Нетривиальные псевдохарактеры на группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Каган, Дмитрий Зиновьевич

• Каган, Дмитрий Зиновьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каган, Дмитрий Зиновьевич

Введение.

Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах.

Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов.

Глава 1. Псевдохарактеры на свободных произведениях и HNN-расширениях групп.

1.1 Некоторые общие утверждения о нетривиальных псевдохарактерах.

1.2 Нетривиальные псевдохарактеры на свободных произведениях с объединенной подгруппой.

1.3 Нетривиальные псевдохарактеры на HNN-расширениях групп.

Глава 2. Псевдохарактеры на аномальных произведениях групп.

2.1 Аномальные произведения и их свойства.

2.2 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях с бесконечной циклической группой.

2.3 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп.

Глава 3. Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими.

3.1 Преобразования группы с одним определяющим соотношением.

3.2 Эндоморфизмы свободной группы и связанные с ними понятия.

3.3 Функции на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов.

3.4 Псевдохарактеры и квазихарактеры на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов.

3.5 Частные случаи псевдохарактеров свободных групп, инвариантных относительно некоторых эндоморфизмов.

3.6 Нетривиальные псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром.ИЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нетривиальные псевдохарактеры на группах»

Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением, на некоторых свободных конструкциях групп и на аномальных произведених различных групп, в том числе на аномальпых произведениях с бесконечной циклической группой и аномальных произведениях локально индикабельных групп, а также о существовании нетривиальных псевдохарактеров свободной группы, инвариантных относительно определенных ее эндоморфизмов.

Нетривиальные псевдохарактеры связаны со многими важными характеристиками групп, например, с вторыми группами когомологий, устойчивостью решений функциональных уравнений и неравенств на группах, шириной вербальных подгрупп.

Термины "псевдохарактер, "а также "квазихарактер "были введены А. И. Штерном па Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году. Вещественным квазихарактером, или просто квазихарактером, называется отображение группы G в пространство действительных чисел R, удовлетворяющее следующему неравенству \f(xy)—f(x) —f(y) | < £ для любых элементов х, у группы G и некоторого е > 0. Псевдохарактером па группе G называется квазихарактер /, для которого выполняется f(xn) = nf(x) для любого элемента х € G и любого целого п. Нетривиальным называется псевдохарактер /, отличный от аддитивного характера, т.е. для него существуют такие элементы а, Ь G G, что f(ab) ф f(a) + f{b). Под аддитивным характером понимается такое отображение из группы G, для которого выполняется f(ab) = f(a) + f(b) при любых a,beG.

Можно задавать квазихарактеры и псевдохарактеры, как отображение в произвольное банахово пространство, а не только в пространство действительных чисел. Квазихарактером из группы G в произвольное банахово пространство Е называется отображение / из G в Е, удовлетворяющее следующему свойству: \\f(xy) - f(x) - f(y)|| < е для любой пары элементов х,у группы G и для некоторого положительного числа е. Псевдохарактером из группы G в произвольное банахово пространство Е называется такой квазихарактер / для которого выполняется f(xn) = nf(x) при любом элементе х группы G и для любого целого числа п. Определение нетривиального псевдохарактера, а также аддитивного характера в произвольное банахово пространство также аналогичны соответствующим определениям в вещественном случае. Таким образом, нетривиальные псевдохарактеры группы являются "почти" представлениями, на циклических подгруппах они являются представлениями, но при этом они все-таки не являются представлениями в полном смысле.

Если в качестве банахова пространства рассматривается пространство действительных чисел й, то получаются те вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры, которые были определены выше. Как правило, вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры называются просто квазихарактерами и псевдохарактерами. В диссертации показано, что если на некоторой группе существует нетривиальный вещественный псевдохарактер, то на этой группе существуют нетривиальные псевдохарактеры в любое банахово пространство. Таким образом, вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группе в произвольные банаховы пространства эквивалентен вопросу о существовании нетривиальных вещественных псевдохарактеров. Поэтому, в дальнейшем, в работе будет идти речь о вещественных квазихарактерах и псевдохарактерах. Вместо терминов: квазихарактер и псевдохарактер в некоторых работах употребляются термины: квазигомоморфизм и псевдогомоморфизм. Псевдохарактеры и квазихарактеры рассматриваются в работах В. А. Файзиева[11-17], Р. И. Григорчука[7, 8], А. И. Штерна[18), В. Г. Бардакова[9,10].

