Решетки и произведения кратно ω-веерных и Ω-расслоенных классов Фиттинга конечных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Камозина, Олеся Владимировна

• Камозина, Олеся Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Камозина, Олеся Владимировна

Перечень определений и условных обозначений.з

Введение.п

Общая характеристика работы.

Глава 1. Общая характеристика работы.

Глава 2. Предварительные сведения.

2.1. Методы доказательств.

2.2. Используемые результаты.

Глава 3. Решетки классов Фиттинга.

3.1. Алгебраические решетки кратно ^-расслоенных классов Фиттинга.

3.2. Решетка тотально канонических классов Фиттинга.

3.3. Алгебраические решетки кратно ю-веерных классов Фиттинга.

3.4. Индуктивные решетки кратно ^-расслоенных классов Фиттинга.

3.5. Булевы решетки кратно ^-расслоенных классов Фиттинга.

Глава 4. Произведения классов Фиттинга.

4.1. Произведения кратно со-веерных классов Фиттинга.

4.2. Произведения кратно П-расслоенных классов Фиттинга.

4.3. Однопорожденные произведения кратно ю-локальных классов Фиттинга.

4.4. Однопорожденные произведения кратно О-биканонических классов Фиттинга.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решетки и произведения кратно ω-веерных и Ω-расслоенных классов Фиттинга конечных групп»

Характерной особенностью развития алгебры являлось и является увеличивающаяся общность рассматриваемых ею объектов. И если совсем недавно изучались такие достаточно общие структуры как группы, кольца, поля и т.д., то на сегодняшний день на первый план выходит еще более общая структура - класс. В теории групп класс представляет собой совокупность групп, содержащую вместе с каждой своей группой в и все группы, изоморфные в. Таким образом, группы характеризуются уже по свойствам тех или иных классов, в связи с чем, требуются исследования различных классов групп, а также взаимосвязей между ними. Появляется новое направление в алгебре - теория классов групп. Самостоятельное развитие эта теория начала только в 30-е годы после выхода работ Г. Биркгофа [54] и Б. X. Неймана [67]. На начальном этапе развития теории классов групп в основном изучались различные классы групп, содержащие бесконечные группы (многообразия, квазимногообразия и т.д.). Интенсивное изучение классов конечных групп началось в 1963 г. после выхода работы В. Гашюца [63], где ключевое место заняли формации групп. На сегодняшний день наиболее разработанными в теории классов групп являются теории многообразий и формаций. Кроме того, в последние годы развиваются теории классов Фиттинга и классов Шунка.

В работе В. Гашюца [63] был предложен способ конструирования формаций с помощью специальных функций, называемых экранами. Наложение различных условий на экран привело к рассмотрению локальных и композиционных формаций [50]. Классы Фиттинга двойственны формациям с точки зрения замыкающих их операций. Поэтому в теории классов Фиттинга оказалось возможным применение определений и методологического аппарата теории формаций. По аналогии с экраном вводится радикальная функция, рассматриваются локальные классы

Фиттинга [8]. В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные формации и классы Фиттинга [39], В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх - частично композиционные формации [4]. Все это послужило отправным пунктом к работе В. А. Ведерникова и М. М. Сорокиной по обобщению известных формаций и классов Фиттинга [5,7]. Понятие экрана, радикальной функции было обобщено понятием спутника. Была введена новая функция, названная направлением класса. Различное задание направления класса привело к возникновению новых видов формаций и классов Фиттинга: полных, специальных, центральных, свободных, биканонических, канонических и т.д. Общими понятиями здесь являются веерные и расслоенные формации и классы Фиттинга, имеющие отличие в областях определения спутников и направлений.

Еще одним способом построения классов групп является их произведение. В работах Л. А. Шеметкова [49,51] было показано, что произведение локальных формаций является локальной формацией. Однако произведение двух композиционных формаций не обязано быть композиционной. Тем не менее, при наложении ограничения на первый множитель 9Л произведения аналогичный результат будет получен

50]. Позже эти результаты были распространены на частично локальные и частично композиционные формации [39,19]. Продолжением этих исследований стало выделение условий, при которых однопорожденная локальная формация разлагается в произведение неединичных формаций [52]. Для локальных классов Фиттинга локальность произведения была установлена Н. Т. Воробьевым [14], для р-локальных классов Фиттинга р-локальность произведения - И. В. Дудкиным [16].

