РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ МНОГОИНДЕКСНЫХ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Косенко Олеся Валентиновна

• Косенко Олеся Валентиновна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Косенко Олеся Валентиновна

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ ПОСТАНОВКИ МНОГОИНДЕКСНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

1.1 Определение транспортной задачи как задачи распределения ресурсов

1.2 Этапы решения многоиндексной задачи распределения ресурсов

1.3 Анализ методов размещения центров аккумуляции ресурсов

1.4 Формализация многоиндексной задачи распределения ресурсов

1.5 Анализ методов решения многоиндексных задач распределения ресурсов

1.6 Приближенные методы решения задач распределения ресурсов

1.7 Анализ способов представления недетерминированных величин

1.8 Формализация параметров задачи в виде нечетких интервалов

1.9 Задача автоматизации распределения ресурсов

1.10 Выводы

2 РАЗРАБОТКА МЕТОДА И АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЦИОНАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРОВ АККУМУЛЯЦИИ РЕСУРСОВ

2.1 Методы определения принадлежности объекта к центру аккумуляции ресурсов

2.2 Разработка метода решения задачи определения рационального расположения центров аккумуляции ресурсов при задании параметров в виде нечетких интервалов

2.3 Определение параметров функции принадлежности областей группирования на основе вычисления потенциалов

2.4 Разработка алгоритма решения задачи определения расположения центров аккумуляции ресурсов в условиях неопределенности

2.5 Разработка информационного обеспечения для задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов

2.6 Сравнительная оценка полученных результатов при вариации условий

построения транспортно-распределительной системы

2.7 Вывод

3 РАЗРАБОТКА МЕТОДА И АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ МНОГОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ С НЕЧЁТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1 Модель многоиндексной задачи распределения ресурсов с использованием нечетко-интервального подхода

3.2 Свойства многоиндексной задачи распределения ресурсов с нечеткими параметрами

3.3 Разработка метода индексных элементов для решения многоиндексных задач распределения ресурсов с нечеткими параметрами

3.4 Применение метода декомпозиции для решения многоиндексных распределительных задач

3.5 Разработка алгоритма решения многоиндексной распределительной задачи с нечеткими параметрами

3.6 Области применения метода решения многоиндексных задач распределения ресурсов с нечеткими параметрами

3.7 Выводы

4 АПРОБАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ПРОГРАММНОГО ПРИЛОЖЕНИЯ

4.1 Структура проблемно-ориентированного программного приложения

4.2 Особенности функционирования разработанного программного комплекса123

4.3 Экспериментальное исследование результатов предлагаемого метода

4.4 Оценка эффективности применения метода индексных элементов при решении многоиндексной задачи распределения ресурсов

4.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ

169

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ МНОГОИНДЕКСНЫХ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ»

ВВЕДЕНИЕ

При управлении работой предприятий, цехов, оборудования применяют методы решения разного рода распределительных задач. Математический аппарат распределительных задач или, как ещё говорят, задач назначений представляет собой средство прикладных научных исследований при проектировании систем с применением системного подхода. Общим признаком распределительных задач является распределение ресурсов между их производителями и потребителями этих ресурсов таким образом, чтобы удовлетворялась группа выбранных заранее критериев.

Методы решения распределительных задач, несомненно, следует отнести к множеству методов системного анализа, как методологии теории систем [1, 2], т.к. методы решения распределительных задач связаны с исследованием объектов производства, распределения и потребления ресурсов, которые в совокупности представляют собой самостоятельную систему, требующую структуризации и анализа, т.е. решения задачи синтеза. При решении распределительных задач имеются такие составляющие, как анализ и обработка информации, моделирование, оптимизация и принятие решений для совершенствования управления техническими объектами, предприятиями и отраслью в целом.

В разработку методов системного анализа внесли большой вклад такие ученые как Валуев С.А., Денисов А.А. Волкова В.Н., Емельянов А.А., Квейд Э., Месарович М., Оптнер С., Такахара И., Перегудов Ф.И., Уемов А.И., Холл А., Черняк Ю.И., Янг С. и многие другие [3-9].

Методы решения распределительных задач имеют эволюционное развитие, связанное с усложнением условий решения задач, особенно в ситуациях неопределенности и многокритериальности. Если в семидесятых годах прошлого века популярным было решение простых задач назначений, например, «станки - рабочие» [10], то сейчас уделяется внимание решению многоиндексных распределительных задач с неопределенными параметрами. Развитие

производственных отношений и технологий распределения привело к необходимости создания центров аккумуляции и распределения ресурсов или попросту распределительных центров. Функции этих распределительных центров могут выполнять, в зависимости от решаемой задачи, технологическое оборудование предприятий, банк производственных операций, банк ресурсов технических систем, складские помещения, хранящие информацию серверы сетей передачи дискретной информации и многое другое. Общим признаком распределительных центров является аккумуляция и хранение ресурсов при решении задачи их распределения, что связано с потребностью решения задач эффективного управления потреблением этих ресурсов на других уровнях.

Распределение ресурсов характерно не только для технических систем. Эти задачи существуют и в других научных исследованиях, например, в экономике существует понятие «логистика», важной задачей которой является распределение ресурсов, существуют задачи управления запасами и задачи распределения целей в области исследования операций и многое другое. Таким образом, можно сделать вывод, что решение распределительных задач, направленное на повышение эффективности функционирования объектов исследования и имеющих значительную техническую составляющую, следует отнести к области системного анализа, управления и обработки информации, т.к. необходимо применять методы анализа, моделирования, алгоритмизацию и прикладные программные продукты для выполнения исследований.

Распределительные задачи тесно связаны с транспортными задачами, поэтому в рамках диссертации эти задачи рассматриваются, как идентичные и, в силу достаточного развития логистики, как научного направления, применяются термины и примеры из данной теории.

Распределение ресурсов - важная часть производственной деятельности предприятий, однако роль определяющей функции в организации деятельности предприятий она приобрела относительно недавно [11], и получила название «логистики». В логистике под распределением понимается физическое перемещение ресурсов с целью удовлетворения последующего

производственного спроса [12-18, 181]. Главной целью распределительной задачи является оптимизация процесса распределения ресурсов, имеющихся в запасе и находящихся в центрах аккумуляции ресурсов, т.е. обеспечение конкретного потребителя в заданном месте необходимым ресурсом нужного количества с минимальными затратами [11, 12, 15, 17, 19, 20-23, 182]. Задачи оптимального распределения решают в разных областях науки и техники, но смысл распределения и оптимальности может быть разным в зависимости от конкретной задачи.

Значительная часть действий на пути движения ресурсов от первичного производителя (источника) до конечного потребителя осуществляется через центры аккумуляции ресурсов с применением различных средств (каналов связи, средств перевозки и пр.). Затраты на выполнение операций доставки ресурсов составляют до 50% от суммы общих расходов на решение распределительной задачи [14, 135].

При транспортировке ресурсов могут быть применены различные виды транспортных средств. Одним из решений, способствующих оптимизации взаимодействия нескольких видов транспорта и внедрению в перевозочный процесс передовых бизнес-технологий, является создание транспортно-распределительной системы с целью ускорения продвижения потоков ресурсов, снижение суммарных затрат отправителей и получателей этих ресурсов [25].

Первые работы по оптимизации перевозок появились в 30-х годах XX века и связаны с именами советских математиков Толстого А.С. и Канторовича Л.В. [27-29]. Задача нахождения оптимального плана перевозок, позволяющего минимизировать суммарный километраж, была представлена в работе Толстого А.С. в 1930 году. В 1949 году Канторович Л.В. совместно с Гавуриным М.К. разработали метод потенциалов для решения транспортных задач [29, 30].

В постановке классической транспортной задачи не всегда находят отражения все факторы, влияющие на оптимальное перемещение ресурсов [19, 31, 32], поскольку не учитывается неоднородность распределяемых ресурсов, тип передающего элемента (транспортного средства), наличие центров

аккумуляции ресурсов.

Системный принцип исследования объектов транспортно-распределительной системы, соответствует пониманию того, что при их изучении необходимо исходить из внутренних связей и многосторонних взаимозависимостей между элементами [16, 20, 22, 32, 33]. Под транспортно-распределительной системой будем понимать комплекс взаимосвязанных технических, экономических, технологических, организационных аспектов, обеспечивающих с наибольшей экономической эффективностью распределение различных видов ресурсов. Применительно к решению распределительной задачи это означает, что для управления материальными, информационными и другими потоками должна использоваться комплексная модель единого процесса, учитывающая взаимодействие производителей и потребителей ресурсов, наличие центров аккумуляции ресурсов, неоднородность распределяемых ресурсов, а также различные типы средств доставки, участвующие в распределении [12, 16, 20, 32, 34-36]. Следовательно, увеличение параметров и, как следствие, увеличение индексности позволяет оптимизировать более сложные задачи распределения ресурсов и учитывать большее число факторов, влияющих на стоимость их перевозки.

Первое упоминание о возможности расширения классической двухиндексной транспортной задачи принадлежит Мотцкину Т.С., который в 1952 году в статье [174] сформулировал трехиндексную транспортную задачу. Дальнейшее развитие теория многоиндексных задач получила в работах Юдина Д.Б., Гольштейна Е.Г., Верховского Б.С., Хели К., Таха Х.А., Раскина Л.Г., Кириченко И.О., Моисеева Н.Н., Серой О.В., Прилуцкого М.Х., Афраймовича Л.Г. и многих других [19, 31, 32, 37-45].

Создание новой, устойчивой по отношению к возмущениям внешней среды транспортно-распределительной системы приводит к необходимости решения ряда специфических задач, среди которых [12, 15, 16, 21, 32, 46-49]:

- оценка и прогнозирование спроса на ресурсы;

- планирование и организация производства ресурсов;

- расчет оптимальных уровней заказов на ресурсы и связанные с этим определение объемов и организации рационального функционирования транспортной подсистемы;

- учет неопределенности исходных данных.

Неопределенность исходных параметров транспортно- распределительной задачи определена колебаниями спроса, изменением тарифов перемещения ресурсов, условий распределения, неточностью данных и может существенно влиять на конечный результат. Это обстоятельство предопределяет использование интеллектуальных технологий, таких как теория нечетких множеств.

