Метод фредгольмова отображения в анализе двухмодовых прогибов слабо непотенциальных упругих систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Малюгина, Маргарита Александровна

• Малюгина, Маргарита Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Малюгина, Маргарита Александровна

Введение

1 Метод фредгольмова отображения в теории нелинейных краевых задач.

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Схема Ляпунова - Шмидта (общая).

1.3 Фредгольмовы функционалы.

1.4 Фредгольмовы уравнения с параметрами.

1.5 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.6 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта.

1.7 Дискриминантные множества.

1.8 Алгоритм вычисления главной части ключевой функции и ключевого уравнения, асимптотическое представление решений.

1.9 Контактные преобразования и версальные деформации особенностей фредгольмовых отображений.

Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с многомерным вырождением при понижении симметрии параллелепипеда и нарушении потенциальности.

2.1 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из собственных векторов.

2.2 Вычисление главной части ключевой функции в случае базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых векторов.

2.3 Построение базиса ритцевской аппроксимации, состоящего из корневых векторов.

2.4 Бифуркационный анализ в случае особенности 2-мерной сборки.

2.5 Строение ключевого отображения для слабо неоднородных и слабо несимметричных уравнений.

2.6 Локальная параметризация дискриминаптного множества для слабо неоднородных и слабо несимметричных уравнений в случае двухмодового вырождения.

3 Бифуркационный анализ двухмодовых прогибов слабо неоднородных упругих балок и пластин.

3.1 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок на упругом основании.

3.1.1 Случай однородной балки.

3.1.2 Случай слабо неоднородной балки.

3.1.3 Вычисление интегральных коэффициентов.

3.1.4 Примеры описания каустик.

3.2 Двухмодовые прогибы слабо неоднородных упругих балок на упругом основании в условиях нарушения потенциальности.

3.2.1 Случай однородной балки.

3.2.2 Прогибы неоднородной балки в условиях нарушения потенциальности.

3.3 Двухмодовые прогибы слабо неоднородной упругой пластины Кармана.

3.3.1 Однородная упругая пластина.

3.3.2 Неоднородная упругая пластина.

3.3.3 Вычисление интегральных коэффициентов.

3.3.4 Случай нарушения потенциальности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод фредгольмова отображения в анализе двухмодовых прогибов слабо непотенциальных упругих систем»

Тема диссертации связана с актуальной, но мало исследованной проблемой "многих мод" , под которой подразумевается задача бифуркационного анализа упругих систем вблизи критических состояний с многомерными вырождениями (с вырождениями по нескольким модам). Акцент сделан на слабо непотенциальные системы.

Типичные упругие системы являются, как правило, консервативными и поэтому соответствующие модельные краевые задачи допускают применение вариационных методов [12], [13], [21], [52]. Но иногда приходится рассматривать упругие системы, находящиеся под воздействием неконсервативных сил [5]. В таких случаях соответствующие краевые задачи не являются вариационными и для,их исследования требуется применение "общих" методов анализа (непотенциальных) уравнений. В случас же слабо непотенциальиых систем (мало¡возмущенных потенциальных) имеется возможность использования тех разработок, которые существуют в потенциальном случае.

В данной диссертационной работе рассмотрены два модельных примера слабо непотенциальных краевых задач теории упругих балок и пластин. В их исследовании использованы конструкции общей теории нелинейных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах [6], [28], [48], позволяющие осуществлять полное решение задачи о бифуркации прогибов упругих систем из критических состояний с многомерными вырождениями. Под полным решением бифуркационной задачи подразумевается: описание (локальное) топологии дискриминантных множеств (для соответствующих уравнений равновесных состояний упругих систем), описание всех допустимых наборов бифурцирующих прогибов и получение асимптотических формул для ветвей бифурцирующих прогибов.

Автор диссертации в своих исследованиях отталкивался от работ Д.В.

Костина [33], [34], в которых был предложен алгоритм вычисления формул асимптотического представления ветвей равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин на упругих основаниях вблизи критических состояний с двухмодовыми вырождениями. Для соответствующих функционалов энергии ему удалось описать строение каустик (дискриминантных множеств уравнений прогибов) и проанализировать влияние характера неоднородности на формы прогибов.

Автором диссертации рассмотрен другой тип возмущения уравнений равновесий балок и пластин, связанный с нарушением потенциальности уравнений [71] и понижением симметрии [72]. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм использует элементы вычислительного алгоритма Д.В. Костина и фактически является его обобщением и развитием.

Количество "управляющих" параметров в рассмотренных здесь уравнениях больше, чем в аналогичных уравнениях, рассмотренных в рабо

В диссертации рассмотрены примеры модельных уравнений, в которых сочетаются два типа возмущений, связанных с нарушениями однородности и потенциальности. Первый пример относится к теории упругих балок, в нем рассмотрено уравнение х € [0,7г], при локализизации параметров к — 5 -Ь а = 4 + ¿2, д = д(х) 1 + ¿07(3;) (е, ^0)^1)^2 — малые параметры) при краевых условиях где гп — функция прогиба (уравнения подобного рода можно рассматривать также на произвольном отрезке [а, Ь]). Второй пример относится к теории упругих оболочек: рассмотрено обобщенное уравнение Кармана тах [30]-[34].