Кроме идеи обобщения известных и построения новых классов групп в алгебре также присутствует идея упорядочения, классификации классов. Эта идея получила свое развитие в теории решеток классов групп. Множество всех классов групп образуют решетку относительно отношения "сг", подрешетками которой являются все указанные выше классы. Следует отметить, что в ряде зарубежных работ по теории классов групп рассматривается еще один способ упорядочения классов групп. Так, например, если и ф - классы Фиттинга разрешимых конечных групп, то ЯН строго содержится в ф (и пишут Ш«ф), если ф-инъектор любой конечной разрешимой группы в содержит в качестве подгруппы 9Я-инъектор группы в. Напомним, что для класса групп подгруппа V группы в называется {^-инъектором в в, если для любой субнормальной подгруппы

N группы в пересечение УпЫ является ^-максимальной подгруппой в N.

Отношение "«" определяет решетку на данном множестве. Решетки с отношением "«" изучались в теориях классов разрешимых конечных групп: локальных формаций, классов Шунка, классов Фитттинга (см. более подробно [55-60,62,64-66,70,71]). В отечественной литературе термин "решетка" ассоциируется с более естественным отношением "с" и исследование произвольных классов групп таким образом сводится к исследованию их составляющих.

Методы общей теории решеток успешно используются при исследовании классов групп. Так при изучении формаций различной длины А. Н. Скиба существенно использовал тот факт, что решетка (локальных) формаций модулярна [35]. Поэтому как в теории формаций, так и в теории классов Фиттинга в основном идет отыскание модулярных и дистрибутивных решеток [34,39,40]. Например, известно, что решетка нормальных классов Фиттинга, классов Фиттинга из секции Локетта являются модулярными [65,55]. Получены также другие свойства решеток формаций и классов Фиттинга [15].

При рассмотрении спутников большинства известных формаций и классов Фиттинга можно увидеть, что эти классы имеют спутники, все непустые значения которых сами являются веерными (расслоенными) классами. В связи с этим возникло понятие кратности класса, введенное А. Н. Скибой в работе [37] для локальных формаций: всякая формация считается 0кратно локальной; при п>1 формация {у п-кратно локальна, если £г=ЬР(;£), где все непустые значения спутника £ (п-1)-кратно локальны; формация тотально локальна, если она п-кратно локальна для всех натуральных п. Аналогично определяется кратность для других видов формаций и классов Фиттинга.

В данной диссертации исследуются кратно о-локальные и расслоенные классы Фиттинга. Приведены алгебраические и индуктивные решетки классов Фиттинга, описаны п-кратно ¿^-расслоенные классы Фиттинга с булевой решеткой п-кратно ^-расслоенных подклассов. Доказано, что произведение п-кратно со-локальных классов Фиттинга является п-кратно со-локальным. Тем самым дан положительный ответ на вопрос 25 работы [39]. Также доказано, что произведение п-кратно П-расслоенных классов Фиттинга является ¿^-расслоенным, описаны однопорожденные кратно со-локальные классы Фиттинга, однопорожденные кратно О-биканонические классы Фиттинга.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Среди многочисленных подходов к изучению классов групп можно выделить следующие два подхода. Первый из них связан с представлением исследуемого класса групп в виде произведения Шф более простых классов групп Ш и ф. Второй подход связан с рассмотрением в классе групп решетки всех его подклассов. Впервые применение этих подходов было осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой было показано, что привлечение данных конструкций весьма полезно и при изучении формаций (Шеметков Л. А., Скиба А. Н. "Формации алгебраических систем", Скиба А. Н. "Алгебра формаций"). В связи с появлением концепций частичной веерности, расслоенности, а также концепции кратности формаций и классов Фиттинга актуальной задачей стало рассмотрение произведений и решеток таких классов. Теория формаций является достаточно разработанной областью теории групп. Поэтому можно проследить успешное обобщение найденных ранее результатов. Однако для классов Фиттинга не установлено до сих пор, является ли решетка всех классов Фиттинга модулярной. До настоящего времени также было неизвестно, что решетка всех классов Фиттинга является алгебраической. Мало исследованы произведения классов Фиттинга. Н. Т. Воробьев изучил локальный случай [14], И. В. Дудкин - р-локальный [16]. В работе [39] был поставлен вопрос об изучении произведений со-локальных классов Фиттинга.

