Полугруппы частичных и многозначных изотонных преобразований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ярошевич, Владимир Александрович
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 91
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ярошевич, Владимир Александрович
Введение
1 Изотонные преобразования и их обобщения
1.1 Сохранение бинарного отношения а в полугруппах Т(Х) и РТ(Х).
1.2 Сохранение бинарного отношения а элементами полугруппы В(Х).
1.3 Гомоморфизмы графов
2 Регулярность полугрупп изотонных преобразований
2.1 Регулярность полугрупп преобразований частично упорядоченных множеств.
2.2 Регулярность полугрупп преобразований квазиупорядочен-ных множеств.
2.3 Регулярность Та(Х), где = ш.
3 Отношения делимости и отношения Грина
3.1 . Связь отношений делимости с ядрами и образами изотонных преобразований.
3.2 Потенциальная делимость.
3.3 Делимость матриц над дистрибутивными решётками
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Полугруппы изотонных преобразований частично упорядоченных множеств2008 год, кандидат физико-математических наук Ким, Виктор Иргюевич
Определители булевых матриц и их приложения2012 год, доктор физико-математических наук Поплавский, Владислав Брониславович
Индуцированные порядки в булевых решетках и фактор-отношениях универсального отношения1999 год, кандидат физико-математических наук Одинцов, Вадим Анатольевич
Полигоны и мультиполигоны над некоторыми классами полугрупп2011 год, кандидат физико-математических наук Максимовский, Михаил Юрьевич
Сложность задачи проверки тождеств в конечных полугруппах2008 год, кандидат физико-математических наук Гольдберг, Светлана Викторовна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полугруппы частичных и многозначных изотонных преобразований»
Общая характеристика работы
Актуальность исследования. Исследование полугрупп преобразований, сохраняющих структуру множества, является интересной и важной задачей общей алгебры. К таким полугруппам относятся, в частности, полугруппы эндоморфизмов графов, полугруппы непрерывных преобразований топологических пространств, полугруппы отображений частично упорядоченных множеств, сохраняющих порядок (т.е. изотонных).
Хорошо известно, что любая полугруппа вкладывается в полугруппу преобразований некоторого множества. Этот факт свидетельствует о важности полугруппы преобразований в теории полугрупп. Если на данном множестве задана некоторая структура (например, отношение порядка), то естественно рассматривать полугруппы таких отображений, которые сохраняют данную структуру. Данная диссертация посвящена изучению полугрупп изотонных частичных и многозначных преобразований частично упорядоченных и квазиупорядоченных множеств.
Свойства полугруппы изотонных преобразований изучались многими авторами. Л.М. Глускин [5] доказал, что полугруппа Т<-(Х) определяет квазиупорядоченное множество X с точностью до изоморфизма или антиизоморфизма. А. Я. Айзенштат [1] получила представление полугруппы Т^(Х) образующими элементами и определяющими соотношениями в случае, когда X — цепь из п элементов. В другой работе А. Я. Айзенштат [2] получила описание частично упорядоченных множеств X, у которых полугруппа Т^(Х) регулярна. В случае счетной цени X более прозрачные условия регулярности получили В. И. Ким и И. Б. Кожухов [10]. Комбинаторным аспектам полугруппы Т^(Х) посвящены работы А. Умара и А. Лараджи [40, 42].
Возможны различные подходы к пониманию изотонности частичных преобразований. В работе предложены два неэквивалентных способа этого.
Хорошо известно (см. [11]), что полугруппы полных преобразований Т(Х) и частичных преобразований РТ(Х) регулярны для любого множества X. Полугруппа бинарных отношений В(Х) регулярна при \Х\ ^ 2 и нерегулярна при |Х| ^ 3. Известны [7] условия регулярности отдельного элемента а 6 В(Х).
Естественно поставить вопрос о том, при каких условиях на частично упорядоченное множество (X, — отношение порядка) полугруппа частичных отображений, сохраняющих отношение является регулярной. В работе получен исчерпывающий ответ для обоих вариантов сохранения ^ частичным отображением. Кроме этого, описание продолжено на случай, когда частичный порядок заменён квазипорядком.
Многозначные отображения — это в точности бинарные отношения на множестве X. Придерживаясь аналогии с Т(Х), можно сформулировать, что означает сохранение бинарного отношения а элементами из В{Х). В работе предложено два определения. Очевидно, что каждое из них сужает полугруппу В(Х) до некоторого подмножества. Оказывается, что в обоих случаях эти подмножества образуют полугруппы с единицей (т.е. моноиды).
