Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Демина, Екатерина Николаевна

• Демина, Екатерина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демина, Екатерина Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Перечень определений и условных обозначений

Введение

Общая характеристика работы

Глава 1. Обзор результатов работы

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Методы доказательств

2.2. Используемые результаты

Глава 3. Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их

применения

3.1. Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп

3.2. Минимальные спутники расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп

3.3. Полные спутники расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп

3.4. Произведения расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп

Глава 4. Решетки кратно ^-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп и их применения

4.1. Длина кратно ^-расслоенной формации мультиоператорных Т-групп

4.2. Алгебраичность решетки кратно О-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп

4.3. Булевы решетки кратно О-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп

Глава 5. Расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных

Т-групп и их решетки

5.1. Расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп

5.2. Полнота, модулярность и алгебраичность решетки кратно Г^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп

5.3. Длина кратно ^-расслоенной т-замкнутой формации мультиоператорных Т-групп

5.4. Булевы решетки кратно (^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп

Заключение

Список используемых источников

Перечень определений и условных обозначений

Рассматриваются мультиоиераторные Т-группы, обладающие композиционными рядами (главы 3 - 4), и мультиоператорные Т-группы, удовлетворяющие условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп (глава 5). Используемые в работе без ссылок определения и обозначения по теории алгебраических систем можно найти в [31, 33, 34, 35, 38, 50, 51, 63, 66], по теории классов алгебраических систем в [5, 37, 43, 58, 59], по теории решеток в [1, 17, 35, 50, 51].

Мультиоператорная Т-группа с системой мулътиоператоров Т (Т-группа) - аддитивная группа С с нулевым элементом 0, в которой задана еще некоторая система п-арных алгебраических операций Т при некоторых п, удовлетворяющих условию п > 0, причем для всех £ Е Т выполняется условие ¿(0,..., 0) = 0, где слева элемент 0 стоит п раз, если операция £ п-арна.

Мультиоператорная Т-группа удовлетворяет условию минимальности для Т-подгрупп, если всякий убывающий ряд ее Т-подгрупп Н\ 3 Нъ ~2 ■ • • обрывается, т.е. Нп = Нп+\ =

Мультиоператорная Т-группа удовлетворяет условию максимальности для Т-подгрупп, если всякий возрастающий ряд ее Т-подгрупп Н\ С #2 Я ■ • ■ обрывается, т.е. Нк = \ —

А <] (7 (идеал А Т-группы (7) - непустое подмножество А Т-группы (?, для которого выполняются следующие условия: 1) А является нормальным делителем аддитивной группы; 2) для всякой п-арной операции £ Е Т, любого элемента а Е А и любых элементов Х2, ■ ■ •, хп Е С при г — 1, 2,..., п имеет место включение —¿(жь Х2, ■ • •, хп) +

{0} - нулевая Т-группа (нулевой идеал).

Простая Т-группа - ненулевая Т-группа (7, не содержащая идеалов, отличных от С и {0}.

Минимальный идеал Т-группы С - ненулевой идеал N в С, такой что из N1 с ТУ, ^ {0} и <1 С всегда следует = N.

Монолитическая Т-группа - ненулевая Т-группа, имеющая единственный минимальный идеал.

Нормальный ряд Т-группы - конечная система вложенных друг в друга Т-подгрупп Т-группы С вида {0} = Ао С А\ С

тя необязательно в А^ при ] > г); число /с - длина нормального ряда;

Композиционный ряд Т-группы - нормальный ряд Т-группы, не имеющий уплотнений, отличных от него самого.

Главный ряд Т-группы С - ряд идеалов Т-группы (? вида {0} = Ао С А\ С

[А, В] (взаимный коммутант Т-подгрупп А я В Т-группы б?) - идеал Т-подгруппы А + В Т-группы С, порожденный множеством всех элементов следующих двух видов: 1) [а, Ь] = — а — Ь + а + Ъ, а 6 А, Ь £ В - коммутатором элементов а и 6; 2) [а\, 0,2,..., ап; 61, 62,..., = — ¿(«ь а2, • • •, ^п) — /(61, 62, • • • 7 + ¿(«1 + Ьь «2 + • • •; а>п + 6п), где £ - п-арная операция из Т, аь а2,..., а„ е Д 6Ь Ъ2,

С (коммунант Т-группы С) - идеал Т-группы С вида С = [С, Сг].

Абелева Т-группа - Т-группа, коммутант которой равен {0}.

Класс Т-групп - множество Т-групп, которое вместе с каждой своей Т-группой содержит все изоморфные ей Т-группы.

(X) - класс мультиоператорных Т-групп, порожденный множеством Т-групп X.

С - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами.

Ш - класс всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Х-группа - Т-группа, принадлежащая непустому множеству Т-групп X.

51 (2(1) - класс всех абелевых С-групп (ШТ-групп).

3 (З1)- класс всех простых С-групп (ЯЯ-групп).

^ (Г2х) - непустой подкласс класса 3 (Зг), О,1 — 3\0, = ЗДГ^).

Л(С) - класс всех простых С-групп (ЯЛ-групп), изоморфных композиционным факторам С-группы (ЯЯ-группы) 6?.

Я(Х) - объединение классов Я(С) для всех С из непустого множества С-групп (ЯЛ-групп) X.

0,-группа (Ох-группа) - С-группа (ЭДТ-группа) С, такая что Д(С) С О, {Я{в) С

£п (ЯЛ^) - класс всех ^-групп (Ох-групп), принадлежащих С (ЯЯ).

= (С : С имеет идеал N Е X с (?/А Е 2)), где X и 2} - С-классы.

т - подгрупповой ЗС-функтор, сопоставляющий всякой Т-группе из непустого класса Т-групп X некоторую систему ее Т-подгрупп т(Сг), так что: 1) С? Е т((?) для любой Т-группы С Е X; 2) для любого эпиморфизма яр : Л -)• В, где А, В е X, ж любых Т-групп Н Е т(А) я К £ т{В) имеет место Я^ Е т(Б) и АГ^1 Е г (А).

Формация Т-групп (корадикальпый класс) - класс Т-групп, для которого выполняются следующие условия: 1) если Е А <1 С, то С/А Е # (класс # д-замкнут); 2) если С/Ах Е £ и 0/А2 Е Ах, А2 <] С, то С/Ах П А2 Е £ (класс ^ Яо-замкнут).

(#-корадикал Т-группы 6?) - пересечение всех идеалов Т-группы 6?, фактор-группы по которым принадлежат формации Т-групп

С-формация (Ш-формация) - формация мультиоператорных Т-групп, принадлежащих классу С (классу ЯЛ).

0 - пустая формация Т-групп.

(0) - нулевая формация Т-групп.

Тривиальные подформации С-формации (971-формации) $ - {0, (О),^}.

Э-формация - формация, принадлежащая непустому множеству С-формаций (ШТ-формаций) Э.

Л = $1 П $2, где Зь #2 - О-формации.

&/огтХ - Э-формация, порожденная классом С-групп (ЭДТ-групп) X.

V© #2 = @/огт($1 и #2), где - 6-формации.

т-замкнутая формация Т-групп - формация Т-групп такая что для любой Т-группы Сб^.

т/огтХ - т-замкнутая 9Я-формация, порожденная непустым множеством ШТ-групп X.

\/Т(5'гК £ -0 = г/огт(иге/5'г), где Е 1} - произвольная совокуп-

ность т-замкнутых Ш1-формаций.

+ А{2 +

$) о $ = (С : Е 5}), где # - £-класс Т-групп и $ - (^-формация.

Класс Фиттинга Т-групп (радикальный класс) - класс Т-групп, для которого выполняются следующие условия: 1) если С Е $ и ТУ <1 С, то N £ $ (класс # 5п-замкнут); 2) если 7УЬ ТУ2 < С и УУЬ Е У, то ^ + Е # (класс ^ Д-замкнут).

Формация Фиттинга - формация, являющаяся классом Фиттинга.

(Х-радикал Т-группы (7) - сумма всех идеалов Т-группы (7, принадлежащих классу Фиттинга X.

= (Оп1(С?) = СаЛо1).

On>,n{G) = G<rQl(rn {Oty^G) = (Зщцаяп,)-

93 о X = (G : G/G(& G X), где 23 - С-класс Фиттинга Т-групп и X -С-класс Т-групп.

О,F-функция (£l\F-функция) - функция /: Q U {fi'j {формации С-групп} (/: fii U —>• {формации ЗЯ-групп}).

r{l\F-функция - OiF-функция, все значения которой являются т-замкнутыми ШТ-формациями.

Пieifi - OF-функция (QiF-функция) /, такая что /(Л) = r\ieifi(A) для всех А е О. U {О'} (для всех А G iii U где {/¿|г G 1} - произвольный

набор OF-функций (QiT-функций).

FR-функция - функция (р: 3 —> {непустые формации Фиттинга С-групп} (ip\ 3\ —\ {непустые формации Фиттинга Ш1-групп}).

Г^-расслоенная формация Т-групп с Q-спутником / и направлением <р ({IF-формация) - множество Т-групп вида QF(f,cp) — (G 6 С : G/On(G) G /(О') и G/G^a) G f{A) для всех Л € П П Я((?)), где / - ОТ-функция, р -FR- функция.

