Предельные теоремы для систем обслуживания с различными правилами образования очереди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Гришунина Светлана Алексеевна

• Гришунина Светлана Алексеевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Гришунина Светлана Алексеевна

Оглавление

Введение и исторический очерк

1 Системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов (независимое обслуживание)

1.1 Регенерирующий поток. Определение и свойства

1.2 Описание модели

1.3 Вспомогательные процессы

1.4 Синхронизация потоков X и Zi

1.5 Критерий стабильности

1.6 Система обслуживания Явд\Ы\т

1.7 Система обслуживания Яед\РИ2\т

1.8 Система обслуживания Явд\И2\т

1.9 Сравнение систем 51,52,53

2 Системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно (конкурентное обслуживание)

2.1 Описание модели

2.2 Вспомогательные процессы

2.3 Вычисление Ау для экспоненциального случая

2.4 Синхронизация входящего потока и вспомогательного про-

цесса

2.5 Условие стабильности

2.6 Пример. Система с двумя приборами

3 Системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов (постоянное время обслуживания)

3.1 Описание модели

3.2 Вспомогательные процессы

3.3 Лемма о синхронизации

3.4 Критерий стабильности

3.5 Примеры, т=2

4 Многоканальные системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком и различными правилами образования очереди

4.1 Определения и свойства

4.2 Описание модели

4.3 Критерий стабильности

4.4 Предельная теорема в случае р >

4.5 Следствия

4.6 Предельная теорема при р =

Заключение

Литература

108

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для систем обслуживания с различными правилами образования очереди»

Введение и исторический очерк

Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории массового обслуживания и теории случайных процессов.

Актуальность темы. Диссертация посвящена анализу многоканальных систем массового обслуживания. Основное внимание уделяется определению критерия стабильности, сравнению условий стабильности для систем с различными дисциплинами обслуживания, а также анализу асимптотического поведения процессов времени ожидания и длины очереди в условиях высокой загрузки.

В первой, второй и третьей главах изучаются системы, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно. Данная тема является достаточно популярной в связи с тем, что она, во-первых, имеет достаточно широкий круг приложений. В частности, анализ подобных систем может применяться при изучении компьютерных и коммуникационных сетей. Во-вторых, исследование подобных систем связано со значительными трудностями, так как требование не может начать обслуживаться до того, как необходимое ему для обслуживания количество приборов будет свободно и, таким образом, приборы могут быть не заняты, даже если очередь не пуста. В связи с данной особенностью в работах по указанной тематике в основном рассматривались системы с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания требований, но для более общих си-

стем обслуживания до сих пор не был предложен подход к определению условия стабильности.

Согласно классификации Ван Дьюка [61] системы с одновременным обслуживанием требования несколькими приборами могут быть разделены на два подкласса:

1. системы с независимым обслуживанием (времена обслуживания на различных приборах для данного требования независимы);

2. системы с конкурентным, или идентичным, обслуживанием (времена обслуживания на различных приборах для данного требования совпадают).

В обоих случаях функционирование системы происходит следующим образом: требование, которое приходит в систему, когда очередь пуста, поступает на обслуживание сразу же, если свободно необходимое ему для обслуживания количество приборов, либо становится первым в очереди, если свободных приборов недостаточно. В этом случае обслуживание начинается, как только освободится необходимое для обслуживания число приборов. Если требование приходит в систему, когда очередь не пуста, оно встает в конец очереди.

Для систем первого подкласса для требования, поступившего на обслуживание, времена обслуживания на каждом приборе не зависят от времен обслуживания на других приборах. Таким образом, приборы, занятые обслуживанием одного требования, могут освобождаться не одновременно. Системы такого типа встречаются во многих прикладных сферах: компьютерных системах, коммуникационных системах, аварийных системах и многих других [11, 23, 25, 55]. Многоканальные системы с одновременным независимым обслуживанием изучались в ряде работ [31, 40, 41, 45, 57, 58]. В статье [38] условие стабильности в явном виде было получено для систем с пуассоновским входящим потоком интенсивности Л и экспоненциально-распределенным временем обслуживания. В работе [31] для системы М\G\rn был предложен алгоритм вычисления

аппроксимаций предельного распределения длины очереди.

