Моменты инерции высших порядков в динамике твёрдого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Никонова Екатерина Александровна

• Никонова Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Никонова Екатерина Александровна

3.3 Равновесия: сушествование

3.3.1 Случай правильного тетраэдра

3.3.2 Случай равенства двух бимедиан

3.3.3 Случай различных бимедиан

Решение обратной задачи

Решение прямой задачи

3.4 Равновесия: устойчивость

3.4.1 Случай правильного тетраэдра

3.4.2 Случай равенства двух бимедиан

3.4.3 Случай различных бимедиан

Тривиальные решения

Общий случай

3.5 О чувствительности равновесий к степени приближения гравитационного потенциала

3.6 О стационарных движениях равногранного тетраэдра близкого к правильному

3.6.1 Равновесия. Существование

3.6.2 Равновесия. Устойчивость и ветвление

3.6.3 Области возможного движения

3.6.4 О чувствительности равновесий к степени приближения гравитационного потенциала

3.7 Перманентные вращения равногранного тетраэдра

4 Равногранный тетраэдр в центральном поле сил: обобщённый конус Шта-

уде

4.1 Перманентные вращения

4.2 Определение конуса Штауде исходя из теории Рауса

4.3 Обобщённый конус Штауде для равногранного тетраэдра

4.4 Обобщённый конус Штауде для равногранного тетраэдра, близкого к правильному

Заключение

Литература

Приложение А

Приложение Б

Введение

Обзор литературы

Когда говорят, что моменты инерции играют решающую роль в описании динамики твёрдого тела, как правило, имеют в виду моменты инерции второго порядка, появляющиеся прежде всего при описании кинетической энергии твёрдого тела. Оказывается, что в случае волчка Эйлера этих моментов вполне достаточно для полного описания динамики. Более того, моментов инерции второго порядка вполне достаточно для описания относительных движений спутника в так называемом спутниковом приближении. Однако более точное описание относительного движения тела на орбите требует учёта слагаемых более высокого порядка в разложении потенциала притяжения. В этих слагаемых в качестве коэффициентов и появляются моменты инерции высших порядков.

На важность изучения моментов инерции высокого порядка и связанных с ними приближений моментов силы притяжения в задачах орбитальной механики тел с равными центральными моментами инерции, вероятно, впервые обратил внимание Л. Мейерович [1] (см. также [2]). В задаче об устойчивости ориентации тела на круговой орбите им были, в частности, рассмотрены куб и правильный октаэдр с равными массами в вершинах.

Достаточно трудоёмкое вычисление моментов инерции высших поряков привлекало внимание разных исследователей. Так в [3,4] был предложен рекурсивный способ их определения. В [3] также изучалось влияние моментов инерции высших поряков не только на ориентацию спутника, но и на орбитальное движение. В [5] был предложен матричный подход к определению потенциала через компоненты тензора инерции.

Следует заметить, что из-за приближения небесных тел многогранниками существен-

ным был и остаётся вычислительный аспект задачи, опирающийся на вычисление моментов инерции различных порядков для многогранников, в частности, для тетраэдра. Соответствующие исследования, восходящие, вероятно, к [6], активно осуществляются и сейчас (см. например, [7-9]). Поучительно заметить, что рассуждения, в общем случае привычные для молекулярной физики (см., например, [10]), находят своё естественное продолжение в задачах небесной механики (см., например, [11]).

Связанные с моментами инерции высших порядков в механике космического полёта результаты, полученные в публикациях Л.Мейеровича и Р.С.Суликашвили [12], посвящённых динамике тел с группой симметрии правильных многогранников, конуса и цилиндра, носили прежде всего академический характер. В своём большинстве дальнейшие исследования так или иначе связаны с движением малых небесных тел, прежде всего — с движением тел нерегулярной формы.

Так в работе [13] изучался круг вопросов, связанных с моделированием гравитационного взаимодействия конечных небесных тел. В частности, в этой работе обсуждаются трудности, связанные с расходимостью рядов теории притяжения в случае, когда небесное тело достаточно близко к гравитирующему кольцу (см. также [14,15]). В работе [16] обсуждаются вопросы описания взаимодействия пары конечных небесных тел в терминах моментов инерции старших порядков и матрицы относительной ориентации. Описание даётся с точностью до слагаемых четвёртого порядка малости.

Роль моментов инерции высоких порядков в исследовании устойчивости стационарных орбит около равномерно вращающегося астероида обсуждается в [17].

В [18] для пары взаимно гравитирующих тел в разложении потенциала выделяются слагаемые, зависящие от их относительной ориентации и не зависящие от неё. Развитый подход допускает распространение на случай произвольного количества взаимно гравитирующих тел.

Заметим, что все эти исследования оказались бы затруднительными без переосмысления в работах Вернера и Ширса [19-22], пионерских идей, предложенных в магистерской диссертации Ф.А.Слуцкого [23]. Ключевым результатом этих работ следует назвать выражение потенциала полей притяжения однородных трёхмерных тел в конечном виде. Появление т.н.

формулы Вернера-Ширса позволило осуществить исследование силового поля в большинстве задач об инерциальных свойствах конкретных, прежде всего малых, небесных тел, выполненных к настоящему моменту.

Особый класс задач составляют задачи динамики твёрдого тела с гибкими вязкоупруги-ми стержнями, направленными в вершины правильного многогранника и прикреплёнными к однородному шару. Для таких тел выписывались уравнения движения, исследовались вопросы существования и устойчивости перманентных вращений [24]. Также была рассмотрена задача о движении спутника, с таким же образом прикреплёнными стержнями [25]. Заметим, что в идейном плане исследования такого рода систем в квазистатическом приближении восходят, вероятно, к публикациям [26-28].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моменты инерции высших порядков в динамике твёрдого тела»

Общая характеристика работы

Цели и задачи работы. Исследование, выполненное в диссертационной работе, направлено прежде всего на то, чтобы убедиться в применимости для вычисления моментов инерции произвольного порядка понятия производящей функции, аналогичной понятию, известному из математической статистики, а также на исследование свойств таких функций, связанных с заменами переменных. Ставилась задача представления производящей функции в явном виде для ряда однородных тел, известных из геометрии, в частности, для тетраэдра. Также ставилась задача о вычислении с помощью производящих функций инерциальных характеристик ряда малых небесных тел, поверхность которых приближённо задавалась триангуляционной сеткой.

Кроме того, ставилась задача исследования на примере равногранного тетраэдра роли различных приближений потенциала при определении множеств равновесий и исследовании свойств их ветвления и устойчивости. Требовалось установить связь равновесий в указанной задаче с известными равновесиями правильного тетраэдра. Наконец, для равногранного тетраэдра, близкого к правильному, требовалось определить, как происходит вырождение обобщенного конуса Штауде при стремлении тетраэдра к правильному.