Vtx-расслоенная формация Т-групп с ¡^-спутником / и направлением р (Q\F-формация) - множество Т-групп вида QiF(f, р) — (G G ЭДТ : G/O^G) G /(fli) и G/G^) G /(А) для всех A 6 fij П £((?)), где / -QiF-функция, if - Т.й!-функция.

тО,1~расслоенная Ш-формация - ^-расслоенная т-замкнутая Ш-формация.

0,-свободная (Qi-свободная) формация Т-групп (QFr-формация (Q\Fr-формация)) - формация р) (Cl\F(f, р)) с направлением р = таким

что уо(^) — для любого i G 3 (<£>о(-<4) — Жа< для любого A G 3i).

0,-каноническая (Q,\-каноническая) формация Т-групп (0,К-формация (iliК-формация)) ~ формация QF(f, р) (£l\F(f, (р)) с направлением (р = р2 таким что <Р2'(А) — для любого A G 3 (р^(А) = ЭДТл'ЯЯл для любого

А £Зг).

0,-биканоническая (0,\-биканоническая) формация Т-групп (0,В-формация {£1\В-формация)) - формация !Г2Т(/, ср) (ОхТ(/, <,?)) с направлением <р = таким что <^2(^4) = £а' для любой неабелевой Т-группы А £ 3 и ^ {А) — С^'Сл для любой абелевой Т-группы А £ 3 (<£2 (А) = 9Ла' Для любой неабелевой Т-группы А £ 31 и ^(А) = Ша'Ша для любой абелевой Т-группы Л Е Зг).

Внутренний (интегрированный) Г2-спутник Г2Т-формации $ - Г2-спутник /, такой что /(Л) С # для любого А Е О и {О'}.

Минимальный 0,-спутник (тГ^-спутник) ОТ-формации (гГ^Т-формации) - (^-спутник (тОх-спутник), который является минимальным элементом множества всех (2-спутников (тОх-спутников) Г2Т-формации (тГ^Т-формации).

Максимальный 0,-спутник ОТ-формации - £7-спутник, который является максимальным элементом множества всех (^-спутников Г2Т-формации.

Полный 0,-спутник (1Т-формации - Г^-спутник 1г Г2Т-формации такой что /¿(¡Г2') = $ и К{А) = Са/(А) для любого А £ О, П 21, где / - минимальный О-спутник Г2Т-формации

ГЮ-спутник - О-спутник / ОТ-формации, такой что /(А) £ О для любого А Е Г2 и где Э - непустое множество ^-формаций.

г-направление (правильное) - направление <р Г2Т-формации (О1Т-формации), удовлетворяющее равенству Са'<р(А) — (р(А) для любого А £ 3 (9Ла,1р(А) = <р(А) для любого А £ 3\).

Ь-направление - направление <р ОТ-формации, такое что (р(А)&А — для любой абелевой Т-группы А £ 3.

ьа-направление, где А £ 3 - направление ср Г2Т-формации, такое что

<р(А)£А = <р(А).

п-направление - направление (р ОТ-формации, такое что А ^ <р(А) для любой неабелевой Т-группы А £ 3.

Дп — ~ множество всех ^-расслоенных С-формаций с направ-

лением (р, обладающих -спутником, где в - непустое множество С-

формаций.

ОТ^ - множество всех п-кратно (2-расслоенных С-формаций с направлением (р, обладающих хотя бы одним Г2Т^_гспутником.

тОх^п - множество всех п-кратно тГ^-расслоенных ЭДТ-формаций с направлением у?, обладающих хотя бы одним г01^_1-спутником.

- множество всех тотально Г^-расслоенных С-формаций.

0,Ггп (тО,\Ргп) - множество всех п-кратно О-свободных (тГ^-свободных) С-формаций (Щ1-формаций).

ОТгоо - множество всех тотально О-свободных С-формаций.

£1Кп (тО,1Кп) - множество всех п-кратно канонических (тГ^х-канонических) С-формаций (ШТ-формаций).

О^Коо - множество всех тотально (^-канонических С-формаций.

ОВп (тПгВ п) - множество всех п-кратно (1-биканонических (т(^х-биканонических) С-формаций (ШТ-формаций).

(2Воо - множество всех тотально (2-биканонических С-формаций.

£}Гп(Х,1р) (аГоо(Х, ср)) - ОТ^-формация (П^-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

гВп(Х, |р) - тПх^-формация, порожденная непустым множеством ЭДТ-групп X.

ПГгп(Х) (ОТгоо(Х)) - (2Тгп-формация (ОТгоо-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

0,Кп(Х) (^К00(Х)) - (Жп-формация (Г^оо-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

ПВп(Х) (ПДо(£)) - ПВ

„-формация (ГШоо-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

e -О — гДе {fol« G /} ~ множество п-кратно fi-

расслоенных С-формаций.

V^(fo|* € /) = ri2iF1f(Ut6/5'i), где 6 /} - множество n-кратно

fil-расслоенных r-замкнутых ЭДТ-формаций.

е /)(А) = G /) для любой Л G OU {fi'}, где

{fi\i G /} - система ОТп-функций.

Vft^C/iH £ = G I) для любой Л G fii U {fii'}, где

{fi\i El} - система rfiiFjj-функций.

Решетка - частично упорядоченное множество, каждое двухэлементное подмножество которого обладает как точной верхней, так и точной нижней гранью.

Полная решетка формаций в £ - непустое множество ^-формаций в, такое что {0,(0), £} С Э и пересечение любой совокупности 6-формаций принадлежит в, где £ - непустая подформация в С. Если £ = С, то 0 -полная решетка.

Lq{30 ~ решетка всех 9-подформаций Э-формации где 9 - полная решетка формаций.

-kf!Ki(3) - решетка всех fiF^-подформаций ^-формации # G fiгде n G No и cp - произвольное направление.

Lr^FxiB) ~ решетка всех rfiiF^f-подформаций ЯЯ-формации $ G tQiF%, где n G No и ip - произвольное направление.

Модулярная решетка - решетка в, такая что для любых Зз £

где fo С справедливо (fo Ve #2) Л £3 = fo V© (£2 А Зз)-

¿в(Ю ~ в-длина ©-формации где Э - полная и модулярная решетка формаций Т-групп.

^Кг(З) _ fi-f1^-длина С-формации £ £ где n G N0 и <р0 < р.

W^FxiB) - Fn -Длина 93?-формации 3 G rfixF^, где n G N0 и ip0 < p.

Компактный элемент - элемент а полной решетки Ь, такой что для любого подмножества X С Ь из а < зирХ следует а < вирХх для некоторого конечного подмножества Х\ С X.

Алгебраическая решетка - полная решетка, любой элемент которой является решеточным объединением компактных элементов.

Атом решетки - элемент 03 решетки в с нулем 0© такой, что 03 ф 0© и из 0© С £ С 03, где € в, всегда следует = 0© или .$0 = 03.

Ограниченная решетка - решетка в, в которой 0© 6 Э и существует 3 Е О такая, что для произвольной £ 0 выполняется С

Решетка с дополнениями - ограниченная решетка Э, в которой для любой непустой 03 Е 0 существует Е в такая, что ОЗЛ5э = О©иОЗ\/0^=:^', где $ - максимальный элемент решетки В.

Дистрибутивная решетка - решетка 0, такая что для любых $2, справедливо V© Л = А Зз) V© Л &>).

Булева решетка - дистрибутивная решетка с дополнениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их применения»

Введение

В 50-х годах прошлого века началось интенсивное развитие общей теории алгебраических систем, результатом чего стала сформировавшаяся в работах Биркгофа Г., Кона П., Куроша А.Г., Мальцева А.И. и др. теория классов алгебраических систем. Это направление является одним из наиболее важных при изучении алгебраических систем, поскольку нередко успех в исследовании некоторой системы определяется строением соответствующих классов.

В первые годы развития теории классов исследовались лишь классы, заведомо содержащие бесконечные алгебраические системы - многообразия [61, 67]. В дальнейшем наряду с многообразиями были выделены и изучались и другие классы алгебраических систем (реплично полные классы, квазимногообразия, радикальные классы и др.). Классам систем посвящены многие работы Мальцева А.И., например [35]. Напомним, что непустой класс X алгебраических систем сигнатуры Е является многообразием тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) декартово произведение произвольной последовательности Х-систем есть 3£-система; 2) любая подсистема произвольной Х-системы является ^-системой; 3) любой гомоморфный образ произвольной Х-системы есть Х-система. Оригинальный подход к изучению свободных алгебр в некоторых их многообразиях содержится в работе [16]. Однако, многие классы систем с условиями конечности не являются многообразиями, таковым является и рассматриваемый в настоящей диссертации класс мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами. Поэтому при исследовании таких алгебраических систем имеет смысл использовать классы, "похожие"на многообразия, но необязательно наследственные и необязательно замкнутые относительно бесконечных декартовых произведений. Этими классами как раз являются формации..

Класс алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений или, коротко, {<£, Яо}-замкнут [59]. Понятие формации конечных групп бы-

ло введено в 1963 году Гашюцем В. [64] в связи с разработкой общих методов отыскания подгрупп в конечных разрешимых группах, и уже в этой работе функциональные методы нашли применение к построению формаций. А именно, Гашюцем В. были определены локальные формации, занимающие центральное место в теории формаций. Дальнейшее развитие функциональный подход к изучению формаций нашел в работе [57] Шеметкова Л.А., в которой были определены ступенчатые, примарно постоянные, однородные и композиционные формации конечных групп. Отметим, что композиционные формации были построены также Бэром Р. (см. [63]), а Хартли Б. в работе [65] определил локальные классы Фиттинга.

