Некоторые задачи теории упругости для тел с ромбоэдрической анизотропией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ватульян, Карина Александровна

• Ватульян, Карина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ватульян, Карина Александровна

Введение

Глава I. Элементы теории упругости анизотропных тел

1. Постановка краевой задачи для упругого анизотропного цилиндра

2. Задача Сен-Венана для тел с ромбоэдрической анизотропией.

3. Метод однородных решений. Однородные элементарные решения и их свойства.

Глава II. Задачи Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией.

4. Решение спектральной задачи для построения элементарных решений Сен-Венана

5. Построение жордановых цепочек и отвечающих им элементарных решений

6. Общее представление решения трехмерной задачи.

7. Построение решений для конкретных задач.

7.1 Задача растяжения

7.2 Задача кручения

7.3 Частные случаи задачи кручения

7.4 Задача чистого изгиба.

7.5 Задача изгиба поперечной силой

7.6 Частные случаи задачи обобщенного изгиба

8. Вариационная постановка краевых задач, определяющих элементарные решения Сен-Венана

Глава III. Задачи Сен-Венана для цилиндра с криволинейной анизотро

9. Случай цилиндрической ромбоэдрической анизотропии

9.1 Задача кручения

9.2 Задача растяжения

10. Случай винтовой ромбоэдрической анизотропии. Задачи растяжения и кручения

11. Задачи о дислокациях Вольтерра.

11.1 Задача о дислокации

11.2 Задача о дисклинации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи теории упругости для тел с ромбоэдрической анизотропией»

Цилиндрические тела широко используются в качестве элементов конструкций. В строительстве это стержни, балки, колонны, элементы ферм и каркасов высотных зданий. Стержни и рамы являются основными несущими элементами в конструкциях кораблей, самолетов, ракет. Они используются в качестве образцов при исследовании физико-механических свойств различных материалов. Цилиндрические тела также используются в качестве волноводов и резонаторов в современных устройствах и приборах [53], причем формулировка простых моделей деформирования цилиндрических тел основана на некоторых гипотезах и упрощенных подходах.

Модели стержней применяются также в наномеханике с целью изучения свойств нанотрубок и других нанообъектов, что позволяет моделировать различные устройства и интерпретировать механизмы деформирования на на-норазмерном уровне. В последние годы большое количество исследований связано с созданием и изучением наноразмерных трубок. Наряду с исследованием электронных и оптических свойств таких наноструктур важным оказывается изучение их механических свойств и исследование законов деформирования.

В настоящее время актуальна задача определения эффективных упругих характеристик объектов наноразмерного масштабного уровня. Многими исследователями отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученными из микро- и макроэкспериментов, что требует дальнейшего изучения на основе решения некоторых модельных задач теории упругости.

Традиционные задачи теории стержней состоят в исследовании прочности, устойчивости, жесткости и несущей способности стержней и стержневых систем. Начиная с основополагающих работ Я.Бернулли и Л.Эйлера важную роль в решении этих задач играет математическое моделирование, которое включает в себя, во-первых, вывод основных уравнений с учетом физико-механических свойств материалов, из которых они изготовлены; во-вторых, в развитии аналитических и численных методов решения для исследования их поведения (прочности, деформационных свойств и др.) при воздействии на них внешних механических усилий, температуры, электромагнитного поля.

Развитие теории стержней и стержневых систем исторически осуществлялось в двух направлениях.

Первое направление связано с введением гипотезы плоских сечений, в рамках которой задача об исследовании напряженно-деформированного состояния цилиндрического тела сводится к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобные модели называются одномерными, а способ их построения - методом гипотез. На этом пути в XIX веке Кирх-гоффом, Клебшем, Брессом осуществлено построение теории криволинейных стержней, уточненной теории изгиба для коротких стержней, позволяющей учесть влияние дополнительных факторов на напряженно-деформированное состояние [53] в таких элементах.