В данной диссертации исследованы решетки и произведения кратно со-веерных и О-расслоенных классов Фиттинга, показано применение решеточных конструкций к исследованию п-кратно ^-расслоенных классов Фиттинга с дополняемыми п-кратно ^-расслоенными подклассами Фиттинга.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является изучение решеток и произведений кратно со-веерных и П-расслоенных классов Фиттинга. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи: найти алгебраические, индуктивные и булевы решетки классов Фиттинга; выяснить, является ли произведение п-кратно ю-локальных классов Фиттинга п-кратно ю-локальным, является ли произведение п-кратно О-расслоенных классов Фиттинга п-кратно О-расслоенным; описать однопорожденные произведения кратно ю-локальных классов Фиттинга; описать однопорожденные произведения кратно биканонических классов Фиттинга.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются кратно ю-веерные и П-расслоенные классы Фиттинга конечных групп, а предметом исследования - решетки и произведения таких классов.

Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Решетка всех классов Фиттинга, решетки: где фо^ф; шЯ^, где Ро<ф; К00 являются алгебраическими.

2) Решетки ОКХД Ос:2С, и 0 являются Г2КЬ-индуктивными; решетки Г2ВЬ" и О являются ОВЬ-индуктивными.

3) Описание О-классов Фиттинга с г-направлением ф, ф<\|/2', с булевой решеткой -подклассов Фиттинга; описание ГЖп-классов

Фиттинга с булевой решеткой <ЗВп-подклассов Фиттинга.

4) Пусть 5Ш и ф - п-кратно со-локальные классы Фиттинга. Тогда является п-кратно со-локальным классом Фиттинга.

5) Пусть 9Я и ф - п-кратно О-расслоенные классы Фиттинга с г-направлением ф таким, что ф<М'г'- Тогда - п-кратно ¿^-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф.

6) Описание однопорожденных факторизаций кратно со-локальных классов Фиттинга, являющихся классами Локетта.

7) Описание однопорожденных факторизаций кратно О,-биканонических классов Фиттинга, являющихся классами Локетта.

Личпын вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры Брянского государственного университета (2000-2002); на третьей Международной алгебраической конференции на Украине (г. Сумы, 2001); на региональной научно-технической конференции "Вклад ученых и специалистов в национальную экономику" (г. Брянск, 2001, 2002); на Международном семинаре по теории групп (г. Екатеринбург, 2001); на Международной конференции по чистой и прикладной математике, посвященной началу работы Д. А. Граве (г. Киев, 2002); на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (г. Красноярск, 2002).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и шести тезисах конференций [21-24,42-47].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 71 наименования. Объем диссертации - 101 страница.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Камозина, Олеся Владимировна

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

- установлена алгебраичность решетки всех классов Фиттинга, решеток где фо<ф; со!^, где р0<ф; К°°.

- показано, что решетки ОКЬ", <Г2с:2[, и Q являются ОКЬ-индуктивными; решетки ПВЬ" и 0 являются ПВЬ-индуктивными.

- описаны 0-классы Фиттинга с г-направлением ф, ф<\|/2', с булевой решеткой О ^-подклассов Фиттинга; ПВп-классы Фиттинга с булевой решеткой ОВп-подклассов Фиттинга.

- доказано, что произведение п-кратно со-локальных классов Фиттинга является п-кратно со-локальным, произведение п-кратно О-расслоенных классов Фиттинга - п-кратно ¿^-расслоенным;

- описаны однопорожденные произведения кратно со-локальных классов Фиттинга, являющиеся классами Локетта; описаны однопорожденные произведения кратно О-биканонических классов Фиттинга, являющиеся классами Локетта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Камозина, Олеся Владимировна, 2003 год

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. - 568 с.

2. Близнец И. В., Воробьев Н. Н. Прямые разложения кратно композиционных формаций // Препринт № 75. Гомель: ГТУ, 1998.

3. Ведерников В. А. О новых типах ю-веерных формаций и классов Фиттинга // Препринт № 2. Москва: МГПУ, - 2001.

4. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. Частично композиционные формации групп // Препринт № 2. Брянск: БГТТУ, - 1999.

5. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика, 2001. Т. 13, № 3. -С. 125-144.

6. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск, 1988. -96 с.

7. Ведерников В.А., Сорокина М. М. ©-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. заметки, 2002. Т. 71, № 1. - С. 43-60.

8. Воробьев Н. Т. О локальных радикальных классах // Вопросы алгебры. Минск: изд-во "Университетское", 1986. - Вып. 1. - С. 22-34.

9. Воробьев Н. Т. О радикальных классах конечных групп с условием Локетта // Матем. заметки. Т. 43, № 2. - 1988. - С. 161-168.

10. Воробьев Н. Н. Булевы решетки n-кратно со-локальных классов Фиттинга // Препринт № 71. Гомель: ГГУ, - 1997.

