Решение линейных обратных задач методом разложения по локальным базисным функциям: [ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат наук Поляков, Александр

• Поляков, Александр
• кандидат наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат наук Поляков, Александр

ОГЛАВЛЕНИЕ

БЛАГОДАРНОСТИ

АВТОРЕФЕРАТ

СПИСОК РИСУНКОВ

1. Введение

1.1. Методы нейровизуализации

1.2. Обратная задача

1.3. Содержание диссертации

2. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЛОКАЛЬНЫМ БАЗИСНЫМ ФУНКЦИЯМ (ЬВЕХ): ОБЩИЙ ПОДХОД К ОБРАТНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ЗАДАЧАМ В МЭГ-ДИАГНОСТИКЕ

2.1. Введение

2.2 Формулировка обратной задачи

2.3 Пути решения обратной задачи

2.4 Два общих непараметрических подхода

2.4.1 Случай без учета шума

2.4.1.1. Базисные функции: минимальная норма

2.4.1.2 Пространственно-локализованные линейные моменты I:

метод Бакуса-Гильберта

2.4.2 Учет шума

2.4.2.1 Представление о ковариационной матрице шума

2.4.2.2 Вероятностные формулировки (теорема Байеса)

2.5 ЬВЕХ алгоритм: точные данные

2.6 Квадратичная обратная теория

2.7 Пример: сферическая модель

2.7.1 Влияние шума

2.7.2 Собственные значения и собственные векторы при произвольной ориентации области исследования (ROI)

2.7.3 Применение LBEX алгоритма при северной ориентации ROI

2.7.4 Оценка первого момента: ядро разрешения

2.7.5 Оценка второго момента: квадратичное ядро разрешения

2.7.6 Рассмотрение параметрических методов

2.8 Применение LBEX-алгоритма к реальным данным

2.8.1 Рассмотрение аддитивного шума

2.8.2 Применение LBEX-алгоритма к реальной геометрии пространства источника активности мозга

2.8.3 Анализ второго момента: локализация спонтанной МЭГ-активности

2.8.4 Локализация спонтанных альфа-ритмов головного мозга: эксперимент с открытыми и закрытыми глазами пациента

2.9 Обсуждение и заключение

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛОКАЛЬНЫМ БАЗИСНЫМ ФУНКЦИЯМ (LOCAL BASIS EXPANSIONS, LBEX): ВОССТАНОВЛЕНИЕ В ЯМР-АНАЛИЗЕ

3.1 Введение

3.2 ЯМР

3.3. Метод разложения по локальным базисным функциям (LBEX)

3.4. Формулирование проблемы восстановления данных

3.5. Два основных непараметрических подхода

3.5.1 Дискретное преобразование Фурье, или реконструкция по

методу минимальной нормы

3.5.2. Метод Бакуса-Гильберта, или оконное дискретное преобразование Фурье

3.6. Алгоритм LBEX

3.7 Результаты

3.8 Обсуждение

4. МНОГОЭЛЕМЕНТНЫЕ АНТЕННЫ, МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ФОРМИРОВАНИЕ ЛУЧА: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

4.1 Введение

4.2. Угловое распределение мультипольного излучения

4.3 Источники мультипольного излучения. Идеализированная сферическая модель

4.4 Заключение

ПРИЛОЖЕНИЕ А: СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА Ь

ПРИЛОЖЕНИЕ В: ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ МАТРИЦЫ ПРИ ОРИЕНТАЦИИ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ В СЕВЕРНОМ НАПРАВЛЕНИИ (ВДОЛЬ ОСИ Т)

ПРИЛОЖЕНИЕ С: МУЛЬТИОКОННЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СПЕКТРА

БИБЛИОГРАФИЯ

2.1 Все собственные значения концентрации для значения усечения L = 5 как функции

W

пространственного параметра источника г = —г

S

2.2 Все собственные значения концентрации для значения усечения L = 1 как функции

W

пространственного параметра источника г = —

S

2.3 Полоса канала при L = 5 (верхний рисунок) и L = 7 (нижний рисунок)

2.4 Два ведущих собственных вектора сенсорного пространства при применении LBEX-метода в идеализированной сферической модели

2.5 Величина (в дБ) двух ведущих собственных функций сенсорного пространства для идеализированной сферической модели

2.6 Сравнение функций разрешения в методах МН (левая колонка) и LBEX (правая колонка). Отметим, что в методе LBEX подавлены боковые лепестки, в то время как основной лепесток имеет приблизительно одинаковую ширину в обоих методах

2.7 Левая часть рисунка: ядро разрешения первого момента, усредненное по всем возможным ориентациям диполей для методов МН (красный кривые) и LBEX (синие кривые). Правая часть рисунка: ядро разрешения второго момента для методов МН (красные кривые) и LBEX (синие кривые)

