Математическое моделирование структур многомерных данных в классификационных задачах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Буховец, Алексей Георгиевич

• Буховец, Алексей Георгиевич
• доктор технических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор технических наук Буховец, Алексей Георгиевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КЛАССИФИКАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КЛАССИФИАЦИЙ

1.1.Методологические аспекты классификационной задачи.

1.2.Математическая формализация основных предположений классификационной задачи.

1.3 Описания алгоритмов кластерного анализа.

1.3.1. Итеративный алгоритм классификации «Форэль».

1.3.2. Иерархические агломеративные алгоритмы.

1.3.3. Алгоритм выделения локальных максимумов функции принадлежности.

1.3.4. Градиентная процедура модального алгоритма кластерного анализа.

2. ОЦЕНКА КЛАССИФИКАЦИОННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

2.1 Сравнительный анализ алгоритмов классификации.

2.1.1. Теоретическое сравнение классификационных алгоритмов.

2.1.2. Тестирование работы классификационных алгоритмов. .73 2.1.3 Комплексное использование алгоритмов классификации в задачах типологии.

2.2 Определение числа классов путём имитационного моделирования.

3. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ КЛАССИФИКАЦИИ

3.1. Основные принципы системного подхода в задачах классификации.

3.2. Механизмы формирования ципфового распределения.

3.3 Проверка выполнения ципфового распределения на разбиении совокупности объектов.

4. ПРОБЛЕМА НЕОДНОРОДНОСТИ ПРИЗНАКОВОГО ПРОСТРАНСТВА.

4.1. Логическое обоснование формальной постановки классификационной задачи в условиях неоднородности признакового пространства.

4.2 Задача классификации как задача о собственных значениях.

4.3 О выборе формы потенциала в задаче классификации.

4.4 Представление оценки плотности в задачах классификации.

5. ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД И МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУР МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ В КЛАССИФИКАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ

5.1 Сопоставление структурных особенностей исследуемых данных.

5.2 Понятие фрактальной размерности

5.3. Моделирование фрактальных структур многомерных данных.

5.4. Нахождение фрактальной размерности многомерных данных.

6. ПРИМЕНЕНИЯ КЛАССИФИКАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

6.1 Кластерный анализ и регрессионные модели с фиктивными переменными в задачах моделирования урожайности.

6.2 Применение системного подхода в задачах классификации.

6.3 Математическая модель механизма функционирования теневой экономической деятельности.

6.4. Классификационная модель сортообразцов озимой пшеницы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование структур многомерных данных в классификационных задачах»

Актуальность темы. Задача построения различного рода классификаций привлекает внимание специалистов многих отраслей на протяжении ряда последних десятилетий. За это время был выделен и унифицирован ряд задач классификации в социально - экономических и технических исследованиях, геологии, медицине, биологии других областях, разработаны специальные методы решения классификационных задач, создано современное алгоритмическое и программное обеспечение. Внедрение математических методов классификации дало наиболее значительный эффект в таких областях как управление социально - экономическими процессами, контроль качества сложных технических изделий, объективная оценка результатов новых методов лечения больных, автоматизация научных исследований.

В нашей стране и за рубежом был опубликован ряд фундаментальных работ и монографий, посвященных исследованию и решению конкретных предметных проблем с использованием кластерного анализа (см. [Айвазян С.А. и др., 1974, 1978, 1997], [Распознавание образов ., 1968], [Развитие сельских поселений, 1977]), методологии решения задач типологии и классификации (см. [Воронин, 1985], [Любищев, 1968, 1969, 1971], [Розова, 1986], [Татарова, 2004]) и методике использования кластерного анализа как такового (см. [Айвазян С.А. и др., 1974, 1989, 1998], [Дорофеюк, 1971], [Дубров A.M. и др., 2000], [Елисеева, Рукавишников, 1977], [Загоруйко 1972, 1985], [Орлов, 1991], [Мандель, 1988], [Миркин,1980], [Дюран, Оделл, 1977], [Anderberg, 1973], [Cormak, 1971], [Hartigan, 1975], [Lorr, 1983]) и др.

Однако наряду с достигнутыми успехами в этой области специалистами отмечается, что недостаточно ещё разработана методология использования математических методов классификации, отсутствует методическое обоснование использования классификационных алгоритмов, особенно в части изучения кластерной структуры и её идентификации, остается нерешёнными ряд вопросов оценки и интерпретации полученных решений. Всё это в значительной степени препятствует широкому внедрения результатов решения классификационных задач в практику и одновременно с этим делает исследование этой проблемы актуальной.