Актуальность темы. Актуальность использования эффективных математических средств, таких как производящая функция, обусловлена необходимостью вычисления моментов инерции различных порядков для многочисленных малых небесных тел, прежде всего для тел неправильной формы. Кроме того, выполненное исследование позволило составить представление о том, как могут меняться динамические свойства, в частности, свойства равновесий в зависимости от того, как близок тензор инерции тела к шаровому.

Научная новизна и основные результаты. В диссертации представлены следующие основные результаты:

1) Введено понятие производящей функции моментов инерции твёрдого тела, позволяющей вычислять моменты инерции различных порядков путём однократного интегрирования и последующего дифференцирования этой функции нужное число раз.

2) Установлены правила изменения производящей функции при таких заменах переменных как параллельный перенос и поворот.

3) Указаны явные выражения производящих функций для однородного прямоугольного параллелепипеда, октаэдра, произвольного тетраэдра, цилиндра, конуса и трёхосного эллипсоида.

4) Предложен способ определения с помощью производящей функции моментов инерции произвольного порядка для твёрдого тела, поверхность которого задаётся многогранником с треугольными гранями. Способ опробован на вычислении моментов инерции вплоть до четвёртого порядка для таких малых небесных тел как (101955) Бенну, (532) Геркулина, (45) Евгения, (16) Психея и (321) Флорентина.

5) В задаче о равновесиях равногранного тетраэдра с неподвижным центром масс в центральном ньютоновском поле сил найдены все семейства решений, изучены их свойства устойчивости и ветвления в зависимости от параметров задачи. Описана связь обнаруженных равновесий с ранее известными равновесиями правильного тетраэдра в аналогичной по постановке задаче.

6) В задаче о вращении однородного равногранного тетраэдра с неподвижной точкой в центральном ньютоновском поле сил построен обобщенный конус Штауде. Описан характер его вырождения в случае, когда равногранный тетраэдр стремится к правильному.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при изучении установившихся вращений твёрдого тела в центральном ньютоновском поле сил, а также при изучении динамики космических аппаратов в окрестности малых небесных объектов.

Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Федеральном исследовательском центре "Информатика и управление" РАН, Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете), Московском физико-техническом институте (национальном исследовательском университете), Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Санкт-Петербургском государственном университете и других научно-исследовательских центрах.

Методология и методы. Исследование выполнено с использованием известных аналитических методов теоретической и небесной механики, теории потенциала, математического анализа и математической статистики, а также теории устойчивости и бифуркаций движения.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Введено понятие производящей функции моментов инерции произвольного порядка, позволяющее вычислять моменты инерции с помощью однократного интегрирования и последующих дифференцирований по параметру.

Исследованы правила изменения производящей функции при изменении системы координат - при параллельном переносе и повороте. Вычислены явно производящие функций для таких однородных тел, как прямоугольный параллелепипед, равногранный тетраэдр, октаэдр, цилиндр, конус, трёхосный эллипсоид.

2) Получены явные выражения для производящей функции моментов инерции произвольного тетраэдра. Эти выражения использованы для вычисления производящих функций для небесных тел, поверхность которых приближена триангуляционной сеткой.

С помощью такого подхода для астероидов (101955) Бенну, (532) Геркулина, (45) Евгения, (16) Психея и (321) Флорентина вычислены моменты инерции третьего и четвёртого порядков.

3) На примере равногранного тетраэдра с одинаковыми массами, сосредоточенными в вершинах, совершающего движение вокруг центра масс в центральном ньютоновском поле сил исследована роль слагаемых второго и третьего порядка в разложении потенциала в решении вопроса о существовании и устойчивости равновесий. Найдены все возможные семейства равновесий, изучены их свойства устойчивости и построены бифуркационные диаграммы. Выявлена связь изученных равновесий и найденных ранее равновесий правильного тетраэдра в аналогичной по постановке задаче. Построены области возможного движения равногранного тетраэдра, близкого к правильному, на нулевом уровне интеграла площадей.

4) В задаче о вращении однородного равногранного тетраэдра с неподвижной точкой в центральном ньютоновском поле сил построен обобщённый конус Штауде. Определён характер его вырождения в случае, когда равногранный тетраэдр близок к правильному.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации изложены в 6 печатных работах, размещенных в рецензируемых журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве науки и высшего образования Российской Федерации. Также список работ включает в себя некоторые опубликованные труды конференций.

1. Буров А. А., Никонова Е. А. Производящая функция компонент тензора Эйлера-Пуансо // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2021. Т. 498. С. 53-56. doi: 10.31857/S2686740021030068.

Перевод: Burov A. A., Nikonova E. A. The generating function for the components of the Euler-Poinsot tensor // Doklady Physics. 2021. Vol. 66. No. 5. P. 139-142. doi 10.1134/S1028335821050037.

2. Буров А. А., Никонова Е. А. Вращение равногранного тетраэдра в центральном ньютоновском поле сил: конус Штауде // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2021. №5. С. 40-46.

Перевод: Burov A. A., Nikonova E. A. Rotation of isosceles tetrahedron in central newtonian force field: Staude cone // Moscow University Mechanics Bulletin. 2021. Vol. 76. No. 4. P. 123-129. doi 10.3103/S0027133021050034.

3. Буров А. А., Никонова Е. А. Установившиеся движения симметричного равногранного тетраэдра в центральном поле сил // Известия российской академии наук. Механика

твердого тела. 2021. № 5. С. 152-164. doi: 10.31857/S0572329921050032.

Перевод: Burov A. A., Nikonova E. A. Steady motions of a symmetric isosceles tetrahedron in a central force field // Mechanics of Solids. 2021. Vol. 56. No. 5. P. 737-747. doi 10.3103/S0025654421050071.

4. Никонова Е. А. О стационарных движениях равногранного тетраэдра с неподвижной точкой в центральном поле сил // Прикладная математика и механика. 2022. Т. 86, № 2. С. 153-168. doi: 10.31857/S0032823522020096.

5. Никонова Е. А. О стационарных движениях равногранного тетраэдра, близкого к правильному, с неподвижной точкой в центральном ньютоновском поле сил // Известия российской академии наук. Механика твердого тела. 2022. № 5. С. 120-129.

doi: 10.31857/S0572329922050117.

6. Burov A. A., Nikonova E. A. Generating function of the inertial integrals for the small celestial bodies // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2022. doi: 10.1007/s10569-022-10087-3.

7. Никонова Е. А. Об установившихся движениях твёрдого тела с неподвижной точкой в центральном поле сил // Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2020» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2020, ISBN 978-5-317-06417-4.

8. Буров А. А., Никонова Е. А. О движении тетраэдра в центральном поле сил //IX Поляховские чтения : Материалы международной научной конференции по механике, 9-12 марта 2021 г., Санкт-Петербург, Россия. Санкт-Петербург: Санкт-Петербург, 2021. С. 79-81.

9. Никонова Е. А. Производящая функция компонент тензора Эйлера-Пуансо // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2021» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, Е.И. Зимакова. [Электронный ресурс] -М.: МАКС Пресс, 2021. ISBN 978-5-317-06593-5.