Одной из первых работ, касающихся систем с конкурентным обслуживанием, является статья Кима [47], где рассматривалась многоканальная система с конкурентным обслуживанием с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распределением времени обслуживания. Автор ввел многомерный марковский процесс с множеством состояний, которые определялись числом требований в системе и числом приборов, необходимых для обслуживания требований, находящихся на приборах. Используя матрично-геометрический метод [54], Ким предложил алгоритм вычисления предельного распределения числа приборов в системе и условия стабильности. Однако для этого необходимо было решить матричную систему уравнений большой размерности, что затрудняет практическое применение этих результатов. В работе [19] был предложен метод расчета стационарного распределения времени ожидания требования с помощью системного подхода [17, 18, 20]. Была рассмотрена система с пуассоновским входящим потоком и, с некоторыми исключениями, экспоненциально распределенными временами обслуживания. В качестве примера применения указанного метода в явном виде был получен результат для системы с двумя приборами и экспоненциально распределенным временем обслуживания. Однако условие стабильности для многоканальной системы в общем случае в данной работе не было изучено. В работах [24, 34] с помощью матрично-аналитического метода было строго доказано условие стабильности для двухканальной системы обслуживания. В статье [34] был рассмотрен только экспоненциальный случай; в [24] авторы расширили условие стабильности, доказанное в [34], на марковский процесс поступлений (MAP - Markov arrival process).

В работе [56] условие стабильности для многоканальной модели было найдено только в экспоненциальном случае. В основе анализа лежал матрично-аналитический метод [43, 54]. В работе [52] авторы вновь используют матрично-аналитический подход для определения условия стабильности кластерной модели с марковским процессом поступлений

и экспоненциальным временем обслуживания. На основе результатов статистического моделирования они предположили (секция 3.3 в [52]), что полученный для экспоненциального распределения времени обслуживания критерий стабильности выполняется для более общей модели MAP|PH|s с гипоэкспоненциальным временем обслуживания. Как будет показано в данной работе, это утверждение неверно. Однако разница между коэффициентами загрузки невелика, и поэтому этот факт сложно показать с помощью моделирования.

Основной целью данной работы является определение критерия стабильности для моделей с регенерирующим входящим потоком. Системы с регенерирующим входящим потоком рассматриваются по трем основным причинам. Во-первых, при таком входящем потоке процесс, описывающий систему в некоторых естественных условиях, оказывается классическим регенерирующим процессом [13, 60], что позволяет применять результаты и методы теории восстановления для асимптотического анализа таких систем. Во-вторых, класс регенерирующих потоков достаточно обширен и включает многие фундаментальные потоки теории очередей [7, 13, 39, 52, 60]. В-третьих, регенерирующий поток обладает рядом свойств, которые позволяют исследовать различные прикладные модели [7]. Например, при некоторых достаточно естественных условиях выходящий поток из системы с регенерирующим входящим потоком также является регенерирующим [7]. Этот факт позволяет использовать результаты, полученные в данной работе, для асимптотического анализа систем очередей в тандеме и иерархических сетей.

Следующим обобщением существующих результатов является то, что в данной работе рассматриваются системы с различными распределениями времен обслуживания.

Первая глава посвящена системам с независимым обслуживанием. Рассматривается три модели: с экспоненциальным (система Si), гипоэкспоненциальным (система S2) и гиперэкспоненциальным распределением времени обслуживания (система S3).

Вторая глава посвящена системам с конкурентным обслуживанием. Рассматривается модель, в которой время обслуживания п является суммой г независимых экспоненциально распределенных случайных величин, то есть принадлежит классу распределений фазового типа [22] (тип РИ).

В третьей главе изучаются системы с постоянным временем обслуживания.

Основные этапы доказательства условия стабильности в первых трех главах диссертации одинаковы: вначале для каждой рассматриваемой модели строится вспомогательная система 50 такая, что как только требований в системе становится меньше, чем приборов, в систему сразу поступают новые требования так, что количество требований и приборов в системе совпадало. Таким образом, в системе 50 всегда есть требования для обслуживания. Выходящий поток во вспомогательной системе 50 и входящий поток в реальной системе являются независимыми процессами и для них строятся общие точки регенерации, что позволяет записать условие стабильности в терминах математических ожиданий приращений данных процессов на общем периоде регенерации, а также в терминах интенсивностей указанных процессов. Для выходящего потока определяется управляющая цепь Маркова с конечным множеством состояний и интенсивность выходящего потока, а следовательно, и коэффициент загрузки, определяются предельным распределением этой цепи Маркова.

