Многоточечные приближения высших порядков стохастической краевой задачи упругости композитов со случайной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ташкинов, Михаил Анатольевич

• Ташкинов, Михаил Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ташкинов, Михаил Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ КОМПОЗИТОВ СО СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРОЙ. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1 Статистические модели композитов со случайной структурой.

1.2 Методы решения стохастических краевых задач теории упругости.

1.3 Моделирование геометрии случайных неоднородных структур.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многоточечные приближения высших порядков стохастической краевой задачи упругости композитов со случайной структурой»

Актуальность проблемы. Композиционные материалы широко применяются при проектировании высокотехнологичных конструкций и механизмов. Современные методы позволяют получать материалы со спектром уникальных характеристик, которые можно определять на стадии проектирования за счет выбора типов структуры композитов и физико-механических свойств компонентов. Для каждой конструкции может быть разработан материал, соответствующий ее назначению и условиям эксплуатации.

Актуальным является развитие таких моделей в механике композиционных материалов и конструкций, которые позволяют вычислять параметры полей деформирования для каждой фазы композита, что необходимо для предсказания механизмов деформирования и разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, условий нагружения и структуры материала, а также для оценки надежности и выработки рекомендаций при проектировании материалов и конструкций.

Значительное место среди композиционных материалов занимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из включений, случайным образом расположенных в матрице. Для исследования подобных стохастически армированных композитов используются статистические методы, основанные на применении теории случайных функций. Преимущества таких методов в том, что они позволяют учитывать такой важный фактор реальной структуры композитов, как случайность взаимного расположения компонентов и статистический разброс их свойств. Таким образом, решается задача определения характеристик стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры композита по известным статистическим свойствам структуры и условиям нагружения.

Характеристики структурных полей деформирования микронеоднородных сред могут быть определены из решения стохастических краевых задач, в которых уравнения и граничные условия содержат случайные величины. Статистическую информацию о структуре, например, в виде многоточечных моментных функций, можно получить, используя образцы композита или модель случайной структуры.

В большинстве работ при описании стохастических структур ограничиваются моментными функциями, как правило, второго порядка. В статистической механике композиционных материалов до сих пор остается открытым вопрос о более полном учете взаимодействия компонент. В данной работе рассматриваются приближения высших порядков в рамках краевых задач, в которых необходимым является учет не только моментных функций второго порядка, но и третьего, четвертого и пятого порядков, что позволяет более полно описывать случайную структуру композитов.

Целью работы является развитие методов исследования полей структурных напряжений и деформаций в композиционных материалах со случайной структурой на основе разработки и реализации методик построения решений статистически нелинейных краевых задач в многоточечных приближениях с использованием моментных функций высших порядков.

Основные задачи исследования:

- вывод аналитических выражений для решения стохастических краевых задач теории упругости при помощи метода функций Грина с использованием процедуры последовательных приближений;

- получение выражений для моментов первого и второго порядков структурных напряжений и деформаций;

- построение и аппроксимация моментных функций высших порядков для синтезированных объемных полидисперсных стохастических структур со сферическими включениями;

- расчет статистических характеристик полей напряжений и деформаций при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния;

- анализ статистических характеристик полей напряжений и деформаций в зависимости от структурных параметров и вида макроскопического напряженно-деформированного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Получены новые результаты построения и аппроксимации многоточечных моментных функций (до пятого порядков) для неоднородных полидисперсных структур со сферическими включениями.

2. Впервые на основе решения краевой задачи во втором приближении выведены аналитические выражения для средних значений, условных и безусловных моментов второго порядка полей деформирования с учетом реального вида моментных функций для неоднородных структур.

3. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования матричных пористых композитов в случае всестороннего растяжения, чистого сдвига и одноосного нагружения.

4. Впервые произведено сопоставление численных результатов для статистических характеристик в первом приближении решения краевой задачи, где используются структурные моментные функции до третьего порядка, с результатами во втором приближении, получаемом с использованием структурных моментных функций до пятого порядка.

Обоснованность и достоверность результатов. Содержащиеся в работе положения и выводы подтверждены сопоставлением результатов, полученных на основе различных методик и приближений, а также сравнением для некоторых частных случаев результатов работы с частными точными решениями и известными приближенными результатами других авторов.

