Построение функции цены в задачах сближения уклонения нескольких преследователей с одним убегающим тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Синицын, Александр Владимирович

• Синицын, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Синицын, Александр Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

2

Глава 1. Построение Функции цены в И1 ре преследования несколькими объектами

1. Постановка задачи

2. Функция программного максимина

3. Возможные случаи взаимного расположения игроков

4. Вспомогательные утверждения

Свойства и - стабильности Функции программого максимина

6. Пример

Глава 2. Построение Функци цены в игре сближения двух преследующих обьек'шв с одним убегающим при наличии Фазово1 о ограничения

1. Постановка задачи. У (равнения движения и Функционал платы

2. Типичные случаи взаимного расположения

3. Особенности задачи. Алгоритм определения значения Функции гарантированного результата в наиболее характерном случае игры

4. Алгоритм построения Функции гарантированного результата

5. и - стабильность Функции гарантированного результата

Глава 3. Построение Функци цены в игре сближения - уклонения трех преследующих обьектов с одним убегающим

1. Уравнения движения и Функционал платы. Постановка задачи

2. Основные случаи взаимного расположения

3. Особенности задачи. Алгоритм определения значения Функции гарантированного результата в наиболее характерном случае

4. Алгоритм построения Функции гарантированного результата

3. и - стабильность Функции I араншрованного результата

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение функции цены в задачах сближения уклонения нескольких преследователей с одним убегающим»

введение

Теория дифференциальных игр является важной составной частью теории автоматического управления - науки о методах определения законов управления объектами, допускающих реализацию с помощью технических средств автоматики. Первое развитие теория получила применительно к процессам, встречающимся в технике: управление автомобилем, самолетом и др. Задолго до развития теории дифференциальных игр существовал хорошо развитый аппарат дифференциальных уравнений, что наложило определенный отпечаток на ее проблематику.

Постановка задач в теории дифференциальных игр предполагает наличие противоборствующих сторон - игроков, имеющих в своем распоряжении определеный ресурс управляющих воздействий на движение системы, описывающей процесс, определенный на некотором множестве. При этом каждая из играющих сторон может иметь различную степень информированности. Нахождение способа способа формирования управляющих воздействий игрока, которые при любом допустимом поведении партнера обеспечивают ему некоторые гарантированные, в частности, наименьшее или наибольшее значения заданного функционала, характеризующего процесс, и составляет задачёг'теории дифференциальных V. игр.

Задачи оптимального управления, осложненного различного рода помехами также составляют предмет исследования теории дифференциальных игр.

Интенсивное развитие теории дифференциальных игр обусловлено важностью этих задач и большим теоретическим интересом, который они представляют.

Теория дифференциальных игр развивает на новом, более высоком уровне идеи и методы математической теории оптимальных процессов. Вместе с тем дифференциальные игры как математическая наука являются разделом теории игр. Это находит определенное отражениев ее терминологии и проблематике. Специфика теории дифференциальных игр по сравнению с другими направлениями общей теории игр состоит в широком использовании аппарата дифференциальных уравнений. Это обстоятельство' порождает ряд принципиальных проблем, которые нехарактерны для других разделов теории игр.

Одной из первых работ в этой области можно считать опубликованную в 1925 году работу Г. Штейнгауза г971, в которой он впервые формулирует задачу преследования как дифференциальную игру. После почти двадцатилетнего перерыва, в середине 50-ых годов, теория дифференциальных игр начинает развиваться.

Б первых работах, относящихся к теории дифференциальных игр, использовался метод динамического программирования. Этот подход описан в монографии Р.Айзекса "Дифференциальных игры" ш, где предложены к рассмотрению некоторые примеры игровых задач динамики. Другое направление в теории дифференциальных игр, которое разрабатывалось американскими математиками, составляет исследование вопроса о существовании седловой точки дифференциальной игры. У.Флеминг ввел в рассмотрение специальные последовательности

многошаговых игр , предельный переход в которых позволил доказать для некоторых типов дифференциальных игр существование ситуации равновесия г75-701 .

Интенсивное развитие теории дифференциальных игр в нашей стране связан с именами Н.ЕКрасовского и Л.С.Понтрягина. Основополагающие результаты теории получены Ю.С.Осиповым, Б.Н.Пшеничным, А.И.Суботиным. Значительный вклад в теорию дифференциальных игр внесли многие советские и зарубежные ученые НЛ.Григоренко, А.Б.Куржанский, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, А.А.Меликян, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Г.К.Пожарицкого, Н.Ю.Сатимова, А.Г.Ченцова, А.А.Чикрия,

Bernhard В., Breakwell J.V., Crandall M.G., Flieming W. , Shinar J.

Фундаментальный вклад в развитие теории дифференциальных игр принадлежит школам академика Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского.