Другой подход к анализу стабильности систем массового обслуживания основан на регенерирующей структуре процессов, описывающих состояние системы. Делаются предположения, обеспечивающие наличие точек регенерации данных процессов. Далее устанавливается конечность среднего времени между соседними моментами регенерации и применяется теорема Смита [59]. Это достаточно сложная задача для немарковских процессов. Именно этот подход был использован в работе [51] для системы массового обслуживания с дискретным временем С1 \С\т и пре-

рываниями обслуживания. В качестве точек регенерации авторы берут моменты, когда новое требование приходит в свободную систему и для всех приборов начинаются периоды поломок. Вообще говоря, этот подход также основан на синхронизации входящего потока, процессов прерываний обслуживания и процесса, который определяет число требований в системе. Однако этот подход существенно отличается от предложенного в диссертации. Мы применяем метод синхронизации к двум независимым потокам: входящему потоку в реальной системе и выходящему потоку во вспомогательной системе. Далее мы выражаем коэффициент загрузки в терминах математических ожиданий приращений данных процессов на общем периоде регенерации, что позволяет использовать для доказательства критерия стабильности широко известные результаты теории случайных блужданий и теории восстановления. Предложенный метод позволяет провести асимптотический анализ широкого набора систем массового обслуживания, например, системы с повторными вызовами [4], системы с приоритетными заявками, а также различные обобщения систем с прерываниями обслуживания [9, 10]. Кроме того, данный подход может быть использован при исследовании транспортных систем [77].

Мы хотели бы также упомянуть метод жидкостной аппроксимации, который привел к достижению значительного прогресса при анализе стабильности многоканальных систем массового обслуживания. Имеется обширная литература по определению условий стабильности, основанная на данном подходе [26, 27, 28, 29, 35]. В [36] приведен обзор различных подходов к анализу стабильности систем массового обслуживания с акцентом на жидкостной подход. В данной диссертации не используется данный метод, так как мы считаем, что метод синхронизации лучше подходит для рассматриваемых моделей.

Четвертая глава посвящена анализу многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком и независимыми временами обслуживания с конечным математическим ожиданием. Рассмотрены различные дисциплины обслуживания: системы с общей очередью

и системы с отдельными очередями перед каждым прибором, в которых пришедшее в систему требование выбирает один из приборов в соответствии с некоторым правилом и остается в выбранной очереди до выхода из системы. Для некоторых классов дисциплин обслуживания определяется необходимое и достаточное условие стабильности, а также асимптотическое поведение в условиях высокой загрузки.

Многоканальные системы обслуживания с различными правилами образования очереди изучаются, насколько нам известно, с конца 1960х годов, однако критерий стабильности в общем случае до сих пор не был формально доказан. В работах [21, 48, 63] были определены границы изменения параметров, обеспечивающих стабильность системы, с помощью сравнения характеристик многоканальных систем с одной очередью и набором одноканальных систем.

В [37] было найдено условие стабильности для системы GI | GI |r с дисциплиной, при которой поступившее требование выбирает самую короткую очередь. В работе [30] авторы изучили асимптотическое поведение этой системы в условиях высокой загрузки. Впервые условия стабильности для систем с несколькими приборами были изучены в [46]. В данной статье была исследована система GI|GI|r с идентичными приборами и дисциплиной "first in-first out". В [3] этот результат был расширен на многоканальные системы обслуживания с различными приборами и регенерирующим входящим потоком.

Насколько нам известно, многоканальные системы в случае высокой загрузки, то есть когда коэффициент загрузки р ^ 1, изучаются с конца 1970х [37, 30, 49]. В работе [7] была доказана сходимость нормированных процессов длины очереди и времени ожидания для одноканальных систем с регенерирующим входящим потоком. Мы расширили этот результат на многоканальные системы обслуживания с различными дисциплинами обслуживания: системы с общей очередью и системы с отдельными очередями перед каждым прибором. Во втором случае пришедшее требование выбирает один из приборов в соответствии с некоторым правилом

и остается в выбранной очереди до момента ухода из системы. Таким образом, в этом случае имеется т одноканальных систем обслуживания.

