Моделирование локально-неравновесных процессов теплопереноса и механических колебаний в кристаллических телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Михеева Галина Вениаминовна

• Михеева Галина Вениаминовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Михеева Галина Вениаминовна

Общая характеристика работы

Глава 1. Обзор работ по избранному направлению исследований

Глава 2. Двухтемпературные модели теплопереноса в кристаллических телах

2.1. Двухтемпературная модель переноса тепла в кристаллических телах при облучении сверхкороткими лазерными импульсами

2.2. Двухтемпературная локально - неравновесная модель переноса тепла в кристаллических телах

2.3. Двухтемпературная нелинейная локально - неравновесная модель переноса тепла в кристаллических телах

Глава 3. Математические модели теплопроводности и динамической термоупругости с учётом релаксационных свойств материалов

3.1. Исследование волнового и баллистического переноса теплоты с учётом пространственно-временной нелокальности

3.2. Исследование динамических напряжений с учётом релаксационных свойств материалов

Глава 4. Исследование продольных колебаний стержня с учётом релаксационных явлений

4.1. Математическое моделирование продольных колебаний стержня с учётом нелокальности реальных процессов

4.2. Амплитудная модуляция волновых пакетов в стержне с учётом внешней нагрузки

Выводы

Список использованной литературы

Список публикаций автора диссертации

Приложение 1 Численное решение двухтемпературной задачи теплопереноса в металлических наноплёнках

Приложение 2 Затухающие колебания стержня на основе модели двухфазного запаздывания

Приложение 3 Численное моделирование индукционного нагрева жидкометаллического реактора пиролиза метана на основе нелинейной локально-неравновесной математической модели

Акты о внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование локально-неравновесных процессов теплопереноса и механических колебаний в кристаллических телах»

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В связи с потребностью проведения физических процессов в условиях экстремальных значений температур, давлений и прочего, появился интерес к исследованию внутренних механизмов переноса тепла и процессов колебаний упругих твердых тел с учётом локальной неравновесности (пространственно-временной нелокальности) реальных физических процессов. В основе существующих математических моделей лежат параболические уравнения, полученные на основе принципов локального равновесия и сплошной среды, в соответствии с которыми не учитываются внутренняя структура вещества. То есть, используется допущение согласно которому в пространственно-временных мас-штабах порядка длины и времени свободного пробега микро- и квазичастиц (атомов. электронов, фононов), происходит мгновенный теплообмен. Отсутствие коэффициентов релаксации в уравнениях классических моделей подразумевает, с математической точки зрения, распространение теплоты и импульса без какой-либо временной задержки, т.е. с бесконечной скоростью. Поэтому существующие модели не подходят для описания процессов, происходящих в очень короткие промежутки времени (сопоставимые со временем релаксации), а также при малых пространственных масштабах. Для того, чтобы приблизиться к корректному описанию быстропротекающих процессов, необходима разработка новых моделей.

Целью работы является исследование внутренних механизмов теплопере-носа и колебательных процессов с учётом релаксационных явлений.

Задачи исследования

1. Разработка линейной и нелинейной локально - неравновесной двухтем-пературной модели переноса тепла в металлах, облучаемых ультракороткими импульсами лазерного излучения.

2. Исследование влияния внутреннего (объемного) коэффициента теплоотдачи на теплообмен между электронами и кристаллической решёткой с целью определения границ применимости двухтемпературной модели.

3. Исследование волнового и баллистического переноса теплоты в сверхтонких пленках наноразмерной толщины.

4. Создание математической модели несвязанной динамической термоупругости при тепловом ударе с учётом пространственно - временной нелокальности.

5. Создание математической модели локально - неравновесных продольных колебаний стержня с использованием модифицированной формулы закона Гука, учитывающей скорости и ускорения напряжений и градиента перемещений.

6. Разработка математической модели продольных колебаний стержня с учётом локальной неравновесности и внешней нагрузки с целью исследования резонансных и бифуркационных колебаний, а также для создания волновых пакетов с амплитудной модуляцией.

Научная новизна

1. Разработаны линейная и нелинейная локально - неравновесные двухтем-пературные модели теплообмена между электронами и кристаллической решёткой в металлах, облучаемых мощными ультракороткими лазерными импульсами.

2. Впервые выполнено исследование влияния внутреннего коэффициента теплоотдачи на теплообмен между электронами и решёткой, позволившее определить границы применимости двухтемпературной модели.

3. Применительно к сверхтонким плёнкам, характеризующимся волновым переносом теплоты, предложен аналог температуры - квадрат амплитуды волновой функции, позволяющей определить действительную температуру при волновом её изменении.

4. Разработана локально - неравновесная модель несвязанной динамической термоупругости, позволяющая моделировать температурные напряжения, инициируемые движением двух волн - тепловой и звуковой при тепловом ударе на внешней поверхности тела.

5. Разработана математическая модель продольных колебаний стержня с учётом локальной неравновесности и внешней гармонической нагрузки, позволя-

ющая моделировать резонансные и бифуркационные колебания, также выполнять амплитудную модуляцию волновых пакетов.

На защиту выносятся все вышеперечисленные положения научной новизны, а также алгоритмы и комплексы программ, реализующие разработанные в диссертации математические модели.

Теоретическая и практическая значимость результатов работы

Впервые выполнены исследования двухтемпературной линейной и нелинейной модели локально - неравновесного теплообмена в металлах при воздействии ультракороткого лазерного излучения. Применительно к исследованиям решения гиперболического уравнения теплопроводности предложен аналог температуры, определяемый как квадрат амплитуды волновой функции. При исследовании динамических температурных напряжений впервые показано, что скачки напряжений формируются в результате движения двух волн - тепловой и звуковой. Применительно к исследованию локально - неравновесных колебаний стержня с учётом внешней нагрузки получены волновые пакеты с амплитудно -частотной модуляцией.

Достоверность результатов подтверждается сравнением полученных в диссертации решений с данными других авторов, с численными решениями и с экспериментальными исследованиями.

Методология и методы исследования. При разработке математических моделей используются классические законы сохранения (равновесия, движения, теплового баланса) и эмпирические формулы законов Фурье и Гука. Разработанные модели исследуются аналитическими и численными методами.

Связь диссертации с государственными программами научных исследований. Исследования проводились по гранту РФФИ (проект № 20-38-70021).

Внедрение полученных результатов. Результаты, полученные в диссертации, были использованы в учебном процессе СамГТУ, на предприятии РКЦ "Прогресс", г. Самара.

Апробация материалов диссертации. Наиболее важные положения диссертации и обсуждены на XI Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара 2019 г.), XXI международной кон-ференции "Проблемы управления и моделирования в сложных системах" (г. Самара, 2019 г.), международной научно-технической конференции «Современные направления и перспективы развития технологий обработки и оборудования в машиностроении 2019», (г. Севастополь, 2019 г.), Central European Symposium On Thermophysics (Eger, Hungary, 2020), III международной конференции «Современные проблемы теплофизики и энергетики» (г. Москва, 2020 г.), VI Международной конференции «Информационные технологии и нанотехнологии» (г. Самара, 2020 г.), II Международной конференции «Метрологическое обеспечение инновационных технологий» (г. Красноярск, 2021 г.), XXIII семинар молодых ученых под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики в энергетических установках» (г. Екатеринбург, 2021 г.), III Международной конференции «Прикладная физика, информационные технологии и инжиниринг» (г. Красноярск, 2021 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, из которых 11 работ являются публикациями в рецензируемых научных изданиях и публикациями, приравненными к ними.

Личный вклад автора. Работы [2, 9, 12] выполнены самостоятельно. В статьях [1, 3 - 8, 12 - 16] диссертант, совместно с другими авторами, выполнял работу по постановке задач и проведении расчётов. В остальных работах в одинаковой степени с соавторами принимал участие в разработке моделей и нахождении решений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, приложений; изложена на 136 страницах основного текста (без приложений), содержит 89 рисунка, 2 таблицы. Список литературных источников включает 203 наименования.

Глава 1. Обзор работ по избранному направлению исследований

При получении классических математических моделей теплопроводности используются гипотеза сплошности и концепция локального термодинамического равновесия. Считается, что в областях, сравнимых с длиной и временем свободного пробега носителей энергии (электронов, ионов, фононов и проч.), устанавливается сосотояние локального равновесия, тогда как во всей системе наблюдаются перепады температур, обусловленные краевыми условиями. Гипотеза сплошности означает отказ от молекулярно - атомного строения вещества, что позволяет в интегральных законах сохранения выполнять предельный переход при устремлении к нулю объема интегрирования. Такой подход приводит к уравнениям сохранения (энергии, массы, движения и др.) в дифференциальной форме, что с физической точки зрения некорректно, так как среда имеет внутреннюю дискретную структуру. Процессы переноса в этом случае описываются параболическими уравнениями с бесконечно большой скоростью распространения возмущений. Данное допущение может быть оправдано лишь в случае, если: 1) характерная скорость процесса V = а/Ь (скорость изменения параметров, под действием внешних причин (например, скорость движения изотерм)) значительно меньше скорости распространения возмущений и = I / т, представляющей внутреннюю характеристику системы; 2) характерный микромасштаб системы I = ти значительно меньше ее характерного макромасштаба Ь = а / V (где а - коэффициент температуропроводности; т - время релаксации - время в течение которого устанавливается равновесие в микроскопически малых, сопоставимых с длиной свободного пробега микрочастиц (молекул, электронов, ионов, фононов), объемах среды; I - длина свободного пробега частиц-носителей энергии. Следовательно, условия приближения локального термодинамического равновесия и сплошной среды можно записать в виде: т << г0; I << Ь ; V << и, где г0 = а / V2 - характерное время рассматриваемого процесса. В случае, когда т~г0; I ~ Ь; V ~ и, процесс переноса нелокален и он не может быть адекватно описан классическими параболическими уравнениями переноса, являющимися локальными и по времени и по простран-