Родоначальником теории нечетких множеств в современной трактовке является Заде Л. А., основы которой описаны в статье [186]. Фундаментальные исследования в этой области предприняты Дюбуа Д. и Прадом Х. [50, 187, 188]. Также над элементами нечеткой логики трудились следующие отечественные и зарубежные ученые: Аверкин А.Н, Алтунин А.Е., Асаи К., Борисов А.Н., Вощинин А.П., Кофман А., Мамдани Е., Недосекин А.О., Саати Т.Л., Сугэно М., Танака Х., Тэрано Т., Ягер Р. и многие другие [51-58, 189-191, 194].

Нечетко-множественные методы для решения частных задач, в том числе для нахождения оптимального решения распределения ресурсов рассмотрены в работах [32, 60-67, 93, 191-193].

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов и алгоритмов решения задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов и решения многоиндексных транспортных задач, применительно к задачам распределения ресурсов с учетом задания параметров в виде нечетких интервалов.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- анализ методов эффективного размещения центров аккумуляции ресурсов и анализ методов распределения ресурсов с точки зрения оптимального решения многоиндексной распределительной задачи, с учетом специфики типа ресурсов, способов транспортировки, особенностей производства, хранения и потребления;

- разработка метода определения области рационального месторасположения центров аккумуляции ресурсов с учетом задания параметров задачи в виде нечетких интервалов;

- разработка алгоритма метода рационального размещения центров аккумуляции ресурсов с учетом задания параметров в нечетко-интервальном виде;

- разработка метода решения многоиндексной задачи распределения ресурсов, позволяющего получить оптимальное решение за допустимое время, учитывая неопределенность параметров задачи;

- разработка алгоритма метода решения многоиндексной задачи распределения ресурсов, позволяющего учесть неопределенность исходных данных задачи и обеспечивающий оптимальное решение задачи за меньшее время, за меньшее число итераций и без возникновения случаев вырожденности при построении опорного плана (начального решения) задачи, по сравнению с классическим транспортным методом линейного программирования, применяемым при решении задач распределения ресурсов - методом потенциалов;

- разработка программного обеспечения для решения задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов и решения многоиндексной задачи распределения ресурсов с нечеткими параметрами.

Объектом исследования в диссертационной работе являются многоиндексные задачи распределения ресурсов, известные как транспортные задачи линейного программирования, в условиях неопределенности.

Предметом исследования являются многоиндексные задачи распределения ресурсов с нечеткими параметрами.

Методами исследования в диссертационной работе являются методы системного анализа, методы теории нечетко-интервального анализа, методы кластерного анализа, методы линейного программирования, методы математического моделирования.

Новыми научными результатами диссертационной работы являются:

- метод решения задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов для дальнейшего их распределения, отличие которого заключается в расширении исходных методов кластеризации (группирования). Группирование определяется не только расстоянием между объектами, но и спросом на ресурсы, и пропускной способностью (мощностью) центров аккумуляции ресурсов с учетом нечеткости исходных параметров. Новизна предлагаемого подхода заключается в возможности определения не только необходимого количества центров распределения ресурсов и их рациональной области размещения, но и позволяет учесть неопределенность параметров задачи. Применение методов теории нечетко-интервального анализа, позволит получить решение задачи размещения центров аккумуляции ресурсов множеством нечетких интервалов -координат размещения, которые определят область для варьирования данными в зоне наилучших решений;

- алгоритм предложенного метода рационального размещения центров аккумуляции ресурсов, позволяющий учесть неопределенность исходных данных и сократить стоимость распределения ресурсов в среднем на 25% по сравнению с известными методами;

- метод решения многоиндексной задачи распределения ресурсов, позволяющий учесть основные факторы, влияющие на стоимость перевозки грузов (ресурсов): производительность поставщика, спрос потребителя, наличие центра аккумуляции ресурсов, вид ресурса и, соответственно, вид транспорта, осуществляющего перевозку. В основе предлагаемого метода индексных элементов для решения многоиндексной распределительной задачи лежит приближенный метод нуль-преобразования для трехиндексных задач, расширенный до пяти индексов. Существенное отличие предложенного метода заключается в определении параметров задачи в виде нечетких интервалов. Неопределенные точно параметры задачи заданы в виде интервалов, значениям которых соответствуют значения, определенные с достаточной степенью достоверности либо по статистическим данным, если их накоплено достаточно для определения параметров, либо руководствуясь накопленным опытом и

интуитивными предположениями экспертов;

- алгоритм предложенного метода решения многоиндексной задачи распределения ресурсов, позволяющий учесть неопределенность исходных данных задачи и обеспечивающий оптимальное решение задачи за меньшее время, за меньшее число итераций и без возникновения случаев вырожденности при построении опорного плана (начального решения) задачи, по сравнению с классическим транспортным методом линейного программирования, применяемым при решении задач распределения ресурсов - методом потенциалов;

- программные комплексы, основанные на реализации предложенных методов и алгоритмов, которые обеспечивают оптимизацию совокупного материального потока на всем протяжении - от первичного источника сырья (производителя) до конечного потребителя, что определяет максимальный эффект при распределении ресурсов и позволяет усовершенствовать систему управления распределением ресурсов путем организации единой системы планирования и контроля. Разработанные комплексы обеспечивают решение задач учета, распределения и управления, а также применение возможностей современных информационных технологий (информационные картографические службы: Яндекс.Карта, Ооо§1еМарБ и т.д., программные решения для оперативного управления на платформе 1С) для поддержки решения задач данного класса.

Практическая ценность результатов исследований заключается в том, что на основе разработанного алгоритма рационального расположения центров аккумуляции ресурсов для дальнейшего их распределения и алгоритма решения многоиндексных задач распределения ресурсов в нечетко-интервальной постановке созданы программные средства информационно-аналитической поддержки принятия решений планирования и управления при распределении ресурсов. Внедрение данных программ позволяет получить оптимальное решение за допустимое время, при этом учесть факторы, влияющие на стоимость распределения ресурсов.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов и

заключения.

В первом разделе диссертации проанализирована классическая транспортная задача и выявлено, что в известных решениях транспортной задачи учитываются не все обстоятельства, влияющие на оптимальное перемещение ресурсов от производителей к потребителям, в то время как увеличение индексности задачи позволяет учесть больше факторов, влияющих на стоимость перевозки ресурсов. Выполнен анализ базовых моделей транспортных задач, которые определяют многоиндексную задачу распределения ресурсов.

Выполнен анализ методов решения транспортных задач и выявлен ряд трудностей при применении данных подходов к решению поставленной пятииндексной задачи распределения ресурсов, среди которых:

- проблема разрешимости задачи и связанное с ней построение начального опорного плана требует разработки метода, позволяющего снизить влияние возникновения вырожденности в многоиндексных задачах транспортного типа;

- проблема нахождения наилучшего решения при большой размерности задачи, т.к. получить точное решение таких задач за допустимое время не всегда возможно, что требует построения и применения простых и эффективных приближенных методов решения многоиндексных задач распределения ресурсов;

- необходимость учета неопределенности исходных данных, т.к. численные значения параметров реальных задач, как правило, не являются точными из-за случайных ошибок и факторов, влияющих на значения параметров задачи;

- для решения задачи по размещению центров аккумуляции ресурсов с учетом недетерминированности спроса необходим метод, который бы учитывал возможность размещения нескольких центров аккумуляции ресурсов, с возможностью корректировки координат их расположения в зависимости от величины недетерминированного спроса области потребления ресурсов и центров аккумуляции ресурсов.

Формализованы параметры задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов и многоиндексной задачи распределения ресурсов в виде

нечетких интервалов. Рассмотрены особенности применения новых информационных технологий для решения распределительных задач.

Во втором разделе диссертации показано, что эффективным способом снижения стоимости и времени транспортировки ресурсов является наличие центров аккумуляции ресурсов. Так как центр аккумуляции ресурсов является составной частью цепи доставки ресурсов от производителей к потребителям, то задача его рационального расположения является важной составляющей задачи транспортно-распределительной системы. Результатом исследований является разработка метода решения задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов. Определены параметры задачи в виде нечетких интервалов. Задание параметров спроса в задаче определения области рационального размещения центров аккумуляции ресурсов в виде нечетких интервалов позволяет получить адекватные результаты при отсутствии возможности четкого указания величины спроса определенной области потребления ресурсов и определить существование допусков на изменение соответствующих величин.

Разработанный метод рационального размещения центров аккумуляции ресурсов, основанный на модификации горного метода, отличается возможностью определения необходимого числа центров аккумуляции ресурсов с учетом не только расстояния между объектами группирования, но и с учетом спроса в областях потребления, а также пропускной способности (емкости) центров аккумуляции, и метода центра тяжести, используемого для корректировки координат расположения центра в соответствующей области группирования. Отличие метода заключается в определении параметров задачи в виде нечетких интервалов.

Приведено определение параметров функции принадлежности областей спроса, позволяющее определить степень принадлежности каждой из областей спроса центрам аккумуляции ресурсов.

Результат решения задачи размещения центров аккумуляции ресурсов -множество нечетких интервалов. Место расположения центра аккумуляции

определится не конкретными числовыми значениями, а нечетким интервалом, определяющим область наиболее рационального расположения центра аккумуляции, характеризующегося не только расстоянием между объектами, но и спросом, заданным в виде нечеткого интервала. Определение значений координат размещения в виде нечетких интервалов позволяет определить область для варьирования данными в зоне наилучших решений. Задание параметров задачи группирования в нечетко-интервальном виде в наибольшей степени отражает действительность, чем при задании этих параметров в виде четких величин.

Разработано программное приложение, включающее совокупность элементов (модулей) системы, позволяющее обеспечить ввод исходных данных в виде нечетких интервалов, на основе которых производится формирование географического расположения (координат) центров аккумуляции ресурсов и общей стоимости транспортировки ресурсов через данные центры.

В третьем разделе диссертации разработан метод формализации и алгоритм решения многоиндексной задачи распределения ресурсов при задании параметров модели в виде нечетких интервалов. Описана пятииндексная задача распределения ресурсов и ее свойства в нечеткой постановке.

Метод индексных элементов позволяет получить оптимальное решение пятииндексной задачи распределения ресурсов с нечеткими параметрами. Описана пошаговая процедура решения поставленной задачи распределения. Приведена графическая интерпретация алгоритма решения многоиндексной транспортно-распределительной задачи с нечеткими параметрами.

Рассмотрено применение метода декомпозиции для решения многоиндексных задач распределения ресурсов. Рассмотрены варианты практического применения методов решения многоиндексных задач распределения ресурсов с нечеткими параметрами. Алгоритм и методы решения распределительных задач имеют многообразные приложения, в частности при решении различного типа экономических задач, не имеющих ничего общего с доставкой ресурсов потребителю.