Понятие псевдохарактера возникло, как алгебраическое обоснование вопросов о функциональных уравнениях и неравенствах. Такое алгебраическое понятие, как псевдохарактер позволяет объяснить природу более широких вопросов, выходящих за рамки чисто алгебраических. Например, вопрос о том, при каких условиях решения неравенства ||f(xy) — f(x) — f(y)\\ < е при некотором положительном 6 близки к решениям уравнения f(xy) — f(x) — f(y) = 0 ставился во многих работах. В связи с результатами Д. Хайереа [1], С. Уламом [2] в списке нерешенных задач был поставлен вопрос о том, при каких условиях решения функционального неравенства \\f{xy)—f{x)—f(y)\\ < е, будут близки к решениям соответствующего функционального уравнения f(xy) — f(x) — f(y) = 0. В работах Бейкера, Лоуренса и Зорцитто [3], А. И. Штерна [4], и Лоуренса [5] изучается вопрос о том, при каких условиях решение функционального неравенства | \f{xy)—f(x)—f(y) 11 < е, совпадает с решением соответствующего функционального уравнения. В работе Каждана [6] для любого числа п построен пример такого отображения / дискретной группы G, которое удовлетворяет условию \\f{xy)-f(x)'f(y)\\ < 1/гс, но при этом не является е-близким ни к какому представлению этой группы для произвольного числа е. Отображение / из группы G можно назвать е—близким к отображению I из той же группы G, в то же пространство, если для любого элемента д группы G выполняется неравенство ||/(<?) — < е. Понятие вещественного псевдохарактера позволяет дать объяснение существованию отображений, удовлетворяющих условиям вида ||f(xy) — f(x) — f(y)\\ < е, но не близких ни к какому представлению. Существование или отсутствие таких отображений влечет за собой устойчивость или неустойчивость уравнения f{xy) - f(x) - f(y) = 0 на группе G.

Возникает вопрос о том, на каких типах групп будут существовать отбражения, "близкие"к представлениям, но при этом не являющиеся представлениями. Этот вопрос сводится к вопросу о существовании нетривиальных псевдохарактеров на этой группе. Если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, то можно задавать и такие отображения. Это показано в данной работе, также как и связь существования нетривиальных псевдохарактеров с вопросом о устойчивости уравнений на группах. Все вещественные псевдохарактеры произвольной группы G образуют вещественное линейное пространство, которое обозначается PX(G), подпространство аддитивных характеров обозначим через X(G).

Как показано в статье Р. И. Григорчука[7] выполняется изоморфизм векторных пространств H$(G) = PX(G)/X(G), где Hj$(G) — ядро естественного отображения n-ой группы ограниченных когомологий в : H^\G) —» R), Если на некоторой группе существует нетривиальный псевдохарактер, то для этой группы пространство Hf\G) нетривиально. Если на некоторой группе размерность факторпространства

PX(G)/X(G) бесконечна, то пространство щ ^ (G) также имеет бесконечную размерность. Используя этот факт, в работе получены некоторые следствия о вторых когомологиях групп.

В работах В.Г. Бардакова [9, 10] исследуются вопросы, связанные с шириной вербальных подгрупп для свободных произведений с объединением, HNN-расширений и групп с одним определяющим соотношением. В частности, в них показано, что для любой вербальной подгруппы V(G) в вышеописанных типах групп, ширина V(G) относительно конечного собственного порождающего множества слов V бесконечна. Для этого используются квазихарактеры( в работах [9,10] используется термин "квазигомоморфизм"). В диссертации доказано, что если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, ширина вербальной подгруппы V(G)} содержащей коммутант и определенной конечным собственным коммута-торным( т.е. все элементы из V принадлежат коммутанту G') множеством слов V, имеет бесконечную ширину относительно V. В частности, коммутант группы, на которой существует нетривиальный псевдохарактер, имеет бесконечную ширину относительно коммутаторов. Определение ширины вербальной подгруппы и собственного множества слов приводится в параграфе 1.1 в той части, в которой рассматриваются связанные с этим вопросом.

Существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых типах групп рассматривается и устанавливаются в многих работах. В работе В. А. Файзиева([11]) доказывается, что нетривиальные псевдохарактеры существуют на свободных произведениях неединичных групп, за исключением группы £2*^2- Там же доказано, что на разрешимых группах не существует нетривиальных псевдохарактеров. Более общий результат -нетривиальные псевдохарактеры не существуют на аменабельпых группах (см. [8],[25]). В статьях (см.[12],[13],[14]) В. А. Файзиева дается описание пространств псевдохарактеров свободной группы, свободных произведений групп. Также В.А. Файзиевым построено пространство псевдохарактеров группы SL(2, £)[14], пространства псевдохарактеров полупрямого произведения групп и свободного произведения полугрупп (см.[15],[16]). Исследуются также матричные отображения групп, аналогичные квазихарактерам([17]), и доказывается, что существование таких нетривиальных отображений связано с существованием нетривиальных псевдохарактеров на соответствующих группах.

В работах Р.И. Григорчука ([7, 8]) доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях групп с объединенной подгруппой и HNN-расширениях, при небольших ограничениях на эти группы. В этих работах также доказывается, что для таких групп при тех же условиях выполняется равенство dimH^{G) = оо. Как следствия этих результатов получается результат о том, что на группах с одним определяющим соотношением и не менее, чем с тремя образующими существуют нетривиальные псевдохарактеры, и для таких групп также выполняется dimH^iG) = оо В данной работе приводятся доказательства существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях групп с объединенной подгруппой и HNN-расширепиях, несколько отличные от приведенных в [7], [8].

Также многие результаты о псевдохарактерах на группах содержатся в работах А.И. Штерна (например, [18]). А.И. Штерном доказано утверждение о том, что для любого квазихарактера / на произвольной группе G функция (р(д) = lirnn->00l/nf(gn) является псевдохарактером на той же группе G (предложение Зб)[18]). Это утверждение часто используется при построении псевдохарактеров, в том числе, и в данной работе.

Результаты данной работы основаны на построении нетривиальных псевдохарактеров на свободных конструкциях, из которого выводятся утверждения о существовании нетривиальных псевдохарактеров на различных классах групп. Также делаются выводы о ширине вербальных подгрупп относительно собственных множеств слов в этих группах, о их когомологиях. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях различных групп. Если группа G является аномальным произведением двух групп, одна из которых -бесконечная циклическая, а другая не является нормальным замыканием никакого своего элемента, и для нее выполнена теорема о свободе, тогда группа G обладает нетривиальным псевдохарактером при выполнении некоторого условия на аномалию. Понятие теоремы о свободе приводится в 2-ой главе данной диссертации. Устанавливается существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп. Рассматривается большой класс групп с одним определяющим соотношением и двумя порождающими, и находятся условия существования на них нетривиальных псевдохарактеров. Тем самым дается частичный ответ на вопрос, поставленный Р.И. Григорчуком в [8]. При этом иссдедуются псевдохарактеры свободных групп, инвариантные относительно определенных эндоморфизмов, и получены некоторые результаты в этом направлении. Доказано, что любая группа с одним определяющит соотношением и нетривиальным центром, за исключением циклических групп, свободной абелевой группы второго порядка, групп, имеющих представление вида < a, t\tat~l = аР > и группы < t, a\t2 = а2 >, имеет нетривиальные псевдохарактеры. При доказательстве существования нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп используется то, что для локально индикабельных групп выполняется теорема о свободе (это доказано С.Д. Бродским в [19]), и то, что любая конечно порожденная подгруппа локально индикабельных групп обладает гомоморфизмом па бесконечную циклическую группу.

В данной работе при исследовании свободных групп и их эндоморфизмов вводятся некоторые новые технические термины, такие как степенные ряды одного элемента в другом, защищенные и вполне защищенные фрагменты.

Основные результаты диссертации опубликованы, также изложены на международной алгебраической конференции и на семинарах "теория групп"и на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ.

Перейдем теперь к более подробному изложению диссртации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каган, Дмитрий Зиновьевич, 2007 год

1. Hyers D.H. On the stability of the linear functional equations. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1941, V.27 N2, 222-224.

2. Улам С. Нерешенные математические задачи. М., Наука, 1964г.

