О свободных (конформных) алгебрах Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Чибриков, Евгений Сергеевич

• Чибриков, Евгений Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чибриков, Евгений Сергеевич

Введение

1 Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова

1.1 Основные определения и результаты.

1.2 Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова

1.3 Правонормированный базис свободной алгебры Ли.

1.4 Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова

2 Правонормированный базис свободной супералгебры Ли

2.1 Основные определения.

2.2 Отображение, перерабатывающее слова множества <3х в слова множества

2.3 Формулировка и доказательство основной теоремы.

3 О свободных конформных алгебрах Ли

3.1 Лемма о композиции для модулей

3.2 Конформные и вертексные алгебры

3.3 Порождающие свободной конформной алгебры Ли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свободных (конформных) алгебрах Ли»

Впервые базис свободной алгебры Ли был найден М.Холлом [30] в 1950г. История возникновения этого базиса восходит к работам Ф.Холла [31] (1933), В.Магнуса [37] (1937) и Е.Витта [42] (1937)(см. об этом, например, в книгах В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер [9] и Н.Бурбаки [б]). В диссертации А.И.Ширшова [13] (1953, опубликовано в [15], 1962) была найдена более общая схема построения баз свободной алгебры Ли, включающая базу Холла. Схема Ширшова была переоткрыта значительно позднее в работе [41] (см. также книгу Х.Рейтенауера [39]). Частным случаем схемы Ширшова является база, построенная в 1958 г. А.И.Ширшовым [14] и Р.Линдоном [28], состоящая из правильных (по Ширшову) или стандартных (по Линдону) неассоциативных слов. В работах, опубликованных до появления книги М.Лотера [35], эти слова назывались правильными (ассоциативными и неассоциативными) словами (Ширшова) (см., например, П.Кон [7], Ю.А.Бахтурин [1]). В книге М.Лотера [35] эти слова названы словами Линдона, так же они называются и в книге Х.Рейтенауера [39]. Мы будем называть их словами Линдона-Ширшова, следуя, например, [18].

А.И.Ширшов в работе [16] (1962) применил свои правильные слова для построения теории базисов Гребнера-Ширшова (подробнее об этом будет сказано ниже). Одно из первых применений общей базисной схемы Ширшова было дано Л^А.Бокутем [2] (1962), который построил базы свободной алгебры Ли Ь, совместимые с рядами степеней этой алгебры:

Ь э ЬП1 Э (ЬП1)П2 Э .(. (£П1)"2). .)Пк Э ., где П{ > 2, г > 1. В частности, при щ = 2, г > 1, получаем базу свободной алгебры (Ц Ли, совместимую с производным рядом. Начальные куски этой базы дают базы свободных разрешимых алгебр Ли, переоткрытые позднее Х.Рейтенауером [38] (см. также его книгу [39]).

Слова Линдона-Ширшова нашли многочисленные применения и в теории супералгебр Ли. Так, например, А.А.Михалев [10] и А.С.Штерн [12] показали, что базис свободной супералгебры Ли состоит из неассоциативных слов Линдона-Ширшова и квадратов неассоциативных нечетных слов Линдона-Ширшова (см. также [17]).

Г.П.Кукин [8] нашел более общую, чем схема Ширшова, схему построения баз свободных алгебр Ли. Часть этой работы была посвящена левонормированной базе, но в этой части имеются ошибки. Укажем их в явном виде.