2.8. Значения F-параметра критерия соответствия для эксперимента с дипольными компонентами статистически значимого локализованного тока. Данные получены из анализа двух эквивалентных диполей, помещенных на тонкую сферическую оболочку. Расстояние между диполями составляет 0.3 рад. или 1/3 размера ROI. Наличие дипольных компонентов вызывает значительное увеличение F-параметра (в виде пиков). Линейная регрессия ведет к оценке величины диполей. В данном примере погрешность составила 4.5%. Примечательно, что оба диполя хорошо разрешены несмотря на малое по сравнению с размерами ROI междипольное расстояние. Так проявляется феномен сверхразрешения. Статистическая значимость 99-процентного уровня равна 21.2. Вероятность компонентов с нулевым дипольным моментом на пиках оставляет около 10"8

2.9 Некоторые примеры собственных векторов «дискретного лапласиана» для низких пространственных частот

2.10 Некоторые примеры собственных векторов «дискретного лапласиана» для высоких пространственных частот

2.11 Демонстрация у = 10 * (1 - Я) на ЯМР-ограниченном пространстве источника, где Х - ведущее собственное значение

2.12 Точечная функция рассеяния (ФРТ) в методах МН (верхний рисунок) и ЬВЕХ (нижний рисунок). Примечательно, что в методе МН ФРТ достигает пиков в точках, смещенных относительно местоположения источника

2.13 Магнитоэнцефалограмма испытуемого в двух состояниях - с открытыми (красный график) и закрытыми (синий график) глазами

2.14 Картина энергетического спектра альфа-ритмов на сенсоре

2.15 Локализация спонтанной активности в эксперименте с закрытыми глазами испытуемого

2.16 Локализация спонтанной активности в эксперименте с открытыми глазами испытуемого

3.1 Реконструкция изображения из смоделированных данных методом безоконного дискретного преобразования Фурье. Следует отметить присутствие на изображении т.н. «ряби Гиббса»

3.2 Реконструкция изображения, полученная ЬВЕХ-методом из модельных данных с использованием трёх функций-окон

3.3 Реконструкция изображения среза мозга методом безоконного дискретного преобразования Фурье по данным эхопланарного анализа

3.4 Реконструкция изображения среза мозга методом ЬВЕХ с использованием трёх функций-окон по данным эхопланарного анализа

4.1 Верхний ряд, левый рисунок: собственные значения концентрации одновременно для электрических (Э) и магнитных диполей (М); правый рисунок: собственные значения концентрации для одного из диполей (Э или М). Собственные значения рассматриваются как функция телесного угла (параметр ширины луча). Отметим эффект поляризации (Э-М взаимодействие), позволяющий получить значение

концентрации, намного превышающее концентрацию для одного диполя. Нижний ряд, левый рисунок: диаграмма излучения для двух диполей (Э и М); правый рисунок: диаграмма излучения для одного диполя (Э или М). Диполи находятся в точке (0,0). Отметим, что подход с использованием концентрации позволяет направлять поток энергии в заданный телесный угол

4.2 Верхний ряд, левый рисунок: собственные значения концентрации одновременно для электрических (Э) и магнитных диполей и квадруполей (М); правый рисунок: собственные значения концентрации для одного из диполей/квадруполей (Э или М). Собственные значения рассматриваются как функция телесного угла (параметр ширины луча). Отметим эффект поляризации (Э-М взаимодействие), позволяющий получить значение концентрации, намного превышающее концентрацию для одного диполя. Нижний ряд: диаграмма излучения для двух диполей и квадруполей (Э и М) для разных параметров ширины луча и концентрации; диполи находятся в точке (0,0). Отметим изменение диаграммы излучения (правый рисунок) с изменением параметра ширины луча

4.3 Верхний ряд: число электромагнитных степеней свободы как функция параметра ширины луча. Левый рисунок - график для отдельного диполя (Э или М); правый рисунок - график для диполя и квадруполя. Нижний ряд: число электромагнитных степеней свободы как функция параметра ширины луча. Правый рисунок - график

для обоих диполей (Э и М); правый рисунок - для диполя и квадруполя

4.4 Пример устройства электрической/магнитной антенны, которая может быть возбуждена таким образом, что излучение будет ограничено в телесном угле 27г/3 (см. рис. 4.5-4.7)

4.5 Диаграмма излучения антенны с рисунка 4.4 в плоскости х,у

4.6 Диаграмма излучения антенны с рисунка 4.4 в плоскости х, г

4.7 Диаграмма излучения антенны с рисунка 4.4 в плоскости^, ъ

4.8 Структура тока для кЯ-Т

4.9 Распределение мультипольных коэффициентов

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение линейных обратных задач методом разложения по локальным базисным функциям: [»

Введение

1.1. Методы нейровизуализации

Все разнообразные методы нейровизуализации делятся на две широкие категории. Структурные методы устанавливают форму мозга, а также наличие патологических структур, например, опухолей. Функциональные методы используются для исследования функций различных областей мозга, последовательности их (областей) активации в процессе той или иной деятельности, и изучения процесса изменения функциональной организации этих областей во время болезненных состояний мозга.

