Применение метода разделения потоков к расчету угловых спектров отраженного излучения для сред с мелкомасштабными неоднородностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Радкевич, Александр Владимирович

• Радкевич, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Радкевич, Александр Владимирович

Введение.

Глава 1. Метод разделения потоков. Основные уравнения

1.1. Постановка задачи.

1.2. Индикатрисы рассеяния. Вероятность "переворота".

1.3. Метод разделения потоков.

1.4. Уравнение для восходящего излучения. Полная функция отражения и парциальные функции отражения.

Основные результаты главы 1.

Глава 2. Метод функций Грина в альбедных задачах

2.1. Связь пространственно - угловой функцией Грина с ППФО.

2.2. Дважды угловые функции Грина уравнения Амбарцумяна.

2.3. Связь между пространственно-угловыми и дважды угловой функциями

Грина. Соотношения симметрии.

Основные результаты главы 2.

Глава 3. Вычисление ППФО для сред с различными индикатрисами с помощью пространственно - угловой функции Грина уравнения переноса.

3.1. Вычисление углового спектра отраженного излучения и коэффициента отражения при изотропном рассеянии.

3.2. Вычисления углового спектра отраженного излучения и коэффициента отражения в случае линейной индикатрисы.

3.3. Вычисления углового спектра отраженного излучения в случае трехчленной индикатрисы.

Основные результаты главы 3.

Глава 4. Использование принципа инвариантности для расчета ламбертовской части спектра отраженного излучения.

4.1. Уравнение для ламбертовской добавки.

4.2. Вычисление ламбертовской добавки в случае изотропного рассеяния.

4.3. Разложение ламбертовской части отраженного излучения по парциальным компонентам.

Основные результаты главы 4. аключение Титература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода разделения потоков к расчету угловых спектров отраженного излучения для сред с мелкомасштабными неоднородностями»

Множество сред как естественного, так и искусственного происхождения содержат беспорядочно распределенные неоднородности различной формы и размера, которые рассеивают проходящее через среду электромагнитное излучение. Прошедшее через среду и отраженное от нее световое излучение содержит важную информацию о свойствах среды. В связи с этим постоянно увеличивается число экспериментальных и теоретических работ связанных с анализом процесса распространения светового излучения в случайно неоднородных средах. Электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в исследованиях физики Мирового океана [1-6], атмосферы Земли [7-12] и планет солнечной системы [13-15], при разработке систем подводного оптического наблюдения [6] а также для контроля и диагностики биологических тканей человека и животных [16-19]. Важным свойством оптических методов является то, что они не разрушают объект исследования.

Для нахождения поля излучения как в самой рассеивающей среде, так и поле вышедшего из среды излучения, необходимо решить транспортное уравнение Больцмана (уравнение переноса) для интенсивности излучения г; О), дополненное соответствующими граничными условиями. (О -единичный вектор скорости фотона).

В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для света [20-24], или уравнения Шредингера для заряженных частиц [25,26], линейная теория переноса светового излучения [1,3,10,27-29] оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией электромагнитных волн. Когерентными эффектами можно пренебречь при соблюдении следующих условий [1]: во-первых, рассеивающие центры должны быть расположены хаотично, во-вторых, расстояние между ними должно быть значительно больше длины волны. При соблюдении этих условий рассеяние на углы большие некоторого критического значения у0 «1 будет некогерентно. Оценка величины у0 приведена в монографии [1]. Отметим, что полная когерентность при рассеянии вперед несущественна, так как энергетический вклад области углов рассеяния, для которых имеет место этот эффект, оказывается мал [24]. Эффекты дифракции и интерференции учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения отдельными рассеивающими центрами. В настоящей работе мы не будем специально интересоваться поляризационными эффектами, то есть будем рассматривать распространение скалярного светового излучения. В этом случае оптические свойства среды определяются следующими величинами: коэффициентом поглощения к, показателем рассеяния ст и законом однократного рассеяния (индикатрисой рассеяния) х(с08У) = ст(у) / су , у - угол однократного рассеяния, а(у) - показатель рассеяния в данном направлении.

Транспортное уравнение является линейным интегро-дифференциальным уравнением, ядром которого является индикатриса рассеяния Величина определяет вероятность перехода фотона из состояния Й' в состояние О при одном акте рассеяния. Поэтому, величина %{&.'—>С1) нормирована условием:

Основные трудности аналитического изучения процессов переноса скалярного светового излучения в основном определяются следующими факторами:

1. Ограниченными возможностями нахождения общего аналитического решения уравнения переноса при произвольной индикатрисе рассеяния.

2. Выделение из общего решения только того, которое удовлетворяет граничным условиям конкретной задачи.

3. Размерностью среды.

4. Геометрией рассеивающей среды.

СВ.1)

Встречающиеся в природе индикатрисы имеют весьма сложный вид [1,8], в частности, из-за того, что рассеивающие центры имеют несферическую форму, сложную внутреннюю структуру и неодинаковые размеры. Строгой теории рассеяния на таких частицах нет. Поэтому в большинстве случаев приходится заменять реальную среду более простой модельной средой. Одна из самых распространенных моделей - модель монодисперсной среды. В этой модели все рассеиватели считаются одинаковыми, однородными сферами радиуса а.

При рассеянии на сферических частицах индикатрису рассеяния можно разложить в ряд по полиномам Лежандра: м 2/ +1 71 x(cosy) = ]Г - %/^(cosy), где =27ijsinyx(cosy)^(cosy)£/y, (В.2а) i=o 4и о здесь у- угол однократного рассеяния:cosy = (ГУП). Из условия нормировки (В.1) следует, что %0 = \. Величина Xi=(cosy) " средний косинус угла однократного рассеяния.

Задача о рассеянии плоской монохроматической электромагнитной волны на однородном шаре радиуса а при заданных диэлектрической и магнитной проницаемостях точно решена Г. Ми (1908) и А. Лявом (1899). В литературе утвердились термины: теория Ми, рассеяние Ми. Анализ формул Ми [7,30,31] показывает, что если дифракционный параметр Р = <я/Х ~ 1 (%- длина световой волны), то рассеяние практически изотропно. Такая ситуация имеет место, например, при рассеянии видимого света на суспензии оксида титана Т02 (а = 220пт (cosy) = 0.476) [32], при рассеянии излучения инфракрасного диапазона на частицах пыли в космических туманностях [33]. В важном для оптики атмосферы случае рассеяния света на флуктуациях плотности (т.н. 3 молекулярное рассеяние) индикатриса имеет вид: x(C0SY)= (l + cos2y)

1 бтс индикатриса Рэлея [13]. В другом предельном случае |3 » 1 эффективный угол однократного рассеяния рассеяние носит резко выраженный анизотропный характер: 1 — (cosy)« 1). Именно такая ситуация имеет место в большинстве естественных и искусственных сред: туман, дым, аэрозоль в атмосфере, различные взвеси в воде и т.д. Так, для капель в облаках Земли а « 10 мкм и (3 » 100 в видимой части спектра. Как было показано Релеем, в разложении индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра (В.1) существенно учитывать конечное число членов: N ~ 1.5Р [13]: 1 хссобу) « 21 7 (В.2Ь) ыо 4п

Волны с 1> N имеют малые амплитуды и ими можно пренебречь. Расчеты рассеянных полей по точным формулам Ми достаточно сложны, т.к. при больших значениях (3»1 необходимо учитывать много почти равнозначных парциальных рассеянных волн, причем каждую с высокой точностью [1]. Например, для типичной биологической частицы в воде я и 10 мкм при X « 0.546мкм. (Р « 115) в сумме (В.2Ь) нужно удержать 140 членов ряда!

Но даже и в тех случаях, когда с приемлемой правдоподобностью рассеиватели можно считать сферическими, ситуация резко осложняется тем обстоятельством, что их размеры оказываются самыми различными, т.е. есть существенной особенностью реальных мутных сред является их полидисперсность. Имеется значительный разброс геометрических размеров отдельных рассеивателей в достаточно широких пределах от а<Хдо а» X. Например, в чисто молекулярной атмосфере Земли дальность видимости предметов около поверхности составила бы 300 км, в то время, как в реальной атмосфере наблюдаемая дальность видимости составляет около 30 км [13].

Если при Р < 1 рассеяние является почти изотропным, то при Р »1, индикатрисы рассеяния на отдельных рассеивающих центрах имеют целый ряд максимумов и минимумов, так наз. радуги и глории [1,10]. В полидисперсных средах из-за разбросов по размерам происходит сглаживание интерференционных лепестков индикатрисы рассеяния. За счет этого реально наблюдаемые индикатрисы рассеяния становятся гладкими функциями угла у. Чем рассеивающие частицы меньше и оптически мягче - Г «1), пге1относительный показатель преломления, тем более плавными оказываются усредненные индикатрисы рассеяния.

Для учета распределения частиц по размерам проводится усреднение индикатрисы рассеяния: а( у) \сАгЗ)/(М'< ,

Х(С°8У)= а ; ,.{/(Р)а,Р = 1 (В'3)

Конкретный вид усредненной индикатрисы рассеяния х(С08У) конечно зависит от выбора функции распределения частиц по размерам. Выбор функции /((3) диктуется свойствами конкретной среды. Трудность состоит в том, что формирование свойств аэрозоля в атмосфере Земли, различных взвесей и планктона в морской воде и т.д., подчинено влиянию множества факторов, учесть которые при попытке теоретического анализа весьма трудно. Из-за недостаточной информации о распределении по размерам рассеивателей, возникает большая степень произвола при выборе конкретного вида закона рассеяния элементарным физическим объемом среды. Поэтому используются эмпирические аппроксимации на основе ряда типичных аналитических представлений: нормальное распределение, распределение Кэптейна, степенное распределение, распределение Юнге и т.д. Результаты расчета усредненных индикатрис рассеяния представлены в подробных таблицах [34]. Например, в оптике полидисперсных систем большое распространение получили обобщенное и простое Гамма - распределение. Простое Г-распределение имеет вид (рт(п = 0;Ртах = со) [7,13]: п V дт=

5! ехр^(, + 1)|||; Р>^1Р<Р (В.4) Р чРу

Здесь р - среднее значение дифракционного параметра; Р^ - мода Г-распределения, т.е. точка его максимума. Таким образом, простое Г-распределение имеет два свободных параметра р и 5 . Важная особенность Г 3 У распределения - его асимметричность. При Р « Р^ - /(р)« р , а при Р » Р^ ч Ру

- /(p)«expj-(s + l)-jj-j, что дает обычный длинный спадающий "хвост", определяющий концентрацию аномально больших частиц. Такая форма распределения гораздо лучше соответствует фактическим данным, чем симметричное гауссово распределение. Уже в 1930 г. И. Рокар [1] использовал Г - распределение с параметром s = 2 при расчете атмосферных индикатрис. Начиная с пятидесятых годов, обобщенное и простое Г - распределение широко используются для расчета оптических характеристик полидисперсных систем, как в атмосферной оптике, так и в оптике Океана [1,10].

Поскольку индикатриса является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения определяется в первую очередь (если отвлечься от проблемы граничных условий) именно видом индикатрисы. Самым простым является изотропный закон рассеяния, при котором вероятность однократного рассеяния в любом направлении одинакова:

Х(/Л'г)=~ (В.5а)

4 71

В этом случае удается найти точное аналитическое решение уравнения переноса в полубесконечной среде, без каких либо ограничений на угол падения излучения и на угол рассеяния. Эта задача решена в работах Фока, Амбарцумяна и Чандрасекара [35-38]. Сравнительно недавно удалось получить точное аналитическое решение для линейной индикатрисы рассеяния [39]: x(M(cosy)= --(1 + 3Xl cosy) (B.5b)

4л:

При этом приходится определить три вспомогательные функции из соответствующих нелинейных интегральных уравнений.