ству, так как они не содержат характерных временных и пространственных микромасштабов системы т и I. Следовательно, параболические уравнения оказываются справедливыми для системы в целом и для любой малой её части, что физически несостоятельно, ввиду дискретности среды и конечной скорости распространения возмущений. Следовательно, модели переноса, основанные на параболических уравнениях, неадекватно описывают сверхбыстрые процессы, время протекания которых находится в пределах времени релаксации. Для их исследования используются математические модели, учитывающие пространственно -временную нелокальность. Решение этой проблемы рассматривается в работах ряда авторов, предложивших новые теории нелокальных процессов: на основе методов, использующих понятие "тепловой памяти" [21, 25, 29]; молекулярно - кинетических теорий [28, 99, 100, 115, 120 - 124]; используя уравнения Больцмана [2, 3] и др. [2, 3, 6, 8, 13, 15, 20, 25 - 29, 39 - 49, 57 - 70, 77, 89 - 93, 98 - 102, 104, 111, 114, 126 - 205]. В некоторых работах при исследовании неравновесных процессов вместо понятия температуры, вводимого в классической термодинамике только для равновесных систем, используются другие понятия. Так, в работе [89] используется понятие «термодинамической» температуры, отклонение которой от абсолютной характеризует степень нелокальности. Понятие «кинетической» температуры используется в молекулярно - кинетических методах. Она находится из локально - неравновесной функции распределения в виде величины средней кинетической энергии молекул [113]. Наличие большого числа теорий локально -неравновесных процессов не всегда согласующихся позволяет заключить о отсутствии общей теории. Отмечается практическое отсутствие неравновесных теорий переноса импульса в задачах динамической термоупругости, а также в широкой области процессов колебаний стержней, струн, жидкостей, газов, электромагнитных колебаний и др., описываемых волновыми уравнениями, для вывода которых используются диффузионные законы Гука, Ньютона, Ома и, в связи с чем, в получаемых моделях обнаруживается бесконечная скорость распространения потенциалов.

Особое внимание в современных исследованиях мирового уровня уделяется теории двухфазного запаздывания, позволяющей, как показывают экспериментальные данные, с наибольшей точностью приблизиться к описанию быстропро-текающих процессов переноса. Однако в настоящее время схемы вывода дифференциальных уравнений разработаны лишь к тепловым задачам, причем, в одномерной постановке. Теория двухфазного запаздывания применительно к температурным задачам основана на учёте скорости теплового потока и градиента температуры в законе Фурье. Однако, как показали исследования автора диссертации, учёт лишь скоростей их изменения недостаточен - необходимо учитывать также и их ускорения, что приводит к появлению в определяющих уравнениях дифференциальных операторов четвертого и пятого порядков, в том числе и со смешанными производными. Именно такая схема будет применена к двухтемпературной модели переноса тепла в металлах, облучаемых сверхкороткими лазерными импульсами, а также при выводе уравнения продольных колебаний стержня. Применительно к исследованию быстропротекающих процессов известно также направление, основанное на использовании модели двухтемпературного нагрева металлов. Эта модель основана на предположении, что электронный газ и кристаллическая решётка не находятся в тепловом равновесии, и что время установления равновесия в каждой системе по отдельности значительно меньше времени его установления между электронами и решёткой. В этом случае в системе происходит неравновесный процесс, в котором рассматриваются две температуры - для электронов и решётки, имеющих конечную разность температур в каждой макроскопической точке системы. В данном случае, в отличие от классического понимания, вводится понятие процесса «теплопроводности в точке» [16, 72, 99, 100]. Однако, несмотря на учет теплообмена между электронами и кристаллической решёткой, уравнения для каждой из этих подсистем остаются параболическими и, следовательно, для них справедливы все указанные выше пространственно - временные диапазоны их применения.

Исследованиям двухтемпературных моделей переноса тепла в металлах на основе теории двухфазного запаздывания в предположении того, что лазерный

импульс имеет гауссово распределение во времени, посвящены работы [4, 129] и др. Однако в них коэффициент объёмной теплоотдачи между электронным газом и кристаллической решеткой принимается в виде неизменной во времени константы, что не позволяет использовать полученные результаты для объективной оценки реальных физических процессов, ограничиваясь лишь их качественной характеристикой.

Исследованиям переноса тепла на основе двухтемпературной модели в тонких плёнках посвящена работа [80]. Анализу динамики термализации на основе двухтемпературной модели двухслойных тонких плёнок, облучаемых фемтосе-кундным лазером, посвящена работа [14]. Из данной работы известно, что с увеличением коэффициента связи электрон - фонон (коэффициента объёмной теплоотдачи) температура электронов и решетки снижается, что объясняется более интенсивной передачей теплоты от электронного газа к решетке и, в связи с чем, не происходит резкого увеличения температуры электронов. Был также сделан вывод, что выбор в качестве второго слоя (защитный слой - подложка) материала с большим значением электрон - фононной связи позволяет снизить порог термической повреждаемости первого термического слоя. Открытие этого факта позволяет минимизировать термическое повреждение металлических зеркал с золотым покрытием.

В работе [161] отмечено сверхбыстрое (примерно за 0,1 - 1 пс) возрастание температуры поверхностного слоя электронов до температур 3475 К (для свинца) и 2560 К (для никеля) при мощности лазерного импульса 500 Дж / м2. Данный результат можно объяснить учитывая, что в исследуемой математической модели заложена лишь однофазная релаксация в уравнении электронной температуры и, к тому же, вообще не учтено релаксационное запаздывание внутреннего источника теплоты, инициируемого лазерным излучением и принимаемого изменяющимся по закону гауссова распределения. Столь быстрое возрастание температуры электронов, связано с неучётом пространственной нелокальности процесса.

Из обзора работ по двухтемпературным моделям нагрева металлов можно сделать вывод, что в большинстве из них используется лишь однофазная релакса-

ция - релаксация теплового потока в эмпирической формуле закона Фурье, применяемой для вывода дифференциального уравнения электронного газа. Неучёт запаздывания градиента температуры приводит к отсутствию в определяющем уравнении смешанной производной, наличие которой приводит к сглаживанию резких (мгновенных) скачков в эволюции температурных кривых и к запаздыванию изменения соответсвующих функций. К тому же, практически во всех работах не учитывается релаксация внутреннего источника.

Волновой массоперенос, возникающий при импульсном лазерном облучении металлов, исследуется в работе [14], где перенос с поверхности материала примесных частиц рассматривается в локально-неравновесных условиях. Из численного решения интегро - дифференциального уравнения показано, что для времени, меньшего времени релаксации диффузионного процесса, волновой массо-перенос преобладает над диффузионным. Следует однако отметить, что интегро -дифференциальное уравнение диффузии, содержащее температуру как функцию, найденную заранее из решения соответствующего уравнения теплопроводности, было получено путем подстановки соотношения Онзагера для диффузионного потока (определяющего зависимость между диффузией и теплопроводностью) в уравнение массового баланса. Такую задачу нельзя отнести к задачам взаимосвязанного тепломассопереноса, ввиду отсутствия влияния изменения концентрации на изменение температуры.

Результаты, связанные с исследованием ударных волн при воздействии лазерного излучения, приведены в работах [4, 80]. И, в частности, в работе [80] рассматривается двухтемпературная гиперболическая модель теплообмена. Математическая поставновка задачи включает систему уравнений гидродинамики и уравнения состояния. Исследования показали, что при облучении пленки из меди не наблюдается ударная волна и, по мнению авторов этой работы, по той причине, что скорость тепловой волны составляет 684595 м/с, решетчатой тепловой волны - 13945 м/с, а звуковой волны - лишь 4178 м/с.

При воздействии мощного лазерного излучения на поверхность металлов возникают большие градиенты температур, которые согласно соотношениям Он-

загера приводят к возникновению термоЭДС (термоэлектрический отклик металлов на воздействие лазерного импульса). Исследованиям, посвященным проблеме взаимосвязанности этих двух процессов, посвящены работы [30 - 32, 5, 73, 95]. Интерес в изучении этой проблемы в том, что по изменению термоэлектрического отклика, регистрируемого экспериментально, можно делать заключение об изменении микроструктуры материала, связанном с воздействием лазерного излучения. При этом в области поглощения лазерного излучения одновременно протекают процессы возникновения электрической разности потенциалов с напряжением, пропорциональным интенсивности импульса излучения, а также разности температур, возникающей в процессе термализации области поглощения в течение времени порядка 10"10 с [31, 32]. Эти два процесса взаимно влияют друг на друга, что приводит к возникновению эффекта Томсона. В среде возникают электрический ток и тепловой поток, описываемые феноменологическими соотношениями Онзагера. Исходя из них, в работе [31] было получено дифференциальное уравнение относительно возникающего под действием градиента температуры термотока, в котором изменяющийся во времени градиент температуры принимается как известная величина. И, в частности, показано, что изменение напряжения и электрического тока пропорциональны интегралу от изменения температуры. Следует, однако, отметить, что здесь не учитывается влияние величины тока на изменение температуры. Их взаимное влияние можно оценить лишь из решения взаимосвязанной системы уравнений в частных производных. К тому же, учитывая сверхмалую длительность рассматриваемых процессов, в математической модели необходимо учитывать их пространственно-временную нелокальность.