Несмотря на то, что существует обширная литература, посвященная многоканальным системам обслуживания, асимптотическое поведение нормированных процессов времени ожидания и длины очереди в случае высокой загрузки для многоканальной системы массового обслуживания с регенерирующим входящим потоком ранее не изучалось. Научная новизна данной работы состоит в том, что рассматривается достаточно общий входящий поток и несколько классов дисциплин обслуживания.

Цель работы. Целями настоящей диссертации являются определение условий стабильности для многоканальных системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно, а также определение условия стабильности и доказательство предельных теорем для некоторых классов дисциплин в случае высокой загрузки.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

В главе 1 определен критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно, в случае независимого обслуживания для трех различных моделей: систем с экспоненциальным, гипоэкспоненциальным и гиперэкспоненциальным распределением времени обслуживания.

В главе 2 определен критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно, в случае конкурентного обслуживания для систем с ги-поэкспоненциальным распределением времени обслуживания. Проведено сравнение условий стабильности для систем с различными распределениями времени обслуживания в случае равенства их математических

ожиданий.

В главе 3 определен критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно и время обслуживания на каждом приборе постоянно.

В главе 4 для некоторых классов дисциплин определен критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком и различными правилами образования очередей и доказаны предельные теоремы для процессов времени ожидания и длины очереди в случае высокой загрузки.

Методы исследования. В первой, второй и третьей главах основной идеей подхода является построение вспомогательной системы, в которой всегда есть требования для обслуживания. Для этой системы определяется выходящий поток и находятся условия, при которых он является регенерирующим. Строится последовательность общих точек регенерации для входящего потока и вспомогательного потока. На основе соотношений между процессом обслуживания в реальной системе и вспомогательным процессом определяются нижняя и верхняя оценки математического ожидания числа обслуженных требований за общий период регенерации. Это позволяет использовать результаты теории восстановления и теории случайных блужданий для доказательства критерия стабильности.

В четвертой главе для доказательства критерия стабильности и предельных теорем в случае высокой загрузки используются результаты теории случайных блужданий [15, 16].

Положения, выносимые на защиту.

Критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно, в случае независимого обслуживания для трех различных моделей: систем

с экспоненциальным, гипоэкспоненциальным и гиперэкспоненциальным распределением времени обслуживания.

Критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно, в случае конкурентного обслуживания для модели с гипоэкспоненциальным распределением времени обслуживания.

Критерий стабильности для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно, в случае постоянного времени обслуживания.

Критерий стабильности для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком и различными правилами образования очередей.

Предельные теоремы для процессов времени ожидания и длины очереди в случае высокой загрузки для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком и различными правилами образования очередей.

Соответствие паспорту научной специальности. В диссертации исследуются задачи теории массового обслуживания, а именно определение условия стабильности систем и асимптотическое поведение заданных случайных процессов в случае высокой загрузки, в силу чего диссертация соответствует паспорту специальности 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика» по направлению «распределения вероятностей и предельные теоремы».

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Предложенный в ней подход может быть применен для анализа стабильности широкого класса систем обслуживания, например, систем с повторными вызовами, систем с прерываниями обслуживания, ненадежными приборами и других. Её результаты мо-

гут найти практическое применение при исследовании компьютерных и коммуникационных сетей, в частности, когда одному требованию необходимо для обслуживания несколько линий связи одновременно.

Апробация диссертации.

По теме диссертации автором были сделаны доклады на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова:

• Аспирантский коллоквиум кафедры теории вероятностей под руководством действительного члена РАН, профессора А. Н. Ширяева. (2019 г.)

• Семинар «Исследование асимптотического поведения и устойчивости стохастических моделей» под руководством проф. Л.Г. Афанасьевой, доц. Е.Е. Баштовой (2015-2019, неоднократно).

Автор выступала на следующих научных конференциях с докладами о результатах, относящимися к диссертации:

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в России (Москва, 2014-2015, 2017-2019);

• International Conference "Supercomputer Simulations in Science and Engineering'^ России (Москва, 2016);

• 17th International Conference on Applied Stochastic Models and Data Analysis (ASMDA 2017) в Великобритании (Лондон, 2017);

• International Scientific Conference Analytical and Computational Methods in Probability Theory and its Applications (ACMPT-2017) в России (Москва, 2017);

• 9th International Workshop on Applied Probability (IWAP 2018) в Венгрии (Будапешт, 2018);

• IX Московская международная конференция по Исследованию Операций (0RM2018-Germeyer100) в России (Москва, 2018).