Во многих случаях приходится сталкиваться с распространением широких, стационарных потоков светового излучения в однородных рассеивающих средах с плоскими границами, когда реализуются условия так называемой плоской геометрии. В этом случае уравнение переноса имеет вид:

81 2п 1 +^ ^ + а№(р' ^ ф' - ФУО; Ц', Ф') (в-6)

О -I

Особое значение для приложений имеют задачи об определении различных характеристик отраженного излучения. Изучение угловых спектров обратно рассеянного излучения является самостоятельным разделом общей линейной теории переноса - не только света, но и заряженных частиц или ионов. Особая важность этой проблемы связана с тем, что во многих случаях, практически единственно доступным способом получать информацию о среде, является измерение параметров только отраженного от неё излучения. Наглядным примером может служить изучение свойств мирового океана и других водных бассейнов с помощью оптических приборов, установленных на различных летающих объектах - самолетах или ИСЗ, особенно в связи с мониторингом экологического состояния среды. То же можно сказать и о разнообразных исследованиях атмосферы Земли с помощью оптических лидаров в различных частях спектра. Сказанное относится, конечно, и к дистанционному исследованию атмосфер планет Солнечной системы. Поэтому, в силу особой значимости такого круга задач, их обычно выделяют в отдельный раздел под названием альбедные задачи теории переноса. Одной из важнейших альбедных задач, является проблема определения углового спектра излучения, отраженного от полубесконечной среды. На этом важном случае мы и остановимся ниже.

При распространении фотонов в полубесконечном слое вещества, какая-то часть светового излучения выходит обратно через верхнюю границу г=0 и образует поле отраженного излучения. Спектр отраженного излучения полностью определяется функцией отражения (ФО):

5(| ц |;ф) =|Ц IА (г = 0;ц = -1 ц );ф), (ц = созО) (В.7а) Здесь (г = 0;7с/2 < 0 < тс;ср) - интенсивность выходящего из среды излучения.

9, ф - полярный и азимутальный углы вылета фотонов. Ось 2 направлена по нормали к поверхности вглубь среды. Поэтому, для отраженного излучения ц = -1 [I |< 0. Величина £(1 ц |;ф)б/ |ц|<йр представляет собой среднюю энергию светового излучения, выходящего в единицу времени через единичную площадку поверхности среды (г = 0) в интервале значений |р.|-г|р.|+с/|р,|, ср ^ ф + (¿ф. Её размерность - [<£ ]=Вт/м2.

Полный коэффициент отражения (КО) м>пГ определяются обычным образом:

Л(2-0); = 1 (В7Ъ) Уо о о

Л = Л ~ " количество лучистой энергии, входящей внутрь вещества в единицу времени через единицу поверхности; (г = 0)~ количество световой энергии, выходящей из вещества в единицу времени через единицу поверхности:

2л 1

Л = /¿ср|)1фЛ(г = 0;ц,Ф); (В.8) о о 0) = -/<йр р I а I р = 0;р = -1 р |,ф) (В.9) о о

Формулы (В.6), (В.7) справедливы при любом угловом распределении 10 падающего излучения.

Особое значение имеет случай мононаправленного облучения вещества: 0;в,ф) = /о5(соз9-со80о)5(ф-фо); у0 =/0 собЭ,, =/0р0 (В.10) В этом случае: = (В.11)

В. 12)

-'оМ'о 0 о

Поскольку уравнение переноса является линейным, то полная ФО при произвольном законе облучения поверхности /0(^)= = 0;р > 0,ф), может быть записана в виде:

2к I ц |;Ф) = /<Лр'/ф'/Д* = 0;р',Ф'Щ| ц |;р',ф - ф') (В.13) о о

Здесь ЛГ(|ц|;|и0,ф-ф0) - функция Грина альбедной задачи теории переноса для полу бесконечной среды: р|,р0,ф-ф0) = у-5(|ц|;ф-ф0;|ц0) (В.14)

В отличие от ФО величина р. |;ц0,ф - ф0) является безразмерной.

Полный КО при мононаправленном законе облучения поверхности связан с величинами £(||1|;ф-ф0;:|Ы0) и^(||Д.|;ц0,ф-ф0) соотношениями: 2л I 2 2п I пМ'О 0 0 Но о о

Полный КО м?пГ при произвольном законе облучения поверхности определяется общим выражением (В.7). С учетом (В. 13) и (В. 15) получаем: = 1 (В.16)

Л о о

Формулы (В. 13) и (В.16) позволяют рассчитать ФО и полный КО при произвольном законе облучения поверхности вещества, если известно их значение при мононаправленном падающем потоке. Таким образом, для вычисления ФО по формулам (В.7а) и (В. 11) нужно вычислить величину (г = 0; ц = -1 р. |; ф), т.е. необходимо решить транспортное уравнение Больцмана с соответствующими граничными условиями.

Однако, как показал В.А. Амбарцумян [40,41], ФО можно найти и не решая задачу в полном объеме. Сформулированный им принцип инвариантности позволил написать нелинейное интегральное уравнение непосредственно для ФО, которое в случае мононаправленного облучения световым потоком единичной интенсивности, имеет вид:

Г1 о и И М л Ц/ )а | ц' ьсп (-1ь> ■-1 ц |,Ф' - Ф) ^ ' ф'}

0 0 1М- |

0 0 Ц л 2|^ф" I ц' I х

О'ООО Ц

I н I

Известно сравнительно мало случаев, когда удается получить аналитическое выражение для ФО. Важнейшим является случай изотропно рассеивающей среды. Как уже отмечалось выше, в этом случае удается получить точное аналитическое выражение для ФО, без каких - либо ограничений на углы вылета и влета фотонов. ФО и КО при облучении полу бесконечной, изотропно рассеивающей среды определяются выражениями: р |;р0) = /0 у ,1 #(| ц |)Я(р0); < = 1 - Я (р0;Л) ч1 - Л (В.18)

Здесь #((ы;А)- функция Чандрасекара, которая удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению:

01; Л) = 1 + ^ рЯ(р;Л)) Ф Я(р';Л), (В. 19) 2 оЦ+Ц

Решение уравнения (В. 19) в явном виде было найдено В.А. Фоком [38]:

Н(щ Л) = ехр{- - Л } (В,0)

При изотропном законе однократного рассеяния ФО не зависит от азимута.

На этом развитие теории не закончилось. В.А. Амбрацумян показал [36], что для случая (Ы +1)- членной индикатрисы рассеяния (В.2Ь), т- я азимутальная гармоника ФО представляется в виде билинейной комбинации (7У-т + 1) вспомогательных функций ф"'(р;Л) и для этих функций получил нелинейные интегральные уравнения. Линейные уравнения для этих функций выведены В.В. Соболевым [42]. Впоследствии С. Чандрасекар [37] для частных случаев индикатрис, а В.В. Соболев [15] для общего случая показали, что все (Л/"-т + 1) вспомогательные функции ф"'(р;А) для произвольной гармоники т выражаются через набор (N + 1) функций Нт :(т = 0,1,2.//). Для функций Нт получены определяющие их уравнения. (ф°(р;А) = #(|и;Л)).

Существенное обстоятельство, затрудняющее применение точных методов в реальных средах состоит в том, что большое числе членов в разложении (В.2Ь) приводит к необходимости проведения чрезвычайно громоздких расчетов. При этом не удается найти точное аналитическое решение уравнения переноса, поэтому используются самые различные приближенные методы.

Широкий круг альбедных задач решен в диффузионном приближении в пространстве углов (приближение Фоккера - Планка). В этом приближении интеграл столкновений заменяется дифференциальным оператором второго порядка, а уравнение переноса (В.6) принимает вид: ц^-к/«--'»^.!.г:,ы,г> ^Ъ-м)(в.21)

82 [вьеМ зе; зт в Эф ] 4 7

Здесь В = с(1 - соБу)/2 = а(1 - х, )/2 - коэффициент угловой диффузии. Таким образом, для всех сред, в которых средний косинус угла однократного рассеяния одинаков, приближение Фоккера - Планка дает одинаковый угловой спектр рассеянного излучения, хотя распространение света в таких средах происходит по-разному. Область применимости диффузионного приближения ограничена условием на вид индикатрисы: с ростом угла однократного рассеяния она должна убывать быстрее, чем индикатриса резерфордовского вида — 1 /у4.

В рамках приближения Фоккера - Планка решена задача о малоугловом отражении света, когда излучение падает на поверхность среды под скользящими углами (0О ~тг/2, т.е. С,0 =тг/2-0о «1) и, поэтому, несмотря на малость угла рассеяния, может иметь место весьма сильное отражение. При скользящих углах падения при резко анизотропном однократном рассеянии у2)«1), возникает ситуация, когда оказываются малыми как угол скольжения С, = тг/2-9 (т.е. угол между вектором и поверхностью вещества), так и азимутальный угол ф: угол рассеяния из состояния (С,;ф,) в состояние

С25Ф2) С ~(С2 -С,)2 + (ф2 -ф|)2 «1- Поскольку ц = созе = 8тС«С> то уравнение переноса (В.21) существенно упрощается: + ^ + (В22)

Эг

ЭС2 дф2

1{г = 0; С > О, Ф) = /ДС - Со )5(Ф); /(г —> оо; £ = -1С |< 0, Ф) = 0 (В .23)

Как обычно, при малоугловом рассеянии формально считается, что угловые переменные С и ф изменяются в бесконечных пределах: - оо < С, ф < сю. Отраженному излучению соответствуют отрицательные значения угла скольжения: С, = -1 С, |. Столь радикальное упрощение транспортного уравнения позволяет, используя метод разделения переменных, найти его общее решение в виде разложения по собственным угловым функциям данной задачи Ф[' "л)(С>ф)- Вся сложность состоит в том, чтобы из общего решения уравнения переноса отобрать только то, которое удовлетворяет граничным условиям (В.23).

Так как при малоугловом отражении скользящего светового потока | р, |«| С |, то для ФО и полного КО имеем: s(| с |,ф| со)н с\i,(z -= 0;с =-1с n о; = у | с | s(¡ с 1;ф) (в.24)

Наиболее просто определяется ФО от консервативной среды (к = 0), заинтегрированная по азимуту:

ПС15ф|СоУФ (в.25)

00

В этом случае получается следующее уравнение для ФО: dIс|£Г(|СI Со)ак\кI) = ioQAK-Ko) ; (о < а, < оо) (в.26) о

Здесь = Ai(kQ - функция Эйри. Уравнение (В.26) впервые было получено О.Б. Фирсовым в 1966 г. [43]. Таким образом, даже в приближении Фоккера-Планка, когда уравнение переноса является дифференциальным, уравнение (В.26) для ФО оказывается интегральным. Уравнение (В.26) решается аналитически с помощью преобразования Меллина [43]: sr-íaiO^^pT (В.27)

Здесь =| С | / Со" приведенный полярный угол вылета фотонов. Угловой спектр отраженного излучения имеет явно выраженный максимум при угле вылета, равного углу влета: | С, \тр = С,0, т.е. | ^ \шр = 1. Это, так называемый "закон зеркального отражения".

Выражение для полной ФО Sl,~n(\\ С, |,ф! как по полярному углу С,, так и по азимутальному углу ф, от консервативной среды, было получено значительно позже, лишь в 1980 г., в работах B.C. Ремизовича, М.И. Рязанова и И.С. Тилинина [44,45]:

Sir = со 7„ со

2n2JICICo U + CD2 arctg со [>; со = >

-VJ/

B.28)

Здесь 1 = ф/^0- приведенный азимутальный угол вылета фотонов. Угловой спектр отраженного излучения (В.28) при упругом отражении не зависит от рассеивающих свойств среды, т.е. от коэффициента угловой диффузии И .

