Обратное стресс-тестирование кредитного портфеля банка на основе системно-динамических моделей заемщиков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Куренной Дмитрий Святославович

• Куренной Дмитрий Святославович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Куренной Дмитрий Святославович

решению

1.1 Стресс-тестирование как метод анализа рисков

1.2 Парадигма системной динамики

1.3 Модели АШМА-ОАЯСН

1.4 Приближенное динамическое программирование

1.5 Постановка задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля

Выводы по главе

Глава 2. Системно-динамические модели предприятий-заемщиков

2.1 Модели предприятий различных отраслей российской экономики

2.1.1 Модель нефтедобывающего и нефтеперерабатывающего предприятия

2.1.2 Модель компании - импортера алкогольной продукции

2.1.3 Модель сельскохозяйственного холдинга

2.1.4 Модель металлургической компании

2.1.5 Модель производителя микроэлектроники

2.1.6 Модель автомобильного дилера

2.2 Оценка вероятности дефолта компании на основе системно-динамической модели

Выводы по главе

Глава 3. Методы и программные средства решения задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля банка на основе системно-динамических моделей заемщиков

3.1 Алгоритм решения задачи обратного стресс-тестирования на основе системно-динамических моделей заемщиков

3.1.1 Общая схема алгоритма динамического программирования

3.1.2 Формальное описание алгоритма решения задачи обратного стресс-тестирования

3.1.3 Пример неоптимальной работы алгоритма приближенного динамического программирования

3.2 Описание комплекса программ, реализующего разработанный алгоритм

3.2.1 Среда моделирования т81§Ь1такег

3.2.2 Пакет прикладных программ Ма1!аЬ

3.2.2 Описание исследовательского программного комплекса на основе МайаЬ

3.3 Численные результаты работы алгоритма

3.3.1 Пример построения сценариев обратного стресс-тестирования кредитного портфеля

3.3.2 Сравнение результатов алгоритма приближенного динамического программирования с результатами генетических алгоритмов

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение. Динамика макроэкономических переменных в построенном стресс-сценарии факторов риска

Введение

Актуальность темы исследования

Стресс-тестирование является важным современным инструментом анализа рисков финансовых организаций [28], который позволяет определить их устойчивость по отношению к различным сценариям факторов риска. Классическая процедура стресс-тестирования, в частности, дает возможность вычислить уровень потерь организации, обусловленный реализацией конкретного стресс-сценария.

Однако, финансовый кризис 2008 года выявил определенные недостатки данного подхода [56]. Стресс-сценарии факторов риска, построенные в результате макроэкономического моделирования, как правило, существенно отличаются от реальных шоковых событий. С другой стороны, стресс-тесты, опирающиеся на исторические данные об изменении факторов риска, могут не учитывать условия наступающего экономического кризиса. Методы стресс-тестирования, основанные на проверке гипотетических сценариев, сталкиваются также с проблемой оценки вероятности рассматриваемых гипотетических шоковых событий. Поэтому в настоящее время регуляторы банковской сферы в качестве одной из главных процедур оценки рисков предписывают проведение банками обратного стресс-тестирования [50, 109, 110].

Обратное стресс-тестирование [20, 25] заключается в построение наиболее реалистичных сценариев, приводящих к заданному уровню финансовых потерь, либо в определении стресс-сценариев, максимизирующих финансовые потери и удовлетворяющих определенному критерию правдоподобия. Результаты обратного стресс-тестирования могут быть использованы, в частности, для принятия управленческих решений, позволяющих смягчить последствия реализации определенных сценариев.

Применительно к кредитному риску в рамках обратного стресс-тестирования формируются макроэкономические сценарии, которые приводят к максимальной величине потерь кредитного портфеля вследствие дефолтов заемщиков. Однако, модели оценки кредитного риска, распространенные на данный момент времени, не приспособлены для решения задач обратного стресс-тестирования [29, 108]. Известные модели не учитывают структуру конкретных компаний, не позволяют исследовать развитие кризисных явлений во времени и предполагают наличие большой выборки данных об аналогичных предприятиях.

Данная работа демонстрирует возможность решения задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля банка на основе системно-динамических моделей заемщиков [95, 96, 97]. Такой метод позволяет преодолеть указанные недостатки.

Системная динамика [23, 67] представляет собой подход имитационного моделирования, заключающийся в описании структуры и динамики сложных систем на основе концепции потоков, накопителей и обратных связей, которым соответствует формальное представление в виде системы дифференциальных уравнений. Такой метод был впервые предложен Джеем Форрестером в 1950-х годах для анализа нестабильности рабочих мест в компании, с которой он сотрудничал. При помощи построенных моделей ему удалось показать, что главная причина колебаний рабочих мест была связана с внутренней структурой фирмы и не зависела от внешних факторов.

В последующие годы идея представления сложных объектов и явлений в виде системно-динамических моделей получила активное распространение, формальное описание и собственные средства компьютерного моделирования.

Разработка системно-динамической модели начинается с описания структуры исследуемого объекта или явления в виде потоковых диаграмм, а также определения характеристик взаимодействия его различных частей. Представленная в такой форме модель уточняется при помощи компьютерной симуляции, тестирования различных гипотез о ее поведении и проверки построенных взаимосвязей на тестовых данных.

Решение оптимизационной задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля, представленного системно-динамическими моделями заемщиков, является на данный момент актуальным направлением исследований.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка, обоснование и реализация алгоритма решения задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля, представляемого системно-динамическими моделями предприятий-заемщиков.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

1. Построить системно-динамические модели предприятий различных отраслей российской экономики, учитывающие структуру и динамику производственно-финансовой деятельности каждой компании. Провести анализ полученных моделей.

2. Построить многомерную АШМА-ОАЯСН-модель макроэкономических переменных, являющуюся основой для построения сценариев факторов риска, которые обеспечивают максимум финансовых потерь кредитного портфеля в результате дефолтов заемщиков.

3. Разработать и исследовать алгоритм, основанный на принципах приближенного динамического программирования и решающий задачу обратного стресс-тестирования. Изучить свойства полученного алгоритма.

4. Реализовать разработанный метод с помощью современных средств программирования и провести ряд численных экспериментов, реализующих процедуру обратного стресс-тестирования на основе полученного алгоритма и с использованием построенных системно-динамических моделей. Сравнить результаты разработанного метода с генетическим алгоритмом.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются математические методы и модели, предназначенные для анализа и оценки кредитного риска. Предметом исследования являются оптимизационные алгоритмы и имитационные модели, обеспечивающие решение задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля.

Методы исследования

В работе применены математические методы исследования операций, в том числе имитационного моделирования, теории оптимизации, статистические методы анализа временных рядов и регрессионного анализа.

Научная новизна исследования

1. Моделирование.