10. Burov A.A. and Nikonova E.A. Generating function of Euler-Poinsot tensor's components for small celestial bodies // Материалы Всероссийской астрономической конференции 2021

года (с международным участием). Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга МГУ имени М.В.Ломоносова. ёо1: 10.51194/УАК2021.2022.1.1.021.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Научный семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" имени В.В. Румянцева под руководством проф. А.В. Карапетяна и доц. А.А. Зобовой, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия, 2020 г.

• XXVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2020", МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия, 10-27 ноября 2020 г.

• Международная научная конференция по механике IX Поляховские чтения, СПбГУ, Санкт-Петербург, Россия, 9-12 марта 2021 г.

• XXVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2021", МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия, 12-23 апреля 2021 г.

• Всероссийская Астрономическая Конференция (ВАК-2021) "Астрономия в эпоху многоканальных исследований", ГАИШ МГУ имени М.В.Ломоносова, Москва, Россия, 23-28 августа 2021 г.

• Научный семинар отдела № 24 ФИЦ ИУ РАН под руководством проф. С.Я. Степанова, ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия 2022 г.

• Научный семинар кафедры теоретической механики МФТИ под руководством проф. С.В. Соколова, МФТИ, Долгопрудный, Россия, 2022 г.

Личный вклад автора. Содержание диссертационной работы и основные положения, выносимые на защиту, отражают вклад автора в опубликованные работы и получены лично автором. Постановки задач предложены научным руководителем.

Достоверность и обоснованность. Основные результаты диссертации получены аналитически с помощью классических методов математического анализа, теоретической механики,

а также теории устойчивости и бифуркаций. Графики и изображения, иллюстрирующие полученные аналитические результаты, построены численно.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Полный объём диссертации — 103 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 95 наименований. В диссертации приведено 14 рисунков и 3 таблицы.

Содержание диссертации

Во введении дан обзор научных публикаций, посвящённых теме диссертации. Сформулированы цели работы, обоснована актуальность темы исследования, её научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Приведён список научных публикаций по теме диссертации. Указаны конференции и семинары, в рамках которых докладывались автором и обсуждались полученные результаты диссертационной работы. Кратко изложено основное содержание работы.

В первой главе введено понятие производящей функции компонент тензора Эйлера -Пуансо произвольного порядка. Предлагается метод вычисления компонент тензора Эйлера - Пуансо с помощью таких производящих функций. Перечисляются свойства производящих функций при различных преобразованиях системы координат (параллельный перенос начала координат, поворот, растяжение). Приводятся явные выражения производящих функций компонент тензора Эйлера - Пуансо для однородного прямоугольного параллелепипеда, куба, произвольного тетраэдра (отдельно рассматривается случай равногранного тетраэдра), октаэдра, цилиндра, конуса, трёхосного эллипсоида и шара.

Приводятся определения производящих функций для тел, размерность которых меньше трёх. Такие функции выписаны для системы материальных точек, для однородной тонкого стержня и для однородной треугольной пластинки. В качестве иллюстративного примера рассматривается равногранный тетраэдр в случае, когда его масса сосредоточена а) в вершинах, б) на ребрах, в) на гранях. Для этих случаев выписываются и сравниваются производящие функции и компоненты тензора Эйлера - Пуансо вплоть до четвёртого порядка.

Во второй главе обсуждается вычисление производящей функции компонент тензора Эйлера - Пуансо в случае произвольного однородного тела, поверхность которого представляется многогранником с треугольными гранями, образующими триангуляционную сетку. Такая сетка задаёт совокупность ориентированных тетраэдров с общей вершиной в некоторой точке, например, в центре масс, и основаниями в гранях сетки. С помощью производящей функции вычислены моменты инерции вплоть до четвёртого порядка для ряда малых небесных тел, таких как (101955) Бенну, (532) Геркулина, (45) Евгения, (16) Психея и (321) Флорентина.

В третьей главе на примере равногранного тетраэдра с неподвижной точкой, совершающего движение в центральном ньютоновском поле сил, изучается роль слагаемых второго и третьего порядка в разложении потенциала гравитационного притяжения при определении равновесий и их свойств устойчивости в предположении о равенстве масс в вершинах тетраэдра. В рассматриваемом приближении найдены все возможные семейства равновесий. Среди них обнаружены "прямые" равновесия, на которых равногранный тетраэдр обращен к притягивающему центру серединой одного из своих рёбер, т.е. одна из бимедиан сона-правлена с прямой, проходящей через центр масс тела и притягивающий центр, и "косые" равновесия, для которых это свойство не выполняется.

Отдельно рассмотрены случаи, когда две бимедианы равны между собой, т.е. все грани тетраэдра — равнобедренные треугольники, и общий случай, когда все бимедианы не равны друг другу, а все стороны граней различны.

В случае равенства пары бимедиан найдены все равновесия и исследованы достаточные условия их устойчивости. Найдены значения параметров, при которых происходит изменение свойств устойчивости прямых равновесий, сопровождающееся рождением или исчезновением косых равновесий. Результаты исследования зависимости равновесий от параметров представлены на бифуркационных диаграммах. Выявлена связь найденных равновесий с изученными ранее равновесиями правильного тетраэдра, представляющими собой частный случай перманентных вращений.

В случае равногранного тетраэдра общего вида (все три бимедианы имеют разные длины) определены и изучены два семейства "косых" равновесий, параметризованные значени-

ями бимедиан тетраэдра. Первое семейство порождается равновесиями, на которых равно-гранный тетраэдр, близкий к правильному, ориентирован на притягивающий центр центром одной из своих граней. Второе семейство порождается равновесиями, на которых равно-гранный тетраэдр, близкий к правильному, ориентирован на притягивающий центр одной из своих вершин. Определены значения параметров, при которых найденные семейства ответвляются от "прямых" равновесий. Приведены бифуркационные диаграммы, на которых отмечены соответствующие степени неустойчивости равновесий. Показано, что оба семейства косых равновесий существуют одновременно лишь для тех значений параметров, при которых все "прямые" равновесия неустойчивы со степенью неустойчивости х = 1.

Для равногранных тетраэдров, близких к правильному, длины бимедиан которых параметризованы с помощью параметра д, отвечающего за их отклонение от правильного, построены области возможного движения (ОВД) на нулевом уровне интеграла площадей. Для различных значений постоянной интеграла энергии к, ОВД изображены в виде проекции полусферы Пуассона на отсекающую плоскость. Построена диаграмма на плоскости параметров (д,к): плоскость разбивается на восемь областей, внутри каждой из которых ОВД топологически эквивалентны.

Выполнено исследование "чувствительности" обнаруженных равновесий к степени приближения гравитационного потенциала. Оказалось, что учёт слагаемых более высокого порядка не влияет на существование решений.