11. Воробьев Н. Н. О прямых разложениях со-локальных формаций и классов Фиттинга // Вестник ВГУ. 1997. - №3. - С. 75-78.

12. Воробьев Н. Н., Скиба А. Н. Дистрибутивность решетки разрешимых тотально локальных классов Фиттинга // Препринт № 82. Гомель: ГГУ, 1999.

13. Воробьев Н. Н., Скиба А. Н. О булевых решетках n-кратно локальных классов Фиттинга // Сиб. мат. журн. 1999. - Т. 40, № 3. - С. 523-530.

14. Воробьев Н. Т. Локальные произведения классов Фиттинга // Весщ АН БССР. Сер. физ.-мат. навук, 1991. - № 6. - С. 28-32.

15. Воробьев Н. Т. О гипотезе Локетта в теории радикальных классов // Материалы Междунар. конф., посвящ. памяти ак. С. А. Чунихина, 4.1. -Гомель, 1995.-С. 42-43.

16. Воробьев Н. Т., Дудкин И. В. О произведении р-локальных классов Фиттинга // Тезисы докладов 3-ей Межд. алгеб. конф. в Украине. -Сумы, 2001.-С. 146-147.

17. Воробьев H.H. Об индуктивных решетках формаций и классов Фиттинга // Препринт № 77. Гомель: ГТУ. - 1998.

18. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. - 456 с.

19. Еловиков А. Б. Кратно Q-композиционные формации групп // Препринт №3. Брянск: БГПУ. - 1999.

20. Еловиков А. Б. О произведении Q-расслоенных формаций // В кн.: Брянск, гос. пед. университету 70 лет. Сб. науч. трудов. Брянск: БГПУ, 2000. - С. 199-203.

21. Камозина О. В. Алгебраичность решетки тотально канонических классов Фиттинга // Тезисы докладов Межд. конф. "Алгебра и ее приложения". Красноярск, 2002. - С. 57-58.

22. Камозина О. В. Булевы решетки кратно Q-биканонических классов Фиттинга // Дискретная математика. 2002. - Т. 14, №3. - С. 47-53.

23. Камозина О. В. Булевы решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга // Вопросы алгебры. Гомель: изд. ГГУ им. Ф. Скорины, 2002.-Вып. 18. -С.134-137.

24. Камозина О. В. Булевы решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга // Тезисы докладов Межд. конф. по чистой и приклада, мат., посвящ. началу работы Д. А. Граве. Киев, 2002. - С.

25. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.-288 с.

26. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 496 с.

27. Курош А.Г. Теория групп. М.: Физматлит, 1967. - 648 с.

28. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969. - 264 с.

29. Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями. М.: Наука, 1984. 128 с.

30. Скачкова Ю. А. О решетке всех п-кратно Q-композиционных формаций // Препринт № 4. Брянск: БГПУ. - 1999.

31. Скачкова Ю. А. Прямые разложения кратно Q-расслоенных формаций // В кн.: Брянск, гос. пед. университету 70 лет. Сб. науч. трудов. -Брянск: БГПУ, 2000. С. 199-203.

32. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. 240 с.

33. Скиба А. Н. О дополняемых подформациях // Вопросы алгебры. -Гомель, 1996. Вып. 9.-С. 114-118.

34. Скиба А. Н. О конечных подформациях многообразий алгебраических систем // Вопросы алгебры. Мн., 1986. - Вып. 2. - С. 7-20.

35. Скиба А. Н. О локальных формациях длины 5 // В кн.: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1986. - С. 135-149.

36. Скиба А. Н. О формациях с заданными системами подформаций // В кн.: Подгрупповое строение конечных групп. Мн.: Наука и техника, 1981.-С. 155-180.

37. Скиба А. Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. Минск: Унивеситетское, 1987.-Вып. З.-С. 21-31.

38. Скиба А. Н., Рыжик В. Н. Факторизации р-локальных формаций // Вопросы алгебры. Гомель, 1996. - Вып. 11. - С. 76-89.

39. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. 1999. - Т. 2, № 2. - С. 114147.

40. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно 2-композиционные формации конечных групп // Укр. мат. журн. 2000. - Т. 52. № 6. - С. 783-797.

41. Сорокина М. М. О минимальных спутниках кратно П-расслоенных классов Фиттинга и формаций конечных групп // В кн.: Брянск, гос. пед. университету 70 лет. Сб. науч. трудов. Брянск: БГПУ, 2000. - С. 199-203.

42. Сыромолотова (Камозина) О. В. Классы Фиттинга конечных групп длины 2 // БГПУ, 2000. 9 с. - Библиогр. 12 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 28.02.00, № 511-ВОО.