1.1. Предложен новый подход к проведению процедуры обратного стресс-тестирования, учитывающий структуру предприятий-заемщиков и динамику их показателей во времени.

1.2. Разработаны системно-динамические модели предприятий, обеспечивающие возможность анализа производственной и финансовой деятельности исследуемых компаний.

1.3. Продемонстрированы возможности использования системно-динамической модели для оценки вероятности банкротства предприятия. Подтверждена адекватность системно-динамических моделей путем сравнения вероятности дефолта предприятия, рассчитанной на основе соответствующей модели, с данными рейтинговых агентств.

1.4. Идентифицирована многомерная ARIMA-GARCH-модель, являющаяся основой для определения сценариев факторов риска, которые обеспечивают максимум финансовых потерь кредитного портфеля.

2. Численные методы.

2.1. Разработан и исследован метод решения оптимизационной задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля банка на основе системно-динамических моделей заемщиков.

2.2. Доказаны утверждения, которые позволяют сделать выводы о свойствах и применимости данного метода. Эти утверждения указывают на свойства функций,

фигурирующих в подзадачах разработанного алгоритма, и обосновывают корректность применения метода последовательного квадратичного программирования к данным подзадачам.

3. Комплекс программ.

3.1. Создан комплекс программ, реализующий полученный алгоритм и позволяющий строить сценарии обратного стресс-тестирования.

3.2. Выполнены эксперименты по построению сценариев обратного стресс-тестирования для кредитного портфеля из шести заемщиков на временном периоде пяти лет, которые демонстрируют применение разработанного метода к задаче построения макроэкономических сценариев. Результаты разработанного численного метода сравниваются с результатами решения задачи при помощи генетического алгоритма.

Теоретическая и практическая значимость

Разработан общий подход к построению системно-динамических моделей заемщиков, используемых для решения оптимизационной задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля.

Представлен способ оценки вероятности дефолта предприятий с помощью системно-динамических моделей.

Разработан алгоритм, позволяющий формировать макроэкономические сценарии, способные привести к убытку кредитного портфеля, который соответствует локальному экстремуму оптимизационной задачи. При этом обеспечивается заданный уровень правдоподобия сценариев. Доказанные утверждения позволяют сделать выводы о свойствах и применимости разработанного алгоритма. Эти утверждения описывают свойства функций, фигурирующих в подзадачах алгоритма, и обосновывают корректность применения метода последовательного квадратичного программирования к данным подзадачам.

Результаты применения алгоритма могут быть использованы для принятия управленческих решений, позволяющих смягчить последствия реализации полученных сценариев.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны и исследованы системно-динамические модели компаний различных отраслей российской экономики, описывающие структуру и динамику исследуемых предприятий. Модели используются для задания целевой функции, фигурирующей в задаче обратного стресс-тестирования.

2. Продемонстрирована возможность использования системно-динамической модели для оценки вероятности дефолта соответствующей компании. Близость

полученных оценок вероятности дефолта к соответствующим оценкам рейтинговых агентств свидетельствует об адекватности модели реальным процессам реализации кредитного риска предприятий-заемщиков.

3. Разработан метод решения задачи обратного стресс-тестирования. Сформулированы утверждения, позволяющие сделать выводы о свойствах и применимости соответствующего алгоритма.

4. Создан комплекс программ, реализующий разработанный алгоритм и обеспечивающий возможность проведения экспериментов для оценки эффективности метода. Результатами проведенного имитационного моделирования подтверждено преимущество разработанного алгоритма над генетическим алгоритмом.

Степень достоверности полученных результатов

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена строгостью формулировок задач, математических доказательств и использованных научных методов. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратное стресс-тестирование кредитного портфеля банка на основе системно-динамических моделей заемщиков»

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, были представлены на российских и международных научно-исследовательских мероприятиях:

1) 8-й Московской международной конференции по исследованию операций ORM 2016, на 12-ой профильной конференции по управлению рисками «XII Russia Risk Conference» (2016).

2) 9-й Московской международной конференции по исследованию операций ORM 2018, на научной конференции «Тихоновские чтения 2018»,

3) семинаре отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН ФИЦ ИУ РАН (31 октября 2018)

4) научных семинарах кафедры исследования операций ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова «Стохастические модели исследования операций» (2014-2017).

Публикации

По теме диссертационной работы имеется 8 публикаций [34, 35, 36, 93, 94, 95, 96, 97]. Основные результаты работы опубликованы в статье в рецензируемом научном издании, входящем в международную систему цитирования Scopus [35], в статье в рецензируемом научном издании, входящем в список рекомендованных журналов НИУ ВШЭ [96], в статьях в других изданиях [35, 94, 95, 96, 97] и в 2 статьях в сборниках трудов конференций [34, 36].

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 114 источников. Полный объем работы составляет 139 страниц, включая 104 рисунка и 7 таблиц.

Первая глава содержит постановку оптимизационной задачи обратного стресс-тестирования на основе системно-динамических моделей и функции правдоподобия АКЕМА-ОАЯСН-модели факторов риска. В данной главе представлена концепция стресс-тестирования как метода анализа риска и устойчивости кредитного портфеля банка. Описываются принципы использования многомерной АКЕМА-ОАЯСН-модели для моделирования внешних параметров. Приводится общая характеристика концепции системной динамики в контексте моделирования дефолта предприятия. Содержится описание процедуры приближенного динамического программирования, лежащего в основе разработанного метода решения задачи обратного-стресс тестирования.

Во второй главе осуществляется построение системно-динамических моделей компаний, относящихся к различным отраслям российской экономики и составляющих пример кредитного портфеля. Демонстрируется возможность использования системно-динамической модели для оценки вероятности дефолта соответствующего предприятия.

В третьем разделе представлен алгоритм приближенного решения задачи обратного стресс-тестирования на основе системно-динамических моделей заемщиков, обоснована его корректность. Сформулированы утверждения, которые позволяют сделать выводы о свойствах и применимости данного метода. Описывается комплекс программ, реализующий разработанный алгоритм. Осуществляется подробный анализ полученных численных результатов и производится сравнение разработанного метода с генетическим алгоритмом.

В заключении представлены выводы об эффективности описанного подхода и возможностях его дальнейшего развития.

Благодарности

Автор работы выражает глубокую признательность своему научному руководителю, доктору технических наук, профессору Дмитрию Юрьевичу Голембиовскому за ценные замечания, поддержку и неоценимую помощь в подготовке диссертационной работы.

