Особенности локальной управляемости семейств полисистем на поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Комаров, Михаил Анатольевич

• Комаров, Михаил Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Комаров, Михаил Анатольевич

Введение

1. Локальная управляемость в типичных двупараметриче-ских семействах 2-систем на плоскости

1.1. Классификация случаев локальной управляемости.

1.1.1. Основная теорема

1.1.2. Доказательства вспомогательных утверждений

1.1.3. Локальная управляемость за малое время.

1.2. Бифуркации локальной управляемости: неособый случай.

1.3. Локальная управляемость вблизи точки, особой для обоих полей.

2. Локальная управляемость в типичных однопараметриче-ских семействах полисистем на плоскости

2.1. Классификация случаев локальной управляемости полней- j стем в точке, неособой для каждого из полей.

2.2. Классификация случаев локальной управляемости в типичных однопараметрических семействах полисистем.

2.3. Множества локальной управляемости типичных однопараметрических семейств 3-систем.

2.3.1. Нормальные формы семейства 3-систем.

2.3.2. Нормальные формы множества локальной управля- т емости семейства 3-систем.

2.4. Обобщение на полисистемы.Ill |

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности локальной управляемости семейств полисистем на поверхностях»

Активное изучение локальной управляемости систем - возможности перевести систему в заданное состояние из любого близкого к нему за конечное время - началось в середине прошлого века вслед за возникновением математической теории оптимального управления. К примеру, локальная управляемость в нуле есть необходимое условие существования решения вблизи нуля задачи синтеза оптимального быстродействия в нуль, а более жёсткое требование нормально-локальной управляемости [23] в нуле, т.е. существование по любому Т > 0 окрестности нуля, из каждой точки которой можно попасть в нуль за время, меньшее Т, - необходимое условие корректности [9, 10, 16] постановки этой задачи синтеза для автономной системы.

Управляемые системы с конечным набором С/ значений управляющего параметра, каждому из которых соответствует гладкое поле допустимых скоростей движения, называют динамическими полисистемами [31] (или полисистемами, или, в случае \и\ = к, к-системами). Этот класс систем тесно связан с классом аффинных по управлению систем, имеющим многочисленные приложения. Именно, рассмотрим систему

X = Мх) + тЬ{х) +. + щ/к{х), X е ]Г\ (5) с к входами, гладкими функциями fj и областью управления и = {и — (щ,.,щ) £ : 0 < из < 1,з = 1,2,., к}. Для этой системы определены так называемые управления типа „плюс, минус, нуль" - нулевое и — 0 и все управления вида (0,., 0,1, 0,., 0), где одно из и^ равно 1, а остальные равны 0. Оказывается [18], внутренность множества достижимости (относительно измеримых управлений) типичной системы (»5) достижима при помощи управлений типа „плюс, минус, нуль" (здесь и далее типичными мы называем объекты из некоторого открытого всюду плотного подмножества в пространстве объектов в подходящей топологии). Очевидно, система (б*), ограниченная на управления типа „плюс, минус, нуль", является (£;+ 1)-системой, следовательно, локальная управляемость (5) равносильна локальной управляемости некоторой (к + 1)-системы.

К первым классическим результатам о локальной управляемости относится теорема Лассаля о локальной управляемости в нуле в1", п > 1, линейной системы х = Ах+Ви с постоянными матрицами А, В и управлением и из множества в линейном пространстве, содержащем нуль внутри себя, при условии, что ранг матрицы (В: АВ,., Ап~1В) равен п. Калман доказал локальную управляемость в нуле общей дифференцируемой системы х = /(х,и), /(0,0) = 0, линеаризация которой в нуле удовлетворяет условию Лассаля. В цикле статей Н.Н.Петрова [25, 22, 26, 23, 21, 20] получен ряд достаточных условий локальной и нормально-локальной управляемости для систем общего вида, установлена связь нормально-локальной управляемости с непрерывностью и липшицевостыо функции Беллмана задачи оптимального быстродействия, а для двумерных аналитических полисистем найдены необходимые и достаточные условия нормально-локальной управляемости и показано, что это свойство может быть установлено по конечному отрезку тейлоровского разложения полей скоростей в изучаемой точке. В частности, в статье [25] доказана

Теорема 0.1. Для локальной управляемости полисистемы в некоторой точке необходимо, чтобы нулевая скорость лежала в выпуклой оболочке скоростей системы в этой точке, и достаточно, чтобы скорости образовывали в ней положительный базис, т.е. чтобы любой другой вектор мог быть записан как их положительная линейная комбинация.