Следует заметить, что до конца 70-х годов теория формаций была сосредоточена в русле теории конечных групп. Переломным в этом отношении стал 1978 год, когда была опубликована монография [58], в которой были систематизированы и обобщены на произвольные конечные группы многочисленные применения теории формаций конечных разрешимых групп. Постепенно стало понятно, что многие идеи и конструкции из теории формаций конечных групп могут быть использованы для изучения универсальных алгебр. В книге [59] систематизированы исследования по теории формаций алгебраических систем и их применениям к мультикольцам и конечным алгебрам мальцев-ского многообразия.

Идея построения новых видов формаций и классов Фиттинга привела к необходимости рассмотрения (¿-спутников (П-спутников) различных направлений (см. [14, 70]), причем направление О-спутника / определяется как отображение класса 3 всех конечных простых групп во множество всех непустых формаций Фиттинга. Ясно, что таких направлений существует бесконечное множество, и значит, для фиксированного непустого класса конечных простых групп О можно построить бесконечное множество новых видов формаций, получивших в [14] название О-расслоенных формаций конечных групп. В последние годы интенсивно исследуются частично локальные (ы-локальные) и частично композиционные (Г2-композиционные) формации и классы Фит-

тинга конечных групп (см., например, [11, 46, 47, 48]).

В изучении строения О-расслоенных формаций существенную роль играют их минимальные и максимальные О-спутники. Результаты о строении минимальных и максимальных спутников ш-локальных и О-композиционных формаций конечных групп содержатся в [И, 46, 47, 48]. В работах [3,13,14, 70] приведено строение минимальных и максимальных спутников аьвеерных и Г2-расслоенных формаций и классов Фиттинга конечных групп.

При исследовании алгебраических систем важное значение имеет взаимодействие классов таких систем, то есть различные операции на классах систем. Формационное и Фиттинговое произведения были введены Гашюцем в 1969 году. В работах [36, 37] Мальцев А.И. ввел понятие произведения произвольных классов алгебраических систем и обосновал необходимость выделения и изучения различных группоидов классов алгебраических систем. В книге [58] изучено произведение формаций конечных групп и его свойства. Произведения О-расслоенных формаций конечных групп исследовались в работе [70].

Особое место в теории классов алгебраических систем занимают исследования решеток, как наиболее широко используемых в различных приложениях и являющихся основными составляющими алгебры классов. Решеточные методы и конструкции позволяют получить как более простые доказательства уже известных фактов, так и вывести новые результаты. Для любых двух формаций и полагают А = П #2, V $2 - ¡огт($ 1 и £2)- Всякое множество формаций, замкнутое относительно операций А и V, является решеткой [59]. Изучению тех или иных свойств решеток формаций посвящено большое число работ. В частности, многие исследования проведены в классе С всех конечных групп. Так, Скиба А.Н. в работах [43, 44] установил алгебра-ичность решеток всех формаций конечных групп, всех п-кратно локальных формаций конечных групп. В книге [59] Шеметков Л.А. и Скиба А.Н. получили результаты о модулярности решеток всех формаций конечных групп, всех п-кратно локальных формаций конечных групп. В [68] Сафонов В.Г.

доказал модулярность решетки всех тотально насыщенных формаций конечных групп. Полнота и модулярность решетки п-кратно ^-расслоенных формаций конечных групп были исследованы Ведерниковым В.А. и Коптюх Д.Г. в [12]. Скибой А.Н. в [45] изучены п-кратно локальные формации конечных групп, у которых решетка п-кратно локальных подформаций булева. Описание п-кратно Г2-расслоенных формаций конечных групп с булевой решеткой п-кратно ^-расслоенных подформаций содержится в работе [41]. В [30] исследованы цепные полугрупповые кольца. Кольца и модули с дистрибутивными решетками идеалов и подмодулей соответственно изучены в работах [54, 55]. Формации мальцевских алгебр с системами дополняемых подформаций исследовались в работе [49]. Другие результаты относительно решеток формаций содержатся в работах [2, 42, 60, 69].

Используя свойства полноты и модулярности решетки, Скиба А.Н. в работе [44] ввел понятие длины формаций. В [44] изучены локальные формации конечных групп /-длины 5. А-расслоенные формации конечных групп длины 3 исследовались в работах [10, 12], а в работе [4] - формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3.

Тесную связь с классами алгебраических систем имеют подсистемные функторы, то есть согласованные с изоморфизмами систем функции, выделяющие в алгебраических системах некоторые совокупности подсистем. Пусть каждой алгебраической системе А класса X сопоставлена некоторая совокупность ее подсистем г (А). Будем говорить, что г - подсистемный функтор на X [43, с. 34], если выполняются следующие условия: 1) А Е т(А) для любой алгебраической системы А Е X; 2) для любого эпиморфизма ф : А —> В7 где А, В Е X, и любых алгебраических систем Н Е т(А) и К Е т(В) имеет место Е т(В) и Е т(А).

В теории конечных групп первоначально понятие подгруппового функтора использовалось в основном для обобщения конкретных теоретико-групповых объектов в направлении выделения и аксиоматизации их ключевых свойств. В работе [29] разработаны связи подгрупповых функторов с

классами групп и применены подгрупповые функторы к исследованию строения непростых конечных групп. Скиба А.Н. в [43] применил метод подгруп-повых функторов для изучения свойств локальных формаций, замкнутых относительно систем подгрупп, выделяемых подгрупповыми функторами. Подгрупповые функторы позволили решить и некоторые задачи, тесно связанные с исследованием формаций конечных групп - изучение свойств решетки таких формаций. В частности, положительный ответ на поставленный в этой работе Скибой А.Н. вопрос об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций конечных групп [43, вопрос 4.4.6] дал в своей работе [40] Сафонов В.Г.

Понятие подсистемного функтора охватывает все совокупности подсистем некоторой алгебраической системы. Таким образом, появляется возможность с единых позиций рассмотреть формации алгебраических систем, замкнутые относительно той или иной совокупности подсистем. Результаты исследования r-замкнутых формаций конечных групп и их решеток содержатся в работах [15, 27, 28, 32, 39, 40, 43, 56]. Например, решетки т-замкнутых n-кратно локальных формаций конечных групп исследованы Скибой А.Н. в [43]. В [15] Воробьевым H.H., Царевым A.A. и [28] Жизневским П.А. изучены свойства решетки всех т-замкнутых n-кратно ^-композиционных формаций конечных групп. Свойства решеток всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций и всех т-замкнутых тотально канонических формаций конечных групп установлены Сафоновым В.Г. и Егоровой В.Е. в работах [39, 40] и [27] соответственно.

Дальнейший анализ понятия расслоенности формации конечных групп и групп, обладающих конечными композиционными рядами [6], показал, что понятие расслоенности формации носит более универсальный характер и может быть вполне применено к построению расслоенных формаций универсальных алгебр, обладающих условиями минимальности и максимальности для идеалов.

Промежуточное место между общими универсальными алгебрами и такими классическими алгебраическими образованиями как группы, кольца, полугруппы и т.д. занимают мультиоператорные Т-группы. Аддитивная группа б с нулевым элементом 0 называется мультиоператорной Т-группой с системой мультиоператоров Т (или, коротко, Т-группой), если в С задана еще некоторая система п-арных алгебраических операций Т при некоторых п, удовлетворяющих условию п > 0, причем для всех I £Т выполняется условие ¿(0,..., 0) = 0, где слева элемент 0 стоит п раз, если операция £ п-арна (см. [33, гл. III]; [51, гл. VI, с. 356]; [66]).

Т-группу С можно считать универсальной алгеброй относительно операций аддитивной группы и операций из Т. С другой стороны, Т-операторные группы объединяют такие понятия как модули и мультикольца (дистрибутивные Т-группы). Понятие Т-группы превращается в понятие кольца, если аддитивная группа этой Т-группы - условимся так называть группу по сложению - коммутативна и если система операций Т состоит из одного бинарного умножения, связанного со сложением законами дистрибутивности. При пустой системе операций Т получаем понятие группы. Однако можно привести примеры, показывающие, что свойства Т-группы существенно отличаются от свойств ее аддитивной группы [9, примеры 1-2].

Цель настоящей диссертации - построить различные классы Г2-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, ранее известные лишь в классе конечных групп, дать описание строения их минимальных и полных Г2-спутников, изучить произведения и свойства решеток таких формаций, а также исследовать Пх-расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решетки.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Характерной чертой в общей теории алгебраических систем является рассмотрение их классов, в частности формаций алгебраических систем. Напомним, что класс алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений [59]. Понятие формации конечных групп было введено в 1963 году Гашюцем В. [64]. В этой работе Гашюц В. определил локальные формации, используя функцию, отображающую множество простых чисел во множество формаций конечных групп. В [57] Ше-метков Л.А. ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех конечных простых групп во множество формаций конечных групп. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Композиционные формации составляют, по сравнению с локальными, более широкий класс формаций, причем каждая локальная формация является композиционной.