В настоящее время структурные методы хорошо развиты, в частности, метод ядерного магнитного резонанса (ЯМР) позволяет получить изображение головного мозга с миллиметровой точностью. Напротив, на данный момент наши знания о функциональной анатомии мозга базируются на посмертных изучениях взаимосвязи различных нейронных областей, экстраполяции известной функциональной анатомии мозга приматов, экспериментах на оперируемых участках коры головного мозга во время проведения нейрохирургического вмешательства и свидетельствах об определенных функциональных нарушениях у пациентов с поврежденным мозгом. Ни один из перечисленных подходов не дает однозначного функционального изображения с высоким пространственным и временным разрешением. Обеспечение такой функциональной карты мозга — главная цель исследований современных ученых, и для ее достижения используются различные методы. Два наиболее известных - позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) [1] и функциональный ядерный магнитный резонанс (ФЯМР) [2].

При проведении ПЭТ в головной мозг пациента вводится радиоактивный препарат, поглощаемый преимущественно активированными областями мозга. Для составления функциональной карты мозговой активности проводится регистрация и анализ пары гамма-квантов, возникающих при эмиссии позитронов. При проведении ФЯМР предполагается, что связанные с увеличением локального кровотока и уровня насыщения кислородом наблюдаемые структурные изменения находятся в зависимости от активации ближайших областей коры головного мозга. Однако и ФЯМР, и ПЭТ обладают некоторыми серьезными недостатками. Во-первых, ни один из этих методов не дает возможности прямого измерения мозговой активности: оба метода представляют собой лишь форму метаболического анализа, результаты которого предположительно могут быть соотнесены с собственно картой активности участков мозга. Во-вторых, при использовании этих методов необходимо выполнять т.н. «вычитание фона» — сравнение уровня активности на изображении-сцинтиграмме в контрольной ситуации с уровнем активности в экспериментальной ситуации. При этом существует некоторая неопределённость, является ли обнаруженная область единственной на полученном изображении. При этом в ПЭТ отношение сигнал/шум часто бывает настолько низким, что для увеличения этого показателя должно быть выполнено множество усреднений, игнорирующих факт структурных различий у людей. Кроме того, ПЭТ является инвазивным методом, и хотя доза облучения от вводимого в организм препарата относительно низка, многократное повторение эксперимента в течение короткого промежутка времени не представляется возможным. Наконец, самым значительным недостатком ФЯМР и ПЭТ является чрезвычайно низкое — порядка нескольких секунд — временное разрешение. Поскольку нас интересует создание функциональной карты активации разных областей мозга и собственно пространственное расположение таких областей, нам важно иметь миллисекундное временное разрешение, характерное для реальных процессов мозговой деятельности [3].

Такое высокое временное разрешение может быть достигнуто лишь непосредственным измерением электрической активности мозга. Самый простой способ состоит в размещении электродов в определенных областях мозга и

анализе поступающих данных об электрической активности. Так поступают при работе с головным мозгом животных, а также в процессе проведения операций в нейрохирургии. Этот подход является инвазивным, что делает невозможным применив его в качестве основного инструмента при общих исследованиях мозговой деятельности. Однако при активации большого количества нейронов в проводящих тканях мозга возникает ток, который может течь, в том числе, в пространстве между костями черепа и кожей головы, где он может быть зарегистрирован приложенными к голове электродами. Этот метод получил название электроэнцефалографии (ЭЭГ) [4] и обладает требуемым временным разрешением (приблизительно 1 мс), хотя вследствие возможно сложного пути попадания сигнала от активизированной области на электрод пространственное решение такого метода может быть очень низким. В качестве предельного случая можно упомянуть так называемый потенциал дальнего поля, когда максимальный сигнал на коже головы наблюдается далеко от генерирующей области.

Магнитоэнцефалография (МЭГ) [5] — измерение сверхслабых магнитных полей, возникающих вследствие нейронной активности в человеческом мозге. МЭГ обладает таким же временным разрешением, как и ЭЭГ, однако точность этого метода нейровизуализации меньше зависит от проводимости костей черепа, кожи головы и тканей мозга, кроме того, в случае сферически-симметричной модели головы, магнитное поле вовсе не зависит от её проводимости.

Существует, однако, ряд недостатков практического использования метода МЭГ. Во-первых, биомагнитные сигналы, генерируемые мозгом, чрезвычайно слабы (~ 10 фТл). Даже в условиях проведения МЭГ-эксперимента в экранированном помещении с применением градиометра и компенсирующего опорного канала, низкое соотношение сигнал/шум приходится восполнять совмещением результатов нескольких экспериментальных попыток. Ситуация изменилась с внедрением в МЭГ-диагностику мультисенсорных массивов (более 100 каналов), способных собрать достаточно количество информации для анализа одной экспериментальной попытки и различающих картину активности мозга, которая обычно теряется при усреднении.