В четвертом разделе диссертации разработана структура программного

модуля для решения многоиндексной распределительной задачи с параметрами, заданными в виде нечетких интервалов. Разработано программное приложение для решения многоиндексных распределительных задач с нечеткими параметрами, которое реализует комплексную модель транспортно-распределительной системы, построенную на основе методов системного анализа и методов теории нечетких множеств, включающая в себя взаимодействие производителей и потребителей ресурсов, наличие центров аккумуляции ресурсов, неоднородность распределяемых ресурсов и различные типы транспортных средств, участвующих в транспортировке.

На примере решения пятииндексной задачи распределения ресурсов обоснована эффективность, практическая и теоретическая значимость предложенных методов и программного приложения. Итогом решения является определение оптимального нечеткого плана распределительной задачи, удовлетворяющего условию минимизации целевой функции. Выполнена оценка эффективности применения разработанного метода для решения многоиндексных задач нахождения оптимального решения распределения ресурсов в сравнении с классическим методом потенциалов. Доказана эффективность применения разработанного метода для поиска оптимального решения распределительных задач большой размерности в условиях неопределенности исходных данных

Заключение содержит выводы о работе.

Результаты работы внедрены:

- на предприятии ООО «Юг-Гарант» приняты к использованию разработанный метод и программный комплекс, реализованный на основе предложенного метода рационального размещения центров аккумуляции и распределения ресурсов;

- на предприятии ООО «СМиК» приняты к использованию разработанный метод и программный комплекс, реализованный на основе предложенного метода решения многоиндексной задачи распределения ресурсов;

- в учебном процессе на кафедре систем автоматического управления Института радиотехнических систем и управления Южного федерального университета.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- III Всероссийская научная конференция молодых учёных, аспирантов и студентов «Проблемы автоматизации. Региональное управление. Связь и автоматика. - ПАРУСА-2014» - Геленджик: ЮФУ, 2014 г.;

- XII Всероссийская научная конференция молодых ученых аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление (ИТСАиУ-2014)», г. Таганрог, 2014 г.;

- IV Всероссийская научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Современные технологии, естествознание, педагогика - СТЕПь-2015», г. Элиста, 2015 г.;

- VIII Международная научно-практическая конференция «Молодежь и наука: реальность и будущее». Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Невинномысский институт экономики, управления и права". Невинномысск, 2015 г.;

- Международная научно-практическая конференция «Молодежный форум: технические и математические науки», «Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г.Ф. Морозова». Воронеж, 2015 г.;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Косенко Олеся Валентиновна, 2017 год

и Источник •

1

^ I] По1ребмтепи

т

С г.равен мая информация

.ч а л,д.м- м- » -

Вилы передающих

Цеигры аккумуляции ресурсов

Нк1Ди флииппры Г 1л|Н(Л0Н]ири'г

Передающий элемент

Создать Соадзгь группу -Па- с«,. -

I Именование 1 Вид транспорта

- Передающим >п»мемт 1 Передают«!! алом е«т 1.1

' П^родакчций -лигыгж 2 Пи|идишщ»Л унии в»! г 1

1-14-1-

Рисунок 4.8 - База данных видов транспортных средств

Следует отметить особенности задания параметров стоимости перевозки, БД значений которой формируется исходя из перебора всех возможных комбинаций первоначально заданных параметров видов ресурсов (номенклатуры) и видов передающих элементов, осуществляющих перевозку. На основе заданных параметров производится автоматический расчет предварительной стоимости перевозки (у. е. на кг/км), которая при необходимости может быть скорректирована экспертом. Пример задания параметров стоимости перевозки на основе экспертных данных представлен на рисунок 4.9.

Планирование (1С:Предприятие)

й & 1И [аЦ м м. м-1 ш

А

Источники ресурсов

и.

Справочная информация

Виды передающих элементов

ш

Центры аккумуляции ресурсов

Стоимость перевозок

★

И

о.

Провести и закрыть

Стоимость перевозок 000000003 от 23,08.2016 15:25:11 :

Записать | | Провести |

Номер: 000000003

Дата: 23.08.2016 15:25:11

Добавить | [ Еще

N Производитель Потребитель Промежуточный центр Вид номенклатуры Вид транспорта Стоимость

1 Источник 1.2 Потребитель 1.3 ЦАР 1.2 Ресурс 1.1 Передающий элемент 1.1 5; 12; 14;)

2 Источник 1.2 Потребитель 15 ЦАР 1.2 Ресурс 1.4 Передающий элемент 1.1 [2: 4; 10; 13;)

3 Источник 1.2 Потребитель 1.7 ЦАР 1.2 Ресурс 1.7 Передающий элемент 2.1 (6: 4; 7; 14;)

4 Источник 1.2 Потребитель 1.7 ЦАР 2.1 Ресурс 1.4 Передающий элемент 1.1 * 2; 5; 7;)

5 Источник 1.2 Потребитель 1.8 ЦАР 2.1 Ресурс 1.6 Передающий элемент 1.1 (2; 3; 4; 7;)

6 Источник 1.2 Потребитель 18 ЦАР 2.1 Ресурс 1.7 Передающий элемент 1.1 (1: 1; 10; 10;)

Рисунок 4.9 - База данных стоимости перевозки ресурсов (тарифы)

Перечисленные выше базы данных содержат необходимую структурированную информацию о производителях и видах ресурсов, о потребителях, центрах аккумуляции, стоимости распределения ресурсов определенными передающими элементами. Базы знаний экспертов предназначены для долгосрочного хранения данных, а также благодаря имеющейся возможности переноса/конвертации данных средствами пакета 1 С, пользователь имеет возможность их наращивания с целью дальнейшего использования и анализа.

После ввода исходных параметров, на основании разработанного в разделе 3 метода решения многоиндексной задачи распределения ресурсов в нечеткой постановке, производится расчет оптимального распределения ресурсов. Полученные результаты могут быть представлены пользователю в виде отчета по определяющему параметру (см. рисунок 4.10).

[1С Выбор варианта отчета - Планирование (1С: Предприятие) X

Выбор варианта отчета

Основной

По ЦАР По Источникам По Потребителям По Ресурсам По Передающим апементам

Выбрать | Отмена | | ? |

Рисунок 4.10 - Окно выбора отчета по параметру

Также пользователю может быть представлены рекомендации по оптимизации транспортно-распределительной системы (рисунок 4.11).

^^^ Главное

(1С:Преоприятае)

Источники ресурсов

Н |Д йй Мзцщ 1 м м+ м- ш'ч!. - - □ *

% и.

ш

Справочная информация

Виды ресурсов

Вццы передающих

I' "* ' элементов »ЯР

Центры аккумуляции ресурсов

Начальная страница

Отчет по спросу

Сформировать | Выбрать ^ Период: 0 ["19.08 2016 - 27 08 2016

Параметры: Период: 19.08 2016 - 27.08.2016

РЕКОМЕНДАЦИИ

Общая стоимость распределения ресурсов через ЦАР 1.1 (257,124 000,134 750,270)

Общая стоимость распределения ресурсов через ЦАР 1.2 (22,12 000,14 236,49)

Общая стоимость распределения ресурсов через ЦАР2.1 (104,56 214,61 445,152)

Рекомендовано: Передающий элемент 1.1 недогруз (20,115,178,26)

Ресурс 1.1 увеличить (4,24,30,3)

Ресурс 4.12 избыточен (10,203,211,24)

Рисунок 4.11 - Окно рекомендаций

Таким образом, результатом работы данного программного приложения являются рекомендации, обеспечивающие оптимальное решение задачи распределения ресурсов, с целью удовлетворения спроса потребителей, позволяющие принимать решения оперативного планирования и управления материальными, информационными и другими потоками.

4.3 Экспериментальное исследование результатов предлагаемого метода

4.3.1 Постановка экспериментальной задачи. Для исследования и сравнения результатов использования различных методов решения многоиндексных распределительных задач рассмотрим конкретный пример.

Дана пятииндексная задача распределения ресурсов, со следующими множествами:

Л={а}={7;7;16} - множество ограничений по первому параметру;

Б={Ь]}={1;12;9;8} - множество ограничений по второму параметру;

&={й\}={.34} - множество ограничений по третьему параметру;

¥={уг}={3;5;22} - множество ограничений по четвертому параметру;

Q=Ы={6;4} - множество ограничений по пятому параметру.

Необходимо определить оптимальный план решения многоиндексной задачи распределения ресурсов в виде:

X ={x ijkrl}={x 11111, x 12111, x 13111, x 14111, x 11121, x 12121, x 13121, x 14121, x 11131, x 1213b x 1313b x 1413b x 2111b x 2211b x 2311b x 2411b x 2112b x 2212b x 2312b x 2412b x 2113b

x 2213b x 2313b x 2413b x 31111,x 3211b x 3311b x 3411b x 3112b x 3212b x 3312b x 3412b x 3113b x 3213b x 3313b x 3413b x 11112, x 12112, x 13112, x 14112, x 11122, x 12122, x 13122, x 14122, x 11132, x 12132, x 13132, x 14132, x 21112, x 22112, x 23112, x 24112, x 21122, x 22122, x 23122, x 24122, x 21132,

x 22132, x 23132, x 24132, x 31112,x 32112, x 33112, x 34112, x 31122, x 32122, x 33122, x 34122, x 31132, * * *

x 32132, x 33132, x 34123},

минимизирующий целевую функцию

F(X)=c11111x11111 + c12111x12111 + c13111x13111 + c14111x14111 + c11121x11121 + + c12121x12121 + c13121x13121 + c14121x14121 + c11131x11131 + c12131x12131 + c13131x13131 + + c14131x14131 + c21111x21111 + c22111x22111 + c23111x23111 + c24111x24111 + c21121x21121 + + c22121x22121 + c23121x23121 + c24121x24121 + c21131x21131 + c22131x22131+ c23131x23131 + + c24131x24131 + c31111x31111 + c32111x32111 + c33111x33111 + c34111x34111 + + c31121x31121 + + c32121x32121 + c33121x33121 + c34121x34121 + c31131x31131 + c32131x32131 + + c33131x33131 + + c34131x34131 + c11112x11112 + c12112x12112 + c13112x13112 + c14112x14112 + + c11122x11122+ + c12122x12122 + c13122x13122 + + c14122x14122 + c11132x11132+ c12132x12132 + + c13132x13132 + + c14132x14132 + c21112x21112 + c22112x22112 + c23112x23112 + c24112x24112 + c21122x21122 + + c22122x22122 + c23122x23122 + c24122x24122 + c21132x21132 + c22132x22132 + c23132x23132 + + c24132x24132 + c31112x31112 + c32112x32112 + c33112x33112 + c34112x34112 + c31122x31122 + + c32122x32122 + c33122x33122 + c34122x34122 + c31132x31132 + c32132x32132 + c33132x33132 + + c34132x34132