Результаты экспериментальных исследований воздействия на поверхности металлов мощных ультракоротких лазерных, электронных, ионных и рентгеновских излучений приведены в работах [1, 7, 10, 33, 34, 53 - 56, 75, 87, 94]. И, в частности, в них показано, что улучшения физико-химических, механических и прочих характеристик поверхностных и приповерхностных слоёв материала можно добиться, используя бесконтактные методы обработки, что связано со следующим. Мощное импульсное энергетическое воздействие за короткое время (в

пределах 0,1 - 1 пс [161, 53]) приводит к разогреву тонкого поверхностного слоя до высоких температур (вплоть до температур плавления и испарения вещества). Масса вещества, находящегося за пределами этого слоя, оказывается практически непрогретой. Такое воздействие равносильно тепловому удару (мгновенному повышению температуры поверхности), что приводит к возникновению сверхмощных ударных волн напряжений и перемещений. Распространение таких волн при отсутствии плавления может сопровождаться процессами пластической деформации и полиморфными превращениями, что приводит к измельчению зерен металлической структуры [1, 33, 34, 53 - 55, 75]. И, в частности, отмечается, что измельчение при ударно - волновом воздействии происходит лишь до некоторых предельных величин. Дальнейшему измельчению, вплоть до наноструктуриро-ванного состояния, препятствует зернограничное проскальзывание, недостаточная степень деформации, а также возникновение внутренних напряжений в результате фазовых перекристаллизаций [51 - 55]. Однако для проверки всех этих гипотез требуется проведение дополнительных исследований с использованием математических моделей динамической термоупругости.

В результате воздействия на поверхности материалов мощными ультракороткими потоками излучения (лазерного, электронного, ионного, рентгеновского) возникает, по меньшей мере, трехслойная структура - верхний бездефектный сверхтонкий слой, следующий за ним слой, включающий измельченную структуру, и слой материала, не изменившего свою крупнозернистую структуру в процессе обработки. При этом верхний слой может иметь мартенситную структуру, связанную со сверхбыстрым бездиффузионным преобразованием одного вида решетки в другую. Материал такой структуры обладает повышенной прочностью и износостойкостью, что связано (например, для стали) с повышенным содержанием углерода, внедренного в кристаллическую атомную решетку. Мартенситная структура может наблюдаться при плавлении тонкого поверхностного слоя материала с последующим сверхбыстрым его охлаждением. Ввиду малой толщины слоя и практически незатронутой нагревом основной массы материла, затвердевание поверхностного слоя может происходить за столь короткое время, что диффу-

зия углерода и превращение аустенита в феррит и цементит не происходит и его процентный состав в мартенситном слое остается таким же, как и в исходной аустенитной фазе (до 2 %). Именно с этим связана сверхвысокая прочность мар-тенситных структур сталей (и других материалов). Отметим, что в мартенситных структурах практически отсутствуют дислокации, тогда как в структурах с измельченным зерном наблюдается их повышенное содержание. В связи с чем можно отметить два, по сути, противоположные направления повышения прочности материалов: создание материалов, практически не содержащих дислокации (нано-вискеры, нитевидные кристаллы и др.); создание мелкокристаллических структур, искажающих кристаллическую решетку - легирование, пластическая деформация (наклеп, прокатка), воздействие ионными потоками и др. Упрочнение материалов во втором случае происходит за счет затруднения движения дислокаций (которых может быть большое количество) ввиду наличия мелкокристаллических искаженных (деформированных) структур материала и атомной решетки [97].

В работах [75, 87, 94] представлены результаты исследований процессов массопереноса в металле при воздействии на поверхность импульсными потоками лазерного [87, 94] и ионного [75] излучения. И, в частности, в работе [94] исследован массоперенос меди в никеле, инициируемый лазерно - индуцированной ударной волной. Анализ распределения меди показал, что на глубине 80 мкм наблюдается максимум, а полная глубина проникновения атомов меди была равной около 300 мкм. Плотность излучения при длительности импульса 30 нс была 109 - 1010 Вт/см2. Влияние лазерного плавления на распределение компонентов в порошковой смеси рассматривается в работе [75]. А именно, в железную порошковую структуру добавлялся сверху порошок вольфрама, а снизу - титана. В процессе лазерного плавления было обнаружено, что в приповерхностном слое, толщиной 150 - 200 мкм образовалась мартенситная структура. С увеличением глубины возрастает неоднородность материала из-за появления неметаллических фаз (оксидов, нитридов, и др.), ввиду химической реакции титана с атмосферным азотом. Отсутствие этих фаз в приповерхностном слое связано с тем, что эксперимент проводился в среде аргона, а атмосферный азот находился внутри поровых

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Михеева Галина Вениаминовна, 2022 год

Список использованной литературы

1. Агеев, Э. И. Контактная и бесконтактная ультразвуковая диагностика ударных волн при одноимпульсной фемтосекундной лазерной абляции поверхности титана / Э. И. Агеев, В. П. Вейко, С. И. Кудряшов // Письма в ЖЭТФ. - 2015. - Т. 102, № 10. - С. 785-789.

2. Алексеев, Б. В. Физические основы обобщённой больцмановской теории газов / Б. В. Алексеев // Успехи физических наук. - 2000. - Т. 170, № 6. -С. 649 - 679.

3. Алексеев, Б. В. Физические принципы обобщённой больцмановской теории ионизированных газов / Б. В. Алексеев // Успехи физических наук. - 2003. -Т. 173, № 2. - С. 146 - 174.

4. Анисимов, С. И. Электронная эмиссия с поверхности металлов под действием ультракоротких лазерных импульсов / С. И. Анисимов, Б. Л. Капелович, Т. Л. Пе-рельман // ЖЭТФ. - 1974. - Т. 66.

5. Анисимов, С. И., Действие излучения большой мощности на металлы / С. И. Анисимов, Я. А. Имас, Ю. В. Ходыко. - М: Наука, 1970. - 272 с.

6. Андреев, В. Г.Термоупругая волна с учётом конечной скорости распространения тепла / В. Г. Андреев, П. И. Уляков // Инженерно - физический журнал. - 1971. - Т. XXI, № 1. - С. 176 - 180.

7. Альтшулер, Л. В. Ударные волны и экстремальные состояния вещества / Л. В. Альтшулер, В. С. Жученко, А. Д. Левин. - М.: Наука, 2000. - 425 с.

8. Баумейстер, К. У. Гиперболическое уравнение теплопроводности: Решение задачи о полубесконечном теле / К. У. Баумейстер, Т. Д. Хамилл // Теплопередача. -1969. - № 4. - С. 112 - 119.

9. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. - М.: Дрофа, 2004. - 591 с.

10. Беломытцев, С. Я. Физика сильноточных пучков заряженных частиц: учебное пособие / С. Я. Беломытцев, И. В. Пегель. - Томск: Издательство ТПУ, 2008. - 115 с.

11. Бидерман, В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. -М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. - 414 с.

12. Боли, Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. -М.: Мир, 1964. - 517 с.

13. Бровкин, Л. А. К решению дифференциального уравнения теплопроводности / Л. А. Бровкин // Известия вузов СССР: Энергетика. - 1984. - №2 8. - С. 111 - 113.

14. Бухбиндер, Г.Л. Волновой механизм переноса в металлах под действием импульсного облучения / Г.Л. Бухбиндер, П. Н. Марталлер // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, №№2. - С. 139 - 150.

15. Волосевич, П. П. Анализ процессов переноса с учётом в среде релаксации теплового потока и объёмных источников энергии / П. П. Волосевич, Е. И. Леванов // Известия вузов. Математика. - 2003. № 1. - С. 38 - 44.

16. Власов, А. А. Теория вибрационных свойств электронного газа и её приложения / А. А. Власов. - М.: Ленанд, 2017. - 232 с.

17. Гавдзинский, В. Н. Динамическая задача термоупругости для полого цилиндра / В. Н. Гавдзинский, Д. В. Мальцев // Инженерно - физический журнал. -1971. - Т. XXI, № 1. - С. 145 - 151.

18. Даниловская, В.И. Динамические температурные напряжения в бесконечной плите / В. И. Даниловская // Инженерный журнал. - 1961. - Т. 1, № 4. - С. 86 - 94.

19. Даниловская, В. И. Температурные поля и напряжения, возникающие в пластинке вследствие потока лучистой энерии / В. И. Даниловская, В. Н. Зубча-нинова // Прикладная механика. - 1968. - Т. 4, Вып. 1. С. 103 - 110.

20. Де Гроот, С. Неравновесная термодинамика / С. Де Гроот, П. Мазур. -М.: Мир, 1964. - 456 с.

21. Дэй, У. А. Термодинамика простых сред с памятью / У. А. Дэй. - М.: Мир,

1986.

22. Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. - М.: Физматгиз, 1974. - 542 с.

23. Диткин, В. А. Операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. - М.: Высшая школа, 1975. - 407 с.

24. Диткин, В. А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Дит-кин, А. П. Прудников. - М.: Высшая школа, 1965. - 467 с.

25. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика / И. Дьярмати. - М.: Мир, 1974. - 303 с.

26. Ерёмин, А. В. Математическая модель теплообмена в жидкости с учётом её релаксационных свойств / А. В. Ерёмин, И. В. Кудинов, В. А. Кудинов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2016, № 1. - С. 33 - 44.

27. Ерёмин, А. В Резонансные и бифуркационные колебания стержня с учётом сил сопротивления и релаксационных свойств среды / А. В Ерёмин, В. В. Жуков, В. А. Кудинов, И. В. Кудинов // Механика твердого тела. - 2018. - № 5. -С. 124 - 132.

28. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, X. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»: Институт компьютерных исследований, 2006. - 528 с.

29. Зарубин, В. С. Математические модели термомеханики / В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин. - М.: Физматлит, 2002. - 168 с.

30. Займан, Дж. Электроны и фононы / Дж. Займан. - М.: ИЛ, 1962. - 488 с.

31. Зимин, Б. А. Теплоперенос в формировании термоупругого и термоэлектрического отклика металлов на воздействие лазерного импульса / Б. А. Зимин, Ю. В. Судьенков // Журнал технической физики. - 2019. - Т. 89, №. 12. - С. 1847 - 1852.

32. Зимин, Б. А. Анализ обобщенного уравнения теплопроводности применительно к решению динамической задачи термоупругости / Б. А. Зимин, Ю. В. Судь-енков // Доклады академии наук. - 2019. - Т. 485, № 5. - С. 574 - 578.

33. Ионин, А. А. Формирование квазипериодических нано- и микроструктур на поверхности кремния под действием ИК и УФ фемтосекундных лазерных импульсов / А. А. Ионин, С. И. Кудряшов, С. В. Макаров // Квантовая электроника. -2011. - №41(9). - С. 829 - 834.