Глава 1. Задача обратного стресс-тестирования кредитного портфеля и подходы к ее решению

Данная глава состоит из пяти разделов и посвящена описанию методов, используемых в диссертации для построения алгоритма решения задачи обратного стресс-тестирования, а также анализу соответствующих им работ. В разделе 1.1 представлены процедуры стресс-тестирования и обратного стресс-тестирования, являющиеся методами анализа рисков и устойчивости различных систем и явлений. Часть 1.2 содержит описание концепций системной динамики, которая используется для изучения структуры и динамики сложных систем. В разделе 1.3 обсуждаются ключевые принципы представления нестационарных временных рядов при помощи ARIMA-GARCH моделей. Часть 1.4 посвящена описанию принципов приближенного динамического программирования, которые лежат в основе построенного в данной диссертации многошагового метода последовательной оптимизации, нацеленного на решение задачи обратного стресс-тестирования.

В разделе 1.5 представлена формализация процедуры обратного стресс-тестирования при помощи описанных в предыдущих частях методов в виде задачи условной оптимизации.

1.1 Стресс-тестирование как метод анализа рисков

Активное развитие кредитных институтов, произошедшее за последние тридцать лет, потребовало совершенствования методологии оценки кредитных рисков. Обзоры современных подходов к моделированию кредитного риска приведены, в частности, в [10, 52, 65]. Ключевым инструментом анализа, рассматриваемым в указанных работах, является стресс-тестирование, которое позволяет определить устойчивость финансовых организаций по отношению к различным сценариям факторов риска, а также вычислить уровень потерь организации, обусловленный реализацией конкретного стресс-сценария. В указанных работах предложена классификация основных алгоритмов, применяемых в рамках стресс-тестирования.

Стресс-тестирование представляет из себя комплексный метод анализа рисков финансовых организаций и систем, состоящий из нескольких этапов. На первом шаге осуществляется выбор факторов риска, которые оказывают влияние на исследуемый объект. Результатом последующего макроэкономического моделирования, основанного на анализе выбранных показателей, являются соответствующие им стресс-сценарии.

Исторические сценарии факторов риска формируются на основе анализа прошлых кризисных явлений, способных повлиять на рассматриваемую финансовую организацию или систему. Данные стресс-сценарии позволяют оценить устойчивость исследуемого объекта в условиях реальных экономических событий. Однако такой подход не учитывает актуальные экономические условия, что может привести к ошибочным выводам в контексте наступающего кризиса. Гипотетические стресс-сценарии обеспечивают возможность исследовать текущие экономические события, однако сталкиваются с проблемой оценки вероятности реализации гипотетических шоковых явлений. С учетом вышеизложенного формируется наиболее подходящий для целей исследования стресс-сценарий.

На основе построенных реализаций факторов риска осуществляется количественный и качественных анализ финансовых показателей исследуемой системы и делается вывод об ее устойчивости относительно стресс-сценариев.

Однако в настоящее время в качестве одной из главных процедур оценки рисков рассматривается обратное стресс-тестирование, ключевые аспекты которого рассмотрены, например, в [50, 109, 110]. Указанные работы представляют собой методологические указания для банков со стороны регуляторов банковской сферы. Обратное стресс-тестирование заключается в построении сценариев факторов риска, удовлетворяющих требованию правдоподобия и обуславливающих неустойчивое состояние исследуемой финансовой системы. В работах [20, 25] изложена и исследована основная концепция данного подхода. Авторы статьи [20] описывают алгоритм построения наиболее правдоподобных макроэкономических сценариев с известным распределением факторов риска, приводящих к фиксированному уровню финансовых потерь. Работа [25] посвящена описанию подходов к построению стресс-сценариев с неизвестным распределением факторов риска, обуславливающих заданный уровень потерь. В работе [6] предложен альтернативный подход, решающий задачу определения макроэкономических сценариев факторов риска, максимизирующих финансовые потери кредитного портфеля и удовлетворяющих заданному уровню правдоподобия.

Таким образом, обратное-стресс тестирование позволяет определить предпосылки нежизнеспособности текущей деятельности и потенциальных стратегий развития финансовой организации или системы. Схема данного метода анализа рисков может быть представлена следующим образом:

1. Конкретизация понятия неустойчивости исследуемой системы, к которой будут приводить искомые сценарии. В контексте кредитного риска оценке

подвергаются потери кредитного портфеля, обусловленные дефолтами контрагентов.

2. Выбор факторов риска, которые могут привести к неустойчивости исследуемой системы. При анализе кредитных рисков в число рассматриваемых факторов включаются макроэкономические показатели.

3. Формализация целей обратного стресс-тестирования в виде задачи оптимизации, на которую в общем случае не накладываются требования гладкости целевой функции или ограничений.

4. Построение стресс-сценариев путем решения сформулированной задачи оптимизации.

5. Анализ полученных результатов, на основе которого производится вывод об устойчивости системы в текущем виде и потенциальных потерях при выборе определенных стратегий изменения исследуемого объекта в рамках построенных сценариев факторов риска.

1.2 Парадигма системной динамики

Важным компонентом данной диссертационной работы является системная динамика, родоначальником которой считается Джей Форрестер. С помощью предложенных им моделей в 1950-х годах удалось показать, что нестабильность числа рабочих мест компании, с которой он сотрудничал, была обусловлена внутренней структурой фирмы и не зависела ни от каких внешних факторов. Эта работа послужила началом системной динамики. Впоследствии идея представления сложных объектов и явлений в виде системно-динамических моделей получила активное распространение, формальное описание и собственные средства компьютерного моделирования.

Первым фундаментальным трудом, посвященным системной динамике, считается книга Форрестера «Индустриальная динамика» [22], которая излагает основные принципы указанного подхода и демонстрирует возможности его применения для воспроизведения обобщенных схем производства и сбыта продукции предприятия. В данной работе описываются ключевые элементы системно-динамических моделей (потоки, накопители, переменные и обратные связи), представляются базовые подходы к построению и оценке таких моделей. Дальнейшее развитие идеи системной динамики получили в ставшей классической книге Форрестера - «Динамика развития города» [23]. Данная работа расширила границы применения системной динамики, продемонстрировав ее потенциал в

исследовании сложных социально-экономических систем. Затем были рассмотрены еще более сложные объекты, включающие в себя не только социальные, экономические аспекты жизни человека, но и естественную окружающую среду. Результаты этих исследований изложены в книге Форрестера «Мировая динамика» [24].

Классическим фундаментальным трудом, посвященным системной динамике, можно назвать также работу Д. Стермана «Бизнес динамика» [67], в которой описаны основные подходы к решению актуальных практических и теоретических задач различных отраслей научного знания.

На данный момент системная динамика продолжает развиваться и является эффективным методом имитационного моделирования, позволяющим исследовать не только структуру, но и динамику сложных систем. При разработке системно-динамической модели выделяют два основных этапа. На первом этапе должно быть получено описание модели в виде потоковых диаграмм и определены характеристики взаимодействия различных ее частей. Затем, на втором этапе, полученная модель уточняется с помощью компьютерной симуляции, тестирования различных гипотез о ее поведении и проверки построенных взаимосвязей на тестовых данных.