Работы Л.С.Понтрягина и его сотрудников посвящены раздельному изучению задач преследования и убегания. В работах Л.С.Понтрягина дифференциальная игра рассматривается как игра преследования и игра

v

убегания, в каждой из которых может выдвигаться требование различной информированности игроков. Например, в игре преследования преследователь имеет полное знание технических возможностей системы (уравнения движений и ограничения на управляющие воздействия) и информацию о поведении системы и убегающего вплоть до данного момента

\ W V

времени, в которой он выбирает свое управление; в игре убегания -наоборот, полное знание системы и информацию о поведении противника имеет убегающий. В работах Л.С.Понтрягина г48i, г491, г501 разработаны достаточные условия завершения задачи преследования. Эти работы

явились основой для ряда существенных обобщенийгл/, гз21. В работах Л.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко г51 /,г521 рассматривалась задача об уклонении от встречи. В этих работах были не только сформулированы условия существования стратегии уклонения, но и проведены оценки гарантируемого расстояния между преследующим и преследуемыми объектами. Основные конструкции этих работ получили применение во многих работах.

Условия, при которых преследование можно завершить за конечное время исследовались Б. Н. Пшеничным. В /56 / рассматривалась дифференциальная игра общего вида, для которых была предложена операторная теория преследования, определяющая необходимые и достаточные условия разрешимости задача преследования.

Н.ЕКрасовскйм предложен г 141 следующий подход. Вводится в рассмотрение вспомогательная конструкция, основанная на программных движениях игроков.

Эта конструкция определяет некоторый способ формирования управления, называемый экстремальным прицеливанием.

Ввиду того,что при этом допускается использование информации лишь о текущей позиции игрока, то построенное управление вполне может оказаться разрывной функцией позиций игрока. Для формализации скользящих режимов, порождаемых разрывными управлениями, вводятся понятия обобщенных управлений игроков и используется аппарат теории дифференциальных уравнений в контингенциях. Данный подход позволяет охватить весьма широкий класс разрывных управлений и порождаемых ими скользящих режимов. При этом оказалось, что построенные экстремальные

управления допускают- удобную аппроксимацию дискретными схемами Формирования управления, а доказательство соответствующих теорем о сходимости может быть выведено из существования решения системы дифференциальных уравнений в контингенциях.

Задача сближения и задача уклонения стали рассматриваться как одна дифференциальная игра сближения-уклонения в монографии nsi и в ее переработанном и дополненном издании Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным, на основе разработанного позиционного подхода к решению игровых задач динамики, /стержнем которого является строгая Формализация позиционной дифференциальной игры, позволяющая при определенных предположениях соединять в пары так называемые чистые стратегии, смешанные стратегии и контрстратегии.

Для задач теории дифференциальных игр в nsursei доказаны принципиально важные теоремы об альтернативе, из которых следует, что для всякой начальной позиции игры справедливо одно и только одно из следующих утверждений: либо разрешима задача о сближении, либо разрешима задача об уклонении.

Этот подход дает концепцию строго формализованной дифференциальной игры, определяются стратегии игроков, порождаемые ими идеальные движения и цена игр ы. Вместе с тем формируются аппроксимационные утверждения, позволяющие осуществить переход от формальных конструкций к реализуемым на практике процедурам управления. Основу подхода составляет построение специальных множеств позиций-стабильных мостов, оканчивающихся на заданных целевых

4

(терминальных) множествах и содержащихся в Фазовых ограничений введение " 6

задачи. Движение по мосту гарантирует успешное завершение игры. Решение игровой задачи сводится таким образом, к последовательному выбору экстремальных управлений, сохраняющих движение исходно конфликтно-управляв мой системы на этом мосту. При этом следует заметить, что экстремальные управления упреждают неблагоприятное поведение противника, выбор этих управлений основан на информации о реализовавшемся: движении и не зависит от управления, которое выбирается или будет выбрано противником.

Наилучшее решение позиционной дифференциальной игры доставляют стабильные предельно широкие мосты в фазовом пространстве идущие на терминалное множество в случае задачи сближения и минующие цель в случае задачи уклонения. Существование этих мостов определяется теоремой' об альтернативе. Однако эффективное построение таких предельно широких систем стабильных мостов для исследования реальных конфликтно-управляемых систем весьма затруднительно. В связи с этим важной задачей является выделение классов игр, в которых возможно эффективное построение максимальных стабильных мостов.

Иным путем решения проблемы является эффективное построение систем множеств., которые, не являясь предельно широкими, обладали бы тем не менее подходящими свойствами стабильности для нахождения стратегий, разрешающих ту или иную задачу по принципу обратной связи

Г201-Г217.

Построение этих множеств должно обеспечивать выход к эффективно реализуемым процедурам управлений. Метод программных конструкций Г151,г 191,г211,[231,Г241,Г611, Г631 являвтся одним из мвтодов решения

этой проблемы. Его - суть состоит во введении подходящих вспомогательных программных задач для решения исходной проблемы по принципу обратной связи. Эффективное построение стабильных систем

* tri

множеств - важных аспект решения общей проблемы описания макимально стабильных мостов.

Субботиным А.И. и Ченцовым А.Г.в работе Гби развивается метод вспомогательных программных конструкций для решения дифференциальной игры в общем случае.