Практическая значимость работы состоит в создании научных основ для оценки прочности и надежности материалов и конструкций. Разработанные модели структуры и методы решения стохастических краевых задач механики композитов могут быть использованы для сравнительного анализа влияния различных структурных параметров на статистические характеристики полей напряжений с целью создания материалов с заранее заданным комплексом свойств и оценки вероятностей разрушения.

Результаты диссертационной работы в виде математических моделей, методов, алгоритмов, методик расчетов и оформленные в виде программного кода в среде Wolfram Mathematica, могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися разработкой и проектированием композиционных материалов и конструкций из них.

Апробация. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на 10-м Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 2011 г., Нижний Новгород;

- на Конференции по прикладной механике и материалам (МсМАТ-2011), проводимой Американским сообществом инженеров-механиков (ASME), 2011 г., Чикаго, США;

- на Второй международной конференции по моделированию материалов (1СММ'02), 2011 г., Париж, Франция;

- на 20-ом Международном семинаре по вычислительной механике материалов (Г\¥СММ'20), 2010 г., Лафборо, Великобритания;

- на XVII Зимней школе по механике сплошных сред, 2011 г., Пермь;

- на Первой международной научной конференции «Достижения в механике взаимодействия и мультимасштабной механике» (А1ММ'10), 2010 г., Джеджу, Южная Корея;

- на XIII Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации», 2011 г., Пермь;

- на X Международной конференции «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах» (НРС'2010),

2010 г., Пермь;

- на XX Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках»,

2011 г., Пермь;

- на XVII Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2008 г., Пермь;

- на XVI Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 2007 г., Пермь;

Работа целиком докладывалась на научных семинарах:

- кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Соколкин.

- кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор П.В. Трусов.

- Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель -академик РАН В.П. Матвеенко.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 11-01-96030-рурала, проект РФФИ 10-08-96062-рурала, проект РФФИ 0808-00702).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ [51-64, 103107], в том числе 4 в изданиях из перечня ВАК [54, 60, 64, 107].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 17 рисунков, 12 таблиц. Общий объем диссертационной работы - 110 страниц. Библиография включает 107 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ташкинов, Михаил Анатольевич

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Впервые построено второе приближение решения стохастической краевой задачи теории упругости структурно-неоднородных сред с использованием метода функций Грина.

2. Получены выражения для условных и безусловных моментов первого и второго порядка полей напряжений и деформаций с использованием решения краевой задачи в первых и вторых производных функции Грина с учетом явного вида структурных многоточечных моментных функций высших порядков для синтезированных структур.

3. Произведен синтез неоднородных матричных структур со сферическими включениями, для которых были построены многоточечные моментные функции от второго до пятого порядков. Предложен новый вид аппроксимирующих выражений для моментных функций, коэффициенты которых найдены для структур с различной объемной долей и дисперсностью включений.

4. Разработан программный комплекс в среде Wolfram Mathematica, позволяющий синтезировать реализации случайных структур с заданными параметрами, строить моментные функции высших порядков для них, вычислять статистические характеристики полей деформирования на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости с применением параллельных вычислений.

5. Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования в компонентах пористых матричных композитов со сферическими включениями при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния.

6. Произведен анализ влияния геометрических параметров структуры композита, таких как дисперсность и объемная доля включений на результаты расчета средних значений и дисперсий пульсаций полей напряжений и деформаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ташкинов, Михаил Анатольевич, 2011 год

1. Аношкин А.Н., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Поля микронапряжений и механические свойства разупорядоченных волокнистых композитов // Механика композитных материалов. 1990. - № 5. - С. 860-865.

2. Беран М.Дж. Применение статистических теорий для определения тепловых, электрических и магнитных свойств неоднородных материалов // Композиционные материалы: В 8 т. / Под общ. ред. Л. Браутмана и Р. Крока. -М.: Мир, 1978. Т. 2. - С. 242-286.

3. Богачев И.Н., Вайнштейн A.A., Волков С.Д. Статистическое металловедение. М.: Металлургия, 1984. - 176 с.

4. Болотин В.В., Москаленко В.К К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1967. - № 3. - С. 106-111.

5. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1968. - № 1. - С. 66-72.

6. Вайнштейн A.A., Мехонцева Д.М. Метод вычисления моментов третьего порядка механических свойств двухфазной среды // Сборник научных трудов Красноярского политехнического института. Красноярск: Изд-во Краснояр. политехи, ин-та, 1970. - С. 157-160.

7. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наукова думка, 1985. - 302 с.

8. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1997.-288 с.