Ключевыми понятиями, на которых основана концепция системно-динамического моделирования, можно назвать «потоки», «накопители», «связи», «обратные связи» и «вспомогательные переменные». Потоки определяют изменение состояния системы во времени. Накопители - отражают текущее состояние системы, при этом они аккумулируют определенный материальный или нематериальный фактор и изменяются путем влияния на них входящих и исходящих потоков. Таким образом, динамическое поведение системы, т.е. изменение системы во времени, возникает вследствие интегрирования потоков в накопителях. Простейшим примером взаимодействия потоков и накопителей может служить схема, изображенная на Рис. 1.

Рис. 1 Простейшая потоковая диаграмма, включающая в себя два потока и один накопитель.

Состояния накопителей выражаются в заданных исследователем единицах измерения (в построенных моделях это млн. руб., млн. тонн и т.п.). Потокам соответствуют единицы размерности связанного с ними накопителя за единицу времени

Накопитель

(для данной модели это млн. руб. за квартал, млн. тонн за квартал и т.д.). Очевидно, что единицы измерения потоков на входе и на выходе накопителя всегда совпадают.

Потоки, определяющие состояния различных частей системы, могут изменяться независимо с некоторым фиксированным темпом, но чаще всего они взаимодействуют с другими элементами модели при помощи связей. Связи отражают наличие влияния на поток совокупности некоторых факторов, при этом факторы могут быть как независимыми элементами, так и представлять определенную функциональную зависимость от других элементов. Характер влияния выражается в виде математической формулы. Накопители (Я (0) аккумулируют (интегрируют) потоки, которые обеспечивают их изменение. Представленная на рис. 1 структура имеет следующую математическую интерпретацию:

¿1

5( г )=|[ 5+( Хр..., Л ,т)-5_( Л!,..., л + 5 (^),

¿0

где 5+(х!, ...,хп,т) представляет собой количество входящего потока за единицу времени в момент времени т, а 5-(х1, ..., хп, т) - аналогичное количество исходящего потока. То же самое можно записать в виде дифференциальных уравнений:

Жг

= чистое изменение накопителя в

единицу времени =Б+ ( х ,.■■, хп, г )-5_ ( х хп, г).

Существенным механизмом, задающим поведение системы, являются обратные связи. Они определяют, каким образом некоторый элемент косвенно влияет на самого себя путем прямого влияния на другие элементы системы. Петли обратных связей могут вести к изменению в том же направлении, что и первоначальное изменение рассматриваемого элемента, тогда они называются усиливающими (положительными), а могут приводить к изменению в обратном направлении, такие петли называются балансирующими или отрицательными. В контексте потоковых диаграмм обратные связи изображаются следующим образом (Рис. 2):

Рис. 2. Элементарная петля обратной связи.

Математически обратная связь может быть представлена в виде дифференциального уравнения:

— = (х^..., хп, 5,1).

Вспомогательные переменные обеспечивают возможность описания функциональных зависимостей и используются для представления зависимых или независимых элементов системы, влияющих на ее динамику, но не являющихся ни потоками, ни накопителями.

1.3 Модели ARIMA-GARCH

Конструируемые в данной работе стресс-сценарии основаны на концепции ARIMA-GARCH-моделей, применяемых в статистическом анализе для моделирования нестационарных случайных процессов. Основная концепция таких моделей состоит в определении зависимости текущей величины ряда от его предыдущих значений и экзогенных факторов с учетом случайных ошибок.

В классической авторегрессионной AR^-модели (англ. autoregressive model) текущее значение стационарного временного ряда представляется в виде линейной зависимости от предыдущих его значений:

v

Xt = с + ^ at • Xt

i = 1

гдеp и q - натуральные числа, определяющие порядок модели, а1,..., ар - действительные числа, являющиеся коэффициентами авторегрессии, с - константа, (£t) - стационарный случайный процесс.

Модель авторегрессии-скользящего среднего (англ. autoregressive moving-average

model, ARMA) позволяет учесть влияние случайных ошибок временного ряда:

v Q

Xt = c+ ^at• Xt-i + ^bi• et-i + et, i=1 i=1

где p и q - натуральные числа, определяющие порядок модели, а1,.,ар и bv...,bq-действительные числа, являющиеся коэффициентами авторегрессии и скользящего среднего соответственно, с - константа, (£t) - стационарный случайный процесс.

Интегрированные модели авторегрессии-скользящего среднего (англ. ARIMA; (integrated autoregressive moving average) являются обобщением ARMA моделей для нестационарных временных рядов. Основная идея заключается в переходе от

нестационарного процесса к стационарному путем взятия разностей некоторого порядка. Фактически модель ARIMA(p,d,^) означает, что разности временного ряда порядка d подчиняются модели ARMA(p,^):

р q

= с + ^ щ • + ^ bi • et_f + et,

¿=1 ¿=1

где - оператор разности временного ряда порядка d, означающий последовательное

взятие d раз разностей первого порядка. При помощи лагового оператора К: = Xt-1

модель ARIMA(p,d,^) может быть записана в виде:

р ч

(1 - = с + щ • П(1 - + (1 + ^ bt • Li)£t.

¿=1 ¿=1

Обобщенные модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (англ. GARCH; AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) используются для анализа временных рядов, у которых условная дисперсия изменяется и зависит от своих предыдущих значений и прошлых значений ряда. В контексте ARIMA моделей они применяются к стационарному процессу £t:

£t = ff • ^ S г

ff2 = Со + ^ Ki • ff-i + ^ ft • £t2_i, ¿=1 ¿=1

где c0 - константа, у; и - коэффициенты модели, (zt) - случайный процесс независимых одинаково распределенных случайных величин. В рамках данного исследования (zt) подчиняется стандартному нормальному закону. Таким образом, совокупность уравнений, описывающих ARIMA(p,d,^)-GARCH(r,s) модель, имеет следующий вид:

р ч

(1 - = с + (^ щ • П(1 - + (1 + ^ bt • Ki)£t, ¿=1 ¿=1

£t = ff • ^ s r

ff2 = Со + ^ Ki • ff-i + ^ ft • e^. ¿=1 ¿=1

При наличии действующих на случайный процесс экзогенных факторов используется модифицированные интегрированные модели авторегрессии-скользящего среднего ARIMAX(p,d,g)-GARCH(s,r). Модификация с одним экзогенным фактором (jt) без лаговой зависимости записывается при помощи следующих уравнений:

Р Я

(1 - У)аХ, = с + (^аг У1)(1 - У)аХ, + (1 + ^Ьг У1)г< 1=1 1=1

%= • е о

Б Г

^ = Со + ^У^ +

1=1 1=1

где № - действительное число.

