О постороении и свойствах аналитических интегральных многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Курбаншоев, Сафарали Завкибекович

• Курбаншоев, Сафарали Завкибекович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Курбаншоев, Сафарали Завкибекович

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЕКТОРЫ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДЙ«РЕН

ЩАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ

ЧАСТЯМИ.

§ I.I. О некоторых аналитических свойствах нелинейного оператора Грина.

§ 1.2. Некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов.

§ 1.3. Построение нелинейных проекторов решений системы дифференциальных уравнений с аналитической правой

частью.

ГЛАВА П. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ СИСТЕМ ДЯШРЕНЩАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ.

§2.1. Основные понятия и формулировки проблемы по теории интегральных многообразий.

§ 2.2. Построение интегральных многообразий системы ^ . дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр.

§2.3. Построение интегральных многообразий методом малого параметра.

ГЛАВА Ш. ПРИНЦИП СВЕДЕНИЯ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§ 3.1. О принципе сведений в теории дифференциальных уравнений.

§3.2. Некоторые свойства разрешающего оператора систем дифференциальных уравнений.

§3.3. Построение специального интегрального многообразия решений с аналитической правой частью.

§3.4. Неокторые аналитические свойства односторонних нелинейных проекторов.

ГЛАВА 1У. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

БЕЛЛМАНА И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

§4.1. Необходимые и достаточные условия оптимальности для общей задачи динамического программного управления. ^

§4.2. Построение оптимальных интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений с аналитической правой частью.

§4.3. Принцип оптимального многообразия для системы разностных уравнений с аналитической правой частью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О постороении и свойствах аналитических интегральных многообразий»

В теории дифференциальных уравнений существенную роль играют интегральные многообразия решений, введенные в работах А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского. Интегральные многообразия, объединяющие множество решений в одно целое, используются при решвншвопросов устойчивости решений, при расщеплении решений и понижении порядка, в задачах анализа и синтеза оптимального управления.

В диссертационной работе предлагается изучение свойств интегральных многообразий дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями. Обосновываются уже известные свойства и указываются границы их применимости. Найдены оценки радиуса голоморфности, а также разработаны новые способы построения интегральных многообразий для дифференциальных и разностных уравнений." Предлагается исследование поведения интегральных кривых в окрестности заданных интегральных многообразий. Кроме этого,в диссертации разработана прикладная сторона вопроса - получены аналитические свойства функции, определяющие оп -тимальное уравнение, решения уравнения Беллмана.

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях естествознания широко используются нелинейные дифференциальные и разностные уравнения. Стремление к более точному математическому описанию физических явлений, как правило, приводит к усложнению уравнений и увеличению их порядка. Лишь немногие из нелинейных уравнений, описывающих реальные физические процессы, допускают точное решение. Так как очень часто требуется знать качественную картину "в целом" без нахождения самих решений, то изучение дифференциальных и разностных уравнений с этой точки зрения требует специальных качествен -ных методов исследования. С увеличением порядка рассматриваемых уравнений и усложнением их вида задача качественного исследования значительно усложняется.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А.Пуанкаре [105], а также исследованиями А.М.Ляпунова [70] об устойчивости движения. Значительные обобщения теории

A.Пуанкаре были получены в работах Бендиксона [ 9 ] , Биркгофа [10], Брауэра, Дюлака, Янгеля. Для систем выше второго порядка расположение интегральных кривых на торе рассматривали Данжуа и Кнезер. Топологические методы Пуанкаре успешно применялись в работах А.А.Андронова и его учеников [2, 3], В.В.Немыцкого и

B.В.Степанова [91] и во многих работах зарубежных авторов [57, 65, 108, 122, 126 ] . Использованию результатов качественной теории для решения различных вопросов механики и физики посвящены работы Л.И.Ман дельштама [74], Н.Д.Палалекси [93], А.А.Андронова [2, 3] и их учеников. Среди аналитических методов широкое распространение получили методы малого параметра, связанные с именами Эйлера, Лагранжа, Пуассона.

