Преобразование независимости случайных величин и условные квантили многомерных распределений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Шатских, Сергей Яковлевич

• Шатских, Сергей Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шатских, Сергей Яковлевич

7

Глава 1. Преобразование независимости конечных семейств случайных величин

1.1. Построение преобразования независимости случайных величин. Связь с условными квантилями конечномерных распределений

1.2. Примеры явного вычисления преобразований независимости и условных квантилей.

1.3. Треугольное преобразование независимости и преобразование полной независимости случайных векторов

1.4. Применение треугольного преобразования независимости в задачах фильтрации изображений.

Глава 2. Воспроизводимость условных квантилей при сужении на условные квантили меньшей размерности

2.1. Определения воспроизводимости условных квантилей при сужении на условные квантили меньшей размерности

2.2. Примеры многомерных распределений, условные квантили которых обладают свойством воспроизводимости.

2.3. Примеры многомерных распределений, условные квантили которых не обладают свойством воспроизводимости.

2.4. Некоторые свойства многомерных распределений, условные квантили которых обладают свойством воспроизводимости при сужении на условные квантили меньшей размерности.

2.5. Построение треугольного преобразования независимости с помощью суперпозиций двумерных условных функций распределения

2.6. Последовательности случайных величин, обладающих свойством воспроизводимости условных квантилей. Построение с помощью обновляющих последовательностей

2.7. Необходимое условие воспроизводимости условных квантилей при сужении на одномерные условные квантили (гладкие распределения вероятностей)

2.8. Многомерное распределение Коши как локально гауссовское распределение

Глава 3. Преобразование независимости и условные квантили бесконечномерных распределений

3.1. Гауссовские меры в гильбертовом пространстве

3.2. Устойчивые эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве

3.3. Мера Коши в гильбертовом пространстве

3.4. Устойчивые эллиптически контурированные меры с показателем а = 2/

3.5. Эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве (общий случай)

3.6. Воспроизводимость бесконечномерных условных квантилей.

3.7. Вероятностные свойства логарифмических производных и производных Радона-Никодима эллиптически контурированных мер в гильбертовом пространстве.

3.8. Асимптотические свойства условных квантилей для одного класса симметрических распределений на пространстве

Глава 4. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений вероятностей устойчивых эллиптически контурированных мер

4.1. Постановка задачи

4.2. Усиленный закон больших чисел для условных распределений вероятностей, соответствующих ортонормированному базису собственных векторов оператора В

4.3. Усиленный закон больших чисел для условных распределений вероятностей, соответствующих произвольному ортонормированному базису

Глава 5. Обобщенные случайные поля.

5.1. Сужение пары биортогональных полей на подпространство пробных функций

5.2.Преобразование независимости для бесконечномерных распределений,

Список основных обозначений

Т[£ъ • ■ • 1 сг-алгебра, порожденная случайными величинами£ь . , £ Fi.n{xъ • • • 5 xn)i fi.n{xu ■ ■ ■ ■> хп) - функция распределения и плотность случайного вектора £ = (£ь . ,£п); к\\.%.тХХк I • • • ; xki ■ ■ ■ ■> xn)i fk\l.Jt.niXk I ЖЬ ' ' ' )xki • ■ ■ > xn) " УСЛОВная функция распределения и условная плотность случайной величины относительно случайных величин . , ■ ■ ■ знак" над элементом означает пропуск этого элемента;

-квантиль порядка р Е [0,1] : Fk(qpk) — р\ ql -квантиль порядка Fk(xG) : Fk(ql ) = Fk(x°)\ qPk| - n(x\,. , Xk-, ■ ■ • j xn) ~ условная квантиль порядка p E [0,1]: ' ' ' Хк1 ' ' ' ' I • • ■ ,хкт-- , Xn) = v\ x° t ^ \

Уи г • • • ,xk)••• , a^nj - условная квантиль проходящая через от

К I./С. меченную точку х° = (а^, • • • , XD £ '• ' ■ 1Хк) ■ • • > жп) | х1, • ■ • 5 хк5 • • ■ > — 1 к\1 .к.-.п^к I • • ' 1хк-> ■ ■ ■ ' X?J>

IRn -n-мерное евклидово пространство;

- пространство последовательностей действительных чисел; Ш - вещественное сепарабельное гильбертово пространство; Н+, Н - оснащения гильбертова пространства Н; С0°° (Т) - пространство бесконечно дифференцируемых функций на IRn с компактными носителями;

3(H) - борелевская сг-алгебра подмножеств пространства Н; В(Ш°°) - борелевская сг-алгебра подмножеств пространства R.00; Boo ~ остаточная сг-алгебра подмножеств пространства Н; W6 — е— окрестность множества W; Wc - дополнение множества W;

0 -симметрическая разность множеств, прямая сумма подпространств; fi2{-]m, В} - гауссовская мера со средним m и ковариационным оператором В; fia{-;m, В} - устойчивая эллиптически контурированная мера с показателем а Е [0, 2];

М{-} , М{- | В} - математическое ожидание и, соответственно, условное математическое ожидание (относительно сг—алгебры В);

