Обеспечение устойчивости линейной системы с помощью ограниченного управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Шапаренко, Наталия Николаевна

• Шапаренко, Наталия Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шапаренко, Наталия Николаевна

Введение

1 Синтез оптимального управления для вспомогательной линейно-квадратичной задачи с модульными ограничениями на управление

§ 1.1 Постановка задачи.

§ 1.2 О степени сложности задачи.

§ 1.3 Достаточность принципа максимума.

§ 1.4 Синтез управления.

§ 1.5 Оптимальность синтезированного управления

§1.6 Вырожденность управления

§ 1.7 Робастность синтезированного управления.

2 Стабилизация линейной системы

§ 2.1 Поэтапная стабилизация.

§ 2.2 Скользящая стабилизация.

§ 2.3 Примеры.

§ 2.4 О робастности синтезированного управления.

§2.5 Численные эксперименты.

3 Векторное управление

§ 3.1 Постановка задачи.

§ 3.2 Конструкция стабилизирующего управления.

§ 3.3 Пример.

3 3.4 Численные эксперименты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обеспечение устойчивости линейной системы с помощью ограниченного управления»

Проблема синтеза оптимальных систем управления или, в другой терминологии, проблема построения оптимальных управлений типа обратной связи, известна с момента постановки первых задач оптимального управления на рубеже 1940-1950 гг. [11], [25]. Эти задачи были поставлены инженерами, которые всегда отдавали предпочтение управлениям типа обратной связи. Однако, развитие теории оптимального управления с середины 1950-х годов шло в основном по линии изучения свойств оптимальных программных управлений, которые действует по времени и жестко привязаны к начальному состоянию. В отличие от них управления типа обратной связи (синтезирующее управление) вырабатывают воздействие по состоянию и не зависят от начального состояния. Причины интереса к синтезирующим управлениям объясняются тем, что системы автоматического регулирования действуют в условиях помех или возмущений. Эти помехи (или возмущения) "сбивают" управляемый объект с расчетной траектории. Расчетное программное управление, зависящее от начального состояния, в такой ситуации бесполезно, так как не обеспечивает даже допустимость траектории. Синтезированное же управление, зависящее от текущего состояния системы, позволяет конкретизировать управляющее воздействие и для измененных состояний. Как только действие помех прекращается, оптимальная синтезированная замкнутая система продолжает функционировать наилучшим образом для измененных начальных состояний и далее до следующих возмущений.

Основные теоретические подходы к исследованию проблемы синтеза базируются на использовании принципа максимума Понтрягина [5], [39], метода динамического программирования Беллмана [4],[27], достаточных условиях оптимальности Кротова [28], функций Ляпунова [29], [36] а также теории поля экстремалей Величенко [7], [8].

Каждый из перечисленных подходов использует посылки и конструкции, которые определяют, а иногда и ограничивают область его применения. Это априорное предположение гладкости функции Беллмана, неопределенность с выбором вспомогательных функций в методе Кротова и необходимость решать семейство задач программного оптимального управления с произвольными начальными значениями траектории в теории поля экстремалей.

Проблеме построения обратных связей для обеспечения оптимальных переходных процессов посвящено большое число исследований [12], [14], [25]. Тем не менее общей теории синтеза до сих пор не создано. Проблема оказывается чрезвычайно сложной и полно изучена лишь в некоторых простых случаях. Поэтому не случайно наиболее крупные успехи современной математической теории оптимальных процессов относятся к исследованию программных управлений. Именно для них доказан знаменитый принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума позволил лучше понять и разработать методы решения сложных современных вариационных задач, определенных в замкнутых прстранствах, благодаря чему он нашел широкое применение в прикладных инженерно-технических областях ( автоматическое регулирование, робототехника, ракетодинамика и др.). Однако практическое применение принципа максимума наталкивается на ряд трудностей. Эти трудности связаны с необходимостью выражать вспомогательные сопряженные множители через фазовые координаты. Поскольку эти множители не связаны органически с содержанием вариационной задачи и не участвуют каким-либо образом в ее постановке, надежды на эффективное решение проблемы синтеза оптимальных систем с помощью принципа максимума и второго фундаментального метода теории оптимального управления - динамического программирования Беллмана - в общем случае не оправдались.