Будем следовать обозначениям работы [8]. Правонормированные слова строятся в примере 3 работы [8], там же приведено доказательство. Возьмем X = {^1, х2}, где хх > х2. Тогда Со = {я1,я2}; Р\ — {хх}, Аг = {:г2} и Сх(1) = {жь хгхг2 \ г = 0,1,.}. Следовательно, РХ2 = {за^г}, Мг = {^1}; Р\з = {я^!}, А13 = {хь я^}. Откуда мы получаем, что С2( 1,2) = {(ххх2)х\ \ г — 0,1,.}, С2(1,3) = {(х\х2)х1,.}. Из С2(1,2) мы получим, что Р122 = {(заЖг)^}, ^122 = {^1^2}- Поэтому С3(1,2,2) = {(х1х2)х\(х1х2)г | г = 0,1,.} (все слова ассоциативные). Здесь мы выписали только те множества Ск(т1,. из которых нам потребуется выбрать некоторые элементы. Построение множеств Ск(тг,., т*) описано в [8], отметим только, что на каждом новом шаге этого построения длина слов увеличивается. Множества Со, Сх(1), С2(1,2), С2(1,3), С3(1,2,2) содержатся в множестве ассоциативных слов Ё. На всех словах из Р скобки расставляются левонормированным образом [. [[[а^я^Жгз] • • •]> полученное множество обозначается через Р. В [8] утверждается, что множество Р является базисом свободной алгебры Ли. При доказательстве линейной независимости автор пишет: "Запишем элемент / € ^ в алгебре иЬ[ха]. Очевидно, в его запись входит ровно один элемент из Ё - это / с коэффициентом 1."

Здесь 11Ь[ха] — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством {.та} и / — слово, получающееся из / снятием всех скобок. Рассмотрим слово х\х\хх £ Сг(1,3). Тогда жхжг]^]^] = —1(х2х\)2 +х\х\ - х\х\ + 2(х1х2)2.

Мы видим, что слово х\х\хх вообще не входит в эту запись. Поскольку доказательство линейной независимости строится на этом ошибочном утверждении, оно не может быть исправлено. Кроме того, в доказательстве того, что Р порождает свободную алгебру Ли, существенно используется следующий факт: если Д е Р и хр > ха, где хр - первая буква в слове Д, а ха - любая буква исходного алфавита, то /ха;а € Р. Это утверждения также не верно, поскольку если рассмотреть слово Д = (х 1X2)21 (ж 1^2) € Сз(1,2,2), то легко можно заметить, что слова Дях и /1X2 не принадлежат множеству Ё .

В работах Д.Блессенохла, Х.Лауе [24], Р.Брайента, Л.Ковача, Р.Штёра [26] и С.Гуилфойла, Р.Штёра [32] построены базисы свободной алгебры Ли, состоящие из многочленов.

В упомянутой выше работе [16] 1962 года А.И.Ширшов ввел понятие композиции для лиевских многочленов (на самом деле, неявно, композиция включения была определена в 1958 году в [14]), а Б.Бухбергер [27] в 1965г. - аналогичное понятие для коммутативных многочленов (я-многочлены). Эти понятия тесно связаны с понятиями множеств (коммутативных и лиевских) многочленов, замкнутых относительно взятия композиции (для лиевских полиномов эта терминалогия была введена Л.А.Бокутем в [3]).

Лемма Ширшова о композиции [16] и теорема Бухбергера [27] утверждают, что если множество 5 замкнуто относительно композиции (взятия е-многочленов), и / € 1<1(3), то старшее слово / содержит старшее слово многочлена из 5, т.е. / = usv для некоторого й б 5. Замкнутые относительно композиции множества в случае коммутативных алгебр Б.Бухбергер назвал базисами Гребнера. В последнее десятилетие эти множества для алгебр Ли и ассоциативных алгебр стали называть базисами Гребнера-Ширшова.

Важным следствием леммы о композиции является Composition-Diamond лемма (CD-лемма), которая утверждает, что множество S (унитарных лиевских или ассоциативных многочленов) является базисом Гребнера-Ширшова тогда и только тогда, когда ¿"-редуцированные слова образуют линейный базис соответствующей алгебры с определяющими соотношениями S. Для ассоциативных алгебр последнее утверждение содержится в работах Л.А.Бокутя [4] и Дж.Бергмана [23].

В восьмидесятых годах А.А.Михалев [11] распространил технику композиций на случай супералгебр, доказав лемму о композиции для цветных супералгебр. С.-Дж.Канг и К.Х.Ли [34] доказали аналог леммы Ширшова о композиции для модулей. Теория базисов Гребнера-Ширшова построена и для конформных алгебр (см. следующий абзац).

Понятие конформных алгебр появилось в теории вертексных алгебр, которая, в свою очередь, возникла в середине 80-х годов из математической физики (релятивистской квантовой теории поля и теории струн). Впервые вертексные алгебры были введены (неформально) в работе А.А.Белявина, А.М.Полякова,

A.Б.Замолодчикова [22], формальное определение было дано Р.Борчердсом [25].