9. Волков С.Д., Долгих В.Я. К теории упругости микронеоднородных сред Н Сборник научных трудов Курганского машиностроительного института. Курган: Изд-во Кург. машиностр. ин-та, 1969. - Вып. 12. - С. 3-9.

10. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1978. - 208 с.

11. Волков С.С. Существование и единственность регений стозастических задач теории упругости // Расчет и оптимизация изделий машиностроения. -Свердловск, 1987.-С. 17-19.

12. Гаришин O.K. Геометрический синтез и исследование случайных структур // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. - С. 4881.

13. Евлампиева Н.В. Моментные функции для разреженных структур со сферическими и эллипсоидальными включениями // Молодежная наука Прикамья. 2001. - Вып. 1. - С. 56-64.

14. Евлампиева С.Е., Мошев В.В. Новый метод оценки эффективных свойств среды с хаотично расположенными включениями // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций. -Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С. 22-26.

15. Ермаков Г.А., Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Эффективные модули упругости материалов, армированных анизотропными волокнами // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974. - № 4. - С. 110-117.

16. Зайцев A.B. Условные и безусловные моменты случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): сб. статей: в 3 ч. Ч. 2. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2007. - С. 47-50.

17. Зайцев A.B. Моментные функций второго порядка случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Вестник

18. УГТУ-УПИ. Механика микронеоднородных материалов и разрушение. 2006. -№11 (82).-С. 161-167.

19. Зайцев A.B., Лукин A.B., Ташкинов A.A., Трефилов Н.В. Случайные структуры двухфазных композитов: синтез, закономерности, новая оценка характерных размеров представительных объемов // Математ. моделирование систем и процессов. 2004- Вып. 12. - С. 30-44.

20. Зайцев A.B., Покатаев Я.К. Новый метод построения моментных функций второго порядка случайной структуры полимербетонов // Вестник ПГТУ. Математ. моделирование систем и процессов. 2007. - Вып. 15. - С. 2845.

21. Зайцев A.B., Лукин A.B., Трефилов Н.В. Компьютерный синтез случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Молодежная наука Прикамья. 2001. - Вып. 1. - С. 78-87.

22. Иванов С.Г., Иванов Д.С. О новом методе построения корреляционных функций случайной структуры композитов // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: тез. докл. V Всерос. конф. 2428 мар. 2008 г. Екатеринбург, 2008. - С. 161.

23. Калягин М.Ф., Волков С.Д. О законах распределения микроструктурных напряжений и деформаций // Проблемы прочности. 1973. -№ 11.-С. 21-25.

24. Композиционные материалы: в 8 т. Т. 2: Механика композиционных материалов / под ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978. - 563 с.

25. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. - 720 с.

26. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1984. — 336 с.

27. Лапшина И.Ф., В.М. Мендельсон, С.Д. Волков. Распределение напряжений и деформаций в компонентах композиционных материалов // Проблемы прочности. 1974. - № 12. - С. 31-35.

28. Ломакин В.А. О деформировании микронеоднородных упругих тел // Прикл. математика и механика. 1965. - Т. 29. - Вып. 5. - С. 888-893.

29. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. - 139 с.

30. Ломакин В.А., Кукса Л.В., Бахтин Ю.Н. Масштабный эффект упругих свойств поликристаллических материалов // Прикладная механика. 1982. - 18, №9.-С. 10-15.

31. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журнал эксперимент, и теорет. физики. 1946. -№ 16. -Вып. 11.-С. 967-980.

32. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. Поправка к статье «К теории упругих свойств поликристаллов» // Журнал эксперимент, и теорет. физики. 1951. - Т. 21.-Вып. 10.-С. 1184.

33. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченно упруго-анизотропной среды // Журнал эксперимент, и теорет. физики. -1947. -Т. 17. -Вып. 9. С.783.

34. Маслов Б.П. Нелинейные упругие свойства стохастически неоднородных сред // Прикл. механика. 1973. - Т. 9. - Вып. 8. - С. 91-95.

35. Маслов Б.П. Концентрация напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными волокнами // Прикладная механика. 1987. - Т. 23.-№ 10.-С. 73-79.

36. Механиа композитных материалов и элементов конструкций: в 3 т. Т. 1: Механика материалов / А.Н. Гузь и др. Киев: Наукова думка, 1982. - 368 с.

37. Мошев В.В., Евлампиева С.Е. Влияние структурных особенностей на эффективные механические свойства зернистых композитов. 1. Плоская деформация // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. -Т. 2. -№ 1. - С. 6.