При наличии корреляции между моделируемыми с помощью временных рядов показателями используются многомерные модели ЛКЕМЛ-ОЛЯСН, различающиеся между собой способом задания матрицы ковариаций. В рамках данной работы рассматривается следующий вариант многомерной модели ЛШМЛ-ОЛЯСН [5, 13, 86]:

(1 - V )"х, = с + V )(1 - ГУХ, + (1 + V )е,,

I =1 г=1

тт1/2

Ь = Нг ■

Здесь X - значение вектора моделируемых показателей в момент времени I, V : VXt = Х(-1 - лаговый оператор, а1,..., ар и Ьх,..., Ь- матрицы действительных чисел,

являющихся коэффициентами авторегрессии и скользящего среднего соответственно, р, ц ий- натуральные числа, определяющие порядок модели, [в(} - вектор случайных процессов независимых одинаково распределенных по нормальному закону случайных величин, с - константа, - положительно определенная матрица ковариаций, представимая следующем виде [14]:

1 -А 1 1 -А 1

Н = в вь-1 (ь-1 ) и к + Н,

к=1 к=1

где В, ик, У - матрицы параметров размерностью N х N, причем В - верхнетреугольная матрица.

1.4 Приближенное динамическое программирование

Метод решения задачи обратного стресс-тестирования, разработанный в рамках данной диссертационной работы, основан на процедуре приближенного динамического программирования, подробно описанной в [2, 49, 84]. Возникновение метода динамического программирования связывают с именем американского ученого Р. Беллмана, который в начале 50-х годов ХХ века применил к ряду конкретных задач прием, названный впоследствии принципом оптимальности. В основе метода

динамического программирования лежит идея последовательного поиска решения путем

разбиения исходной задачи на равнозначные этапы [84]. При этом каждому этапу

соответствуют состояния исследуемого объекта, которые определяются значениями

выбранных заранее характеристик задачи. Применяемая пошаговая оптимизация

позволяет найти оптимальные переходы между состояниями и решить таким образом

исходную задачу. Многоэтапная оптимизация осуществляется по одной из двух схем с

«движением вперед» или с «движением назад» и не накладывает требований гладкости

целевой функции или ограничений. Традиционно метод динамического

программирования с «движением назад» для оптимизационной задачи

max/(e) записывается в следующем виде [84, 88]: ее£

W = max fT (ST_ j, er ),

eT eET

W = m ax[f (Sj 6) + WJ, i = T -

eieE,-

где 5j_1 G Sj_1- множество состояний, из которых можно дойти до состояний этапа i за один шаг (аналогично 5Г_1 G Sr_1 - гамма состояний, из которых можно за один шаг попасть в конечное состояние); Wj - максимум критерия оптимизации на i-том шаге; -множество управлений, обеспечивающих переход из состояний множества Sj_1 в состояния множества Sj. Последовательная оптимизация, осуществляемая от T-1 -ого шага до 1-ого по приведенным формулам, позволяет для каждого шага определить оптимальное управление (е*), при котором достигается максимум (Wj). На основе полученной информации в процессе обратного хода алгоритма определяется оптимальная траектория (е* = (е*..., ef)) и максимум исходной задачи /*(е*) = W* = Zi=1/i(et*).

Данная схема динамического программирования не применима к задаче обратного-стресс тестирования, основанном на системно-динамических моделях, так как предполагает наличие полной информации о последнем шаге алгоритма и сталкивается с проблемой трудоемкости реализации метода при увеличении размерности. Классическая схема динамического программирования с «движением вперед» опирается лишь на информацию о первом шаге метода, но не позволяет решить проблему, связанную с «проклятьем размерности». Уравнения Беллмана для метода динамического программирования с «движением вперед» имеют следующий вид [89]:

W= max f (S0,61),

eieEi

W = max[f (S,-i, е,) + W-i], - = 2,..., T,

eiеЕ--

В работе [49] описан подход, направленный на решение проблемы, которая возникает в работе метода динамического программирования при увеличении размерности задачи, путем агрегации состояний и замены исходной целевой функции ее аппроксимацией. Заданная аппроксимационная функция используется на каждом этапе поиска приближенного решения оптимизационной задачи и позволяет уменьшить число рассматриваемых характеристик, которые определяют значение оптимизационной задачи, а, следовательно, и размерность задачи. Это обеспечивается рассмотрением значений аппроксимационной функции на сетке агрегированных состояний. Определение адекватного исследуемой задаче способа агрегирования состояний и соответствующего корректного вида аппроксимационной функции не является стандартной процедурой и осуществляется исследователем в каждой отдельной задаче индивидуально. Корректная формализация способа агрегирования состояний и вида аппроксимационной функции позволяет сформулировать алгоритм решения исследуемой задачи, относящийся к классу методов динамического программирования.

Схема приближенного динамического программирования имеет вид [2, 49]:

¿1 = шах Д(5о,е1),

7/= шах Г/,(5,-:.,е/) + 7;_11,1 = 2, 1 1 1 и 1 ^

где 51_1 £ §{-1 - возможные агрегированные состояния системы перед шагом /; £¿(5^) -множество допустимых значений величин е^ с учетом введенного способа агрегирования

состояний, ^(З^1, - аппроксимационные функции, которые удовлетворяют /(е) = ГГ=1Л(в|) с учетом введенного способа агрегирования состояний.

1.5 Постановка задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля

В настоящий момент актуальной задачей, стоящей перед банками и регуляторами банковской сферы, является оценка кредитного риска. Кредитный риск представляет собой возможность потерь кредитующей организации, возникающих вследствие неспособности контрагента (заемщика) исполнять свои обязательства по выплате процентов и основной суммы долга, т.е. дефолта заемщика. Одним из основных методов оценки кредитного риска является процедура стресс-тестирования, определяющая степень устойчивости финансового кредитной организации к заданным изменениям факторов риска.

Стресс-тестирование активно используется в экономике и банковской сфере с конца прошлого века, однако финансовый кризис 2008 года показал необходимость модернизации сформировавшихся подходов [56]. В настоящий момент актуальной задачей, которую ставят перед банками регуляторы, является обратное стресс-тестирование, формализуемое двумя различными способами. Первый из них предполагает построение наиболее реалистичных сценариев, приводящих к заданному уровню финансовых потерь. Второй способ заключается в определении стресс-сценариев, максимизирующих финансовые потери и удовлетворяющих определенному критерию правдоподобия. Данная работа посвящена описанию метода решения задачи обратного стресс-тестирования следующего вида:

тах f (x) т

x&RTхN (1)

L(x) > l , (2)

где х - матрица сценариев факторов риска; N - число факторов риска; Т - количество кварталов, определяющих временной период, на котором осуществляется построение стресс-сценариев; /(х) - функция финансовых потерь кредитного портфеля, возникающих вследствие дефолтов заемщиков; Ь(х) - функция правдоподобия сценариев факторов риска; I - константа, определяющая требуемый уровень правдоподобия искомых сценариев. При этом на целевую функции (1) и функцию ограничений (2) не накладываются условия гладкости, выпуклости и т.д., что приводит к необходимости решения, вообще говоря, негладкой задачи условной оптимизации.