Множество X с заданным на нём бинарным отношением а можно рассматривать как ориентированный граф с множеством вершин X. Из вершины х в вершину у идёт ребро тогда и только тогда, когда пара (.т, у) принадлежит а. Гомоморфизм графов (X, а) и (У, т) — это отображение а множества вершин графа X в У, сохраняющее рёбра (т.е., если пара (ж, х') принадлежит а, то пара (ха, х'а) должна принадлежать г). Понятие гомоморфизма графов допускает усиления [21].
В теории полугрупп важное значение имеют отношения Грина. Хорошо Ч известно [11, т. 1, § 2.2], что в полугруппе полных преобразований неупорядоченного множества X отношения Грина и ££ можно выразить через ядра и образы этих преобразований. Интересно выяснить, что произойдёт, если вместо Т{Х) взять Т^(Х) и РТ^(Х). Прежние утверждения в общем случае перестанут быть верными. В данной работе получены результаты для случая, когда X - цепь.
Отношения Грина непосредственно связаны с отношениями делимости одного элемента на другой. Именно, ££ можно выразить через отношения левой делимости, а & — через отношение правой делимости.
Элемент а может не делиться на Ъ в полугруппе но делиться в какой-нибудь надполугруппе, содержащей Б. Так возникает понятие потенциальной делимости. В данной работе доказано совпадение отношений делимости и потенциальной делимости в полугруппе В(Х).
Полугруппа В(Х) бинарных отношений на множестве X — это фактически полугруппа матриц X х X с элементами из булевой алгебры {0,1}. Можно рассматривать более общий случай матриц над дистрибутивной решёткой Ь. Для матриц конечного размера достаточно требования дистрибутивности решётки Ь, в противном случае необходимо условие типа бесконечной дистрибутивности. В ряде работ рассматривались матрицы конечных и бесконечных размеров не только над решёткой {0,1}, но и над другими дистрибутивными решётками. Теория булевых матриц обстоятельно изложена в известной монографии Кима [38]. Отношения Грина для матриц над булевыми алгебрами изучались В. Б. Поплавским [14]. В данной работе рассмотрено, как устроены отношения потенциальной левой и правой делимости, а также обобщённые отношения Грина в полугруппе матриц над дистрибутивными решётками для некоторых типов решёток.
Объектом исследования в работе являются полугруппы частичных и многозначных изотонных преобразований частично упорядоченных, а также квазиупорядоченных множеств.
Описание классов отношений Грина, нахождение условий регулярности полугрупп частичных и многозначных изотонных преобразований различных частично упорядоченных и квазиупорядоченных множеств является предметом исследования.
Цели и задачи исследования данной работы заключаются в исследовании алгебраического строения полугрупп изотонных частичных и многозначных преобразований частично упорядоченных и квазиупорядоченных множеств.
Методы исследования. В работе использованы методы алгебраической теории полугрупп и теории частично упорядоченных множеств. Для проверки некоторых гипотез и получения информации о строении полугрупп был использован компьютер.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. И. Б. Кожуховым. Постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем.
Достоверность результатов полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы алгебраической теории полугрупп и теории частично упорядоченных множеств.
Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов о строении полугрупп изотонных частичных и многозначных преобразований множеств, на которых задано бинарное отношение, в частности, частично упорядоченных и квазиупорядоченных множеств. Полученные результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения изотонных полугрупп преобразований (в частности, полугрупп частичных преобразований, а также многозначных преобразований).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова, на Международной научной конференции «Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры» (Саратов, СГУ, 2008 год), на 77th Workshop on General Algebra (Потсдам, 2009 год), на 16-ой Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009» (Москва, МИЭТ, 2009 год), на IV Всероссийской научно-методической конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России. Оценка качества математических знаний студентов и школьников» (Киров, ВятГГУ, 2009 год) и на Седьмой Международной Алгебраической Конференции в Украине (Харьков, 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([55]-[63]), из них 1 статья [55] в журнале из списка ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на 6 параграфов. Текст диссертации изложен на 91 странице. Список литературы содержит 63 наименования.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Алгебраическая геометрия над полугруппами и булевыми алгебрами2017 год, кандидат наук Шевляков, Артём Николаевич
Тождества и квазитождества в решетках многообразий полугрупп и связанные с ними конгруэнции2004 год, доктор физико-математических наук Верников, Борис Муневич
Линейная алгебра над полукольцами2015 год, доктор наук Шитов Ярослав Николаевич
Представление решеток решетками конгруэнций полугрупп2018 год, кандидат наук Попович, Александр Леонидович
Проблема конечного базиса для полугрупп преобразований2006 год, кандидат физико-математических наук Гольдберг, Игорь Александрович
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ярошевич, Владимир Александрович, 2009 год
1. АйзенштатА.Я. Определяющие соотношения полугруппы эндоморфизмов конечного линейного упорядоченного множества // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, №2. 161-169.