2) для равновесных конфигураций прямоугольной пластины

Д(дДи>) - [ги,ф\ + \шхх + еп)х = Дс/? + ^[ги,гу] = 0, х,уе£2а, (г»3) д = ^(ж, ?/) := 1 + 50 7(2;, у), при краевых условиях = Аги = '(р = А<р = 0|па, = [0, а] х [0,1]. (г>4)

Через цжц) обозначены функции прогиба и напряжения пластины (длинны а и ширины единица), Д — гармонический оператор Лапласа, [гу, <р\ := 'Шхх(руу + 1иууч>хх — 2 Шхуфху, А — параметр нагрузки.

Потенциальные краевые задачи теории упругих систем допускают, при соответствующих операторных трактовках уравнений, постановку в виде вариационной задачи

У\(х) —> Ы, в которой У\(х) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов [3], [35], [58], заданное на банаховом пространстве Е, X — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве Ь (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения /д : Е —> Е, где Р — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Ей Е как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в Е. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, .Р, и используется обозначение / = дгасЬУ.

В рассмотренных примерах имеется нарушение потенциальности и соответствующее операторное уравнение приобретает следующий вид: я) := дгааУ{х) + вЧ{х) = О параметры здесь опущены).

Безусловно, "функционально-операторная оболочка" придает представленному здесь подходу универсальность и широту, выводящие разработанную методику исследований за рамки, очерченные рассмотренными примерами.

Анализ уравнения осуществлен посредством "двумерного усечения" — сведением (методом Ляпунова-Шмидта) к изучению ветвления решений ключевого уравнения на координатной плоскости

0«, Л, в) := дгав, ТУ(£, Л) + Яе«) = 0, £ е М2, где А) — ключевая функция, отвечающая функционалу потенциалу исходного уравнения при в = 0. Слагаемое Н£(%) — непотенциальное отображение (возмущение).

Так как исходное уравнение нечетно и нарушение потенциальности происходит лишь за счет внесения в него малого несамосопряженного линейного слагаемого ВЕ{х) := в^, то ключевое уравнение приобретет малое непотенциальное слагаемое Не(£), главная линейная часть которого (по управляющему параметру в) является галеркинской аппроксимацией (по модам е3).

Структура ключевой функции двух и более переменных в задачах о прогибах балок и пластин ранее исследовалась в работах Б.М. Дарин-ского, Ю.И. Сапронова [20] и Д.В. Костина.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новой модификации бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем, приспособленную для применения в условиях понижения дискретной симметрии и нарушения потенциальности. Достижение цели осуществлено через разработку нового вычислительного алгоритма, локальное описание геометрии сечений дискриминантных множеств, классификацию раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций и получение формул асимптотического представления ветвей бифурцирующих конфигураций.

В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляют модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработана новая модификация спектрального метода Ляпунова-Шмидта, приспособленная для бифуркационного анализа слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений в условиях двухмодового вырождения и понижения симметрии; описано строение главной части ключевого уравнения.

2. Получена локальная параметризация дискриминантных множеств (для параметрических ссмсйств слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений) в условиях двухмодового вырождения; получены графические изображения 2(1- и 3 (¿-сечений дискриминантных множеств и получено описание раскладов бифурцирующих решений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

3. Выведена асимптотическая (по закритическим приращениям параметров) формула для ветвей решений, учитывающая влияние характера неоднородности на закритические прогибы слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена визуализация бифуркационного процесса для слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии дискриминантных множеств, классификация би-фурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности и непотенциальности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего (Москва, 2009 г.), на конференции "XX Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2009), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2010 г.), на конференции "XXI Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2010), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2011 г.).

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 112 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (19 иллюстраций), выполненной в среде Maple.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Малюгина, Маргарита Александровна, 2011 год

1. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

2. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основ алии / B.C. Бардин, С.Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. - 1998. - С.13-22.

3. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах / И-А.Бобылев, C.B. Емельянов, С.К. Коровин // М.: Магистр, 1998. — 658 с.

4. Бобылев H.A. О бифуркации экстремалей вариационных задач / Ii-А.Бобылев, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. - Т- 314> N 2. - С. 265-268.

5. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчив остиВ.В.Болотин // М.: Физматлит. 1961. 340 с.

6. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и тес^>РияЛере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапроно// Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. - С.3-54.

7. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер» э Л.Ландер // М.: Мир, 1977. 208 с.

8. Варченко А.Н. Теорема об эквисингулярности семейств алгебраических многообразий / А.Н.Варченко // Успехи матем. наук. 1971. Т.26, вып.1. С.217-218.

9. Варченко А.Н. О ростках аналитических отображений, топологический тип которых определяется конечной струей / А.Н.Варченко // Функц. анализ и его прил. 1972. Т.6, вып.З. С.63-64.

10. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике / Е.А.Волков // Докл. АН СССР. — 1962. —147, №2. — С. 13-16И. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки / А.С.Вольмир // М.: Гостехиздат. 1956.

11. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И.Ворович // М.: Наука. 1989. 376 с.

12. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р.Гиломор // М.: Мир, 1984. Т.1. 350 е., Т.2. 285 с.

13. Гнездилов A.B. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / A.B. Гнездилов // Функц. анализ. -2000.

14. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности. / М.Голубицкий, В. Гийемин // М.: Мир, 1977. 290 с.

15. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки /Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

16. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

17. Даринский В.М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57-64.

18. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах /Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, B.JL Шалимов // Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. -С. 1-5.

19. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72-86.

20. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. С.3-134.

21. Задорожний В.Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / В.Г. Задорожний, Е.В. Корчагина // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48-61.

22. Задорожний В.Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех звязанных контурах Ван-дер-Поля / В.Г. Задорожний, A.B. Попов // Дифференциальные уравнения. 1999, №11. С.1580.

23. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф.Зайцев // JL: ЛГПИ, 1989 80 с.

24. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка / A.B. Зачепа // Трудыматем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. "ТЕ-ФА 2004. С.48-55.

25. Зачепа A.B. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. С.57-71.

26. Зачепа A.B. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18-33.

27. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Воронеж: ВорГУ. 2002. 185 с.

28. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю.А. Изгомов , В.И. Сыромятников // М.: Наука. 1984. - 247 с.

29. Костин Д.В. Ортопроектор теории возмущения линейных операторов и бифуркации равновесия слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крсйна 2006. Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 106-113.

30. Костин Д.В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях / Д.В. Костин // Матем. заметки, 2008, 83:1. С. 50-60.

31. Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Доклады Академии Наук, 2008, том 418, №4, С. 295-299

32. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

33. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений./ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий Я.Б., В.Я. Стеценко // М.: Наука, 1969. 456 с.

34. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг // М.: Мир, 1967. 204 с.

35. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов Ташкент // Фан, 1985. - 184 с.

36. Ляв А. Математическия теория упругости / А. Ляв // М.- Л.: НКТН СССР. 1935. 674 с.

37. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l / A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

38. Мазер Дж.Н. Конечная определенность гладких отображений / Дж.Н.Мазер // Математика 1970. Т. 14, № 1. - С. 145-175.

39. Мазер Дж.Н. Стратификация и отбражения / Дж.Н.Мазер // Успехи матем. наук. 1972. Т. 27, № 5. - С. 85-113.

40. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений / В.П. Маслов // М.: Наука. 1988. 312 с.

41. Милнор Дж. Теория Морса./Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

42. М1тропольский Ю.О. Дослщження коливань в системах з розподше-ними параметрами (асимптотичш методи) /Ю.О. М1тропольский, Б.1. Мосеенков // Видавництво Кшвського ушверситету// 1961. -123 п.'

43. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлии // М.: Наука, 1970. 512 с.

44. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк // М.: Наука, 1969.

45. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг // М.: Мир, 1977. 232 с.

46. Обен Ж.П. Прикладной нелинейный анализ / Ж.П. Обен, И. Экланд // М.: Мир, 1988. 510 с.

47. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер // М.: Мир, 1989.- 639 с.

48. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. // М.: Мир, 1968. 268 с.

49. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников // М.: Наука. 1971. 568 с.

50. Постон Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М.: Мир. 1980. 608 с.

51. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / А. Пуанкаре // М.: Наука. 1972. 1000 с.

52. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю.И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997-1006.

53. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т. 180, N 10.- С. 1299-1310.

54. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах /Ю.И. Сапронов // Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94-103.

55. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 1.- С. 101-132.

56. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

57. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов / Т.Ю.Сапронова // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. 2000. -С.107-124.

58. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров , Б.В. Логинов // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. - С. 286-289.

59. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 132136.

60. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С.Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

61. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины симплекти-ческого угла / О.В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

62. Darinskii В.M. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / B.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

63. Holder E.J. Boundary conditions and mode jumping in the Karman equations / E.J.Holder, D. Schaeffer // SIAM J. Math. Anal. 1984. B.15. N 3. - P.446-457.

64. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls / Y.J. Ishibashi // Ferroelectrics. 1989. V.98. - P. 193-205.

65. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie / V. Poénaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter И. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

66. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. -V.65. - P. 370-399.

67. Thompson J.M.T. Nonlinear Dynamiks and Chaos / J.M.T. Thompson, H.B. Stewart // Wiley Sz Sons, Chichester Singapore, 1986.

68. Малюгина M.А. Бифуркационный анализ краевой задачи для ОДУ четвертого порядка в условиях нарушения потенциальности / М.А.Малюгина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, ч.1. Воронеж: ВГУ. 2008. С.114-121.

69. Малюгина М.А. К анализу посткритических прогибов слабо неоднородных упругих систем в условиях нарушения потенциальности /t