34. Ионин, А. А. Генерация и регистрация сверхмощных ударных волн при абляции поверхности алюминия под действием высокоинтенсивных фемтосе-

кундных лазерных импульсов / А. А. Ионин, С. И. Кудряшов, С. В. Макаров, Л. В. Селезнев, Д. В. Синицын // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94, №. 1. - С. 35 - 39.

35. Каганов, М. И. Физика глазами физика: часть 1 / М. И. Каганов. -М.: Издательство МЦНМО, 2014. - 176 с.

36. Кабисов, К. С. Колебания и волновые процессы / К. С. Кабисов, Т. Ф. Камалов, В. А. Лурье. - М.: КомКнига, 2010. - 360 с.

37. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

38. Карташов, Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э. М. Карташов. - М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

39. Карташов, Э. М. Интегральные соотношения для аналитических решений гиперболических моделей переноса / Э. М. Карташов // Известия РАН. Энергетика. - 2011. - № 8. - С. 185 - 195.

40. Карташов, Э. М. Динамическая термовязкоупругость в проблеме теплового удара / Э. М. Карташов // Известия РАН. Энергетика. - 2012. - № 5. - С. 56 - 70.

41. Карташов, Э. М. Динамическая термовязкоупругость в проблеме теплового удара на основе новых модельных представлений / Э. М. Карташов // Инженерно - физический журнал. - 2012. - Т. 85, № 5. - С. 1 - 10.

42. Карташов, Э. М. Новые модельные представления динамической термо-вязкоупругости в проблеме теплового удара / Э. М. Карташов // Доклады Российской академии наук. - 2012. - Т. 446, № 4. - С. 1 - 4.

43. Карташов, Э. М. Термическая реакция вязкоупругих тел на тепловой удар / Э. М. Карташов // Тепловые процессы в технике. - 2012. - Т. 4, № 3. - С. 125 - 131.

44. Карташов, Э. М. Аналитические решения гиперболических моделей теплопроводности / Э. М. Карташов // Инженерно - физический журнал. - 2014. -Т. 87, № 5. - С. 1072 - 1081.

45. Карташов, Э. М. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости / Э. М. Карташов, В. А. Кудинов. - М.: Книжный дом «Либроком», 2012. - 656 с.

46. Карташов, Э. М. Термическая реакция вязкоупругих тел на тепловой удар на основе нового уравнения термовязкоупругости / Э. М. Карташов // Доклады АН РФ. - 1997. - Т. 335, № 4. - С. 479 - 483.

47. Карташов, Э. М. Термодинамические аспекты термоупругости с учётом конечной скорости распространения тепла / Э. М. Карташов // Известия РАН. Энергетика. - 2004. - № 4. - С. 146 - 159.

48. Карташов, Э. М. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости / Э. М. Карташов, В. А. Кудинов. - М.: Книжный дом «Либроком», 2012. - 656 с.

49. Карташов, Э. М. Аналитические методы теории теплопроводности и её приложений / Э. М. Карташов, В. А. Кудинов. - М.: Ленанд, 2018. - 1072 с.

50. Карслоу Г. Операционные методы в прикладной математике / Г. Карс-лоу, Д. Егер. - М.: Издательство иностранной литературы, 1948. - 292 с.

51. Карслоу, Г. Теплопроводность твёрдых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. -М.: Наука, 1964. - 487 с.

52. Коваленко, А. Д. Введение в термоупругость / А. Д. Коваленко. - Киев: Наукова Думка, 1965. - 201 с.

53. Колобов, Ю. Р. Закономерности и механизмы формирования субмикро-нано-и ультрамелкозернистых структур и механических свойств металлов и сплавов при различных обработках / Ю. Р. Колобов // Изв. вузов. Физика. - 2018. -Т. 61, № 4. - С. 11 - 24.

54. Колобов, Ю. Р. Влияние поверхностной обработки фемтосекундным импульсным лазерным излучением на механические свойства субмикрокристаллического титана / Ю. Р. Колобов, Е. А. Корнеева // Журнал технической физики. -2018. - Т. 88, №. 3. - С. 396 - 401.

55. Колобов, Ю. Р. Фрагментация зёрен и изменения фазового состава крупно- и нанокристаллического титана в результате ступенчатого ударно-волнового воздействия / Ю. Р. Колобов, С. С. Манохин, А. Ю. Колобова // Письма в ЖЭТФ. - 2016. - Т. 42, № 18. - С. 63 - 71.

56. Колобов, Ю. Р. Формирование оксидного покрытия на поверхности титана при воздействии лазерного излучения фемтосекундной длительности / Ю. Р. Колобов, М. В. Жидков // Письма в ЖТФ. - 2018. - Т. 44, №. 24. - С. 128 - 134.

57. Кудинов, В. А. Исследование теплопроводности с учётом конечной скорости распространения теплоты / В. А. Кудинов, И. В. Кудинов // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51, № 2. - С. 301 - 310.

58. Кудинов, В. А. Получение и анализ точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для плоской стенки / В. А. Ку-динов, И. В. Кудинов // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 50, № 1. -С. 118 - 125.

59. Кудинов, В. А. Получение точных аналитических решений гиперболических уравнений движения при разгонном течении Куэтта / В. А. Кудинов, И. В. Кудинов // Известия РАН. Энергетика. - 2012. - № 1. - С. 119 - 133.

60. Кудинов, В. А. Исследование распределения давления при гидравлическом ударе в трубопроводе с учётом релаксационных свойств вязкой жидкости /

B. А. Кудинов, И. В. Кудинов // Инженерно - физический журнал. - 2014. - Т. 87, № 2. - С. 336 - 346.

61. Кудинов, В. А. Исследование теплопроводности с учётом конечной скорости распространения теплоты / В. А. Кудинов, И. В. Кудинов // Теплофизика высоких темпераутр. - 2013. - Т. 51, № 2. - С. 301 - 304.

62. Кудинов, В. А. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях / В. А. Кудинов, Б. В. Аверин, Е. В. Стефанюк. - М.: Высшая школа, 2008. - 305 с.

63. Кудинов, И. В. Задачи динамической термоупругости на основе аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности / И. В. Ку-динов, В. А. Кудинов // Теплофизика высоких температур. - 2015. - Т. 53, № 4. -

C. 551 - 555.

64. Кудинов, И. В. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса / И. В. Кудинов, В. А. Кудинов. -М.: Инфра-М, 2013. - 391 с.

65. Кудинов, И. В. Определение динамических напряжений в пластине на основе точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности / И. В. Кудинов, В. А. Кудинов // Инженерно - физический журнал. -2015. - Т. 88, № 2. - С. 386 - 392.

66. Кудинов, И. В. Анализ точного аналитического решения динамической задачи термоупругости / И. В. Кудинов, В. А. Кудинов // Материалы Всероссийской научной школы - конференции «Механика предельного состояния и смежные вопросы», посвященной 85 - летию профессора Д.Д. Ивлева. - 2015. - С. 115 - 120.

67. Кудинов, И. В. Динамическая термоупругость на основе аналитического решения гиперболического уравнения: тезисы докладов шестой Российской национальной конференции по теплообмену / И. В. Кудинов, В. А. Кудинов. -М.: Издательский дом МЭИ. - С. 199 - 200.

68. Кудинов, В. А. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности / В. А. Кудинов, И. В. Кудинов. - М.: Книжный дом «Либроком», 2020. - 280 с.

69. Кудинов, В. А. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций / В. А. Кудинов, Э. М. Карташов, В. В. Калашников // М.: Высшая школа, 2005. - 429 с.

70. Кудинов, И. В. Получение аналитических решений задач термоупругости на основе решений гиперболических уравнений: труды четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» / И. В. Кудинов, В. А. Кудинов. -Самара: СамГТУ. - С. 214 - 215.

71. Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. -М.: Книжный дом «Либроком», 2010. - 552 с.

72. Ландау, Л. Д. Собрание трудов: т. 1 / Л. Д. Ландау. - М.: Физматлит, 2008. - 496 с.

73. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. - М.: Наука, 1982. - 621 с.

74. Леванов, Е. И. Математическое моделирование: нелинейные дифференциальные уравнения математической физики / Е. И. Леванов, Е. Н. Сотский. -М.: Наука, 1987. - 155 с..

75. Лигачев, А. Е. Влияние импульсных ионных пучков на изменение субмикрокристаллической структуры приповерхностных слоев аустенитной стали / А. Е. Лигачев, Ю. Р. Колобов, М. В. Жидков, Е. В. Голосов, Г. В. Потемкин, Г. Е. Ремнев // Физика и химия обработки материалов. - 2015. - № 1. - С. 19 - 25.

76. Лигачев, А. Е. Состояние поверхности титана после облучения импульсным рентгеновским излучением / А. Е. Лигачев, М. В. Жидков, С. Сорокин, Ю. Р. Колобов, Г. В. Потемкин // Физика и химия обработки материалов. - 2018. - №2 6. - С. 5 - 9.

77. Лыков, А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена / А. В. Лыков // Инженерно - физический журнал. - 1965. - Т. 9, - № 3. - С. 287 - 304.

78. Лыков, А. В. Тепломассообмен: 2 - ое изд., перераб. и доп. / А. В. Лыков. - М.: Энергия, 1978. - 480 с.

79. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. - 601 с.

80. Лосев, В. Ф. Формирование ударной волны в металле в процессе поглощения короткого импульса лазерного излучения / В. Ф. Лосев, Д. М. Лубенко, П. А. Пальянов, И. И. Шабалин // Известия Алтайского государственного университета. - 2014. -Т. 81, № 1 - С. 211 - 214.

81. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. -М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

82. Михайлов, М. Д. О динамических задачах термоупругости / М. Д. Михайлов // Инженерно - физический журнал. - 1969. - Т. XVI, № 1. - С. 132 - 135.