В четвёртой главе изучаются вопросы, связанные с построением в рассматриваемой задаче о движении равногранного тетраэдра обобщённого конуса Штауде, задающего возможные положения осей перманентных вращений, а также его обобщения. Показано, как уравнения обобщённого конуса Штауде можно получить в рамках теории Рауса. Выписано общее уравнение обобщённого конуса Штауде, а также уравнение зависящей от величины угловой скорости поверхности, выделяющей из конуса Штауде множество динамически допустимых осей перманентных вращений.

Исследован характер вырождения обобщённого конуса Штауде в предельном случае, когда равногранный тетраэдр стремится к правильному. Приведены соответствующие иллюстрации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении А приведено хорошо известное разложение потенциала поля притяжения в ряд по параметру, характеризующему малость размеров тела по сравнению с расстоянием до притягивающего центра.

Коэффициентами разложения выступают моменты инерции различных порядков. Указывается связь этих величин с коэффициентами Стокса, появляющимися при разложении потенциала поля притяжения в ряд по сферическим функциям.

В приложении Б даётся определение равногранного тетраэдра и описываются его некоторые геометрические свойства.

Глава 1

Моменты инерции высших порядков и их производящая функция

1.1 Определение производящей функции и её основные свойства

В механике твёрдого тела встречаются интегралы вида

называемые моментами инерции к-того порядка (к = к\ + к2 + к3), или компонентами тензора Эйлера - Пуансо ( [29], см. также, например, [30]), или, в зарубежной терминологии, инерционными интегралами [1,2]. В частности, они появляются в качестве коэффициентов в разложении потенциала сил ньютоновского притяжения (см. Приложение А). В общем слу-

вектор выделенной в теле частицы в прямоугольной правой системе координат Ох\х2х3, жёстко связанной с телом В, р(х) — плотность этой частицы, dx — занимаемый ею элементарный объём.

Как оказалось, справедлива

(1.1.1)

в

Теорема. Пусть

p(x)dx1dx2dx3, t = (¿ь£2,£3)т,

х

(Х1,Х2,Х3)Т,

(1.1.2)

в

дк^(0, 0, 0) дгк1 дг22 дгк33'

(1.1.3)

Доказательство сводится к применению теоремы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла (см., например, [31], стр. 141, п.297), условия которой предполагаются выполненными.

Таким образом, вычисление моментов инерции сводится к вычислению единственного интеграла, зависящего от трёх параметров и дальнейшему отысканию частных производных по этим параметрам.

Функцию (1.1.2) будем называть производящей функцией компонент тензора Эйлера-Пуансо. Такая терминология восходит к математической статистике (см., например, [32]), где функции вида (1.1.2) используются для вычисления статистических моментов.

Замечание 1.1.1. Существенное отличие от аналогичного понятия из математической статистики состоит в том, что в механике интегрирование осуществляется по конечным областям, занимаемым телом, плотность тела не принимает бесконечных значений, и, вообще говоря, нет проблем со сходимостью возникающих интегралов. В статистике же в большом числе случаев используемые пространства некомпактны, и для сходимости аналогичных интегралов требуется достаточно быстрое убывание подинтегральных выражений на бесконечности.

Замечание 1.1.2. Масса тела В является коэффициентом тензора Эйлера - Пуансо нулевого порядка: тв = 1о = /ооо. Тензор Эйлера - Пуансо первого порядка 11 = (11 оо, 1о1о, 1оо1)т определяет положение центра масс Z:

ниями

Тензор инерции J тела и тензор Эйлера - Пуансо второго порядка 12 связаны соотноше-

( . . . \

, (1.1.4)

1.

J = ТГ(12)е - 12, 12 = 2Тг^)Е - J, 12 =

V

^200 Лю Л01

Лю ^020 ^011

^101 ТэИ ^002

/

где Е — единичная матрица 3 х 3. У этих тензоров общие собственные векторы, а вместе с ними — и главные оси инерции (см., например, [33,34]). Собственные значения <7*1, /2, 7 и 11, /2, 13 выражаются друг через друга как 7* = 12 + 13, (1, 2, 3). Здесь и ниже (1, 2, 3) означает циклическую перестановку индексов.

1.2 Производящие функции и замены переменных

Производящие функции меняются достаточно понятным образом при заменах переменных. Свойство 1. Пусть 0'ж1ж'2ж3 — прямоугольная правая система координат, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат Ож*ж2х3, а —О' = ¥ = (/ъ/2,/3)т. Тогда для таким образом введённых осей производящая функция (1; ¥) такова, что

У (1 ¥) = ууу е^'^х'= е-(м)^(1). (1.2.1)

в

Это свойство, доказывается непосредственным вычислением, опирающимся на подстановку х' = х — ¥. Оно аналогично хорошо известной из механики теореме Гюйгенса-Штейнера (см., например, [35]), согласно которой момент инерции твёрдого тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Замечание 1.2.1. Вычислим момент инерции тела 73 относительно оси 0'Х3, предполагая, что начало координат Ож*ж2ж3 совпадает с центром масс тела. Имеем

г, = г, + г, г, = д(0, 0, 0) = д2^'(0, 0,0)

73 = 1200 + ^020, 1200 = д^2 , ^020 = д£2

<9^ = Д 6 Ь ^ 2/16 +6

После подстановки 1 = (0, 0,0)т имеем (0, 0, 0)

0 12оо = /1 т + /200, 1О20 = /2т + /020.

д*1

Следовательно,

4 = т(/2 + /2) + /200 + /020 = т(/2 + /2) + ^

Свойство 2. Пусть Ох?#3 — прямоугольная правая система координат, полученная поворотом системы координат Ож?ж2ж3 так, что координаты радиус-векторы одной и той же точки в этих двух системах связаны соотношением х'' = Бх, где Я — ортогональная матрица поворота. Тогда производящая функция ^"(1; Я) в системе координат Ож?ж2ж3 имеет вид

^"(1; Б) = 6(t'x'')р(х//)^ж?^¿#3' = б(^х)р(х)^(Б)^п^Ж3 = (1.2.2) в в

= II/ 6(ST ^(Бх)^ = ^ (Бт1).

в

Замечание 1.2.2. Непосредственное преобразование компонент тензора Эйлера - Пуансо при таких заменах систем координат задаётся несложными, но весьма громоздкими выражениями.

Свойство 3. Пусть #3" — прямоугольная правая система координат, полученная рас-

тяжением системы координат Ож1ж2ж3 так, что радиус-векторы одной и той же точки в двух системах связаны соотношением х''' = Ьх, где Ь = ^шд(Л1,Л2, Л3). Тогда производящая функция Ь) в системе координат Ож1ж2ж3 имеет вид

Ь) = ёеЛ ■ ^(Ы). (1.2.3)

Рассмотрим примеры производящих функций компонент тензора Эйлера — Пуансо для однородного прямоугольного параллелепипеда, октаэдра, цилиндра, конуса и трёхосного эллипсоида.