В рамках данной работы в качестве факторов риска рассматриваются макроэкономические переменные (Табл. 1), динамика которых представляется при помощи многомерной ЛШМЛ-ОЛЯСН-модели [5, 13, 86]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куренной Дмитрий Святославович, 2023 год

Список литературы

1. Berger A., DeYoung R. Problem loans and cost efficiency in commercial banks // Journal of Banking and Finance. 1997. - N 21. - P. 849-870.

2. Bertsekas, D. Dynamic Programming and Optimal Control, 3rd edition / Athena Scientific. - 2005.

3. Bertsekas, D., Castanon, D. Adaptive aggregation methods for infinite horizon dynamic programming // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1989. - N 34 (6) - P 589-598.

4. Bertsekas, D., Tsitsiklis, J. An analysis of stochastic shortest path problems // Mathematics of Operations Research. - 1991. - N 16. - P 580-595.

5. Bollerslev, T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. - 1986. - N 31. - P. 309-328.

6. Breuer, T., Jandacka, M., Mencia, J., and Summer, M. A systematic approach to multi-period stress testing of portfolio credit risk. Technical Report Working Paper 1018 // Banco de Espana. - 2010.

7. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance (3rd ed.) / Cambridge University Press, 2014.

8. Cardarelli R., Elekdag S., Lall S. Financial Stress and Economic Contractions // Journal of Financial Stability. - 2011. - N 7. - P. 78-97.

9. Clopper C. J. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial / C. J. Clopper, E. S. Pearson // Biometrika. - 1934. - N 26. - P. 404-413.

10. Drehmann M. Macroeconomic stress-testing banks: a survey of methodologies. In Stress-testing the Banking System: Methodologies and Applications / edited by Quagliariello M. Cambridge University Press. - 2009.

11. Engle R. F. ARCH: selected readings / Oxford University Press.1995.

12. Engle R. F. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica. - 1982. - N 50 (4). - P 987-1008.

13. Engle, R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the UK inflation // Econometrica. - 1982. - N 50. - P. 987-1008.

14. Engle R.F., Kroner, K.F.. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH // Econometric Theory - 1995. - N 11. - P. 122-150

15. Federico C., Supporting start-up business model design through system dynamics modelling // Management Decision. - 2017. - N 55. - P 57-80.

16. Fiordelisi F., Marques-Ibanez D., Molyneux P. Efficiency and risk in European banking // Journal of Banking and Finance. - 2011. - N 35. - P. 1315-1326.

17. Fletcher R. Practical methods of optimization. Constrained optimization / Wiley, 1981.

18. Fletcher R. Practical methods of optimization. Unconstrained optimization / Wiley, 1980.

19. Fletcher R., Leyffer S. Nonlinear programming without a penalty function. // Math. Program. Ser. A. - 2002. - V. 91. - P. 239-269.

20. Flood M.D., Korenko G.G. Systematic scenario selection: stress testing and the nature of uncertainty // Office of financial research. - 2013.

21. Forrester J. W. Policies, decisions, and information sources for modeling // European Journal of Operational Research. - 1992. - N 59 (l). - P 42-63.

22. Forrester J. W. Industrial Dynamics / MIT Press. 1961.

23. Forrester J. W. Urban Dynamics / Pegasus Communications. 1969.

24. Forrester J. W. World Dynamics / Wright-Allen Press. 1971.

25. Glasserman P., Kang C., Kang W. Stress scenario selection by empirical likelihood // Office of financial research. 2012.

26. Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering / Springer Verlag, 2004.

27. Granger C., Newbold P. Forecasting Economic Time Series / Academic Press, 1977.

28. Guidelines on stress testing / Committee of European banking supervisors. 2010.

29. Gurny P., Gurny M. Comparison of credit scoring models on probability of default estimation for us banks // Prague economic papers. 2013.

30. Higgins M. L., Bera A.K. A Class of Nonlinear Arch Models // International Economic Review. - 1992. - N 33 (1). - P 137-158.

31. Hull J., Predescu M., White A. The relationship between credit default swap spreads, bond yields, and credit rating announcements // Rotman School of Management Working Paper. - 2004. - N 2173171.

32. Izmailov A.F., Solodov M.V. Newton-Type Methods for Optimization and Variational Problems / Springer International Publishing. 2014.

33. Katalevsky D.U. Fundamentals Of Simulation Modeling And System Analisys. Moscow: Moscow University Press. - 2011.

34. Kurennoy D. S. System dynamics credit risk model of a corporate borrower // VIII Moscow International Conference on Operations Research (ORM 2016): Moscow, October 17-22, 2016: PROCEEDINGS: Vol.1. - M.: MAKS Press, 2016. P. 102-104.

35. Kurennoy D.S. The use of the system dynamics model to determine the probability of company default / Kurennoy D.S., Golembiovsky D.Y. // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2021. Vol. 1047. No 1. 012033. P. 1-9.

36. Kurennoy D. S., Golembiovskiy D. Yu. Estimating the probability of company default based on system dynamics model. // IX Moscow International Conference on Operations Research (ORM 2018): Moscow, October 22-27, 2018: PROCEEDINGS: Vol.1. - M.: MAKS Press, 2018. P. 218-222.

37. Lemieux C. Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Sampling / Springer. 2009.

38. Mangasarian O.L. Nonlinear Programming. - Philadelphia: SIAM, 1994.

39. Mankiw G. The Macroeconomist as Scientist and Engineer // Journal of Economic Perspectives. - 2006. - N 20(4). 29-46.

40. MATLAB. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.mathworks.com/.

41. MATLAB. The Language of Technical Computing. Using MATLAB. MathWorks Inc., 1999.

42. Mills T. C. Time Series Techniques for Economists / Cambridge University Press, 1990.

43. Morecroft J. Strategic Modelling and Business Dynamics: A Feedback Systems Approach. / Wiley. 2007.

44. Morecroft, J. and J. Sterman, (eds.) Modeling for Learning Organizations. Portland, OR: Productivity Press. - 1994.

45. Nelson D. B. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach // Econometrica. - 1991. - N 59 (2) - P 347-370.

46. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. - Second edition. - New York: Springer, 2006.

47. Powell W. B., Ruszczyliski A., Topaloglu H. Learning algorithms for separable approximations of stochastic optimization problems // Mathematics of Operations Research. - 2004. - N 29(4). - P 814-836.

48. Powell W. B., Shapiro J. A., Simao H. P. An adaptive dynamic programming algorithm for the heterogeneous resource allocation problem // Transportation Science. - 2002. - N 36(2). - P 231-249.