и удовлетворяющий ограничениям:

x11111 + x12111 + x13111 + x14111 + x11121 + x12121+ x13121 + x14121 + x11131 + x12131 + x13131 + x14131 + + x11112 + x12112 + x13112 + x14112 + x11122 + x12122 + x13122 + x14122 + x11132 + + x12132 + x13132 + x14132

x21111 + x22111 + x23111 + x24111 + x21121 + x22121 + x23121 + x24121 + x21131 + x22131 + x23131 + + x24131 + x21112 + x22112 + x23112 + x24112 + x21122 + x22122 + x23122 + x24122 + x21132 + + x22132 + x23132 + x24132

x31111 + x32111 + x33111 + x34111 + x31121 + x32121 + x33121 + x34121 + x31131 + x32131 + x33131 + + x34131 + x31112 + x32112 + x33112 + x34112 + x31122 + x32122 + x33122 + x34122 + x31132 + x32132 + x33132 <16

x11111 + x11121 +x11131 + x21111 + x21121 + x21131 + x31111 + x31121 + x31131 + x11112 + x11122 + +x11132 + x21112 + x21122 + x21132 + x31112 + x31122+ x31132<1

x12111 + x12121 + x12131 + x22111 + x22121+ x22131+ x32111+ x32121+ x32131 + x12112 + x12122 + + x12132 + x22112 + x22122+ x22132+ x32112+ x32122+ x32132<12

x13111 + x13121 + x13131 + x23111 + x23121 + x23131+ x33111+ x33121+ x33131 x13112+ x13122+ + x13132 + x23112+ x23122 + x23132+ x33112+ x33122+ x33132<9

x14111+ x14121+ x14131 + x24111 + x24121 + x24131+ x34111+ x34121+ x34131 + x14112+ x14122 + + x14132+ x24112+ x24122+ x24132+ x34112+ x34122+ x34132-8

x11111 + x12111 + x13111 + x14111 + x11121 + x12121 + x13121 + x14121 + x11131 + x12131 + x13131 + + x14131 + x21111 + x22111 + x23111 + x24111 + x21121 + x22121 + x23121 + x24121 + x21131 + + x22131 + x23131 + x24131 + x31111 +x32111 + x33111 + x34111 + x31121 + x32121 + x33121 + + x34121 + x31131 + x32131 + x33131 + x34131 + x11112 + x12112 + x13112 + x14112 + x11122 + + x12122 + x13122 + x14122 + x11132 + x12132 + x13132 + x14132 + x21112 + x22112 + x23112 + + x24112 + x21122 + x22122 + x23122 + x24122 + x21132 + x22132 + x23132 + x24132+ x31112+x32112+ + x33112 + x34112 + x31122 + x32122 + x33122 + x34122 + x31132 + x32132 + x33132 + x34123<34

x11111 + x12111 + x13111 + x14111 + x21111 + x22111 + x23111 + x24111 +x31111 + x32111 + x33111 + + x34111 +x11112 + x12112 + x13112 + x14112 + x21112 + x22112 + x23112 + x24112 +x31112 + + x32112 + x33112 + x34112<3

x11121 + x12121 + x13121 + x14121 + x21121 + x22121 + x23121 + x24121 + x31121 + x32121 + x33121 + + x34121 + x11122 + x12122 + x13122 + x14122 + x21122 + x22122 + x23122 + x24122 + x31122 + + x32122 + x33122 + x34122<5

x11131 + x12131 + x13131 + x14131+ x21131 + x22131 + x23131 + x24131+ x31131 + x32131 + x33131 + + x34131 + x11132 + x12132 + x13132 + x14132+ x21132 + x22132+ x23132 + x24132 + x31132 + + x32132 + x33132 + x34132 <22

x11111 + x12111 + x13111 + x14111 + x11121 + x12121 + x13121 + x14121 + x11131 + x12131 + x13131 + + x14131 + x21111 + x22111 + x23111 + x24111 + x21121 + x22121 + x23121 + x24121 + x21131 + + x22131 + x23131 + x24131 + x31111 +x32111 + x33111 + x34111 + x31121 + x32121 + x33121 + + x34121 + x31131 + x32131 + x33131 + x34131<6

x11112 + x12112 + x13112 + x14112 + x11122 + + x12122 + x13122 + x14122 + x11132 + x12132 + x13132 +x14132 + x21112 + x22112 + x23112 + + x24112 + x21122 + x22122 + x23122 + x24122 + x21132 + x22132 + x23132 + x24132+ x31112+x32112+ + x33112 + x34112 + x31122 + x32122 + x33122 + x34122 + x31132 + x32132 + x33132 + x34123<4

ХуЫ>0, 1=1,2,3;]=1,2,3,4; к=1; г=1,2,3; 1=1,2.

При этом тарифы на перевозку е^ы имеют следующие значения: с11111=5;

с12111 =11; с13111=9; с14111=3; с 11121=17; с12121=15; с13121=10; с14121=13; с11131=9; с 12131 =6; с13131=10; с14131 = 7; с21111=11; с22111 =8; с23111 = 7; с24111=8; с21121=25; с 22121 =1; с 23121 =1; с24121 =4; с21131=31; с22131=2; с23131=20; с24131=4; с31111=15; с 32111 =45; с33111=6; с34111=25; с31121=21; с 32121 =8; с33121=3; с34121=15; с31131=13; с32131 = 7; с33131=9; с34131=2; с11112=5; с12112=11; с13112=9; с14112=3; с11122=17; с12122=15; с13122=10; с14122=13; с11132=9; с12132=6; с13132=10; с14132 = 7; с21112=11; с22112=8; с23112 = 7; с24112=8; с21122=25; с22122=1; с23122=1; с24122 =4; с21132=31; с22132 =2; с23132=20; с24132 =4; с31112=15; с32112=45; с33112=6; с34112=25; с31122=21; с32122 =8; с33122=3; с34122=15; с31132=13; с32132 = 7; с33132 =9; с34132 =2.

Решим данную пятииндексную задачу распределения ресурсов методом потенциалов [31], методом потенциалов в нечеткой постановке [91], методом нуль-преобразований [31] и разработанным методом индексных элементов в нечеткой постановке [231].

4.3.2 Решение задачи методом потенциалов. Метод потенциалов является классическим оптимизационным методом линейного программирования для решения распределительных задач [19, 30]. Решение двухиндексных задач методом потенциалов широко освещено в литературе [ 45, 68 - 75]. Решение трехиндексных задач данным методом основывается на обобщении метода потенциалов для двухиндексных задач и представлено в работах [19, 31].

Решение задачи методом потенциалов состоит из двух этапов:

- нахождение опорного плана (предварительного);

- нахождение оптимального плана.

Рассмотрим процесс построения опорного плана для задачи, приведенной в подразделе 4.3.1. Для нахождения опорного плана применим метод северозападного угла, в случае, когда число индексов больше двух, метод принято называть методом последовательного распределения [31]. Алгоритм метода следующий: необходимо выбрать произвольный элемент Хум матрицы[х^/] и положить его равным:

Хг1Лк1г111=мт (аи, Ьу1, УГ1, ди}

На первом шаге данного метода выбирается элемент x11111, а на каждом из последующих шагов выбирается элемент х^ы с минимальными значениями индексов i, j, к, r, l. Элемент x^mmu входит в пять ограничений:

J K R l I K R l I J R l

2 2 2 2 Xi1 jkrl = ai' 2 2 2 2 Xij1krl = bj' 2 2 2 2 Xijk1rl = dk '

j=1 к=1 r=1 l=1 i=1 к=1 r=1 l=1 i=1 j=1 r=1 l=1

I J K l I J K R

2222Xijkr1l = vr; 2222хчы1 = ql> i=1 j=1 к=1 l=1 i=1 j=1 к=1 r=1

Если предположить, что min {ai1, bj1, d^, vr1, quj = ai1, тогда значения ограничений bj1, dk1, vr1, qi1 необходимо корректировать следующим образом: b j1 = bj1- ai1, d к1= dk1- ai1, v r1 = vr1- ai1, q l1= ql1- ai1. Приняв значения остальных переменных в сечении Xrlli равными нулю, можно исключить это сечение из матрицы {Xj-ы}, уменьшив, таким образом, размерность матрицы. В результате получаем новую усеченную матрицу {x^} размера (I - 1xJ*KxR*L) и новый вектор ограничений {ab... ai-1, ai+1,..., ab b1,. bj,..., bJ, db... dh... dK, vb... v„... vR, q1,. ql,... qL}. Далее процедура повторяется до тех пор, пока все значения {a, bj, dh vr, ql} не будут равными нулю. Элементы XyM матрицы {x^}, которые на очередном шаге вводятся в множество ненулевых компонент плана составят опорный план задачи.

Для задачи, приведенной в подразделе 4.3.1, опорный план определится из следующих элементов: Xmn =1; X12111 =2; X12122 =4; X22121 =1; X22122 =1; X22132 =5;

X23132 =1; X33131 =8; X34131 =8- Р(Хопорн)=2°7.

Определяя вырожденность задачи, необходимо, чтобы число элементов опорного плана было равно I+J+K+R+L-4=3+4+1+3+2-4=9. В нашем случае задача не вырождена. Переходим ко второму этапу - поиску оптимального плана задачи.

Каждая итерация второго этапа метода потенциалов состоит из двух шагов. На первом шаге проверяется оптимальность полученного в предыдущей итерации плана, при этом используется критерий оптимальности

Öl -1r - Wk -aj - Щг ^ СуЫ , i = 1 ^ j = 1 ^ к = 1 K, r = 1 R l = 1 L

где öl, Xr wb aj, щ - потенциалы задачи распределения ресурсов.

Если план оптимальный, то вычисление заканчивается. В противном случае, выполняется второй шаг итерации, на котором получают новый план, более близкий к оптимальному.

После проведения четырнадцати итераций, без учета итераций по построению начального опорного плана, был найден оптимальный план задачи

Х ={х 1)Ы} = {Х 11111=1, Х 12131=6, Х 23121=1, Х 23122=1, Х22131=6, Х33112=2, Х 33122 =4, * *

х 33132 =2, Х 34131=8}. Целевая функция, определяющая минимальную стоимость распределения ресурсов Г(Х*)=113.