При этом процедура построения основных элементов, обеспечивающих эффективное решение дифференциальной игры, имеет вид итерационных процессов, в которых каждая итерация сводится к решению подходящей, универсальной для всех шагов, итераций программной задачи. Эти итерационные процессы являются способами решения соответствующих операторных уравнений программного поглощения ген

Полученное Н.Н.Красовским и его сотрудниками результаты имеют Фундаментальное значение в теории дифференциальных игр. Ими созданы позиционные методы для решения игровых задач для дифференциально -разностных уравнений в частных производных, задач с распределенными парамерами. Разработаны методы управления и наблюдения в условиях неопределенности f141, fisi, гi9i,r2i иг2зи гззь

Работы автора Г44 1, г 451, г571 примыкают к этому направлению. В них на основе формализации дифференциальной игры, предлагаемых в г и-isi, [ei построены Функции программного максимина и доказано их совпадение с функцией цены в игровых задачах динамики.. Результаты этих исследований легли в основу глав 1, 2 и 3 диссертациии.

В работах АЖубботина, Н.Н.Субботиной и А.М.Тарасьева [58 ], [ 591, [ во 1, г б 1 ], [ зб ], Г98 ], г 991 предложены важные обобщения основного уравнения теории дифференциальных игр (уравнения Беллмана-Айзекса), сформулированы необходмые и достаточные условия для функции цены дифференциальной игры. Доказана эквивалентность этих необходмых и достаточных условий и неравенств, определяющих "вязкое" решение уравнения Гамильтона-Якоби, полученных в последние годы в ряде работ зарубежных авторов гвб1, г?л, Г83]. Заметим, что обобщенное основное уравнение можно использовать для проверки важных свойств заданной Функции ( например, свойства "-стабильности ) Г861. в качестве необходимого условия его применяют для построения функций, претендующих на роль Функции цены. Именнно в этом состоит основное содержание попятной процедуры, сформулированной Р.Айзексом.

Достаточные условия разрешимости и уравнение для оценки решения нелинейной дифференциальной игры сближения получены в работе г4п. При построениям этих результатов используется теорема о необходмых и достаточных условий Функции цены игры, сформулированное в терминах основного уравнения Беллмана-Айзекса . На основе предлагаемых подходов дано решения некоторых конкретных игровых задач динамики.

В последние годы интенсивно разрабатываются численные и приближенные мктоды решения задач теории дифференциальных игр. Первые работы по численному исследованию игровых задач основывались на уравнении Беллмана-Айзекса, обоснованность которого еще не была проверена г1 и г821.

Как показывают исследования последних лет особый интерес-

• I ! It-; ii i ; i И К ¿í Ян 'Т i lúkri !i ■•,/ ;+;'Н н hit-; i/i i;ii :Г; Кй Mi ¡Kki H i/Ím; г': iíi m i ■■■„< лм i ! i-i hi X mi hi II :i II ü'iiin -, -/i Й

................. IV" - ' i ' i - ...........i.- ' ' ¿ ' "

!M l'¡ I. ¡i ¡bM ¡i)''./ H rí i I i/i ri Mi-! H h! Wik Ib.l l-lh (¡ HílíO')!- ¡II-! H ii iíi i i v>- kiki . ii t " Й > I >; Iii I 4i4/iKíi I i ' i'4 i I I i У "i V ■

-i ' ■ J. Il" j. ■ X. 'J'"' " J.'

!í¡ I if-ii. II I í'Kri MÍ«i ; ¡it-iHjib!» И. i i J-'ÁUJ L':'1 :ÜH H H К! ч lyiM'j I I eil Ih i n- íiím И ■.- > >¡ k м , ,, , ■■,,,

■■i i i, л 'm ¡-i г i i ií ; н ij « h¡ Wc r' i ■ гм. : я. ни \íS.if-¡ ;i >i hi ¡hh i/i mí Ц X ул н " i/kk;--' h in k уу-м ,¡■ ...i y ■ ' - i i j.

ЧЧЧ lÍMili^ l'iH J4 I I ¡,|¿ ;j j! i i-i t-, ! X IÍI 1 4 j L.J-iJ .

i. y híi i k y mi ií ; .ilk /4 H'/i.x i-ir-i 11 jií-i к ..iji-j h i.'i iíi jir-iX к i/i Ч'Ч« H 4'hi h i ¡я ¡л' ?¡ i/i (Míh Гу-: h ! i ЫЧ-; «пи hi x

i/iiiï ¡ i X Hrt'Thi KriH Г ¡/пЧц"!КЦн krtik-iUw Г: \/k:4k44/iM У нй(". K¡ ) ¡i К К i/i х \i i i пн к ;гж-; Цы и ->• -i. i > ..... i

? ,л

i а. 1Г,гч nil IV i. ¡ni tí. Г tri м К i-i Vi HVÏ Hr-1 m Í iri к /ÍH H Ш !Л ÙIHb'H I :M Hi-i/i V;

i ' J.............................I ¡

С 'Ч../ J -, I t I J ^ í. f -J] I •■'..> i 1 , Г 'JuJ TT;- ! л if] »/! M i Si H I ! ! !Л > i,'; ! ! ¡i 'i К í t H, MM! li_,!/¡ !