2. АйзенштатА. Я. Регулярные полугруппы эндоморфизмов упорядоченных множеств // Уч. зап. Ленинградского гос. пед. ин-та им. А.И.Герцена, 1968, т. 387, 3-11.
3. Богомолов A.M., СалийВ.И. Алгебраическая теория управляющихсистем // М., Наука, 1997.
4. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений //Сб. «Теория полугрупп и её приложения», вып. 1, 1965, изд-во Саратовского ун-та, 3-178.
5. ГлускинЛ. М. Полугруппы изотонных преобразований // Успехи мат.наук, 1961, 5 (101), 16, 157-162.
6. ГретцерГ. Общая теория решёток // М., «Наука», 1982.
7. ЗарецкийК.А. Полугруппа бинарных отношений // Матем. сб., 1963,61 (103), 3, 291-305.
8. Жучок Ю. В. Полугруппы эндоморфизмов 2-нильпотентных бинарных отношений // Фундамент, и прикл. матем., 2008, т. 14, №6, с. 75-83.
9. Ким В. И. Полугруппы конечных и коконечных изотонных преобразований // МИЭТ. Москва, 2007. 15с. Деп. в ВИНИТИ 29.06.2007 685В2007. Литература 86
10. Ким В. И., Кожухов И. В. Условия регулярности полугрупп изотонныхпреобразований счетных цепей // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, №8. 97-104.
11. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, тт. 1,2 //М., «Мир», 1972.
12. ЛаллеманЖ. Полугруппы и комбинаторные приложения // М.,«Мир», 1985.
13. ЛяпинЕ. Полугруппы // М., Физматлит, 1960.
14. ПоплавскийВ. Б. О рангах, классах Грина и теории определителейбулевых матриц // Дискретн. матем., 2008, т. 20, вып. 4, с. 42-60.
15. Скорняков Л. А. Элементв теории структур // М., «Наука», 1970.
16. ШевринЛ.Н. Полугруппы // Сб. СМБ, «Общая алгебра», М., «Наука», 1991, т. 2, 11-191.
17. Шутов Э. Г. Потенциальная делимость элементов в полугруппах //Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. Герцена, 1958, 166, с. 75-103.
18. Adams М. Е., Bulman-FlemingS., Gould М. Endomorphism properties ofalgebraic structures // Order, 1989, 6, 195-201.
19. Adams M.E., Gould M. Posets whose monoids of order-preserving mapsare regular // Order, 1989, 6, 195-201.
20. Adams M.E., Gould M. Finite posets whose monoids of order-preservingmaps are abundant // Acta Sci. Math. (Szeged) 67 (2001), 3-37.
21. Botcher M., KnauerU. Endomorphism spectra of graphs // DiscreteMathematics 109 (1992) 45-57, North-Holland.
22. BotcherM., KnauerU. Postscript «Endomorphism spectra of graphs» //Discr. Math., 2003, 270, 329-331.
23. Catarino P. Complete semigroups of transformations on a finite chain //1.ternational Conference on Semigroups and related topics, Porto, July 6-11, 2009, p. 19-20. Литература 87
24. Chajdal. Homomorphisms of directed posets // Asian-European Journalof Mathematics, 2008, Vol. 1, No. 1, 45-51.
25. ChanmuangPh., ChinramR. Some remarks on regularity of generalizedtransformation semigroups // International Journal of Algebra, 2008, Vol. 2, No. 12, p. 581-584.
26. ChinramR. Regularity and Green's relations of generalized partialtransformation semigroups // Asian-European Journal of Mathematics, 2008, Vol. 1, No.3, p. 295-302.
27. Clark C.E., CarruthJ.H. Generalized Green's theories // SemigroupForum, 1980, 20, p. 95-127.
28. Clifford A. H., Miller D.D. Union ans symmetry preservingendomorphisms of the semigroup of all binary relations on a set // Czechoslovak Mathematical Journal, 1970, 20, 303-313.
29. DuffusD., WilleR. A theorem on partially ordered sets of order-preservingmappings // Proceedings of the American Mathematical Society, 1979, vol. 76, num. 1, p. 14-16.
30. Femandes V.H., Gomes G.M.S. Presentations for some monoids of partialtransformations on a finite chain // Communications in Algebra, 2005, 33, 587-604.
31. Femandes V.H. Semigroups of Order Preserving Mappings on a FiniteChain: A New Class of Divisors // Semigroup Forum, 1997, 34, p. 230236.
32. Fountain J. B. Abundant semigroups // Proc. London Math. Soc, 1982,44, No.3, p. 103-129.
33. Gallagher P., RuskucN. Generation of diagonal acts of some semigroups oftransformations and relations // Bull. Austral. Math. Soc, 2005, Vol.72, p. 139-146. Литература 88
34. Gomes G. M. S., Howie J. M. On the ranks of certain semigroups of orderpreserving transformations // Semigroup Forum, 1992, 45, 272-282.