83. Новик, А. Релаксационные явления в кристаллах / А. Новик, Б. Берри. М.: Атомиздат, 1975. - 472 с.

84. Пановко, Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы и ошибки / Я. Г. Пановко, И. И. Губанова. - М.: Ленанд, 2015. - 352 с.

85. Паршаков, А. Н. Физика линейных и нелинейных волновых процессов в избранных задачах: электромагнитные и акустические волны / А. Н. Паршаков. -Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2014. - 144 с.

86. Паршаков, А. Н. Современное введение в физику колебаний / А. Н. Паршаков. - Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2013. - 240 с.

87. Паркин, А. А. Исследование процессов перераспределения компонентов при формировании покрытий из порошковых материалов, полученных с помощью лазерного излучения / А. А. Паркин, С. Н. Косинова, С. С. Жаткин // Физика твердого тела. - 1998. - № 6. - С. 132 - 134.

88. Паркус, Г. Неустановившиеся температурные напряжения / Г. Паркус. -М.: Физматгиз, 1963. - 251 с.

89. Петров, Н. Современные проблемы термодинамики / Н. Петров, И. Бранков. - М.: Мир, 1986. - 288 с.

90. Подстригач, Я. С. Обобщенная термомеханика / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно. - Киев: Наукова думка, 1976. - 312 с.

91. Подстригач, Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

92. Попов, Е. Б. Динамическая связанная задача термоупругости для полупространства с учётом конечной скорости распространения тепла / Е. Б. Попов // Прикладная математика и механика. - 1967. - Т. 31, № 2. - С. 328 - 334.

93. Полянин, А. Д. Точные решения и качественные особенности нелинейных гиперболических реакционно - диффузных уравнений с запаздыванием / А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2015. - Т. 49, № 5. - С. 527 - 541.

94. Путилин, В. А. Массоперенос в металлах под действием коротких импульсов лазера / В. А. Путилин, А. М Штеренберг // Физика твердого тела. - 1999. № 7. - С. 185 - 187.

95. Рэди, Дж. Действие мощного лазерного излучения / Дж. Рэди. - М.: Мир, 1974. - 468 с.

96. Семерак, Ф. М. Динамическая задача термоупругости для бесконечной пластины. Математические методы и физико - механические поля: Сборник научных трудов / Ф. М. Семерак, О. М. Борисенко. - Киев: Наукова думка, 1977. - С. 61 - 63.

97. Смирнов, А. А. Физика металлов / А. А. Смирнов. - М.: Наука, 1971. - 110 с.

98. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.

99. Соболев, С. Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах / С. Л. Соболев // Успехи физических наук. - 1991. - Т. 161, №3. - С. 5 - 29.

100. Соболев, С. Л. Локально - неравновесные модели процессов переноса / С. Л. Соболев // Успехи физических наук. - 1997. - Т. 167. - С. 1096 - 1106.

101. Соболев, С. Л. Влияние локальной неравновесности на высокоскоростное затвердевание бинарных сплавов / С. Л. Соболев // Журнал технической физики. - 1998. - Т. 68, № 3. - С. 45 - 52.

102. Темкин, А. Г. Обратные методы теплопроводности / А. Г. Темкин. -М.: «Энергия», 1973. - 464 с.

103. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Издательство МГУ, 1999. - 798 с.

104. Урушев Д., Борисов М., Ваврек А. // Болг. физ. ж. - 1988. - Т. 15. - С. 564.

105. Утерт Д. Теплопередача. 1977. № 1. С. 35.

106. Филин, А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела; т. 1 / А. П. Филин. - М.: Наука, 1975. - 832 с.

107. Формалёв, В. Ф. Теплоперенос в анизотропных твёрдых телах: численные методы, тепловые волны, обратные задачи / В. Ф. Формалёв. - М.: Физмат-лит, 2015. - 280 с.

108. Формалёв, В. Ф. Теплопроводность анизотропных тел: аналитические методы решения задач / В. Ф. Формалёв. - М.: Физматлит, 2014. - 312 с.

109. Формалёв, В. Ф. Численые исследования двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах / В. Ф. Формалёв // Теплофизика высоких температур. - 1988. - Т. 26, № 6. - С. 1122 - 1127.

110. Фортов, В. Е. Экстремальные состояния вещества / В. Е. Фортов. - М. Физматлит, 2009. - 304 с.

111. Цой, П. В. Системные методы расчёта краевых задач тепломассопере-носа / П. В. Цой. - М.: Издательство МЭИ, 2005. - 568 с.

112. Чарный, М. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах / М. А. Чарный. - М.: «Недра», 1975. - 296 с.

113. Черешнев, С. Л. Эффекты поступательной неравновесности в ударных волнах в газах / С. Л. Черешнев, А. П. Генич, С. В. Куликов, Г. Б. Манелис. - Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1988. - 71 с.

114. Шашков, А. Г. Волновые явления теплопроводности: системно - структурный подход / А. Г. Шашков, В. А. Бубнов, С. Ю. Яновский. - М.: URSS, 2004. - 296 с.

115. Eremin, A. V. Mathematical model of heat transfer in a fluid with account for its relaxation properties / A. V. Eremin, I. V. Kudinov, V. A. Kudinov // Fluid dynamics. - 2016. - V. 1. - P. 33 - 44.

116. Kudinov, V. A. Strongly Nonequilibrium Model of Thermal Ignition with Account for Space - Time Nonlocality / V. A. Kudinov, A. V. Eremin, I. V. Kudinov, V. V. Zhukov // Combustion Explosion and Shock Waves. - 2018. -V. 54. - P. 649 - 653.

117. Kudinov, I. V. Study of the two-temperature heat transfer model in metal nanofilms exposed to ultrashort laser pulses / I. V. Kudinov, S. L. Sobolev, G. V. Mi-kheeva // AIP Conference Proceedings. - 2020. - V. 2275. - № 020015.

118. Kudinov, I. V. Matematical modelling of thermal dynamics stresses on the basis of a dual-phase lag model / I. V. Kudinov, V. A. Kudinov, T. Y. Gavrilova // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2019. - V. 138. - P. 326 - 344.

119. Kudinov, I. V. Mathematical model of damped elastic rod oscillations with dual-phase-lag / I. V. Kudinov, A. V. Eremin, V. A. Kudinov, A. I. Dovgallo, V. V. Zhukov // International Journal of Solids and Structures. - 2020. - V. 200. - P. 231 - 241.

120. Kudinov, V. A. One method of reception of the exact analytical decision of the hyperbolic equation of heat conductivity on the basis of use of orthogonal methods / V. A. Kudinov, I. V. Kudinov // High Temperature. - 2012. - V. 50, № 1. - P. 118 - 125.

121. Kudinov, I. V. Analytical solutions of parabolic and hyperbolic equations of heat and mass transfer / I. V. Kudinov, V. A. Kudinov.- M.: INFRA, 2013. - 391 p.

122. Kudinov, I.V. Investigation of the pressure distribution in a flow of a viscous fluid in a pipeline under hydraulic-shock conditions with account for the relaxation properties of the fluid / I. V. Kudinov, V. A. Kudinov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2014. - V. 87, № 2. - P. 336 - 346.

123. Kudinov, I.V. Study of the exact analytical solution of the equation of longitudinal waves in a liquid with account of its relaxation properties / I. V. Kudinov, V. A. Kudinov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2013. - V. 86, № 5. -P. 1191 - 1201.

124. Kudinov, V. A. Studying heat conduction taking into account the finite rate of heat propagation / V. A. Kudinov, I. V. Kudinov // High Temperature. - 2013. -V. 51, № 2. - P. 301 - 310.

125. Sobolev, S. L. Ordered motion of active colloids and effective temperature / S. L. Sobolev, I. V. Kudinov // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 2020. - V. 540. - №123155.

126. Sobolev, S. L. Nonlocal diffusion models: Application to rapid solidification of binary mixtures / S. L. Sobolev // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2014. - V. 71. - P. 295 - 302.

127. Sobolev, S. L. Effective temperature in nonequilibrium state with heat flux using discrete variable models / S. L. Sobolev // Physics Letters A. - 2017. - V. 381. -P. 2893 - 2897.

128. Sobolev, S. L. Discrete space-time model for heat conduction: Application to size dependent thermal conductivity in nano-films / S. L. Sobolev // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2017. - Vol. 108, Part A. - P. 933 - 939.

129. Sobolev, S. L. Nonlocal Two-Temperature Model: Application To Heat Transport in Metals Irradiated By Ultrashort Laser Pulses / S. L. Sobolev // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2016. - V. 94. - P. 138 - 144.

130. Sobolev, S. L. On hyperbolic heat-mass transfer equation / / S. L. Sobolev // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2018. - V. 122. - P. 629 - 630.

131. Sobolev, S. L. // Phys J. III France 3. - 1993. - P. 2261-2269.

132. Sobolev, S. L. // Physics Letters A. - 1995. - V. 197. - P. 243 - 246.

133. Sobolev, S.L. // Sov. Phys. Usp. - 1991. - V. 34. - P. 217 - 229.

134. Sobolev, S.L. // Phys. Usp. - 1997. - V. 40. - P. 1043 - 1053.

135. Sobolev, S. L. // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2019. -V. 94. P. 138 - 144.

136. Vernott, P. Les paradoxe de la theorie continue de l'eguation de la chaleur / P. Vernott // Compter Rendus. - 1958. - V. 246, №. 22. - P. 3154 - 3155.

137. Cattaneo, G. Sur une forme de l'eguation de la chaleur eliminant le paradoxe d'une propagation instantance / G Cattaneo // Compter Rendus. - 1958. - V. 247, N. 4. - P. 431 - 433.