1.2. Обратная задача

Вторая проблема МЭГ, характерная также для методов ЭЭГ и ЯМР, состоит в том, что измеренные данные МЭГ напрямую не отражают пространственного распределения глубинного источника, которое может быть получено лишь путем решения некорректно сформулированной обратной задачи, а именно:

В1=(К1,Э) + К1 ,/ = 1 ...п (1.2.1)

где В1 — измеренные величины, выражение в круглых скобках — скалярное произведение в Гильбертовом пространстве, N1 - посторонние шумы, ] — источник, К1 — так называемые ведущие поля. Ведущие поля могут быть найдены путём решения прямой задачи. Цель же решения обратной задачи — обнаружение источника из данных о сигнале и ведущих полях. Измеренные величины содержат данные об п-мерном пространстве источника, при этом источник бесконечномерен. Эта задача фундаментальным образом некорректна, т.е. полученные данные не определяют источник единственным образом. Примером подобного решения в МЭГ являются магнитно-тихие источники. Например, если мозг моделируется в виде сферически-симметричного проводника, первичные радиальные токи необнаружимы.

Существует несколько вариантов решения обратной задачи, включая метод минимальной нормы (МН) и метод Бакуса-Гильберта (БГ).

В методе МН отмечается, что, поскольку источник, ортогональный ко всем ведущим полям, не производит никакого сигнала, восстанавливаемая часть решения должна находиться в векторном пространстве, определяемом базисными функциями (ведущими полями). Этот способ решения получил название метода «минимальной нормы», поскольку из всех решений, удовлетворяющих наблюдениям, выбирается обладающее наименьшей нормой. Решение обратной задачи также усложняется наличием шума. В зависимости от степени некорректности поставленной обратной задачи, степень возможного ухудшения качества решения по методу минимальной нормы может принимать неприемлемые масштабы. Для получения достаточно шумоустойчивого решения

обратной задачи могут быть использованы методы типа усечённой SVD-псевдоинверсии. Однако и у таких методов есть недостатки, например чрезвычайно низкое пространственное разрешение.

Другой вариант решения обратной задачи был предложен Бакусом и Гильбертом. В их методе ядро усреднения строится с использованием линейной комбинации данных. Коэффициенты подобраны таким образом, что ядро усреднения в определённой точке источника напоминает 8-функцию Дирака. Тогда оценка в любой точке источника может рассматриваться как пространственно-ограниченный момент истинной плотности тока. Если считать, что погрешности в измеренных величинах определяются гауссовым распределением, оценка может принимать случайные значения. Очевидно, что желательна минимизация как ширины ядра усреднения, так и стандарта отклонения оценочной функции. При этом одновременно минимизация этих двух функционалов производиться не может. Математически такая одновременная минимизация локально может быть возможна только с введением в расчеты множителя Лагранжа.

В данной диссертации приводится оригинальная методология решения обратной задачи. Суть методологии состоит в использовании набора локализованных базисных функций вместо глобальных базисных функций (в этом, например, состоит отличие предложенного метода от метода минимальной нормы). Представленный метод разложения по локальному базису (Local Basis Expansions, LB EX) привносит ряд новых идей в решение обратных задач:

• в отличие от всех предложенных методов, LBEX напрямую обращается к

проблемам пространственного разрешения. Прибегнув к техническим терминам, можно сказать, что мы полагаем размер интересующей нас области (Region of Interest, ROI) большим, чем условный предел пространственного разрешения; в этом случае эффективно подавляются источники вне указанной области.

• метод LBEX включает в себя уже упомянутые метод минимальной нормы и

метод Бакуса-Гильберта в качестве частных случаев. В предельном случае, когда область интереса (ROI) включает все пространство источника, мы

получаем оценку по методу МН, т.к. концентрация в этом случае одинакова для всех новых базисных функций. В предельном случае с ROI малых размеров будет рассматриваться одна сильно ограниченная базисная функция, поэтому решение сводится к методу Бакуса-Гильберта. Таким образом, LBEX интерполирует между методами МН и БГ: с одной стороны — устраняет проблему недостаточности пространства источника в методе МН, а с другой — расширяет технику БГ, включая в него больше базисных функций.

• в отличие от других известных методов, алгоритм LBEX делает возможной

локализацию первого и второго моментов плотности тока. Анализ второго момента плотности тока позволяет нам локализовать спонтанную мозговую активность; такая локализация представляет большой интерес для диагностики и дооперационного исследования широкого класса неврологических патологий.