38. Паньков A.A. Статистическая механика пьезокомпозитов. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. -480 с.

39. Паньков A.A. Свойства и электроупругие поля композита с взаимообратной поляризацией пьезоактивных фаз // Физическая мезомеханика. -2008.-Т. 11,-№4. -С. 101-105.

40. Паньков A.A. Точные соотношения для дисперсий и корреляционных моментов деформаций в фазах двухфазных композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. - Т. 7. - № 1. - С. 82-89.

41. Паньков A.A., Соколкин Ю.В. Решение краевой задачи электроупругости для пьезоактивных композитов методом периодических составляющих // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. -Т. 8. - № 3. - С. 365-384.

42. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 336 с.

43. Савин Г.К, Хорошун Л.П К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. - С. 437-444.

44. Соколкин Ю.В., Волкова Т.А. Многоточечные моментные функции распределения деформаций и напряжений в стохастических композитах // Механика композитных материалов. 1991. - № 4. - С. 662.

45. Соколкин Ю.В., Волкова Т.А. Расчет распределения деформаций и напряжений в зернистых композитах с учетом реальных моментных функций свойств микроструктуры // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. - Т. 4. - № 3. - С. 70-85.

46. Соколкин Ю.В., Паньков A.A. Сингулярное приближение метода периодических составляющих для дисперсий деформаций в фазах композита // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. - Т. 7. - № 4. -С. 427-433.

47. Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. М.: Наука, 1984. - 116 с.

48. Ставров В.П., Долгих В.Я., Волков С.Д. Об упругих постоянных хаотически армированных пластиков // Механика полимеров. 1967. - № 2. -С. 259-265.

49. Ташкинов М.А. Многоточечные моментные функции структурных свойств полидисперсных композитов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. - №2(23). - С. 74-82.

50. Ташкинов М.А. Приближение второго порядка для краевой задачи о чистом сдвиге матричного композита со случайными включениями // Молодежная наука Прикамья: сборник научных трудов / Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 2008,— Вып. 9. С. 185-188.

51. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных структурно-неоднородных сред // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред,

52. Пермь, 28 фев. 3 мар. 2011г. Тез. докл. - Пермь-Екатеринбург, 2011. - С. 308.

53. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. —Т.16. —№ 3. — С. 369-384.

54. Ташкинов М.А., Евлампиева Н.В. Метод последовательных приближений в краевой задаче упругости для композитов со случайной структурой // Математическое моделирование систем и процессов: сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2008. -Спецвып.

55. Ташкинов М.А., Михайлова Н.В. Многоточечные приближения высших порядков в краевой задаче упругости полидисперсных композитов со случайной структурой // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. - № 4 (4), - С. 1799-1800.

56. Танкеева М.Г. Численные результаты расчёта средних значений и дисперсий структурных деформаций и напряжений в композитах /У Механика микронеоднородных структур / УрО АН СССР. Свердловск, 1988. - С. 53-58.

57. Фокин А.Г. Об использовании сингулярного приближения при решении задач статистической теории упругости // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1972. -№ 1. - С. 98-102.

58. Фокин А.Г. Сингулярное приближение при расчете упругих свойств армированных систем // Механика полимеров. 1973. - № 3. - С. 502-506.

59. Фокин А.Г. Эффективные модули упругости механических смесей // Механика деформируемого твердого тела. Куйбышев: Изд-во Куйбышев, гос. ун-та, 1976. - Вып. 2. - С. 34-39.

60. Фокин А.Г, Шермергор Т.Д. К расчету упругих модулей неоднородных материалов // Механика полимеров. 1968. - № 4. - С. 58-63.

61. Фокин А.Г, Шермергор Т.Д. Вычисление эффективных модулей упругости композиционных материалов с учетом многочастичных взаимодействий // Журнал прикл. механики и техн. физики. 1969. - № 1. - С. 51-57.

62. Хилл Р. Теория механических свойств волокнистых композитных материалов // Механика: сб. перев. 1966. - 96. - №2. - С. 131-149.

63. Хорошун Л.П. Прогнозирование термоупругих свойств материалов, упрочненных однонаправленными дискретными волокнами // Прикл. механика. 1974. - Т. 10. - Вып. 12. - С. 23-30.

64. Хорошун Л.П. Методы случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред // Прикл. механика. -1978. Т. 14. - Вып. 2. - С. 3-17.