1.3 Производящие функции компонент тензора Эйлера — Пуансо твёрдых тел простой геометрической формы

Рассмотрим примеры применения производящих функций к ряду твёрдых тел, таких как однородный прямоугольный параллелепипед, равногранный тетраэдр, октаэдр, цилиндр, конус, трёхосный эллипсоид в предположении, что их плотность единична. Прямоугольный параллелепипед. Пусть тело В — прямоугольный параллелепипед с рёбрами 2а1, 2а2, 2аз. В осях Ох1 ж2ж3, параллельных рёбрам параллелепипеда и проходящих через его центр масс, производящая функция принимает вид

сйЬ(а1^1) вЬ(а2^2) йЬ(аз^з) Р (г; й1, й2, аз) = 8-——-

В частности, для куба с ребром а

Р(г; а) = 8-

Равногранный тетраэдр. Пусть тело 3 — равногранный тетраэдр (см. Приложение Б.) с бимедианами 2а1, 2а2, 2а3. В осях Ох1 ж2ж3, направленных вдоль бимедиан и проходящих через центр масс — точку их пересечения, производящая функция принимает вид

л ^ е"1*1 еЬ(а2^2 + аз^з) — е-"141 сЬ^^ — аз^з) , р (г; а1,а2,аз) = 4а1а2аз -7~^2-п2+2\ (п2+2--а141- (1.3.1)

(1"2"з) (а1г1 — а2г2) (азгз — а1г1)

В частном случае правильного тетраэдра с бимедианой 2а эта функция записывается как

е"*1 сЬ((г2 + ¿з) а) — е-"*1 сЬ((г2 — ¿з) а)

Р (1; а) = 4 ^ (¿2 — ¿2) (¿2 — ¿1)

Октаэдр. Пусть тело В — октаэдр, рёбра которого соединяют середины соседних граней прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а1, 2а2, 2аз. В осях Ож1ж2жз, соединяющих его противоположные вершины и проходящих через центр октаэдра, производящая функция

записывается как

^^ а1,а2,аз) = 8а1а2аз £ -т ^272)•

(1 2 3) (а171 - а272) (а171 - аз7з)

В частном случае правильного октаэдра, вписанного в куб с ребром 2а, производящая функция записывается как

(1; а) = 8 £ 71 8Ь(а<1)

азд (t? - t2)(t? - ti)

Цилиндр. Пусть тело B — прямой круговой цилиндр с радиусом основания R высотой 2h. Пусть x3 — система координат, начало которой совпадает с центром симметрии

цилиндра, а ось Ox3 — с его осью симметрии. Тогда выражение для производящей функции имеет вид

F(t; R, h) = 2nRiShM) : M + t^ = 4nR ^ J? f^t^r'

( t3 ¿=5 2inn!(n + 1)! t3^if+il 4V 1 2

где Ji(z) — модифицированная функцию Бесселя первого рода порядка 1 c аргументом т/t? +12R, см., например, [36], стр. 13, п.7.2.2.

Конус. Пусть тело B — прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой h. В проходящих через центр масс конуса осях Ox?x2x3, с осью Ox3, направленной вдоль высоты, выражение для производящей функции имеет вид

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никонова Екатерина Александровна, 2022 год

Литература

1. Meirovitch L. On the effects of higher-order inertia integrals on the attitude stability of Earth-pointing satellites // Journal of the Astronautical Sciences. 1968. Vol. 15. No. 1. P. 14-18.

2. Meirovitch L. Methods of analytical dynamics // New York, McGraw-Hill Book Company. 1970

3. Sincarsin G. B., Hughes P. C. Gravitational orbit-attitude coupling for very large spacecraft // Celestial mechanics. 1983. Vol. 31. Р. 143 - 161.

4. Hou X., Scheeres D. J., Xin X. Mutual potential between two rigid bodies with arbitrary shapes and mass distributions // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2017. Vol. 127. P. 369-395.

5. Soler T. A new matrix development of the potential and attraction at exterior points as a function of the inertia tensors // Celestial mechanics. 1984. Vol. 32. Issue 3. P. 257-296.

6. Loney S. L. An elementary treatise on the dynamics of a particle and of rigid bodies // Cambridge: University Press. 1909.

7. Tonon F. Explicit Exact Formulas for the 3-D Tetrahedron Inertia Tensor in Terms of its Vertex Coordinates // Journal of Mathematics and Statistics. 2004. Vol. 1. No. 1. P. 8-11.

8. Dobrovolskis A. R. Inertia of Any Polyhedron // Icarus. 1996. Vol. 124. Issue 2. P. 698-704.

9. Mirtich B. Fast and Accurate Computation of Polyhedral Mass Properties // Journal of Graphics Tools. 1996. Vol. 1. No. 2. P. 31-50.

10. Kielich S. Octopole moment of the methane molecule // Acta Physica Polonica. 1965. Vol. XXVII. Fasc. 3. P. 457 - 464.

11. Dobrovolskis A.R., Korycansky D.G. The quadrupole model for rigid-body gravity simulations // Icarus. 2013. Vol. 225. P. 623 - 635.

12. Суликашвили Р.С. Стационарные движения тел, допускающих группу симметрии правильных многогранников в ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 582 - 586.

13. Ashenberg J. Proposed Method for Modeling the Gravitational Interaction Between Finite Bodies // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2005. Vol. 28. No. 4. P. 768-774.

14. Вашковьяк М. А., Вашковьяк С Н. Силовая функция слабоэллиптического материального гауссова кольца и её обобщение на почти компланарную систему колец // Астрономический вестник. Исследования солнечной системы. 2012. Т. 46. № 1. С. 72-80.

15. Вашковьяк М. А., Вашковьяк С. Н. Силовая функция слабоэллиптического гауссова кольца и ее обобщение на почти компланарную систему колец // Астрономический вестник. Исследования солнечной системы. 2012. Т. 46. № 1. С. 72-80.

16. Ashenberg J. Mutual gravitational potential and torque of solid bodies via inertia integrals // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2007. Vol. 99. P. 149-159.

17. Wang Y., Xu Sh. Equilibrium attitude and stability of a spacecraft on a stationary orbit around an asteroid // Acta Astronautica. 2013. Vol. 84. P. 99-108.

18. Hirabayashi M., Scheeres D.J. Recursive computation of mutual potential between two polyhedra // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2013. Vol. 117. P. 245-262.

19. Werner R.A. The gravitational potential of a homogeneous polyhedron or don't cut corners // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1994. Vol. 59. No. 3. P. 253 - 278.

20. Werner R. A., Scheeres D. J. Exterior gravitation of a polyhedron derived and compared with harmonic and mascon gravitation representations of asteroid 4769 Castalia // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1996. Vol. 65. No. 3. P. 313 - 344.

21. Werner R. A., Scheeres D. J. Mutual Potential of Homogeneous Polyhedra // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2005. Vol. 91. P. 337-349.

22. Fahnestock E. G., Scheeres D. J. Simulation of the full two rigid body problem using polyhedral mutual potential and potential derivatives approach // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2006. Vol. 96. P. 317-339.