Единственным исключением является позиционное решение Р. Калманом и A.M. Летовым линейно-квадратичной задачи оптимального управления [25], [33]. Этот успех объясняется тем, что в задаче Калмана-Летова не было прямых (геометрических) ограничений на управление, в силу чего упомянутая задача была по существу задачей классического вариационного исчисления. Исследованию этой задачи посвящены работы A.M. Летова [30], Р. Калмана [25], H.H. Красовского [27].

Прямые ограничения на управление представляют наиболее распространенную в приложениях нелинейность и поэтому их игнорирование резко снижает ценность результата. Задача синтеза оптимальных систем с ограниченными управлениями рассматривается в сравнительно немногих работах [23], [24]. Эта задача решена для линейной автономной системы х = Ах + Ви с матрицей А, вещественные части собственных значений которой неположительны и неуправляемая часть системы имеет собственные значения со строго отрицательными вещественными частями [44], [64]. Для системы х = ¡(х) + в(х)щ хек1, и е и с ят найдена явная формула для стабилизирующей обратной связи с помощью управляющих функций Ляпунова - собственных положительно определенных функций V : Яп —¥ Я+ таких, что т£{а(х) + В{х)и] < 0, х ф О, где а{х) = УУ(х)/(ж), В{х) = V У{х)С(х),

42], [60]. Кроме того, делаются попытки решения задач такого класса с использованием численных методов: метода нелинейного программирования Пауэлла [23]; метода штрафных функций [61].

В конце 1980-х годов Р. Габасов и Ф.М. Кириллова проанализировали классическую постановку проблемы оптимального синтеза [12],

13] и пришли к выводу, что в такой постановке проблема не может быть решена. Они предложили [15] новое понятие решения проблемы оптимального синтеза. Оно отличается от традиционных понятий тем, что в нем явным образом используется понятие решения в режиме реального времени с помощью вычислительных устройств. Другими словами, в своем определении Р. Габасов и Ф.М. Кириллова учли не только силу современных математических методов, но и достижения вычислительной техники [53], [54].

Следующую группу методов составляют методы исследования свойств систем по информации об элементах матриц, участвующих в записи уравнений их состояния. На этом пути существуют наглядные и простые по форме достаточные условия, которые группируются по нижеперечисленным направлениям: применение теоремы Гершгорина [28], составление и решение матричного уравнения Ляпунова [55], [60], использование метода характеристических годографов [56].

Еще одна группа методов - синтез робастных регуляторов. Применительно к текущему состоянию проблемы выделим направления, привлекшие наибольшее внимание исследователей:

1) методы и алгоритмы синтеза линейных интервальных систем, основанные на применении аппарата функций чувствительности, построение структур, допускающих неограниченное увеличение коэффициентов усиления, а так же на других классических подходах [35];

2) частотные методы синтеза систем, исходя из требования устойчивости замкнутой системы [40];

3) методы и алгоритмы синтеза, предполагающие формирование модального управления (в интервальной постановке) [18], [19], [22];

4) методы синтеза оптимальных робастных регуляторов [21], [63];

5) методы синтеза регуляторов на основе функций Ляпунова [52], [55].

Определенный прогресс в решении проблемы в последние годы связан с применением методов упреждающего управления [20], [58]. Они исходят из проверенного практикой предположения,что робаст-ность стабилизирующего управления в момент времени I возрастает, если учитывается будущее поведение системы на интервале + Н({)) с выбранным горизонтом планирования /г(£) > 0.