Рн(') ~ логарифмическая производная меры ¡1 по направлению /г; Ф(-) - стандартное гауссовское распределение;

•; а, 1) - плотность одномерного крайнего устойчивого распределения с показателем а £ [0,2];

5(а,Ь), Г(-) - бета и гамма функции;

- неполная бета функция; Г(а, г) - неполная гамма функция; В(х\а,Ъ) - бета-распределения с параметрами а и 6; Р(х,к) - х2 - распределение,с к - степенями свободы; Жх, функция Уиттекера; К!,(•)— модифицированная функция Ганкеля; с^ А - определитель матрицы А; diag(all, а22, • • • , апп) ~ диагональная матрица; I - операция транспонирования матриц; тгп - ортопроекторы; М1 - ортогональное дополнение к М; Брап(.) - линейная оболочка векторов; <•,•>- знак скалярного произведения; := - равно по определению.

В работе использована "троичная" система нумерация теорем, лемм, определений и формул: первое число обозначает номер главы, второе число обозначает номер параграфа, а третье число - номер теоремы (леммы, определения, формулы) в пределах данного параграфа. Теоремы, леммы, определения и формулы имеют независимую нумерацию.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование независимости случайных величин и условные квантили многомерных распределений»

Хорошо известно, что для гауссовских случайных векторов свойство независимости его компонент эквивалентно их некоррелированности. Поэтому для каждого гауссовского вектора существует линейное преобразование, переводящее этот вектор в гауссовский случайный вектор с независимыми компонентами.

Однако, несмотря на важную роль, которую в теории вероятностей и математической статистике играет свойство независимости1, в научной и учебной литературе, насколько известно автору, нет общего подхода к построению преобразования независимости для негауссовских случайных векторов.

В этой работе предлагается один из возможных вариантов преобразования независимости случайных величин, основанный на использовании условных функций распределения. Следует отметить, что этот вариант (нелинейного) преобразования независимости в гауссовском случае совпадает с традиционным преобразованием ортогонализации.

Задачу построения преобразования независимости семейства случайных величин можно рассматривать как частный случай более общей задачи математического анализа: указать замену переменных в кратных интегралах, при которой подынтегральное выражение (дифференциальная форма) преобразуется в произведение одномерных дифференциальных форм, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. В этой связи следует отметить и задачу локального приведения дифференциальных форм постоянного класса к каноническому виду (см. [22], с.118). Именно аналогия с последней задачей привела автора к построению преобразования независимости (см. [103]).

Одной из важных особенностей предлагаемого преобразования независимости семейства случайных величин является его тесная связь с условными квантилями многомерных распределений этого семейства. Поэтому в этой работе рассматриваются некоторые свойства условных квантилей, связанные с преобразованием независимости.

Следует отметить, что в последние десятилетия условные квантили привлекают все большее внимание специалистов по теории вероятностей

•Уместно привести высказывания А.Н. Колмогорова : "Понятие независимости двух или нескольких опытов занимает в известном смысле центральное место в теории вероятностей" (см. [52], с. 17) и Ю.В. Прохорова: "Именно широкое использование понятия "независимости" выделяет теорию вероятностей из чистой теорий меры" (см. [82], стр. 136). Кроме того, свойство независимости играет важную роль и "за пределами" теории вероятностей. В этой связи следует упомянуть известные книги М.Каца [43], B.C. Кашина и A.A. Саакяна [44] и В. Кубилюса [61], в которых можно найти примеры использования свойства независимости в анализе и теории чисел. и математической статистике. В частности, это связано с появлением новых статистических моделей, в которых ошибки наблюдений имеют не-гауссовские распределения с "тяжелыми хвостами" (см., например, [146], [152], [128]). Для таких моделей предположение о существовании моментов функций распределения уже не является справедливым2 Вот почему в последнее время в статистической теории регрессии развивается "без-моментный" подход, в рамках которого условные квантили, как функции "объясняющих факторов", используются вместо условных математических ожиданий. Естественно, что для успешной реализации такого подхода необходима развитая теория условных квантилей многомерных вероятностных распределений3.

Так например, довольно значительное число работ посвящено задачам статистического оценивания условных медиан и квантилей для целей нелинейного регрессионного анализа (см., например, [132], [133], [144], [163], [164], [151], [152]). В этих работах построены различные типы статистических оценок условных квантилей (ядерные оценки, оценки ближайшего соседа, оценки на основе обращения эмпирических условных функций распределения). Кроме того, изучаются асимптотические свойства этих оценок (представление Бахадура, состоятельность, асимптотическая нормальность), а также задачи проверки статистических гипотез 4.

Следует упомянуть и о регрессионных квантилях, которые введены в работах [146], [147] для оценки неизвестных параметров линейных регрессионных моделей с независимыми одинаково распределенными негауссов-скими ошибками. Регрессионные квантили определеются как статистики, минимизирующие взвешенные суммы абсолютных величин "остатков".