• LBEX представляет собой основу для рассмотрения параметрических

моделей. А именно, он обеспечивает возможность смешанного моделирования данных с одновременным использованием точечных диполей и гладкой глубинной плотности тока.

• данные искажаются рядом источников шума. Методы МН и БГ исходят из

знания ковариационной матрицы шума. Такой системный подход нельзя назвать достаточно устойчивым, поскольку он сильно зависит от правильности оценки ковариационной матрицы. В данной диссертации предлагается принципиальный метод учёта шума за счет исключения «шумового подпространства» в терминах пространственных волновых векторов.

1.3. Содержание диссертации

Диссертация имеет следующую структуру:

В главе 2 будут рассмотрены методы МН и БГ, после чего будет обосновано введение ЬВЕХ-алгоритма. Затем указанный алгоритм применён к идеализированной простой сферической модели. Целью этого является описание магнитного поля в тонкой сферической оболочке без источников. Форма описания при этом имеет вид разложения по сферическим и векторным сферическим гармоникам. Рассматриваются теоретические и практические способы нахождения данного разложения. Затем метод ЬВЕХ применён к случаю пространственной геометрии источника, соответствующей «реальному мозгу», в результате чего обеспечена локализация спонтанных альфа-ритмов (8-12 Гц) для реальных данных, полученных при обследовании здорового мозга человека в двух случаях — при открытых и закрытых глазах испытуемого.

В главе 3 рассматривается проблема реконструкции при ядерном магнитном резонансе. Эта проблема также может быть рассмотрена в рамках решения обратной линейной задачи. Методы реконструкции при ЯМР рассмотрены и затем сопоставлены с методом разложения по локальным базисным функциям (ЬВЕХ) на основе реальных и моделируемых данных.

В главе 4 представлен оригинальный проект антенны, который позволит максимально направлять излучаемую мощность в заданном телесном угле. В математическом смысле задача по созданию такой антенны близка проблеме анализа идеализированной простой модели в главе 2. Основная идея состоит в описании генерируемых локальной областью электромагнитных волн посредством коэффициентов различных мультипольных моментов — электрических и магнитных. Для каждой из комбинации коэффициентов возможно рассчитать концентрацию энергии в пределах определенного телесного угла. Цель таких расчетов — определение функциональной зависимости концентрации от наибольшего значения углового квантового числа, а также угловой зависимости максимальной для заданного телесного угла концентрации энергии. Такой подход делает возможным определение электромагнитной

степени свободы в данном телесном угле. Значение степени свободы связано с пропускной способность канала, эффективный угол обзора которого соответствует заданному телесному углу.

Метод разложения по локальным базисным функциям (1_ВЕХ): общий подход к обратным линейным задачам в МЭГ-диагностике

2.1. Введение

Неинвазивные методы нейровизуализации необходимы для изучения когнитивных процессов и диагностики патологических состояний человеческого мозга. В идеале, используемая для нейровизуализации измерительная техника должна иметь одновременно высокое временное и пространственное разрешение, что, к сожалению, невозможно. Такие методы, как функциональный ядерный магнитный резонанс (ФЯМР), позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) и однофотонная эмиссионная компьютерная томография (ОФЭКТ), основанные на оценке изменений в локальном кровотоке, имеют относительно высокое пространственное, особенно ФЯМР (~ 1 мм), но низкое временное разрешение. Для прямого измерения электрической активности методами магнитоэнцефалографии (МЭГ) и электроэнцефалографии (ЭЭГ) [5], напротив, характерно высокое временное (~ 1 мс), но низкое пространственное разрешение. Во всех случаях пространственная информация о деятельности головного мозга восстанавливается из экспериментальных данных посредством решения линейной обратной задачи, относительно корректно поставленной для ФЯМР и весьма некорректно для МЭГ и ЭЭГ. Несмотря на разработку методов, пытающихся обойти проблемы локализации, техническое решение именно этой задачи остается ключевым для дальнейшего прогресса в этой области. Невзирая на трудности, к решению указанных обратных задач по-прежнему прилагаются значительные усилия. В настоящее время особый интерес в сфере нейровизуализации представляет локализация областей мозга, участвующих в генерации аномальных спонтанных ритмов, изучение которых представляется важным для борьбы с широким спектром нейрогенных болезней, таких, например, как паркинсонизм [6].

Существует два основных подхода к решению обратной задачи: метод минимальной нормы (МН) [7-10] и метод Бакуса-Гильберта (БГ) [11-15]. Оба

метода имеют свои преимущества и недостатки. В данной диссертации разработан новый способ решения линейной обратной задачи - метод разложения по локальным базисным функциям (Local Basis Expansions, LBEX), включающий MH и БГ как частные случаи и расширяет понимание характера и природы линейной обратной задачи. Что особенно важно, метод LBEX применим для локализации областей активности головного мозга — и спонтанной, и инициированной, а также одновременно охватывает как непараметрические, так и параметрические (дипольное разложение) подходы к решению задачи.