В диссертации рассмотрены вопросы упреждающей стабилизации линейной системы с помощью ограниченных управлений. Основная часть работы состоит из трех глав. В первой главе решается задача минимизации среднеквадратического уклонения траектории линейной нестационарной системы от положения равновесия на заданном интервале времени В аналитической форме построено оптимальное синтезированное управление в виде непрерывной кусочно-линейной функции фазовых координат с переменными коэффициентами. При решении используется необходимое (и достаточное в рассматриваемом случае) условие в форме принципа максимума. Решение данной задачи получено для фиксированного отрезка числовой оси. Чтобы использовать его для стабилизации системы, необходимо продолжить его для t > t\. Для этого во второй главе предлагаются два способа продолжения управления на полуось времени: поэтапный по полуотрезкам [0, /г), [h, 2/г),. фиксированной длины h > 0 и "скользящий" - по интервалам (t,t + h),t > 0. Показано, что при различных предположениях о коэффициентах системы продолженные управления обеспечивают устойчивость или асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы.

Независимо от способа продолжения действие стабилизирующих управлений происходит по одному общему принципу. С каждым управлением в момент времени t связана полоса P(t) С Rn, ограниченная двумя параллельными симметричными относительно начала координат плоскостями. Если х £ P(t), то управление принимает значение +1 или —1. Если х G P{t), то управление есть линейная функция фазовых координат с зависящими от t коэффициентами. Для стационарной системы при скользящей стабилизации ширина полосы и ее положение в пространстве Л", вообще говоря, постоянны.

В третьей главе сделано некоторое обобщение предыдущего результата на многомерный случай. На основе конструкции скалярного управления предложен векторный закон управления, учитывающий геометрические ограничения и при определенных условиях обеспечивающий асимптотическую устойчивость в целом положения равновесия системы.

Эффективность законов управления проверена численными экспериментами, подтверждающими правильность теоретических результатов.

Несколько слов о применяемых обозначениях. Малые латинские буквы х,у (с верхним индексом, если нужно) означают векторы-столбцы. Символ ' (штрих) используется как знак транспонирования. С его помощью кратко записывается вектор-строка х' и скалярное произведение х'у двух векторов х,у п—мерного пространства К1.

В каждой главе формулы имееют двойную нумерацию: первое число соответствует номеру данной главы, второе - порядковому номеру формулы внутри главы.

Цитируемая литература указана в скобках. Список литературы в алфавитном порядке вынесен в конец работы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в [2], [49] и доложены на I и II Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997, 1998гг) и на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998, 1999г).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Леониду Тимофеевичу Ащепкову за постановку задачи, полезные замечания и чуткое внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Шапаренко, Наталия Николаевна

Заключение

В работе предложены процедуры стабилизации линейной системы с переменными коэффициентами с помощью скалярного ограниченного по модулю управления типа обратной связи. Это управление для каждой точки расширенного фазового пространства обеспечивает минимальное среднеквадратическое уклонение движения линейной системы от положения равновесия на интервале планирования и в этом смысле учитывает будущее поведение системы. Рассмотрены вопросы устойчивости положений равновесия замкнутой системы и робастности синтезированных управлений. Показано, что широко используемые для стабилизации обратные связи вида и(х^) = ср(с(Ь)'х) при определенном выборе функций (рис могут иметь указанную выше экстремальную трактовку.

Сделано обобщение на случай векторного управления. Показано, что при достаточно общих предположениях на коэффициенты системы построенное управление обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы. При этом стабилизирующее векторное управление кусочно-аффинно по фазовым коэффициентам, ограничено по амплитуде и каждая его кордината обладает экстремальным свойством. Суть экстремального свойства в том, что при замене всех координат векторного управления, кроме одной, нулями, оставшаяся ненулевая координата есть оптимальное управление по среднеквадратическому отклонению траектории на определенном отрезке времени среди всех ограниченных управлений такого частного класса.