Кроме того, напомним хорошо известные примеры использования условных медиан в задачах статистического оценивания неизвестных параметров (см., например, [34], стр. 351; [65], стр. 218). Наконец, укажем и на свойство робастности: по сравнению с выборочными моментами выборочные квантили менее чувствительны к отдаленным наблюдениям (см., [65], гл. 5, с. 312, [146]).

2В частости, у а—устойчивых распределений (0 < а < 2) существуют условные моменты порядка р, когда р < а и, вообще говоря, не существуют в противном случае. Однако в работе [142] приведены дополнительные условия на спектральную меру а—устойчивого случайного вектора, при выполнении которых может существовать условный момент порядка р~> и, даже когда безусловный момент этого порядка не существует.

3В настоящее время существует большое число работ (см. обзор S. Poiruad, С. Thomas-Agan [156]), в которых рассматриваются свойства и применение условных квантилей.

4Статистические задачи, относящиеся к безусловным квантилям, к настоящему времени можно считать классическими (см., например, книгу Уилкса С. [98], гл. 11, а также более новые работы [131], [130], [33]).

Дадим краткое описание диссертационной работы.

Первая глава посвящена преобразованиям независимости конечных семейств случайных величин.

В параграфе 1.1 приводится определение стандартизованного преобразования независимости семейства случайных величин и устанавливается связь этого преобразования с условными квантилями многомерных распределений этого семейства. Показано, что поверхности постоянного уровня стандартизованного преобразования независимости совпадают с условными квантилями соответствующих условных распределений. Более того, это совпадение поверхностей с условными квантилями выполняется и для некоторого класса преобразований независимости. Поэтому свойства таких преобразований естественно рассматривать в терминах условных квантилей. Параграф 1.1 содержит несколько утверждений такого рода. Так например, показано, что в задачах медианного (кван-тильного) оценивания для нахождения "нелинейной" погрешности нужно использовать преобразование независимости случайных величин.

В параграфе 1.2 приведены примеры явного вычисления условных квантилей и преобразований независимости для семейств случайных величин, имеющих многомерные функции распределения Гаусса, Стьюдента (Ко-ши), Дирихле и Гумбела.

В параграфе 1.3 вводятся и изучаются свойства двух важных преобразований конечных семейств случайных величин, из которых первое — "треугольное преобразование независимости", — в определенном смысле аналогично процессу ортогонализации, а второе — "преобразование полной независимости", — аналогично известному преобразованию, которое используется при построении биортогональной системы для семейства гауссовских случайных величин (см. [125], стр. 323, [25], стр. 370).

Треугольное преобразование независимости (1.3.1) фактически является вариантом преобразования (1.3.2), которое было введено М. Розен-блаттом в работе [158] (см. также [71], стр. 39), посвященной многомерным критериям согласия. В этих работах преобразование (1.3.2) использовалось только для преобразования многомерной исходной выборки в выборку значений равномерно распределенного на кубе [0,1]п случайного вектора.

Наконец, в параграфе 1.4 рассматривается применение треугольного преобразования независимости в задачах фильтрации изображений.

Метод фильтрации изображений на основе "эмпирического" треугольного преобразования независимости был использован в Государственном научно-производственном ракетно-космическом центре "ЦСКБ - Прогресс" г.Самара) для анализа радиолокационных изображений земной поверхности (район Жигули - Самарская лука). Изображения были получены с помощью космического аппарата "РЕСУРС-Ф2".

Во второй главе рассматривается вопрос о поведении графиков условных квантилей случайных векторов при их сужении на графики условных квантилей меньшей размерности. Исследование связей между графиками условных квантилей различной размерности оказалось весьма полезным подспорьем для изучения свойств преобразования независимости случайных векторов.

Рассмотрим условные квантили обладает свойством воспроизводимости условных квантилей размерности п — 1 при сужении на условные квантили размерности п — 2; если для любого г = 1,., п и для любого I = 1,., п, I ф г.

Сформулированное определение воспроизводимости допускает естественные модификации. Например, можно рассматривать сужение "большой" условной квантили размерности п — 1 на множество, параметризованное п — к — 1 "малыми" условными квантилями размерности к. При этом следует отметить, что свойство воспроизводимости одномерных условных квантилей при сужении на безусловные квантили всегда выполняется.

5В этой работе мы рассматриваем непрерывные, строго монотонные (условные) функции распределения. Поэтому уравнения, определяющие квантили, всегда имеют единственное решение.

Вопрос о связи различных определений воспроизводимости условных квантилей рассматривается в параграфе 2.2 при изучении многомерных локально гауссовских распределений.

В наших определениях свойства воспроизводимости мы имеем дело с условными квантилями, проходящими через отмеченную точку. При этом порядки (вероятности), соответствующие этим квантилям, в рассмотрение не принимаются. Как показано на примере гауссовских случайных векторов, условные квантили, участвующие в определении свойства воспроизводимости, вообще говоря, имеют различные порядки.