Идея построения новых видов формаций и классов Фиттинга привела к необходимости рассмотрения ^-спутников (О-спутников) различных направлений (см. [14, 70]), причем направление О-спутника / определяется как отображение класса 3 всех конечных простых групп во множество всех непустых формаций Фиттинга. Ясно, что таких направлений существует бесконечное множество, и, значит, для фиксированного непустого класса конечных простых групп О, можно построить бесконечное множество новых видов формаций, получивших в [14] название Г2-расслоенных формаций конечных групп.

Эта работа имела принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга. Введенное понятие О-расслоенной формации конечных групп позволило не только с единых позиций изучать ранее определенные типы формаций, но и ввести бесконечное множество новых типов формаций, путем задания направления. Наибольшие применения среди новых типов формаций нашли О-канонические и О-биканонические фор-

мации конечных групп, направления которых интегрируют в себе основные признаки направлений локальной и композиционной формаций. В последние годы интенсивно исследуются частично локальные (ы-локальные) и частично композиционные (^-композиционные) формации и классы Фиттинга конечных групп (см., например, [11, 46, 47, 48]). Изучению свойств расслоенных формаций конечных групп, строения их минимальных и максимальных спутников и произведений таких формаций посвящен ряд работ Ведерникова В.А. [6, И, 12, 14, 70] и Сорокиной М.М. [14, 52, 53].

Одним из основных подходов к изучению формаций является исследование свойств решеток их подформаций. Существует большое число работ, посвященных таким свойствам решеток, как полнота, модулярность, алге-браичность и дополняемость. Например, в книге [59] получены результаты о модулярности решеток всех формаций конечных групп, всех п-кратно локальных формаций конечных групп. В [68] доказана модулярность решетки всех тотально насыщенных формаций конечных групп. Свойства полноты и модулярности решетки п-кратно ^-расслоенных формаций конечных групп изучены в [12]. В работах [43, 44] установлена алгебраичность решеток всех формаций конечных групп, всех п-кратно локальных формаций конечных групп. В [45] изучены п-кратно локальные формации конечных групп, у которых решетка п-кратно локальных подформаций булева, аналогичные результаты для п-кратно О-расслоенных формаций конечных групп получены в [41]. Другие результаты относительно решеток формаций содержатся в работах [2, 42, 49, 60, 69].

Свойства полноты и модулярности решетки формаций дают возможность рассматривать длину формации. Понятие длины формации было введено Скибой А.Н. в работе [44]. В [44] изучены локальные формации конечных групп ¿-длины 5. ^-расслоенные формации конечных групп длины 3 исследовались в работах [10, 12], а в [4] - формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3.

В различных приложениях теории классов алгебраических систем часто

приходится использовать формации, замкнутые относительно той или иной совокупности подсистем. Понятие подсистемного функтора (в терминологии работы [43]) охватывает все рассматриваемые при этом совокупности подсистем. Это позволяет наряду с организующими возможностями подсистем-ных функторов использовать их как аппарат исследования классов алгебраических систем. Результаты исследования т-замкнутых формаций конечных групп и их решеток содержатся в работах [15, 27, 28, 32, 39, 40, 43, 56]. Например, свойства решеток всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций и всех т-замкнутых тотально канонических формаций конечных групп установлены в работах [39, 40] и [27] соответственно. В [15] и [28] изучены свойства решетки всех т-замкнутых п-кратно си-композиционных формаций конечных групп.

Следует отметить, что до настоящего времени О-расслоенные формации были построены лишь для класса конечных групп. Однако дальнейший анализ понятия расслоенности формации конечных групп и групп, обладающих конечными композиционными рядами [6], показал, что понятие расслоенности формации носит более универсальный характер и может быть вполне применено к построению расслоенных формаций универсальных алгебр, обладающих условиями минимальности и максимальности для идеалов. Поэтому рассмотренная в настоящей диссертации задача построения О-расслоенных формаций для класса мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами является актуальной. Заметим, что мультиоператорные Т-группы объединяют в себе такие понятия как группы, кольца, модули и мультикольца. Для указанных алгебр результаты данной диссертации будут справедливы как следствия.

Кроме того, в диссертации получено описание минимальных и полных О-спутников для основных классов Г2-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами, установлено применение О-спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций, изучены Г2х-расслоенные т-замкнутые формации мультиоператор-

ных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решетки - все это также принадлежит к современному направлению теории алгебраических систем и их классов.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является построение различных классов ^-расслоенных формаций мультиоператор-ных Т-групп с конечными композиционными рядами, описание строения их минимальных и полных (7-спутников, изучение произведений и свойств решеток таких формаций, а также исследование (^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решеток.

Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи:

1) построить различные классы расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дать описание строения их минимальных и полных спутников, а также установить применение спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций;

2) изучить полные, модулярные, алгебраические и булевы решетки (7-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами; получить полное описание Г2-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, имеющих длину < 2;

3) построить различные классы расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

4) исследовать полные, модулярные, алгебраические и булевы решетки (^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп; установить полное описание (^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, с длиной < 2.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются расслоенные формации мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами, и расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп; предметом исследования - минимальные спутники, произведения и решетки расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, а также решетки расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории алгебраических систем, теории классов алгебраических систем, а также методы общей теории решеток.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций алгебраических систем, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) описание различных классов расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; описание строения их минимальных и полных спутников, а также произведений таких формаций;

2) полнота, модулярность и алгебраичность решетки ОТ^ всех п-кратно ^-расслоенных С-формаций для любого п Е N0 с направлением <р, ро < р; описание п-кратно П-расслоенных С-формаций с ОТ1^-длиной < 2, где п £ N0 ш ро < р; описание п-кратно ^-расслоенных С-формаций с г-направлением </?, таким, что р(А) С для всех А £ 3, у которых решетка всех п-кратно Г2-расслоенных подформаций с направлением р является булевой, где С - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами;

3) описание различных классов расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

4) полнота в ШТ, модулярность и алгебраичность решетки rfliF^ всех п-кратно Qi-расслоенных r-замкнутых ЗЯ-формаций для любого п Е No с направлением (р, <ро < ip\ описание п-кратно Oi-расслоенных г-замкнутых ШТ-формаций с тГ^Т^-длиной < 2, где п Е No и щ < <р; описание п-кратно fii-расслоенных r-замкнутых ШТ-формаций с r-направлением ip, таким, что (р(А) С Ша'Ша для всех А Е у которых решетка всех п-кратно Qi-расслоенных r-замкнутых подформаций с направлением <р> является булевой, где Ш - класс всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно или при непосредственном его участии.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания института математики и информатики Московского городского педагогического университета (2008-2011); на научно-практической конференции "Роль научных исследований в преподавании математических и естественнонаучных дисциплин "(Москва, 2009); на международной алгебраической конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Кострикина (Нальчик, 2009); на VIII международной школе-конференции "Теория групп и ее приложения", посвященной 75-летию В.А. Белоногова (Нальчик, 2010); на международной конференции "Алгебра, логика и приложения "(Красноярск, 2010); на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры МГУ и 70-летию A.B. Михалева (Москва, 2010); на 42-ой Всероссийской молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики "(Екатеринбург, 2011); на 8-ой международной алгебраической конференции в Украине, посвященной 60-летию со дня рождения В.М. Усенко (Лу-

ганск, 2011); на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011); на международной конференции "Алгебра и математическая логика", посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань, 2011); на международной конференции "Мальцевские чтения", посвященной 60-летию со дня рождения С.С. Гончарова (Новосибирск, 2011).

Опубликованность результатов. Основные научные результаты диссертации опубликованы в двух рецензируемых журналах [9, 25], в материалах трех [7, 18, 21] и тезисах пяти [19, 22, 23, 24, 62] международных и всероссийских конференций, в одной депонированной работе [26], в одном сборнике трудов [20] и в одном препринте [8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 70 наименований. Объем диссертации - 120 страниц.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

Глава 1 Обзор результатов работы

Ниже охарактеризовано содержание диссертации по главам.

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

Глава 3 "Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их применения "включает в себя четыре раздела.

Характерной чертой в общей теории алгебраических систем является рассмотрение их классов, в частности формаций алгебраических систем. Методы общей теории формаций используются для изучения групп, колец, модулей, причем в изучении формаций этих алгебр имеется некоторый параллелизм. Исходя из этого, целесообразным является рассмотрение их свойств с единых позиций. Такой единый подход можно осуществить, рассматривая формации мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами.

Аддитивная группа G с нулевым элементом 0 называется мулътиопе-раторной Т-группой с системой мультиоператоров Т (или, коротко, Т-группой), если в G задана еще некоторая система n-арных алгебраических операций Т при некоторых п, удовлетворяющих условию п > О, причем для всех t 6 Т выполняется условие t(0,..., 0) = 0, где слева элемент 0 стоит п раз, если операция t п-арна (см. [33, гл. III]; [51, гл. VI, с. 356]; [66]). Цель настоящей главы - построить различные классы расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами, дать описание строения их минимальных и полных спутников, а также установить применение спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций.

Раздел 3.1. "Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп".

В работе [14] были построены ^-расслоенные формации конечных групп. Функциональный подход, примененный в [14] к изучению свойств формаций конечных групп, также может быть использован для изучения формаций мультиоператорных Т-групп, принадлежащих классу С всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами.

