Я. Мальцевым в [30] была высказана гипотеза, усиливающая это утверждение, о том, что мера множества хаотических режимов равна нулю, а хаусдорфова размерность соответствующего множества строго меньше 1. При этом вопрос об асимптотическом поведении этих сечений также остается открытым.

Основным инструментом для изучения измеримых слоений на поверхностях являются перекладывания отрезков, которые возникают как отображения первого возвращения на трансвсрсали (см. [27], [33], [35]). Однако, все результаты, полученные в рамках исследования устройства орбит типичного перекладывания (более подробно соответствующие утверждения изложены ниже) касаются ситуации наиболее общего положения; нас же в связи с задачей Новикова интересует сильно вырожденный случай, когда поверхность имеет род не меньше 3, а у 1-формы есть всего 3 независимых интеграла.

В 2008 году в работе [5] Дынников показал, что изучение хаотического случая можно свести к изучению обобщения перекладываний отрезков - систем наложений отрезков порядка 3. Более точно, для построения и изучения хаотических режимов было рассмотрено слоение не на самой поверхности, а на одной из 2 частей, на которые она разрезает трехмерный тор. Как было доказано в [5], поведение слоев такого слоения определяется поведением слоев вертикального слоения на ленточном комплексе, соответствующего системе наложений отрезков, которое в свою очередь определяется устройством орбит этой системы (определения приведены далее).

Система наложений отрезков - это объект, который состоит из отрезка действительной оси (отрезка-носителя) и конечного набора сохраняющих ориентацию изометрий фj : А] —> В], где каждая база Aj^Bj - подотрезок отрезка-носителя. Для такой системы можно определить орбиты: две точки отрезка-носителя принадлежат одной орбите, если и только если существует некоторое слово из порождающих ф^ и обратных к ним, отправляющее х в у. Точные определения сформулированы в Главе 2 (см. рис. 0.1, где пары изометричных баз обозначены дугами одинакового цвета). Ленточный комплекс - это 2-мсрный комплекс, который получается из системы

I---А-2 | Г

1 Ал 1 1

I----л1-\-\~

--А з- п зи т г -

I I

-В,

1---В, - -I

Рис. 0.1: Система наложений отрезков порядка 3. наложений отрезков приклеиванием к отрезку-носителю трех прямоугольных лент: горизонтальные стороны прямоугольников приклеиваются к базам А3 и В3, а линии, параллельные вертикальным сторонам, определяют слоение на комплексе.

С учетом физической мотивировки задачи Новикова особый интерес представляют симметричные системы наложений отрезков тонкого тина, то есть такие, для которых орбиты всех точек являются всюду плотными, а расположение баз - центрально-симметричным (см. рис. 0.1). Именно такие системы исследуются в Главе 3 диссертации.

Термин «системы наложений отрезков» был введен в [20], но интерес к подобным объектам наблюдался ранее как в теории динамических систем, где системы наложения отрезков могут быть рассмотрены как естественные обобщения перекладываний отрезков и отображений сдвигов отрезков, так и в геометрической теории групп, где изучается более общая конструкция -ленточные комплексы (вместо слоений здесь рассматриваются двойственные им ламинации, вместо одного отрезка-носителя - конечный граф). В обоих случаях предметом исследования являются вопросы устройства орбит рассматриваемых систем: компактные ли они или всюду плотные, насколько часто встречается ситуация, когда орбиты всех точек систем наложения отрезков являются всюду плотными, сколько топологических концов может быть у орбиты и т. д. (см. работы [13]-[16], [21]-[27], [32]-[35]).

В частности, наибольший интерес представляет ситуация, когда орбиты всех точек отрезка-носителя всюду плотны (в литературе такой случай назван «тонким»).

Упоминавшиеся ранее перекладывания отрезков, исторически возникшие раньше других аналогичных объектов, представляют собой частный случай систем наложений отрезков, в котором пересечения между входящими в наборы А; и Вз подотрезками внутри каждого набора запрещены. В случае перекладываний отрезков, ответы на перечисленные вопросы известны. Гипотеза, сформулированная М.Кином и доказанная независимо У. Вичем и Г. Мазуром в 70-е и 80-е годы, утверждает, что в общем случае орбиты заданного неприводимой перестановкой перекладывания всюду плотны и, более того, есть свойство строгой эргодичности - соответствующее перекладывание имеет ровно одну инвариантную меру.

Для отображений сдвигов отрезков - обобщения перекладываний, для которого отрезкам в одном из 2 наборов пересекаться по-нрежнему запрещено, но во втором - разрешено, - которые были описаны М. Бошерницаном и И. Корнфельдом в 1995 году, картина оказывается более сложной. Первый пример таких отображений, которые являются аналогом тонкого случая для систем наложений отрезков, был приведен Бошерницаном и Корнфельдом и назван «отображением сдвигов отрезка бесконечного типа». Для частных случаев таких отображений в ряде работ (см. [15],[16], [32], [34]) был доказан аналог гипотезы Новикова о том, что множество задающих их параметров имеет в общем множестве параметров меру нуль. В общем случае неизвестно, насколько часто встречаются отображения сдвигов отрезков бесконечного, или тонкого, тина.