В параграфе 2.2 приведены примеры многомерных распределений, условные квантили которых обладают свойством воспроизводимости. Это распределения Гаусса, Стьюдента (Коши) и Дирихле. Кроме того, в эту коллекцию можно добавить некоторые типы сопряженных распределений (см. [29]), распределения из Параграфа 2.6, а также распределения стьюдентовского варианта модели ОАЛСН [125].

Следует отметить, что многомерные распределения Гаусса, Коши и Стьюдента являются эллиптически контурированными распределениями6

В параграфе 2.3 приводится любопытный пример эллиптически кон-турированного распределения (смесь двух гауссовских), условные квантили, которого не обладают свойством воспроизводимости. Этот пример представляет интерес в связи с имевшимся ранее предположением о том, что свойством воспроизводимости условных квантилей обладают все эллиптически контурированные распределения.

В параграфе 2.4 для случайных векторов, условные квантили которых обладают свойством воспроизводимости при сужении на условные квантили меньшей размерности, устанавлено следующее свойство: преобразование независимости одной компоненты случайного вектора по остальным его компонентам, можно представить в виде суперпозиции преобразований независимости меньшей размерности. На основе этого свойства в параграфе 2.5 мы проводим построение треугольного преобразования независимости с помощью суперпозиций лишь двумерных условных функций распределения. Это обстоятельство является особенно важным с точки зрения статистического оценивания условных функций распределения.

В параграфе 2.6 преобразование парной независимости из параграфа 2.5 использовано для построения последовательности случайных величин, обладающих свойством воспроизводимости условных квантилей.

6Определение эллиптически контурированных распределений см.Приложение.

В параграфе 2.7 (для достаточно гладких многомерных функций распределения) устанавливается необходимое условие воспроизводимости условных квантилей при сужении на одномерные условные квантили. Доказательство этого условия основано на известной теореме Фробениуса о вполне интегрируемости дифференциальных уравнений Пфаффа.

Наконец, в параграфе 2.8, вводя определение локальной гауссовости, мы установим, что n-мерные распределения Коши являются локально гауссовскими распределениями, а для их локально гауссовских аппроксимаций мы получим явные формулы для локальных векторов средних и локальных ковариационных матриц7. Будет показано, что соответствующие элементы локальных корреляционных матриц не зависят от размерности п. Таким образом, корреляционные матрицы всех многомерных маргинальных распределений локально гауссовских аппроксимаций распределения Коши согласованы. Кроме того, будет показано, что отмеченное свойство согласованности локальных корреляционных матриц есть следствие свойства воспроизводимости многомерных условных квантилей, которым обладают многомерные распределения Коши.

В третьей главе изучаются преобразования независимости и условные квантили бесконечномерных распределений на линейных пространствах.

Мы будем имееть дело с двумя типами бесконечномерных распределений8.

Первый из них соответствует эллиптически контурированным мерам в гильбертовом пространстве9. В числе таких мер мы будем отдельно рассматривать гауссовские меры, меры Коши и устойчивые эллиптически контурированные меры.

В качестве второго типа бесконечномерных распределений мы будем иметь дело с симметрическими распределениями в пространстве 1R00.

При построении преобразований независимости для этих типов бесконечномерных распределений мы будем рассматривать в качестве случайных величин семейства линейных функционалов.

В парагафе 3.1, который посвящен гауссовским мерам в гильбертовом пространстве, даны формулы для преобразований независимости и услов

7Следует отметить работы [31], [137], [165], [153], в которых рассматривается подход к локальным моментам с других точек зрения

8Мы не ставили себе целью написания хотя бы краткого обзора истории теории бесконечномерных распределений. Тем не менее, следует отметить основополагающие работы Н. Винера [167], А.Н. Колмогорова [148],[52], Ю.В. Прохорова [81],[157], а также монографии Гельфанда И.М. и Виленкина И.Я. [20], Г.Е. Шилова и Фан Дык Тиня [124], Розанова Ю.А. [158], Скорохода A.B. [93], Судакова В.Н. [96], Биллингсли П. [7], Го Х.С. [23], Далецкого Ю.Л. и Фомина C.B. [28], Круглова В. М. [59], Linde W. [150], Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобаняна С.А. [15], Д.Х. Муштари [74], Лифшица М.А. [67], В.И. Богачева [9], которые отражают основные этапы развития теории вероятностных распределений в бесконечномерных пространствах.

9см. Приложение. ных квантилей гауссовской меры в виде аффинных измеримых функционалов, значения которых на всем гильбертовом пространстве однозначно определяются их явно вычисляемыми сужениями на ядро меры. Кроме того, для бесконечных последовательностей гауссовских линейных функционалов построены сопряженные и биортогональные последовательности.

Парагаф 3.2 посвящен устойчивым эллиптически контурированным мерам в гильбертовом пространстве10. Применяя асимптотический метод Лапласа и "принцип локализации", мы изучаем бесконечномерные условные распределения таких мер как пределы соответствующих конечномерных условных распределений. Оказывается, что найденные выражения для бесконечномерных условных квантилей и бесконечномерных преобразований независимости не зависят от величины показателя устойчивости и являются общими для всех устойчивых эллиптически конту-рированных мер с показателем а Е]0, 2[.