3.1.4. Определение. Формация = (С е € : <2/Оп(<3) е ¡{О!) и (З/Сгу,^) е /(А) для всех А в А П Я(С)), где / - ОТ-функция, <р - ГЛ-функция, называется П-расслоепной формацией Т-групп с Г2-спутником / и направлением

Задавая конкретное направление р, в работе определены Г2-свободная (пг-направление (ро), П-каноническая (бг-направление (р^) и Г2-биканоническая (бпг-направление Р2) С-формации (определение 3.1.6). Все перечисленные множества Г2-расслоенных формаций уже в классе всех конечных групп являются попарно различными [14, 70].

Условия, при которых С-формация является ^-расслоенной, отражены в лемме 3.1.5.

3.1.5. Лемма. Пусть Ш - С-формация, Я(Ш) П О = 0. Тогда Ш = где т - С1Т-функция такая, что т(П') = Ш, т(А) = 0 для всех

А 6 Г2, и р - произвольная ЕЯ-функция. В частности, пустая формация 0 и нулевая формация (0) Т-групп являются НИ-формациями для любого непустого класса С 1

Раздел 3.2. "Минимальные спутники расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп".

Множество всех Г2Т-функций является частично упорядоченным с отношением <. Основной задачей раздела является описание строения минимальных спутников различных классов расслоенных С-формаций и установление их применения к исследованию некоторых свойств решеток таких формаций.

Пусть £ - непустая подформация в С, в - непустое множество £-формаций. Множество в называется полной решеткой формаций в £, если

{0,(0), £} С В и пересечение любой совокупности В-формаций принадлежит В. Если £ = С, то полную решетку В в £ будем коротко называть полной решеткой.

Через при п > 1 обозначается множество всех п-кратно

расслоенных С-формаций с направлением (р, обладающих ГЮ^^-спутником. В частности, при В = Г, где Е - множество всех ^-формаций, обозначает множество всех п-кратно О-расслоенных ^-формаций. Через ПТгп, £1Кп и ГШп обозначаются множества всех п-кратно ^-свободных, п-кратно (7-канонических и п-кратно (2-биканонических С-формаций соответственно. Положим (Г2Тгоо, (Жоо и ГШоо) - множество всех тотально (2-расслоенных (соответственно Г2-свободных, О-канонических и Г2-биканонических) С-формаций.

Основным результатом раздела является теорема 3.2.4.

3.2.4. Теорема. Пусть X - непустой С-класс, В - полная решетка С-формаций. Тогда

1) Ап = ГЮ'^ является полной решеткой для любого п 6 N0 и любого направления <р;

2) если $ = Ап/оггпХ, п £ 14, (р$ < то $ обладает единственным минимальным Ап-1~спутником f таким, что /(ГУ) -- Ап_1/огт(С/Оп(С) : С Е X), /(А) — Дп_1/07-т(<?/<3^) : в Е X) для всех А е ПП Я(Х) и ¡(А) = 0, если А Е

3) пусть /г - минимальный Ап_1-спутник формации £ Дгг, г = 1,2, п 6 N и < Тогда ^ С ^ в том и только в том случае, если /1 < /2;

4) пусть /г - минимальный Ап^1-спутник Ап-формации г Е /, п Е N и (ро < (р. Тогда Ап-формация $ = Дп/огт(иг6/5гг) обладает минимальным Дп_1 -спутником / таким, что /(А) = Дп_1/огш(и^е//г-(-Д)) для всех А €

П и {О7};

5) Дп является модулярной решеткой для любого п € N0 и любого направления (р, <£о < <Р-

В качестве следствий к данной теореме получено описание строения ми-

нимальных П-спутников Г2-расслоенных С-формаций.

3.2.7. Следствие. Пусть X - непустой класс групп. Тогда п-кратно О-расслоенная С-формация $ = р), где п Е N и ро < р, обла-

дает единственным минимальным Оспутником / таким, что /(О') = АТп_х((С/Оп(С) : С Е Х),р), ¡{А) = : С Е Х),р) для всех

А Е П П Я(Х) и ¡(А) = 0, если А Е

Аналогичные утверждения для Г2Тгп-формации, Г2АГп-формации и ГШП-формации (АТ^-формации, О^Гоо-формации, ОА^-формации и ГШоо-формации) получены в следствиях 3.2.13, 3.2.15 и 3.2.17 (следствиях 3.2.8, 3.2.14, 3.2.16 и 3.2.18) соответственно.

Некоторые свойства решетки всех п-кратно Г2-расслоенных С-

формаций будут справедливы как следствия из теоремы 3.2.4.

3.2.6. Следствие. ОА^3 является полной решеткой для любого п Е N0 и любого направления р.

3.2.26. Следствие. является модулярной решеткой для любого

п Е N0 и любого направления р, ро < р.

Свойства полноты и модулярности решеток £1Ргп, и ГШП, где п Е N9, установлены в следствиях 3.2.12 и 3.2.27 соответственно.

Раздел 3.3. "Полные спутники расслоенных формаций мультиоператор-ных Т-групп".

В изучении строения Г2-расслоенных формаций существенную роль играют их минимальные и максимальные Г2-спутники. Данный раздел посвящен вопросу существования и единственности максимальных и полных внутренних Г2-спутников О-расслоенных ^-формаций для некоторых направлений р>.

Пусть 3 ^-расслоенная С-формация с направлением р таким, что ро < р, и минимальным О-спутником /. Г2-спутник Н А-расслоенной С-формации $ назовем полным, если /¿(ГУ) = $ и Ь(А) — для любого А Е А П 21.

3.3.6. Следствие. Пусть $ - п-кратно (тотально) О.-расслоенная деформация с Ьп-направлением р таким, что ро < р. Тогда $ обладает единственным полным 0,-спутником Н таким, что Н(А) — % для любого А Е

В качестве следствий установлено существование и единственность полных внутренних (¿-спутников (Жп-формации (Г^оо-формации) и Г2Вп-формации (ОД^-формации) (следствия 3.3.10 и 3.3.12 соответственно).

Существование и единственность максимального внутреннего О-спутника О-расслоенной (^-формации с п-направлением (р, < <р, доказаны при условии О, П 21 = 0.

3.3.16. Следствие. Пусть $ - п-кратно (тотально) (2-расслоенная С-формацня с п-направлением (р таким, что щ < <р. Если (7 П 21 = 0, то $ обладает единственным максимальным внутренним £1-спутником Д таким, что ЦА) = # для любого А Е {Г2'} и (1

Строение и единственность максимальных внутренних О-спутников (7Тгп-формации (ИТгоо-формации) и (Шп-формации (ОД^-формации) содержатся в следствиях 3.3.20 и 3.3.22 соответственно. Заметим, что вопрос существования единственного максимального внутреннего ("¿-спутника для О-расслоенной С-формации с произвольным направлением <р, <ро < (р, остается открытым (вопрос 3.3.24). Хотя в классе всех конечных групп ответ на него получен для (2-свободной, (2-канонической, (2-биканонической и 0,-композиционной формаций (см. [9, с. 1005]).

Раздел 3.4. "Произведения расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп".

Различные операции на классах алгебраических систем имеют важное значение при изучении алгебраических систем. В данном разделе установлено, что при п > 1 множество всех п-кратно (7-расслоенных (^-формаций, обладающих О^^-спутником, является моноидом относительно операции умножения формаций для бесконечного множества г-направлений кр, где

(р < (Р2 или (р — <р>2 ■

Напомним, что 5э о £ = (С : Е 5}) называется формационным произведением С-класса и С-формации

3.4.5. Следствие. Пусть тп иН-внутренние 0,-спутники О-формаций (0,Т£-формаций) Ш и соответственно с г-направлением (р < <р2- Тогда

= ЯЯ о является -формацией (QF^-формацией) с направлением р. и с внутренним 0,-спутником f таким, что /(Q') = 5", f(A) — rri(A) о$) для всех A G Я(Ш) П Пи f{A) = h(A) для всех А £ П\Я(Ш).

Так как ро < р2, то следствие 3.4.5 будет справедливо для ílFrn-формации (QFroo-формации) и ГШп-формации (ОДэо-формации) (следствие 3.4.8 и 3.4.10 соответственно). В силу следствия 3.4.3 следствие 3.4.5 будет выполняться для ОАп-формации (А/Гоо-формации), хотя р2 > Ч>2- Однако, вопрос определения произвольных r-направлений р > р2, для которых множество QF% является моноидом для любого n 6 N, остается открытым (вопрос 3.4.12).

Глава 4 "Решетки кратно Q-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп и их применения "состоит их трех разделов.

Одним из основных подходов к изучению формаций является исследование свойств решеток их подформаций. Для любых двух формаций и #2 полагают foAfo = fon#2, foVfo — /orm(foUfo). Всякое множество формаций, замкнутое относительно операций А и V, является решеткой [59]. Цель данной главы - показать, что решетка OF^ всех n-кратно ^-расслоенных С-формаций для любого n £ No с направлением р>, ро < является алгебраической; дать полное описание Г2Т^-формаций $ с IqfxÍB) < 2; а также исследовать Qi^-формации с r-направлением р, таким, что <р(А) С Са'^а для всех A G 3, у которых решетка всех ОТ^-подформаций с направлением <р является булевой.

Раздел 4.1. "Длина кратно Q-расслоенной формации мультиоператорных Т-групп".