Подробное исследование проблемы малоуглового отражения света с учетом поглощения дано в [44,46]. Показано, что при наличии поглощения, полная ФО по обоим углам ^, ф и полный КО определяются выражениями:

А%>

4(тг£>)

3/2 X ои ds 1

0 ^СХРГК" Ds 1 erf v Ds

В.29а)

2 erf к/ l + ch

Г ry^ i 2 .iK ехр vK, erf

I2W3) '

-exp v К у erf \

B.29b)

2 - v'3 v . ^ " /

Здесь s = ct- путь, пройденный фотоном за время t от момента влета в среду до вылета из неё; erf(v)~ нормированный интеграл ошибок. Если в (В.29а) положить к = 0, то интеграл вычисляется аналитически и мы получаем выражение (В.28) для полной ФО от консервативной среды. Выражение для полного коэффициента обратного рассеяния зависит от величин Дк и С,0 посредством всего единственного параметра оа = D/kQ. При относительно сильном поглощении ао < 1. В этом случае большинство с 3 фотонов поглощается прежде, чем успевает вылететь из среды. Наоборот, если поглощение не велико, то величина <за » 1. В этом случае значительная часть фотонов успевает до поглощения отклониться на угол | С 1> Со и вылететь обратно из вещества: 1

- ехр 2 .' П к v

3 , ^ —1 /4 если сн «1,

В.29с)

1 - . (ст ) , если а »1.

Из (В.29с) видно, что с уменьшением а„ коэффициент отражения экспоненциально стремится и нулю. В случае сго » 1 альбедо очень медленно возрастает, стремясь к своему предельному значению wref(au —> оо) = 1 для случая консервативной среды. Таким образом, в рамках малоуглового диффузионного приближения в пространстве углов, проблема отражения от полубесконечной среды решена полностью.

Если индикатриса рассеяния убывает с увеличением угла однократного рассеяния у медленнее, чем у"4, т.е. чем индикатриса резерфордовского вида, то приближение Фоккера - Планка оказывается не применимым. В этом случае, нужно решать интегро-дифференциальное уравнение переноса (В.6), которое при скользящих углах распространения фотонов представляет собой уравнение с ядром типа свертки:

С ^¿Ф) = (к + а)/ + а] feWxte - О2 + (Ф' - ф)2 )l(z; С, ф') (В.30)

UZ, —СО—СО

Обобщение результата Фирсова для случая медленно спадающих индикатрис степенного вида

V<1) (В31) в квазидиффузионном приближении, когда считается, что » yeff и | С, |» ycff, а параметр v < 1, найдено в работе B.C. Ремизовича [47]. Для таких индикатрис собственные угловые функции Фх(0 уравнения (В.30) имеют значительно более сложный вид, чем в рамках диффузионного приближения. Они выражаются в виде не вычисляемых аналитически квадратур. Поэтому оказывается существенно более сложным и само уравнение для ФО зГ'Аеие.):

К|?Г)(1СРС.)Ф1(1С1^)=/„С.Ф1(-С„;у); (о £/,<«) (В.32)

В квазидиффузионном приближении угловой спектр упруго-отраженного излучения, найденный в [47], существенно зависит от параметра рассеивающей среды V, который определяет быстроту убывания индикатрисы рассеяния с увеличением угла однократного рассеяния у:

Формула (В.ЗЗ) позволяет решать обратную задачу теории переноса: по известному угловому спектру отраженного излучения можно определить значение параметра V, который определяет рассеивающие свойства среды.

Существует большое число приближенных методов расчета полей излучения, в которых не используется предположение о малости угла однократного рассеяния. Некоторые из этих методов были развиты значительно раньше, чем теория малоуглового отражения света. Кратко остановимся на некоторых из них.

В ряде случаев не требуется полной информации об угловом спектре отраженного излучения. Например, при расчете только полного коэффициента отражения (В.7) достаточно определить лишь выходящий через его верхнюю границу поток излучения (В.9). Одним из наиболее простых и известных методов расчета нисходящих и восходящих потоков излучения при освещении плоского слоя вещества бесконечно широким световым источником является двухпотоковое приближение, разработанное Шустером в 1905г. [48], которое было развито и использовано Шварцшильдом [49] - так называемое приближение Шварцшильда - Шустера. Основная идея двухпотокового приближения состоит в том, чтобы, минуя расчет интенсивности излучения

В.ЗЗ) т;р,ф) из точного интегро-дифференциалъного уравнения переноса (В.6), сразу сформулировать приближенные дифференциальные уравнения непосредственно для нисходящего j\(z) и восходящего yt(z) потоков светового излучения. Однако, последовательно развить эту процедуру не удается, так как коэффициенты получающихся уравнений являются некоторыми функционалами a'priori неизвестной интенсивности света /(z;ju, ф). Таким образом, главная трудность двухпотокового приближения состоит в наиболее удачном способе задания коэффициентов уравнений для восходящего и нисходящего потоков. Коэффициенты уравнений выбираются эмпирически, путем сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными или результатами численного решения уравнения переноса. Справедливости ради следует отметить, что, поскольку этот простейший подход к решению задач теории переноса развивался десятилетия с участием многочисленных исследователей, его можно считать достаточно законченным, а искусство подбора соответствующих коэффициентов достигло виртуозного мастерства [10,50]. (До этого места литература расставлена по новому списку)

Для увеличения точности расчетов целесообразно предварительно из общего светового поля выделить нерассеянное излучение ~5(П-П0), т.е. фактически вычислять диффузное поле излучения, которое формируется фотонами, испытавшими хотя бы одно рассеяние, приведшее к изменению направления их движения: т;ц,ф|р0) = /08(р0 - р)б(ф - ф0)ехр(- т/ц0) ■+ /(/"-)(т;р,ф|'р0) (В.34) Первое слагаемое в (В.34) определяет нерассеянное излучение /(плх) на оптической глубине т при падении светового потока в направлении (р0; ф0) на поверхность вещества. Нерассеянное излучение определяется только теми фотонами, которые достигли оптической глубины т ни разу не изменив направление своего движения. Для вычисления нисходящего и восходящего световых потоков У|'у)(т) и т) достаточно знать диффузно - рассеянное излучение T(/j/ )(t;jlx), проинтегрированное по азимуту:

2 л

7(w)(x;n)= 1/(№)(Х;Ц,ФМР (В.35) о

Уравнение переноса для величины 7(№)(х;р) имеет вид:

ЭГ(^(т;р) + r(nf) = Л ^^ ц)Г(»/)(т;,)+ /оЛ%(Цо ^ (в.36)

Эх -Í

T(ZJ/)(x = 0; р > О) = 0; Гт(т -> °о; р < 0) = О (В.37)

Здесь т- оптическая глубина; Л - вероятность выживания кванта: t = (g + k)z; Л = ~—; (В.38)

СГ+ к р' -> р) - индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту: р' р) = /<#'Х(р' р;ф' - ф) = ± 21-~ %,Р, и*! (р) (В.39) о '=0 ¿

Величины и уг(/)/)(т) определяются обычным образом: jf\т) = /цф7<*>(т; р) > 0; jf\т) = -1| р И р | Р"п(т-1 р |) < 0 (В.40) о о

Интегрируя уравнение (В.46) по р в пределах [0,1] и [-1,0] получаем [10]: = -ÍL- Aj+AfbW г Лф^)уГ, + / д ^у. di р,(т) р2(х) A®f(í) + С-А)н-Аф,(т) r + /од (В41Ь) d* р,(т) р2(т)

Л(/,/)(х = 0)=0; 7f>(T->oo)=0 (В.42)

В уравнениях (В.41) введены обозначения: i о

РиМ= . PnGÜ = (В.43а) о -i

Величина ри (р0) представляет собой вероятность того, что фотон при одном акте рассеянии из начального состояния (р0,ф0) рассеивается только в нижнюю полусферу (0 < р' < 1) т.е. не изменяет знак проекции своего импульса на ось z: р,> 0. Наоборот, величина рп (р0) определяет вероятность того, что фотон при рассеянии из начального состояния (р0, ф0), изменяет знак проекции своего импульса на ось z с плюса на минус, т.е. рассеивается в верхнюю полусферу: -1 < р/ < 0. Из условия нормировки индикатрисы (В.1) следует, что:

В.43Ь)

Уравнения (В.41), хотя и являются абсолютно точными, не представляют собой замкнутую систему уравнений, так как их коэффициенты р,(т) и ср,(х) (/ = 1,2) являются функционалами от а'рпоп неизвестного значения :

I о рй?рГ(х;р) |р^рГ(т;р) М,1(х!М-о)= . - О» ц2(т|ц0 )=-•-'„. • - 0; (В.44)

0 -I

I о фТ (т; Р )рп (р) /ФЛт; р)/9хт (р) ф.(^о)=°-~1---------------; ф2(^К)= о.> (в.45) фТ(т;р) |фГ(т;р)

-I где

ЛДр>0)= /ф%Др->р'); ^т(ц<0)= (В.46)

-I

Величина рп(р>0), так же и рп (р0), есть вероятность того, что фотон, движущийся в нижней полусфере под произвольным углом 0 = агссоэр <и/2 к оси 2 , перейдет после одного акта рассеяния в любое состояние -1 < р' < 0 в верхнюю полусферу. Аналогичный смысл имеет величина £>|Т(р < 0), которая определяет вероятность перехода фотона из состояния р < 0 в верхней полусфере в нижнюю полусферу. Величины рп (р > 0) и р1Г (р < 0) имеют максимум при р = 0, (т.е. 9 = 7г/2), т.к. в этом случае, чтобы перейти в верхнюю или нижнюю полусферы фотону достаточно рассеится на сколь угодно малый угол. Так как в этом случае фотон распространяется параллельно поверхности вещества, то вероятности перехода в нижнюю или верхнюю полусферу равны, т.е. /?и(0)=£>п(0) = 1/2 [51]. С другой стороны, очевидно, что если фотон распространяется в направлении р = 1, т.е. строго вдоль оси г , то вероятность перехода его в верхнюю полусферу будет иметь наименьшее о значение. Таким образом, значения величин> 0) и £>п(р < 0) заключены в пределах: рп (1) < Рп (р > 0) < 1- р1Г (-1) < (р < 0) < 12 (В.47)

В работе [52] вычислены значения величины />п(1) для различных индикатрис рассеяния: гауссовской, экспоненциальной, резерфордовской, дифракционной, индикатрисы Хеньи-Гринстайна и для широко используемой в аналитических расчетах двухпараметрической индикатрисы, вида (В.31).

Коэффициенты р,(х) и р2(х) - есть величины средних косинусов углов наклона световых пучков в нисходящем и восходящем потоках. Коэффициенты ср1 (т) и ср2(т) представляют собой доли энергии нисходящего и восходящего световых потоков, рассеиваемые соответственно вверх и вниз слоем единичной толщины. Значения коэффициентов р,(х) и Ф,(х) изменяются в пределах:

0<Ц/(х)<1; /?п(1)<ср,(х)<1/2. (В.48)

При изотропном рассеянии > 0) = < 0) = 1 / 2. Поэтому ф(-)(т) = ф(-)(т)=15 (В. 49) так, что неизвестными остаются только значения коэффициентов р,, р2.