Примером уточненной теории может служить математическая модель балки, предложенная С.П.Тимошенко [46]. В рамках этой модели, уточняющей техническую теорию изгиба стержней, предполагается, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня: нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений. Отметим также работы, выполненные в 70-х годах прошлого века [25]- [27]. Второе направление связано с развитием методов интегрирования уравнений теории упругости — системы уравнений в частных производных [21]. Первые исследования в этом направлении провели в XIX веке создатели теории упругости- Коши, Навье и Сен-Венан.

В 1855-1856 гг. были опубликованы работы Барре де Сен-Венана "Мемуар о кручении призм "и "Мемуар об изгибе призм" [44]. В этих работах Сен-Венан. основываясь на уравнениях теории упругости, дал общее решение поставленных ещё Галилеем и Кулоном проблем изгиба и кручения стержней. В мемуарах излагались три основных идеи: 1) создание полуобратного метода; 2) переход на торцах к интегральным граничным условиям и 3) установление принципа, носящего имя Сен-Венана.

Суть полуобратного метода состоит в том, что часть напряжений или перемещений задается, а оставшиеся напряжения и перемещения определяются из уравнений теории упругости. Этим достигается значительное облегчение решения задач, сводящихся в большинстве случаев в изотропном случае к хорошо изученным краевым задачам математической физики на поперечном сечении цилиндра.

Переход от точных граничных условий на торцах к заданию лишь главного вектора и главного момента распределенных там усилий был введен не только для упрощения постановки задачи, но и потому, что инженер, как правило, не знает точного распределения нагрузок, действующих на конструкцию [22, 44].

Формулировка принципа Сен-Венана наиболее четко дана Лявом [35]:

Если к небольшой части поверхности тела приложена система сил, приводящаяся по правилам статики к силе и паре, равным нулю, то деформации, производимые этой нагрузкой в точках, удаленных на расстояния, которые можно считать большими по сравнению с линейными размерами этой части поверхности, пренебрежимо малы."

Такое изложение принято, например, в курсах теории упругости С.П. Тимошенко [45], П.Ф. Папковича [39], Н.И. Мусхел ишвили [37]. Однако, как отмечено в [83], в этом случае возможны ситуации кажущегося нарушения принципа Сен-Венана (например, для тонкостенных стержней двутаврового сечения). Ясно, что в уточненной формулировке принципа необходимо требовать, чтобы размер области загружения торца был малым по сравнению со всеми характерными размерами стержня [19].

Сен-Венан исследовал задачи о кручении и изгибе призмы, один торец которой жестко заделан, ко второму приложена некоторая система внешних усилий, а боковая поверхность свободна от напряжений. При этом он исходил из математической постановки задачи, в которой призма (стержень) рассматривалась как трехмерное упругое тело.

Поставленная задача оказалась весьма сложной для исследования и Сен-Венан, понимая это, предложил новый приближенный метод построения решения трехмерных задач теории упругости для призматических тел. который сам назвал полуобратным, согласно которому часть компонент тензора напряжений полагается равной нулю, а оставшиеся компоненты определяются из более простых двумерных краевых задач на сечении.

Опираясь на полуобратный метод и свой принцип, Сен-Венан затем исследовал задачу об изгибе призмы, один из торцов которой жестко заделан, а ко второму приложена нагрузка, эквивалентная поперечной силе и получил аналогичные результаты, т.е. сложную задачу для трехмерных уравнений теории упругости свел к решению двумерных задач для более простых уравнений. При этом не ограничился теоретическими результатами, а опираясь на построенные им решения, провел серию расчетов и дал ряд важных рекомендаций по определению жесткости стержней канонической формы.

Успех в применении полуобратного метода для исследования напряженно - деформированного состояния цилиндра во многом был предопределен тем. что напряжения на площадках, параллельных образующей, в решении Сен-Венана равны нулю. Это обусловлено относительной простотой формы тела.

