Некоторые вопросы синтеза регулярных зубчатых механизмов. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Черенин, В. П.

• Черенин, В. П.
• 1952

Оглавление диссертации Черенин, В. П.

Для вагдейших, наиболее часто применяемых на практике и не очень сложных разновидностей R, и : pei^'K;uopiJ, коробки передач, реверсы и т.д. имело бн смиоя составить сборник BC9CB08M05i-iiix символических изображен»!* - семейств отру щур, или даже самих структур, с указаний! <?-одаул, шрашсдизс значения даредаточннх отношений, устанавливаешь* на рабочих режимах мекду Бсггут1рсш и ведомыми звеньям, через значения передаточных отдалений . отдельных зацеплений. СнаШдев изображения из этого сборника* формулами для вычисления КЦЦ, ссылками па уже выполненные конструкции и т.д., мк получали бл пособие, зн^чигелыо облегчающее труд конструктора и автоматизирующее /сводящее к расчетам по готошм формулам/ процесс выбора е-/ем. гш т. мшшш R,

§ 1» Структура и кинематика а,.

1°. Осношие определения ж ограничения. Изображение и система Z.

Определение 1* Механизмом Я, навивается зубчатый механизму который обладает ел едущими свойств»®: а/ Превраарется после уничтожения всех зацеплений /срезу б цъ/ в ыеханиэи ft, ,состоящий из стойки * неподвижного IV и подвижных звеньев, закрепленных так, что единое неподвижной оси с произвольной /по величине/ угловой не зависящей от угловых скоростей других подвижннх звеньев; парами крута зубчатых колес, еоосно несомых подвижными ввеныь тел, двигающихся всегда как одно целое»

Угловые скорости /перемещения/ всех подающих примем ва свободнее параметр!, определяощие Для кашрг© звена

Замечание 2* У. одинаковое положите* В fl, между этими параметрами порождаю дущего вида:

Я^кИЛИ CJKc ; где U)K п - утввш скорости шш К к £ * явление; > а^ ^ « рациональные к® равше 0 * оо правлений вращения звеньев И я £ ш дешгения /наприиер, внутреннее тл нее зацепление/. Как известно, тно&екием J4 «-того зацепления &$ щрщ JC Определение 2* Систему у арх всем зацеплениям, назовем канонической

Система «2Е или любая другая ей эквивалентная система вполне определяет кинематику ft, • Be учитшая пока возможности

Я, в пространстве» ш можем считать, что подвижных звена могут образовывать одно или несколько зацеплений. Для определения и описания струпу рн зацепл как т будем в дальнейшей говорить, структуры ft, t af и строения JE # воспользуемся следущим символическим во взашно-однозначное соответствие шихшщ авещу точку, а каждому зацеплению-отреаож /; ря криволинейный/, соедин да, образующим его

Как известно (2), сшволичеекое изображение такого вида наэшается 1^аф«, точки - вершинами, а отрезки ~

Навдому соответствует единствешшй /е точноет валентности/ , который и определяет «то

Определение 3* Механизмы Я, % с тдукадш-одинаковши в том и только в том случае, если ж ответствуют одинаковые /с точность® до эквивалентности/ ^ •

Определение 4. У, # как и в этой работе символические изображения, ляюареся схемы, будем и непрерывное отображение одного изображения на другое, переводящее сишшеке в симплекс, причем, если некоторое сшплексш отззеченн, то одноотешше симплексы разннх изображений отображаются друг на друга. первой матрицей инцидекций до мо^лю 2 графа У, (2), после замени в последней единиц, стоящих на пересечении Л" -той стро-ш и столбцов К И с » коа|шренташ и /или

Замечание S* Исключим из рассмотрения неинтекоторые уравнения из S являются кий, шш у которых некоторне подвижгаш /в ft,/ ся неподвишади в силу связей, накладываемых зацеплениями, т.е» иа следуют тояыш нулевые значения для некоторых угловых скоростей«

Поскольку введение пассивных свявей-зацешений не наменяв? кинематику f?, и делает неопределенной эада^ магического синтеза R, /см.гл.й/, шш ш сделано сколь угодно бояьвши /например» мезвду двумя мошо обравовать сколько угодно зацеплешй с одинаковшфереда-точным отношение^, то учет и следует отнести к конструкции, а не структуре R,. ся подвижные /в R., / звенья мало чем отличаются от ft и с последующей ликвидацией тт ^ чм»

Итак» вещцу в дальнейшем ш будем считать, что ft, не содержит пассивных связей-зацеплений и остановившихся звеньев, бывших подвижными в ft, , а 2 состоит из шакшиш уравнений я из нее не следует обязательного равенства н^лю какой-либо угловой скорости*

Теорема 1* Для того, чтобы R, обладал этими свойствами» необходимо и достаточно, чтобв У, не содержал замк^ткх контуров, т.е* бнл деревом (£)•