Возможное обобщение полученных результатов - добавление в целевой функционал задачи (1.1)-(1.3) среднеквадратического уклонения по управляющим воздействиям достаточно нетривиально, поскольку требует аналитического решения задачи минимизации положительно определенной квадратичной формы на многомерном кубе и точного решения многомерного аналога интегрального включения.

Проделаны численные эксперименты, подтверждающие правильность теоретических выводов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шапаренко, Наталия Николаевна, 2000 год

1. Айсагалиева С. С. Управляемость n оптимальное управление линейными системами при наличии ограничений на управление // Изв. АН Респ. Казахстан. Сер. физ.-мат. 1992. N 3. С. 10-14.

2. Ащепков JI.T., Шапаренко H.H. Оптимальный синтез и упреждающая стабилизация линейной системы // Изв. АН. Теория и системы управления. 1999. N 1. С. 24-30.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностр. лит., 1960. 400 с.

5. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

6. Буков Е.А. Оптимальные алгоритмы в задачах с ограничениями управляемых координат // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1982. N 2. С. 210-217.

7. Величенко В. В. О вариационном методе в проблеме инвариантности управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1972. N 4. С. 22-35.

8. Величенко В. В. О методе поля экстремалей в достаточных условиях оптимальности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. N 1. С. 45-67.

9. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

10. Габасов РКириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 507 с.

11. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1973. 248 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Синтез оптимальных управлений в форме обратной связи. Тез. докл. X Всесоюзного совещания по проблемам управления. Кн. 1. 1986. Алма-Ата. С. 137-138.

13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Программные и позиционные решения задач управления и наблюдения в динамических системах. Тез. докл. Межд. Семинара ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Владивосток, 1991. С. 33-34.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Построение оптимальных управлений типа обратной связи в линейной задаче // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. N 6. С. 1294-1299.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Оптимизация линейной системы в режиме реального времени // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1992. N 4. С. 3-19.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

17. Гришин С.А. Синтез многомерных систем управлений с заданной динамикой // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1989. N 6. С. 26-33.

18. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Асимптотическое слежение за постоянным сигналом в системе с неопределенными параметрами. Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990. С. 18-20.

19. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости систем с неопределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1990. N И. С. 176-181.

20. Емельянов С. В., Живоглядов П.В., Коровин С.К. Способ стабилизации дискретных объектов с компактной неопределенностью // ДАН СССР. 1991. Т. 319. N 1. С. 91-97.

21. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшов Р.З. Синтез многоуровневых систем управления динамическими объектами с неопределенными параметами. Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990. С. 31-34.

22. Захаров A.B., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

23. Зотов Н.С., Юнфей У. Численная оптимизация квадратичного функционала с учетом ограничения на управление // Изв. С.-Пб. электротехнического ун-та. 1993. N 467. С. 59-66.

24. Калинин А.И., Кириллова Ф.М. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем в классе гладких ограниченных управлений // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. N 2. С. 175-183.

25. Калман Р. Об общей теории систем управления. Тр. I Конгресса ИФАК. Т.1. М: АН СССР. 1961.

26. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

27. Красовский Н.Н. Системы автоматического регулирования полетом и их аналитическое конструиование. М.: Наука, 1973. 558 с.

28. Кротов В.Ф., Букреев В.В., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. 288 с.

29. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

30. JJemoe A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I-III // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. NN 4-6.

31. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов IV // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22. N 4.

32. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов V. Дальнейшее развитие проблемы // Автоматика и телемеханика. 1962. Т. 23. N 11.

33. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 359 с.

34. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

35. Лозинский Л.Д., Мееров М.В. Синтез одного класса САУ с жесткой структурой, обладающей адаптивными свойствами // Автоматика ителемеханика. 1986. NN 9-11.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Го-стехиздат, 1950. 472 с.

37. Магницкий H.A. Об устойчивости замкнутых нестационарных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1989. N 10. С. 187-188.

38. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Физматгиз, 1961.

40. Пылаев П.К., Ядыкин И.Б. Интервальные алгоритмы адаптивного управления с неявной эталонной моделью // Автоматика и телемеханика. 1989. N 6.