Следует отметить, что из общих теорем параграфа 3.2, посвященного устойчивым эллиптически контурированным мерам, следуют соответствующие частные утверждения параграфа 3.3 (мера Коши, а = 1) и параграфа 3.4 (устойчивая мера с а = 2/3). Тем не менее, для некоторых теорем, относящихся к этим частным примерам, мы все же приводим отдельные доказательства, поскольку идеи таких доказательств основаны на конкретных свойствах этих мер и могут представлять самостоятельный интерес. В новых вариантах доказательств вместо представления Шенберга мы используем явные формулы условных распределений, записанные с помощью бета-распределений. Вместо доказательства, основанного на "принципе локализации", мы предлагаем два варианта доказательства: первый основан на асимптотической формуле Л.Н.Болыдева, а второй - на новой двусторонней оценке бета-распределения.

Парагаф 3.5 посвящен общим эллиптически контурированным мерам в гильбертовом пространстве. В этом параграфе рассматриваются обобщения результатов параграфа 3.2. Показано, что выражения для бесконечномерных условных квантилей и бесконечномерных преобразований независимости являются общими для всех11 эллиптически контурирован-ных мер.

В параграфе 3.6 на примере устойчивой эллиптически контурирован

10В этой работе мы ограничиваемся изучением скалярно устойчивых мер в гильбертовом пространстве. Операторно устойчивые меры (см. [83], стр. 423, 751) не рассматриваются. Однако следует отметить работу [143], в которой изучаются эллиптически симметричные операторно устойчивые распределения и их связи со скалярно устойчивыми распределениями. пПриведенные доказательства предполагают некоторые ограничения на весовую функцию в представлении Шенберга. ной меры с показателем а = 2/3 устанавливается следующее свойство. Конечномерные условные квантили, соответствующие этой мере, не обладают свойством воспроизводимости при сужении на условные квантили меньшей размерности. Однако для бесконечномерных условных квантилей свойство воспроизводимости может выполняться.

В параграфе 3.7 рассматриваются вероятностные свойства логарифмических производных эллиптически контурированных мер в гильбертовом пространстве. Известно, что класс эллиптически контурированных мер в гильбертовом пространстве совпадает с классом смесей центрированных гауссовских мер, определяемых (с точностью до скалярного множителя) одним ковариационным оператором. В параграфе 3.7 устанавливается соотношение между условными распределениями эллиптически контурированных мер и их логарифмическими производными, вычисленными в направлении собственных векторов ковариационного оператора. Используя это соотношение, мы доказываем (статистическую) независимость и усиленный закон больших чисел для последовательности логарифмических производных, умноженных на фиксированную случайную величину.

В параграфе 3.8 изучаются асимптотические свойства условных распределений для одного класса симметрических мер на пространстве Для этих мер получены формулы преобразований независимости и бесконечномерных условных квантилей. Общая схема доказательств основных теорем близка к той, которая была использована в параграфах 3.2 и 3.5 . При этом вместо формулы Шенберга для эллиптически контурированных мер в гильбертовом пространстве и метода Лапласа нахождения асимптотики интегралов, в параграфе 3.8 мы используем представление де Финетти для функций распределения бесконечной последовательности перестановочных (симметрично зависимых) случайных величин и теорему П. Леви о сходимости условных математических ожиданий.

Глава 4 посвящена законам больших чисел для схемы серий семейств условных распределений устойчивых эллиптически контурированных мер Поясним сказанное детальнее. На вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Ш рассматривается устойчивая эллиптически конту-рированная центрированная мера /¿а{-;0, В} (а е]0,2]).

Выбирая в пространстве И произвольный о.н.б. {f^.} и рассматривая непрерывные линейные функционалы в качестве случайных величин, введем функцию распределения а также условную функцию распределения Р-^ ~ п(х{\х1,., х^ ., хп) случайной величины < /г, /г > относительно системы случайных величин л, Л >,-.,< ь, /г >,.,< к, /п > .

В связи с условными распределениями . п возникает вопрос: в какой степени их асимптотические свойства (п —> сю) зависят от выбора о.н.б. {Д}?

Основная цель главы 4 состоит в указании правила выбора о.н.б. {Д}, при котором, в определенном смысле, имеет место усиленный закон больших чисел для схемы серий семейств условных распределений, т.е. для /ла{-; 0, £?}-почти всех /г Е И:

ЕК1 (р^щь,., К п—» оо 1.

4.1.2) где к] =< /г,/у > и Ф1(') — функция, обратная функции стандартного гауссовского распределения Ф(-).

В параграфе 4.2 доказана справедливость равенства (4.1.2) для случая, когда о.н.б. {Д} совпадает с о.н.б. собственных векторов оператора В. Затем, в параграфе 4.3, мы установим два достаточных условия выбора о.н.б. {Д}, при выполнении каждого из которых имеет место п.н. сходимость в равенстве (4.1.2) относительно меры /ла{-;0, В}. Эти условия выбора зависят лишь от свойств оператора В относительно базиса {Д} и не зависят от величины параметра а.