138. Gurtin, M. E., Pipkin, A. C. // Arch. Rat. Mech. And Analysis. - 1968. - V. 31. - P. 112.

139. Nunziato, S. W. // Quart. Appl. Math. - 1971. - V. 29. - P. 187.

140. Vick, B., Ozisik, M. N. J. // Heat. Trans. - 1983. - V. 105. - P. 902.

141. Weymann, H. D. // Am. J. Phys. - V. 35. - P. 488.

142. Faitel G. Intern. J. Heat. and Mass Trans. 1972. Vol. 15. P. 369.

143. Jou, D., Casas-Vazques, J., Lebon. G. // Rep. Prog. Phys. - 1988. - V. 51. -P. 1105.

144. Mac Donald, R. A., Tsai, D. H. // Phys. Rep. - 1978. - V. 46. - P. 1.

145. Kirsanov, Y. A. Measurement of thermal relaxation and temperature damping time in a solid / Y. A. Kirsanov, A. Y. Kirsanov, A. E. Yudakhin // High Temperature. - 2017. - V. 55. - P. 114 - 119.

146. Chen, Y. S. Analysis of bio - heat transfer using the equation from the DPL model / Y. S. Chen, K. C. Liu // Journal of the Chinese Society of Mechanical Engineers. - 2012. - V. 33, №2. - P. 133 -140.

147. Abbas, I. A. A dual phase lag model on thermoelastic interaction in an infinite fiber-reinforced anisotropic medium with a circular hole / I. A. Abbas // Mechanics Based Design of Structures and Machines. - 2015. - V. 43, №4, - P. 501 - 513.

148. Formalev, V. F. On the wave heat transfer at times comparable with the relaxation time upon intensive convective-conductive heating / V. F. Formalev, S. A. Kolesnik, E. L. Kuznetsova // High Temperature. - 2018. - V. 56. - P. 393 - 397.

149. Zhang, Q. Bio-heat response of skin tissue based on three-phase-lag model / Q. Zhang, Y. X. Sun, J. L. Yang // Scientific Reports. - 2020. - V. 10, Is. 1.

150. Liu, P. Dynamic response of thermoelastic materials with voids subjected to ramp-type heating under three-phase-lag thermoelasticity / P. Liu, T. H. He // Mechanics of advanced materials and structures. - 2020.

151. Biswas, S. State space approach to thermoelastic problem with three-phase-lag model / S. Biswas // International Applied Mechanics. - 2020. - V. 56, Is. 2. - P. 240 - 252.

152. Kar, A. Generalized thermoelastic functionally graded orthotropic hollow sphere under thermal shock with three-phase-lag effect / A. Kar, M. Kanoria // European Journal Of Mechanics A-Solids. - 2009. - V. 28, Is. 4. - P. 757 - 767.

153. Abo-Dahab, S. M. Fractional derivative order analysis and temperature-dependent properties on p- and sv-waves reflection under initial stress and three-phase-lag model / S. M. Abo-Dahab, A. A. Kilany, E. A. B. Abdel-Salam, A. Hatem // Results In Physics. - 2020. - V. 18.

154. Chen, J. K., Latham, W. P., Beraun, J. E. // Journal of Laser Appl. - 2005. -V. 17. - P. 63 - 68.

155. Liu, W., Saanouni, K., Forest, S., Hu, P. // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. - 2017. - V. 42. - |P. 327 - 358.

156. Huttner, B., Rohr, G. // Applied Surface Science. - 1996. - V. 103. P. 269 - 274.

157. Zhang, Y., Chen, J. K. // J. of Heat Transfer. - 2008. - V. 130. P. 10.

158. Majchrzak, E., Second-order two-temperature model of heat transfer processes in a thin metal film subjected on ultrashort laser pulse / E. Majchrzak, J. Dziatkiewicz // Journal Archives of Mechanics. - 2019. V. 71. - P. 377 - 391

159. Tunc, M. Analysis of the thermalization dynamics of two-layer thin films irradiated by femtosecond laser / K. M. Tunca, M. E. Gunaya, F. Bayata // Optic — 2020. - V. 208. - № 164137.

160. Liu, Yi. A hyperbolic lattice boltzmann method for simulating non-fourier heat conduction / Yi. Liu, L. Li, Q. Lou // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2019. V. 131. - P. 772 - 780.

161. Abouelregal, A. E. Rayleigh waves in a thermoelastic solid half space using dual-phase-lag model / A. E. Abouelregal // International Journal of Engineering Science. -2011. - V. 49, №№8. - P. 781 - 791.

162. Hobiny, A. D. Finite element analysis of thermoelastic fiber-reinforced anisotropic hollow cylinder with dual-phase-lag model / A. D. Hobiny, I. A. Abbas, F. Berto // Strength of Materials. - 2018. V. 50, №3. - P. 396 - 405.

163. Abouelregal, A. E. A two-dimensional problem of mode-l crack in a rotating fibre-reinforced isotropic thermoelastic medium under dual-phase-lag model / A. E. Abouelregal, S. M. Abo-Dahab // Sadhansa-Academy Proceedings in Engineering Sciences. - 2018. - V. 43, №1.

164. Prasad R. Propagation of harmonic plane waves under thermoelasticity with dual-phase-lags / R. Prasad, R. Kumar, S. Mukhopadhyay // International Journal of Engineering Science. - 2010. - V. 48, №12. - P. 2028 - 2043.

165. Han, P. Numerical analysis of two-dimensional lagging thermal behavior under short-pulse-laser heating on surface / P. Han, D. W. Tang, L. P. Zhou // International Journal of Engineering Science. - 2006. V. 44, №20. - P. 1510 - 1519.

166. Zhigilei, L. V. Atomic/molecular-level simulations of laser-materials interactions: chapter 3 in Laser-Surface Interactions for New Materials Production: Tailoring Structure and Properties / L. Zhigilei. - New York: Springer Verlag, 2010.

167. Roth, J. Molecular dynamics simulations studies of laser ablation in metals / J. Roth, S. Sonntag, J. Karli, C. T. Paredes, M. M. Sartison, A. Kraub, H. R. Trebin // AIP Conference Proceedings. - P. 504 - 523.

168. Tao, X., Xiaobing, Z., Tamma, K. K. // Int. J. of Heat and Mass Tr. - 2019. V. 138. - P. 508 - 515.

169. Anisimov, S. I., Kapeliovich, B. L., Perel'man, T. L. // Sov. Phys. JETP. -1974. - V. 39. P. 375 - 377.

170. Majumdar, A. Microscale heat conduction in dielectric thin films / A. Ma-jumdar // J. Heat Transf. - 1993. - V. 115. - P. 7 - 16.

171. Chen, G. Nonlocal and nonequilibrium heat conduction in the vicinity of na-noparticles / G. Chen // J. Heat Transf. - 1996. - V. 118. - P. 539 - 545.

172. Lepri, S. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices / S. Lepri, R. Livi, A. Politi // Phys. Rep. - 2003. - V. 377. - P. 1 - 80.

173. Alvarez-Quintana, J. Thermal conductivity of thin single-crystalline germa-nium-on-insulator structures / J. Alvarez-Quintana, J. Rodríguez-Viejo, F. X. Alvarez, D. Jou // Int. J. Heat Mass Transf. - 2011. - V. 54. - P. 1959 - 1962.

174. Alvarez, F. X. Boundary conditions and evolution of ballistic heat transport / F. X. Alvarez, D. Jou // J. Heat Transf. -2010. - V. 132. - P. 012404 - 12406.

175. Jou, D. Nonlocal heat transport with phonons and electrons: application to metallic nanowires / D. Jou, V. A. Cimmelli, A. Sellitto // Int. J. Heat Mass Transf. - 2012. -V. 55. - P. 2338 - 2344.

176. Aoki, K. Fermi-Pasta-Ulam b model: boundary jumps, Fourier's law and scaling / K. Aoki, D. Kusnezov // Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 86. - P. 4029 - 4032.

177. Sellan, D. P. Cross-plane phonon transport in thin films / D. P. Sellan, J. E. Turney, A. J. H. McGaughey, C. H. Amon // J. Appl. Phys. - 2010. - V.108. -P. 113524 - 113528.

178. Jang, W. Thickness-dependent thermal conductivity of encased graphene and ultrathin graphite / W. Jang, C. Dames, Z. Chen, W. Bao, C. N. Lau // Nano Lett. -2010. - V. 10. P. 3909 - 3913.

179. Jeong, C. Lundstrom M. Thermal conductivity of bulk and thin-film silicon: a Landauer approach / C. Jeong, S. Datta // J. Appl. Phys. - 2012. - V. 111. - № 093708-6.

180. Gomes, C. J.. In-plane and out-of-plane thermal conductivity of silicon thin films predicted by molecular dynamics / C. J. Gomes, M. Madrid, J. V. Goicochea, C. H. Amon // J. Heat Transf. - 2006. - V. 128. - P. 1114 - 1121.

181. Wang, H. Molecular dynamics simulation of thermal conductivity of silicon thin film / H. Wang, Y. Xu, M. Shimono, Y. Tanaka, M. Yamazaki // Mater. Trans. -2007. - V. 48. - P. 2419 - 2421.

182. Jiang, J. W. Edge states induce boundary temperature jump in molecular dynamics simulation of heat conduction / J. W. Jiang, J. Chen, J. S. Wang, B. Li // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 80. - P. 052301 - 52304.

183. Hua, Y. C. Phonon baliïstic-difusive heat conduction in silicon nanoflms by Monte Carlo simulations / Y. C. Hua, B. Y. Cao // Int. J. Heat Mass Transf - 2014. - V. 78. - P. 755 - 759.

184. Wei, Z. Phonon mean free path of graphite along the c-axis / Z. Wei, J. Yang, W. Chen, K. Bi, D. Li, Y. Chen // Appl. Phys. Lett. - 2014. V. 104. - P. 081903 - 81904.

185. Ju, Y. S. Phonon scattering in silicon films with thickness of order 100 nm / Y. S. Ju, K. E. Goodson // Appl. Phys. Lett. - 1999. - V. 74. - P. 3005 - 3007.