Попытки применения полуобратного метода к телам более сложной формы оказались малоэффективными.

Работы Сен-Венана совместно с исследованиями Коши и Пуассона по теории пластин заложили основу одного из научных направлений в теории упругости, которое 60-х годах нашего столетия академиком И.И. Воровичем было названо как "Проблема предельного перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным и одномерным".

Своими трудами Сен-Венан внес громадный вклад в развитие теории упругости и получил всеобщее признание среди специалистов.

Однако, каждое решение Сен-Венана хотя и удовлетворяет точно трехмерным уравнениям теории упругости, но. по сути, является приближенным, поскольку граничные условия на торцах удовлетворяются в интегральном смысле. В подходе Сен-Венана построение этих решений опирается на полуобратный метод, а невязка в граничных условиях компенсируется принципом Сен-Венана, согласно которому решение, соответствующее самоуравновешенной части нагрузки, локализуется у торцов стержня. Этот принцип наглядно иллюстрируется на частных задачах, для которых удается получить точное решение (например, в задаче о кручении стержня с круговым поперечным сечением [34]).

Принцип Сен-Венана привлекал внимание многих отечественных и зарубежных ученых. Его обоснованию посвящены работы [4, 49, 3, 59] и др. Работы [18, 19, 63, 71] посвящены формулированию и обоснованию динамического аналога принципа Сен-Венана. Работа [73] посвящена исследованию принципа Сен-Венана и концевых эффектов в анизотропной теории упругости.

В настоящее время существует несколько методов построения точного решения трёхмерных уравнений теории упругости для цилиндрических тел с произвольным поперечным сечением. Одним из таких методов является метод однородных решений. Он берет свое начало в работах Похгаммера [79] и Кри [66]. Этими учеными он был применен для изучения процесса распространения гармонических волн в бесконечном круговом цилиндре. Путем развития этого метода удалось, в частности, дать ответ и на те вопросы, которые оставались неясными после выхода работ Сен-Венана. В [15] дается современное изложение метода однородных решений для цилиндрических тел из произвольного анизотропного материала.

Впервые построение решений Сен-Венана для цилиндра с произвольным поперечным сечением на основе метода однородных решений было осуществлено в работе [28]. В ней было показано, что эти решения являются линейной комбинацией двенадцати элементарных решений, соответствующих двенадцатикратному нулевому собственному значению спектральной задачи на сечении, которая получается в результате разделения переменных. Ранее аналогичный подход был применен в [14]. В этих работах при исследовании трехмерной задачи для поперечно-неоднородной плиты было показано, что так называемые "бигармонические решения", с одной стороны, по своим интегральным свойствам являются аналогом решений Сен-Венана, а с другой -элементарными решениями, соответствующими кратным нулевым собственным значениям двух спектральных задач.

В большинстве работ, посвященных решению задач Сен-Венана для цилиндрических тел, рассматривались задачи для изотропных или ортотроп-ных цилиндрических тел [32, 53, 34]. Наиболее полным исследованием для анизотропного случая следует признать монографию С. Г. Лехницкого "Теория упругости анизотропного тела", где на основе использования обобщенных комплексных потенциалов изложена общая теория двумерных задач для анизотропных тел, приведены решения задач о растяжении, изгибе моментами и поперечными силами, кручении анизотропных (ортотропных) стержней, в частности с прямоугольным и эллиптическим сечениями, для анизотропных тел вращения. Отметим, что в этой монографии представлены решения для частных случаев анизотропии: ортотропный случай, трансверсально-изотропный, для которых решения представлены в виде простых формул. Кроме того, отметим монографию [42], где также решен ряд важных задач для анизотропных неоднородных тел. Гораздо меньше изучены задачи Сен-Венана для неоднородных или анизотропных цилиндрических тел при отсутствии плоскостей упругой симметрии [82]. Однако, соответствующие задачи Сен-Венана для материалов, обладающих другими видами анизотропии, также представляют определенный научный интерес, как, например, задачи кручения и изгиба для цилиндрических тел из неортотропных(ромбоэдрических) материалов, которые часто являются связанными и требуют специального исследования. В частности, таким типом анизотропии обладают углеродные нанотрубки.