Дайствительно, если содержит замкну тый /простой/ контур» ; то совокупность I уравнений из » соответствующих ребрам этого конура, оодеркит ровно I шшми. /с онкияш о, юэфициентамм/* Следовательно, шеи ©ти уравнения эависимн, т*е« Я, содержит пассивные связи, или независимы, но тогда все неизвестные равны щт /уравнения однороднн/, т#е* ft, содержит остановившиеся звенья* сяи * дерево, то неаависимость уравнений из и отсутствие пассивных связей-зацеплений в Я, можно вывести ив равенства ранга дерева числу ребер* Приведем, однако, непосредственное доказательство* Предположим, что среди уравнений из X не- j которое уравнение fi-O -^ зависит точи® от р-1 уравнений . » т.е* существуют такие не равные цулю, что oil ft + <<i + о(р/ р»0 * Это тожество вое-можно только в том случае, если для ковфмщентов при любам CJK} из вошедших в эти р уравнений переменных,мы подучим главенство:

Однако» так как - дерево, то совокупность р ребер, соответствующих этим уравнениям, будет обязательно иметь концевую /принадлежащую только одному из р ребер/ вершщу, и при соответствующей этой вершше Ц«, один / и только один коафщиент из а,к<> а|к,, > а^ будет отличен ©т нуля, а следовательно, ы% <31К. + о^+ ., + <v я ^

Очевидно, что угловая скорость звена, изображаемого иволк-рованной вершиной У, t может быть отлична от нуля» а угловая ожоравняться «улю только шесте о угловдаи скоростями, соответствующими воем вершинам той связной части из 9 которая содержит ( вту вершину* Между тем, так как связная часть из 4), - связное дерево, то число уравнений из 2 » ей соответствую^, на единицу меныве числа неизвестных, а, следовательно, совокупность этих уравнений имеет и не нулевке решения* Таким образом, если У, -дерево, то в R, вое ввенья, за исключением П , могут иметь не

2°. Нахождение и классификация 4), . Изображение *

Легко найти все деревья для любого не очень большого числа вершин* Дерево макет быть несвязным и расвадаться на несколько связных ч&отей /тоже деревьев/» Как уав упоминалось, число ребер у связного дерева на единицу меньше числа вершин <2). Если у овяз-ного дерева, содержащего К вершин и К-1 ребер / К7 1/, отнять какую-либо концевую вершку и инцидентное о ней концевое реб- j ро /такие вершины и ребра у дерева всегда есть/, то получим опять связное дерево, но ухе о меншим на единиц? числом ребер и вервии. Поэтому мы можем получить все возможные различные свяеные деревья для любого числа вершн, если сначала присоединим всеми возможными способами концевое ребро с концевой вершиной ко всем вершинам всех возможных связных деревьев о меньшим на единицу числом вершин, а важен выберем из полученных деревьев различные* Таким способом и получены изображенные на риеД связные деревья для числа вершин К^ 6*

Дусть теперь надо найти вое деревья /вообяр говоря не связные/ с К вервашами* Прежде воего деревья мох^т различаться чясф-•-•-•

9 9 9 9 9 •-• • яш связных тетей S 4 К . Дня каждого 5 , вообще говоря, может быть несколько разбиений К на S натуральных чисел К, к,,.-, К5 » являющихся числами вершин, принадлежащих овя8ннм частям / К, + К4+ + к8 = К /• Каждое такое разбиение порождает семейство деревьев, состоящих ив $ связных деревьев, бзятых во всех возможных комбинациях /по рис.1/ и содержащих К. Ks вершин.

Семейство деревьев с К вершинами, $ связными частями и разбиением к,, К2;.; Ks будем обозначать в виде: к,$, (К,г., к^. Дерево ив этого семейства будем обозначать так же, но с указанием ори Kt индекса, указывающего номер дерева с Кs Кг, по рис.1.

К&к увидим ниже,семейства деревьев будфт играть больщую роль, поэтому введем для них символическое изображение ^ является графом /без петель/ с К вершинами, распределенными / Kj,Ks / между S связными частями, причем в каждой связной части, содержащей больше одной вершины, любая пара вершин соединена одним ребром.

С точности до аквиваяентиоети /о А/ кавдоиу семейству да-ревьев соответствует только один ^. Любое дерево, принадлежащее семейству, которое опрадаляетс* некоторым % , является подш. деревом (В) етого графа 4i2*

3°. Связь между структурой и кинематикой. Типы кинематики.

С помощью У, структура R, оказалось достаточно хорошо исследована* Выясним теперь связв между структурой и кинематикой R, . Кинематика ft, , как уже говорилось, вполне определяется системой 2 » строение же последней, но не значения коэфициен-гов QjK , определяется структурой Я,» т*е« 4), * Отсюда сразу получаем некоторые очевидна* сведения о кинематике ft,.