43. Сыромолотова (Камозина) О. В. О произведении ш-веерных классов Фиттинга // Тезисы докладов межд. семинара по теории гр. -Екатеринбург, 2001. С. 216-217.

44. Сыромолотова (Камозина) О. В. О произведении О-расслоенных классов Фиттинга// Тезисы докладов регион, науч.-техн. конф. "Вклад уч. и спец. в нац. эк." Брянск, 2002. - С.

45. Сыромолотова (Камозина) О. В. О произведении кратно О-канонических классов Фиттинга // Тезисы докладов регион, науч.-техн. конф. "Вклад уч. и спец. в нац. эк." Брянск, 2001. - С. 78.

46. Сыромолотова (Камозина) О. В. О произведении кратно со-локальных классов Фиттинга // Тезисы докладов 3-ей Межд. алгеб. конф. в Украине. Сумы, 2001. - С. 257.

47. Сыромолотова (Камозина) О. В. Произведения классов Фиттинга конечных групп // Матем. заметки

48. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. - 468 с.

49. Шеметков Л. А. О произведении формаций // Докл. АН БССР. 1984. -Т. 28. №2.-С. 101-103.

50. Шеметков JI. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. - 267 с.

51. Шеметков Л. А. Экраны произведения формаций // Докл. АН БССР. -1981.-Т. 25. №8.-С. 677-680.

52. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989, 256 с.

53. Ballester-Bolinches A., Shemetkov L. А. Uber Formationen und komplementierbare Hauptfaktoren // Arch. Math. 1976. - Vol.27, № 4. -P. 347-351.

54. Bryant R. M., Bryct R. A., Hartley B. The formation generated by a finite group // Bull. Austral. Math. Soc. 1970. - V. 3, № 3. - P. 347-357.

55. Bryce R. A., Cossey J. A problem in the theory of normal Fitting classes // Math. Z. 1975. -Bd. 141, № 2. - P. 99-110.

56. Bryce R. A., Cossey J. Strong containment in Fitting classes // Proc. Miniconf. Theory of groups. Camberra. - 1975. - P.6-16.

57. Cline E. On an embedding property of generalized Carter subgroups // Pasific. J. Math. 1969. -Vol. 29, №3. -P.491-519.

58. Doerk K. Zur Sättigung einer Formationen endlicher auflösbarer Gruppen // Arch. Math. 1977. - Bd. 28, №5. -P.561-571.

59. Doerk K. Zur Theorie der Formationen endlicher auflösbarer Gruppen // J. Algebra. 1969. - Vol. 13, №3. - P.345-373.

60. Doerk K. Zwei Klassen von Formationen endlicher auflösbarer Gruppen, deren Halbverband genau ein maximales Elemeht besitzt // Arch. Math. -1970. Bd. 21, №3. -P.240-244.

61. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groupes. Walter de Gruyter, Berlin -New York, 1992.-889 p.

62. Doerk K., Porta M. Uber Vertauschbarkeit, normale Einbettung und Dominanz bei Fittigklassen endlicher auflösbarer Gruppen // Arch. Math. -1980. Bd. 35, №4. - S.319-327.

63. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen. // Math. Z. -1963.-Bd. 80, №4. P. 300-305.

64. Hawkes T.O. The family of Schunk classes as a lattice // J. Algebra. 1976. -Vol. 39, №2. - P.527-550.

65. Lausch H. On normal Fitting classes // Math. Z. 1973. - Bd. 130, № 1. -P. 67-72.

66. Makan A. R. Normal Fittig Classes and the Lockett Ordering // Math. Z. -1975. Bd.142, №3. - S.221-228.

67. Newmann B. H. Identical relations in groups. I. // Math. Ann. 1937. - V. 114.-P. 506-525.

68. Skiba A. N. On nontrivial factorizations of an one generated local formation of finite groups // Proc. Int. Conf. Algebra Dedicat. Mem. A. I. Mal'cev. -Novosibirsk, 1989.

69. Vedernikov V. A. Maximal satellites of Q-foliated formations and Fitting classes. // Proc. of the Steclov Institute of Mathematics, 2001. Suppl. 2. -p. 217-233.

70. Wood G.J. A lattice of homomorphs // Math. Z. 1973. - Vol.130, №1. -P.31-37.

71. Wood G.J. A note on strong containment in the theory of Schunck classes of finite soluble groups. J. London Math. Soc., 1976. - Vol. 13, №2. - P. 235-238.roílc" ''у ■госуд/i1. БШЩи>'1Г'"' "j