Углеродные нанотрубки, интерес к которым сейчас очень сильно возрос в связи с многочисленными приложениями, состоят из одной или нескольких свернутых в трубку графитовых плоскостей и по своему молекулярному строению очень схожи с графитом. Монокристаллический графит обладает сильной анизотропией молекулярного строения, которая находит отражение в сильной анизотропии его макроскопических свойств.

По типу анизотропии структуры и свойств графит наиболее часто относится к гексагональному типу, который часто именуют также а-графитом. В природном графите наряду с такой основной гексагональной структурой порядка 30% составляет также /3-графит с несколько другой симметрией, относящейся к ромбоэдрической сингонии [43].

Элементарная ячейка в тригональной (или ромбоэдрической) сингонии имеет форму деформированного куба, который можно получить в резуль

Ъу, г „г

Рис. 1: Элементарная ячейка в ромбоэдрической сингонии тате растяжения или сжатия куба вдоль его главной диагонали [1] (Рис. 1).

Типичные представители такой сингонии - кристаллы кварца (£402 )•

Исследования в области наиоразмерных стержней имеют своей целью в первую очередь нахождение эффективных жесткостей наноструктур и установление границ применения классической теории упругости на ианоуровие [16. 17, 20, 23, 24, 29, 30, 33, 36, 69, 77. 80, 85, 86].

В работе [23] была сделана попытка разработать теоретическую основу экспериментального определения параметров жесткости нанообъектов. Отметим, что один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей, используемых в макромехаиике, основан на измерении собственных частот исследуемого объекта. В работе обсуждаются различные аспекты использования этого метода применительно к нанообъектам. Предлагается метод экспериментального определения параметров жесткости, основанный на явлении динамического гашения колебаний (антирезонанса).

В работе [24] на примере дискретной модели монокристалла разработана методика определения изгибной жесткости наиоразмерных структур с учетом моментного взаимодействия на паноуровне. Получены поправки, связанные с учетом моментного взаимодействия и позволяющие описать механические свойства однослойных наноструктур.

Отмечая несоответствие между значениями основных механических характеристик, полученных из микро- и макроэкспериментов, авторы статьи [33] объясняют это несоответствие противоречием между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания, принятого в классической механике деформируемого твердого тела. В этой работе для нанопластины и нанобруса определяются значения модулей упругости -коэффициентов Пуассона и модулей Юнга в трех направлениях и исследуется зависимость этих значений от размеров нанообъекта.

В статье [16] принимается концепция, согласно которой утверждается, что регулярность атомной структуры нанотрубок даёт возможность заменить систему атомов эквивалентной моделью упругих изотропных стержней.

В [30] методами молекулярной динамики было установлено, что масштабные факторы вносят существенный вклад в значения упругих характеристик нанокристалла, но это не означает, что классическая теория упругости неприменима на наноуровне. Она должна использоваться с учетом масштабных эффектов, а адекватность континуального подхода следует оценивать при рассмотрении конкретных задач.

В статье [85] изучается влияние надмолекулярных взаимодействий на механические процессы в наночастицах и нанотрубках, на возникновение в них деформаций изгиба, кручения. В силу особенностей строения нанотрубок супрамолекулярные взаимодействия в них оказываются значительными по сравнению с большинством молекулярных структур. Обсуждаются общие аспекты и проблемы супрамолекулярной механики, в том числе приводится краткий обзор механических свойств нанотрубок, особое внимание уделено обсуждению способов определения параметров в рамках линейной теории упругости. Обсуждение теоретических исследований дополняет краткое описание экспериментальных результатов для всего спектра амплитуд деформаций.