23. Слудский Ф.А. Об уклонении отвесных линий. Диссертация на степень магистра астрономии. М.: Университетская Типография (Катков и К). 1863.

24. Сидоренко В.В. Движение вокруг неподвижной точки твёрдого тела с упругими стержнями, допускающего группу симметрий правильного многогранника. М.: Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР. 1990.

25. Сидоренко В.В. Стационарные движения спутника с упругими стержнями, допускающего группу симметрий. М.: Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР. 1991.

26. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. Вып. 1. С. 34-42.

27. Егармин Н.Е. Влияние упругих деформаций на тензор инерции твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 6. С. 43-48.

28. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободных движениях деформируемого твердого тела, близкого к шару // Изв. АН СССР, МТТ. 1983. № 3. C. 43-50.

29. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps. Paris: Bachelier, 1851.

30. Ачонугло Е., Валле К., Монне Т., Фортюне Д. Идентификация десяти параметров инерции твердого тела // Прикладная математика и механик. 2008. Т. 72. Вып. 1. С. 35-40.

31. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. М.: Наука. 1968.

32. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука. 1967.

33. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. 1968.

34. Dobrovolskis A.R. Inertia of Any Polyhedron // Icarus. 1996. Vol. 124. No. 2. P. 698-704.

35. Четаев Н. Г. Теоретическая механика. М.: Наука. 1987.

36. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука. 1966.

37. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука. 1956.

38. Барбашова Т. Ф., Кугушев Е. И., Попова Т. В. Теоретическая механика в задачах. Кинематика. Общие теоремы динамики. МЦНМО Москва, 2015.

39. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика. М.: Наука. 1979.

40. Суликашвили Р. С. Влияние моментов инерции высших порядков на динамику твердого тела с неподвижной точкой // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1985. С. 90-104.

41. Суликашвили Р. С. О влиянии моментов инерции третьего и четвертого порядков на движение твердого тела // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 268-274.

42. Loudon W.L. An elementary treatise on rigid dynamics. New York, London: The Macmillan Company. 1896.

43. Татаринов Я. В., Кулешов А. С., Попова Т. В., Прошкин В. А. Задачи по кинематике и динамике качения твердых тел. Москва: Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ. 2011.

44. Chanut T.G.G., Aljbaae S., Carruba V. Mascon gravitation model using a shaped polyhedral source // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2015. Vol. 450. No. 4. P. 3742— 3749.

45. Riaguas A., Elipe A., Lara M. Periodic orbits around a massive straight segment // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1999. Vol. 73. No. 1-4. P. 169—178.

46. Bartczak P., Breiter S. Double Material Segment as the Model of Irregular Bodies // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2003. Vol. 86. No. 2. P. 131—141.

47. Belmonte C., Boccaletti D., Pucacco G. On the Orbit Structure of the Logarithmic Potential // The Astrophysical Journal. 2007. Vol. 669. No. 1. P. 202—217.

48. Dirichlet J.P.G.L. Sur une nouvelle methode pour la determination des integrales multiples // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. 1839. Vol. 4. P. 164—168.

49. Bateman H. Higher transcendental functions [volumes i-iii] // McGraw-Hill Book Company. 1953. Vol. 1.

50. 3D Asteroid Catalogue [Electronic resource]. URL: https://3d-asteroids.space/ (Access date: May 09, 2021)

51. Kaasalainen M., Torppa J., Piironen J. Models of Twenty Asteroids from Photometric Data // Icarus. 2002. Vol. 159. Issue 2. P. 369-395.

52. Slivan S.M., Binzel R.P., Crespo da Silva L.D., Kaasalainen M., Lyndaker M.M., Krco M. Spin vectors in the Koronis family: comprehensive results from two independent analyses of 213 rotation lightcurves // Icarus. 2003. Vol. 162. Issue 2. P. 285-307.

53. Hanus J. et al. Volumes and bulk densities of forty asteroids from ADAM shape modeling. Astronomy & Astrophysics. 2017. Vol. 601. ArtNo. a_114.

54. Shepard M. K., Richardson J., Taylor P. A., et al. Radar observations and shape model of asteroid 16 Psyche. Icarus. 2017. Vol. 281. P. 388-403

55. Nolan M.C. et al. Asteroid (101955) Bennu Shape Model V1.0. EAR-A-I0037-5-BENNUSHAPE-V1.0. NASA Planetary Data System. 2013

56. Amarante A., Winter O.C., Sfair R. Stability and evolution of fallen particles around the surface of asteroid (101955) Bennu. Journal of Geophysical Research: Planets. 2021. Vol. 126. P. 1-24.

57. Юдицкая А. С. Моделирование гравитационного поля астероида сложной формы с равномерно распределённой массой. М.: МФТИ. 2020.

58. Юдицкая А. С., Ткачев С. С. Сравнительный анализ методов моделирования гравитационного потенциала тел сложной формы // Матем. моделирование. 2021. Т. 33. № 5. С. 78-90.

59. Araujo R. A. N., Moraes R. V., Prado A. F. B. A. Winter O. C. Mapping stable direct and retrograde orbits around the triple system of asteroids (45) Eugenia. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2017. Vol 472. No. 4. P. 3999-4006.

60. Moura T. S., Winter O. C., Amarante A., Sfair R., Borderes-Motta G., Valvano G. Dynamical Environment and Surface Characteristics of Asteroid (16) Psyche // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2020. Vol. 491. No. 3. P. 3120-3136.

61. Hu W., Scheeres D.J. Numerical determination of stability regions for orbital motion in uniformly rotating second degree and order gravity fields // Planetary and Space Science. 2004. Vol. 52. No. 8. P. 685-692.

62. Суликашвили Р. С. О стационарных движениях тетраэдра и октаэдра в центральном поле тяготения // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1987. С. 57-66.

63. Суликашвили Р. С. Стационарные движения тел, допускающих группу симметрии правильных многогранников в ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 582-586.

64. Burov A.A., Sulikashvili R.S. On the motion of a rigid body possessing a finite group of symmetry // Prepublication du C.E.R.M.A. Ecole Nationale des Ponts et Chaussees. 1993. No.17. P. 8.

65. Vashkoviak M. A. On the stability of circular 'asteroid' orbits in an N-planetary system // Celestial Mechanics. 1976. Vol. 13. No. 3. P. 313-324.

66. Routh E. J. Treatise on the Stability of a Given State of Motion. Cambridge: Cambridge University press. 1877.

67. Routh E. J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. L.: McMillan. 1884.

68. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998.

69. Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. М.: Изд-во МГУ. 1974.

70. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. 3-е изд. М.: Наука. 1965.

71. Возлинский В.И. О связи бифуркаций равновесий консервативных систем с распределением устойчивости на кривой равновесий // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. Вып.2. С. 418-427.

72. Возлинский В.И. Об устойчивости точек ветвления равновесий // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. С. 259 - 267.