2.2 Формулировка обратной задачи.

Существует ряд серьезных недостатков метода МЭГ. Во-первых, измеряемые магнитные поля чрезвычайно слабы (~ 10 фТл), что часто приводит к низкому соотношению сигнал/шум. При диагностике инициированной активности головного мозга возможно значительное улучшение отношения сигнал/шум путем усреднения данных, полученных при проведении целой серии магнитоэнцефалографических экспериментов с подачей раздражителя к головному мозгу. Однако при анализе спонтанной активности мозга такое усреднение представляется крайне неэффективным.

Второй существенное ограничение метода МЭГ состоит в том, что данные о магнитных полях напрямую не отражают пространственного распределения источника электрической активности. Для вычисления пространственного распределения источника необходимо решение некорректно сформулированной обратной задачи с неединственным решением. Предположим, что данные Bi, где i

= l...n, линейны относительно глубинного источника тока J . Будем также считать, что данные искажаются шумом Ni:

B^iK^jj + N,, (2.2.1)

Выражение в круглых скобках представляет собой скалярное произведение. Цель решения данной обратной задачи состоит в обнаружении источника J из данных о сигнале Bi и ведущих полях К ¡(г') . Каждое значение Bi можно рассматривать как проекцию источника тока на i-й датчик при наличии шума. В данных содержится информация только об n-мерном подпространстве, в то время

как источник бесконечномерен. Такая обратная задача является принципиально некорректно сформулированной, то есть для любого набора данных существует бесконечное множество распределений источников, согласующихся с данными. Поэтому для устранения проблемы бесконечного набора решений такой задачи необходимо вводить ограничивающие условия. Существует два метода, направленных на устранение проблемы локализации: первый метод состоит в проведении т.н. слепой деконволюции, например, путем анализа главных компонент (Principle Component Analysis, РСА), анализа независимых компонент (Independent Components Analysis, ICA), сингулярного разложения (Singular Value Decomposition, SVD); эта группа подходов, иногда позволяющая получить имеющие смысл данные об источнике, представляется ситуативной или специальной, собственно локализация источника, хоть и остается очень трудной задачей, должна представлять собой более структурный подход. Второй метод состоит в использовании данных ФЯМР-анализа для ограничения решений-источников в задаче МЭГ-анализа: этот метод, однако, не решает основную задачу локализации в ограниченной области. К тому же в задаче возможно наличие МЭГ-активных ФЯМР-тихих источников

2.3 Пути решения обратной задачи.

Можно выделить две общие категории решений обратных задач: группу параметрических решений и группу непараметрических решений. В свою очередь, группу параметрических решений составляют два метода - метод дипольного разложения (с использованием одно- или мультидипольной моделей) и метод сканирования подпространства.

В рамках параметрического подхода решение обратной задачи ищется при представлении реального источника в виде набора точечных или дипольных элементарных источников. Такой метод предполагает, что данные поступают от небольшого количества фокальных очагов, каждый из которых можно смоделировать в виде отдельного неподвижного или движущегося точечного источника. Такие параметры точечного источника, как расположение и ориентация, могут быть оценены путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Процедура аппроксимации представляет собой решение многомерной

нелинейной задачи оптимизации, с увеличением числа фокальных очагов заметно растет необходимое расчетное время, поиск глобального оптимума возможен только для небольшого количества точечных источников. Для анализа большого количества диполей целесообразным представляется использование алгоритмов аппроксимации, при этом корректный выбор первоначальных значений ведет к нахождению локальных оптимумов. Фундаментальная проблема метода многодипольной аппроксимации состоит в том, что решение сильно зависит от предположительного количества диполей. Существует несколько алгоритмов, при помощи которых можно приблизительно подсчитать количество токовых диполей, точное же определение количества таких диполей невозможно.

Алгоритм сканирования подпространства находит лучшую проекцию возможных дипольных конфигураций на пространство сигналов для заданного временного окна. Этот подход основан на исходном допущении, согласно которому в указанное временное окно активным является только один фокальный очаг; такое допущение не представляется корректным в условиях общего биомагнитного исследования.

Другая категория подходов включает группу непараметрических процедур, или метод линейного оценивания. Для решения обратной задачи в этой категории подходов было предложено несколько методов, включая метод минимальной нормы и метод Бакуса-Гильберта.

2.4 Два общих непараметрических подхода. 2.4.1 Случай без учета шума.

2.4.1.1. Базисные функции: минимальная норма.

Так как источник, ортогональный ко всем ведущим полям, не производит

никакого сигнала, восстанавливаемая часть решения должна лежать в пределах векторного пространства, определяемого п ведущими полями:

(2.4.1)

ы

Комбинация уравнений (2.2.1) и (2.4.1) даёт

Я, = ¿V, (2.4.2)

м

А й

где '' = ( ', ). Решение обратной задачи получено путем обращения (2.4.2) для получения С. и подстановки результата в (2.4.1). Это решение называют решением по методу минимальной нормы. Термин «минимальная норма»

используется, поскольку соответствует источнику с наименьшей нормой, объясняющему сигнал .