Важной задачей качественного исследования дифференциальных уравнений является задача об устойчивости решений. Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке разрешил А.М.Ляпунов [703. Для решения этой задачи Ляпунов предложил два метода. Первый метод состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при t* 0 .По виду решения устанавливается факт его устойчивости или неустойчивости. Второй метод приводит к отысканию функций, обладающих специальными свойствами. Рассматривая эти функции на решениях, можно сделать заключение об устойчивости этих решений. В основе второго метода Ляпунова лежат теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Для исследования устойчивости в особых случаях А.М.Ляпунов использовал метод, по -лучивший в последствии название принципа сведения. В настоящее время этот метод определился как частный случай более общего метода интегральных многообразий, предложенного Н.Н.Боголюбовым [II] и развитого в работах Ю.А.Митропольского и его учеников [12, 14, 85, 86].

В 1961 году на Международном симпозиуме по нелинейным колебаниям, состоявшемся в г.Киеве, был представлен обзорный доклад Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в СССР [14], так и в США [15]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулированы возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути развития и обобщения метода.

Появление указанной работы, а также обзоров по теории интегральных многообразий [16, 17, 80-82] оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механике как в СССР, так и за рубежом (США., ЧССР, СРР). По намеченным в С14] наиболее актуальным проблемам появилось большое число работ. Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих "малый" и "большой" параметр, на уравнения в функциональных пространствах, на системы уравнений с малым параметром при производных, систем с запаздыванием и др.

В настоящее время идеи метода интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. Метод интегральных многообразий в настоящее время является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющим получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании доста -точно сложных динамических систем.

После работ Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского, начиная с 1957 года, теория интегральных многообразий получила свое развитие в работах учеников Ю.А.Митропольского: А.М.Самойленко [114117], О.Б.Лыковой [67 , 68] , В.И.Фодчука [120], а также других авторов как в СССР, так и за рубежом [131 - 145].

Кроме указанных работ, исследованию интегральных многообразий посвящены работы Ю.И.Неймарка, В.А.Плисса, Ю.Л.Далецкого, К.Г.Валеева и др.

Исследовав вначале проблему о существовании, единственности, зависимости от параметра и гладкости инвариантных поверхностей точечного отображения, Ю.И.Неймарк применил эти результаты для изучения аналогичного круга вопросов для интегральных многообразий дифференциальных уравнений. Им установлены условия существования и грубости тороидальной интегральной поверхности автономной системы дифференциальных уравнений. Результаты Ю.И.Неймарка и его учеников содержатся в работах [87, 88, 40-42].

Ряд результатов по теории инвариантных многообразий получен

A.М.Самойленко. Так, им предложен новый подход к теории возмущения инвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использованием функций Грина для линеаризованной задачи. Этот подход позволяет с общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и недифференцируемых инвариантных многообразий динамических систем. Подробное изложение этих результатов содержится в работах [113-116].

Значительные результаты по теории инвариантных поверхностей принадлежат В.А.Плиссу [98-1011 и другим советским авторам (см. [8, 31, 36, 43, 53, 54, 59, 123]).

Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внес К.Г.Валеев [22-33]. Им созданы, в частности, конструктивные схемы построения интегральных многообразий для различных классов линейных и нелинейных систем, которые он в дальнейшем использовал для построения функции Ляпунова и нелинейных проекторов. Предложенные К.Г.Валеевым схемы построения интегральных многообразий , существенно использованы в диссертации.

Значительный вклад в развитие идей и методов теории интегральных многообразий и в применении их к исследованию проблемы возмущения для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений внесли многие зарубежные ученые: в США - С.Дилиберто [132],

B.Кайнер [138], А.Келли [136], Н.Левинсон [139], В.Лауд [140] , М.Маркус [141], Р.Сакер [142], Г.Хаффорд [135], Дж.Хейл [134] , Н.Чейфи [131] и др.; в Японии - Т.Йоншзава"[145], М.Урабе [144]; в Чехословакии - Я.Курцвейль [1371, в Румынии - Халанай [133].