Следующая теорема, полезная в дальнейшем, в явном виде есть в статье

20] для аналитического случая и может быть получена из результатов [25] для гладкого случая:

Теорема 0.2. Если в некоторой точке скорости 2-системы на плоскости ненулевые, и их фазовые кривые касаются друг друга с конечным порядком, то локальная управляемость в этой точке есть тогда, и только тогда, когда скорости в ней противоположно направлены, а порядок касания их фазовых кривых нечётный.

В работах А.А.Давыдова [3, 4] изучены типичные особенности локальной управляемости общих гладких систем и динамических неравенств на поверхностях.

Во всех этих работах, равно как и в недавних статьях В.М.Закалюкина и А.Н.Курбацкого [6, 7] о типичных особенностях множества точек с локальной управляемостью для систем в К3, зависимость локальной управляемости от параметра не изучалась, за исключением работ, в которых анализировалась непрерывность зависимости от параметра нормально-локальной управляемости [9, 10, 23].

Первые результаты в важной для приложений задаче анализа бифуркаций локальной управляемости семейств систем были получены Л.Азе-ведо [30], которая классифицировала такие бифуркации для типичных од-нопараметрических семейств 2-систем на поверхностях. С этой классификацией связаны результаты об инвариантах семейств аффинных по управлению систем относительно гладких замен координат и аффинных замен управления, полученные недавно польскими математиками Б.Якубчиком и В.Респондеком [32] и М.Рупниевским [33], однако, прямого отношения к локальной управляемости они не имеют.

Используемое в диссертации определение локальной управляемости (коротко - л.у.) отличается от классического, а именно:

Определение 1. Полисистема называется локально управляемой в точке Р фазового пространства, если для любой окрестности II этой точки найдутся меньшая окрестность V С и и время Т > 0, такие что через каждую точку V проходит допустимое движение, переводящее Р в себя за время, меньшее Т, и не покидающее II. Это движение будем называть циклом.

Такое определение представляется разумным для приложений, и наши результаты косвенно устанавливают его эквивалентность классическому для изучаемых в диссертации классов систем, однако, равносильность определений для общих гладких систем не доказана. Мы рассматриваем и аналог нормально-локальной управляемости:

Определение 2. Полисистема локально управляема за малое время в точке Р фазового пространства, если для любого Т > 0 найдутся окрестность и этой точки и меньшая окрестность V С С/, такие что через каждую точку окрестности V проходит некоторое двио/сение, I переводящее Р в себя за время, меньшее Т, и не покидающее II.

Отметим, что из результатов [22] легко вытекает полезное

Следствие'0.1. 2-система не может быть локально управляема за малое время в точке, особой для одного из её полей.

Определение 3. Множеством локальной управляемости семейства систем называется объединение всех точек из пространства семейства (произведения фазового пространства систем на пространство параметра семейства), в которых системы семейства локально управляемы.

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1) классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для однопараметрических семейств полисистем и двупарамет-рических семейств 2-систем на плоскости;

2) классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для семейств полисистем с параметром конечной размерности на плоскости вне особых точек полей скоростей;

3) классификация типичных особенностей множества локальной управляемости однопараметрических семейств полисистем на плоскости, а также двупараметрических семейств 2-систем на плоскости вне общих особых точек полей скоростей;

4) описание структуры множества локальной управляемости типичного двупараметрического семейства 2-систем на плоскости вблизи общей особой точки полей скоростей системы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы. Теоремы, следствия, предложения, леммы и формулы нумеруются по главам; нумерация определений, примеров и таблиц сквозная.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Комаров, Михаил Анатольевич, 2009 год

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1971. - 240 с.

2. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. - 296 с.

3. Давыдов А. А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сборник. 1988. - Т. 136 (178), вып. 4. - С. 478-499.

4. Давыдов А. А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Труды МИАН. 1995. - Т. 209. - С. 84-123.

5. Давыдов А. А., Комаров М. А. Бифуркации локальной управляемости в семействах бидинамических систем на плоскости // Труды МИАН.- 2008.-Т.261.-С. 87-96.

6. Закалюкин В.М., Курбацкий А. Н. Особенности огибающих семейств поверхностей в теории управления // Труды МИАН. 2008. - Т. 262.- С. 73-86.

7. Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в I3 // Современные проблемы матем. и механ. М.: МГУ, 2009.

8. Ильяшенко Ю.С., Ли В. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО : ЧеРо, 1999. - 416 с.

9. Кириллова Ф.М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования // Изв. вузов. Матем. 1958. - № 4 (5). - С. 113126.

10. Кириллова Ф.М. О непрерывной зависимости решения одной задачи оптимального регулирования от начальных данных и параметров // Успехи матем. наук. 1962. - Т. 17, № 4 (106). - С. 141-146.

11. Комаров М. А. Локальная управляемость в типичных двупарамет-рических семействах бидинамических систем на плоскости / / Труды ВлГУ. Владимир, 2007. - Вып. 3. - С. 66-75.

12. Комаров М.А. Локальная управляемость в типичных двупарамет-рических семействах бидинамических систем на плоскости // Успехи матем. паук. 2008. - Т. 63, вып. 2. - С. 173-174.

13. Комаров М. А. Множества локальной управляемости однопараметри-ческих семейств двумерных полисистем // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 3-7 июля 2009 : тезисы докладов. М.: МИАН, 2009. - С. 95-96.

14. Красовский Н. Н. К проблеме существования оптимальных траекторий // Изв. вузов. Матем. 1959. - № 6 (13). - С. 81-87.

15. Ливеровский A.A., Петров H.H. Нормальная локальная управляемость // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, №9. - С. 1520-1528.

16. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. - С. 134-173.

17. Петров Н. Н. Зависимость функции Беллмана от параметра для двумерных систем управления // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, №5. - С. 664-671.

18. Петров H.H. Замечание о плоских аналитических системах управления // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 4. - С. 743-744.

19. Петров Н. Н. Некоторые вопросы теории управления в плоскости //' Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, №6. - С. 1058-1067.

20. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, №7. - С. 1218-1232.

21. Петров Н. Н. О непрерывности обобщённой функции Беллмана // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6, №2. - С. 373-374.

22. Петров Н. Н. О функции Беллмана для задачи оптимального быстродействия // Прикладная матем. и мех. 1970. - Т. 34, №5. - С. 820-826.

23. Петров H.H. Об управляемости автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, №4. - С. 606-617.

24. Петров H.H. Решение одной задачи теории управляемости // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, №5. - С. 962-963.

25. Петров Н. Н. Управляемые системы, подобные системам с выпуклой вектограммой // Вестник ЛГУ. 1974. - №1. - С. 63-69.

26. Понтрягин JI.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. - 332 с.

27. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

28. Azevedo L. Transitividade Local de Sistemas Polidinamicos: MS Thcs. -Porto, 2006.

29. Bushaw D. Dynamical polysystems and optimization // RIAS Tech. Report. 1963. P. 63-10.

30. Jakubczyk В., Respondek W. Bifurcations of 1-parameter families of control-affine systems in the plane // SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 44, № 6. P. 2038-2062.

31. Rupniewski M. Local bifurcations of control-affine systems in the plane // Journal of Dynamical and Control Systems. 2007. Vol. 13, № 1. P. 135-159.