65. Хорошун Л П., Маслов Б.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композитных материалов. Киев: Наук, думка, 1980. - 156 с.

66. Шаталов Г. А. Эффективные характеристики изотропных композитов как задача многих тел // Механика композитных материалов. 1985. - № 1. - С. 43-52.

67. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1976.-400 с.

68. Adams D.J., Matheson A.J. Computational of dense random packings of hard spheres // J. Chem. Phys. 1972. -Vol.53. - №5. - P. 1889-1924.

69. Bennet C.H. Serially deposited amorphous aggregates of hard spheres // J Appl Phys. 1972. - Vol. 43. - P. 2727-2734.

70. Beran M. J. Statistical continuum theories. New-York: Wiley. Intersci. Publ, 1968.-493 p.

71. Berryman J.G. Random close packing of hard spheres and disks // Phys Rev, A. 1983. - Vol. 27. - P.1053-1061.

72. Binder K., Heerman D.W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: an Introduction. Springer, Berlin NY, 1997.

73. Buryachenko V.A. Micromehcanics of Heterogenous Materials. Springer US, 2007. - 686 p.

74. Cesarano III J., McEuen M.J., Swiler T. Computer simulation of particle packing // Intern SAMPE Technical Conf. 1995. - Vol. 27. - P. 658-665.

75. Chen Dai-heng Green's functions for elastic field in an anisotropic infinite plate with an elliptic inclusion // Nihon kikai gakkai ronbunshu.A. Trans. Jap. Soc. Mech.Eng.A.- 1995.-Vol. 61.-№ 586.-P. 1294-1301.

76. Cheng Y.F., Guo S.J., Lay H.Y. Dynamic simulation of random packing of spherical particles // Powder Technol. 2000. - Vol. 107. - P. 123-130.

77. Clarke A.S., Willey J.D. Numerical simulation of the dense random packing of a binary mixture of hard spheres: amorphous metals // Phys. Rev., B35. -1987. P. 7350-7356.

78. Duffy M.G. Quadrature over a Pyramid or Cube of Integrands with a Singularity at a Vertex // J. SIAM Numer. Anal. 1982. - Vol. 19. - No. 6.

79. Feder J. Random sequential adsorption // J Theor Biol. 1980. - Vol. 87. -P. 237-254.

80. Furukawa K., Imai K., Kurashige M. Simulated effect of box size and wall on porosity of random packing of spherical particles // Acta Mechan. 2000. -Vol. 140.-P. 219-231.

81. He D., Ekere N.N. Structure simulation of concentrated suspensions of hard spherical particles // AIChE J. 2001. - Vol. 47. - P. 53-59.

82. Hinrichsen E.L., Feder J., Jossang T. Geometry of random sequential adsorption // J Statist Phys. 1986. -Vol. 44. - P.793-827.

83. Genz A.C., Malik A.A. An Imbedded Family of Fully Symmetric Numerical Integration Rules // J. SIAM Numer. Anal. 20. 1983. - No. 3. - P. 580588.

84. Kansal A.R., Truskett T.M., Torquato S. Nonequilibrium hard-disk packing with controlled orientational order // J Chem Phys. 2000. - Vol. 113. - P.4844-4851.

85. Knott G.M., Jackson T.L., Buckmaster J. Random packing of heterogeneous propellants // AIAA J. 2000. - Vol. 39. -P. 678-686.

86. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disordered composite materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1967.-Vol. 15.-№2.-P. 137-155.

87. Kroner E. Bounds for effective elastic moduli of disordered materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1977.-Vol. 25,-№2.-P. 137-155.

88. Krommer A.R., Ueberhuber C.W. Computational Integration. SIAM Publications, 1998.

89. Lu G.Q., Ti L.B., Ishizaki K. A new algorithm for simulating the random packing of monosized powder in CIP processes // Mater Manufact Processes. 1994. -Vol. 9. - P.601-621.

90. Nolan G.T., Kavanagh P.E. Computer simulation of random packing of hard spheres // Powder Technol. 1992. - Vol. 72. - P. 149-155.

91. Ogen L., Troadec J.P., Gervois A., Medvedev N. Computer simulation and tessellations of granular materials // Foams and Emulsions. Kluwer, Dordrecht, 1998.-P. 527-545.

92. Stroeven P., Stroeven M. Computer-simulated internal structure of materials // Acta Stereologica. 1996. - Vol. 15, № 3. - P. 247-252.