186. Wang, Z. L. Length-dependent thermal conductivity of an individual singlewall carbon nanotube / Z. L. Wang, D. W. Tang, X. B. Li, X. H. Zheng, W. G. Zhang, L. X. Zhen, Y. T. Zhu, A. Z. Jin, H. F. Yang, C. Z. Gu // Appl. Phys. Lett. - 2007. V. 91. - №. 123119-3.

187. Ju, Y. S. Phonon heat transport in silicon nanostructures / Y. S. Ju // Appl. Phys. Lett. - 2005. - V. 87. - №153106.

188. Wang, X. Spectral in-plane phonon transport and isotope effects in Si thin films / X. Wang, B. Huang // Sci. Rep. - 2014. - V. 4. - № 6399.

189. Turney, J. E. In-plane phonon transport in thin films / J. E. Turney, A. J. H. McGaughey, C. H. Amon // J. Appl. Phys. - 2010. -V. 107. - P. 024317 - 24318.

190. Siemens, M. E. H. C. Quasi-ballistic thermal transport from nanoscale interfaces observed using ultrafast coherent soft X-ray beams / M. E. Siemens, Q. Li, R. Yang, K. A. Nelson, E. H. Anderson, M. M. Murnane, H. C. Kapteyn // Nat. Mater. -2010. - V. 9. - P. 26-30.

191. Jaramillo-Fernandez, J. Tunable thermal conductivity of thin films of poly-crystalline AlN by structural inhomogeneity and interfacial oxidation / J. Jaramillo-Fernandez, J. Ordonez-Miranda, E. Ollier, S. Volz // Phys. Chem. Phys. - 2015.

192. Hopkins, P. E. Reduction in the thermal conductivity of single crystalline silicon by phononic crystal patterning / P. E. Hopkins, C. M. Reinke, M. F. Su, R. H. Ols-son, E. A. Shaner, Z. C. Leseman, J. R. Serrano, L. M. Phinney, I. El-Kady // Nano Lett. - 2011. - V. 11. - P. 107-112.

193. Yang, F. Mean free path spectra as a tool to understand thermal conductivity in bulk and nanostructures / F. Yang, C. Dames // Phys. Rev. B. - 2013. - V. 87. - № 035437.

194. Johnson, J. A. Direct measurement of room-temperature nondiffusive thermal transport over micron distances in a silicon membrane / J. A. Johnson, A. A. Maznev, J. Cuffe, J. K. Eliason, A. J. Minnich, T. C. Kehoe, M. S. Torres, G. Chen, K. A. Nelson // Phys. Rev. Lett. - 2013. - V. 110. - P. 025901 - 25905.

195. Katika, K. M. The effect of nanoparticles on the thermal conductivity of crystalline thin films at low temperatures / K. M. Katika, L. Pilon // J. Appl. Phys. -2008. - V. 103. - №114308.

196. Shen, M. Heat transfer mechanism across few-layer graphene by molecular dynamics / M. Shen, P. K. Schelling, P. Keblinski // Phys. Rev. B. - 2013. - V. 88. -P. 045444 - 45449.

197. Hu, M. Si/Ge superlattice nanowires with ultralow thermal conductivity / M. Hu, D. Poulikakos // Nano Lett. - 2012. - V. 12. - P. 5487 - 5494.

198. Ni, Y. Significant thickness dependence of the thermal resistance between few-layer graphenes / Y. Ni, Y. Chalopin, S. Volz // Appl. Phys. Lett. - 2013. V. 103. -№061906-4.

199. Luo, Z. Anisotropic in-plane thermal conductivity observed in few-layer black phosphorus / Z. Luo // Nat. Commun. - 2015. - V. 6. - №8572.

200. Lifshitz, E. M. Physical Kinetics / E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii. - New York: Pergamon Press, 1981.

201. Dammers, A. J. A first passage time approach to diffusion in liquids / A. J. Dammers, V. J. Hijkoop, M. O. Coppens // Diffusion fundamentals. - 2009. - V. 11. - P. 1 - 2.

202. Nabovati, A. On the lattice Boltzmann method for phonon transport / A. Nabovati, D. P. Sellan, C. H. Amon // J. Comput. Phys. - 2011. - V. 230. - P. 5864-5876.

203. Cuffe J. Reconstructing phonon mean-free-path contributions to thermal conductivity using nanoscale membranes / J. Cuffe, J. K. Eliason, A. A. Maznev, K. C. Collins, J. A. Johnson, A. Shchepetov, M. Prunnila, J. C. Ahopelto, M. S. Torres, G. Chen, K. A. Nelson // Phys. Rev. B. - 2015. - V. 91. - P. 245423 - 245426.

Список публикаций автора по теме диссертации

Публикации в рецензируемых научных изданиях и публикации, приравненные к ним:

1. Кудинов И.В., Пименов А.А., Михеева Г.В. Исследование термонапряженного состояния реактора получения водорода из метана // Прикладная механика и техническая физика. - 2022. - Т.63. №1. DOI: 10.15372/PMTF20220120.

2. Mikheeva G.V. Generalized functions in non-linear thermal conductivity problem for two-layer structure with heat source // Journal of Physics: Conference Series. -2021. - 1889. № 022025. DOI: 10.1088/1742-6596/1889/2/022025.

3. Mikheeva G.V., Pashin A.V. Investigation of heat transfer in metal nanofilms irradiated with ultrashort laser pulses: two-temperature model // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - 2094. № 022023. DOI: 10.1088/1742-6596/2094/2/022023.

4. Trubitsyn K.V., Mikheeva G.V., Klebleev R.M., Kurganova O.Y. Further boundary conditions in heat conduction problems in multilayer structures // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - 1745. № 012073. DOI: 10.1088/1742-6596/1745/1/012073.

5. Trubitsyn K.V., Mikheeva G.V., Klebleev R.M., Stefanyuk E.V. Determination of heat exchange coefficients in heat conductivity problems with asymmetric boundary conditions // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - 1745. № 012074. DOI: 10.1088/1742-6596/1745/1/012074.

6. Kudinov I.V., Sobolev S.L., Mikheeva G.V. Study of the two-temperature heat transfer model in metal nanofilms exposed to ultrashort laser pulses // AIP Conference Proceedings. - 2020. - 2275. №020015. DOI: 10.1063/5.0025795.

7. Kudinov I.V., Stefanyuk E.V., Gavrilova T.E., Maksimenko G.N., Mikheeva G.V. Plate vibrations under heat stress on its external surfaces // XXI International Conference Complex Systems: Control and Modeling Problems (CSCMP). - 2019. P. 491493. DOI: 10.1109/CSCMP45713.2019.8976573.

8. Zhukov V.V., Kudinov I.V., Kutsev N.M., Mikheeva G.V., Klebleev R.M. Determination of quasi-static and residual stresses in the course of the thermoplastic hard-

ening in a boundary layer of the material // Materials Science and Engineering. - 2020. - 709. № 033078. P. 1-5. DOI: 10.1088/1757-899X/709/3/033078.

9. Михеева Г.В. Численное решение двухтемпературной задачи теплопере-носа в металлических наноплёнках. 2021. Свидетельство на программу для ЭВМ № 2021613413.

10. Крюков Ю.А., Пименов А.А., Кудинов И.В., Михеева Г.В. Численное моделирование индукционного нагрева жидкометаллического реактора пиролиза метана на основе нелинейной локально-неравновесной математической модели. 2020. Свидетельство на программу для ЭВМ № 2020667367.

11. Кудинов И.В., Трубицын К.В., Михеева Г.В., Клеблеев Р.М., Пашин А.В. Затухающие колебания стержня на основе модели двухфазного запаздывания. 2020. Свидетельство на программу для ЭВМ № 2020616392.

Другие публикации:

12. Михеева Г.В. Численное исследование двухтемпературной модели теп-лопереноса в металлической наноплёнке // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Тезисы докладов XXIII Школы семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева. -М.: Издательский дом МЭИ, 2021. - 362 с.

13. Кудинов И.В., Максименко Г.Н., Пашин А.В., Михеева Г.В. Исследование аналитического решения уравнения теплопроводности с запаздыванием при граничных условиях третьего рода // Фундаментальные и прикладные разработки в области технических и физико-математических наук, Казань, 2018. - С. 57-58.

14. Кудинов И.В., Пашин А.В., Куцев Н.М., Михеева Г.В. Третья краевая задача теплопроводности на основе модели двухфазного запаздывания // Традиции и инновации в строительстве и архитектуре, Самара, 2019. - С. 545-551.

15. Кудинов И.В., Соболев С.Л., Крюков Ю.А., Михеева Г.В. Двухтемпера-турная модель теплопереноса в металлической наноплёнке, облучаемой ультракороткими лазерными импульсами // Современные проблемы теплофизики и энер-

гетики: материалы III международной конференции. - М.: Издательство МЭИ, 2020. - 708 с.

16. Клеблеев Р.М., Ткачев В.К., Еремин А.В., Курганова О.Ю., Михеева Г.В. Теплообмен в жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры // Материалы XI Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Т.1. - Самара: СамГТУ, 2019. - С. 313 -316.

Приложение 1

Численное решение двухтемпературной задачи теплопереноса в металлических наноплёнках.