Ленточные комплексы впервые были описаны Э.Рипсом, который использовал эту конструкцию для изучения действия конечно порожденных групп на М-деревьях. Первый пример ленточного комплекса тонкого типа был построен Ж. Левиттом в 1993 году, а термин «тонкий» происходит из работ Бествины и Фейна по теории М-деревьев.

С точки зрения теории динамических систем, основным инструментом для изучения таких объектов, как системы наложений отрезков, является некоторый аналог индукции Раузи - алгоритма, представляющего собой применение разновидности алгоритма Евклида деления с остатком к перекладываниям отрезков, который позволяет строить системы с меньшим носителем, но эквивалентным устройством орбит. Индукция Раузи для перекладываний отрезков была описана в 1979 году Ж. Раузи в [31] и является своего рода дискретизацией потока Тейхмюллера на пространстве плоских поверхностей. Аналог индукции Раузи описан также для некоторых отображений сдвигов отрезков Бошерницаном и Корнфельдом (см. [14]) и Сузуки, Ито и Айхарой для их частного случая - двойных вращений (см. [32]). Однако, в обеих работах рассматриваются очень специальные (маломерные) случаи отображений сдвигов отрезков.

Индукция Раузи для систем наложений отрезков в общем случае была описана в (5]. При изучении симметричных систем наложений отрезков ключевым вопросом является построение ренормализации, то есть доказательство того факта, что при применении индукции Раузи к симметричным системам наложений отрезков тонкого типа мы снова получим симметричную систему. В Главе 3 мы построим требуемую ренормализацию, а также с ее помощью построим пример симметричной системы наложения отрезков тонкого типа, что позволит нам предъявить пример хаотического режима с дополнительной симметрией в главе 4. Построенная поверхность будет поверхностью уровня четной функции.

С точки зрения геометрической теории групп, наиболее естественный способ изучения систем наложения отрезков тонкого типа - это алгоритм машины Рипса, приводящий ленточный комплекс к нормальному виду и позволяющий получить классификацию ламинаций на ленточных комплексах, аналогичную приведенной классификации слоев слоения в задаче Новикова (см. Главу 2). Указанный алгоритм позволяет исследовать также вопрос о количестве топологических концов у листов соответствующей ламинации (или орбит точек). Соответствующие результаты приведены в [13] и [21]. Связь между теорией К-деревьев и системами наложений отрезков изучалась в работах Левитта и его учеников (см. [22] и [25]). Используя инструмент машины Рипса, в главе 4 мы докажем, что для известных примеров систем наложений порядка 3 тонкого типа (как симметричных, так и несимметричных) орбиты почти всех точек отрезка - носителя представляют из себя деревья с одним топологическим концом. Следствием этого является теорема, утверждающая, что в наших примерах хаотических режимов почти каждое сечение поверхности плоскостями определенного направления состоит ровно из 1 связной компоненты.

Диссертация имеет следующую структуру:

• В Главе 1 в разделе 1.1 сформулирована задача С.П.Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле и изложена физическая мотивировка, в разделе 1.2 освещаются основные топологические результаты, а также оставшиеся открытые вопросы, и обсуждаются физические приложения полученных результатов.

• Глава 2 является введением в теорию систем наложений отрезков. В разделе 2.1 изложены основные определения и факты, касающиеся этого объекта. В оставшихся разделах речь идет о родственных системам наложений отрезков понятиях: перекладываниях отрезков (раздел 2.2), отображениях сдвигов отрезков (раздел 2.3) и ленточных комплексах (раздел 2.4). В частности, приведены подробные определения, описания алгоритмов индукции Раузи и машины Рииса, а также необходимые сведения из теории динамических систем и теории М-деревьев.

• В Главе 3 исследуются симметричные системы наложений отрезков порядка 3. Вводится ускоренная, или обобщенная версия индукции Раузи, аналогично тому, как ускоренная версия индукции Раузи была введена А. Зоричем для построения ренормализации в теории перекладываний отрезков. Основной результат этой главы - это Теорема 30, утверждающая, что при применении индукции Раузи к симметричной системе наложений отрезков порядка 3 после конечного числа итераций получится либо снова симметричная система, либо система с конечными орбитами. Таким образом, в явном виде стоится ренормализация. Построение ренормализации конструктивно: в явном виде выписываются матрицы, выражающие параметры полученной в результате применения индукции Раузи системы через параметры исходной системы. Для доказательства разбираются 8 случаев различного расположения отрезков системы на отрезке-носителе и применяется ускоренная версия индукции Раузи. С использованием этой теоремы в предложении 31 впервые строится пример симметричных систем наложений отрезков тонкого типа.

• В Главе 4 изучается применение систем наложений отрезков к задаче

Доказательство этой теоремы опирается на 2 утверждения, представляющих и самостоятельную ценность с точки зрения геометрической теории групп. В предложениях 35 и 36 доказывается, что для известных примеров систем наложений отрезков тонкого типа (один из которых был построен нами в Главе 3, а другой - Дышшковым в [5]) почти все орбиты являются бесконечными деревьями с 1 топологическим концом. Эти результаты доказывают гипотезу, сформулированную Дынниковым, в частных случаях и продолжают исследования Габорье и Бествины и Фейна (см. работы [13] и |21]). Основной инструмент, использованный при доказательстве этих предложений, - это алгоритм машины Рипса.