4.3.3 Решение пятииндексной задачи методом потенциалов в нечеткой постановке. Решение трехиндексных распределительных задач в нечеткой постановке рассмотрено в работе [91]. Рассмотрим решение пятииндексной распределительной задачи. Необходимо найти целевую функцию, определяющую величину стоимости распределения ресурсов, которая представлена, как нечеткая функция и определится уравнением:

I J К К I

Р(Х) = 1111! г

1=1 j=1 к=1 г=1 1=1

Нечеткий план X* =[ Х jы ] назовем набором нечетких переменных задачи, которые полностью определяют задачу. Зададим нечеткие параметры задачи четырьмя значениями, согласно формализации, описанной в разделе 1.8. Для возможности корректного сравнения полученных решений поставленной задачи зададим левый коэффициент нечеткости, правый коэффициент нечеткости, нижнее модальное значение и верхнее модальное значение нечеткого интервала, определяющего значение исходного параметра распределительной задачи в нечеткой постановке, таким образом, чтобы значение центра тяжести построенной трапеции по данным нечеткого интервала, по оси абсцисс, равнялось соответствующему значению задачи в четкой постановке, описанной в подразделе 4.3.1.

Тогда ограничения параметров, будут иметь следующие значения: а1 = (1,6,8,1), а2 = (2,5,9,2), а3 = (1,16,16,1) - множество ограничений по первому параметру;

г = (1,1,1,1), Ь2 = (3,4,20,3), Ь3 = (1,8,10,1), Ь4 = (2,6,10,2) - множество ограничений по второму параметру;

d1 = (1,34,34,1) - множество ограничений по третьему параметру; ~ = (1,3,3,1), ~2 = (2,2,8,2), ~3 = (1,22,22,1) - множество ограничений по четвертому параметру;

q1 = (1,4,8,1), q2 = (1,4,4,1) - множество ограничений по пятому параметру. Необходимо определить оптимальный план решения многоиндексной задачи распределения ресурсов X* = {х*ы}, минимизирующий целевую функцию

F(X). При этом тарифы на перевозку сг.ы, заданные в нечетко-интервальном

виде имеют следующие значения: спш = (2,4,6,2;, = (2,11,11,2),

c 13111 = (1,8,10,1), C14111 = (2,3,3,2) , С 1л21 = (3,14,20,3), с^ = {2,12,18,2},

c 13121 = (1,10,10,1), с14121 = (3,10,16,3), ^ = (1,8,10,1;, ^12131 = (1,5,7,1J ,

c ^13131 = (1,10,10,1), с 1131 = (1,4,10,1), = (1,11,11,1), = {2,6,10,2} ,

c 23111 = {1,6,8,1}, с24111 = (2,6,10,2), с21121 = (3,21,24,3), с22121 = (1,1,1,1), с23121 = (1,1,1,1)

, С24121 ( 2,3,5,2 ), ~21131 = (3,25,37,3;, c22131 (1,1,3,1) , 'с 23131 = (2,16,24,2),

c 24131 = (1,3,5,1), с31111 = (2,12,18,2), c32111 (3,35,55,3) , с33111 = (1,6,6,1),

c 34111 = (1,20,30,1), сЗШ1 = (2,18,24,2), ^ = (1,6,10,1), c33121 = (1,3,3,1) ,

c 34121 = (1,12,18,1), с^ = (1,10,16,1), с32131 = (1,6,8,1) . с33131 = (1,10,18,1),

c 34131 = (1,2,2,1); С1Ш2 = (1,5,5,1;, = (1,10,12,1), = (2,9,9,2;, с14112 = (1,2,4,1;,

c 11122 = (2,14,20,2), с12122 = {1,15,15,1} , с13122 = (2,8,12,2;, = (3,10,16,3),

c 11132 = (2,9,9,2), c12132 = (1,5,7,1) , 'сс 13132 = (2,10,10,2), ^ 14132 = (1,7,7,1J ,

c 21112 = (1,11,11,1), = {2,6,10,2} , ^ 23112 = {1,6,8,1} , ^ = (1,6,10,1) ,

c 21122 = (1,21,24,1), c22122 = (1, 1, 1, 1) , c23122 = (1, 1, 1, 1) , c24122 = (1,4,4,1),

c 21132 = (2,26,36,2;, c22132 = С1,2,2,1) , (-^23132 = (2,16,24,2), c24132 = (1,3,5,1) ,

c 31112 = (2,12,18,2), = (3,40,50,3), ^33112 = (1,6,6,1) , с34Л2 = (2,25,25,2;,

c 31122 = (2,20,22,2), ^ = (1,6,10,1), c33122 = (1,3,3,1) , "с34122 = (1,12,18,1) ,

С31132 = (2,10,16,2), с32Ш = (1,6,8,1), сззш = (2,9,9,2), с34132 = (1,2,2,1).

Итогом решения данной задачи с нечеткими параметрами является определение оптимального нечеткого плана распределения ресурсов, определяющее оптимальное значение целевой функции ¥(Х) = (31,98,132,38).

4.3.4 Решение пятииндексной задачи приближенным методом нуль-преобразований. В примере, решенном методом потенциалов, исходные

значения целевой функции использовались без каких-либо преобразований. В методе нуль-преобразований коэффициенты с^ы на каждой итерации пересчитываются по следующей формуле:

с)ы = С,]Ы - (а +в + гк + р + и)

при этом а, в), У к, фг, ¡1 - вычисляемые параметры в соответствующем сечении матрицы стоимости, которые определяются следующим образом:

а = т™\с1]Ы} ,г },

в = тп{с'кг,- а})е {1,2,...^}

у к = ^ркш - а - в)},к е {1,2,...л} (Рг = тм^кг, -а -в) -ук},г е {1,2,...,К},

и, = "¡^кг,-а -в -гк -Рг} 1 е{1,2,...А

Для примера, описанного в подразделе 4.3.1, на первой итерации получим следующие значения: а1=3; а2=1; а3=2; в=2; в2=0; вз=0; в4=0; у1=0;ф1=0; ф2=0;

Фз=0; и1=0; ¡и2=0.

Из пересчитанной матрицы с1^ выпишем индексы нулевых ячеек: (¡]кг1) = {(11111); (14111); (22121); (23122); (34132)}. Далее для определения ведущего индексного элемента необходимо среди ограничений соответствующих нулевых ячеек выбрать максимальное значение из соответствующих минимальных значений ограничений. Для рассматриваемого примера х34132 =8. Таким образом, получили первый компонент оптимального плана задачи распределения. После корректировки ограничений, переходим ко второй итерации, которая выполняется аналогично первой, но преобразованиям подвергается матрица, размерность которой будет меньше исходной на одно сечение и так далее. После проведения восьми итераций был найден план задачи X*={х*1)кг[}={х*11111=1, х*13111=1, х*12131=5,

х*22131=7, х 33112=1, х 33122=5, х 33132=2, х 34132=8}. Целевая функция, определяющая

*

стоимость распределения ресурсов Г(Х )=114.

4.3.5 Решение пятииндексной задачи методом индексных элементов.

Определим задание параметров задачи в виде нечетких интервалов, как описано в подразделе 4.3.3. В соответствии с разработанным алгоритмом, описанным в разделе 3.3, в результате вычислений на этапе 1 алгоритма решения многоиндексной задачи (см. раздел 3.3) получены следующие значения

а, = (2,3,3,2), а2 = (1,1,1,1), а3 = (1,2,2,1), Д = (4,1,3,4), в = (0,0,0,0), в = (0,0,0,0),

в = (0,0,0,0), Y = (0,0,0,0;, ~ = (0,0,0,0;, ~ = (0,0,0,0), ~ = (0,0,0,0;, д = (0,0,0,0),

д2 = (0,0,0,0). После выполнения этапа 2 (формирования матрицы, содержащей нулевые индексные элементы) определится первый ведущий индексный элемент (этап 3), формирующий план задачи как х*4132 = (2,6,10,2). После каждого вычисления ведущего индексного элемента необходимо провести корректировку значений ограничений (этап 4). Далее необходимо исключить сечение, в котором значение ограничения равно нулю (этап 5). В результате вычисления ведущих индексных элементов, будет сформирован нечеткий план решения задачи

распределения ресурсов X* = {х*ы}, который определит следующее значение

целевой функции (этап 6) F(X) = (32,100,136,35).

Решение задачи, разработанным методом индексных элементов при нечетко-интервальном задании параметров полностью охватывает результаты решений в четкой постановке, что согласуется с основным принципом нечетко-интервальной математики - охват всех возможных вариантов решений.

4.4 Оценка эффективности применения метода индексных элементов при решении многоиндексной задачи распределения ресурсов

Использование того или иного метода поиска наилучшего решения зависит от размера пространства поиска [144]. При увеличении размерности системы увеличивается и время нахождения наилучшего решения задачи. Поиск данного решения может потребовать значительных машинных ресурсов и занять продолжительное время.

С целью оценки эффективности применения метода индексных элементов при решении многоиндексных задач распределения ресурсов эксперименты проводились на ПК, со следующими характеристиками:

- процессор Intel Core i7 6700;

- оперативная память 8Гб;

- операционная система Windows 7 64-bit;

Для реализации алгоритма метода индексных элементов и алгоритма потенциалов на ПК установлена программа Delphi 10 Seattle.

Для определения зависимости размерности задачи и числа итераций необходимых для решения многоиндексной задачи распределения ресурсов проведено 100 экспериментов, средние значения которых отображены на рисунке 4.13.

Рисунок 4.13- График зависимости числа итераций и размерности при решении многоиндексных распределительных задач

Анализ показывает, что для решения задачи распределения ресурсов методом потенциалов необходимо в 4 раза больше итераций (без учета итераций по построению опорного плана), чем при решении данной задачи методом индексных элементов.

Для определения зависимости времени решения задачи и ее размерности было проведено 100 экспериментов, средние значения результатов которых отображены на рисунке 4.14. Анализ результатов эксперимента показывает, что время вычисления целевой функции многоиндексной задачи распределения ресурсов методом потенциалов значительно возрастает с увеличением размерности. Так при размерности задачи 104 время нахождения оптимального значения стоимости перевозки разработанным методом индексных элементов меньше на 4 секунды, чем классическим методом

потенциалов, а уже при размерности задачи 10 время решения задачи методом индексных элементов меньше в среднем более чем на 2000 секунд. Особенностью метода потенциалов является то, что при проведении итерации дважды возникает необходимость в решении систем линейных уравнений, что увеличивает время решения многоиндексной задачи.