Публикации. Результаты диссертации содержатся в 14 публикациях автора. Из них 5 статей (см. [64-68], работы [64], [66], [68] в соавторстве) в рецензируемых научных журналах, входящих в базы данных SCOPUS, Web of Science и RSCI. В материалах международных конференций представлено 9 публикаций, из них 4 статьи. Список этих работ приведен в конце диссертации. В статьях [64] и [68] соавтору Л. Г. Афанасьевой принадлежит постановка задачи. В работе [66] соавторам Л. Г. Афанасьевой и Е. Е. Баштовой принадлежит постановка задачи. Все представленные в диссертации результаты являются новыми и получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, включающего исторический очерк, четырех глав, заключения и списка литературы из 77 наименований. В заключении к диссертации сформулированы основные результаты диссертационной работы и возможные направления дальнейших исследований. Общий объем диссертации составляет 117 страниц. В диссертацию вошли результаты, полученные при работе над проектом 17-01-00468 Российского фонда фундаментальных исследований.

Благодарность. Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Афанасьевой Ларисе Григорьевне за постановку задач и помощь и поддержку на всех этапах выполнения диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Гришунина Светлана Алексеевна

Заключение

1. Обзор проведенного исследования.

Тематика диссертации относится к области теории массового обслуживания. В работе рассмотрены задачи определения условия стабильности, а также анализа асимптотического поведения процессов в случае высокой загрузки системы. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказан критерий стабильности для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно в случае независимого обслуживания для трех моделей: систем с экспоненциальным, гипоэкспоненциальным, а также гиперэкспоненциальным распределением времени обслуживания.

• Доказан критерий стабильности для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которых требованию необходимо для обслуживания случайное число приборов одновременно для случая конкурентного обслуживания с распределением времени обслуживания фазового типа. Проведено сравнение условий стабильности систем с различными распределениями времени обслуживания в предположении, что их математические ожидания совпадают.

• Доказан критерий стабильности для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком и постоянным временем обслуживания.

• Доказан критерий стабильности для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком и различными правилами образования очереди,

• Для широкого класса дисциплин обслуживания доказаны предельные теоремы для процессов времени ожидания и длины очереди в случае высокой загрузки .

2. Рекомендации и перспективы по дальнейшей разработке темы диссертации.

• Доказать критерий стабильности для многоканальных систем обслуживания с регенерирующим входящим потоком в случае конкурентного обслуживания с гиперэкспоненцильным распределением времени обслуживания.

• Исследовать сети массового обслуживания, узлами которых являются многоканальные системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком.

• Доказать критерий стабильности и предельные теоремы в случае высокой загрузки для многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, где функционирование каждого прибора определяется регенерирующим процессом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гришунина Светлана Алексеевна, 2021 год

Литература

[1] Афанасьева Л. Г. Эргодичность многоканальной системы массового обслуживания // Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара, 1987.

[2] Афанасьева Л. Г., Булинская Е. В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. М.: МГУ, 1980. — С. 110.

[3] Афанасьева Л. Г., Ткаченко А. В. Многоканальные системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком // Теория вероятн. и ее примен. — 2013. — Т. 58, № 2. — С. 210-234.

[4] Афанасьева Л. Г. Условия стабильности системы с повторными вызовами при регенерирующем входящем потоке // Фундаментальная и прикладная математика. — 2018. — Т. 22, № 3. — С. 5-18.

[5] Ткаченко А. В. Многоканальные системы обслуживания с неидентичными приборами. — Диссертация 01.01.05, Москва, 2013.

[6] Afanaseva L. G. Queueing Systems with Cyclic Control Processes // Cybernetics and systems analysis. — 2005. — Vol. 41, no. 1. — P. 43-55.

[7] Afanasyeva L. G., Bashtova E. E. Coupling method for asymptotic analysis of queues with regenerative input and unreliable server // Queueing Systems. — 2014. — Vol. 76, no. 2. — P. 125-147.

[8] Afanasyeva L., Bashtova E. and Bulinskaya E. Limit Theorems for Semi-Markov Queues and Their Applications // Communications in Statistics

Part B: Simulation and Computation. — 2012. — Vol. 41, no. 6. — P. 688-709.