Очевидно, что практически маловероятно предсказать зависимость ср,, (р2, р, и р2 от глубины х при произвольном законе однократного рассеяния. Радикальное упрощение достигается за счет того, что эти неизвестные коэффициенты в значительной мере произвольно заменяются некоторыми постоянными, не зависящими от глубины х, величинами. В частности, предлагается заменить величины р; (х) и (х) их средними значениями [50]: ц, Щ =Нт|^}Ф/(х'Ут'|, (г = 1,2) (В.50)

Следует иметь в виду, что р, и ф( зависят от вероятности выживания кванта. Как показали численные расчеты для изотропной индикатрисы рассеяния и для индикатрисы резерфордовского типа р, > ц2. При этом с увеличением поглощения значение jlx, увеличивается, а значение р, уменьшается. Однако, их среднее арифметическое значение изменяется незначительно. Поэтому, обычно полагают р,~р2=р; ф,*ф2 = ф (В.51)

Соотношения (В.51) приводят к двухпараметрическому варианту двухпотокового приближения. В этом приближении уравнения (В.41) принимают вид:

ФШ - " Л) !' - " ' л/'.(" )-Р( х/,.) (В.52а) ах р. р:

ФМ = Л? уГ»+ (1-А) + ,\р + k)exp( } с/т р, р;

Л(// Xх = О) = 0; ут(/у)(т-»оо)=0 (В.53)

Решение системы дифференциальных уравнений (В.52) с постоянными коэффициентами не представляет труда. В частности, коэффициент отражения будет определяться выражением: л-„1-лп I - ! (ц,) - )] + /1 - л -I' 2 Л ф

Л-И ) Л" [ (I -Л) . .и-Л.ЛД.р)!,, .,„, (! • AXI- А + 2Л(р)] (В'54)

Таким образом, для расчета коэффициента отражения по формуле (В.54) остается указать численные значения двух параметров: р и ф. Следует отметить, что независимо от выбора значений этих параметров, при отражении от консервативной среды из (В.54) получаем, что wn>/(A = l;p.0)=l. При изотропном рассеянии ф^ = 1 /2, ) = ) = 1 /2. Поэтому получаем:

СВ.55) р + р0 \/1 - Л

Для полубесконечной, изотропно рассеивающей среды р=0.51, 0.51, 0.55 при Л =0.95, 0.9, 0.7, соответственно. Поэтому при проведении расчетов полагают р ~ 0.5 (В.56)

Обычно равенство (В.56) считают справедливым и для рассеивающих слоев конечной толщины [10]). Подставляя (В.56) в (В.55) окончательно получаем:

В.57)

1 + 2ц0 VI — А

Интересно отметить, что если в точную формулу (В. 18) для м>п.г подставить приближенное выражение для функции Чандрасекара (В.20), [21]

Я(р0=1;Л)= л , (В.58)

1+ ч/Зл/1-Л то получим:

1 - vi - А

С'Г(Л) * - у-- у- -•-••■ (В.59) ге/ 1 +л/з-71-л

Заканчивая обзор двухпотокового приближения, еще раз отметим, что в рамках этого приближения невозможно получить какую либо информацию об угловом спектре отраженного излучения.

Простейшим способом расчета угловых характеристик обратно-рассеянного излучения является, так называемое приближение однократного рассеяния на большие углы [53,54]. Особенно успешно это приближение работает в сильно поглощающих средах, например в океане. Расчеты методом Монте-Карло показали [55,56], что благодаря сильной вытянутости индикатрисы рассеяния вперед и существенному отличию вероятности выживания кванта от единицы, ФО плоского слоя с хорошей точность может быть определена на основе решения уравнения переноса, найденного в приближении однократного рассеяния на углы больше тс/2, с предварительной заменой индикатрисы рассеяния в области углов 0 < у < те/2 на 8 - функцию. В этом приближении, названном в [53] квазиоднократным, функция отражения от полубесконечного слоя вещества, при освещении его широким пучком под углом 90 = arceosр0 к вертикали, выражается формулой [53,54]:

S(|p|,p0,(p) = /01 - xn(р0 -» -1 р I,ср), (В.60)

1-AF |р|+р0 где F- доля света, рассеянного в переднюю полусферу при одном акте рассеяния: л/2 I

F = 2% Jdysinyx(cosу) = 2тг Jф/%(р') = (р = l), (В.61) где величина ри{р > 0)определяется первой формулой из (В.43а). Впервые выражение (В.60), было приведено Г. Гордоном (H.R. Gordon) в работе [53], для случая полубесконечной среды и нормального падения пучка. В работе [54] получена та же формула в случае нормального падения и нормального отражения. Следует отметить, что формальный вывод выражения (В.60) в указанных работах не приводится. В работе [51], комбинируя принцип инвариантности и метод дважды-угловых функций Грина, получено более общее и точное выражение, аналогичное (В.60), для случая полубесконечной среды в квазиоднократном приближении:

•(|р|,р0,Ф)= , д -д.7ГК1Хп(Ио->-|^|,Ф) (В.62)

I Ц I [1 - Лри (^о)J + [1 - АРи (I М- l)J

Функция отражения (В.62), как и должно быть, удовлетворяет теореме оптической взаимности: величина »S(| р |,р0,ф) не изменяется при перестановке | р |<=> р0. Нетрудно видеть, что формула (В.62) переходит в (В.60) если в (В.62) положить ри(\10)*ри(1) и £>u(|p|)«¿>u(l).

Очень распространенным является так называемое транспортное приближение [1,7,57]. В этом приближении реальная анизотропная индикатриса рассеяния %(cosy) заменяется величиной %lr (cos у) : x(cosy)=> x,r(cosy)= (l-g)xe#(cosY)+-£-8(1- cosy), (В.бЗа)

Ztí к к

27i|sinyx,;.(cosy)(iy = 1 => 27С jsinyxc// (cosy)iiy = 1; (В.63b) о о

Наличие 5- функции в (В.бЗа), учитывает наличие сильной вытянутости реальной индикатрисы в направлении малых углов. Фактически это означает, что излучение, рассеянное вперед, не отличается от нерассеянного. Кроме того, Xe/f(cosy) - значительно более плавная функция угла рассеяния, чем истинная индикатриса x(cosy)- В результате, задача сводится к решению уравнения переноса с "эффективной" индикатрисой рассеяния Xc//-(C0sy) и "эффективными" показателями рассеяния Gefr = (l - g)a. Цель транспортного приближения состоит в том, чтобы свести реальную задачу о переносе излучения к задаче, с более плавной индикатрисой рассеяния.

Если от глубины 2 перейти к "эффективной" оптической глубине тс// = т = ес//г, то уравнение переноса (В.6) будет выглядеть так:

Цэ/(т'мр) = -/('Т;И,ф) + кг й>'(Ц' И,ф'-фУ(х;р',ф'), (В.64а)

ОТ 0-1 где At// - "эффективная" вероятность выживания кванта:

Л „ = • = Л 1 ^ < Л (В.64Ь) а„+к 1-gA

Параметр g выбирается таким образом, чтобы, например, средний косинус угла рассеяния, вычисленный в транспортном приближении (В.63а), совпадал с его истинным значением: (cosy)^ = (cosy). Из этого условия находят значение

Я: cosy) - (cosy)

В.65)

Так как % ,.(cosy) - более плавная функция угла рассеяния, чем x(cosy), то всегда (cosy) < (cosy) и поэтому 0<g<l. В традиционном простейшем варианте %и1Г (cosy) = ^""^(cosy) = 1/471. При этом реальная задача сводится к хорошо изученной задаче о распространении света в среде с изотропным рассеянием. В этом случае g = (cosy) и ае// = а„. = а(1 - cosy) = 1//(г -транспортный показатель рассеяния;/^ - транспортная длина рассеяния. В этом варианте имеем:

X„.(cosy) = j- {(l - (cosy))+ 2(cosy)5(l - cosy) , Ле/, = Л 1 (В.67а)

4ти l-A(cosy;

Осуществляя в (В. 18) замену Л —» Ас//, получаем: р|;р0,Л,>/0 hf~ i^/ (|p|;Aj/ (р0;Л,,) (В.67b)

4тг iPi+Po o; Aejr) = 1 - #(p0; Ac/r) x/l - Ae~ (B.67c)

Таким образом, в отличие от двухпотокового приближения, даже простейший вариант транспортного приближения позволяет рассчитать не только полный КО, но и угловой спектр обратно-рассеянного излучения.

Используются и более сложные представления для "эффективной" индикатрисы рассеяния %cff (cosy), чем изотропная. В работе [58], используется линейная индикатриса рассеяния (B.5b): %[,/f(cosy)= (1/47т)(1 + 3%, cosy). Для такой индикатрисы приближенное решение может быть получено в рамках приближения пространственной диффузии. В работах [59,60] в качестве "эффективной" индикатрисы рассеяния используется трехчленная индикатриса рассеяния (Trinomial Phase Function): (cosy)« x('"")(cosy) = t"[l + 3x, cosy + 5%,-P,(cosy)] (B.68)

471

Коэффициенты %i и %2 находятся из условия наилучшего приближения в среднем функции ^(cosy) тремя полиномами /"„(cosy), i^(cosy) и P2(cosy)

Xeff (cos у) - y-(l + 3x, cos у + 5 %2P2 (cos у)) 471 mm

Таким образом, нахождение относительно простых и, в то же время, достаточно точных аналитических решений уравнения переноса с линейной и трехчленной индикатрисами рассеяния, оказывается необходимым, в том числе, для расчета угловых спектров отраженного излучения в рамках транспортного приближения. Именно эти индикатрисы и будут предметом дальнейшего рассмотрения. В синтезе с транспортным приближением, полученные в работе результаты, могут быть использованы для изучения отражения светового излучения от диссипативных сред не только с мелкомасштабными неоднородностями, но и с крупномасштабными рассеивающими центрами.

Среди разнообразных приближенных методов расчета полей излучения, в которых не используется предположение о малости угла однократного рассеяния важное место занимает так называемое Р1 - приближение, основанное на использовании метода сферических гармоник. Изложим в начале сам метод сферических гармоник, применительно к уравнениям (В.36), (В.37). Разложение диффузно-рассеянной интенсивности по сферическим гармоникам

У™ (в; ф) фактически представляет собой двойное разложение - в ряд Фурье по азимутальному углу ф ив ряд по присоединенным функциям Лежандра ^"'(р):

7(/ж)(т;р,ф!р0)=-1-|;со8(тф)/("')(т;р|р0) (В.69а)

2Л т=О

В.69Ь) ыт 2 (/ + т)\

Здесь /,(т)(х|р0)- угловые моменты диффузной части интенсивности излучения; т- номер азимутальной гармоники. Интегрируя (В.69) по ф получаем:

Т«"\тф0) = 2|^ф/(""')(х; р, ф|р0) = £ 2/ + ^//^(т; Р0 )Р, М (В.70) о /=о I

Выражение (В.70) определяет I ^^(т;р|р0) в виде ряда по полиномам Лежандра. Подставляя (В.69) в (В.36), находим:

2/ + 1 с1т 2/ + 1 дх (2 - 5т 0 )/0 Ах, Р™ (р0) ехр(- х / р0)

1 Лх/)//(т,(х;р0) =

В.71)

Бесконечная система уравнений (В.71) полностью эквивалентна исходному уравнению переноса (В.36). Она представляет собой систему из зацепляющихся дифференциальных уравнений для величин /^(^р,,). Каждому значению номера азимутальной гармоники т соответствует свой блок уравнений для функций Отметим, что для любой т - ой азимутальной гармоники индекс I принимает бесчисленное множество значений, начиная с

1 = т до / = оо. Каждая из величин помимо р0 и А, зависит, как от параметров, от коэффициентов %т,%т+1,%П1+2,—- разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра:

1,м(т) = /,(т)(х; р0; А; х„, %т+,, Х„,+2 >••••) С * тп) Пологая в (В.71) т = 0 и т = 1получаем систему уравнений для нулевой и первой азимутальных гармоник /,(0)(х;р0) и //|}(т; |И0):

IV.'' ,//;;<1) + уД. ^ + 0 - Ах, )/«М = /0ЛХ,/;(ца )ехр(- т/ц.)