В диссертации [69] предложено эквивалентное ортотропное представление механических свойств многослойных углеродных нанотрубок для моделирования анизотропного механического поведения этих трубок при различных типах деформации. Также представлены разработки аналитических моделей микромеханического контакта и деформации углеродных нанотрубок. Модель была исследована на основе метода конечного элемента; проведено исследование задач о чистом изгибе, осевом сжатии и изгибе поперечными силами.

Работа [76] посвящена рассмотрению трех различных подходов к решению задач Сен-Венана в "слабой"постановке: в терминах смещений, в терминах напряжений и в терминах смещений-напряжений (смешанный подход). Различные типы задач приводят к формулировке двумерных краевых задач Неймана и Дирихле. Аналитически исследованы задачи для упругих цилиндров, поперечные сечения которых ограничены кусочно-гладкими кривыми.

В работе [67] для изучения деформаций призматического тела, изготовленного из пористого линейно-упругого изотропного материала, используется полуобратный метод. На торцах тела приложены самоуравновешенные силы. Как и в классической теории, задача сводится к решению плоских задач для эллиптических операторов. Авторами показано, что гипотезы Клебша-Сен-Венана и Фойхта для данной задачи не справедливы. Полуобратный метод применен и авторами работы [70] для исследования задачи Сен-Венана для цилиндров из пористых, но уже неоднородных анизотропных упругих материалов. Решения описаны в терминах пяти обобщенных плоских задач. Представлены результаты по применению такого подхода в задачах раздувания, изгиба и кручения правильных круговых цилиндров в случае изотропных материалов.

В статье [65] предлагается использование новых конечных элементов при расчете напряжений в задаче кручения и сдвига для стержней из анизотропных материалов. С использованием этого элемента представлены матрицы жесткости и векторы нагрузки.

В [75] изучены задачи Сен-Венана для однородных изотропных двухслойных эллиптических трубок и для изотропной эллиптической трубки с анизотропным стержнем. Для построения решения рассматриваемых задач использовались полиномы Фабера.

Работа [72] продолжает начатое в [48] и [55] исследование и имеет своей целью привлечь внимание к тому факту, что обычное применение принципа Сен-Венана в решении задач теории упругости для структур типа многослойного материала не оправдано. Это проиллюстрировано задачей об упругом равновесии многослойной полосы, составленной из двух различных изотропных материалов. Оценка расхождения результатов представлена в терминах комплексного собственного значения соответствующей спектральной задачи. Для случая многослойного пакета с относительно мягким заполнителем характерная область расхождения намного больше, чем для однородной изотропной полосы. Результаты аналогичны полученным ранее авторами для сильно анизотропных и композитных материалов.

Проведенный анализ литературы по теме диссертационного исследования свидетельствует о том, что изучение задач о кручении и изгибе анизотропных стержней различного поперечного сечения и для различных типов анизотропии представляет собой актуальную проблему теории упругости.

Цель диссертационной работы состоит в построении решений задач анизотропной теории упругости для цилиндрических тел, в исследовании задач Сен-Венана о растяжении, кручении и изгибе цилиндрических тел, а также задач о винтовой дислокации и дисклинации для цилиндра с прямолинейной, криволинейной и винтовой анизотропией из материала с ромбоэдрической анизотропией, имеющих существенное значение для развития анизотропной теории упругости. При этом важное значение имеет способ упрощения пространственной задачи теории упругости и сведение ее к набору плоских задач, исследование их разрешимости, построение аналитических и численных решений, исследование зависимости смещений, жесткостей от механических и геометрических параметров задач.