[9] Afanasyeva L., Tkachenko A. Multichannel queueing systems with regenerative input flow // Theory of Probability and Its Applications. — 2014. — Vol. 58, no. 2. — P. 174-192.

[10] Afanasyeva L., Tkachenko A. Stability conditions for queueing systems with regenerative flow of interruptions // Theory of Probability and Its Applications. — 2018. — Vol. 63, no. 4. — P. 507-531.

[11] Arthurs E., Kaufman J. Sizing a message store subject to blocking criteria // Proceedings of the third international symposium on modeling and performance evaluation of computer systems: Performance of computer systems. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. — 1979. — P. 547-564.

[12] Asmussen S. Ladder heights and the Markov-modulated M|G|1 queue // Stochastic Process and its Applications. — 1991. — Vol. 37. — P. 313326.

[13] Asmussen S. Applied probability and queues. 51, Springer-Verlag, 2003.

[14] Belorusov T. Ergodicity of a multichannel queueing system with balking // Theory of Probability and Its Applications. — 2012. — Vol. 56, no. 1. — P. 120-126.

[15] Borovkov A. A. Stochastic Processes in Queueing Theory. 4, SpringerVerlag, 1976.

[16] Borovkov A. A. Asymptotic methods in Queueing Theory. Chichester:Wiley, 1984.

[17] Brill P. System point theory in exponential queue. Ph.D.Thesis, University of Toronto, 1975.

[18] Brill P. Level crossing methods in stochastic models. New York: Springer-US, 2008.

[19] Brill P., Green L. Queues in which customers receive simultaneous service from a random number of servers: a system point approach // Management Science. — 1984. — Vol. 30, no. 1. — P. 51-58.

[20] Brill P., Posner M. The system point method in exponential queues. A level crossing approach // Mathematics of Operations research. — 1981. — Vol. 6, no. 1. — P. 31-49.

[21] Brumelle S. L. Some inequalities for parallel-server queues // Opns. Res. — 1971. — Vol. 19. — P. 402-413.

[22] Buchhols P., Kriege J. and Felko I. Input modeling with Phase-Type Distributions and Markov Models. Springer International Publishing, Cham, 2014.

[23] Chaiken J. The number of emergency units busy at alarms which require multiple servers. R-531-NYC/HUD. The Rand Corporation, Santa Monica. CA, 1971.

[24] Chakravarthy S., Karatza H. Two-server parallel system with pure space sharing and markovian arrivals // Computers and Operations Reserch. — 2013. — Vol. 40, no. 1. — P. 510-519.

[25] Chelst K. R., Barlach Z. Multiple unit dispatches in emergency services // Management Sci. — 1981. — Vol. 27. — P. 1390-1409.

[26] Chen H. Fluid approximation and stability of multiclass queueing networks: work-conserving disciplines // Annals of Applied Probability. — 1995. — Vol. 5. — P. 637-665.

[27] Chen H., Yao D. Fundamentals of queueing networks. Springer, 2011.

[28] Dai J. On positive Harris recurrence of multiclass queueing networks: a unified approach via fluid limit models // Annals of Applied Probability. - 1995. - Vol. 5. - P. 49-77.

[29] Dai J. A Fluid-Limit Model Criterion for Instability of Multiclass Queueing Networks // Annals of Applied Probability. -1996. — Vol. 6. - P. 751-757.

[30] Eschenfeldt P., Gamarnik D. Join the Shortest Queue with Many Servers. The Heavy Traffic Asymptotics // Preprint, arXiv:1502.00999, 2015.

[31] Federgruen A., Green L. An M|G|c queue in which the number of servers required is random // Journal of Applied Probability. - 1984. - Vol. 21, no. 3. - 583-601.

[32] Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications // J. Wiley&Sons, Inc. New York, 1953.

[33] Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. // Vol. II, Wiley, New York London Sydney, 1966.

[34] Filippouls D., Karatza H. An M|M|2 parallel system model with pure space sharing among rigid jobs // Mathematical and Computer Modelling. - 2007. - Vol. 45, no. 5-6. - P. 491-530.

[35] Foss S., Chernova N. On the stability of a partially accessible multistation queue with state-depending routing // Queueing systems. -1998. - Vol. 29. - P. 55-73.