35. Hardy D., Pastijn F. The maximal regular ideal of the semigroup of binaryrelations // Czechoslovak Mathematical Journal, 1981, 31, 194-198.
36. HuishengP., DingyuZ. Green's equivalences on semigroups of transformations preserving order and an equivalence relation // Semigroup Forum, 2005, 71, 241-251.
37. Jackson M. Semigroups of relations // International Conference onSemigroups and related topics, Porto, July 6-11, 2009, p. 33-34.
38. KimK. H. Boolean matrix theory and applications // Marcel Dekker Inc.,1982.
39. KnauerU., NieporteM. Endomorphisms of graphs // Arch. Math., 1989,52, 607-614.
40. LaradjiA., UmarA. Combinatorial results for semigroups of orderpreserving partial transformations // King Fahd Univ. of Petroleum & Minerals (Sandi Avabia), Dept. Math. Sci. Technical Report Series. 2004. p. 1-18.
41. LaradjiA., UmarA. On certain finite semigroups of order-decreasingtransformations // King Fahd Univ. Petroleum & Minerals. Tech. Rep. Ser., 2003, 1-19.
42. LaradjiA., UmarA. On the number of nilpotents in the partial symmetricsemigroup // Communications in Algebra, 2004, 8, 3017-3032.
43. Levi I. Nilpotent ranks of semigroups of partial transformations //Semigroup Forum, 2006, 72, 459-476.
44. LiW. Split graphs with completely regular endomorphism monoids //Journal of mathematical research and exposition, 2006, Vol.2, No.2, 253263. Литература 89
45. MarkowskyG. Ordering D-classes and computiry Schein rank is hard. //Semigroup Forum, 1992, v. 44, p. 373-375.
46. MaeulovicD., PoschelR. Lifted transformation monoids and theircharacterization by relations and co-relations // Contributions to general algebra 12 Proceeding of the Vienna Conference, June 3-6, 1999, Verlag Johannes Heyn, Klagenfurt 2000, 273-287.
47. MolcanovV.A. Concrete characterization of partial cndomorphismsemigroups of graphs // Acta Sci. Math., 1987, 51, 349-363.
48. MolchanovV. A. Semigroups of mappings on graphs // Semigroup Forum,1983, 27, 155-199.
49. PlemmonsR.J., WestM.T. On the semigroup of binary relations // Pacificjournal of mathematics, 1970, Vol. 35, No. 3 p. 743-753.
50. Quinteiro Т. M. Bilateral semidirect product decompositions oftransformation monoids // International Conference on Semigroups and related topics, Porto, July 6-11, 2009, p. 71-72.
51. SchwarzS. On the semigroup of binary relations on a finite set //Czechoslovak Mathematical Journal, 1970, 20, p. 632-679.
52. Schein B.M. A construction for idempotent binary relations // Proc.Japan Acad., 1970, Vol.46, p.246-247.
53. WilkeitE. Graphs with a regular endomorphism monoid // Arch. Math.,1996, 66, 344-352.
54. YangX. Extensions of Clifford subsemigroups of the finite symmetricinverse semigroup // Communications in Algebra, 2005, 33, 381-391. Литература 90 Работы автора по теме диссертации
55. ЯрошевичВ. А. Отображения, согласующиеся с бинарными отношениями // «Математический вестник педвузов и университетов ВолгоВятского региона», Киров, 2009. Вып. 11, с. 135-142.
56. Кожухов И. В., ЯрошевичВ. А. Полугруппы отображений, сохраняющих бинарное отношение // Фундамент, и прикл. матем., 2008, т. 14, №7, с. 129-135.
57. Кожухов И. В., ЯрошевичВ. А. О полугруппах частичных и полныхизотонных преобразований // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры», Саратов, 2008, с. 115-116.
58. ЯрошевичВ. А. О потенциальной делимости матриц над решётками// Материалы 16-ой Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009», Москва, 2009, с. 144.
59. Yaroshevich V. Maps which are Concordant with Binary Relations // Материалы конференции 77th Workshop on General Algebra, Institute of Mathematics Potsdam, Германия, 2009, с. 41.
60. ЯрошевичВ. А. Полугруппы частичных изотопных преобразованийквазиупорядоченных множеств // МИЭТ - Москва, 2009. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 03.07.09, №443-В2009.
61. Yaroshevich V. A. On the divisibility of partial isotone transformations //Материалы 7 t h International Algebraic Conference in Ukraine, Харьков, 2009, с. 152-153.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.