Задачи на сечении для тел с ромбоэдрической анизотропией решались как аналитически, так и численно, с помощью метода прогонки в пакете Мар1е, с помощью метода конечных элементов в пакете Р1ехРБЕ. Проведено сравнение результатов, полученных различными способами, обсуждены некоторые вопросы численной реализации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ватульян, Карина Александровна

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1.на основе метода однородных решений исследованы задачи Сен-Венана (растяжения-сжатия, кручения и чистого и обобщенного изгиба) для призматических тел с ромбоэдрической анизотропией:

2.даны вариационные постановки задач изгиба и кручения;

3.численно и аналитически построено решение задач Сен-Венана (обобщенные кручение и изгиб) для конкретных поперечных сечений (эллипс, прямоугольник, изучена структура поля напряжений:

4.решены задачи кручения-растяжения для цилиндра из материала с цилиндрической ромбоэдрической анизотропией для сечения в виде кольца, исследованы жесткости в зависимости от крутки;

5.для полого цилиндра решены задачи о дислокации и дисклинации для цилиндра с винтовой анизотропией. 1

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ватульян, Карина Александровна, 2011 год

1. Александров К. С., Рыжова Т. В. Упругие свойства кристаллов. Кристаллография, 1961. Т. 6. Вып. 2. С. 289-314.

2. Амбарцумяп С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.

3. Бабенкова Е.В., Каплунов Ю.Д., Устинов Ю.А. О принципе Сен-Венана в случае низкочастотных колебаний полуполосы // ПММ, 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 445-457.

4. Бердичевский В. Л. К доказательству принципа Сен-Венана для тел произвольной формы// ПММ, 1974. Т. 38. Вып. 5. С. 851-864.

5. Ватульян К. А. Задача Сен-Венана кручения цилиндрического анизотропного стержня.//Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды V школы-семинара. Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006 г. ЦВВР. 2007. С. 56-58.

6. Ватульян К. А., Устинов Ю. А. Решения задач Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией.// Владикавказский математический журнал, 2008. Т. 10. Вып. 4. С. 23-30.

7. Ватульян К. А.Задача о дислокации для цилиндра с винтовой ромбоэдрической анизотропией.// Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону, 2010. Том XV. С. 11-16

8. Ватульян К. А., Устинов Ю.А. Задача Сен-Венана для тел с винтовой ромбоэдрической анизотропией. Задачи растяжения- кручения. // ПМТФ, 2010. Том 51. № 1. С. 125-133

9. Ворович И. И., Кадомцев И. Г., Устинов Ю. А. К теории неоднородных по толщине плит// Изв. АН СССР, МТТ, 1975. №3. С. 119-129.

10. Гетман И. П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: изд-во РГУ, 1993. 144 с.

11. Гольдштейн Р. В., Ченцов А. В. Дискретно- континуальная модель на-нотрубки //МТТ, 2005. №4. С. 57-74.

12. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Лисовенко Д. С. К описанию многослойных нанотрубок в рамках моделей цилиндрически анизотропной упругости.// Физическая мехомеханика, 2009, Т. 12, №5. С. 5-14

13. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. Динамический принцип Сен-Венана для упругой полубесконечной полосы // Теор. прикл. мех., 1991. № 22. С. 40-46.

14. Городецкая Н. С., Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Динамический аналог принципа Сен-Венана для гармонических колебаний // Акустический вестник, 2006. Т.9. №1. С. 21-33.

15. Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (кручение и растяжение)// МТТ, 2005. т. С. 42-56

16. Григорьян А.Т. Механика в России. М.: Наука, 1978. 192 с.

17. Джанелидзе Г. Ю. Прицип Сен-Венана (к столетию принципа) // Труды Ленингр. политехи, ин-та, 1958. №192. С. 7-20.

18. Иванова Е. А., Индейцев Д. А., Морозов Н. Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // ЖТФ, 2006. Т. 76. Вып. 10. С. 7480.

19. Иванова Е.А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Фирсова А. Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // МТТ, 2005. № 4. С. 75-85.

20. Илюхин А. А. О построении соотношений теории упругих стержней // Механика твердого тела (Киев). 1990. № 22. С. 82-92.

21. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979. 216 с.