2.4.1.2 Пространственно-локализованные линейные моменты и: метод Бакуса-Гильберта.

Альтернативный метод решения обратной задачи был предложен Бакусом и Гильбертом. Для простоты сначала рассмотрим скалярный случай, т.е. когда глубинный ток имеет только одну компоненту. Будем рассматривать только

J(f ) т'

линейные комбинации данных; тогда оценка тока 1 0/ в точке 0 любого распределения тока может быть представлена в виде

.<?■

м

(2.4.3)

где коэффициентам с^) можно задать любые значения. Теперь обозначим ядро усреднения как

у=1

(2.4.4)

при условии уиимодулярности (единичной нормировки):

^А(г',гъ)<я' =1

Если бы можно было выбрать коэффициенты с] (г{)) так, чтобы ядро усреднения в точке становилось о-функцией с центром в точке г0 , было бы получено

точное решение задачи. Это, однако, невозможно. В то же время, можно задать такие коэффициенты, чтобы сумма аппроксимировала б-функцию, что, собственно, и делает теория Бакуса-Гильберта. В классической теории Бакуса-Гильберта количественная мера отклонения ядра усреднения от идеальной б - функции выбрана следующим образом:

5(г^А) = \2\(г'-Гь)2Аг(т' , (2.4.5)

где 5(Г^, А) называется длина усреднения. Коэффициент 12 выбран для того, чтобы сделать длину усреднения равной длине прямоугольной функции с центром в точке Г0 . Минимизация квадратичной формы (2.4.5) при условии уиимодулярности даёт коэффициенты, которые путём комбинации реальных данных дают оценку тока в определенной точке пространства источника Г0 .

2.4.2 Учет шума.

2.4.2.1 Представление о ковариационной матрице шума.

Пока что расчеты проводились без учета шума. При наличии шума методы МН и БГ могут демонстрировать вычислительную неустойчивость, требуя регуляризации. Предположим, что нам известна ковариационная матрица шума измерений С¥ .

Чтобы включить шум в алгоритм метода МН, умножим уравнение (2.4.2) на ^-1/2

Сд, и получаем

где В1 = С1ШВ1 и А = С/У1/2Д. Тогда ковариационная матрица шума В

__Т

— единичная матрица. Пусть

А=ГТА¥ , где ГК=/ и

Регуляризация достигнута заменой Л на

Л = diag(kvK2,...kk,0...0),

где к <п, так чтобы вклад шума в регуляризованную минимальную норму не был слишком велик. С точки зрения распределения источника регуляризация означает, что ортонормальные ведущие поля, соответствующие низким собственным значениям, плохо поддаются измерению при высоком отношении сигнал/шум. Это может быть расценено как применение винеровского фильтра к обратной задаче.

В методе Бакуса-Гильберта регуляризация выполняется другим образом. Если считать, что погрешности в измеренных величинах определяются гауссовым распределением, оценочная функция становится случайной величиной с

среднеквадратичным отклонением

п

Уаг(Щ )) = £ с, (г0 )с] (г0 )СЩ

'=! (2.4.6)

где Сы - ковариационная матрица измеренных данных В1 . При получении как можно меньшего значения Уаг^(г())) путем подбора

коэффициентов получается более точное значение

Щ)

. В то же самое

время для рассмотрения минимальной области пространства источника необходимо малое значение длины усреднения я^). При этом одновременно минимизация этих

двух операторов производиться не может; вместо этого мы должны изучить плоскость разрешение—погрешность, чтобы найти эффективный компромисс между детальностью изображения и размерами статистической погрешности. Математически минимизация обоих параметров может быть проведена локально с введением множителя Лагранжа [16].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Поляков, Александр, 2002 год

Библиография

[1] R. S. J. Frackowiack, К. J. Frinston, Journal of Anatomy, 194, 2. 1994.

[2] S. Ogawa, D. W. Tank, R. Menon, J. M. Ellerman, S. G. Kim, H. K. Ugnrbil, PNAS, 89(13), 5951-5955, 1992.

[3] M. E. Raichle, Scientific American, 270(4), 36-42, 1994.

[4] D. Cohen, Science, 175, 664-666, 1972.

[5] M. S. Hamalainen, R. J. Ilmoniemi, J. Kmiutila, О. V. Lounasma Mod. Biol 65, 413-497, 1993.

[6] R. R. Llinas, U. Ribary, D. Jeanmonod, E. Kronberg, P. P. Mitra 96, 15222-15227, 1999.

[7] R. L. Parker Geophysical inverse theory., Princeton University 1994.