Свойства полноты и модулярности решетки формаций позволяют рассматривать понятие длины формации. В данном разделе получено полное описание n-кратно fi-расслоенных С-формаций $ с 30 < 2, где n Е No про <р.

Пусть О - полная модулярная решетка формаций мультиоператорных Т-групп, О© - нуль решетки 6. Будем говорить, что 6-формация 3^0© имеет

&-длину п и обозначать /©(#) = п, если существует такая совокупность 0-формаций • • Зги чт0 Зо = О©, — $ и - максимальная 0-

подформация 0-формации г = 1,..., п.

Основные результаты раздела выражены в следующих утверждениях.

4.1.2. Лемма. Пусть $ - непустая С-формация из , где п Е N0 и Уо £ Тогда и только тогда — 1? когда $ = (0).

4.1.3. Лемма. Пусть § - непустая С-формация из О!7^, где п Е N0 и Фо < (р. Если = ГДе к е то £ = (2ТП(С, где С - С-группа.

4.1.7. Теорема. Пусть $ - непустая ненулевая С-формация из ОТ^, где п Е N0 и </?о < Тогда и только тогда — 2, когда £ = (7ТП(Д где

А - простая С-группа.

В качестве следствий аналогичные леммам 4.1.2 - 4.1.3 и теореме 4.1.7 утверждения будут справедливы для решеток 5Г2Тгп, 0,КП и (25п, где п Е N0 (замечание 4.1.8).

Раздел 4.2. "Алгебраичность решетки кратно О-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп".

Важным свойством решетки является ее алгебраичность. Представление элемента решетки в виде решеточного объединения своих компактных элементов, изучение компактных элементов и переход от них к рассматриваемому элементу - основная идея алгебраических решеток. В данном разделе доказана алгебраичность решетки (¿Т^ всех п-кратно (¿-расслоенных С-формаций для любого п Е N0 и любого направления (р,<ро < <р, компактными элементами которой являются однопорожденные ОТ^-формации.

Пусть Ь - полная решетка и а Е Т. Элемент а называется компактным, если для любого подмножества X С Ь из а < вирХ следует а < вирХх для некоторого конечного подмножества Х\ С X [17].

Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов [17].

Основным результатом раздела является теорема 4.2.5.

4.2.5. Теорема. Решетка где п £ N0 и ро < р, является алгебраической.

В качестве следствий из теоремы 4.2.5 аналогичный результат установлен для решеток £1Ргп, £1Кп и £1Вп, где п £ N0 (следствие 4.2.6).

Раздел 4.3. "Булевы решетки кратно Г2-расслоенных формаций мультио-ператорных Т-групп".

Исторически теория решеток начала свое развитие с булевых (дистрибутивных) решеток, изучению которых посвящен настоящий раздел. В данном разделе изучены п-кратно А-расслоенные С-формации с г-направлением р, таким, что р(А) С Са'^а Для всех А £ 3, у которых решетка всех

п-кратно ^-расслоенных С-подформаций с направлением р является булевой.

Решетку в назовем ограниченной, если 0© £ © и существует # £ в такая, что для произвольной £ © выполняется С ^ [17].

Ограниченную решетку © будем называть решеткой с дополнениями, если для любой непустой 03 £ 0 существует У) £ 0 такая, что 05 А ^ = 0© и 05 V© — где $ - максимальный элемент решетки 0 [17].

Решетка называется булевой, если она дистрибутивна и является решеткой с дополнениями [51].

Напомним, что ^-формация ©¿е/Зг = {А^ + Д2 + ... + А^А^. £ ц £

= 1,2,...,п,п £ N1, где £ 1} - набор С-формаций таких, что

П = (0), г,^ £ /, г ф и А^ + А¿2 + ... + А^п - внешняя прямая сумма С-групп А{р з = 1,2,..., п.

Элемент 03 решетки 0 с нулем 0© называется атомом, если 03 ф 0© и 0© Я •£) Я ^5, где ^ £ ©, влечет, что ^ = 0© или ^ = 03 [51].

Основным результатом раздела является теорема 4.3.17.

4.3.17. Теорема. Пусть $ £ ^^. где р - г-направление, такое что <р(А) С Сл'Сл Для любого А £ 3. Тогда следующие условия равносильны:

(1) решетка Ь^р^ ($) булева;

(2) $ — ©ге/Зь где {^¿¡г £ 1} - набор всех атомов решетки

(3) в $ дополняем каждый элемент решетки

В качестве множества (¿Т^ в теореме 4.3.17 можно рассматривать решетки ПТгп, £1Кп и ГШП (замечание 4.3.18).

Глава 5 "Расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп и их решетки"содержит четыре раздела.

В некоторых приложениях теории классов алгебраических систем получили применение формации, замкнутые относительно той или иной совокупности подсистем. Все рассматриваемые при этом совокупности подсистем охватываются понятием подсистемного функтора.

Пусть X - произвольный непустой класс Т-групп и всякой Т-группе С? Е X сопоставлена некоторая система ее Т-подгрупп г (С). Следуя [43], будем говорить, что т - подгрупповой Х-функтпор, если выполняются следующие условия: 1) С Е т(С) для любой Т-группы С Е X; 2) для любого эпиморфизма ф : А —» В, где А, В Е X, и любых Т-групп Н Е т(А) и К Е т{В) имеет место Н^ Е т(В) и К^ 1 Е т(А). Цель настоящей главы - определить различные классы расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и исследовать свойства решеток таких формаций.

Раздел 5.1. "Расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп".

В данном разделе, по аналогии с разделом 3.1 настоящей диссертации, построены (^-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп, принадлежащих классу Ш всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп: Г2хТ(/, ср) = (С Е ШТ : а/0П1(С) Е /И) и Е ¡(А) для всех А е ^ П Я(£)), / -

(¿1-спутник и (р - направление.

(^-свободная ((ро(А) — Ша1 для любого А Е СГх), (^-каноническая и (¿1-биканоническая ШТ-формации определяются аналогичным, как в классе С, образом.

Формация Т-групп $ называется т-замкнутой, если т(6?) С ^ для любой Т-группы О Е Формация Ш является т-замкнутой для любого подгруппо-

вого ШТ-функтора т. Будем называть Г^-Р-функцию т-замкнутой, если все ее значения являются т-замкнутыми ЯЯ-формациями.

Обозначим Ох-расслоенную г-замкнутую ЯЯ-формацию через тГ^-расслоенную 9Я-формацию. При п > 1 положим тО, - множество всех п-кратно тОх-расслоенных 9Я-формаций с направлением р, обладающих хотя бы одним тГ21^_1-спутником. Через т£1\Ргп, тО,\Кп и тО,\Вп обозначаются множества всех соответственно п-кратно тГ^-свободных, п-кратно тГ^-канонических и п-кратно тГ^-биканонических 9Я-формаций.

На протяжении всей главы 5 часто используется следующее утверждение.

5.1.4. Лемма. Для любого т-замкнутого класса УЛ-групп X имеет место равенство т/огтХ = /огтХ.

Раздел 5.2. "Полнота, модулярность и алгебраичность решетки кратно Ох-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп".

В теории классов алгебраических систем в основном рассматриваются полные решетки. Не менее важными свойствами решетки являются модулярность и алгебраичность. В данном разделе показано, что решетка всех п-кратно Г^-расслоенных т-замкнутых ШТ-формаций для любого п £ N0 с направлением р, ро < р, является алгебраической, модулярной и полной в Ж.

Основными результатами раздела являются теоремы 5.2.1, 5.2.6 и 5.2.8.

5.2.1. Теорема. Решетка тО,\Р% является полной в Ш? для любого п Е N0 и любого направления р.

5.2.6. Теорема. Решетка тО,\Р% является модулярной для любого п Е N0 и любого направления р, ро < р.

5.2.8. Теорема. Решетка тО,1Р%, где п Е N0 и ро < р, является алгебраической.

Аналогичные теоремам 5.2.1, 5.2.6 и 5.2.8 утверждения, как следствия, будут справедливы для решеток Г^^, где п Е N0 и ро < р\ решеток тГ^АУ™, тОхАГп, т£1\Вп и решеток П\ВП, где п Е N0; а также решеток

всех ЭДТ-формаций и всех т-замкнутых 9Я-формаций (следствие 5.2.10).

Заметим, что в случае тривиального подгруппового С-функтора т, свойства полноты, модулярности и алгебраичности решетки (¿Т^ всех п-кратно ¡¡"¿-расслоенных С-формаций для любого п Е N0 и любого направления <р, <Ръ < <£> были установлены в следствии 3.2.6, следствии 3.2.26 и теореме 4.2.5 соответственно.

В теоремах 5.2.1, 5.2.6 и 5.2.8 в качестве множества Ш можно рассматривать класс всех конечных мультиоператоных Г-групп (следствие 5.2.11), а также класс всех конечных групп (следствие 5.2.12).

Раздел 5.3. "Длина кратно (¿1-расслоенной т-замкнутой формации муль-тиоператорных Т-групп".

Используя свойства полноты и модулярности решетки, Скиба А.Н. в работе [44] ввел понятие длины формаций. В данном разделе получено полное описание п-кратно (¿1-расслоенных т-замкнутых ШТ-формаций £ с ¿т-п^ (30 — 2, где п Е N0 и (ро < (р.