22. Илюхин А. А. Определение параметров упругого анизотропного стержня и связи между ними. // Механика твердого тела, 1972, № 4. С. 156-160.

23. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки // Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1981. Вып. 6. С. 97-146.

24. Кривцов А. М., Морозов И. Ф. О механических характеристиках нано-размерных объектов // ФТТ, 2002. Т. 44. Вып. 12. С. 2158-2163.

25. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит, 2007. 304 с.

26. Курбатова Н. В., Устинов Ю. А. Построение МКЭ решений для псевдоцилиндров //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Международной конференции, Ростов-на-Дону, 2003. Т.1. С. 91-95

27. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.:Наука, 1977. 415 с.

28. Лобода О. С., Кривцов A.M. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // МТТ, 2005. № 4. С. 27.

29. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 939 с.

30. Ляв А. Математическая теория упругости. М., 1935. 674 с.

31. Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Товсгпик П. Е. Моделирование методами механики сплошных сред процесса формирования нанообъектов. // Физ. Мезомеханика. 2002, Т. 5, № 3. С. 5-8.

32. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 707 с.

33. Новацкий В. Теория упругости. М.:Мир, 1975. 872 с.

34. Папкович П. Ф. Теория упругости. Л.-М.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

35. Погорелое А.И. Дифференциальная геометрия.М.:Наука, 1974. 176 с.

36. Романова H. М., Устинов Ю. А. Задача Сен-Венана об изгибе цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ, 2008. Т. 72. Вып. 4. С. 668-677.

37. Саркисян В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1976. 536 с.

38. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 640 с.

39. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. «Классики естествознания». М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

40. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. К.: Наук, думка. 1972. 507 с.

41. Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости. К.: Наук. Думка, 1975. 561 с.

42. Тимошенко С. П., Гудъер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

43. Устинов Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах // Доклады Академии наук , Москва, 1976 , Т. 229, № 2, С. 325-328.

44. Устинов Ю.А. К обоснованию принципа Сен-Венана // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказского региона, 1994. С. 91-92.

45. Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана для стержня с винтовой анизотропией// Докл. РАН. 2001. Т. 360, № 6. С. 770-773.

46. Устинов Ю.А., Курбатова Н.В. Задачи Сен-Венана для стержней с физической и геометрической анизотропией // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав.регион. Мат. модел. Естеств. науки, 2001. Спецвыпуск. С. 154-157.

47. Устинов Ю.А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ, 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 89-98.

48. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Физматлит, 2003. 128 с.

49. Устинов Ю. А. Некоторые задачи для цилиндрических тел с винтовой анизотропией // Успехи механики, 2003. № 4. С. 37-62.

50. Устинов Ю. А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит // Ростов-на-Дону. ЦВВР. 2006. 256 с.

51. Устинов Ю.А., Ватульян К. А. Задача Сен-Венана для графитовых стержней и углеродных нанотрубок. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. ЦВВР. 2007. II том. С. 299-303.

52. Устинов Ю.А., Ватулъян К. А. Задача Сен-Венана для призмы со сложной анизотропией.// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XI международной конференции. Ростов-на-Дону, 26-28 ноября 2007 г. ЦВВР, 2008. II том. С. 199-201.

53. Устинов Ю. А. Обоснование принципа Сен-Венана для естественно-закрученного стержня.//Владикавказский математический журнал, 2010, Т. 12, Вып. 1. С. 53-67.

54. Шаскольская М.П. Кристаллы. М.:Наука, 1985. 208 с.

55. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969. 424 с.

56. Alshits V. I., Kirchner О. К. Cylindrically anisotropic, radially inhomogeneous elastic materials.// Proc. R. Soc.,2001,London, A 457, P. 671-693.

57. Berdichevsky V., Foster D. J. On Saint-Venant's principle in the dynamics of elastic beams // Int. J.Solids Struct, 2003. № 40. P. 3293-3310.