2400

30

20

а

т 5

/ / / г

/ У

/ /

У

/

0 1 0 1С 0 10 00 100 00 1000 )00 100 0000

Размерность

— •— Метод потенциалов

—о— Метод индексных элементов

Рисунок 4.14- График зависимости времени решения многоиндексных распределительных задач от размерности задачи

и 5 I и

О

ей РМ

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

17

10 100 1000 10000 100000 1000000 Размерность

Рисунок 4.15 - График зависимости размерности задачи и точности ее решения

методом индексных элементов

Также согласно результатам, отраженным на рисунке 4.13 число итераций при решении задачи методом потенциалов значительно превышает число итераций методом индексных элементов, что отражается на времени поиска оптимального решения целевой функции.

3

На рисунке 4.15 представлены результаты эксперимента, отражающие зависимость расхождения значений решения многоиндексной задачи распределения ресурсов классическим методом потенциалов и методом индексных элементов. Анализ моделирования показывает, что при увеличении размерности задачи погрешность, определяемая соотношением значений целевой функции, полученной методом индексных элементов к значениям, полученных методом потенциалов сокращается (см. рисунок 4.15). При размерности задачи 106 погрешность составляет 0,5 %. В таблице 4.3 приведена сравнительная характеристика методов решения многоиндексных распределительных задач (см. раздел 4.3).

Таблица 4.3 - Сравнительная характеристика методов решения многоиндексных распределительных задач

Метод решения задачи Метод потенциалов Метод потенциалов при нечетко-интервальном задании параметров (Борисова Е.А., 2008 г.) Метод нуль-преобразований Метод индексных

Параметр оценки метода (Канторович Л.В., Гавурин М.К., 1949 г.) (Раскин Л.Г., Кириченко И.О., 1982 г.) элементов (предлагаемый)

Решение проблемы вырожденности для нет нет да да

многоиндексной задачи большой

размерности

Применение при решении задач большой нет нет да да

размерности

Учет

нечеткости нет да нет да

параметров задачи

Обеспечение

допустимого времени решения задач большой нет нет да да

размерности

Полученные результаты свидетельствуют о неэффективности применения метода потенциалов при решении многоиндексных задач распределения ресурсов.

В реальной ситуации использование метода потенциалов при решении задач большой размерности требует значительных временных затрат, что неприемлемо для задач оперативного планирования. При этом разработанный метод индексных элементов позволяет избежать проблемы вырожденности при решении задач транспортного типа, обеспечивает решение задачи большой размерности за допустимое время с учетом недетерминированности исходных параметров задачи.

4.5 Выводы

Основным результатом данного раздела диссертации является разработка и апробация программного приложения, предназначенного для решения многоиндексных распределительных задач с нечеткими параметрами. Разработана структура программного приложения, определены его основные модули и связи между ними.

Разработано программное приложение для решения многоиндексной распределительной задачи с нечеткими параметрами. Программный продукт написан в среде программирования 1С у8.3. Приведены интерфейсные окна, позволяющие реализовать диалог пользователя с программным приложением. Рассмотрен пример решения задач с выводом результатов и рекомендаций по оптимальному распределению ресурсов. Итогом решения является определение оптимального нечеткого плана многоиндексной распределительной задачи.

Проведена оценка эффективности применения разработанного метода. Было выявлено, что разработанный метод индексных элементов эффективен при решении многоиндексных задач распределения ресурсов в нечеткой постановке: число итераций и время решения задачи значительно ниже, чем при решении задачи методом потенциалов, а расхождение значений, определяемое соотношением значений целевой функции, полученных методом индексных элементов к значениям, полученных методом потенциалов при размерности задачи 106 составляет 0,5 %.

Полученные результаты позволяют судить о высокой эффективности разработанного метода решения многоиндексной задачи распределения ресурсов в условиях неопределенности. Оптимальное решение, полученное с помощью разработанного метода, обладает значительно большей информативностью, чем при применении классических методов решения задач распределения ресурсов, что говорит о перспективности применения нечетко-интервального анализа при моделировании транспортно-распределительных задач

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие новые теоретические и практические результаты.

Выполнен анализ методов эффективного размещения центров аккумуляции ресурсов и анализ методов распределения ресурсов с точки зрения оптимального решения многоиндексной распределительной задачи, с учетом специфики типа ресурсов, способов транспортировки, особенностей производства, хранения и потребления.

Разработан метод и алгоритм решения задачи рационального размещения центров аккумуляции ресурсов, который в отличие от известных методов, базируется на расширении исходных методов группирования. В разработанном методе группирование объектов определяется не только расстоянием между ними, учитывается также спрос на ресурсы и пропускная способность (мощность) центров аккумуляции ресурсов (ЦАР) с учетом нечеткости исходных параметров.

Новизна предлагаемого подхода заключается в определении рациональной области размещения ЦАР с учетом неопределенности параметров задачи. Применение методов теории нечетко-интервального анализа, позволяет определить решение задачи размещения ЦАР множеством нечетких интервалов -координат размещения центров в зависимости от нечеткого спроса каждой подобласти, емкости центра аккумуляции и расстояний между объектами группирования.

Место расположения ЦАР определится не конкретным числовым значением, а нечетким интервалом, определяющим наилучшее возможное расположение центра аккумуляции, характеризующееся не только расстоянием между объектами, но спросом, заданным в виде нечеткого интервала. Определение значений координат размещения в виде нечетких интервалов позволяет определить область для варьирования данными в зоне наилучших решений. Применение разработанного метода рационального размещения ЦАР

ведет к снижению общей стоимости распределения ресурсов ТРС в среднем на 25%.

Разработан метод и алгоритм решения многоиндексной транспортно-распределительной задачи распределения ресурсов, позволяющий учесть основные факторы, влияющие на стоимость распределения ресурсов: мощность (производительность) источников ресурсов, спрос потребителя, наличие ЦАР, вид ресурса и соответственно вид передающего элемента, осуществляющего перемещение. Разработанный метод позволяет найти решение многоиндексной задачи распределения ресурсов за меньшее время, за меньшее число итераций и без учета вырожденности при построении опорного плана (начального решения) задачи, по сравнению с классическим транспортным методом линейного программирования, применяемым при решении задач распределения ресурсов -методом потенциалов. При этом разность решения многоиндексной задачи разработанным методом и точным методом (методом потенциалов), при размерности задачи 106 составляет 0,5%. Существенное отличие предложенного метода заключается в определении параметров задачи в виде нечетких интервалов, что является наиболее эффективным подходом к решению задач в условиях неопределенности.

Разработаны специализированные программные комплексы, основанные на реализации предложенных алгоритмов, которые обеспечивают оптимизацию совокупного материального потока на всем протяжении - от первичного источника ресурсов до конечного потребителя, что определяет максимальный эффект при распределении ресурсов и позволяет усовершенствовать систему управления распределением ресурсов путем организации единой, территориально распределенной системы планирования и контроля. Разработанные комплексы обеспечивают решение задач учета, распределения и управления, а также применение возможностей современных информационных технологий (информационные картографические службы: Яндекс.Карта, Ооо§1еМарБ и т.д., программные решения для оперативного управления на платформе 1С) для поддержки решения задач данного класса.

Предложенные методы решения транспортно-распределительной задачи позволяют находить оптимальное решение за допустимое время, тем самым сокращая затраты при распределении ресурсов, перегрузке или простое оборудования и помещений, что позволит расширить функциональные возможности и эффективность работы предприятий. Разработанные методы могут эффективно использоваться при создании или расширении сети транспортно-распределительных систем.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных методов и программно реализованных алгоритмов рационального размещения центров аккумуляции ресурсов и решения многоиндексных транспортно-распределительных задач распределения ресурсов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волкова, В.Н. Основы теории систем и системного анализа. /

B.Н. Волкова, А.А. Денисов - Л.: Издательство СПБГТУ, 1997. - 510 с.

2. Чернышов, В.Н. Теория систем и системный анализ: учеб. пособие / В.Н. Чернышов, А.В. Чернышов. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. - 96 с.

3. Системный анализ в экономике и организации производства: Учебник для студентов вузов / Под ред. С.А. Валуева, В.Н. Волковой. - Л.: Политехника, 1991. - 398 с.

4. Квейд, Э. Анализ сложных систем. / Э. Квейд - М.: Сов. радио, 1969. -

520 с.

5. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы. / М. Месарович, И. Такахара - М.: Мир, 1978. - 311 с.

6. Перегудов, Ф.И. Введение в системный анализ. / Ф.И. Перегудов, В.П. Тарасенко - М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.

7. Янг, С. Системное управление организацией. / С. Янг - М.: Сов. радио, 1972. - 455 с.

8. Уемов, А.И. Системный подход и общая теория систем. / А.И. Уемов- М.: Мысль, 1978. - 272 с.

9. Черняк, Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой. / Ю.И. Черняк - М.: Экономика, 1975. -191 с.

10. Смоляр, Л.И., Модели оперативного планирования в дискретном производстве. / Л.И. Смоляр - М.: «Наука». Физматлит, 1978г- 318 с.

11 Розина, Т.М. Распределительная логистика: учебное пособие / Т.М. Розина - Минск: Высшая школа, 2012. - 319 с.

12. Сток, Д. Р. Стратегическое управление логистикой / Д. Р. Сток, Д.М. Ламберт. - М.: Инфра-М, 2005. - 830 с.

13. Григорьев, М.Н. Логистика. Базовый курс: учебник / М.Н. Григорьев,

C.А. Уваров. - М.: Издательство Юрайт, 2011. - 782с.

14. Федоров, Л.С. Общий курс транспортной логистики / Л.С. Федоров, И.Б. Мухаметдинов, В.А. Персианов. - М.: КиноРус, 2011. - 312 с.

15. Гаджинский, А.М. Основы логистики: Учебное пособие / А.М. Гаджинский. - М.: ИВЦ Маркетинг, 1996. - 124 с.

16. Апатцев, В.И. Логистические транспортно-грузовые системы: Учебник для студ. высш. учеб. Заведений / В.И.Апатцев, С.Б.Левин, В.М.Николашин и др.; Под ред. В.М.Николашина. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304 с.

17. Дыбская, В.В. Логистика / В.В. Дыбская, Е.И. Зайцев, В.И. Сергеев, А.Н. Стерлигова. - М.: ЭКСМО, 2008. - 944 с.

18. Логистика: учебник / под ред. Б.А. Аникина. - М.: ИНФРА-М, 2008. -

368 с.