3. Baker Y., Lawrence Y., Zorzitto f. The stability of equationf(x + y) = f(x) • f(y). Proc. Amer. Math. Soc., 1979, 74, N2, P.242-246.

4. Штерн А. И. // Об устойчивости гомоморфизмов в группу R*, Вестник МГУ, 1982, N3., с.29-32.

5. Lawrence Y. The stability of multiplicative semigroup homomorphisms to real normed algebras I. Aequat Math. 1985, v28, N11,2, P.94-101.

6. Kazhdan D. On e— representations. Israel J. Math., 1982, v.43, N4, p.315-321

7. Grigorchuk R.I. Some results an bounded cohomology// Combinatorial and Geometric Group Theory. Edinburg,1993;// London Math. Soc. Lecture Notes Ser. V.284. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, P.lll-163.

8. Григорчук P. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. 1996. 59, N4. 546-550.

9. В.Г. Бардаков. К теории групп кос. Мат. сб., 183, N6(1992), 3-42.

10. В. Г. Бардаков. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций. Алгебра и логика. 1997. 36 N5. 494-517.И. Файзиев В. А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, N1. 193-194.

11. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных группах и некоторых групповых конструкциях.// УМН. 1988, Т.43, N5, С.225-226

12. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных группах. Рук. Деп. в ВИНИТИ 6.02.1987, N877-B87,

13. Файзиев В. А. Описание пространства псевдохарактеров на группе SL(2,Z), Рук. Деп. в ВИНИТИ 6.02.1987, N877-B87, Функц. анализ и его прилож. 1992, Т.26, N4, С.77-79.

14. Файзиев В. А. Двумерные вещественные треугольные квазипредставленш групп. Фундаментальная и прикладная математика. 1995,1, N4,1129-1132.

15. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп. Функц. анализ и его прилож. 1987, Т.21, N1, С.86-87.

16. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на полупрямых произведенияхгрупп. Матем. заметки. 1993, Т.53, N26 С. 132-139

17. Штерн А. И. Квазипредставления и псевдопредствления. // Функц. анализ и его прил. 1991. Т.25, N2. 70-73.

18. Бродский С. Д. Уравнения над группами и группы с одним определяющим соотношением // Сибирский математический журнал. 1984. 25, N2. 84-103.

19. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, 3-е издание, М., Наука, 1984.

20. Лшдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир,1980.

21. Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука,1974.

22. Молдовапский Д. И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением. Сиб. матем. журнал, 1967, Т.8, N6, с. 1370-1384

23. Shpilrain V. Generalized primitive elements of a free group. arXiv:math.GR/9605207vl 1996.

24. Johnson B.E. Cohomology in Banach Algebras// Amer. Math. Soc. Memoirs, 1972, V.127.

25. Gromov M. Volume and bounded cohomology// Publ. Math. IHES. 1982. V.56. P.5-100

26. Клячко А. А. Гипотеза Кервера-Лауденбаха и копредставления простых групп. Алгебра и логика, Т.44(2005), N4, с.399-437.

27. Cohen М. М., Rourke С. The surjectivity problem for one-generator, one-relator extensions of torsion-free groups // Geometry k Topology. 2001. V.5 P. 127-142.

28. Pietrowski A. The Isomorphism Problem for One-relator Groups with Non-trivial Centre. Math.Z.136, 95-106(1974) by Springer-Verlag 1974.

29. Ю.И. Мерзляков. Рациональные группы. 2-е изд., М., Наука, 1987.

30. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука 1967.

31. Baumslag G. Groups with one defining relator. J. Avstralian Math. Soc., 4, N4(1964), 385-392.

32. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М., Наука, 1989.Список публикаций автора по теме диссертации.

33. Каган Д. 3. О существовании нетривиальных псевдохарактеров нааномальных произведениях групп. Вестник МГУ. 2004, N6, с. 24-28

34. Каган Д. 3. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп. Фундаментальная и прикладная математика. 2006, Т.12, выпуск 3, с.55-64.

35. Каган Д. 3. Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением. Деп. в ВИНИТИ N1490-B2006, 29 страниц

36. Каган Д. 3. О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп. Тезисы Международной алгебраической конференции. Москва, 2004.