Приложения теории краевых и угловых особенностей гладких функций к анализу бифуркаций решений вариационных задач с круговой симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ладыкина, Екатерина Владимировна

• Ладыкина, Екатерина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ладыкина, Екатерина Владимировна

Введение

1 Фредгольмовы вариационные уравнения

1.1 Элементы анализа фредгольмовых функционалов

1.1.1 Фредгольмовы операторы.

1.1.2 Фредгольмовы функционалы.

1.1.3 Локальный анализ фредгольмовых функционалов

1.2 Функционалы с групповой симметрией и угловые особенности

1.2.1 Бифуркационые диаграммы функционалов

1.2.2 Об угловых особенностях.

1.2.3 Моды бифуркации угловой особенности.

1.3 Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли.

1.4 Приближенное вычисление ключевой функции.

2 Фредгольмовы функционалы со слабо гладкой круговой симметрией.

2.1 Элементы теории G—пространств в условиях слабо гладкой круговой симметрии.

2.1.1 Предварительные замечания.

2.1.2 Версальные деформации, каустики и ключевые функции.

2.1.3 Функционалы со слабо гладкой симметрией.

2.2 Случай резонанса 1:2.

2.2.1 Структура ключевой функции в условиях слабой круговой симметрии и резонанса 1:2.

2.2.2 Анализ главной части ключевой функции.

2.3 Случаи других резонансов.

2.3.1 Резонанс 0:1.

2.3.2 Резонанс 1:3.

2.3.3 Резонанс р : q, |р| + \q\ > 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приложения теории краевых и угловых особенностей гладких функций к анализу бифуркаций решений вариационных задач с круговой симметрией»

В теории упругих систем, теории фазовых переходов, теории нелинейных волн и других разделах современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача вида: в которой V\(x) — гладкое семейство гладких функционалов с круговой симметрией, заданное на банаховом пространстве Е, то есть симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд (не всегда непрерывного по д) группы Ли G = 50(2) на Е\

А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с круговой симметрией (2) при следующих дополнительных условиях:

1) функционал V(x) — фредгольмов индекса нуль;

2) действие группы 50(2) задано гомоморфизмом д н» Тд из 50(2) в группу 0(H) (линейных ортогональных преобразований Н), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е;

3) сужение представления Тд на каждое инвариантное конечномерное подпространство N в Е является гладким гомоморфизмом ( д Tg\N из 50(2) в SO(N) является гладким отображением).

Групповое действие, подчиненное условию 3, будем называть слабо гладким.

Фредгольмовость функционала V означает, что

V\(x) —> inf,

1)

Vx(Tgx) - Vx(x) Vx£E, ge 50(2),

2) x)h={f(x),h)

3) где / : Е —У F — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, (•, •) — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Н, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, Н} и используются обозначения / = grad V = V V.

При изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [43], [61], который использован и в настоящей диссертации.

Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи Л.В.Овсянникова, Н.Х.Ибрагимова, П.Олвера, А.М.Виноградова с соавторами, В.Ф.Зайцева, А.Т.Фоменко, В.А.Треногина, Б.В.Логинова, З.И.Бала-нова и др. [28] - [32], [38], [46], [47], [53], [54], [66], [68] [69, 70])

Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развивался также при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [69, 70] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин и др. [5], [7], [И], [46], [44], [68]).

Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова [46], В.Г.Звягина [36, 37], В.Кравцевича [42] и др. В работах А.В.Гнездилова [12, 13] изучались уравнения с поликруговой симметрией.

Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов идейно опирается, с одной стороны, на теорию Ботта [79] (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для боттовских интегралов (А.Т.Фоменко и др., [56], [69], [85, 86] ) и, с другой стороны, на теорию эквивариантных особенностей гладких функций ( В.И.Арнольд, С.М.Гусейн-Заде, В.Поэнару, С.Т.С.Уолл, Д.Сирсмаи др., [1], [3], [88], [91]).

Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариационных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответствующим вопросам теории миниверсальных разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уол-лом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др., [2], [89]. В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях сравнительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек границы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А.В.Гнездиловым, О.Ю.Даниловой, О.В.Швыревой, М.А. Хуссаииом и А.В. Белоглазо-вым, [58] - [59], [14], [15] - [18], [75] - [77]). В частности, были изучены бифуркации экстремалей из омбилической особой точки гиперболического типа, расположенной на вершинной грани угла.

Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредгольмовых функционалов в случае круговой симметрии при условии четырехмерного вырождения с сильными резонансами (0:1,1:2, и 1 : 3) и произвольными слабыми резонансами.

Все исследования в диссертации проведены посредством использования специально разработанной для таких задач модификации редуцирующей схемы Ляпунова - Шмидта.

Основную задачу диссертации можно представить в виде следующих двух тесно связанных компонент:

1) описание геометрической структуры дискриминантного множества (каустики);

2) классификации раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям функционала (для заданного типа особенности).

В диссертации рассмотрены также два приложения:

1) к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании и

2) к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного соболевского уравнения 2-го порядка.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация теоретической схемы изучения бифуркаций критических орбит экстремалей фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления, теории групп Ли и теории гладких функций многих переменных. Основу развитой в диссертации схемы анализа составляют модифицированный метод Ляпунова - Шмидта и теория угловых особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из конечнократной критической точки, приспособленная к условиям круговой симметрии.

2. Изучены плоские сечения каустики и получена классификация раскладов бифурцирующих критических орбит в случае SO(2)—инвариантного фредгольмова функционала при условии четырехмерного вырождения с резонансами 0 : 1, 1 : 2, 1 : 3 и всеми резонансами порядков, больших 4.

3. Получено приложение к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании.

4. Получено приложение к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного соболевского уравнения 2-го порядка.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях круговой и более общей групповой симметрии.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (г.Воронеж, 2000 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (г. Челябинск, 2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2002 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2004 г.), на конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах

92] - [99].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ладыкина, Екатерина Владимировна, 2005 год

1. Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с кра-ем, простые группы Ли С&, F4 и особенности эволют / В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. 1978. - Т. 33,вып. 5(203). - С. 91-105.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики /В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

3. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений.Классификация критических точек каустик и волновых фронтов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн Заде. - М.: Наука. 1982. - 304 с.

4. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании / B.C. Бардин, С.Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.:"Эльф",1998. - С. 13-22.

5. Бергер М.С. Теория ветвления в случае нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений и систем / М.С. Бергер // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. Ред. Келлер Дж.Б., Антман С.М. М.: Мир, 1974. - С. 71-128.

6. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационногоисчисления / Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т.25, iVfl3. - С.1-11.

7. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах /Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

8. Бобылев Н.А. О бифуркации экстремалей вариационных задач /Н.А. Бобылев, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 314, N 2. - С. 265-268.

9. Борисович Ю.Г Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977 - Т.32 - Вып.4.- С.3-54.

10. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер. М.: Мир, 1977. - 208 с.

11. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1968. - 528 с.

12. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с поликруговой симметрией / А.В. Гнездилов // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж: ВГУ. 1997. N2(18). - С.19-26.

13. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / А.В. Гнездилов // Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1 - С.83-86.

14. Гнездилов А.В. Угловые особенности фредгольмовых функционалов / А.В. Гнездилов, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырева // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99-114.

15. Данилова, О.Ю. Двухмодовые бифуркации решений уравнения Кармана при наличии интегрального полуограничения / О.Ю. Данилова // Труды математического факультета. Воронеж: Изд. ВГУ, 1999. N 4 (20) (новая серия). - С. 41-50.

16. Данилова О.Ю. Редукции функционалов к возмущенным двумерным сборкам при наличии полуограничения / О.Ю. Данилова // Сборник трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд ВГПУ, 2001. - С.55-61.

17. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей при наложении симметричных и краевых особенностей / О.Ю. Данилова // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГПУ, 2001. - N 6 (новая серия). - С.44-53.