Основными результатами данного раздела являются следующие утверждения.

5.3.1. Лемма. Пусть $ - непустая т-заыкнутая Ш-формация из тГ^/7^, где п Е N0 и <ро < <р. Тогда и только тогда (30 — 1, когда # = (0).

5.3.2. Лемма. Пусть $ - непустая т-замкнутая Ш-формация из тО,

где п Е N0 и (р0 < пр. Если = к, где к Е N, то # = тОх^С, ср), где

(7 - Ш-группа.

5.3.4. Теорема. Пусть $ - непустая ненулевая т-замкнутая Ш-формация из гОхТ^, где п Е N0 и ¡р>0 < (р. Тогда и только тогда ¿-п, (3) = 2, когда $ = т^1\Рп(А. ср), где А - простая Ш-группа.

В качестве множества т(в леммах 5.3.1 - 5.3.2 и теореме 5.3.4 можно рассматривать решетку (^Т^, где п Е N0 и (ро < (р; решетки тС^Тг^, т^\Кп, т£1\Вп и решетки (¿1 Тгп, (¿1 Кп, где п Е N0; а также решетки всех Ш-

формаций и всех т-замкнутых 9Я-формаций (замечание 5.3.6).

Отметим, что в случае тривиального подгруппового С-функтора т длина п-кратно О-расслоеннной (^-формации была изучена в разделе 4.1.

В качестве множества Ш в леммах 5.3.1, 5.3.2 и теореме 5.3.4 можно рассматривать класс всех конечных мультиоператорных Т-групп (замечание 5.3.7) и класс всех конечных групп (замечание 5.3.8).

Раздел 5.4. "Булевы решетки кратно ^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп".

Усиление свойства дистрибутивности решеток приводит к рассмотрению булевых решеток. В данном разделе изучены п-кратно Ох-расслоенные т-замкнутые ШТ-формации с г-направлением р, таким, что р(А) С Ша'Ша для всех А £ 3\, у которых решетка всех п-кратно ^-расслоенных

т-замкнутых 9Л-подформаций с направлением р является булевой.

Все необходимые определения и обозначения содержатся в разделе 4.3.

Основным результатом раздела является теорема 5.4.8.

5.4.8. Теорема. Пусть $ £ тОх^, где р - г-направление, такое что р(А) С Ша>ЯЯ.а для любого А £ Тогда следующие условия равносильны:

(1) решетка Ьтп1Р%($) булева;

(2) Фге/З'г, где {&|г £ 1} - набор всех атомов решетки

(3) в $ дополняем каждый элемент решетки

В качестве множества тО,^^ в теореме 5.4.8 можно рассматривать решетку ^х-^Т, где п £ N0 и р - г-направление, такое что р(А) С Ша'УЛа для любого А £ Зх; решетки тГ2х^гп, т^Кп, тО.\Вп и решетки £1\КП,

ПА, где п £ N0; а также решетки всех ЗЯ-формаций и всех т-замкнутых 9Я-формаций (замечание 5.4.10).

Заметим, что в теореме 4.3.17 содержится подобный теореме 5.4.8 результат для решетки ОТ^ всех п-кратно Г^-расслоенных С-формаций с аналогичным направлением р.

В качестве множества Ш в теореме 5.4.8 можно рассматривать класс всех конечных мультиоператорных Т-групп (замечание 5.4.11) и класс всех конечных групп (замечание 5.4.12).

Глава 2 Предварительные сведения

2.1. Методы доказательств

В диссертации используются методы доказательств теории алгебраических систем, методы теории классов алгебраических систем, методы общей теории решеток.

2.2. Используемые результаты

В данном разделе приведены известные результаты, используемые в диссертации.

2.2.1. Теорема. Нормальный ряд Т-группы тогда и только тогда будет композиционным, если все его факторы являются простыми Т-группами ([33, гл. III]).

2.2.2. Лемма. Пусть G -Т-группа, Н - Т-подгруппа в G, М, N - идеалы в G, К - идеал в Н. Тогда:

1) II + N - Т-подгруппа в G, а Н + N/N - Т-подгруппа Т-группы G/N, причем таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми Т-подгруппами Т-группы G, содержащими N, и всеми Т-подгруппами Т-группы G/N;

2) М П N - идеал в G;

3) М + N - идеал в G;

4) Н П N < Н, причем Н + N/N ^ Н/Н П N;

5) если М < N,to (G/M)/(N/M) ^ G/N;

6) N + К < N + Н, (N П Я) + К < Н, причем (N + H)/(N + К) = Н/[N С] Н) + К ([33, гл. III]).

2.2.3. Лемма. Пусть - (¿-формации, X, 2) С-классы Фиттинга, G - (¿-группа, Н - Т-подгруппа в G и N <G. Тогда

1) если $ С 971, то Gm С

п\_____г г m__s~< /— /пг

¿j ticjlh л uj, то u-j),

. 3) (G/N)Z = G* + iV/iV и Nx = iV П G*;

4j On(JV) С TV П On(G);

5) если G/iV € Co, то 0n(G) = Оn(iV);

6J если = Я + то On(G) = Оп(Я) + О n(N);

7) GZ°m = [Gmf;

8) если $ - (¿-формация Фиттинга, S) - С-класс групп, = $ и N Е S),

то (G/Nh = GS/N;

9) если £ - (¿-формация Фиттинга, = $ и G/N Е 971, то Gs = ([9, лемма 2]).

2.2.4. Утверждение. В Т-группах конгруэнции перестановочны ([50, с. 356]).

2.2.5. Лемма. Если на алгебре А все конгруэнции перестановочны, то структура £п(А) конгруэнций на А модулярна ([31, гл. II, предложение 6.9]).

2.2.6. Теорема. Если в алгебре формации 971 решетка конгруэнций модулярна, то для любых трех подформаций X, и $ из 971, таких что X С справедливо равенство S) А (X V — X V (S) А ([59, теорема 9.8]).

2.2.7. Лемма. Т-подгруппа, порожденная системой идеалов Т-группы, совпадает с порожденной этими идеалами подгруппой аддитивной группы ([33, с. 116]).

2.2.8. определение. Группа G называется прямым произведением своих подгрупп Н\, Н2, . ■Пп, если выполнены следующие три требования:

1) Подгруппы Н\, Н2, ■ ■ ■, Нп являются нормальными делителями группы G.

2) Группа G порождается подгруппами Н\, Н2,. • •, Нп.

3) Пересечение всякой подгруппы Н{, г — 1, 2,..., п, с подгруппой, порожденной всеми группами Н^ ф г, равно Е ([34, с. 101]).

2.2.9. Лемма. Если С/ТУ и N являются прямой суммой конечного числа ненулевых идеалов, изоморфных простой Т-группе А, то и Т-группа 6? является прямой суммой конечного числа ненулевых идеалов, изоморфных простой Т-группе А ([33, гл. IV, §5]).

2.2.10. Лемма. Для любой совокупности алгебраических систем X имеет место /оггпХ = С^Ко(Х) ([59, лемма 3.2]).

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Демина, Екатерина Николаевна

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1) построены различные классы расслоенных формаций мультиоператор-ных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дано описание строения их минимальных и полных спутников, исследованы произведения таких формаций;

2) установлена полнота, модулярность и алгебраичность решетки ОТ^ всех п-кратно О-расслоенных С-формаций для любого п £ N0 с направлением р, ро < р\ получено полное описание п-кратно Г2-расслоенных С-формаций с ПТ^-длиной < 2, где п £ N0 и ро < р; изучены п-кратно П-расслоенные С-формации с г-направлением р, таким, что р(А) С Са'^а для всех А £ 3, у которых решетка всех п-кратно О-расслоенных подформаций с направлением р> является булевой, где С - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами;

3) построены различные классы расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

4) установлена полнота в Ш, модулярность и алгебраичность решетки т^хвсех п-кратно Ох-расслоенных т-замкнутых 9#-формаций для любого п £ N0 с направлением р, ро < р; получено полное описание п-кратно Ох-расслоенных т-замкнутых ШТ-формаций с тОхТ^-длиной < 2, где п Е N0 и <Ро < изучены п-кратно Ох-расслоенные т-замкнутые ЗЯ-формации с г-направлением р, таким, что р{А) с Ша

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демина, Екатерина Николаевна, 2012 год

Список используемых источников

[1] Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984. — 568 с.

[2] Ведерников В.А. Вполне факторизуемые формации конечных групп // Вопросы алгебры. — Мн.: Университетское, 1990. — Вып. 5. — С. 28-34.

[3] Ведерников В.А. О новых типах cu-веерных классов Фиттинга конечных групп // Украинский математический журнал. — 2002. — Т. 54. — № 7.

- С. 897-906.

[4] Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформа-циями длины 3 // Вопросы алгебры. — Мн.: Университетское, 1993. — Вып. 6. - С. 16-21.

[5] Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. — Смоленск: СГПИ, 1988. - 96 с.

[6] Ведерников В.А. О-расслоенные формации и классы Фиттинга групп с конечными композиционными рядами // Алгебра и теория чисел: тезисы докл. укр. мат. конгресса. — Киев: Ин-т математики АН Украины, 2001.

- С. 16-17.

[7] Ведерников В.А., Демина E.H. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга Т-групп // Алгебра и ее приложения: труды межд. алг. конф., поев. 80-летию со дня рожд. А.И. Кострикина. — Нальчик: КБГУ, 2009.