B.Кац в книге [33] дал формальное определение конформной алгебры и использовал его для изучения вертексных алгебр. Вертексные алгебры нашли применение и в теории представлений простых конечных групп, а именно, в построении Moonshine представления Монстра (см. работы [25], [29]). В работе [25] Р.Борчердс анонсировал существование свободных вертексных алгебр (их существование не следует из общих теорем универсальной алгебры, так как класс вертексных алгебр не образует многообразия). Этот результат был получен М.Ройтманом [40].

В той же работе М.Ройтман доказал существование свободных ассоциативных конформных алгебр (другое доказательство см. в [20]). Л.А.Бокуть, И.Фонг и В.-Ф.Ке [21] распространили идеи и технику базисов Гребнера-Ширшова на случай ассоциативных конформных алгебр.

Настоящая работа посвящена построению правонормированных базисов свободной алгебры Ли и свободной супералгебры Ли (главы 1 и 2). Кроме того строится базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих (глава 3).

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории колец, структурной и комбинаторной теорий конформных и вертексных алгебр. Основные результаты.

1) Построен правонормированный базис свободной алгебры Ли.

2) Определена новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова. Доказано, что полученные лиевские слова образуют базис свободной алгебры Ли. Для этого базиса доказан вариант СБ-леммы.

3) Построен правонормированный базис свободной супералгебры Ли.

4) Найден базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории (супер)алгебр Ли, теории конформных и вертексных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации были представленны на Международной алгебраической конференции памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002), на XXXIV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2003), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения."(Тула, 2003), на Международной алгебраической конференции (Москва, 2004). Результаты также докладывались на семинаре им. А.И.Ширшова "Теория колец" ИМ СО РАН, семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственном университете.

Публикации. Все основные результаты опубликованы в [43] — [49].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 89 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 49 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чибриков, Евгений Сергеевич, 2004 год

1. Ю.А.Бахтурин Тождества в алгебрах Ли, М., Наука, 1985.

2. Л.А.Бокутъ Базис свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика, 1963, 2, N4, 13-19.

3. Л.А.Бокутъ Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно представленных алгебр Ли // Изв. АН СССР, 1972, 6, 1153-1199.

4. Л.А.Бокутъ Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика, 1976, 15, N2, 117-142.

5. Л.А.Бокутъ, П.С.Колесников Базисы Гребнера-Ширшова: от зарождения до наших дней // Записки научных семинаров ПОМИ / Вопросы теории представлений алгебр и групп, 2000, 7, 272, с. 26-67.

6. Н.Бурбаки Группы и алгебры Ли, М., Мир, 1976.

7. П.Кон Универсальная алгебра, М., Мир, 1968.

8. Г.П.Кукин Базы свободной алгебры Ли // Мат. заметки, 1978, 24, N3, 375-382.

9. В.Магнус, А.Каррас, Д. Солитер Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

10. А.А.Михалев Базисы свободных цветных алгебр // Вестн. МГУ, 1984, N5, с.94.

11. А.А.Михалев Лемма о композиции и проблема равенства для цветных супералгебр Ли // Мат. заметки, 1988, 43 (2), 178-191.

12. А.С.Штерн Свободные супералгебры Ли // Сиб. мат. жур., 1986, 27, N1, 170— 174.

13. А.И.Ширшов Некоторые вопросы теории неассоциативных колец и алгебр. Автореферат канд. диссертации, Москва, МГУ, 1953.

14. А.И.Ширшов О свободных кольцах Ли // Мат.Сб., 1958, 45, 87, 113-122.

15. А.И.Ширшов О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика, 1962, 1, 1, 14-19.

16. А.И. Ширшов Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.Мат.Журн., 1962, 3, 292-296.

17. Yu.A.Bahturin, A.A.Mikhalev, V.M.Petrogradsky, M. V.Zaicev Infinite Dimensional Lie Super algebras, De Gruyter Expositions in Mathematics, 7. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992.