Не следует думать, что для каждой меры ¡1а{-] В} и для каждого о.н.б. {Д} выполняется сходимость (4.1.2). В параграфе 4.3 приводится пример линейного самосопряженного положительно определенного ядерного оператора Во : Н —» Н и о.н.б. {Д} С Н, для которых сходимость (4.1.2) не имеет места, по крайней мере, для а = 2.

Отметим, что близкие задачи выбора базиса ("рациональный выбор координатной системы") возникают в теории и практике вариационныых методов приближенного решения операторных уравнений. Так, например, при доказательстве теоремы 4.3.2 мы используем правильные операторы для характеризации обратимых операторов, допускающих редукцию относительно любого ортонормированного базиса гильбертова пространства [73, 58, 26].

Пятая глава посвящена обобщенным случайным полям. В параграфе 5.1.1 рассматривается поведение пары биортогональных случайных полей при переходе от пространства пробных функций Со°(Т) к пространству Со°(£), К0ГДа 5 С Т. Доказана теорема 5.1.1 о сужении пар биортогональ-ных случайных полей. Используя эту теорему и свойство эквивалентности гауссовских мер, отвечающих биортогональным парам обобщенных случайных полей, можно получать новые результаты об эквивалентности гауссовских мер. В частности, рассмотрен конкретный пример двух пар биортогональных обобщенных случайных процессов, имеющих эквивалентные гауссовские рапределения.

В этом примере содержится ответ на один вопрос Р. Л. Добрушина (1980 г.): можно ли считать, что у эквивалентных (условных центрированных) гауссовских мер разность ковариационных функционалов как обобщенных функций всегда задается " обычной" функцией?

Интерес к вопросам эквивалентности условных гауссовских мер появился в связи с изучением гауссовских случайных полей с гиббсовской точки зрения.

В последнем параграфе пятой главы проведено построение преобразований независимости для бесконечномерных распределений, отвечающих обобщенным эллиптически контурированным случайным полям. Кроме того, в этом параграфе показано, каким образом задачи нахождения преобразований независимости для обобщенных эллиптически контури-рованных случайных полей можно свести к соответствующим задачам для эллиптически контурированных мер в гильбертовом постранстве. И, наконец, в этом параграфе приведены примеры преобразований независимости для (стационарных) устойчивых эллиптически контурированных случайных процессов, которые часто называют субгауссовскими случайными процессами. Для этих процессов формулы преобразования независимости непосредственно следуют из основных теорем колмого-ровской теории наилучшей линейной интерполяции стационарных случайных процессов.

В приложении к основному тексту диссертации собраны известные теоремы, которые были использованы в этой работе в качестве вспомогательных утверждений.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на VI международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, 1984), на Четвертой международ ной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985), на семинаре кафедры случайных процессов МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва 1985 г.) на международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Ужгород, 1984 г., Варна, 1985 г., Пермь, 1992 г., Эгер, 1994 г., Казань, 1995 г., Дебрецен, 1997 г.; рук. - проф. Золотарев В.М.), на Всероссийских школах - коллоквиумах по стохастическим методам (Абрау-Дюрсо, 1994 г., Йошкар-Ола, 1995 г., Туапсе, 1996 г., Уфа, 1997 г., Йошкар-Ола, 1998 г., Самара, 1999 г., Сочи, 2000 г., Йошкар-Ола, 2001 г.; преде. - академик Прохоров Ю.В.), на Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2000г., Самара, 2001 г., Сочи, 2002 г.; преде. - академик Прохоров Ю.В.), на семинаре отдела теории вероятностей МИР АН им. В.А. Стеклова (Москва, 2001 г.; рук. - академик Прохоров Ю.В.), на семинаре кафедры функционального анализа и теории функций Самарского госуниверситета (рук. - проф. Асташкин C.B.)

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы автором в 30 печатных работах: [102], [103], [104], [105], [106], [107], [108], [109], [110], [111], [112], [ИЗ], [114], [115], [116], [117], [118], [160], [161], [162], [119], [120], [121], [122], [123], [51], [140], [141], [46],

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шатских, Сергей Яковлевич, 2002 год

1. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989, 607 с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматлит, 1963, 500 с.

3. Ахиезер Н. И. Классическая прблема моментов.—М.: Физматлит, 1961, 310 с.

4. Барра Ж. Р. Основные понятия математической статистики. М.: Мир, 1974, 276 с.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1.М.: Наука, 1973, 294 с.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. — М.: Наука, 1970, 327 с.

7. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977, 351 с.

8. Благовещенский Ю. Н. Многомерные Т-нормальные распределения в прикладной статистике // Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Межвуз. сб. научн. трудов, Пермь: Перм. ун-т, 1998, с. 43-64.

9. Богачев В. И. Гауссовские меры. — М.: Наука. Физматлит, 1997, 352 с.

10. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983, 416 с.

11. Далецкий Ю. JL, Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. — М.: Наука, 1983, с. 1-383.

12. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. — М.: Мир, 1974, 491 с.