58. Bors С. I. Saint-Venant problem for beams with general cylindrical anisotropy. // Bui. Inst. Politehn. lasi, 1974, Sec. I, V. 20, № 1-2, P. 167-176.

59. Brnic J., Turkalj G. New finite elements in shear stress analysis of Saint -Venant's torsional loaded beam structures.// J. Mater. Sci. Technol., 2003, Vol.19, Suppl.l, P. 151-153.

60. ChreeC. The Equations of an Isotropic Elastic Solid in Polar and Cylindrical Coordinares, their Solutions and Applications // Cambridge Phil. Transactions, 1889.

61. DelVIsola F., Batra R. C. Saint-Venant's problem for porous linear elastic materials.// Journal of Elasticity. 1997, Vol. 47, № 1, P. 73-81.

62. Dong S.B., Kosmatha J.B., Lin H. C. On Saint-Venant's problem for an inhomogeneous, anisotropic cylinder. Part I: Methodology for Saint-Venant solutions.// J. Appl. Mech., 2001, № 68, P. 376-381.

63. Ghiba I. D. Semi-inverse solution for Saint-Venant's problem in the theory of porous elastic materials.// European Journal of Mechanics A/Solids, 2008, № 27, P. 1060-1074.

64. Grandin H. T., Little R. W. Dynamic Saint-Venant region in a semi-infinite elastic strip //J. Elast, 1974, № 4, P. 131-146.

65. Horgan C.O., Carlsson L.A. Saint-Venant end effects for anisotropic materials. //Invited Chapter in Comprehensive Composite Materials (ed. by A. Kelly and C. Zweben), 2000, Vol.5, P. 5-21.

66. Horgan C. 0., Choi I. Saint-Venant's principle and end effects in anisotropic elasticity. //Journal of Applied Mechanics (Trans. ASME),1977, Vol.44, P. 424-430.

67. Horgan C. O.Some remarks on Saint-Venant's principle for transversely isotropic composites, Journal of Elasticity, 1972, Vol.2, P. 335-339.

68. Khatiashvili G. On Saint-Venant's problems for an isotropic two-layered elliptic tube.//AMIM, 2004, Vol.9, № 1. P. 72-93.

69. Lacarbonara W., Paolone A On solution strategies to Saint-Venant problem. // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, Vol. 206, Issue 1. P. 473-497.

70. Liu J. Z. Zheng Q.-S., Wang L.-F., Jiang Q. Mechanical properties of singlewalled carbon nanotubes bundles as bulk materials //J. Mech. Phys. Solids. 2005, V.53, № 1, P. 123-142.

71. Mielke A. Saint-Venant's problem and semi-inverse solutions in nonlinear elasticity.// Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1988, Vol.102, № 3. P. 205-229.

72. Pochhammer L. Beitrag zur Theorie der Biegung des Kreiscylinders // Journ. Fur die reine uhd angew. Math., 1876.

73. Quan D., Wagner G. J., Liu W. K. at al. Mechanics of carbon nanotubes // Appl. Mech. Rev, 2002. V. 55, № 6, P. 495-533.

74. Pouya A. Ellipsoidal anisotropics in linear elasticity. Extension of Saint Venant's work to phenomenological modelling of materials.// International Journal of damage mechanics. 2007, Vol.16. P. 95-126.

75. Ting T. C. T. Anisotropic elasticity: theory and Applications (Oxford: University Press), 1996.

76. Toupin R. A. Saint-Venant's principle // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1965. V. 18, № 2. P. 83-96.

77. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (Teubner), Leipzig- Berlin, 1928.

78. Yakobson B.I., Couchman L.S. Carbon Nanotubes: Supramolecular Mechanics. //Dekker Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology. 2004 by Marcel Dekker, Inc, P. 587-601.

79. Yu M.-F. Fundamental mechanical properties of carbon nanotubes: current understanding and the related experimental studies.// Trans. ASME. J. Eng. Mater. Technol., 2004, V. 126, № 3, P. 271-278.