19. Юдин, Д.Б., Гольштейн Е.Г. Задачи линейного программирования транспортного типа / Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн. - М.: Наука, 1969. - 535 с.

20. Лукинский, В.С. Модели и методы теории логистики / В.С. Лукинский, И.А. Цвиринько, Ю.В. Малевич. - СПб.: ПИТЕР, 2003. - 175 с.

21. Шумаев, В.А. Логистика товародвижения / В.А. Шумаев. - М.: Новый век, 2001. - 194 с.

22. Алесинская, Т.В. Основы логистики. Общие вопросы логистического управления Учебное пособие / Т.В. Алесинская. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005. -121 с.

23. Воронков, А.Н. Логистика: основы операционной деятельности: учебное пособие / А.Н. Воронков. - Н.Новгород: ННГАСУ, 2013. - 168 с.

24. Гудович, Д.В. Использование задач линейного программирования для оптимизации затрат [Электронный ресурс] / Д.В. Гудович. - г. Липецк, ЛГТУ -Режим доступа: http://www.science-bsea.bgita.ru/2008/ekonom_2008-2/gudovih_isp. htm

25. Левитин, И.Е. Транспорт - фактор национального развития / И.Е. Левитин // "Транспортная стратегия XXI век", №16, 2012. С. 14-19.

26. Официальный интернет портал Федеральной службы государственной статистики Российской Федерации. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://gks.ru

27. Канторович, Л.В. Математические методы организации планирования производства / Л.В. Канторович. - Л.: Издание Ленинградского государственного университета, 1939. - 67 с.

28. Канторович, Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов / Л.В. Канторович. - М.: Изд. Академия наук СССР, 1960. — 350 с.

29. Белых, А.А. История российских экономико-математических исследований: Первые сто лет. / А.А. Белых. - URSS, 2011. - 240 с.

30. Киселева, Э.В. Математическое программирование / Э.В. Киселева, С.И. Соловьева. - Новосибирск: НГАСУ, 2002. - 130 с.

31. Раскин, Л.Г. Многоиндексные задачи линейного программирования / Л.Г. Раскин, И.О. Кириченко. - М.: - Радио и связь, 1982. - 240 с.

32. Серая, О.В. Многомерные модели логистики в условиях неопределенности: монография / О.В. Серая. - Х.: ФОП Стеценко И.И., 2010. -512 с.

33. Севастьянов, П.В. Финансовая математика и модели инвестиций. / П.В. Севастьянов. - Гродно: ГрГУ, 2001. - 183 с.

34. Гаджинский, А.М. Логистика: учебник / А.М. Гаджинский. - М.: Дашков и Ко, 2008. - 484 с.

35. Сергеев, В.И. Корпоративная логистика. 300 ответов на вопросы профессионалов. / В.И. Сергеев. - М.: ИНФРА-М, 2005. - 976 с.

36. Коммерческая логистика: теория и практика: учебник для бакалавров / М. Н. Григорьев, В. В. Ткач, С. А. Уваров. - 2-е изд., перераб. - М.: Издательство Юрайт, 2012. - 490 с.

37. Прилуцкий, М.Х. Распределение ресурсов в иерархических системах транспортного типа / М.Х. Прилуцкий, Л.Г. Афраймович. - Нижний Новгород, 2007. -80 с.

38. Прилуцкий, М.Х. Многоиндексные задачи объёмно-календарного планирования транспортного типа. // Тр. междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления SICPRO-06". - М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН. 2006. - С. 503-510.

39. Прилуцкий М.Х. Многокритериальные многоиндексные задачи объёмно-календарного планирования // Известия РАН. Теория и системы управления, 2007. - №1.- С. 78-82.

40. Прилуцкий, М.Х. Оптимизационные задачи планирования транспортировки газа / М.Х. Прилуцкий, В.Е. Костюков // Информационные технологии и вычислительные системы, 2007. - №2. - С. 67-73.

41. Прилуцкий, М.Х. Оптимальное распределение ресурсов в задачах календарного и объемно-календарного планирования / М.Х. Прилуцкий, С.Е. Власов // Труды Нижегородского государственного технического университета. Серия: Системы обработки информации управления. Вып. 11. - Н.Новгород: Изд-во НГТУ, 2004. - С. 31-36.

42. Прилуцкий, М.Х. Оптимизационные задачи объёмно-календарного планирования для нефтеперерабатывающих предприятий / М.Х. Прилуцкий, В.Е. Костюков // Системы управления и информационные технологии, 2007. -№2.1(28). - С. 188-192.

43. Верховский, Б.С. О существовании решения многоиндексной задачи линейного программирования / Б.С. Верховский // ДАН СССР, 1964. - т. 158, №4. - С. 763-767.

44. Верховский, Б.С. Многомерные задачи линейного программирования типа транспортной / Б.С. Верховский //ДАН СССР, 1963. - т. 151, №3. - С. 515518.

45. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. / Н.Н. Моисеев.-М.: Наука, 1975. - 528 с.

46. Миротин, Л.Б. Управление грузовыми потоками в транспортно-логистических системах / Л.Б. Миротин, Гудков В.А. и др. - М.: Горячая линия-Телеком, 2010. - 704 с.

47. Рахмангулов, А.Н. Управление транспортными системами. Теоретические основы / А.Н. Рахмангулов, С.В. Трофимов, С.Н. Корнилов. -Магнитогорск: МГТУ им. Г.И. Носова, 2001. - 191 с.

48. Журавская, М.А. Логистические методы управления материальными потоками. Учеб.-метод. пособие. / М.А. Журавская др. - 3-е изд., испр. и доп. -Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2011. - 48 с.

49. Уотерс, Д. Логистика. Управление цепью поставок. / Д. Уотерс. - М.: Юнити-Дана, 2003. - 32 с.

50. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

51. Мелихов, А.Н. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой / А.Н. Мелихов, Л.С. Берштейн, С.Я. Коровин. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

52. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

53. Борисов, А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования / А.Н. Борисов, О.А. Крумберг, И.П. Федоров. - Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.

54. Тэрано Т. Прикладные нечеткие системы. / Т. Тэрано и др. - М.: Мир, 1993. - 368 с.

55. Асаи, К. Прикладные нечеткие системы / К. Асаи, Д. Ватада, С. Иваи; под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно; пер. с япон. - М.: Мир, 1993. - 184 с.

56. Алтунин, А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях:Монография / А.Е. Алтунин, М.В. Семухин. - Тюмень: Тюменский государственный университет, 2000. - 352 с.

57. Вощинин, А.П. Оптимизация в условиях неопределенности. / А.П. Вощинин Г.Р. Сотиров. - М.: Изд-во МЭИ (СССР);"Техника" (НРБ), 1989. - 224 с.

58. Аверкин, А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А.Н.Аверкин, И.З. Батыршин и др.; под. ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

59. Недосекин, А.О. Оценка риска бизнеса на основе нечетких данных. Монография / Недосекин, А.О. - СПб.: Типография «Сезам», 2004. - 100 с.

60. Кофман, А. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями / А. Кофман, Х. Хил Алуха. - Минск: Выш. шк., 1992. - 224 с.

61. Выхристюк, А. Будущее логистики - в альянсах между игроками / А. Выхристюк, К. Фатеева // РЖД-Партнер - М.:, Изд-во РЖД, 2008. - №21 (145). -С.124-129.

62. Ахиезер, Е.Б. Получение начального опорного плана многоиндексной задачи траспортной логистики / Ахиезер Е.Б., Геляровская О.А., Дунаевская О.И., Процай Н.Т. // Радиоэлектроника и информатика, 2014. - №2 (65). -[Электронный ресурс]. - Режим доступа: Мр://суЬег1ептка.ги/аг1:1с1е/п/ро1исЬете-пасЬа1по2о-орото2о-р1апа-тпо2отёек8поу-7аёасЫ4га8рог1:поу-1оа81:1к1

63. Жикулин, А.А. Структурная модификация алгоритма Романовского с улучшением ресурсно-временных характеристик решения однородных распределительных задач / А.А. Жикулин // Системный анализ, управление и обработка информации: Тр. 4-го Междунар. семинара. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2013.

- С. 187-192.

64. Жикулин, А.А. Повышение ресурсной эффективности алгоритма точного решения однородной распределительной задачи / Р.А. Нейдорф, А.А. Жикулин // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-27: сб. тр. XXVII Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 3. Секции 6, 7, 8. - Тамбов: ТГТУ, 2014.

- С. 42-46.

65. Финаев, В.И. Модели систем принятия решений: учебное пособие / В.И. Финаев. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005. - 118с.

66. Асанкулова М. Об одном приближенном методе решения многоиндексной задачи размещения / М. Асанкулова //Труды ИВМ и МГ СО РАН. - Новосибирск, 2005. - С. 119-125.

67. Куликовский, К.Л. Разработка системы принятия решений для оптимизации планирования деятельности группы предприятий / К.Л.

Куликовский, Д.В. Петров //Вестн. Сам. ГТУ, сер. физ. - мат. наук., 2009. -№2(19). - С. 124-132.

68. Данциг, Дж. Линейное программирование, его применения и обощения / Дж. Данциг. - М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

69. Ашманов, С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1981. - 340 с.

70. Рейзлин, В.И. Численные методы оптимизации: учебное пособие / В.И.Рейзлин. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. -105 с.

71. Самаров, К.Л. Транспортная задача: Учебно-методическое пособие. / К.Л. Самаров. - М.: ООО «Резольвента», 2009. - 23с.

72. Габасов, Р.Ф. Методы линейного программирования. Часть 2. Транспортные задачи. / Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кириллова. - М.: Либроком, 2010. -240 с.

73. Лунгу, К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. / К.Н. Лунгу - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 128с.

74. Михалевич, В.С. Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования: Модели, методы, алгоритмы / В.С. Михалевич, В.А. Трубин, Н.З. Шор. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1986. - 264 с.

75. Гордон, М.П. Как осуществить экономическую доставку товара отечественному и зарубежному покупателю: Справочное пособие для предпринимателя / М.П. Гордон, Е.М. Тишкин, Н.С. Усков. - М.: Транспорт, 1993. - 64 с.

76. Логистика: учебник для СИО / В. П. Мельников, А. Г. Схиртладзе, А. К. Антонюк; под общ. ред. В. П. Мельникова. - М.: Издательство Юрайт, 2015. -287 с.