41. Розоноэр Л.И. Принцип максимума J1.C. Понтрягина в теории оптимальных систем I-III // Автоматика и телемеханика. 1959, Т. 20. N 10. С. 1320-1334. N 11. С. 1441-1458. N 12. С. 1561-1578.

42. Смагулов Ш., Бияров Т., Байгелов К. Синтез оптимальных систем управления с ограниченным ресурсом // Вестн. АН Каз. СССР 1991. N 2. С. 63-69.

43. Соколов Б.Н. Ограниченное позиционное управление динамической системой большой размерности // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. N 6. С. 1042-1044.

44. Степанъянц Г.А. Стабилизация неустойчивого объекта при ограничениях типа "упор" на управляющие воздействия. Динамика нелинейных систем и систем с перестраеваемой структурой. М.: Наука, 1989. С. 18-24.

45. Фелъдбаум A.A. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. Т. 16. N. 2. С. 120-149.

46. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений. Дальневосточный математический сборник. Выпуск 8. 1999. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 1999. С. 174-177.

47. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений. Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Золотова Е.В.

48. Владивосток, 26 августа-2 сентября 1999 г.). Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 1999. С. 88-89.

49. Aschepkov L. Т., Shaparenko N.N. Optimal Synthesis and Predictive Stabilization of Linear System // Abstract index of Proceedings of the 3rd Asian Control Conference. Shanghai, 2000. P. 478.

50. Evans R.J., Xianya X. Robust regulator design // Int. J. Contr. 1985. V. 41. N 2.

51. Gabasov R., Kirillova F.M., Prishepova S.V. Feedback Optimal Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences (M. Thoma ed.) V. 207. Springer-Verlag. 1995. 202 p.

52. Gabasov R., Kirillova F.M. Real-time construction of optimal closable feedbacks. In. Preprints of the 13th Word IFAC Congress (San-Francisko, USA, 1996). V. D. P. 231-236.

53. Galimidi A.R., Barmish B.R. The constrained Lyapunov problem and its application to robust output feedback stabilization // IEEE Trans, on Autom. Control. 1986. V. AC-31. N 5.

54. Juang Y.-T., Kuo T.-S., Hsu C.-F., Wang S.-D. Root-locus approach to the stability analysis of interval matrices // Int. J.Contr. 1987. V. 46. N 3.

55. Kapoor N., Daoutidis P. Stabilization of systems with input constraints // Int. J. Contr.-1997. V. 66. N 5. P. 653-675.

56. Kwon W.H. Advances in predictive control: theory and applications. Seoul: Seoul National University, 1995.

57. Lin Yuandar, Sontag Eduardo. A universal formula for stabilization with bounded controls // Syst. and Contr. Lett. 1991. V. 16. N 6. P. 393-397.

58. Lin Yuandar, Sontag Eduardo. On control Lyapunov functions under input constraints. Proc. 33rd IEEE Conf. Decis and contr. Lake Buena Vista. Fla. Dec. 14-16 1994. V. 1. P. 640-645.

59. Ma Baoming, Lvine William S. An algorithm for solving optimal control problems with control and terminal-state contraints // Proc. 33rd IEEE Conf. Decis and contr. Lake Buena Vista. Fla. Dec. 14-16 1994. V. 2. P. 1374-1380.

60. Mayne D.A., Schroeder W.R. Nonlinear control of constrained linear systems // Int.J. Contr. 1994. N 5. P. 1035-1043.

61. Mori T., Kokame H. Stabilization of perturbed systems via linear optimal regulator // Int. J. Contr. 1988. V. 47. N 1.

62. Yang Yudi, Sussman H.J., Sontag E.D. Stabilization of linear systems with bounded controls. NOLCOS'92: Nonlenear Contr. Syst. Des. Symp. Bordeux. 24-26 June. 1992. Proc. IFAC—SL, 1992. P. 15-20.