2/ + 1 ах 21 + 1 ах = 0,1,2,3,.) (В. 72)

2/ +1 ат 21 +1 ах = 1,2,3,.) (В.73)

Общая система уравнений (В.71) существенно упрощается в двух случаях: когда рассеяние изотропно (В.5а) и в случае нормального падения (р0 = 1). В обоих этих случаях отсутствует зависимость от азимута диффузной части излучения. Система уравнений (В.71) для угловых моментов в изотропно рассеивающей среде, когда х,("") = 5/0и выглядит так: ' "ет + (1-Л5,)Г,(т)=Л/„ехр(-т/^)5Л. (В.74) 21 + 1 ах 21 + 1 ах

Теперь значение диффузной интенсивности излучения можно рассчитать по общей формуле (В.69): х; р|р0) = X + р0 )Р, (р) (В.75) о 47Г

В случае нормального падения ^"'(р0 = 1)= 5/0. Поэтому отличной от нуля в уравнениях (В.71) будет только нулевая гармоника //0)(т|р0 = 1):

7 ±Й О+М + ./ + (1 дХ;)/, (т) = /0Лх, ехр(- х) (В.76) 2/ + 1 ах 2/ + 1 ах V Л-;/ /V / о л; V )

Здесь обозначено /,(х) = //0)(т;= 1). Полагая в (В.69) т = 0 получаем: 1 >±2~тР,к) (В.77)

1=0 4тг

Если разложение индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра (В.2Ь) содержит конечное число слагаемых с 0 < / < N, то во всех полученных ранее

Ю N формулах нужно сделать замену => ]>] и учесть, что величины т и I могут о о принимать значения: т = 0,1,2.N и / = т, т +1, т + 2,.N.

До сих пор не было сделано каких-либо упрощающих предположений, Поэтому все полученные выше соотношения являются точными. Для получения приближенного решения любого из уравнений (В.71) для угловых моментов //п,)(т; при заданном значении т, приходится обрывать бесконечную цепочку соответствующих уравнений, считая, что, начиная с некоторого номера / = 1т = Ь(т)>т, величины /^(т),/)'"](т),. равны нулю.

Другими словами, в разложении (В.69Ь) для каждой из азимутальных гармоник сохраняется конечное число членов разложения по присоединенным функциям Лежандра:

->(т;ц) „ (В.78) ыш 2 (1 + т)\

Это, так называемое /¿- приближение [27,28,61]. (Поскольку везде далее речь идет только о диффузной части излучения, то для сокращения письма будем писать /(га)(т;р), вместо /(/у)(т)(т;р)). Главная трудность любого Рь— приближения заключается в невозможности точно удовлетворить граничным условиям на поверхности вещества.

Наиболее радикальным из Рь- приближений является Я/ — приближение, предложенное Эддингтоном [7,27]. Это приближение приводит к уравнению пространственной диффузии для объемной плотности энергии излучения р(т) на глубине т: р(т)= 1 <|7(/,/)(т;П>/П; [р(т)]=Дж/м3 (В.79) С

Проиллюстрируем Р/ — приближение применительно к расчету нулевой азимутальной гармоники:

0)(т; т0)=1)р, М (в. 80)

1=о 2

Вычисление нулевой азимутальной гармоники определяет интенсивность диффузно-рассеянного излучения безотносительно к азимуту, и, следовательно, является необходимым промежуточным этапом при расчете полного коэффициента отражения от полу бесконечной среды. Именно к вычислению величин /,(0)(т) сводятся так же задачи расчета световых полей в изотропно рассеивающей среде (В.74) и при нормальном падении светового потока на поверхность вещества (В.76) при произвольном законе однократного рассеяния.

Система уравнений для определения угловых моментов для нулевой азимутальной гармоники (В.72) должна быть дополнена дополнительными условиями:

0)(т = 0;р > 0)= 0; /(0)(х °°;р < 0) = О (В.81)

В методе Эддингтона считается, что в разложении (В.80) можно ограничиться только первыми двумя членами для значений / = 0 и / = 1:

0)(т;р)«^{/0(0)(т) + 3р/|(0)(т) ; (В.82)

Соответственно, рассматриваются только первые два уравнения системы (В.72) для / = 0 и / = 1, причем во втором уравнении полагают /2 = 0: (1 Л)/(°)(Т) = /0Лехр(- х/р0) (В.83а) ах + (1 ЛХ|)/,%) = /0АХ, р0 ехр(- т/р0) (В.83Ь) 3 ах

Понятно, что приближение (В.82) оправдано на таких глубинах, где световое поле радиации достаточно близко к изотропному: |у(т):«ср(т). Величины /0(т) и /,(т) имеют простой физический смысл:

2л I 1

0(0)(х) = рф рр/(да)(т;р,ф) = |ф/(0)(х;р) = =ср(х) (В.84а)

О -I -1

0)(т) = /^ср }рф/(да)(х;р,ф) = |ф/(0)(т;р)^(0)(р) =у(т) , (В.84Ь)

О -I -I

Здесь р(х)- объемная плотность энергии излучения (В.79), а j(x)- полный поток лучистой энергии диффузно рассеянного излучения на глубине х. В терминах р(х) и у'(х) выражение (В.82) и уравнения (В.83) запишутся так:

0)(х;р)Л{Ср(х) + Зр7(т) (В.85) = -(1 - Л)ср(х) + / Л ехр(- х / р0) (В. 86а) ах ф(т)

В. 8 6b)

1-лх,)1 3 dx

Уравнение (В.86а) есть одномерное, стационарное уравнение непрерывности для диффузной плотности энергии светового поля (сИу](г)= -кср(т)+£?г(г)), с учетом возможного поглощения фотонов и наличия объемного источника энергии, который индуцируется по глубине вещества нерассеянным потоком фотонов. Уравнение (В.86Ь) есть, фактически, одномерный закон Фика (](г) —D*gradр(г) + 70(г)), где £>* = с/3(1 - Ах,) - коэффициент пространственной диффузии. Подставляя (В.86Ь) в (В.85) получаем:

0>(т;р)^>( т)

1-Лх,) ф(т) 3/0 dx с

Л^оХ, ехр(-т/р0)

В.87)

Выражение (В. 8 7) позволяет определить нулевую гармонику диффузно рассеянного излучения в рамках метода Эддингтона, если известно значение плотности диффузной энергии светового излучения р(т).

Чтобы получить уравнение для величины р(т) подставим (В.86Ь) в (В.86а): у? ~ 53р(т) = -70 — [1 + (1 - А)х,]ехр(- т/р0) , (В.88) ах~ с где

52 =3(l-A)(l-AXl) (В. 89)

Уравнение (В.88) описывает стационарную одномерную пространственную диффузию энергии света в диссипативной среде. Из приведенных выше формул видно, что в рамках // - приближения рассеивающие свойства среды определяются только величиной х, = (cosy). Результаты расчета не зависят от других коэффициентов разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра.

Решение уравнения (В.88), удовлетворяющее условию р(т оо) = 0 имеет вид: р(*)=ЛехрИх) + /0ЗЛ^ [1;(1-ЛНХр(-т/»0 (В.90) с (ц05) -1

Полный КО с учетом (В.85) будет определяться выражением:

В.91)

Осталось определить величину А. С учетом (В.85) граничное условие (В.81) записывается в виде:

Очевидно, что, имея в распоряжении всего одну произвольную постоянную А , невозможно точно удовлетворить условию (В.92) во всем диапазоне значений изменения величины р. Поэтому в Р/ - приближении, как и в любом другом приближении, приходится прибегать к различным способам приближенного удовлетворения граничных условий. Эти способы основаны на каких-то дополнительных предположениях: сшивка решения с решением проблемы Милна, граничные условия Марка [62,63], граничные условия Маршака [64] и т.п. Каждый из этих способов имеет определенные недостатки. Поэтому, точность расчетов существенно зависит от выбора тех или иных предположений.

В рассматриваемом случае потребуем, например, чтобы на поверхности вещества была равна нулю не диффузная интенсивность излучения во всем интервале значений (0 < р < 1), а равен нулю падающий диффузный поток (граничное условие Маршака):

Используя условие (В.93), окончательно находим значение плотности диффузной энергии поля р(т) на глубине т: с р(т) + Зр/(т)}т=0 = 0, если 0 < р < 1

В.92)

В.93)

В. 94) е^-^ + Ь-А^е-^Л

Коэффициент отражения (В.91) с учетом (В.94) запишется так:

1 ( п\ ЗЛ

9 Л

В.95)

15у 2Л + (3 + 28)р Л| (3 + 25)-ЗЛХ]

2р0 (1 + 5р0)(3 + 25)

При отражении от консервативной среды (Л = 1; 8 = 0) получаем, что, как и должно быть, (Л = 1) = 1, независимо от угла падения. Значение принимает наименьшее значение в случае нормального падения:

А ,/3(Г-Лх,)-Зх, 1-Л 1 + ^ ГлЖГлй "/з(1 - Ах,) + 2 . 1-Л (В-96)

Для реальной линейной индикатрисы 0 < < 1 / 3. При изменении в таких пределах значение м>гс) всегда положительно).

При изотропном законе однократного рассеяния, когда X] = 0 находим, что

И (В'97)

Р, - приближение используется и как составная часть в различных приближенных методах расчета интенсивности излучения.

Оригинальная методика для решения задачи о диффузном отражении и пропускании была разработана В.В. Соболевым [42] в 40-х годах прошлого века. Метод разбивается на два этапа.

На первом этапе уравнение переноса решается для линейной индикатрисы

В.5Ь). Поскольку cosy = pp'+^l-p2 ^-(р')2 соб(ф'-ф), то

X("m V ->р;ф'-ф)= 1 |l + Зх.р'р) + Зх, x/l- p2 v'l - (ц')2 cos(<p' - ф) (В.98)

471 v

Величина Xi может изменяться в пределах: 0 < х, < 1 /3.

На втором этапе метода Соболева предлагается однократное рассеяние учесть точно, а приближение сделать при вычислении интенсивности многократно рассеянного излучения.

В случае линейной индикатрисы, интенсивность диффузно рассеянного излучения (В.69а) содержит только две азимутальные гармоники с т = 0 и т = 1:

7(/w')(/""') (т; Р, Ф!Р„) = ■ - - {/(0)(т; р) + /(|)(т; р) cos(<p)}, (В.99)

271 где в соответствие с (В.69Ь) (п)(х; то) = 11Но )Р, М (В. 100а) о 2

7("(т; т,)=± 21-±1 1 (¡,) (В.100Ь) i I /(/+1)

Здесь г =1Д.)