X

íi^j^íiHí;,^ í iíti ii i-¡ ill It ,i UI I П !< Ш i-i r¡ i ! i мл IWtr^ f i.. h'- ¡ H hH ! i-i! ' К н: -, i-! ; ¡i'; ! Г-. ............. ,

i i-- i 1 iwi \f\ H r-i, ,¡ í n r-i î' ! j { ! IVí H M ! :| tí. )¡ j i ! H >\ |/l W . ; ! r'í ií i.'i i,«! h- H, ti 4>i IV! iVi iV M ! ¡i {'M!-J ' ! I К

o. "' ........' ' x' J." ...........: " 1

H í~; I i y i-'v./ii ii 4 i 4 i H.üj.! i/n НЧ.Я.лЯ i/.i ÍK i y I . i' i;kH4:w i: .-iVi'! im i IH íiíH i-i !■ - .'(Л liflM

Ч I ih- I IV >•" i i i.-iyí I i ri I. j¡ _)Ч '' n j/ï |1lli4h.]S I I l.'l il I ! il I I !S 1Л IVII- III il ш к IHJillillMh.il-; --'.h il Iii

i i ri i i i ' isi; .--i i ' M iii H h i ri /iiiUj h f-i i ií-t i 1иЧ 'п д ¡4.4! Гг ! i/i i :i и ¡и H H'I i i'. V/ Mlii IIIP-: H 4.1 ;

л .....,¡. - • - ~ i ..... ' ¿ j. - ¡

ÏT TT 1.Г-. TT í, 7T ": TT -rr

,■>) M/1 i\i i,,ij iii : r\l 1 ; :I I H..iij , " H . ! i^-: i. i .1!, и ; !! I liiir" H í.m m i i i i i 'i i

л t t . . v - ■>■■■'

/-•.. Í-J ~'i Í,M 14 il iíi У-; í.'i. jjx'jj'r >., i.. .. i' . M'.íiírui'; ÍÍ .I . 1л ¡i

i i i i

"j," <

...Jti.Mi¡H K.: i ' i/! и i4 hin i"iHУ, V ,..ii Ь' |''r-i ' iЧ-.1 i ii. i i U : ÍMH H ifi ii i ¡\ íh (ÍI(I)I-I i iir i-i I I bi r-i ¡i ;Ч t-i i-,i k ü¡ i ■ i

i I I. il— 1, 'i ¿ir-; il i I Hr i H i/l H ( .1 ÍM-Ц 1 '4l, .1 \í i, Д-i i I 1 1 II Mill I M I -I I I I II , 1 i..:; ;.,,

1 '"i . \ '...... V ' i _í. X < í

Г "I г r~ - r i— ". - . - T"l . . .

i. i,-¡l H I i r!. A ¡ i.e.., ,. ¡ :....JKJJ i. К J--+- I...KJJ .. L íí'i i-HIJlhMWji i i И l/i i i i H;; l : i i i-i ! i ( i i n iü

¡ il ; f-i II nri Í-|H KII-;; H/"i ivi:-; i i i i 114 .) ii 11 ' i/i i/i i i) liiiH i/i ' i.'H 1 j i.) И И ¡4 H 'i 'M i !i j í-i id i 4 ! i./'. И ; M4 4 4i •

4 i i i/i kf! il i-i и f.i !-. "!'Íhí_iiím4 i i i if-;i: H i/f.H i 4 ! У il i ii)Ы i i i )H, 4ijk/4 i ! ; !>'i

i i y-, 1 11 'i i i H-: i r"i ii ii in-' i 'i i iii 'VA Kl i j i V-i ii iii i (Л i -i i lií líi-' H i ' |Л k IH i l i ir; ; i i i l i;-- í; i ■; 'i >-í 1 . i . i/i i ;■•; ^ i i i i ; 'I

■ : : ■,--..-■■•••--'■ .......„ ... •• i ......... ± ¡ ■ ■ ••■•■■■ v - . ■....... ' ' i 'i ' ' ' '

.-1 ' г ^— -i ТГ - -..-

< ; • Ü-! i ; .Ml--: il i I ' i. ¡4 .ii 4 . i. ink \!ö íiJ ik4 i i.hi IJCiO1 У /4'. ^ - Ч! i iH H i мл iip k kii-; in i ■/ мл

i ; ii м i 11 ' . m i Ü-: i ' 11 in ; -i -■.:■-.■ i ч V i i.'i i i i '■■/ ¡ ■ i ' hr V i ií-; i 4i i; liii i;'i «, rt i } i i • i i г- '< ~ 1Л i 4 i ■ >i '/i i r ' ' i ■ ■< ■■■ i .■

* ■ ' * >- -• . -, " j. ■ .

простыми движениями исследовались в работах пи.

В работах Г27-281, г 39-401, [441 исследованы игровые задачи сближения двух преследующих объектов, а в г451 и г571 - трех с одним преследеумым при различных предположениях о динамики объектов. Эти работы являются одними из немногих, в которых построена фунция оптимального результата ( цены игры ) для любых возможных позиций. Все рассмотренные задачи исследованы на основе единой методики, используемой и в предлагаемой диссертации.