Каждая часть ft,, которой соответствует свявная часть дере» ва , обладает одной степенью свободы, причем угловне скорости всех звеньев этой части могут бнть внраженн через произвольную по величине угловую скорость любого ив етих звеньев с коэфициеи-тами, отличнаш от 0 и оо, Если невестин коафициенты системы 2 /сн«пЛ°} индексможно отбросить, т.к., ввиду того, что

- дерево, меаду звеньями К и С возможно только одно зацепление/, то - отношение угловых скоростей любых двух ввеньев р и из этой части будет равно * ГД® Р, и, последовательно расположенные вершины единственной / % • дерево/ цепочки ребер, соединяющей в рассматриваемой свявной части вершины р и ^ /звенья и соответствующие им вершин названы одинаково/*

Число степеней свобода всего ft, равно, очевидно, $ -числу связных частей* соответствующего

Более содержательно описывает связь мезду структурой и кинематикой Я, теорема 2, которой мы предавшем следующее определение:

Определение 5« Два Я, обладают одинаковым типом кинематики, если, не изменяя их структуры, а только изменяя передаточные отношения авцеплений, можно установить такое взаимно-о|нозначное соответствие между звеньями етих ft, , что любая система связей между угловыми скоростями звеньев одного ft, может быть воспроизведена относительно соответственных звеньев другим ft,

Теорема 2. Два ft, обладают одинаковш типом кинематики в том и только в том случае, если соответст^ющие ж 4), , принадлежат одному семейству деревьев, т.е. эти Я, имеют одинаковые

Пусть 4*, принадлежат одному семейству деревьев. Отсюда еледует, что мы можем перенумеровать связные части обоих / 1,2,.-,S / так, чтобы одинаково названные связные части разных содержали одинаковое число вершин, Установим произволь-нш образом взаимно-однозначное соответствие между вершинами одинаково названных связных частей и назовем соответственные вершин одинаково.

Рассмотрим да я любой пари одинаково названных связных частей соответствующие им подсистемы: (?*из JE для первого ft, и (j** из ^L для второго Я, . Зададимся некоторыми произвольны» ми /не равными 0 иоо/ значениями / iHi / коа|ициентоЕ (Г* Приравняем каждый коафициент из G значению передаточного отношения Ltf между звеньями К и ^ первого ft,, которое, как указывалось выше, будет равно произведению некоторых . Тогда любое уравнение из (э** будет следствием а, так как все уравнения из (Г**тзависимы, то СГ*и (?** будут эквивалент вы. Отсюда и вытекает эквивалентность систем «2L для обоих ft,•

Пусть теперь 4)) не принадлежат одному семейств деревьев и, следовательно, соответствующие им ^различны. Последнее означает, как нетрудно убедиться, что или различны содержащиеся в этих / числа вершин К и, следовательно, взаимно-однозначное соответствие мезщу вершинами У, / установить нельзя, или К одинаковы, но, как бы мы ш устанавливали взаимно-однозначное соответствие между вершинами У, / ^Д всегда найдутся такие две вершины / К> 1/, что в одном / Щ / они принадлежат одной связной части, а в другом ty, / соответствующие им вершины принадлежат разным связным частям» В первом случае, очевидно, /о.5/, что ft| , которым соответствуют эти обладают раз. ными типами кинематики, во втором случае это же слезет из того, что угловые скорости двух звеньев, соответствующих указанным вершинаи, будут в одном ft, зависимы, а в другом - независимы»

Список литературы диссертационного исследования Черенин, В. П., 1952 год

1. Кудрявцев Л.Д. О некоторых математических вопросах теории электрических цепей. УМН т.В, внп.4 (26), 1948 г.

2. М. Крейнес и М. Р о з о в с к и й. План угловых скоростей регулярного зубчатого механизма с двумя степенями свободы* йвв.АН СССР отд.техн.наук, 1945 г. № 10-11.

3. То же, что и(3). МН СССР, ХШ, » 6, 1945 г.

4. Розовский М.С. Синтез коробок передач без постоянной внешней опоры момента. 1947 г. Диссертация.

5. Руданко Н.Ф. Планетарные передачи. 1947 г.

6. М»К р е й нес. План отношений угловых скоростей регулярного зубчатого механизма с тремя степенями свободы. ДАН СССР, ХШ , В 3, 1945 г *

7. М. Р © 8 о в с к и й. Планы моментов и планы отношений моментов регулярных зубчатых механизмов. ДАН СССР, 1У, 1947 г.

8. М. К р е й н е с. К вопросу об определении КПД зубчатого механизма. ДАН СССР, Ш, * 8, 1943 г.

9. М. К р е й н е с. К вопросу об определении КПД зубчатого механизма со многими степенями свободы. ДАН СССР, Х1У1, I? 7, 1945 г.

10. II, К р е й н е с, Коэфициент полезного действия и передаточное отношение зубчатого механизма. Труды семинара по теории машин и механизмов, т. I , вып. i •