Величины /,(0)(т;1л0) и //(|)(т;ц0) определяются из системы уравнений (В.72) и (В.73). В методе Соболева для вычисления величин //0)(т;р0) и //^(т;|и0) используется описанное вышеР, - приближение. В формуле (В. 100а) сохраняется два слагаемых с / = 0,1: о)- 2 2 ЬМ+Зр/(т) (В.101а)

В формуле (В.ЮОЬ) сохраняется одно слагаемое с / = 1:

Д^7/,(1)(т;р0) (В.101Ь)

Теперь выражение (В.99) запишется так: т;Ф|ц0)« р(т) + Зм/-(т) +1 71- ^/^(т;¡ц0)соз(ср)| (В.102)

Уравнения для коэффициентов разложения первой азимутальной гармоники //^(т^р,,) диффузно-рассеянного излучения (В.73) решаются ещё в более радикальном приближении, чем уравнения (В.72) для нулевой азимутальной гармоники //0)(т;р0): из всей системы уравнений (В.73) сохраняется только одно уравнение с / = 1:

1 (1 ЛХ1)/(')(Х) = 210А%1Р] (р0) ехр(- т/р0) (В. 103)

3 ах

Здесь учтено, что /0(|)(т) = 0. В полученном уравнении пренебрегают величиной . После чего находим, что х) - 2/0 J1 - ехр(-т /р()) (В. 104)

1-Лх,)

Подставляя (В. 104) в (В.102Ь) получаем: т; р) « 31 Jl - р/ Jl - р2 ехр(- т / р0) (В.105)

2 (1-Лх,)

Определив таким образом значения т;р) и ;р), из формулы (В. 102) окончательно находим:

1(п" (т; р, Ф|р0)« у - {р( т) + Зр/(т) +

47Ü

ЗЛ 1 (В. 106) h ^ \А - Vo2 V1" ^ ехР(- Т /^о)с05(ф)|

Однако, и результаты, получаемые методом Соболева, зависят от того, какое приближение сделано при выборе граничных условий.

Развитием метода сферических гармоник является 2Ри— приближение. В этом приближении интенсивность света ищется в виде разложений по "смещенным" полиномам Лежандра /}(2р-1) на отрезке [0,1] и по Р,{2р +1) на отрезке [-1,0], где p = cos0 [65]. При таком подходе в некоторых случаях удается повысить точность расчета световых полей, если перед разложением интенсивности в ряды по смещенным полиномам Лежандра из общего светового поля в нисходящем излучении выделить нерассеянное излучение, т.е. вычислять диффузное поле излучения [66]. В случае нормального падения

Ио = О f/)(x;p>0ip0 = 1)=2(2/ + 1)/;(т)/^(2р-1) (В. 107а) 0 \ 00 т(т;р < 0)^ 7{/у,(т;ц < Ojp0 =1)= £(2/ + 1)/Г(х)^(2р +1) (B.107b)

1=0

Система зацепляющихся уравнений для /+(т) и /, (т) выглядит так: f1 - 2-';, f' + f-2/;(,)-2лё(2, + 1)а,.,/;(.) =

2i +1 от 2г +1 дт от ,-=о , .

В. 108а) 2Л£(2уЧ1)(-1)'%/,-(т) 0 + 1 дГ г дГ дГ я ' + 9 я ~ >2/-М-2Л1(2/ + 1)(-1ГЧ,/:« = 21 + 1 от 21+ \ от от /=о (В 108Ь) 2Л ± С2у +1) (-1)'+' ¿>,,./; (х) + 2Л/< (т)

7=0

Дополнительные условия для величин Ц (х) и (х): х = о) = 0; /;(х^оо) = 0 (В.109)

В уравнениях (В.109) введены следующие обозначения: аи= /ф /ф'Хи(р'-^р)^(2р'-1)Р/(2р-1) (В. 110а) о о I I

Ъи = |ф (В.ПОЬ) о о

Функции ^(г) определяются выражением: х) = (-1)70^|ф%п(р0 ->-р)^(2р-1) (В. 111) о

Очевидно, что при таком подходе нет проблем с удовлетворением граничных условий (В. 110), даже если в суммах по / в (В. 108) сохраняется конечное число слагаемых. Однако, диффузное световое поле не является, вообще говоря, плавной функцией полярного угла на любых глубинах 0 < х. Поэтому, как и в обычном методе сферических гармоник, не удается достичь высокой точности, удерживая в разложения диффузного излучения в ряды по смещенным полиномам Лежандра лишь несколько первых слагаемых.

Точность расчетов можно существенно увеличить, если использовать модифицированное 2Р0- приближение [67]. В этом приближении из общей интенсивности выделяется так называемая "анизотропная" часть излучения. Анизотропная часть интенсивности 1ат (х; р > 0, ф) описывает фотоны, которые оказались на глубине х, ни разу не изменив при этом знака проекции своего импульса на ось 2 : р, > 0. (Более подробно об анизотропной части излучения см. параграф 1.1 первой главы). В модифицированном 2Р0~ приближении вместо (В.109), выражения для нисходящего и восходящего излучения (при нормальном падении, когда отсутствует азимутальная зависимость) записывают в виде [67]:

I, (х; ц > 0|ц0 = 1) = / т. (х; р > 0|р0 = 1) + £ (2/ +1)/; (т )Р, (2ц -1) (В. 112а)

1=1 (т; ц = -1 р |< Ор0 = 1) = £ {21 + IX-1)' I; (т)^(2|ц|-1) (В .112Ь) 0

Величина /да?(т;р > 0) определяется из уравнения [68]: от о 2%

В [67] получена система зацепляющихся уравнений для //(т) и /,~(т), которая отличается от (В. 109) значением функций ^ (т): (т)=(-1)' |^(2р -1) -р X, и') (в-11 з) о о

Решение бесконечной системы зацепляющихся дифференциальных уравнений (В. 108а), (В.108Ь) с однородными граничными условиями (В.109) представляет собой не менее сложную задачу, чем решение исходного уравнения переноса. Однако, для нахождения приближенных решений можно оставить в разложениях (В. 107) лишь конечное число членов и, соответственно, конечное число уравнений в бесконечной системе (В. 108а), (В.108Ь). Полученное таким способом приближенное решение будет, тем не менее, точно удовлетворять условиям на границах слоя вещества, что существенно отличает предлагаемый метод от метода сферических гармоник (различные Рг -приближения).

Простейшее приближение, которое можно сделать, состоит в том, что в разложениях (В. 107) сохраняются только первые слагаемые модернизированное 2Р0 - приближение (МХ)Р0 - приближение):

Г (х, р)« /0+ (т); Г (х,-1 р |)« Г0 (т) (В. 114)

Такое радикальное упрощение возможно в силу следующего обстоятельства: величины /+(х;р), /~(х;-|р|) являются плавными функциями переменной р, так как анизотропия углового распределения интенсивности света целиком содержится в /олл(х;р) [69], имеющей максимум при р = 1 (рассматривается случай нормального падения). Так как /+(х;р) и /~(х;-|р|), являются плавными функциями р (т.е. не имеют резких максимумов), то коэффициенты их разложения в ряды по полиномам Лежандра /)(2р-1) быстро убывают с ростом индекса г.

В модифицированном 2Р0- приближении выражения (В. 107а) и (В.107Ь) для нисходящего и восходящего излучения имеют вид:

Дт;р > 0)« /т(т;р > 0) + /0+(т) (В.115а)

Дт;р = -|р|<0)«/0-(т) (В.115Ь)

Исходя из сделанных предположений, из точных уравнений для индекса / = 0 получаем замкнутую систему уравнений для определения /0+(т) и /~(т): + Г0(т)-АрпГ0=Ар1,Г0( т) (В.116а)

2 ах

- ^ +1-(т) - АРпГ0 = АРп1] (т) + (т) (В.116Ь)

1 ах

0+(т = 0) = 0; /0"(т -> со) = 0 (В. 117)

Здесь учтено, что

I I ао,о= /Ф=Рп (В.118а) п о

I I

Ко = /Ф -> ц) = ри = Рп (В.118Ь) о о

I I оМ= /ф|ф'Хп(ц'->-Л„(т;р')= /ф^р')/,,^') (В.119)

0 0 о

Величина ри (/?п) - вероятность того, что при одном акте рассеяния, фотон не изменит знак проекции своего импульса на ось г, т.е. остается после рассеяния в той же полусфере, что и до рассеяния. Величина р^ - вероятность того, что при одном акте рассеяния, фотон изменит знак проекции свей скорости на ось 2 с «-» на «+» (или с «+» на «-»), т.е. окажется после рассеяния в противоположной полусфере. При рассеянии на сферических частицах Ри - Рп и Ри=Ри- Величина ^(т)- есть энергия светового излучения рассеянная в единицу времени в верхнюю полусферу слоем единичной толщины на глубине т за счет прохождения через этот слой анизотропной составляющей интенсивности излучения.

В работе [67], используя модифицированное 2 Р0- приближение, получено следующее выражение для полного коэффициента отражения при нормальном падении светового потока на поверхность изотропно рассеивающей среды:

ЧГ)(ц» = 1)= -. , , „ А.Ч (В. 120)

2(1 + 2 7Г-~Л)Г 1 - А 2У1г Л)^ ^ 2 2 VI - А )

Интересно сравнить полученное выражение (В. 120) с результатами расчета коэффициента отражения в двухпотоковом приближении (В.57) при нормальном падении: вл21)

В случае слабого поглощения (1 - Л «1), из формулы (В. 120) получаем:

1 а 1ч 1 —л/1 —А иг, ,(1 - Л «1) и----,- , сЛ ' 1 + 2-71-Л что в точности совпадает с выражением (В. 121). В случае очень сильного поглощения (Л «1) из (В. 122) находим: Л wm (Л « 1)

3-АХ2-Л1"3)

В то же время из (В. 121) получаем:

Л«1)« ----------Л д

3-Л)(2-2)

Т.е. и в этом случае оба выражения практически совпадают, так как (in 3)/ 2 « 0.55.

41

Таблица В1

Двухпотоковое Точное

Л приближение приближение решение

0.20 0.03804 0.03786 0.03491

0.40 0.08924 0.08842 0.08365

0.60 0.1643 0.1623 0.1556

0.80 0.2956 0.2918 0.2853

0.99 0.7517 0.7500 ' 0.7527

В Таблице В1 представлены коэффициенты отражения от полубесконечной среды при изотропном однократном рассеянии в случае нормального падения светового потока на поверхность среды при различных значениях вероятности выживания кванта Л. Как видно из таблицы, результаты МТ)Р0- приближения хорошо совпадают с результатами точных расчетов. Результаты двухпотокового приближения также хорошо согласуются с точными расчетами. Однако, предположение (В.56) о выборе параметра р в рамках двухпотокового приближения не имеет достаточного физического обоснования и является априорным. В то же время, в рамках МОР0 -приближения вообще не возникает проблем с выбором каких либо неизвестных параметров. Коэффициенты уравнений (В. 116) определяются однозначно формулами (В. 118). В рассматриваемом случае изотропно рассеивающей среды

Ри=Рп=1/2

Еще одним способом приближенного решения уравнения переноса является группа методов, традиционно объединяемая названием «Методы дискретных ординат». Вик [70] и Чандрасекар [37] в 40-х годах для решения уравнения переноса в однородных плоскопараллельных слоях предложили заменить угловой интеграл квадратурной суммой. Этот прием и положил начало развитию методов дискретных ординат, хотя сам термин появился позднее, по-видимому с монографии Дэвиссона [61]. Общим для всех МДО является переход к дискретному описанию угловой зависимости. Для этого вводится квадратурная сетка {>!>,, П. /=1,.,М, где гу - вес направления й(р.,ф(). Уравнение переноса (В.36) преобразуется в систему линейных дифференциальных уравнений

И, + ^р(.)Г(х;р,)+/0Л%(р0 (В. 122) ах *=I

Граничные условия (В.37) при этом очень просты: при х = 0 7(х = 0;р()= О, для р, > 0 (В.123а) при х-> оо 7(х-> оо;р.) = 0, для р( < О (В.123Ь)

В первых работах решение аппроксимирующей линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений находилось аналитически. Впоследствии методы дискретных ординат (МДО) получили широкое распространение в численных расчетах полей излучения. От выбора квадратуры в значительной степени зависит точность решения задачи в рамках МДО. Этот выбор определяется геометрией задачи, степенью анизотропии источников и индикатрисой рассеяния. Основные квадратуры, используемые на практике можно условно разделить на три типа [71]:

1) квадратуры типа Гаусса

2) ^„-квадратуры

3) составные квадратуры

Квадратуры типа Гаусса выгодно использовать в тех случаях, когда подинтегральная функция в интеграле столкновений хорошо аппроксимируется во всей области интегрирования своим разложением по сферическим гармоникам 17"(9>ф) (полиномам Лежандра Р, (р)) невысокого порядка. Поскольку узлы этих квадратур располагаются на сфере нерегулярным образом, аппроксимация угловых производных решения оказывается затруднительной и поэтому их применение ограниченно прямоуголными геометриями.