Приложения теории дифференциальных игр к практическим проблемам, возникающим технике, экономике, военном деле, медицине, биологии и других областях приводят к необходимости исследования разнообразных конкретных задач. Наряду с прикладным значением, решение подобных задач помогает развитию актуальных проблем самой теории дифференциальных игр.

Данная дисссертационная работа посвящена решению задач сближения-уклонения теории дифференциальных игр.

структура работы 1| ,

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из

/"Л I

99 наименования, 15 V рисунков и Приложения, в которое включен

Ч-ч / ■ -

комплекс программ, дополняющий Главу 3, и рисунки, полученные с помощью этого комплекса . Комплекс программ для глав 1 и 2 в Приложение для краткости не включен. Главы состоят из параграфов. Нумерация формул трехиндексная и состоит из номера главы, параграфа и порядкового номера формулы внутри параграфа. Нумерация рисунков двухиндексная и состоит из номера главы и порядкового номера рисунка внутри параграфа.

Во введении излагается обзор методов и результатов теории дифференциальных игр, краткое описание содержания диссертационной работы по главам. Обосновывается актуальность и практическая значимость работы. Приводятся сведения о публикация и аппробации работы.

Первая глава посвящена проблеме сближения п динамических объектов с одним. Рассмотрены случаи игры как с однотипными произвольными преследователями, так и разнотипными,превосходящими по скорости убегающего.

Подход для решения задач сближения двух преследователей с одним убегающим на плоскости распространяется для решения задачи сближения п преследователей с одним убегающим в пространстве ял. Построена Функция цены игры не только в регулярной области , но и на выделенном сингулярном многообразии. Рассмотрен пример игры преследования "трое за одним" в трехмерном евклидовом пространстве, строятся оптимальные

траектории и поверхности уровня цены игры. Также в примере приведено иное доказательство и-стабильности Функции программного максимина.

Во второй главе рассматривается дифференциальная игра сближения двух преследующих объектов с одним убегающим при наличии фазового ограничения типа "полуплоскость".

Поставлена и решена задача об определении значения Функции цены игры для любой возможной позиции. Развивается подход построения Функции цены., предложенных в работах г 21, г л на случай задачи с Фазовым ограничением. Изучены все типичные случаи взаимного расположения игроков в произвольный момент времени. Проводится геометрическое доказательство "-стабильности ФГР в регулярной области и численное на сингулярном многообразии.

Полученные результаты реализованы в виде программ для персонального компьютера, написанные на языке Си, позволяющиестроить сингулярные лйнии, линии уровня ФГР, оптимальные ответы и траектории преследователей в ответ на произвольное управление убегающего.

В третьей главе рассматривается на плоскости дифференциальная игра сближения-уклонения трех преследующих объектов с одним убегающим Рассмотрены все возможные случаи игры. Представлен алгоритм построения Функции гарантированного результата для каждого из случаев игрыи доказана ее стабильность. В фазовом пространстве выделены сингулярности и классифицированы как рассеивающие поверхности.

Построены оптимальные траектории всех игроков.

Создан комплекс программ на языке Си, позволяющие строить СМ , оптимальные ответы преследователей на произвольные управления

убегающего и линии уровня ФГР, а такаже проверять свойства стабильности ФГР. Рисунки данной главы получены с приме не ним этого ; комлпекса программ.

на защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:\

- развитие методики построения Функции цены игры в дифференциальных / играх сближения нескольких преследователей и одного убегающего; ^

- метод построения гарантированного результата в позиционых игровых задачах сближе ния;

- игровая задача сближения г, преследователей с одним убегающим в ^-мерном пространстве.;

- задача сближения двух преследователей с одним убегающим при наличии Фазового 'ограничения типа полуплоскость;

- дифференциальная игра сближения трех преследователей с одним убегающим на плоскости.

публикации

Основные результаты диссертации получены автором. Они опубликованы в статьях /44 /, /45/, /57/ и отчетах по спецтематике. Все работы выполнены под научным руководством А.Г.Пашкова. Работа /57/ отмечена премией издательства Pergamon press в 1996г.

апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих международных и всеросийских конференциях:

- 1-ая Украинская конференция но автоматическому управлению "Автоматика-94" (Украина, г .Кие в, 1994);

- VI International Symposium on Dynamic Games and Applications (St.

Jovite, Quebec, Canada", 1994);

The III International Congress on Industrial and Applied Mathematics ( Hamburg, Germany, 1995);

- The 17th IFIP Conference on System Modeling and Optimization (Prague, Chech Republic, 1995).

Результаты диссертации докладавались на следующих научных семинарах:

- семинар отдела динамических систем под руководством А.И.Субботина (ЙММ УрО РАН, г.Свердловск, 1991-1992);

- и Международный семинар ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Россия, г. Челябинск, 1993);

-III International Workshop "Multiplay Criteria Problems under Uncertaintly"( Russia, Orekhovo-Zuevo, 1995);

- hi Международный семинар ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Россия, г.Санкт-Петербург , 1995);

Диссертационная работа выполнена в Институте проблем Механики в 1992-199бгг.