Как и в теории дифференциальных уравнений идеи метода интегральных многообразий широко используются в теории разностных уравнений. Приводим лишь краткий обзор работ по теории интег -ральных многообразий разностных уравнений, имеющих близкое отношение к диссертации*

В настоящее время разностные уравнения находят применение во многих разделах современной науки, в том числе в биологии, экономике, химии, строительной механике, технике, физике, в теории электрических цепей, в теории вероятностей. Уравнения в конечных разностях являются удобной математической моделью при описании дискретных динамических систем [89, 121, 124, 125]. К разностным уравнениям сводится приближенное решение начальных или граничных задач для дифференциальных уравнений [35, 118 \ Интерес к изучению разностных уравнений повысился еще и в связи с интенсивным развитием ЭВМ и теории импульсных автоматических систем.

Широкое использование численных методов решения дифференциальных уравнений, в особенности метода конечных разностей, вызвало необходимость более детального изучения асимптотических свойств решений разностных уравнений.

Другой подход к качественной теории разностных уравнений связан с методом точечных отображений [90], при использовании которого основная трудность возникает из-за недостаточной изученности свойств решений разностных уравнений и отсутствия общих методов их решения.

Исследованием свойств решений разностных уравнений занимались многие математики. Наиболее общими приемами исследования решений является метод степенных и других рядов и особенно метод контурных интегралов, Лапласа, Эйлера, Фурье и др. Харктеристика состояния и проблем качественной теории разностных уравнений, а также обширная библиография имеются в работах Н.Е.Нормунда[143], И.М.Рапопорта [106], Я.В. Быкова, В.Г.Линенко [21], Д.И.Марты-нюка [75], А.А.Миролюбова, М.А.Солдатова [79], А.А.Самарского [112], А.Халаная, Д.Векслера [121] и др.

В работе [34] исследуется стремление к конечным пределам решений систем суммарно-разностных уравнений.

Периодические и квазипериодические решения разностных уравнений изучались в работах [I, 4, 46] и др.

Вопросы существования инвариантных торов систем разностных уравнений рассматривались в работах В.Я.Данилова, Ю.И.Неймарка, А.М.Самойленко, Д.И.Мартынюка [45, 87, 117] и др.

Наиболее близкое отношение к диссертации имеют работы К.Г.Валеева, А.Н.Тихонова, А.Д.Горбунова, в которых при исследовании решений обыкновенных дифференциальных уравнений использо -валась качественная теория разностных уравнений.

При исследовании устойчивости движения с помощью численных методов также существенен вопрос о понижении порядка системы разностных уравнений.

В связи с этими важными и актуальными вопросами являются вопросы исследования асимптотического поведения решений при разностных уравнениях и понижения порядка систем разностных уравнений.

Изучаемые в диссертации системы разностных уравнений можно называть, как и в работах [21, 34] , системами суммарно-разностных уравнений.

В дальнейшем изложении будем пользоваться понятием интегрального многообразия решений системы разностных уравнений вида

Vi" *-0,±1.(ол)

Определение . Множество точек Э в пространстве переменных называется интегральным многообразием [33], если из условия Э , следует, что все точки определяемые уравнением (0.1) с начальным условием tk = t°k , Л^ = Х°к, также принадлежат множеству 3 .

Интегральное многообразие решений иногда будем называть семейством решений.

А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов, исследуя устойчивость движения, пришли к понятию устойчивости решений дифференциальных уравнений. Это понятие 0.Перрон перенес на решения разностных уравнений.

Развиваемая в диссертационной работе теорйи интегральных многообразий, непосредственно опирается на идеи, развитые в работах К.Г.Валеева [21 - 33].

Речь идет о разработке конструктивных способов построения интегральных многообразий с целью применения их для построения нелинейных проекторов, предназначенных для расщепления изучаемых многомерных систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями.

Диссертационная работа посвящена построению нелинейных проекторов с аналитическими правыми частями с помощью интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных и разностных уравнений в банаховом пространстве.

Целью работы является построение для указанных классов уравнений аналитических интегральных многообразий для обоснования методов построения нелинейных проекторов, а также получение оценок радиуса области сходимости полученных разложений интегральных многообразий и нелинейных дроекторов.

Перейдем к изложению результатов, полученных в диссертации. Она состоит из введения;четырех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Курбаншоев, Сафарали Завкибекович, 1984 год

1. Аксиев А.З., Быков Я.В. О периодических решениях одного класса уравнений в конечных разностях. - В кн.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1980, № 13, с. 70-77.

2. Авдронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1958. - 915 с.