-квадратуры разработаны Карлсоном [72,73] специально для решения уравнения переноса. Их основным достоинством является более равномерное распределение узлов по поверхности единичной сферы.

Составные квадратуры. В гетерогенных задачах решение уравнения переноса не является, вообще говоря, гладкой функцией угловых переменных. В тех случаях, когда область интегрирования можно разбить на подобласти, в каждой из которых подинтегральная функция достаточно гладкая,используются гр V составные квадратуры. Так, плоско - параллельной среде, решение имеет особенность в точке р = 0 на границах зон [74,75]. При сильной гетерогенности ощутимый выигрыш в точности [75] дает использование гауссовых квадратур на каждом из полуинтервалов (-1,0), (0,1) («двойная» гауссова квадратура). Обширная библиография по МДО имеется в [7,71].

Непомерная трудность решения уравнения переноса с реальными индикатрисами рассеяния при самой разной геометрии среды способствовала развитию разнообразных других численных методов расчетов радиационных полей, такие как метод Монте-Карло [76-78], Р1Ч-метод [79], метод последовательных порядков рассеяния [80,81], метод конечных разностей [82,83] и т. д. Обширный список литературы по численным методам можно найти в работах [7,11,61,71]. Отдавая должное численным методам, представляется очевидным, что и по настоящее время актуальной является разработка и реализация принципиально новых, нетрадиционных аналитических методов расчета радиационных полей в реальных средах, которые сочетали бы в себе универсальность и относительную простоту с достаточной для практики точностью при максимальном удобстве для пользователя. Многолетний опыт решения практических задач показывает, как нужны приближенные методы решения уравнения переноса в самых различных областях физики, включая такие традиционные, как передача изображения, теория подводного видения, альбедные задачи атмосферной оптики и оптики океана и т.д. [1,3,10,13].

В последние годы разработан новый метод расчета скалярных радиационных полей, основанный на принципе разделения потоков [68,84].

Поток излучения на любой глубине г внутри вещества представляется в виде нисходящего излучения, распространяющегося вглубь среды (р = соз9>0; 0<9<7с/2) и восходящего излучения (р = -|р|<0; 7с/2<6<71:), распространяющегося из среды в сторону верхней границы вещества: р, ф) = /Дг; р > 0, ф) + /т (г; р = -1 р |, ф) (В. 124)

Используя метод пространственно- угловых функций Грина удалось получить замкнутые линейные интегральные уравнения, как для нисходящего /Дг;р>0,ф), так и для восходящего /т(г;р = -|р|,ф) излучения. Огромным преимуществом этих уравнений является отсутствие проблемы граничных условий, так как при любом, даже приближенном, методе решения эти условия будут выполнены автоматически. Эти уравнения организованы таким образом, что корректно учитывается корреляция между нисходящим и восходящим потоком радиации, степень которой может быть очень существенной, когда отраженное излучение достаточно велико. В этом случае величина нисходящего излучения оказывается в значительной мере ослабленной ввиду того, что большое число частиц или фотонов покидают вещество через его верхнюю границу. Полученные уравнения позволили разделить проблемы расчета проходящего через вещество и отраженного от него излучения, рассматривая эти задачи совершенно независимо друг от друга [84]. Использование замкнутых уравнений для /4(2;р>0,ф) и /т(г;р = -1 р |,ф), позволило сделать следующий, принципиально важный шаг. Оказалось возможным представить восходящее и нисходящее излучение в виде суммы парциальных потоков 1{2к)(г;р>0;.),и /(2*+1)(г;р = -1 р |< 0;.) как результат некоторой итерационной процедуры (см. §3 гл. 1). Существенно, что эта процедура осуществляется не традиционным способом, т.е. не по числу отдельных актов однократного рассеяния, число которых может быть исключительно большим даже в сравнительно тонких слоях вещества. (Именно это обуславливает низкую эффективность такой стандартной итерационной процедуры и приводит к неоправданно большим затратам времени при численных расчетах, особенно в условиях резко-анизотропного рассеяния).

Суть метода разделения потоков на парциальные части состоит в том, что используется итерационная процедура по числу событий, в каждом из которых частица или фотон изменяет знак проекции своего импульса р. на направление нормали к поверхности, т.е. переходит из состояния движения вглубь вещества (р = со50>0; 0<в <п /2) в состояние движения в сторону верхней границы (р = -|р|<0; л/2<6<л), или наоборот. Частота таких событий, особенно в средах с крупномасштабными рассеивающими центрами, когда (1 - соБу)«1, на порядки меньше частоты отдельных столкновений. Поэтому между двумя такими событиями может происходить очень большое число отдельных элементарных актов взаимодействия излучения с рассеивающими центрами. В результате, как нисходящее, так и восходящее излучение можно представить в виде: 0,.)=Х/|2к)(г;р > 0;.); (В. 125а) к=0

1х{г, р = -1 р I;.) = = -1ЦI;-) (В.125Ь) к=О

Индекс 2к или (2&+1) показывает, сколько раз фотон, оказавшись на глубине ъ, изменил знак проекции своего импульса р:.

Разделение излучения на парциальные потоки дает возможность проанализировать зависимость каждого из них от оптических характеристик среды и параметров падающего излучения, оценить вклад каждого парциального потока в общее поле световой радиации. Это обстоятельство является принципиально важным. Физически очевидно, что парциальные потоки высокой кратности (практически для к> 1), являются значительно более "плавными" функциями угловых переменных. Поэтому для вычисления потоков разной кратности в реальных ЗБ и 2Б средах можно использовать совершенно разные приближенные методы, что расширяет разнообразие методов их расчета.

Поскольку метод разделенных потоков создан недавно и является новым подходом к расчету световых полей, большое значение приобретает апробация этой новой технологии в тех случаях, когда зная точное выражение для интенсивности светового излучения, можно реализовать точную процедуру разложения её на парциальные потоки. Именно такая возможность представляется при изучении распространения света в средах с полинаправленными индикатрисами, когда как раз известно точное решение уравнения переноса. Такие исследования проведены в работах [51,85,86]. Эти работы, в частности, дают качественный ответ на вопрос: при каких параметрах рассеивающей среды в спектре отраженного излучения можно рассматривать только первое слагаемое ряда (В.125Ь). Кроме того, рассмотрение модельных сред позволило, помимо всего прочего, рассчитать парциальные потоки любой кратности и проанализировать их особенности, как при стационарном облучении поверхности, так и при облучении её 5-импульсным временным сигналом.

Метод парциальных потоков можно использовать и для вычисления угловых спектров отраженного излучения, используя представление полной ФО в виде ряда по парциальным функциям отражения (ПФО) [68,84]:

•у(М.<рК)= 1^2т+1ЧМ,Ф|р0)= ^+<у(3>+. (взо) т=0

В работе [87] описана регулярная процедура вычисления первой парциальной функции отражения для случая, когда разложение индикатрисы по полиномам Лежандра (В.2а) содержит конечное число слагаемых.

В настоящей работе метод разделения потоков применен для анализа структуры угловых спектров излучения, отраженного плоской рассеивающей средой с относительно плавными несферическими индикатрисами рассеяния. Аналитические решения задачи о диффузном отражении плоскопараллельным слоем с такими индикатрисами представляют интерес при рассмотрении переноса оптического излучения в космической среде [27,88,89], в различных искусственных средах [32], в задачах нейтронной физики [90]. Кроме того, они позволяют в транспортном приближении (см., например, т.н. соотношения подобия в [59]) построить эффективные приближенные решения для любой наперед заданной атмосферной индикатрисы рассеяния. На основе проведенного анализа предложен новый метод приближенного аналитического решения альбедных задач теории переноса.

В 1-ой главе диссертации детально описана процедура разделения светового поля на парциальные составляющие. Кроме того, впервые получено соотношение, связывающее вероятность изменения проекции скорости фотона на выделенное направление в одном акте рассеяния со средним углом однократного рассеяния. Это соотношение использовано в дальнейшем в главе 3.

Во 2-ой главе диссертации построена процедура определения первой парциальной функции отражения для. индикатрис, содержащих конечное число сферических гармоник. Показана связь этой величины с пространственно — угловыми функциями Грина и с дважды угловыми функциями Грина альбедной задачи. Установлено соотношение симметрии пространственно — угловых функций Грина относительно перестановки угловых переменных.

В 3-ей главе, проведено исследование процесса отражения света от плоской полубесконечной среды с относительно плавными индикатрисами рассеяния. Получены явные выражения для пространственно-угловой функции Грина при изотропном, линейном и трехчленном законах рассеяния. Рассчитаны первые ПФО 5,(1)(|р|,ф|р0) для этих индикатрис, которые описывают "анизотропную часть" отраженного излучения. Результаты исследования позволяют сделать следующее принципиально важное утверждение: в среде с малым поглощением разность между полной и первой парциальной функциями отражения (ППФО) зависит от. косинуса полярного угла вылета фотонов из вещества практически линейно. В сильно поглощающих средах эта зависимость уже нелинейна, однако абсолютная величина разности мала по сравнению с ППФО.

Линейность уравнений для ПФО 5,(2т+|)(|р|;ф|р0) позволяет использовать для их решения метод угловых функций Грина, которые зависят только от угловых переменных и, в отличие от пространственно-угловой функции Грина, не зависят от пространственной переменной ъ (т.н. дважды угловые функции Грина).

В 4-ой главе, следуя основной идее изложенной в [91], принцип инвариантности Амбарцумяна объединен с методом разделения потоков. Это позволяет, не вычисляя парциальные потоки на произвольных глубинах внутри среды, сразу сформулировать уравнения непосредственно для всех ПФО. Оказалось, что в отличие от уравнения Амбарцумяна для полной ФО, уравнения для ПФО 5,(2ш+1)(| р |;ф|р0) являются линейными интегральными уравнениями. Более того, все эти уравнения однотипны и отличаются друг от друга только своей неоднородностью. Основываясь на результатах третьей главы, в 4-ой главе диссертации, используя синтез принципа разделения потоков с принципом инвариантности, разработан метод вычисления так называемой ламбертовской добавки ("плавной" части спектра отраженного излучения), которая определяет отраженное излучение фотонов, изменивших знак проекции своей скорости на нормаль к поверхности среды более 1 раза.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Методика аналитического расчета первой парциальной функции отражения при произвольной индикатрисе.

2. Аналитический расчет первой парциальной функции отражения для изотропной, линейной и трехчленной индикатрисы рассеяния. Анализ ее вклада в полный спектр отражения. Вычисление первого парциального коэффициента отражения для линейной индикатрисы.

3. Теория отражения скалярного светового излучения, основанная на объединении принципа инвариантности и метода разделения потоков: формулировка уравнения для «ламбертовской добавки» (почти изотропной части спектра отраженного излучения). Разложение ламбертовской части спектра на парциальные составляющие.