73. Hancock H. Lectures on the Theory of Maxima and Minima of Functions of several Variables (Weierstrass Theory), McMicken Hall, University of Cincinnati. 1903.

74. Mann H. B. Quadratic forms with linear constraints // The American Mathematical Monthly. 1943. Vol. 50. No. 7. P. 430 - 433.

75. Шостак Р.Я. О признаке условной определённости квадратичной формы n переменных, подчинённых линейным связям, и о достаточном признаке условного экстремума функций n переменных // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. Вып. 2 (60). С. 199 - 206.

76. Рубановский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функций Ляпунова из интегралов уравнений движения // Прикладная математика и механика. 1969. Т. ЗЗ. Вып. 5. С. 904 - 912.

77. Чепанов С.Я. Симметризация критериев знакоопределенности симметричных квадратичных форм // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 6. С. 979 - 987.

78. Буров А.А. О необходимых условиях устойчивости установившихся движений систем со связями, реализуемыми большими потенциальными силами // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, № 5. С. 870 - 877.

79. Карапетян A.B., Степанов С.Я. О стационарных движениях и относительных равновесиях механических систем с симметрией // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 73 - 743.

80. Рубановский В. Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. M.: Наука. 1988.

81. Staude O. Uber permanente Rotationsachsen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt // Journ. fur reine und angew. Math. 1894. Vol. 113. S. 318-334.

82. Ламб Г. Теоретическая механика. Т.3. M.-Л.: ОНТИ ГКТП. 1936.

83. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2. Ч. 2. M.: Издательство иностранной литературы. 1951.

84. Холостова О. В. Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. M.-И.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2008.

85. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. M.: Наука. 1965.

86. Чаплыгинъ С. А. О некоторыхъ случаяхъ движешя твердаго тела въ жидкости. Статья вторая (продолжеше) // Mатематический сборник. 1898. Т. 20. № 2. С. 173-246.

87. Карапетян А. В. Инвариантные множества в задаче Клебша-Тиссерана // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 6. С. 959-964.

88. Субханкулов Г. И. Об устойчивости некоторых стационарных движений твердого тела в жидкости // Задачи устойчивости, управления, колебания. Сб. трудов 5-ой Четаевской конф. M.^ АН СССР. 1990. С. 50-56.

89. Doubochine G. N. Sur le developpement de la fonction des forces dans le probleme de deux corps finis // Celestial mechanics. 1976. Vol. 14. P. 239-281.

90. Холостова О. В. Об устойчивости перманентных вращений Штауде в общем случае геометрии масс твёрдого тела // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. № 3. С. 357 - 375.

91. MacMillan W. D. The Theory of the Potential // McGraw-Hill book Company. 1930.

92. Brouwer D., Clemence G.M. Methods of Celestial Mechanics // New York, London, Academic Press. 1961.

93. Werner R.A. Spherical harmonic coefficients for the potential of a constant-density polyhedron // Computers & Geosciences. 1997. Vol. 23. No. 10. P. 1071-1077.

94. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. Выпуск 31 серии "Библиотечка Квант". М.: Наука, 1984.

95. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. Серия Библиотека математического кружка. Выпуск 19. М.: Наука, 1989.

Приложение А

Хорошо известно, что при описании движения твёрдого тела в центральном поле ньютоновского притяжения, как правило, достаточно воспользоваться разложением потенциала до слагаемых первого или второго порядка малости по параметру, характеризующему отношение размеров тела к его расстоянию до притягивающего центра. Однако, в случае, когда тензор инерции тела близок к шаровому, такие приближения, вообще говоря, оказываются недостаточными.

Устройство потенциала и его разложение

Если предположить, что расстояние от гравитирующего центра до центра масс тела В много больше размеров самого тела, то можно найти приближённое выражение для потенциала

и« (7) = -С ([ I

JJ (ry + x,rY + x)1/2' в

где G — гравитационная постоянная, r = NO, x — радиус-вектор выделенной в теле частицы, р(х) — плотность этой частицы, dx — занимаемый ею элементарный объём. Для этого разложим выражение (ry + x, ry + x)-1/2 в ряд по степеням е:

2r(y, x) + (x, x)

е = e(Y, x) =-2-, |е| < 1.

Последующее интегрирование каждого из слагаемых позволяет представить потенциал в виде ряда (ср., например, [2,33,91,92]):

f/N = - G ПК1 - ? + Г2 - Т^ + T^ + ..) ^ . - G £ C,

где коэффициенты C, k = 0,1, 2, 3, 4 имеют вид

Co = ^ooo, Ci = - (/100Y1 + 1oioY2 + 1ooiY3),

C2 = -T (I2oo + Io2o + Ioo2) + 3 (1iioYiY2 + 1ioiYiY3 + 1oiiY2Y3) + + 3 (l2ooY2 + 1o2oY2 + Ioo2Y3) ,

3

C3 = 2 [(13oo + ^i2o + ^io2) Yi + (12io + ^o3o + ^oi2) Y2 + (12oi + ^o2i + Ioo3) Y3] -5

-2 [l3ooY3 + 1o3oY3 + 1oo3Y3 + 61iiiYiY2Y3+

+ 3 (/2ioYiY2 + l2oiYiY3 + 1i2oYiY2 + 1io2YiY2 + 1o2iY2Y3 + 1oi2Y2Y2)] , 3

C4 = ö [14oo + ^o4o + ^oo4 + 2(122o + I2o2 + Io22)] -

О

15 2 2 2

--4 [(14oo + ^22o + I2o2)Yl + (1o4o + ^22o + 1o22)Y2 + (1oo4 + I2o2 + 1o22)Y3 +

+2 ((I3io + Iii2 + 1i3o)YiY2 + (I3oi + Ii2i + 1io3)YiY3 + (Im + Io3i + 1oi3)Y2Y3)] + 35

+— [W + 1o4oY4 + Ioo4Y4 + 12(/2iiYi2Y2Y3 + 1i2iYiY2Y3 + 1ii2YiY2Y2) +

3 33 3 3 3

+4(/i3oYiY3 + Iio3 Yi Y3 + l3oiYiY3 + ^3ioYiY2 + Io3i Y2Y3 + 1oi3Y3Y2) + + 6(/22oY2Y2 + l2o2Yl2Y2 + Io22Y2Y3)] '

Замечание 4.4.1. Наряду с моментами инерции высших порядков в теории потенциала используются и другие характеристики динамического строения тела, например, т.н. посто-

янные Стокса. Представим разложение потенциала в виде ряда Лапласа:

и = - СМ |1 + Е

^ ' Я^ П П

Г

п=1

у, Р^т^т ф) (СП,т осв(тЛ) + Бщт вт(тЛ))

(4.4.1)

т=0

где М — масса тела, Рп,т(-) — присоединенные функции Лежандра степени п и порядка т, ф — широта, Л — долгота, г — расстояние от пробной точки до начала системы координат. Масса М и средний радиус Я добавлены, чтобы параметры Сп,т и 5п,т были бы безразмерными. Этот ряд получается в результате подстановки

г1 = г осе ф осе Л, г2 = г осе ф вт Л, Гз = г вт ф.