3. Андронов А.А., Леонтович В.А., Гордон И.И., Майер А.Е. Ка -чественная теория динамических систем. М.: Наука, 1966.-586с.

4. Баутин Н.Н., Леонтович В.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука,1976. - 496 с.

5. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иност. лит., 1954. - 216 с.

6. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иност. лит., I960. - 400 с.

7. Белюстина Л.Н. Малые периодические возмущения грубой автономной системы. Докл. АН СССР, 1963, 148, № 2, с. 251-254.

8. Бендиксон И. 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. УМН, 1941, 9, с. I9I-2II.

9. Биркгофф Д. Динамические системы. М.-Л.: ОГМЗ, 1941.

10. Боголюбов Н.Н. 0 некоторых статистических .методах в математической физике.-Львов:Изд-во АН УССР, 1945. 139 с.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в теории дифференциальных уравнений. Тр. 1У Все-союзн. математ. съезда, 2. JI.: Наука, 1964, с. 432-437.

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике. Тр. Междун.симп. по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР, 1963, с.93-154.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. The method of integral manifolds in nonlinear mechanics. Contribs, DifferentialEquations, II, Hew Tork, 1963, p. 123-126.

15. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Methodes analitiqul de la theorie des oscillations non-lineaires, Proceedingsof the X-th International Congress of applied mechanics, Stressa, I960, Amsterdam-New-York, 1962, p. 9-25.

16. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в теории дифференциальных уравнений. Тр.Всесо-юзн.матем.съезда,2. Л.:Наука, 1964, с. 432-437.

17. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускорений сходимости в нелинейной механике.- К.:Наук.думка, 1969. 248 с.

18. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования. Изв. АН СССР, Сер.матем., Т.28, № 3, 1964, с. 481-514.

19. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр.лит., 1954. - 216 с.

20. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иност. лит., I960. - 400 с.

21. Валеев К.Г. Принцип сведения в теории дифференциальных уравнений. Киев: Математическая физика, 1974, 16, с. 13-27.

22. Валеев К.Г. Использование нескольких функций Ляпунова. В кн.: Всесоюзн.конф. по качеств.теории дифференц.уравнений. Тезисы докл. Свердловск, 1971, с. 26-28.

23. Валеев К.Г., Жаутыков О.Л. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1974. - 416 с.

24. Валеев К.Г., Кошелева О.Н. Построение решения нелинейных разностных уравнений в окрестности неподвижной точки. -Журн. вычисл.матем. и физики, 1976, 16, № I, с. 72-82.

25. Валеев К.Г., Курбаншоев С.З. О построении нелинейных проекторов решений системы дифференциальных уравнений с аналити -ческой правой частью. Докл. АН Тадж.ССР, 1982, 25, № 4,с. 203-206.

26. Валеев К.Г., Курбаншоев С.З. 0 некоторых аналитических свойствах нелинейных проекторов. Докл. АН Тадж.ССР, 1982, 25, №б, с. 259-263.

27. Валеев К.Г., Мартынюк А.А. Применение метода возмущений в задаче построения функций Ляпунова. Математ.физика, 1975, вып. 17, с. 18-40.

28. Валеев К.Г., Митропольский Ю.А., Финин Г.С. Численный синтез оптимального управления для линейных стационарных систем. -Киев: Ин-т математики АН УССР, Препринт 80.4, 1980. 74 с.

29. Валеев К.Г., Одшаев Ф. Об исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений с помощью численных методов. -Изв. АН Тадж.ССР, 1973, 48, № 2, с. 3-7.

30. Валеев К.Г., Разин Г.А. Асимптотическое сведение квазилинейной системы. Математ.физика, 1973, вып.12, с. 10-16.

31. Валеев К.Г., Такабаев М.К. Применение методов оптимального управления к построению функции Ляпунова. Изв. АН Каз.ССР, Сер. физ.-мат.наук, 1973, №5, с. 26-31.

32. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наук.думка, 1981.

33. Ведь Ю.А., Комаров М.К. О стремлении к конечным пределам решений систем суммарно-разностных уравнений. В кн.Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе,1980, $ 13, с. 299-309.

34. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.-М.: Наука, 1967. 375 с.