77. Логистический менеджмент: как оптимизировать логистику компании за 40 минут? [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.ec-1ogistics.ru/artic1es/1ogisticheskii-menedzhment-kak-optimizirovat-1ogistiku/

78. Управление региональными складами / Б. Романько // "Консультант" -"Консультант", 2010, - №1. Управление региональными складами [Электронный ресурс] - Режим доступа: Мр:/А^^^1а^го1х.ги/Ьих/16240

79. Кайгородцев, А.А. Применение имитационного моделирования в предпроектной оценке варианта размещения распределительного центра продукции промышленного предприятия / А.А. Кайгородцев, А.Н. Рахмангулов // Имитационное моделирование. Теория и практика: Сборник докладов 4-й все-росс. науч.-практ. конф. по имитац. моделир. и его примен. в науке и промышл., том II. - СПб.: ЦТСиС, 2009. - С. 90- 95.

80. Отраслевой аналитический обзор «Распределительные центры торговых сетей FMCG РФ» // Информац. агенство INFOLine. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: Ь::р://т&Ппе.8рЬ.ги/8Ьор/1881еёоуатуа-гупкоу/ра2е.рЬр?Ю=260.

81. Шушакова Т. Как и где построить логистический комплекс на Урале // НЭП '08: ежедневные экономические вести. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: Мр://ргоШ1Ь.сот/сЫ:ете/91602/

82. Никифоров, В.В. Логистика. Транспорт и склад в цепи поставок / В.В. Никифоров. - М.: ГроссМедиа, 2008. - 192 с.

83. Иванов, Д.А. Управление цепями поставок / Д.А. Иванов. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 660 с.

84. Куликовский, К.Л. Разработка системы принятия решений для оптимизации планирования деятельности группы предприятий / К.Л. Куликовский, Д.В. Петров //Вестн. Сам. ГТУ, сер. физ. - мат. наук, 2009. -№2(19). - С. 124-132.

85. Майоров, Н. Н. Факторы выбора имитационного моделирования, как универсального средства, для исследования транспортных процессов / Н. Н. Майоров // Проблемы и перспективы экономики и управления: материалы междунар. науч. конф. (г. Санкт-Петербург, апрель 2012 г.). — СПб.: Реноме, 2012. - С. 224-228.

86. Майоров, Н.Н., Фетисов В.А. Моделирование транспортных процессов / Н.Н. Майоров, В.А. Фетисов.- СПб.: ГУАП, 2011. - 165 с.

87. Мадера, А.Г. Определение оптимального размещения логистических мощностей / А.Г.Мадера [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://1ogist.ru/artic1es/oprede1enie-optima1nogo-razmeshcheniya-1ogisticheskih-moshchnostey

88. Копылова, О.А. Методика выбора мест размещения транспортно-логистических центров / О.А. Копылова // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования: материалы 69-й научно-технической конференции. - Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2011. -Т.1. - С. 13-16.

89. Константинов, Р.В. Проектирование оптимальной складской сети / Р.В. Константинов // Журнал Инженерный вестник Дона Выпуск№ 4. - том 18 .- 2011. [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://cyber1eninka.rU/artic1e/n/proektirovanie-optima1noy-sk1adskoy-seti

90. Богданов, С.И. Эффективные процессы распределения товаров: концепции, модели, методы реализации / С.И. Богданов. - Екатеринбург: Изд-во УрГЭУ, 2008. - 162 с.

91. Борисова, Е.А. Трехиндексные распределительные задачи с нечеткими параметрами / Е.А. Борисова, В.И. Финаев - Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2007. - 190 с.

92. Серая, О.В. Модифицированный метод нормирующего преобразования для решения триаксиальной задачи назначения /О.В. Серая // Открытые информационные и интегрированные технологии: сб. науч. тр. «ХАИ». Вып. 25 -Х., 2004. - С. 86-89.

93. Раскин, Л.Г. Нечеткая модель нелинейной многоиндексной транспортной задачи / Л.Г. Раскин, О.В. Серая, О.И. Дунаевская // Восточно -Европейский журнал передовых технологий, 2012. - №6/4 (60). - С. 15-17.

94. Гольштейн, Е.Г. Специальные направления в линейном программировании / Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин. - Издание 2-е, исправленное. -М.: Красанд, 2010. - 523 с.

95. Глебов, Н.И. Методы оптимизации: учебн. пособие / Н.И. Глебов, Ю.А. Кочетов, А.В. Плясунов - Новосибирск: НГУ, 2000. - 105 с.

96. Соболь, Б.В. Методы оптимизации: Практикум. / Б.В. Соболь, Б.Ч. Месхи, Г.И. Каныгин - М.: Феникс, 2009. - 384с.

97. Раскин, Л.Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления / Л.Г. Раскин - М.: Сов. Радио, 1976. - 344с.

98. Шишкин, Е.В. Исследование операций / Е.В. Шишкин, Г.Е Шишкина. -М.: Издательство «Проспект», 2006. - 281с.

99. Титов, Д. В. Методы повышения эффективности алгоритмов решения распределительных минимаксных задач в однородных системах: дис. ... канд. тех. наук: 05.13.01. / Титов Дмитрий Вячеславович. - Ростов н/Д., 2010.- 148 с.

100. Амосов, А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие. / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. - М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

101. Жикулин, А.А. Исследование ресурсно-временных возможностей алгоритма полного перебора при решении однородных распределительных задач / А.А. Жикулин // Системный анализ, управление и обработка информации: Тр. 4-го Междунар. семинара. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2013. - С. 17-22.

102. Красный, Д.Г. Анализ эффективности модифицированного алгоритма Алексеева приближенного решения неоднородной распределительной задачи / Д.Г. Красный // «Системный анализ, управление и обработка информации» -Ростов н/Д: Издательство ДГТУ, 2007. - С. 126-130.

103. Нейдорф, P.A. Точное решение неоднородной распределительной задачи модификацией алгоритма Алексеева / Р.А.Нейдорф, В.Г. Кобак, Д.Г. Красный // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. -Новочеркасск, 2008. - №1. - С. 17-22.

104. Ветошкин, А.А. Вырожденность транспортной задачи и как с ней бороться / А.А. Ветошкин, А.И. Костякова // Современные научные исследования и инновации, 2012. -№ 2 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http: //web. snauka. ru/issues/2012/02/7654

105. Вырожденность в транспортной задаче. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://cyclowiki.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%

Р0%В5%Р0%ВР%Р0%ВР%Р0%ВЕ%Р1 %81 %Р1 %82%Р1 %8С %00%Б2 %Р1 %82%Р1 %80%Р0%В0%Р0%ВР%Р1 %81 %Р0%ВЕ%Р0%ВЕ%Р1 %80%Р1 %82% Р0%ВР%Р0%ВЕ%Р0%В9 %Р0%В7%Р0%В0%Р0%В4%Р0%В0%Р1 %87%Р0% В5

106. Коробов, П.Н. Математическое программирование и моделирование экономических процессов: учебник. / П.Н. Коробов - Санкт-Петербург, 2002 - С. 181-184.

107. Просветов, Г.И. Математические методы в логистике. Задачи и решения. / Г.И. Просветов. - М.: Альфа-Пресс, 2008. - 304 с.

108. Николайчук, В.Е. Логистика в сфере распределения / В.Е. Николайчук

- Донецк, 2000. - 210с.

109. Введение в математическое программирование. [Электронный ресурс].

- Режим доступа:

http://www. intuit.rU/studies/courses/1020/188/^^^/4931 ?page=3#image. 10.8

110. Иванов. В.В. Методы вычислений на ЭВМ / В.В. Иванов. - К.: Наукова думка, 1983. - 583 с.

111. Громовой, Э.П. Распределительная задача дробно-линейного программирования ./ Э.П. Громовой, И.П. Тарасова // Труды 4-й Зимней школы по матем. программированию и смежные вопросы, Дрогобыч, 1971. - М., 1972. -вып. 4. - С. 42-49.

112. Афраймович, Л.Г. Приближенный алгоритм решения многоиндексных транспортных задач с декомпозиционной структурой / Л.Г. Афраймович // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Международной конференции (Нижний Новгород, 20- июня 2011 г.) - Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011. - С. 42-45.

113. Преснухин, Л.Н. Расчет элементов цифровых устройств / Л.Н. Преснухин, Н.В. Воробьев, А.А. Шишкевич. - Пер. с нем. - М.: ДМК Пресс, 2008.

- 832 с.

114. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения / И.К. Даугавет. - БХВ, 2006. - 278с.

115. Амосов, А.А. Вычислительные методы Учебное пособие / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский Ю.А., Н.В. Копченова. - 4-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2014. - 672 с.

116. Загребаев, А.М. Методы математического программирования в задачах оптимизации сложных технических систем / А.М. Загребаев и др. - М.: МИФИ, 2007. - 332 с.

117. Первозванский, А.А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация / А.А. Первозванский, В.Г. Гайцгори - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 344 с.

118. Ланге, Э.Г. Комбинаторный метод решения задачи размещения / Э.Г. Ланге, А. Жусупбаев. - Фрунзе: Илим, 1990. - 152 с.

119. Недугов, Г.В. Вероятностные аналитические технологии в судебной медицине: базовые математические модели и практические приложения / Г.В. Недугов, В.В. Недугова. - Самара: Офорт, 2009. - 241 с.

120. Левин, В. И. Методы оптимизации систем в условиях интервальной неопределенности параметров / В.И. Левин // Информационные технологии, 2012. - № 4. - С. 52-59.

121. Смирнова К.А. Понятие неопределенности экономических систем и подходы к ее оценке / К.А. Смирнова // Вестник МГТУ. - том 11. - №2, 2008. С. 241-246.

122. Кузьмин, Е. А. Организационно-экономические системы в условиях неопределённости и определённости: оценка значений энтропии и негэнтропии / Е.А. Кузьмин // Управленец, 2012. - № 11-12. - С. 44-54.

123. Кузьмин, Е. А. Неопределенность в экономике: понятия и положения / Е.А. Кузьмин // Вопросы управления. - № 2 (2), 2012. - С. 80-92

124. Кузин, Л.Т. Основы кибернетики. Учеб. пособие для вузов / Л.Т. Кузин -2-е изд., перераб. и доп.- М.: Энергоатомиздат, 1994. - 576 с.

125. Севастьянов, П. В. Оптимизация деятельности дистрибьютора в условиях неопределенности / П. В. Севастьянов, Д. В. Степанов // Маркетинг в России и за рубежом, 2001. - №1. - С. 72-80.

126. Штовба, С.Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику. / С.Д. Штовба. - Винница: Издательство винницкого государственного технического университета, 2001. - 198 с.