13. Добрушин Р. Д., Минлос Р. А. Исследование свойств обобщенных гауссовских полей. // Сборник "Задачи механики и математической физики", М.: Наука, 1976, с. 117-165.

14. Доксум К. А. Меры зависимости в полупараметрических гетеро-скедастических регрессионных моделях. // Теория вероятностей и её применения, т. 37, вып. 2, М.: Наука, 1992, с. 367-369.

15. Дынкин Е. Б. Классы эквивалентных случайных величин // Успехи математических наук, 54 (8), 1953, с. 125-134.

16. Екишева C.B. Предельные теоремы для выборочных квантилей от ассоциированных случайных последовательностей. // Фундаментальная и прикладная математика, т.7, п 3, 2001, с. 721-734.

17. Закс Ш. Теория статистических выводов. —М.: Мир, 1975, 776 с.

18. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. — М.: Наука, 1983, 300 с.

19. Золотарев В. М. О представлении плотностей устойчивых законов распределений специальными функциями // Теория вероятностей и её применения, т. 39, вып. 2, М.: Наука, 1994, с. 429-437.

20. Зорич В. А. Математический анализ. Т. 2. ■— М.: Наука, 1983, 640 с.

21. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. — М.: Наука, 1965, 524 с.

22. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. — М.: Наука, 1970, 384 с.

23. Ильин В. П., Кузнецов Ю. И. Трехдиагопальные матрицы и их приложения. —- М.: Наука, 1985, 207 с.

24. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: ФМ, 1963, 101 с.

25. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. —М.: Мир, 1971, 392 с.

26. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. —М.: ИЛ, 1963, 156 с.

27. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. — М.: Наука, 1984, 496 с.

28. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. — М.: Наука, 1987, 416 с.

29. Кловский Д. Д., Шатских С. Я., Широков С. М. Оптимальный базис в задаче определения огибающей сигнала// Радиотехника и электроника, т. 25, 6, 1980, с. 1203-1210.

30. Кнутова Е. М. Асимптотические свойства стьюдентовских условных распределений в гильбертовом пространстве // Вестник СамГУ, естественнонаучная серия, Самара, 4(22), 2001, с. 42-55.

31. Кнутова Е. М. Асимптотика условных квантилей для одного класса симметрических мер // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия "Финансовая и страховая математика", т. 8, вып. 1, М.: ТВП, 2001, с. 214-215.

32. Колмогоров А.'Н. Основные понятия теории вероятностей.-—2-е изд., М.: Наука, 1974, 120 с.

33. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование случайных последовательностей. В сборнике трудов А. Н. Колмогорова Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1986, 535 с.

34. Королюк В. С. (ред.) Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — Киев: Наукова Думка, 1978, 584 с.

35. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975, 648 с.

36. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1969, 399 с.

37. Краснитский С.М. Условия эквивалентности распределений гаус-совских однородных полей // Теория вероятностей и её применения, т. 34, вып. 4. М.: Наука, 1989, с. 786-791.

38. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б. Приближенные решения операторных уравнений. — М.: Наука, 1969, 455 с.

39. Круглов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей. — М.: ВШ, 1984, 264 с.

40. Круглов В. М. Смеси вероятностных распределений // Вестник моек, ун-та, сер. 15, ВМиК, 1991, 2, с. 3-15.

41. Кубилюс И. Вероятностные методы в теоии чисел.—Вильнюс: Гос.изд.-во полит, и научн. литер. Лит. ССР, 1962, 205 с.

42. Куратовский К. Топология, т. 1. — М.: Мир, 1966, 719 с.

43. Курицин Ю. Г. Метод наименьших квадратов для эллипсоидальных распределений // Теория вероятностей и её применения, т. 31, вып. 4. М.: Наука, 1986, с. 834-837.

44. Курицин Ю. Г. Многомерные версии и две проблемы Шенберга// Труды семинара. М.: ВНИИ Системных исследований, 1989, с. 7279.

45. Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991, 444 с.

46. Лисицкий А. Д. Проблема Итона и мультипликативные свойства многомерных распределений // Теория вероятностей и её применения, т. 42, вып. 4. М.: Наука, ТВП, 1997, с. 696-714.

47. Прохоров Ю. В. Добавление к книге М. Каца "Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел." — М.: ИЛ, 1963, 156 с.

48. Прохоров Ю. В. (гл. ред.) Энциклопедия "Вероятность и математическая статистика". — М.: Научн. изд-во "Большая Российская энциклопедия", 1999, 910 с.

49. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983, 752 с.

50. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. — M-JL: Гостехиздат, 1947, 354 с.

51. Pao С. Р. Линейные статистические методы и их приложения. — М.: Наука, 1968, 548 с.

52. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. —М.: ФМ, 1963, 284 с.

53. Розанов Ю. А. Гауссовские бесконечномерные распределения. — М.: Наука, 1968, 136 с.

54. Розанов Ю. А. Марковские случайные поля. — М: Наука, 1981, 256 с.

55. Розанов Ю. А. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными. — М: Физматлит, 1995, 256 с.

56. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. —- М.: Наука, 1978, 591 с.

57. Самородницкий А. А. О существовании однородных независимых дополнений // "Мера и интеграл", Межвузовский сборник научных статей. Куйбышевский государственный университет. Куйбышев, 1988, с. 87-95.

58. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1975, с. 232.

59. Соколова С. Д. Об эквивалентности гауссовских мер, отвечающих решениям стохастических дифференциальных уравнений// Теория вероятностей и её применения, т. 38, вып. 2. М.: Наука, 1983, с. 429433.

60. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1953, 468 с.

61. Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных распределений. — Труды МИАН, т. 141., Л.: Наука, 1976, 192 с.

62. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. — М.: Мир, 1971, 264 с.

63. Уилкс С. Математическая статистика. — М.: Наука, 1967, 632 с.

64. Федорюк М. В: Асимптотика: интегралы и ряды. —- М.: Наука, 1987, 544 с.

65. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и е приложения. Т. 1, 526 е., т. 2., 752 с. — М.: Мир, 1984.

66. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2,, 807 с. — М.: ФМ, 1962, т. 3., 656 с. — М.: ФМ, 1963.

67. Шатских С. Я. Об одном свойстве условной медианы // "Мера и интеграл", Межвузовский сборник научных статей. Куйбышевский государственный университет. Куйбышев, 1988, с. 156-163.

68. Шатских С. Я. Об одном варианте преобразования независимости // Теория вероятностей и её применения, 1992, т. 37, в. 4, с. 815-816.

69. Шатских С. Я. Об одном варианте преобразования независимости // сб. "Мера и интеграл", Самара: изд-во "Самарский университет", 1995, с. 99-112.

70. Шатских С. Я. Медианная интерполяция случайных последовательностей Коши // III ВШКСМ. Тезисы докладов. М.: ТВП, 1996, с. 163-164.

71. Шатских С. Я. Двусторонние оценки неполной бета-функции, использующие интеграл вероятности // Тезисы международной научной конференции "Методы теории функций, интегральные уравнения, специальные функции", ч. 2, Минск, 1996.

72. Шатских С. Я. Минимальные базисы в гильбертовом пространстве и условные квантили гауссовских мер // Теория вероятностей и её применения, 1997, т. 42, в. 2, с. 437-438.

73. Шатских С. Я. Устойчивые эллиптически контурир о ванные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений // Изв. РАЕН, сер. МММИУ, т. 3, 3, 1999, с. 4181.

74. Шатских С. Я. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивых эллиптически контурир о ванных распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия "Вероятность и статистика", т. 6, вып. 1. М.: ТВП, 1999, с. 214-215.

75. Шатских С. Я. Необходимое условие воспроизводимости условных квантилей многомерных вероятностных распределений // Изв. РАЕН, сер. МММИУ, т. 4, 4, 2000, с. 67-72.

76. Шатских С. Я. Вероятностные свойства логарифмических производных устойчивых мер // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия "Вероятность и статистика", т. 8, вып. 2. М.: ТВП, 2001, с. 813-815.

77. Шатских С. Я. Некоторые свойства логарифмических производных эллиптически контурир о ванных мер / / Вестник СамГУ, естественнонаучная серия, Самара, 4(22), 2001, с. 109-114.

78. Шатских С. Я. Преобразование независимости семейства случайных величин обладающих воспроизводимостью условных квантилей // Вестник СамГУ, естественнонаучная серия, Самара, 2(24), 2002, с. 107-119.

79. Шатских С. Я. Функция распределения производной Радона-Никодима эллиптически контурир о ванных мер // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия "Вероятность и статистика", т. 9, вып. 2. М.: ТВП, 2002, с. 486-487.

80. Шатских С. Я. Некоторые свойства условных распределений, отвечающих обобщенным случайным полям// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия, Самара, 4(26), 2002, с. 68-78.

81. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Воспроизводимость условных квантилей многомерного распределения Стъюдента // Известия РАЕН, серия МММИУ, т. 1, 1, 1997, с. 36-58.

82. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Об одном свойстве многомерного распределения Стъюдента // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия "Вероятность и статистика", т. 4, вып. 3. М.: ТВП, 1997, с. 418-419.

83. Шатских С. Я., Кнутова Е. М. Асимптотические свойства условных квантилей устойчивого сферически симметричного распределения с показателем а = 2/3 // Вестник СамГУ, естественнонаучный выпуск, Самара, 4(10), 1998, с. 102-119.

84. Шатских С. Я., Широков С. М. Гиббсовские модели в задачах оптимальной обработки случайных полей //VI международный симпозиум по теории информации. Тезисы докладов. Ташкент, 1984, 2 с.

85. Шилов Г. Е., Фан Дык Тинь Интеграл, мера и производная на линейных пространствах.—М.: Наука, 1967, 192 с.

86. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989, 640 с.

87. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. — М.: Фазис, 1998.

88. Яглом А. М. Введение в теорию стационарных случайных функций. // Успехи математических наук, 7 (5), 1952, с. 3-168.