В результате приведенного Еыше численного алгоритма попучаем ДЕе и := Тетре>'(Ж:Р1 , К2, *, ь)£¿4,1,АЕ^М)®

0 1 2 3 4 5 6

0 1 1.473 1.526 1.84 2.036 2.286 2.421

1 1 1.473 1.526 1.84 2.036 2,286 2.421

2 1 1.471 1.524 1.836 2.033 2.281 2.417

3 1 1.467 1.521 1.83 2.027 2.272 2.409

4 1 1.462 1.517 1.821 2.018 2.26 2.398

5 1 1.455 1.512 1.81 2.007 2.245 2.383

6 1 1.447 1.506 1.798 1.994 2,227 2.366

7 1 1.438 1.498 1.783 1.98 2.207 2.347

8 1 1.428 1.491 1.768 1.964 2.186 2.325

9 1 1.418 1.482 1.751 1.946 2.162 2.302

10 1 1.407 1.473 1.733 1.927 2.137 2.277

11 1 1.395 1.463 1.715 1.908 2.112 2.251

12 1 1.384 1.453 1.696 1.887 2.085

значений температур электронного газа [и} и кристаллической решётки (V)

I' Щ Тетрег{В1:Г1 ,#2,»,, Г: #,Л д-:Л'г)3

0 1 2 3 4 5 6

0 1 1.025 1.075 1.139 1.223 1.322 1.43

1 1 1.025 1.075 1.139 1.223 1.322 1.43

2 1 1.025 1.075 1.138 1.222 1.32 1.429

3 1 1.025 1.074 1.137 1.221 1.318 1.426

4 1 1.024 1.073 1.136 1.218 1.315 1.422

5 1 1.024 1.072 1.134 1.216 1.312 1.417

6 1 1.024 1.071 1.132 1.213 1.307 1.411

7 1 1.023 1.07 1.13 1.209 1.302 1.405

8 1 1.023 1.068 1.127 1.205 1.297 1.397

9 1 1.022 1.067 1.125 1.201 1.291 1.39

10 1 1.021 1.065 1.122 1.196 1.284 1.382

11 1 1.021 1.064 1.119 1.192 1.278 1.373

12 1 1.02 1.062 1.116 1.187 1.271

08.07.2021

ПрЭВМ №2021613413

российская федерация

RU

2021613413

федеральная служба

по интеллектуальной собственности

(12) ГОСУДАРСТВЕННАЯ РЕГИСТРАЦИЯ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ

Номер регистрации (свидетельства): Автор:

2021613413 Мпхссва Галина Вениаминовна (RU)

Дата регистрации: 09.03.2021 Правообладатель:

Номер и дата поступления заявки: 2021612328 25.02.2021 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Самарский государственный технический

Пата публикации: 09.03.2021 университет" (RU)

Контактные реквизиты:

нет

Название программы для ЭВМ:

Численное решение двухтемпературной задачи геплонереноса в металлических наноплёнках

Реферат:

Назначение: получение численного решения двухтемпературной задачи переноса теплоты в металлических наноплёнках. Область применения: нагрев тонкой плепки металла коротким импульсом лазерного излучения, краевые задачи математической физики. Функциональные возможности: получение численного решения конечно-разностным методом с использованием схемы Кранка-Николсона двухтемпературной задачи переноса теплоты для различных значений входных параметров. В системе компьютерной алгебры Mathcad 15 разработана программа для ЭВМ, позволяющая находить численное решение решение двухтемпературной задачи теплопереноса в металлических наноплёнках для различных значений входных, параметров. Для этой цели применяется двухтемпературная модель, согласно которой процесс переноса теплоты описывается системой двух уравнений, одно из которых моделирует нагрев электронов, другое - нагрев кристаллической решетки. Компьютерная программа содержит алгоритм получения решения численным методом с использованием схемы Кранка-Николсона, поле для введения исходных данных, матрицы полученных численных значений и графические результаты. Тип реализуемой ЭВМ: персональный компьютер; ОС: Windows 7 и выше.

Язык программирования: Встроенный язык программирования MathCAD Объем программы для ЭВМ: 293 КБ

https://fips.ru/registers-ctoc-view/fips_servle1

1/1

Приложение 2

Затухающие колебания стержня на основе модели двухфазного запаздывания.

Затухающие колебания стержня на основе модели двухфазного запаздывания

Математическая постановка задачи в безразмерном виде

3 2 2 2 Fo3 - -—0(Ё, , Fo) + Fo1 - d в (Е,, Fa) + d B(£ = Fo) = J^LejtTo) + Fo2 - ---,Fc(l)

dFo

dFo

dFo'

•it'

dFo

0(i ,0) = 1 - E(2) -0(t,O) = O(3)

dFo

dFo""

eU ,o) = о (4)

— Э (0. Fo) = 0 (5) 0(1, Fo) = 0 (6)

Решение задачи принимаем в следующем вцце @(i,Fo):=$(Fo)-¥(i) |7)

П вдета вляем (7) в основное дифференциальное уравнение И), разделим обе части уравнения на ф (Fa) ч- For - |-ф (Fa)

, dFo

3 2

Fo3-—©(i,Fo) + Fo1 - d 0(*,Fo) + d @(£;Fo) -4- Fo3 — ф (Fo) у (i) + Fo1———ф(Ро) + —-—ф(Ро)-ч|(£)

dFo

dFo

dFo

dFo

dFodFodFo

dFodFo

2 2 i

— 0(i;,Fo) * Fo2 - ----—0 (^ .Fo) -> ф(Ро)-— w(E.) + Fo2--—ф (Fo) -— Р-4Й®'

at2 dFo dE, d^ dE, dFo didi

Fo3 ■ ^—ф (Fo) + Fo1 - + -—^_ф(Ро)

dFo dFodFodFo dFodFo d d 1 -------

, 1 r— г т d ьШ, , didE,

ф(Ро)ч-Ро2--ф (Fo) ъ ь

dFo

Приравниваем левую и правую части к константе -[i"

Fo3- — ф (Fa) + Fa1 - ——— ф (Fa) + — — ф (Fo)

dFo

dFodFodFo

dFodFo

= -ц

) (Fo) 4- Fo2 - -—ф (Fa) dFo

d d

--Ч'(')

dE, d.v,

v{t)

= -H

Произведем замену

В1к= С1к + С2к В2к= i-(С2к-С1к)

Подставим найденную функцию фк(Ро) в фор мулу для m

0(£;Fo)= 2 <фк{1 о) ч'к(С))

+

0<

к = i

:o):=[e7'Fo- (В1к cos(p - Fo) - В2к- sin(J3 ■ Fo)) + СЗк ■ ейк'г0| ■ cosí г-.....- А (14)

% 2 j

Чтобы найти неизвестные коэффициенты В1 к, 82к?СЗк подставляем © (i , Fo) в начальные условия 3(3), (4)

dFo

á

substitute,Fo = 0 B2k-|3 - C3k-z3k sofve,B1k y

dFo"

substitute; F© = 0 i -y^J.В1 к + B1k-p2 - СЗк z3EC sofve,B2k ~2

Составляем нееязку уравнения (2): 1

ta

(B1k+ СЗк) - eos] г -

2 j

d-ш

- eos

d£

(с = 1

О

Ввиду ортогональности косинусов получаем следующее выражение

Подставляем в решение (14} константы интегрирования а также все необходимые дпя построения графиков искомой функции величины Fol := 2 Fo2 р 2 Fo3 := Ш

v(k) := -- ■ [l-k-lf-*2

Запишем окончательную формулу для перемещений стержня с учетом релаксационных явлений - решение задачи (1} - (Б)

10

к = 1

^(k: Fo [B1 (kj .^(р^) . Fo} - Е32(к) ■ sin(ß(k) ■ Fo}} + С3(к) - e23^ Fo] cos

(2-k-l) -j $

Построим графики изменения перемещений в стержне дпя некоторых значений Fol Fo2. Fo3

Затухающие колебания стержня на основе модели двухфазного запаздывания

Fo3 - —= Fo> + Fol

dFo dFoJ

Q[i, Fo) + [i, Fo} = , Fo) и- Fo2

dFo*

dr

j2 10 членов ряда

dFo Fol ^2 Fo2^2 Fo3 12

Fol ->2 Fo2 2 Fq3 -t$ 1.2

НеЕяэка основного дифференциального уравнения е пюбой точке стержня в любой момент времени не превышает 10 Невязка начальныхуспсЕий

i

- S

©[* = <>) = i- t (Í) —о Ш

dFo

dFo"

-МШйФ (4)

®(?=0}- 1+ %

dFo

dFo"

simplify float = 10" substitute. Fo = 0 " simplify float, 10 substitute. Fo = 0 simplify float. iC

Nach1[*} := .8105694690 t|oá{lJ70796327 ■ {;) + .9006327433e-l ■ cos[4.7123S59Sl • .3242277S7Se-1 - cos[7.S539Sl&35 ■ + .1654223406e-l ■ cos[ 10.99:57429 - + t ...

4-. 100070304Se-l ■ cos [14.13^ 16694 " í) + -669S921229e-2 cos[1^.275^960 ■ 4- .4 "96269045 e-2 ■ cos(20.4203522: - íj) + J¿02530973e-2 - cos [23.56194491 ■ *) + ■ 4- ,2S04"3S64^e-2 ■ cos[26.70353756 - fj[ + ,2245344^S9e-2 ■ cos[29.34513021 ■ Q - 1.000000000+ 1.000000000 ■ g

Nach2 := f-.2000000000e-ie} ■ cos (1.5^0796327 - + .10000&0000e-20 - cos [4.^12333980 ■ *) + ,50»0000000e-21 ■ cos [10.99557429 ■ || 4- ,2000000000e-21 ■ cos (14.13^16694 ■ *;) 4- ,2000000000e-21 - cos [17.2^5959 - i) - .1000000000e-21 ■ cos[20.42035225 - §) - .1000000000e-21 ■ cos [23.56194490 ■■

N а с h 3 (^) := .5000000000e-19 ■ cos [ 1.57079632 7 - ?) + ,6000000000e-20 ■ cos [4.7123SS9S0 ■ 4- ,3900000000e-20 ■ cos [7.353931634 ■ + .7^00000000e-20 - cosí 10.99557429 - + ■ + ,4400000000e-20 - cos [14.13716694 - + ,2300000000e-20 ■ cos [17.27375959 - - ,2000000000e-21 ■ cos [20.42035225 ■ + ,2450000000e-20 ■ cos [23.56194490 ■ + 4- .1390000000e-20 - cos [26.70353^56 - {=) + ,1400000000e-21 ■ cos [29.34513021 ■

0.01 0.007 0.004 0.001

Nach1f*)-G.002 Nach2l^>-0.005 -o.oos -0 011 -0.014 -0.017 -0.02

Nach3(b)_

/ \

/ N

/ V f

I \ л V --

/