Автор благодарен А.Г.Пашкову за научное руководство работой,

постановку задач> идеи и замечания.

Автор благодарит А.Й.Субботмна, Ченцова А.Г., Чикрия А.А. и Левченкова А.Е за обсуждение основных результатов диссертации и ценные советы.

Автор выражает признательность заведующему отделом моделирования и проектирований механических систем и конструкций ИМП РАН д.ф.-м.н.? лроф.ЕВ-Баничуку и к,ф.-м.н. Б.Н.Соколову за поддержку и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Синицын, Александр Владимирович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзеке Р., Дифференциальные игры.М.,Мир,1967,480 с.

2. Батухтин В.Д. О дифференцируемое™ цены дифференциальной • игры сближения.-Дифференц.уравнения,1972^ 12,с .2140-2148

»з. Беллман Р.Динамическое программирование.!.,Ил.,1960,400с.

4. Брайсон к.', Хо Iii-ши.Прикладная теория оптимального управления. М., 'Мир, 1972, 522с.

5. Григоренко HJ. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами.-ДАН СССР, 1979,t.249,n5,с.1040-1043

6. Григоренко Н.Л. К линейной задаче преследования несколькими объектами.-ДАН СССР, 1981,t.258,n2,c.273-279

7. Григоренко ЕЛ.Преследование несколькими разнотипными объектами одного убегащего.ДАН СССР, 1982,t.286,n3,c.529-533

8. Григоренко НХИгра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего.-Вестник МГУ,1983,cep.l5,Nl,c.41- 47

9. Григоренко ЕЛ.Метод преследования несколькими разнотипными управляемыми объектами.-ПММ, 1983,n6,c.891-897

ю. Демьянов В.Ф.Минимакс:дифференцируемость по направлениям. Л. Изд. Ленингр.ун-та, 1974, 112 с.

и. Зеликин М.И. Об одной дифференциальной игре с неполной информацией. - ДАН СССР, 1972, т.202,N5,с.998-1000

12. Иванов Р.П.,Ледяев Ю.С.Оптимальность времени преследования в дифференциальной игре многих объектов с простым движением.^Труды МИАНД981,т.158,с.87-97

13.Красовский H.H.,Теория управления движением.М.Наука,1968, 475с.

14.Красовский H.H.,Игровые задачи о встрече движений. М.Наука, 1970, 420с,

15. Красовский H.H.,Субботин А.И.,Позиционные дифференциальные игры.М.Наука,1974,455с.

16. Красовский Н. Н., К теории дифференциальных игр. - ПММ, 1970, т.34, вып.2., с.197-207

17. Красовский ЕЕ, К задаче ' о пресдедовании- ДАН СССР, 1970, т.191, N2, с.270-272 f

18. Красовский H.H., Минимаксное поглощение в игре сближения-ПММ, 1971, т.35, вып.б, с.945-951

19.Красовский H.H., Экстремальное управление в нелинейной позиционной дифференциальной игре.- ДАН СССР, 1972, т.203, n3, с.520-523

20. Красовский H.H.,Дифференциальная игра сближения-уклонения. - i Изв. АН СССР.Техн.кибернетикаД973,N2_,c.3-18

21. Красовский H.H.,Дифференциальная игра сближения-уклонения. - п Изв. АН СССР.Техн.кибернетикаД973,мз,с.22-42

22. Красовский H.H.,Дифференциальные игры. Аппроксимационные и Формальные модели.-Мат.сборник, 1978, т.1П7, n4, с.541-571

23. Красовский H.H., К задаче унификации дифференциальных игр- ДхАН СССР, 1976, т.266, n.6, с 1260-1263

24. Красовский H.H., Программное поглощение .в дифференциальных играх,- ДАН СССР, 1971, т.201, n.2, с.270-272

25. Красовский H.H., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры.-ДАН СССР, 1981, ni, с.24-27

26. Красовский H.H., Третьяков В.Е. 0 программном синтезе позиционного управления. - ДАН СССР, 1982, т.264, иб, с.1309-1312

27. Левченков A.D. Об одной задаче сближения двух различных преследователей с одним убегающим. - ПММ, 1988, т.52, вып.1, с. 3-8

28.Левченков А.Ю.,Пашков А.Г.Игра оптимального сближения двух инерционных объектов с одним безынерционным.-ПММ,1985,т.49,вып.4, ' с.536-547

29. Меликян A.A. Оптимальное взаимодействие двух преследователей в игровой задаче-Известия АНСССР,Техническая кибернетика 1981,N2,с.49-56

30. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С.,Сатимов ЕЮ. задача уклонения от встречи в дифференциальной игре многих лиц-Труды МИАН СССР, 1977, т.143, с.105-128

31.Никольский М.С.Линеаризуемые объекты и их применение в дифференциальных играх преследования -ДАН СССР, 1972, т.205, n4, с.787-790

32. Никольский М.С.Об альтернативном интеграле Л.С.Понтрягина. -Мат.сборник, 1981, т.116, м.1, с.136-144