- С. 26-29.

[8] Ведерников В.А., Демина E.H. ß-расслоенные формации мультиопера-торных Т-групп. Препринт № 4. - М.: МГПУ, 2009. - 27 с.

[9] Ведерников В.А., Демина E.H. П-расслоенные формации мультиопера-торных Т-групп // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51.

- № 5. - С. 990-1009.

[10] Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Дискретная математика. - 2001. - Т. 13. - № 1. - С. 119-131.

[11] Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации групп. Препринт № 2. - Брянск: БГПУ, 1999. - 28 с.

[12] Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Q-расслоенные формации конечных групп длины 3 // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ. - М.: МГПУ, 2005. - С. 164-175.

[13] Ведерников В.А., Сорокина М.М. w-веерные формации и классы Фит-тинга конечных групп // Математические заметки. — 2002. — Т. 71. — № 1. - С. 43-60.

[14] Ведерников В.А., Сорокина М.М. Г2-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. — 2001. — Т. 13. - № 3. - С. 125-144.

[15] Воробьев H.H., Царев A.A. О модулярности решетки т-замкнутых п-кратно w-композиционных формаций // Украинский математический журнал. - 2010. - Т. 62. - № 4. - С. 453-463.

[16] Глухое М.М. О некоторых алгоритмических проблемах и свободных произведениях в R-многообразиях линейных fü-алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. - Т. 3. — № 2. - С. 373-397.

[17] Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.

[18] Демина E.H. Алгебраические решетки кратно Qi-расслоенных т-замкнутых формаций Т-групп // Алгебра и математическая логика: мат. межд. конф., поев. 100-летию со дня рожд. проф. В.В. Морозова, и мол. школы-конф. "Современные проблемы алгебры и математической логики"; Казань, 25-30 сентября 2011 г. - Казань: КФУ, 2011. - С. 88-89.

[19] Демина E.H. Алгебраические решетки п-кратно ^-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп // Алгебра, логика и приложения: тезисы докл. - Красноярск: СФУ, 2010. — С. 33-34.

[20] Демина E.H. Булевы решетки кратно ^-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп // Сборник научных трудов преподавателей, аспи-

рантов и студентов математического факультета. — М.: МГПУ, 2010. — С. 53-70.

[21] Демина E.H. Булевы решетки кратно Q-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп // Теория групп и ее приложения: труды восьмой межд. школы-конф., поев. 75-летию В.А. Белоногова. — Нальчик: КБГУ, 2010. - С. 86-93.

[22] Демина E.H. Булевы решетки кратно Qi-расслоенных т-замкнутых формаций Т-групп // Мальцевские чтения: тезисы докл. межд. конф., поев. 60-летию со дня рожд. С.С. Гончарова; Новосибирск, 11-14 октября 2011 г. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2011. - С. 37. URL: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/ll/malmeet2011.pdf (дата обращения 14.01.12).

[23] Демина E.H. Кратно О-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп длины 2 // Современные проблемы математики: тезисы 42-ой все-росс. мол. школы-конф. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. — С. 198— 200.

[24] Демина E.H. Решетки кратно Qi-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп // Алгебра и геометрия: тезисы межд. конф. по алг. и геом., поев. 80-летию со дня рожд. А.И. Старостина; Екатеринбург, 22-27 августа 2011 г. - Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2011. — С. 62-64.

[25] Демина E.H. Решетки п-кратно Qi-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп // Дискретная математика. — 2012. — Т. 24. - № 1. - С. 3-25.

[26] Демина E.H. Решетки расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп. - Москва: МГПУ, 2011. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.11, № 539-В2011.

[27] Егорова В.Е. Об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально канонических формаций // Международная алгебраическая конференция,

посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша: тезисы докл. — М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2008. - С. 88-89.

[28] Жизневский П.А. О модулярности и индуктивности решетки всех т-замкнутых п-кратно о;-композиционных формаций конечных групп // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скори-ны. - 2010. - Т. 58. - № 1. - С. 185-191.

[29] Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Мн.: Беларуская навука, 2003. — 256 с.

[30] Кожухов И. Б. Цепные полугрупповые кольца // Успехи математических наук. - 1974. - Т. 29. - Вып. 1. - С. 169-170.

[31] Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968. — 352 с.

[32] Корпачева М.А., Сорокина М.М. О ^-расслоенных т-замкнутых формациях конечных групп // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша: тезисы, докл. — М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2008. - С. 137-138.

[33] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973. — 400 с.

[34] Курош А.Г. Теория групп. - М.: Наука, 1967. - 648 с.

[35] Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с.

[36] Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики // Труды Международного конгресса математиков (Москва, 1966). - М.: Мир, 1968. - С. 217-231.

[37] Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем // Сибирский математический журнал. — 1967. — Т. 8. — № 2. — С. 346-365.

[38] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. — М.: Наука, 1989. - 448 с.

[39] Сафонов В. Г. О модулярности решетки т-замкнутых тотально насыщенных формаций конечных групп // Украинский математический журнал.

- 2006. - Т. 58. - № 6. - С. 852-858.

[40] Сафонов В. Г. Об алгебраичности решетки всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций // Алгебры и логика. — 2006. — Т. 45. - № 5. -С. 620-626.

[41] Скачкова Ю.А. Булевы решетки кратно О-расслоенных формаций // Дискретная математика. — 2002. — Т. 14. — № 3. — С. 42-46.

[42] Скачкова Ю.А. Решетки О-расслоенных формаций // Дискретная математика. - 2002. - Т. 14. - № 2. - С. 85-94.

[43] Скиба А.Н. Алгебра формаций. — Мн.: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

[44] Скиба А.Н. О локальных подформациях длины 5 // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. — Мн.: Наука и техника, 1986.

- С. 135-149.

[45] Скиба А.Н. О локальных формациях с дополняемыми локальными под-формациями // Известия вузов. Серия Математика. — 1994. - № 10. — С. 75-80.

[46] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно икпокальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические труды. — 1999. — Т. 2. — № 2. - С. 114-147.

[47] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопросы алгебры. — Гомель: ГТУ, 1992. — Вып. 7. - С. 39-43.

[48] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Частично композиционные формации конечных групп // Доклады НАН Беларуси. — 1999. — Т. 43. - 14. -С. 5-8.

[49] Скиба А.Н., Шеметков J1.А. Формации алгебр с дополняемыми подфор-мациями // Украинский математический журнал. — 1991. — Т. 43. — № 7-8. - С. 1008-1012.

[50] Скорняков Л.А. Общая алгебра.Т. 2. — М.: Наука, 1991. — 480 с.

[51] Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. — М.: Наука, 1983. — 272 с.

[52] Сорокина М.М. О минимальных спутниках кратно О-расслоенных классов Фиттинга и формаций конечных групп // Брянскому государственному педагогическому университету имени академика И.Г. Петровского 70 лет: сборн. научн. труд. - Брянск: БГПУ, 2000. - С. 199-203.

[53] Сорокина М.М., Силенок Н.В. Критические О-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. — 2002. — Т. 72. - № 2. -С. 269-282.

[54] Туганбаев A.A. Прямые суммы дистрибутивных модулей // Математический сборник. - 1996. - Т. 187. - № 12. - С. 137-156.

[55] Туганбаев A.A. Теория колец. Арифметические модули и кольца. — М.: МЦНМО, 2009. - 472 с.

[56] Шабалина И.П. О решетке т-замкнутых n-кратно ш-локальных формаций конечных групп // Весщ HAH Беларусь Серыя ф1зжа-матэматычных навук. — 2003. — № 1. — С. 28-30.

[57] Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Математический сборник. - 1974. - Т. 94. - № 4. - С. 628-648.

[58] Шеметков Л.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 с.

[59] Шем,етков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. - 256 с.

[60] Эйдинов М.И. О формациях с дополняемыми подформациями // IX Всесоюзный симпозиум по теории групп: тезисы докл. — М., 1984. — С. 101.

[61] Birkhoff G. On structure of algebras // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1935. - V. 31. - P. 433-454.

[62] Démina E.N. ¡Qi-foliated r-closed formations of T-groups // 8th International Algebraic Conference in Ukraine: book of abstracts. — Luhansk: LTSNU, 2011. - P. 97.

[63] Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. — Walter de Gruyter, Berlin — New Jork, 1992. - 893 p.

[64] Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Mathematische Zeitschrift. - 1963. - V. 80. - № 4. - P. 300-305.

[65] Hartley B. On Fischer's analization of formation theory // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1969. - V. 3. - № 9. - P. 193-207.

[66] Higgins P.J. Groups with multiple operators // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - V. 6. - № 3. - P. 366-416.

[67] Neumann B.H. Identical relations in groups // Mathematische Annalen. — 1937. - V. 114. - P. 506-525.

[68] Safonov V. G. On modularity of the lattice of totally saturated formations of finite groups // Communications in Algebra. — 2007. — V. 35. — № 11. — P. 3495-3502.

[69] Shemetkov L.A., Skiba A.N., Vorob 'ev N.N. On lattices of formations of finite groups // Algebra Colloquium. - 2010. - V. 17. - № 4. - P. 557-564.

[70] Vedernikov V.A. Maximal satellites of Q-foliated formations and Fitting classes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2001. — Suppl. 2. - P. 217-233.