18. Данилова О.Ю. Симметричные бифуркации экстремалей вблизи края банахова многообразия / О.Ю. Данилова // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: ВГУ. 2001. -С.45-69.

19. Данилова О.Ю. Моды бифуркации в угловых критических точках / О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд. ВГУ, 2002. N 7 (новая серия). - С. 31-38

20. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. -С. 35-46.

21. Даринский Б.М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41-57.

22. Даринский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектри-ческих фазовых переходов в кристаллах / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, В.В. Шалимов // Кристаллография. 1999. -Т.44, N 4. - С. 1-5.

23. Darinskii М.М. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. -2002. V. 265. P. 31-42.

24. Даринский Б.М. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. - С.72-86.

25. Даринский Б.М. Фазовые переходы в доменных границах феррои-ков / Б.М. Даринский, А.А. Дьяченко, Ю.И. Сапронов, М.Н. Чаплыгин // Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т768, N 7. -С.920-926.

26. Егоров И.Е. Неклассические дифференциально операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов // Новосибирск: Наука. 2000.

27. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // Дифференциальные уравнения, 1989.- Т.25, N3.- С.379-387.

28. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев JL: ЛГПИ, 1989.- 80 с.

29. Зайцев В. Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // ДАН СССР, 1988-Т.299, N3.- С.542-545.

30. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин Препринт N339. М.: ИПМ АН СССР, 1988,- 44 с.

31. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. / В.Ф. Зайцев,A.В. Флегонтов Л.: ЛИИАН, 1991,- 240 с.

32. Замышляева А.А. Задача Коши для линейного уравнения соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Уравнения соболевского типа. Сб. научн. работ. Чел.ГУ, 2002. -С. 16-29.

33. Замышляева А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычисл. технологии, 2003. Т.8, № 4. -С.45-54.

34. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений /B.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов Воронеж, ВГУ. 2002. - 185 с.

35. Звягин В.Г. Индекс нулевой точки вполне непрерывного возмущения фредгольмова отображения, коммутирующего с действием тора / В.Г. Звягин // Известия ВУЗов. Математика, 1997 N2C.47-55.

36. Звягин В.Г. К теории степени эквивариантных ФоС^ВЯ—отображений / В.Г. Звягин // Доклады РАН, 1999-Т.364, N2,- С.155-157.

37. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов М.: Наука, 1983 - 280с.

38. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов /Ю.А. Изюмов, В.И. Сыромятников Москва, Наука. 1984. -247 с.

39. ИллсДж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи матем. наук. 1969. Т.24, N 3. - С. 157-210.

40. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг М.: Мир. 1982. - 416 с.

41. Кравцевич В. Бифуркация систем обратимых по времени /B. Кравцевич, Дж. By // Известия ВУЗов. Математика.- Казань, 1997.- N2.- С.75-85.

42. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления /М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамади-ев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

43. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений /М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969. - 456 с.

44. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий /C. Ленг М.: Мир,1967. - 204 с.

45. Логинов В.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

46. Матвеев С.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем / С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко, В.В. Шарко. // Матем. сборник, 1988. Т.135, N3. - С.325-345.

47. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем / В.И. Матов // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вын.7. - С.174-189.

48. Милнор Дж. Теория Морса / Дж. Милнор М.: Мир. 1965. -184 с.

49. М\тропольский Ю.О. Дослщження коливань в системах з роз-подшеними параметрами (асимптотичш методи) / Ю.О. MiTpo-польский, Б.1. Мосеенков -Видавництво КиЧвського ушверсите-ту. 1961. 123 с.

50. Ниренберг JJ. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг М.: Мир, 1977. - 232 с.

51. Обеп Ж.- П. Прикладной нелинейный анализ / Ж.-П. Обен И. Экланд М.: Мир, 1988. - 510 с.

52. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников М.: Наука, 1978,- 232 с.

53. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер М.: Мир, 1989 - 639 с.

54. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов Воронеж: изд. ВГУ, 1981. - 196 с.

55. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников -М.: Наука. 1971. 568 с.

56. Постои Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт М.: Мир. 1980. - 608 с.

57. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю.И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997-1006.

58. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т. 180, N 10. - С. 1299-1310.

59. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1. - С.94-103.

60. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. -1991. Т.49, № 1. - С.94-103.

61. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

62. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров -ЧелГУ. 2003. -179 с.

63. Свиридюк Г.А. Морфология фазовых пространств одного класса линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Вестник ЧелГУ. Матем. и мех. Челябинск, 1999. № 2. -С. 87-72.

64. Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы / А.С. Сидоркин М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 240 с.

65. Виноградов A.M. Симметрии и законы сохранения управляемой математической физики / A.M. Виноградов, И.С. Красильщик -М.: Факториал, 1997 464с.

66. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. С. 3-50.

67. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т.309, 2. - С.286-289.

68. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко М.: МГУ, 1988.- 416с.

69. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук, 1989,- Т. 44, вып. 1.- С.145-173.

70. Царев C.JI. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 1998. -№3 (новая серия). - С.73-76.

71. Царев C.JI. Устойчивость индекса Морса невырожденной критической точки гладкого фредгольмова функционала / С.Л. Царев // Сб. статей студентов и аспирантов матем. факультета ВГУ.- Воронеж: ВГУ, 2000. С. 57-61.

72. Царев C.JI. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000.- С. 132-136.

73. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С.Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

74. Швырева О.В. О бифуркациях экстремалей из вершины сим-плектического угла / О.В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 207-216.

75. Швырева О.В. Каустики и bif—расклады для краевой экстремали с трехкратным вырождением вдоль края / О.В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 7 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 149-160.

76. Швырева О.В. Бифуркации равновесных форм эйлерова стержня при наличии двух полуограничений / О.В. Швырева // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 147-159.

77. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur 11 Studia Math. S. 1934. - P. 174-178.

78. Bott R. Nondegenerate critical manifolds / R.Bott // Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

79. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. V. 1 / M. Golubitsky, D. Schaeffer N.-Y.: Springer-Verlag, 1985. - 463 P

80. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Stewart I., Theory. V.2. / M. Golubitsky, D. Schaeffer, I. Stewart -N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

81. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls// Ferroelectrics / Y.J. Ishibashi // 1989. V.98. - P.193-205.

82. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V.84, iVa 6.

83. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - V. 755. - P.77-82.

84. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables / M. Morse 11 Trans. Am. Math. Soc. 1931. - V. 33. - P. 72-91.

85. Morse M. The calculus of variations in the large / M. Morse. New York, 1934.

86. Nashed M.Z. Global invertibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. - P.229-247.

87. Роёпаги V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

88. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc / D. Siersma // Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

89. Tromba A. A Sufficient Condition for a Critical Point of a Functional to be a Minimum and its Application to Plateau's Problem / A. Tromba // Matematische Annalen. 1983. - V. 263 - P.303-312.

90. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities / C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

91. Ладыкина Е.В. О бифуркациях критических орбит для фредголь-мовых функционалов с непрерывной симметрией / Е.В. Ладыкина // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели Челябинск, 2002. -С. 62

92. Ладыкина Е.В. Критические орбиты фредгольмовых функционалов с непрерывной симметрией / Е.В. Ладыкина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов. Владимир: ВладГУ, 2002. -С.96.

93. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны / Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

94. Ладыкина Е.В. О бифуркации критических орбит функций с непрерывными симметриями /Е.В. Ладыкина // Сборник статей молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 2003. С.64-73.

95. Ладыкина Е.В. Бифуркации экстремалей функционала действия в условиях круговой симметрии /Е.В. Ладыкина // Образование, наука, производство и управление в XXI веке. Ст.Оскол, 2004. -с.300-303

96. Ладыкина Е.В. Бифуркации орбит критических точек фредгольмовых функционалов с круговой симметрией /Е.В. Ладыкина Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N13. Август, 2005. 27 с.