33. Осипов Ю.С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре. - ДАН СССР, 1971, т.197, N5, с.1022-1025

34. Пацко B.C., Тарасова С.И. Нерегулярная дифференциальная игра сближения-Изв.АН СССР, Техн.кибернетика, 1984, N4, с.134-142

35.Пашков А.Г.Об'-'одной, игре сближения.-ПММД970,т.34,вып,5, с.804-811

36. Пашков А-Г.Об одной оценке в дифференциальной игре сближения-ПММ, 1972, т.36, вып.6, с.1015-1021

37. Пашков AT. Об одном достаточном условии для нелинейных позиционных игр сближения-ПММ, 1976, т.40, вып.1, с.168-171

зз. Пашков AT. Об одном подходе к решению некоторых позиционных диффе ре нциа льных игр -Из в. АН СССР.,Те хн.Кибе рне тика,1979, N1, с .17- 22

39. Пашков AT., Терехов С.Д. Об одной игре оптимального преследования двумя объектами одного.-ПММ, 1983, т.47, вып.6, с.898-903

40. Пашков А.Г., Терехов С.Д. Дифференциальная игра сближения двух динамических объетов с третьим.-йзв. АН СССР, МТТ, 1986, Ю, с.66-71

41. Пашков AT. О сравнении решений линейных и нелинейных дифференциальных игр сближения-ПММ, 1986, т.50, вып.5, с.551-560

42\ Пашков А.Г. Об оценке гарантированного результата в нелинейной дифференциальной игре сближения-ПММ, 1990, т.54, вып.5, с.760-766

43. Пашков А.Г.Об одном достаточном условии игр сближения и у клоне ния - Из в.АН СССР, МТТ, 1972, N6, с.44-48

44. Пашков AT., Синицын A.B. Построение функции цены в игре сближения-уклонения двух преследователей с одним убегающим с фазовым ограничением.-Изв.РАН, Техн.кибернетика, 1994, n3, с.152-162

45. Пашков А.Г., Синицын A.B. Построение функции цены в игре сближения-уклонения трех преследующих объектов с одним убегающим -

ПММ, 1995, Т-59, ВЫП.б, С.985 - 994

46. Не трос ян Л.А, Дифференциальные игры преследования. Л. Изд. Ленингр.ун-та, 1§77, 222с.

47. Петросян Л.А., Рихсиев Б.Б. Преследование на плоскости. М., Наука, 1991, 96с.

48. Понтрягин ¿1С. К теории дифференциальных игр- УМН, 1966, т.21, n4, с .219-274

49. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх.i.ДАН СССР,

1967, т.174, n6, с.1278-1280

so. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх.и,ДАН СССР 1967., т.175., N6, с.764-766

51.Понтрягин Л.С.,Мищенко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемой объекта от другого.- ДАН СССР, 1969, т.189, n4, с.721-723

52. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача уклонения от всречи i линейных дифференциальных играх- Дифференциальный уравнения, 1971 N3, с.436-445

53. Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания- Трудь МИАН, 1971, т.112, с.30-36

54. Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра преследования-Мат. сборник, 1980, т.112, N3, с.307-330

55. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.Б., Мищенко Е.Ф Математическая теория оптимальных процессов, М.Наука, 1976, 392с.

56. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектам. Кибернетика, 1976, КЗ, с.145-146

'57. Синицын A.B. Построение Функции цены в игре преследования несколь объектами., ПММ, 199з , т.57 , ВыпД , с.52 - 57

58. Субботин А.И. Обощение основного уравнения теории дифференциальных игр.- ДАН СССР, 1980, т.254, n2, с.293-297

59. Субботин А.И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены игры.- ДАН СССР, 1978, т.243, Ч, с.862-863

60. Субботин А.Й., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры- ПММ, 1982, т.46, вып.2, с.204-211

ei. Субботин АД, Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М., Наука, 1981, 287с.

62. Ушаков В.Н.

а) Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями-ПММ, 1972,Т.36,вып.1 •

б) Минимаксное поглощение в дифференциальных играх-В кн.:Экстремальные стратегии в позиционных дифференциальных играх. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР.

63. Ченцов А.Г. К игрововой задаче наведения- ДАН СССР, 1976, т.226,

Ni, с.73-76

64. Чикрий А.А. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего- ПММ, 1982, т.46, вьш.б, с.906-913

65. Чикрий А.А.., Раппопорт И.С. Линейная задача преследования несколькими управляющими объектами-Кибернетика, 1978, n3? с.86-94

66. Barron E.N., Evans L.C., Jensen R. Viscosity solutions of Isaacs equations and differential games with Lipshitz control. - J. Different. Equat, 1984, v.53, N 2, p.213-223.

67. Basar T. Informationa11 у non-unique equilibrium solutions in differential games. SIAM Journal of Control and Optimization, 1977, v.15, N 4, p.636-660.

68. Botkin N.D., Kein V.M., Patsko V.S., Turova V.L. Aircraft Landing Control in the Presence of Windshear. - Problems of Control and Inform. Theory, ''1939, vol.18, N 4, p.223-235.