[36] Foss S., Konstantopoulos T. An overview on some stochastic stability methods // Journal of thr Operations Research Society of Japan. -2004. - Vol. 47, no. 4. - P. 275-303.

[37] Foley R. D., McDonald D. R. Join the Shortest Queue: Stability and Exact Asymptotics // Ann. Appl. Probab. - 2001. - Vol. 11. -P. 569-607.

[38] Gillent L., Latouche G. Semi-explicit solutions for M|PH11-like queueing systems // European Journal of Operations Research. — 1983. — Vol. 13, no. 2. — P. 151-160.

[39] Grandell J. Double stochastic poisson processes // Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg, New York, 1976.

[40] Green L. Comparing operating characteristics of queues in which customers require a random number of servers // Management Science. — 1980. — Vol. 27, no. 1. — P. 65-74.

[41] Green L. Comparing operating characteristics of queues in which customers require a random number of servers // Operations Research. — 1980. — Vol. 28, no. 6. P. 1335-1346.

[42] Green L. A limit theorem on subintervals on interrenewal times // Operations Research. — 1982. — Vol. 30. — P. 210-215.

[43] He Q. M. Fundamentals of matrix-analytic methods // New York, Springer, 2014.

[44] Iglehart D. L., Whitt W. The Equivalence of Functional Central Limit Theorems for Counting Processes and Associated Partial Sums // Ann. Math. Statist. — 1971. — Vol. 42, no. 4. — P. 1372-1378.

[45] Ittimakin P., Kao E. P. C. Stationary waiting time distribution of a queue in which customers require a random number of servers // Operations Research. — 1991. — Vol. 39, no. 4. — P. 633-638.

[46] Kiefer J., Wolfowitz J. On the theory of queues with many servers // Trans. Amer. Math. Soc. — 1955. — Vol. 78. — P. 1-18.

[47] Kim S. M|M|s queueing system where customers demand multiple server use // Ph.D.Thesis, Southern Methodist University, 1979.

[48] Kingman J. F. C. Inequalities in the theory of queues // J. of the Royal Statistical Society. Series B. — 1970. — Vol. 32, no. 1. — P. 102-110.

[49] Liu Y., Whitt W. and Yu Y. Approximations for heavily loaded G|G1 |n + GI Queues // Naval Research Logistics. - 2016. - Vol. 63, no. 3. - P. 187-217.

[50] Loyes R. M. The stability of a queue with non-independent inter-arrival and service times // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1962. - Vol. 58, no. 3. -P. 494-520.

[51] Morozov E., Fiems D. and Bruneel H. Stability analysis of multiserver discrete-time queueing systems with renewal-type server interruptions // Performance Evaluation. - 2011. - Vol. 68, no. 12. - P. 1261-1275.

[52] Morozov E., Rumyantsev A. Stability Analysis of a MAP|M|s Cluster model by Matrix-Analytic Method // European Workshop on Performance Engineering. - 2016. - P. 63-76.

[53] Neuts M. F. Renewal processes of phase-type // Naval Res. Logist. Quart. - 1978. - Vol. 25. - P. 445-454.

[54] Neuts M. F. Matrix-geometric solution in Stochastic Models. An Algoritmic Approach // The Johns Hopkins University Press. Baltimore, 1980.

[55] Omahen K. J. Capacity Bounds for Multiresource Queues // J. ACM (Journal of the Association for Computing Machinery). - 1977. -Vol. 24. - P. 646-663.

[56] Rumyantsev A., Morozov E. Stability criterion of a multi-server model with simultaneous service // Annals of Operations Research. - 2017. -Vol. 252. - P. 29-39.

[57] Schaack G., Larson R. C. An N server cutoff priority queue where arriving customers request a random number of servers // Management Science. - 1989. - Vol. 35, no. 5. - P. 614-634.

[58] Seila A. F. On waiting times for a queue in which customers require simultaneous service from a random number of servers // Operations Research. - 1984. - Vol. 32, no. 5. - P. 614-639.

[59] Smith W. L. Regenerative stochastic process // Proc. Roy. Soc. — 1955. — Vol. 232. — P. 6-31.

[60] Thorisson H. Coupling, Stationary and Regeneration // Springer, New York, 2000.

[61] Van Dyk N. M. Blocking of finite inputs which require simultaneous servers with general think and holding times // Operation Research Letters. — 1989. — Vol. 8, no. 1. P. 45-52.