(4.4.2)

и последующего приведения подобных. Коэффициенты ряда Лапласа, которые принято называть коэффициентами Стокса, могут быть выражены через интегралы 1к1к2к3. Приведём выражения для п, т < 4:

(Г ^

с1,0 С1,1 51,0 V ^1,1 )

МЯ

( 0 0 1^

-10 0

0 0 0

0-10

(I х

^100

^010 у 1001 у

\

с2,0 С2,1 С2,2 5*2,0 5*2,1

У 52,2 у

МЯ2

1 /2 1 /2 1 0 0

0 0 0 0 -1

1/4 1 /4 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

\

0 0 0 0 0 -1

0 0 1/2 0 0

(I х

^200

1020 1002 1110 1101

V 1011 /

г

1

1

0

0

r

r3,0 C3,1 C3,2 C3,3

53.0

53.1

53.2

\ S3,3 у

MR3

О l О —з/2 О —з/2 ООО

1/4 О О О О -l О

ООО —1/4 О 1 /4

-1/

24

О О О О

О О О

О О О

1/4 О 1/4

О О О

/24 О -1/8

ОО

О О О О

О О О О

r

С4,0

С4,1 С4,2 С4,3 С4,4

54.0

54.1

54.2

54.3 \ S4,4 У

MR4

M

I

I400

I040 I004 I310 I031 I103 I301 I130 I013 I220 I022 I202 I211 I121 I112

1/4 О О

ООО

1/8 О О

О О О О

О О —l О

О О 1/2

О О О О

I

I300

I030 I003 I210 I021 I102 I201 I120 I012 I111

О

О

О

l

О

l

м

' 3/8 3/8 1 0 0 0 0 0 0 3 3/4 -3 -3 0 0 0

0 0 0 0 0 -1 3/ 3/4 0 0 0 0 0 0 3/ 3/4 0

— V 24 1/24 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/4 1/4 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -1/24 0 0 0 0 0 0 1/8 0

1 /192 1/192 0 0 0 0 0 0 0 -1/32 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 3/ 3/4 0 0 0 -1 0 0 0 3/ 3/4 0 0

0 0 0 -1/12 0 0 0 -1/12 0 0 0 0 0 0 1/192

0 0 0 0 1/24 0 0 0 0 0 0 0 -1/8 0 0

0 0 0 1/48 0 0 0 -1/48 0 0 0 0 0 0 0

В [93] выполняются вычисления Сп,т и $п,т Для гравитационного потенциала многогр

ника постоянной плотности.

Приложение Б

Пусть В — тело в форме равногранного тетраэдра АВСО (относительно определения и основных свойств см. [94,95]). Его бимедианы, соединяющие середины противоположных рёбер, попарно перпендикулярны и пересекаются в одной точке О. Зададим жёстко связанную с телом правую систему отсчёта 0X1X2X3 с началом в точке О и осями, направленными вдоль бимедиан, см. рисунок 4.3.

Поскольку около равногранного тетераэдра всегда можно описать сферу радиуса Д, то пусть длины бимедиан равны 2а1Д, 2а2Д, 2а3Д соответственно. Тогда вершины А, В, С и О тетраэдра В в системе отсчёта Ож1ж2ж3 могут быть заданы следующими радиусами-векторами

гА = —А = Д(а1, —а2, — а3)т = Д еА, гв = О—В = Д(-а1, —а2, а3)т = Д ев, гс = —(С = Д(—а1, а2, — а3)т = Д ес, гд = ——О = Д(а1, а2, а3)т = Д ед,

причём длины этих векторов равны

—зА = = —(С = ——О

Д,

и имеет место связь

а2 + а2 + а3 = 1.

(4.4.3)

Рис. 4.3: Равногранный тетраэдр. Середины рёбер тетраэдра задаются как

оК = Я(аь 0,0)т, ОЙ = Д(—аь 0, 0)т

а} = Д(0,а2, 0)т, оЗ = Д(0, -а2, 0)т О) = Д(0, 0,аз)т, О^ = Д(0,0, -аз)т.

В независимости от того, распределена ли масса тетраэдра равномерно внутри занимаемого им объёма, или на его гранях, или на его рёбрах, или, наконец, в равных долях сосредоточена в его вершинах, оси Ох1, Ох2, Ох3 являются главными центральными осями инерции тела В.

Однородный равногранный тетраэдр

Для вычисления моментов инерции 1к1к2к3 тела в форме равногранного тетраэдра, чья масса равномерно распределена по объёму, укажем границы интегрирования. Так, например, полагая —а3Д < х3 < а3Д, оставшийся двойной интеграл представим как сумму трёх слагаемых со следующими границами интегрирования

1. —а1Д < х1 < ——х3 и х23 < х2 < х21;

а3

«1 «1

2 .--Хз < Х1 < -Хз И Х22 < Х2 < Ж2Ь

«з «3

3. — хз < х1 < а1Д и х22 < х2 < х24, «з

где

Х21(Х1, Хз) = — Х1 - —Хз + -2^, Х22(Х1, Хз) = —Х1 + —Хз - «2К, — 1 «з «1 «з

Х2з(Х1,Хз) =--2Х1--2Хз — «2К, Х24(Х1,Хз) = —2Х1 +—2Хз + «2К,

«1 «з «1 «з

причём имеют место следующие равенства

Х21(Х1, —Хз) = —Х2з(Х1,Хз), Х22(Х1, —Хз ) = — Х24(хЬХз), Х2з(Х1, —Хз) = —Х21(Х1,Хз), Х24(Х1, —Хз ) = — Х22(хЬХз).

Утверждение. Если индексы к, г = л, г,л = 1, 2, 3 имеют различную чётность, то коэффициент = 0.

Доказательство этого факта техническое и заключается в том, что если найдутся два индекса А^, к, г = л, г, л = 1, 2, 3 разной чётности, то двойной интеграл по Х1 и Х2 является нечётной функций переменной Хз. Интеграл от нечётной функции в симметричных пределах равен нулю.

Ненулевые коэффициенты вплоть до четвёртого порядка имеют следующий вид:

1200 = т5«1К2, /020 = т5«2К2, /002 = т5«зК2,

1з /111 = «1«2«зК ;

15

г 3 4 е>4 г 3 4 е>4 т 3 4 т->4

/400 = т—«, /040 = т—«2К , /004 = т—«зК ,

35 35 35

г 1 2 2 т~>4 т 1 2 2 о4 г 1 2 2 о4

/220 = т21«1«2К , /202 = т21«2К , /022 = т2у«^2К .

В осях ох1х2хз главные центральные моменты инерции, отнесённые к массе тетраэдра, имеют вид

л = ^ («2 + «2) к2, л = ^ («2 + «2) к2, ¿з = 5 («1 + «2) к2.