69. Bernhard P. Singular surfaces in differential games. - In.: Lecture Notes in Control and Information Sciences, 1977, v.3, p.1-33. 70'. Blaquiere A., Gerard P., Leitmann G. Quantitative and qualitative games. New York: Academic Press, 1969, 172p.

71. Breakwell J.V., Hagedorn P. Point capture of Two Evaders in Succsion. - J. Optimiz. Theory and Appl., 1979, v.27, N 1 p.89-97.

72. Cockayne Y. Plane pursuit with Curvature Constraints. - SIAM J. Appl. Math., 1967, v.15, N 6, p.1511-1516.

73. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity Solutions of Hamilton -Jacobi equations. - Trans. Amer. Math. Soc., 1983, vol. 227, N 1, p.1-42.

74. Elliot R. The existence of value in stochastic differential games. - SIAM Journal of Control and Optimization, 1976, v.14, p.85-94.

75. Fleming W. The convergence problem for differential games - J. Math. Anal. and. Appl., 1961, v.3, N 1, p.102-116.

76. Fleming W. The convergence problem for differential games II. Ann. of Math. Studies, 1964, N 52, p.195-210.

77. Friedman A. Differential games. Pure and Applied Math., v.25. New-York: Wiley - Interscience, 1971, 350p.

78. Getz W.M. , Pachter M. Capture ability in two - target game of two cars. - J. Guidance and Control, 1981, v.4, N 1,p.15-21.

79. Hagedorn P., Breakwell J.V. A differential game with two Pursuers and one Evader. - J. Optimiz. Theory and Appl. , 1976, v. 18, N 1, p.15-29.

80. Hajek 0. Pursuit Games, New York: Academic Press, 1975, 120p.

81. Kakutani'S. A generalization of Brouwer's fixed point theorem. - Duke Math. J., 1941, v.8, N 3, p.457-599.

82. Kelley H.J., Lefton L. Calculation of differential turning barrier surfaces. - J. of Spacecraft and Rockets, 1977, v.14. N2, p.87-95 .

83. Kim Y.S., Cho U.S., Bien Z. A New Guidance Law for Homing Missiles. - J. Guidance, Control and Dynamics, 1985, v.8,N 3, p.402-404 .

84. Krasovskii N.N., Chentsov A.G. On the design of differential games. I. - Probl. Control and Inform. Theory, 1977, v.6, N 5-6, p."381-395 .

85. Krasovskii N.N., Chentsov A.G. On designing differential games II. - Probl. Control and Inform. Theory, 1979, v.8, N 1, p.3-11.

86. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game - Theoretical Problems. - New York etc.. Springer - Verlag, 1988, 518p.

87. Levxhenkov A.I, Pashkov A.G. Differential Game of Optimal Approach of Two Inertial Pursuers to Noninertial Evader. - J. Optimiz. Theory and Appl., 1990, v.65, N 3, p.501-518.

88. Lions P.L., Souganidis P.E. Differential games, optimal control and differential derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs equations. - SIM J. Control Optimiz., 1985, v.23, N 4, p.566-583.

89. Merz A.W. The homicidal chauffer. - AIAA Journal, 1974, v.12, N 3, p.259-260.

90. Merz A.W., Hague D.S. Coplanar tail-chase aerial combat as a differential game. - AIAA Journal, 1977, v.15, N 10, p.1419-1423.

91. Olsder G.J., Breakwell J.V. Role determination in aerial

dogfight. - International Journal of Game Theory, 1974, v.3, p.47-66.

92. Pashkov A.G., Terekhov S.D. A. Differential Game of Approach with Two Pursuers and One Evader. - J. Optimiz. Theoryand Appl., 1987, v.55, N 2, p.303-311.

93. Pachter M., Getz W.M. The geometry of the barrier in the game of two cars. - Optimal Control, Appl. and Methods, 1980, v.l, N 2, p.103-118.

94. Peng W.Y., Wincent W.L. Some aspects of aerial combat. - AIAA Journal, 1975, v.13, N 1, p.7-11.

95. Prasad. V.R., Rajan N., Rao N.J. Planar pursuit - evasion with variable speeds. - Z. Optimiz. Theory and Appl., 1981, v.33, N 3, p.401-439.

96. Shinar J., Medinah M., Biton M. Singular surfaces in a linear pursuit - evasion game with elliptical vectograms. - J. Optimiz. Theory and. Appl., 1984, v.43, N 3, p.p.431-456.

97. Steinhaes H. Definitions of a theory of games and pursuit.-"Mysl.acad.", 1925, vol.1, N 1.

98. Subbotln A.I. Generalization of the Main Equation of Differential Game Theory. - J. Optimiz. Theory and Appl., 19S4, v.43, N 1, p.p.103-133 .

99. Subbotin A.I., Tarasyev A.M. Stability properties of the value function of a Differenial game and a viscosity solutions of Hamilton

- Jacobi equations. - Probl. Control Inform. Theory, 1986, v.15, N 6,

t

p.451-463.