[8] A. A. Ioannides, D. P. R. Bolton, C. Clarke, Inverse Problems, 6, 1990.

[9] D. P. R. Bolton, J. Gross, L. C. Liu, A. A. Ioannides, Phys. Med. 44, 87-103, 1999.

[10] J. Gross, A. A. Ioannides, Phys. Med. Biol., 44, 2081-2097, 1999.

[11] G. E. Backus, J. F. Gilbert, Geophys.J.Roy.Astron.Soc., 13, 247-276,

1967.

[12] G. E. Backus, J. F. Gilbert, Geophys.J.Roy.Astron.Soc., 16, 169-205,

1968.

[13] G. E. Backus, J. F. Gilbert, Geophys. J.Roy.Astron.Soc., 266, 123-19' 1970.

[14] E. G. P. Memendez, S. Gonzalez Andino, B. Lutkenhon, Brain Tomography 9(2), 117-124, 1996.

[15] R. G. P. Memendez, S. Gonzalez Andino, O. Hauk, L. Spinelli, C. M. Michel, Biomedizinische Technik 42, 53-56, 1997.

[16] G.E. Backus, E.L.Parker, Foundations of geomagnetism., Princeton University Press, 1996.

[17] P. P. Mitra, B. Pesaran, Biophys. J., 76, 691-708, 1999.

[18] J. Z. Wang, S. J. Williamson, IEEE Trans. Biomed. Eng., 40, 387-39 1994.

[19] D. J. Thompson, Proc. IEEE, 25, 1055-1096, 1982.

[20] D. Slepian, H. O. Pollack, Bell Syst. Techn., 40, 43-63, 1961.

[21] D. J. Thompson, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A., 332, 539-597, 1990.

[22] T. P. Bronez, Nonparametric spectral estimation of irregular multidimensional random processesPh.D. Thesis, Arizona State University, 1985

bibitem23 B. H. Jacobsen, K. Moosegard, P. Sibani, Inverse Methods., Springer, 1996.

[23] V. Dmitri, Deconvohtion and inverse theory., Elsevier Science Publishers, 1992

[24] J. Sarvas, Phys. Med. Biol, 32, 11-22, 1987.

[25] G. H. Golub. C. F. Van Loan, Matrix computation., Johns Hopkins University Press, 1996.

bibitem27 J. Malmivuo, E. Plonsey, Biomagnetism., Oxford University Press, 1995.

[26] G. E. Backus, E. L. Parker, Foundations of geomagnetism., Princeton University Press, 1996.

[27] E. L. Parker, Geophysics, 39, 644-649, 1974.

[28] R. L. Parker, J. Geophys. Res., 85, 4421-4428, 1980.

[29] C. Westbrook, C. Kaut, MRI in Practice.. Blackwell Science.London, 1993.

[30] M. A. Bernstein, S. B. Fain, S. J. Eiederer, Magnetic Resonance Imaging, 14, 270-280, 2001.

[31] G. Metzger, S. Sarkar, X. Zhang, K. Heberlein, M. Patel, X. Xu, Magnetic Resonance Imaging, 17, 435-443, 1999.

[32] D. B. Percival, A. T. Waiden, A.T, Spectral analysis for physical applications: Multitaper and conventional univariate techniques., Cambridge University Press, 1993.

[33] M. A. Bernstein, S. B. Fain, S. J. Riederer, Magnetic Resonance Imagir 14, 270-280, 2001.

[34] X. G. Xia, M. Z, Nashed, Inverse Problems, 10,785-804, 1994.

[35] G. J. Foschini, M. J. Gans, Wireless Personal Communications, 6, 311-335, 1998.

[36] B. M. Hochwald, T. L. Marzetta, IEEE Transactions On Signal Processing, 49, 642-653, 2001.

[37] A. J. Paulraj.C. B. Papadia , IEEE Signal Processing Magazine, bf 14, 49-83, 1997.

[38] M. R. Andrews, P. P. Mitra, R. Decarvalho, Nature, 409, 316-318, 2001

[39] B. M. Hochwald, W. Swelden, IEEE Transactions On Communications, 48, 2041-2052, 2000.

[40] A. M. Sengupta, P. P. Mitra, Physical Review E, 60, 3389-3392, 1999.

[41] J. D. Jackson, Classical Electrodymanies, New York: Wiley, 1970.

[42] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, 1994.

[43] W. F. Young, B. Beizer, R. G. Olsen, IEEE Transactions On Antennas And Propagation, 48, 1161-1174, 2000.

[44] R. Piestun, D. A. B. Miller, Journal Of The Optical Society Of America A-Optics Image Science And Vision, 17, 2000.

[45] B. S. Collins, Microwave Journal, 43, 84-97, 2000.

[46] B. M. Hochwald, T. L. Marzetta, IEEE Transactions On Information Theory, 46, 543-564, 2000.