35. Голец В.Л. К вопросу возмущения устойчивого инвариантного тора динамической системы. Укр.матем.журн., 1971, 23, № I, с. 130-137.

36. Голец В.Л. О сохранении условно устойчивого тора при возмущении.- Темат.сб.:Асимптотические и качественные методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971, с. 27-35.

37. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений.- М.: Гостехиздат, 1950.

38. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. П, ч.2. Т. Ш, чЛ,- М.: Гостехиздат, 1933.

39. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. К вопросу об устойчивости квазипериодических движений. Дифференц.уравнений, 1969, 5,№5, с. 824-832.

40. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений с быстро вращающейся фазой. Радиофизика, 1969, 12, № II, с. 1597-1608.

41. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. Исследование интегрально тороидального многообразия в критическом случае. Радиофизика, 1971, 14, № 7, с. 967-972.

42. Далецкий Ю.Л. Об устойчивости интегральных многообразий нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Укр.матем.журн., 1968, 20, № 3, с. 376-381.

43. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-М.:Наука,1970.- 535 с.

44. Данилов В.Я. К вопросу об инвариантных торах систем разностных уравнений. В кн.: Исследования по матем. и механике. Киев, 1981, с. 25-31, Рукоп. деп. в ВИНИТИ 13 августа 1981г., № 4034. - 81 с.

45. Данилов В.Я. Исследования квазипериодических решений нелинейных систем разностных уравнений./Препринт 81.18. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. 32 с.

46. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967. 472 с.

47. Дыхман Е.Н. 0 принципе сведения. Изв.КазССР, 1950, 97, вып. 4, с. 372-390.

48. Еругин Н.П. Рецензия на книгу Малкина И.Г. "Теория устойчивости движения. Вестн. Ленингр. ун-та, сер.мат.-мех.,астр., 1953, № 5.

49. Еругин Н.П. Неявные функции. Л: 1956.

50. Жуковский В.И. К условной устойчивости в критическом случае двойного нулевого корня уравнения. -Изв.ВУЗ'ов, № 4, 1966.

51. Шуковский В.И. Об условной устойчивости на заданном интервале времени.-Дифференц.уравнения, 1968, 4, № 5.

52. Задорожный В.Г. Интегральные многообразия многомерных дифференциальных уравнений.- Тр.матем.фак-та ВГУ. Воронеж, вып.I, 1970, с. 49-59.

53. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах.-Л.:Судпромгиз, 1962. 631 с.

54. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука,1975.- 496 с.

55. Каменков Г.В. Избранные труды. М.:Наука, T.I, I97I.-259 е., . Т. П, 1972. - 214 с.

56. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Иностр.лит., 1958. - 474 с.

57. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

58. Крикис Ю.Ю., Рейзинь Л.Э. Гладкость асимптотически инвариантных многообразий в окрестности замкнутой траектории. -ИАН Латв.ССР, сер.физ. и техн.наук, 1964, №4, с.53-56.

59. Курбаншоев С.З. О построении интегральных многообразий методом малого параметра. Докл. АН Тадж.ССР, Т.25, 1982, №8, с. 437-441.

60. Курбаншоев С.З. Построение интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр.-Укр. матем.журн., 1983, Т.35, № 2, с. 234-237.

61. Курбаншоев С.З. О некоторых аналитических свойствах односторонних нелинейных проекторов. Докл.АН Тадж.ССР, 1983, Т.26, № I, с. 3-7.

62. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику.- Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

63. Лагранж Ж.Л. Сборник статей к 200-летию со дня рождения.- М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1397. 141 с.

64. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.- М.: Иностр.лит., 1961. 387 с.

65. Лыкова О.Б. Принцип сведения в банаховом пространстве. -Укр.матем.журн., 1971, Т. 23, № 4, с. 464-471.

66. Лыкова О.Б. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Тр. У Меадун. конф. по нелинейным колебаниям. T.I. Аналитические методы.-Киев: Изд-во АН УССР, 1970, с. 375-379.

67. Лыкова О.Б. О существовании и поведении интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр.- Автореф. дисс. на соиск. ученой степени канд.физ.-мат.наук. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1957.

68. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. В 5-ти томах. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т.2. - 475 с.

69. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.- Л.: Гостехиздат, 1950. - 471 с.

70. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи устойчивости движения. М.-Л.:Гостехиздат, 1946.

71. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1965. - 432 с.

72. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.-М.: Гостехиздат, 1956. 492 с.

73. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1970. - 470 с.

74. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наук.думка, 1972. - 246 с.

75. Массера X., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 476 с.

76. Мельников Г.И. К теории нелинейных колебаний. -Вест.ЛГУ,сер, матем. и мех. и астр., вып.1, 1964, с. 88-98.

77. Мельников Г.И. Об определении переходных процессов в нелинейных автоматических системах.- Автоматика и телемеханика. Т. ХХ1У, вып. I, 1965.

78. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.

79. Митропольский Ю.А. Sur les multiplicitecs integrates des systemes d'equations clifferentielies non-linearies ayant un retit parametre.-Ann.Mat.pzjba ed appl.Ser. IV, XLIX,BologrLa, 49, 1960, p. 181-192.

80. Митропольский Ю.А. The method of integral manifolds in the theory of nonlinear oscillations, International Sysposiun. on Nonlinear Differential Equations and Hon-Linear Mechanics. New-York and London, Acad.Press, 1963, p.1-15.

81. Митропольский Ю.А. Метод интегральных многообразий в теории нелинейных дифференциальных уравнений.(Доклад на У Междун. матем.конф. в г.Стокгольме)Киев: Изд-во АН УССР, 1962.

82. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.- Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

83. Митропольский Ю.А., Белан Е.П. 0 принципе сведения в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений. Укр.матем. журн., Т.20, № 5, 1968, с. 654-660.

84. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. - 512 с.

85. Митропольский Ю.А., Фодчук В.И, Об устойчивости интегральных многообразий для одного класса сингулярно-возмущенных системс запаздываниям.- Укр.матем.журн., Т.20, № 6, I968,c.I79I-I80I.

86. Неймарк Ю.И. 0 существовании и грубости инвариантных многообразий точечных отображений. Радиофизика, 10, № 3, 1967, с. 311-320.

87. Неймарк Ю.И. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений. Радиофизика, 10, № 3, 1967, с. 321-334.

88. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. -М.: Наука, 1978. 336 с.

89. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

90. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. - 550 с.

91. Осипов Ю.С. 0 принципе сведения в критических случаях устойчивости движения систем с запаздыванием времени. ПММ, 29, вып. 5, 1965.

92. Папалекси Н.Д. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1948.- 428 с.

93. Персидский К.П. Некоторые критические случаи счетных систем.- Изд-во АН Каз.ССР, сер.матем. и мех., вып.5, 62,1951,с.3-24.

94. Персидский К.П. Избранные труды. Алма-Ата: Наука, Т.1,2, 1976. - 272 с.

95. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения.- Изд-во АН СССР, сер. мат., 28, № 6, 1964, с. 1297-1324.

96. Плисс В.А. 0 принципе сведения в теории устойчивости движения. Докл. АН СССР, 154, вып. 5, 1964.

97. Плисс В.А. Об инвариантных поверхностях системы двух дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 131, №б, I960,с. I022-1024.

98. Плисс В.А. Исследование одного трансцендентного случая теории устойчивости движения. ИАН СССР, сер.матем.,28, № 4, 1964, с. 911-924.

99. Плисс В.А. О существовании семейства периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае нулевых корней.-Дифференц. уравнения, I, № I, 1965, с. 17-24.

100. Плисс В.А. К теории инвариантных поверхностей.- Дифференц. уравнения, 2, № 9, 1966, с. II39-II50.

101. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -М.:Наука, 1969.- 384 с.

102. Постников В.И. К теории устойчивости движения в критических случаях.- Автореф.дисс. Л.: 1947.

103. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М'.: Наука, 1977. - 256 с.

104. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х томах. М.: Наука, 19711972. - Т. 1-2.

105. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах.в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1954,- 286 с.

106. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне, 1971.

107. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.- 318с.

108. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во иностр.лит., 1954. - 500 с.

109. РойтЕнберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. - 551 с.

110. Рябов Ю.А. Некоторые вопросы применения метода малого параметра и оценки области сходимости в теории нелинейных колебаний и систем с запаздыванием. М.: Автоеф.докт. дисс., 1962.

111. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 552 с.

112. Самойленко A.M. 0 локальных интегральных многообразиях в окрестности периодических решений систем дифференциальных уравнений. Тр. симп. по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев: Ин-т математики АН УССР, I, № I, 1963, с.60-87.

113. Самойленко A.M. 0 проводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности гладкого тороидального многообразия. ИАН СССР, сер.матем., 30, № 5, 1966, с.1047-1072.

114. Самойленко A.M. О сохранении инвариантного тора при возму-. щении. ИАН СССР, сер.матем., 34, № 5, 1970, е.1219-1240.

115. Самойленко A.M. К теории возмущения инвариантных многообразий динамических систем.- Тр. У Междун.конф. по нелинейным колебаниям. Аналитические методы. Киев: Ин-т математики А Н УССР, T.I, 1970, с. 495-499.

116. Самойленко A.M., Мартынюк Д.И., Перестюк Н.А. Существование инвариантных торов систем разностных уравнений. Дифференц. уравнения, № 10, 1973, с. I904-I9I0.

117. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 735 с.

118. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-гЛ.: ОНТИ, 1937. - 500 с.

119. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. - 309 с.

120. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Мир, 1970. 720 с.

121. Худайбердиев Р. Об одном применении метода интегральных многообразий. Ташкент: Автореф.дисс. на соиск.ученой степени канд.наук, 1965.

122. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем.- М.: Физмат-гиз, 1963. 968 с.

123. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. - 414 с.

124. Чезари Л. Асимптотические поведения и устойчивость решений дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. - 477 с.

125. Четаев Н.:Г. Устойчивость движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1946. - 204 с.

126. Шиманов С.Н. Критический случай пары мнимых корней для систем с последствием. ПММ, Т.25, вып. 3, 1961.

127. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последовательностями. Дифференц. уравнения, T.I, вып.1, 1965.

128. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного . нулевого корня для систем с последовательностями. ПММ. Т.24, вып. I, I960.

129. Ghaffe N. The bifurcation of one or inore closed orbits an eqnilibrum point of an antonomons differential systems. J.Diff.Egs., 4, ГГ 4, 1968, p. 661-669.

130. Diliberto S.P. Application of periodic sursaces ta a special class of problems. J.Diff.Egs., 6, N1,1969, p. 40-41.

131. Halanay A. An invariant surface for some linear singularly perburted systems with, time lag.- J.Deff.Egs.,2, IT 1, 1966, p. 33-46.

132. Hale D. Integral manigolds of perturbed differential systems, Bol.Soc. Mat.Maxacana, 5, В 1, $966,p.51-57.

133. Hufford G. Banach spaces and the perturbation of ordinary differential equations.- Ann.Math.Studies, К 36, 1956, p. 173-195.

134. Kelley A. Analytic two-dimensional subcenter manifolds for systems with an integral, Pacific. J.Math, 29, N 2,1969, P. 335-350.

135. Kurzweil J. Invariant manifolds for flows.- Proc.Sump. Diff.Bgs. and Dyn.Syst.Mayaques, Puerto Rico, Dez., 27-30, 1965. Acad. Press New-York, 1967, p, 431-468.

136. Kyner Y7.T. Invariant manifolds. Kend.Gere.Math. Palermo, ?; 10, 1961, p. 98-110.

137. Markus L. Dynamical systems on group manifolds.- , Proc.Symp. Diff.Eng. and Dyn.Syst., Mayaqnez, Puerto Rico, Dez., 27-30, 1965, Acad.Press, new-york, 1967, p. 487-493.

138. Backer E.J. A new approach, to the perturbation theory of invariant surf aces.-Comm. Pure Appl. Math.,18, N 4, 1965» P. 717-732.

139. Horlund Ж.Е. Vorlesungen liber Differenzenrechnung.-Berlin-, Springer, 1924. 551 s.

140. Urate M. Geometric study of nonlinear antonomons systems.ч Funcialaj Ekvacioj, 1, 1958, p. 1-83.

141. Yoshizawa T. Stability of sets an perturbed system, Funkcialaj Ekvacioj, 5, II 1, 1963, p. 31-69.