49. Powell W.B. Approximate dynamic programming: Solving the curses of dimensionality / Wiley. 2011.

50. Principles for sound stress testing practices and supervision / Basel committee on banking supervision. 2009.

51. Puterman, M. L. Markov Decision Processes / Wiley, 1994.

52. Quagliariello M. Stress-testing the banking system: methodologies and applications / Cambridge University Press. 2009.

53. Randers, J. Elements of the System Dynamics Method / Cambridge: MIT Press. 1980.

54. Rebonato, R. Coherent Stress Testing: A Bayesian Approach / Wiley, 2010.

55. Riddalls C. E, Bennett S. Modeling the dynamics of supply chains // International Journal of Systems Science. - 2000.

56. Risk Management Lessons from the Global Banking Crisis of 2008. / Senior Supervisors Group. - 2009

57. Robbins H., Monro S. A stochastic approximation method // Annals of Math. Stat. - 1951. - N 22. - P 400-407.

58. Roberts E.B. (editor) Managerial Application of System Dynamics / Productivity Press. -1994.

59. Roberts, E. B. Managerial Applications of System Dynamics / Cambridge: MIT Press. 1978.

60. Schmidt R. Tail Dependence for Elliptically Contoured Distributions, Mathematical // Methods of Operations Research. - 2002. - N 55. - P 301-327.

61. Schwarz, G. Estimating the dimension of a model // Annals of Statistics. - 1978. - N 2. -P. 461-464.

62. Schwefel, H. P. Numerical Optimization of Computer Models / Wiley. 1981.

63. Si J., Barto A. G., Powell, W. B., Wunsch D. Handbook of Learning and Approximate Dynamic Programming / IEEE Press, 2004.

64. Sommar P. A., Shahnazarian H. Interdependencies between Expected Default Frequency and the Macro Economy // International Journal of Central Banking. - 2009. -N 3. P. 83110.

65. Sorge M. Stress-testing financial systems: an overview of current methodologies // BIS Working Papers. - 2004. - N 165.

66. Sterman J. A behavioral model of the economic long wave // Journal of Economic Behavior and Organization. - 1985. - N 6. - P 17-53.

67. Sterman J.D. Business Dynamics: Systems Thinking and Modeling for a Complex World. Boston: McGraw-Hill Companies. 2000.

68. Sterman, J. Misperceptions of feedback in dynamic decision making // Organizational Behavior and Human Decision Processes. - 1989. - N 43(3). - P 301-335.

69. Sterman, John D. System dynamics modeling: Tools for learning in a complex world.// California management review. - 2001. - N 43 (4). - 8-25.

70. Stokey N. L., Lucas J. Recursive Methods in Dynamic Economics / Harvard University Press, 1989.

71. Strang G. Linear Algebra and Its Applications / Academic Press, 1980.

72. Studer, G. Market risk computation for nonlinear portfolios // Journal of Risk. - 1999. - N 1 (4). - P. 33-53.

73. Topaloglu H., Powell W. B. An algorithm for approximating piecewise linear concave functions from sample gradients // Operations Research Letters. 2003. - N 31(1). - P 6676.

74. Tsitsiklis J. N. Asynchronous stochastic approximation and Q-learning // Machine Learning. - 1994. - N 16. - P 185-202.

75. Warner R. Spectral Analysis of Time Series Data / Guilford Press, 1998.

76. Weymar H. Dynamics of the World Cocoa Market / MIT Press, 1968.

77. White D. J. Dynamic Programming / Holden-Day, 1969.

78. Whitin T. M. The Theory of Inventory Management / Princeton University Press, 1953.

79. Whitt W. Approximations of dynamic programs 1 // Mathematics of Operations Research. - 1978. N 3. - P 231-243.

80. Zipkin P. Bounds on the effect of aggregating variables in linear programming // Operations Research. - 1980. - N 28. - P 403-418.

81. Агентство Fitch. Исследования. [Электронный ресурс]. - URL: https ://www.fitchrati ngs. com/site/regul atory.

82. Агентство Moody's. Исследования. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.moodys.com/Pages/GuideToDefaultResearch.aspx.

83. Башнефть. Финансовые результаты. [Электронный ресурс]. - URL: http://www.bashneft.ru/shareholders_and_investors/finance-results/.

84. Беллман Р. Динамическое программирование. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

85. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. - М.: Радио и связь, 1987.

86. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974.

87. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. - М.: МАКС Пресс, 2005.

88. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология: учебное пособие - М.: КНОРУС, 2013ф.

89. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. - Минск: Издательство БГУ им. В.И. Ленина, 1975.

90. Дьяконов В. П. Simulink 5/6/7 Самоучитель. - М.: ДМК-Пресс, 2008. - 784 с.

91. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов. - М.: Ф и С, 2009. - 416 с.

92. Измаилов А. Ф. Солодов М. В. Численные методы оптимизации. - М.: Физматлит, 2008.

93. Куренной Д. С. Алгоритм решения оптимизационной задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля // Тихоновские чтения: Научная конференция / МГУ им. М. В. Ломоносова. - М.: МАКС Пресс, 2018.

94. Куренной Д. С. Алгоритм решения задачи обратного стресс-тестирования кредитного портфеля банка на основе системно-динамических моделей заемщиков // International Journal of Open Information Technologies. 2018. №10. С. 9-21.

95. Куренной Д. С., Голембиовский Д. Ю. Оценка вероятности дефолта компании на основе системно-динамической модели // Проблемы анализа риска. 2018. №02. С. 86-92.

96. Куренной Д. С., Голембиовский Д. Ю. Построение сценариев дефолта предприятий на основе системно-динамических моделей в системе insightmaker // Прикладная информатика. 2017. №05. С. 11-28.

97. Куренной Д. С., Голембиовский Д. Ю. Системно-динамическая модель кредитного риска нефтедобывающей и нефтеперерабатывающей компании // Проблемы анализа риска. 2017. №01. С. 6-22.

98. Мешкова Е.И. Стресс-тестирование в коммерческом банке. Практическое пособие. М.: Издательский дом «Регламент-Медиа», 2014.

99. Налоговый кодекс РФ, глава 26 (ст. ст. 334 - 346) [Электронный ресурс]. - URL: http://nalog.garant.ru/fns/nk/6a0c9494b380a988efe280dc3ecd521c/

100. Налоговый кодекс РФ, статья 342 [Электронный ресурс]. - URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_28165/

101. Павлова Л.П., Блошенко Т.А., Ефимов А.В., Понкратов В.В., Юмаев М.М. Налогообложение недропользования в Российской Федерации. - М.: ОАО «Воентехиниздат», 2009. - 496 с.

102. Пеникас Г.И., Алескеров Ф.Т., Солодков В.М., Андриевская И.К. Анализ математических моделей Базель II. - М: Физматлит, 2010. - 288 с.

103. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.

104. Резчиков А.Ф., Кушников В.А. и др. Модель для оценки состояния национальной безопасности России на основе теории системной динамики // Прикладная информатика. 2017. №2(68). С.106-116.

105. Симонова-Хитрова М.Ю. Международная торговля вином и региональные рынки // Российский внешнеэкономический вестник. 2015. №10. С. 116-125.

106. Среда веб-моделирования Insightmaker [Электронный ресурс]. - URL: https://insightmaker.com/

107. Тихонов А. Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

108. Тотьмянина К.М. Обзор моделей вероятности дефолта // Управление финансовыми рисками. - 2011. - №01(25). - С. 12-24.

109. Указание Банка России от 07.12.2015 N 3883-У [Электронный ресурс]. - URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_190733/

110. Указание Банка России от 15.04.2015 N 3624-У [Электронный ресурс]. - URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_180268/.

111. Цисарь И.Ф. MATLAB Simulink. Компьютерное моделирование экономики. - М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. - 256 с.

112. Черных И. В. Simulink: среда создания инженерных приложений. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003.

113. Ширяев АН. Вероятность: В 2-х кн. Т. 1. - 5-е изд. - М.: МЦНМО, 2011.

114. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2002.

Приложение. Динамика макроэкономических переменных в построенном стресс-сценарии факторов риска.

В данном приложении демонстрируются графики макроэкономических переменных, соответствующие стресс-сценарию, который получен в результате применения разработанного метода к задаче обратного стресс-тестирования. При этом заданная нижняя граница сетки разбиения для ограничений на логарифмическую функцию правдоподобия О = -1440.

Цены на нефть

59 58 57 |

56 55

54 53 52 51 50

V

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 63. Динамика мировых цен на нефть в найденном сценарии.

Курс доллара к рублю

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 64. Динамика курса доллара в найденном сценарии.

Ставка привлечения кредитов (Моэрпте)

15 -1-1-1-1-1-1-1-1-г

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 65. Динамика ставки Mosprime в найденном сценарии.

Рис. 66. Динамика удельной себестоимости добычи нефти в найденном сценарии.

Рис. 67. Динамика удельной себестоимости переработки нефти в найденном сценарии.

Рис. 68. Динамика удельных общехозяйственных расходов в найденном сценарии.

Рис. 69. Динамика основной ставки НДПИ в найденном сценарии.

Рис. 70. Динамика цен бензина на российском рынке в найденном сценарии.

Рис. 71. Динамика цен мазута на российском рынке в найденном сценарии.

, ю4 Цены дизеля (РФ) 3.4-1-1-1-1-1-1-

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 72. Динамика цен дизельного топлива на российском рынке в найденном сценарии.

Рис. 73. Динамика цен нефти на российском рынке в найденном сценарии.

vio4 Цены на прочие нефтепродукты (РФ)

1.7 -1-1-1-1-1-1-1-1-г

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 74. Динамика цен нефтепродуктов категории «Прочие» на российском рынке в найденном сценарии.

Цены бензина

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 75. Динамика цен бензина на внешнем рынке в найденном сценарии.

Цены дизеля

400 -1-1-1-1-1-1-г

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 76. Динамика цен дизельного топлива на внешнем рынке в найденном сценарии.

Цены мазута

260 -|-1-|-1-|-1-1-|-1-|-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 77. Динамика цен мазута на внешнем рынке в найденном сценарии.

Цены на прочие нефтепродукты

280 -1-1-1-1-1-1-1-1-г

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 78. Динамика цен нефтепродуктов категории «Прочие» на внешнем рынке в найденном сценарии.

Цены на автомобили зарубежных марок бизнесе класса (закупка)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 79. Динамика средних закупочных цен на автомобили бизнес класса зарубежных марок в найденном сценарии.

Цены на автомобили зарубежных марок эконом класса (закупка)

15 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 80. Динамика средних закупочных цен на автомобили эконом класса зарубежных марок в найденном сценарии.

Цены на автомобили российских производителей (закупка)

600 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 81. Динамика средних закупочных цен на автомобили российских производителей в найденном сценарии

2820

ю

£ 2740

2680

Цены на автомобили зарубежных марок бизнесе класса (продажа

8 10 12 14 16 Кварталы периода 2015-2021

18 20 22

Рис. 82. Динамика средних цен продаваемых автомобилей бизнес класса зарубежных марок в найденном сценарии.

Рис. 83. Динамика средних цен продаваемых автомобилей эконом класса зарубежных марок в найденном сценарии.

Рис. 84. Динамика средних цен продаваемых автомобилей российских производителей в найденном сценарии.

Цены на кремний

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 86. Динамика цен кремния в найденном сценарии

Цены на вино дорогих сортов (закупка)

14.05 -1-1-1-1-1-1-1-1-г

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 87. Динамика средних закупочных цен вина дорогих сортов в найденном сценарии.

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 88. Динамика средних закупочных цен вина обычных сортов в найденном сценарии

Цены на крепкий алкоголь дорогих сортов (закупка

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 89. Динамика средних закупочных цен крепкого алкоголя дорогих сортов в найденном сценарии.

Цены на крепкий алкоголь обычных сортов (закупка) 10.8 -1-1-1-1-1-1-1-1-г"

д ц _I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 90. Динамика средних закупочных цен крепкого алкоголя обычных сортов в найденном сценарии

Цены на шампанское (закупка)

12.9 |-1-1-1-1-1-1—1-'-'-1-1-1-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 91. Динамика средних закупочных цен шампанского в найденном сценарии

Рис. 92. Динамика средних цен продажи вина дорогих сортов в найденном сценарии.

Рис. 93. Динамика средних цен продажи вина обычных сортов в найденном сценарии.

Цены на шампанское (продажа)

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 94. Динамика средних цен продажи крепкого алкоголя дорогих сортов в найденном сценарии.

Цены на крепкий алкоголь обычных сортов (продажа) 570 -1-1-1-1-1-1-1-1-1—

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 95. Динамика средних цен продажи крепкого алкоголя обычных сортов в найденном

сценарии.

Рис. 96. Динамика средних цен продажи шампанского в найденном сценарии.

Рис. 97. Динамика цен зерновых культур в найденном сценарии.

Рис. 98. Динамика цен кормов в найденном сценарии.

v ю4 Цены на мясо крупного рогатого скота

5.3-1-1-1-1-1-1-1-г

_I_I_|_I_|_I_I_|_I_I_

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 100. Динамика цен мяса крупного рогатого скота в найденном сценарии.

V ю4 Цены на мясо птицы 3.4-1-1-1-1-1-1-г

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 102. Динамика цен сахара в найденном сценарии.

Цены на яйца

3500 -1-1-1-1-1-1-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Кварталы периода 2015-2021

Рис. 104. Динамика цен яиц в найденном сценарии.