[62] Whitt W. Stochastic-process limits: an introduction to stochastic-process limits and their application to queues // Springer, 2002.

[63] Wolff R. W. An upper bound for multi-channel queues //J. Appl. Prob. — 1977. — Vol. 14. — P. 884-888.

Работы автора по теме диссертации:

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI

[64] Afanasyeva L. G., Grishunina S. A. Queueing systems with different service disciplines // Lobachevskii Journal of Mathematics, издательство Kazanskii Gosudarstvennyi Universitet/Kazan State University (Russian Federation). — 2017. — Vol. 38, no. 5. — P. 864-869. (SJR 0,422)/0,71 п.л./вклад соискателя 0,67 п.л.

[65] Grishunina S. Limit Theorems for Queueing Systems with Various Service Disciplines in Heavy-Traffic Conditions // Methodology and Computing in Applied Probability, Springer. — 2020. — Vol. 22. — P. 1529-1538. (Импакт фактор (web of science) 0,809)/0,75 п.л./вклад соискателя 0,75 п.л.

[66] Afanaseva L., Bashtova E. and Grishunina S. Stability Analysis of a Multi-server Model with Simultaneous Service and a Regenerative Input Flow // Methodology and Computing in Applied Probabaility, Springer. 2020. - Vol. 22. - P. 1439-1455. (Импакт фактор (web of science) 0,809)/1,32 п.л./вклад соискателя 1,24 п.л.

[67] Гришунина С. Многоканальная система с одновременным обслуживанием требования несколькими приборами при постоянном времени обслуживания // Теория вероятн. и ее примен. — 2019. — Т. 4, №3.-С. 566-572. (РИНЦ 0,955)/0,51 п.л./вклад соискателя 0,51 п.л.

Grishunina S. Multiserver Queueing System with Constant Service Time and Simultaneous Service of a Customer by Random Number of servers // Theory of Probability and Its Applications. — 2019. — Vol. 64, no. 3. — P. 456-460. (Импакт фактор (web of science) 0,485)/0,48 п.л./вклад соискателя 0,48 п.л.

[68] Afanaseva L., Grishunina S. Stability conditions for a multiserver queueing system with a regenerative input flow and simultaneous service of a customer by a random number of servers // Queueing Systems. — 2020. — Vol. 94, no. 3. — P. 213-241. (Импакт фактор (web of science) 1,114)/2,03 п.л./вклад соискателя 1,97 п.л.

Тезисы докладов в материалах научных конференций

[69] Grishunina S. Limit theorems for queueing systems with different service disciplines // Book of Abstracts 17th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference with Demographics Workshop ASMDA2017 Editor Christos H Skiadas. — 2017. — P. 89-89.

[70] Гришунина С. Предельные теоремы для систем обслуживания с различными дисциплинами обслуживания // Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и ее приложениях. Ма-

териалы международной научной конференции, РУДН. — 2017. — P. 119-123.

[71] Гришунина С. Условие стабильности для систем обслуживания со случайным числом приборов, необходимых для обслуживания одного требования // Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2017», 2017. - 1 с.

[72] Гришунина С. Системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком и случайным числом приборов, необходимых для обслуживания одного требования// Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2018» , 2018. - 1 с.

[73] Гришунина С. Исследование зависимости условий стабильности от распределения времени обслуживания// Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2019», 2019. -1 с.

Статьи в материалах научных конференций

[74] Grishunina S. Limit theorems for queueing systems with different service disciplines // Proceedings of International Conference ASMDA-2017 with Demographic Workshop, London, UK. — 2017. — P. 455-465.

[75] Afanaseva L. G., Bashtova E. E. and Grishunina S. A. Stability Analysis of a Multiserver model with Simultaneous Service and a Regenerative Input Flow // Proceedings of International Conference ASMDA-2017 with Demographic Workshop, London, UK. — 2017. — P. 43-56.

[76] Grishunina S. Queueing systems in which customer requires a random number of servers // VIII Moscow International Conference on Operations Research (0RM2018). — 2018. — Vol. 1. — P. 333-337.

[77] Afanaseva L., Gridnev M. and Grishunina S. The estimation of the capacity of the highway intersected by a crosswalk without traffic

lights // VIII Moscow International Conference on Operations Research (ORM2018). - 2018. - Vol. 1. - P. 264-269.