4. Соотношение между вероятностью изменения знака проекции импульса фотона на выделенное направление в одном акте рассеяния и средним углом однократного рассеяния при произвольной индикатрисе.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Радкевич, Александр Владимирович

Основные результаты главы 4

В этой главе, следуя основной идее изложенной в [95], принцип ^вариантности Амбарцумяна объединен с методом разделения потоков. Это эзволяет, не вычисляя парциальные потоки на произвольных глубинах внутри зеды, сразу сформулировать уравнения непосредственно для всех ПФО. казалось, что в отличие от уравнения Амбарцумяна для полной ФО, уравнения пя ПФО £(2т+|)(|р|;ф|р0) являются линейными интегральными уравнениями, олее того, все эти уравнения однотипны и отличаются друг от друга только зоей неоднородностью. Основываясь на результатах третьей главы, в 4-ой главе иссертации, используя синтез принципа разделения потоков с принципом нвариантности, разработан метод вычисления так называемой ламбертовской обавки ("плавной" составляющей в спектре отраженного излучения, одчиняющегося хорошо известному "закону косинуса"), которая определяет траженное излучение фотонов, изменивших знак проекции своей скорости на ормаль к поверхности среды более 1 раза. Проведен расчет ламбертовской асти спектра для случая изотропного рассеяния. Сравнение точного и риближенного (ППФО + ламбертовская добавка) спектров показало, что гаксимальное различие между ними не превышает 12%.

170

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследован процесс отражения света от полубесконечной среды с относительно плавными индикатрисами рассеяния. Разработана регулярная процедура расчета пространственно-угловой функции Грина нисходящего излучения для любых индикатрис. Проведено исследование свойств симметрии угловой функции Грина альбедной задачи теории переноса и найдено соотношение, связывающее названные функции Грина. На основе этого соотношения показана симметрия пространственно-угловой функции Грина относительно перестановки ее угловых переменных. Обнаруженные свойства симметрии позволили предложить более простую процедуру аналитического расчета первой парциальной функции отражения (1111ФО) ¿>(1), определяющей вклад в спектр отраженного излучения фотонов, покидающих рассеивающую среду после одного рассеяния с изменением знака проекции скорости на нормаль к поверхности среды.

Проведен анализ ППФО при различных индикатрисах рассеяния и поглощающих свойствах среды и ее сравнение с полной функцией отражения (ФО) Показано, что ППФО определяет такие особенности отраженного спектра, как локальные максимумы и точки перегиба. При этом в случае сильного поглощения (А <0.6) разность ФО и ППФО мала по сравнению с ФО и ППФО и составляет -0.1 ФО. С ростом поглощения доля ППФО в ФО возрастает. С другой стороны, в случае, когда относительная разность величин £ и 5го' велика (при А>0.8), величина Д£(| р |) = £(1 р О-З^'А р |) достаточно хорошо описывается линейным законом.

Указанные выше особенности разности величин 5" и позволили предложить новый нетрадиционный подход к расчету спектров отраженного излучения, основанный на сочетании принципа инвариантности и метода разделения потоков. Основной особенностью данного подхода является предположение о линейной зависимости разности величин £ и £(|) от косинуса полярного угла вылета фотонов из среды (т.н. ламбертовская часть спектра). Предложенный метод расчета спектров отраженного излучения применен в простейшем случае изотропного рассеяния. Показано, что в этом случае метод имеет высокую точность при расчете как интегральных (коэффициент отражения), так и дифференциальных (ФО) характеристик отраженного излучения.

При расчете ламбертовской части спектра возникает необходимость исследовать такую важную характеристику однократного рассеяния, как вероятность изменения знака проекции скорости фотона на выделенное направление. Показано, что эта величина представляет собой отношение среднего угла однократного рассеяния (у) к максимальному углу рассеяния л.

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Валерию Стефановичу Ремизовичу за многочисленные обсуждения, ценные советы, внимание и постоянную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Радкевич, Александр Владимирович, 2002 год

1. Иванов А.П. Физические основы гидрооптики. Минск: Наука и техника, 1975. , Jerlov N.G., Nielsen E.S. Optical aspects of oceanography (N.Y.: Academic Press, 1974)

2. Шифрин K.C. Введение в оптику океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. . Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах. Стандартныеметоды расчета. Под ред. Ж. Ленобль. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. . Мак-Картни, Оптика атмосферы. М.: Мир, 1979

3. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск: Наука и техника, 1969.

4. Zege, Е.Р., Ivanov, А.Р. and Katsev, I.L., 1992, Image Transfer through a Scattering Medium (Springer).

5. Сушкевич T.A., Стрелков C.A., Иолтуховский А.А. Метод характеристик в задачах атмосферной оптики. М.: Наука, 1990.

6. Яновицкий Э.Г. Рассеяние света в неоднородных атмосферах. Киев: Главная астрономическая обсерватория НАН Украины, 1995.

7. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988.

8. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972.

9. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука, 1985.

10. Karagiannes J.I., Zhang Z., Grosswiner В., Grosswiner L.I. Applications of the 1-D diffusion approximation to the optics of tissue photons// Appl. Opt.-1989 v.28, № 12, pp. 2311-2317

11. Marchesini R., Bertoni A., Andreola S., Sichirollo A.E. Extinction and absorbtion coefficients and scattering phase function of human tissues in vitro// Appl. Opt.-1989 v.28, № 12, pp. 2318-2324

12. Parsa Т., Jacques S.L., Nishioka N.S. Optical propagation of rat liver between 350 and 2200 nm// Appl. Opt.-1989 v. 28, № 12, pp. 2325-2330

13. Patterson M. S., Chance В., Wilson B.C. Time resolved reflectance and transmittance for the noninvasive measurement of tissue optical properties// Appl. Opt.- 1989 v. 28, № 12, pp. 2331-2336

14. Барабаненков Ю.Н. Электродинамическое обоснование теории переноса//

15. УФН, 1975, т. 117, № 1, с. 53-58 \Ъ. Калашников Н.П., Рязанов М.И. Многократное рассеяние электромагнитных волн в неоднородной среде// ЖЭТФ, 1966, т.50, №2, с. 459-471

16. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971

17. Нагирнер Д.И. Лекции по теории переноса излучения. СПб.: Изд-во СпбГУ, 2001.

18. Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media. (New York: Academic Press, 1978)

19. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

20. Van de Hulst Н.С. Light Scattering by Small Particles (New York: Wiley).

21. Шифрин K.C. Рассеяние света в мутной среде. М. Л.: Гостехиздат, 1951.

22. М.В. van der Mark, М.Р. van Albada, and Ad Lagendijk, 1988, Phys. Rev. B, 37, p. 3575

23. J.S. Mathis, J.P. Cassinelli, K.A. van derHucht, T. Prusti, P.R. Wesselius and P.M. Williams. 1992, Astrophys. Journal, 384, p. 197 211.

24. Шифрин K.C., Солганик И.Н. Рассеяние света модельными индикатрисами морской воды. // В кн.: Таблицы по светорассеянию. Л.: Гидрометеоиздат, 1973, т. V.

25. Амбарцумян В.А. 1943, ДАН СССР, 38, 257.

26. Амбарцумян В.А. 1943, ЖЭТФ, 13, 224.

27. Chandrasekhar S. Radiative Transfer (Oxford: Clarendon, 1950).

28. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Мат. сб. 1944,14(56), вып. 1-2, с. 3 50.

29. V.D. Ozrin, 1992, Phys. Letters, 162, № 4, p. 341 345.

30. Амбарцумян В.А. 1942, Изв. АН СССР. Геофизика, №3, 31-35.

31. Амбарцумян В.А. 1943, ЖЭТФ, 13, 721-732.

32. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет. М.: ГИТТЛ, 1956.

33. Фирсов О.Б. 1966, Докл. АН СССР, 169, 1311.

34. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин Н.С. Энергетическое и угловое распределение отраженных частиц при падении пучка ионов под малым углом к поверхности вещества// ЖЭТФ, 1980, т.79, в. 2 (8), с. 448- 458

35. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин И.С. Диффузное отражение узкого пучка света от полубесконечной среды с сильной анизотропией рассеяния// Изв. АН СССР ,ФАО, 1981, т. 17, № 8, с. 880-883

36. Schwarshild К. // Sitsber. Acad. Wissench. Berlin. 1914, S. 1183

37. Зеге Э.П. О двухпотоковом приближении в теории переноса излучения.

38. Препринт Института физики АН БССР, 1971. 1. Remizovich V.S., Radkevich A.V., Tishin I.V., 1998, Laser Phys., 8, №5, p. 985 -1003.

39. Kuzovlev A.I. and Remizovich V.S., 1994, Laser Phys., 4, 788-815. 3. Gordon H.R., 1973, Applied Optics, 12, №12, p. 2803 2804. I. Голубицкий Б.М., Левин ИМ., 1980, Изв. АН СССР, ФАО, 16 №10, с. 1051 -1058.

40. Колесов А.К., Смоктий О.И., 1971, Астрон. журнал, 48, № 5

41. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов// Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1960.

42. Mark J.C. 1944, The spherical harmonic method 1, National Research Council of Canada, Atomic Energy Project, report MT 92.

43. Mark J.C. 1945, The spherical harmonic method 2, National Research Council of Canada, Atomic Energy Project, report MT 97.

44. Marshak R.E. 1947, Phys. Rev. 71, p. 443.

45. Yvon I. 1957, J. Nucl. Energy, 4, p.305.

46. Галишев B.C. Вопросы теории многократного рассеяния частиц. М.: Атомиздат, 1972.

47. Remizovich V.S., Radkevich A.V., 1996, Laser Phys., 6, №4, p. 679 694.

48. Remizovich V.S., 1995, Laser Phys., 5, p. 751.

49. Remizovich V. S. and Zhilkin D. V., 2002, Laser Physics, 12, No. 3, p. 541

50. Wick G, 1943, Z. Phys., 121, p. 702

51. Баас Л.П., Волощенко A.M., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения. Москва, 1986, Препринт ИПМ им. Келдыша.

52. Carlson B.G. Solution transport equation Sn approximation, Los Alamos Scientific Laboratory report LA 1891, 1955

53. Карлсон Б.Г., Латроп К.Д., Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб. Вычислительные методы в физике реакторов. Под ред. X. Гринспена, К. Келбера, и Д. Окрента. Москва 1972, Атомиздат, стр. 102 157.

54. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса. Москва, Наука, 1981г5. Белл Д., Глестон С. Теория ядерных реакторов., пер. с англ. Москва, Атомиздат, 1974

55. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Дарбинджан P.A. Решение прямых и некоторых обратных задач атмосферной оптики методом Монте-Карло. Изд ВЦ СО АН СССР, 1968. Л. Марчук Г.И. (ред.), Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Каргин Б.А., Елепов

56. Siewert С.Е., 1978, Astrophys. Space Sei., 58, p. 131 137.

57. Remizovich V.S., Radkevich A.V., 2000, Laser Phys., 10, №3, p. 820. 5. Remizovich V.S., Tishin I.V., 1997, Laser Phys., 7, p. 1014 1020. 5. Минин И.Н., Пилипосян А.Г., Шидловская H.A., 1964, Ученые записки ЛГУ, сер. Математических наук, № 323, вып. 37.

58. Remizovich V.S., Radkevich A.V., 1997, Laser Phys., 7, №4, p. 952 966.

59. Колесов A.K., Соболев B.B., 1969, Ученые записки ЛГУ, сер. Математических наук, № 347, вып. 44. с. 3 19

60. Remizovich V.S., Radkevich A.V., 2000, Laser Phys., 10, №2, p. 560 575.

61. Коновалов Н.В., Препринт ИПМ им М.В. Келдыша №14, Москва, 1974.

62. Remizovich V.S., Radkevich A.V., 1998, Laser Phys., 8, №5, p. 974.

63. Радкевич A.B., Ремизович B.C. Разложение ламбертовской части отраженного излучения по парциальным частям при произвольной индикатрисе рассеяния. Сборник трудов «Научной Сессии МИФИ», Москва, 2001