18. L.A.Bokut, G.P.Kukin Algorithmic and combinatorial algebra. Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.

19. Bokut, L.A.; Shaio, L.-S. Grobner-Shirshov bases for Coxeter groups // Communication in algebra 2001, 29 (9), 4305-4319.

20. L.A.Bokut, Y.Fong, W.-F.Ke Free associative conformai algebras // Proc. of the 2nd Taimen-Moscow Algebra and Combinatorics Workshop, Tainan 1997, 13-25. Springer-Verbag, Hong Kong, 2000.

21. L.A.Bokut, Y.Fong, W.-F.Ke Composition-Diamond lemma for associative conformai algebras // J.Algebra, 2004, 272 (2), 739-774.

22. A.A.Belavin, A.M.Polyakov, A.B.Zamolodchikov Infinite conformai symetry in two demensional quantum field theory // Nuclear Phys. 1984, 241, 333-380.

23. G.M.Bergman The diamond lemma for ring theory // Adv. in Math. 1978, 29, 178218.

24. D.Blessenohl, H.Laue A basis constructionfor free Lie algebras // Exposition Math. 1993, 11, 145-152.

25. R.E.Borcherds Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1986, 83, 3068-3071.

26. R.M.Bryant, L.G.Kovacs, R.Stöhr Invariant bases for free Lie rings // Quart J. Math. 2002, 53, 1-17.

27. B.Buchberger An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero-dimensional ideal, Ph.D. thesis, University of Innsbruch, 1965.

28. K.T.Chen, R.H.Fox, R.C.Lyndon Free differential calculus.IV: The quotient groups of the lower central series // Ann. Math., 1958, 68, 2, 81-95.

29. Frenkel, I; Lepovski, J; Merman, A. Vertex operator and the Monster. Academic Press, Boston, MA, 1988.

30. M.Hall A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 1950, 1, 575-581.

31. P.Hall A contribution to the theory of groups of prime power order // Proc. London Math. Soc., 1933, 36, 29-95.

32. S.Guilfoyle, R.Stöhr Invariant bases for free Lie algebras // J.Algebra 1998, 204, 337-346.

33. V Kac Vertex Algebras for beginners. University Lecture Series, vol.10, AMS, Providence, RI, 1996.

34. Kang, S.-J.; Lee, K.-H. Gröbner-Shirshov Basis for Representation theory // Journal of Korean Mathematical Society 2000, 37, 50-72.

35. M.Lothaire Combinatorics on words, Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

36. R.C.Lyndon On Burnside's problem I // Trans. Amer. Math. Soc., 1954, 77, 202-215.

37. W.Magnus Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren, J. reine u. angew Math., 1937, 177, 105-115.

38. C.Reutenauer Dimensions and characters of the derived series of the free Lie algebra. In M.Lothaire, Mots, Melanges offerts a M.-P.Schützenberger, 1990, 84-171. Hermes, Paris.

39. C.Reutenauer Free Lie algebras. London Mathematical Society Monographs. New Series, 7. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993.

40. M.Roitman On free conformal and vertex algebras // J.Algebra 1999, 217 (2), 496527.

41. X.G. Viennot Algebres de Lie libres et monoides libres. Lecture Note in Mathematics, 1978. V. 691. Springer, Berlin.

42. E.Witt Treue Darstellung Lieschen Ringe //J. reine u. angew. Math. 1937, 177, 152-160.Работы автора по теме диссертации

43. Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах / / Международная алгебраическая конференция памяти З.И.Боревича, тезисы докладов. ПОМИ им. В.А.Стеклова, Санкт-Петербург, 2002, с.71-72.

44. Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах / / Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 27-31 января 2003г., с.58-60.

45. Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции, Тула, 19-20 мая 2003г., с. 241-243.

46. Е. С. Чибриков Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова // Международная алгебраическая конференция, тезисы докладов, Москва, 2004, с. 137-139.

47. Е. С. Чибриков О свободных конформных алгебрах Ли // Вестник НГУ, 2004, 4 (1), 65-83.

48. Е. С. Чибриков Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова // Док. РАН, 2004, в печати.

49. Е. С. Чибриков Правонормированный базис свободной супералгебры Ли и слова Линдона-Ширшова, Новосибирск, 2004, 26 стр. (Препринт / Новосибирский государственный технический университет).