Классификационные задачи присущи самым различным областям человеческой деятельности, и проблемы, возникающие при их решении, носят междисциплинарный характер. Поэтому основным подходом к решению такого рода задач является метод математического моделирования. Именно использование математических моделей должно способствовать разрешению указанных выше проблем и обеспечить в дальнейшем более широкое внедрение классификационных задач в практику. Применение математических моделей и методов при построении классификаций позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи переменных и объектов.

Во-вторых, из чётко сформулированных соотношений и исходных данных дедуктивными методами можно получать новые выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. Эту особенность классификации связывают с дальнейшим анализом развитием полученной модели системы, которая должна обладать прогностическими свойствами.

В-третьих, методы математического моделирования и математической статистики позволяют индуктивным путём получать новые знания об объекте исследования, ранее не представленные в явной форме: оценивать форму и параметры распределений переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.

Наконец, в-четвёртых, использование математического формализма позволяет точно и компактно излагать саму суть результатов, формулировать существенные выводы и понятия. Всё это приводит к чёткому пониманию того, что именно математические модели классификации должны использоваться в практических приложениях. Или, если сформулировать эту же мысль в виде двойственного утверждения, задачи классификации должны быть помещены в контекст математизации самой науки.

Как показывает обзор традиционных методов решения классификационной задачи, дескриптивный подход к построению моделей классификации себя в основном уже исчерпал. Свидетельством этого может служить тот факт, что практически все современные профессиональные системы статистической обработки данных, например, такие как STATISTICA, STATGRAPHICS, SPSS, включают в себя примерно один и тот же набор алгоритмов кластерного анализа, созданных в предыдущие десятилетия.

Рассматривая задачу построения классификации с точки зрения исследования структуры многомерных данных, можно прийти к пониманию того, что следующий шаг в дальнейшем развитии этого направления должен заключаться в изучении механизмов формирования структуры многомерных данных, их генезиса. Эта идея неоднократно высказывалась в литературе различными авторами (см., например, [Айвазян, Мхитарян, 1998, с.324]). Правда, обычно развитие этой идеи сводилось к тому, чтобы оценить имеют ли данные вероятностную (стохастическую) природу, или утверждения такого рода неправомочны, и тогда следует рассматривать классификационную задачу как задачу анализа данных (data analysis). Вместе с тем наличие механизма порождения данных делает возможным использование классификационной модели в качестве основы для дальнейшего прогноза и верификации.

Рассмотрение множества исходных данных как отображения (представления) некоторой системы, предполагает два возможных способа организации этой системы и проявления её целостности: внешний и внутренний (см., например, [Шрейдер, 1982, с.67]). Обычно представление системы даётся посредством её членения, или выделения классов, т.е. математическое представление системы в таком виде и принято считать моделью системы.

В соответствии с этим в нашей работе предлагается рассмотреть два подхода к моделированию механизмов формирования структур многомерных данных. Первый связан с рассмотрением преимущественно внешних механизмов формирования системы как целостной совокупности. В этом случае структура может быть проинтерпретирована как реакция исследуемой системы на внешнее воздействие. Этот подход основывается на предположении о неоднородности признакового пространства, что находит своё выражение в модели посредством задания некоторого потенциала.

Второй подход основывается на предположении о ведущей роли внутренних процессов формирования структуры исследуемого объекта. Сопоставление результатов решения некоторых дифференциальных уравнений, или полученных на их основе разностных схем, позволяет, на наш взгляд, выдвинуть предположение о том, что исследуемые данные могут представлять собой результаты развития в признаковом пространстве некоторого эволюционного процесса, для моделирования которого предлагается использовать итерированные функциональные системы.

Перечисленные особенности предложенного подхода делают задачу разработки математических моделей классификации, учитывающих механизмы формирования структур многомерных данных весьма перспективной и актуальной.

Тематика работы соответствует научным направлениям ВГАУ «Построение и численная реализация новых математических моделей технологических и производственных процессов в АПК» № г.р. 01.200.1003987 и «Методы получения исходного материала и новых сортов озимой пшеницы и тритикале» № г.р. 01.200.1003984. Цель работы. Разработка методологии построения и анализа математических моделей механизмов формирования кластерных структур многомерных данных, обеспечивающей решение классификационных задач в социальных, экономических, биологических и других предметных областях знаний.

Достижение сформулированной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

• Разработка и исследование математических моделей механизмов формирования структур многомерных данных с учетом неоднородности признакового пространства.

• Разработка и исследование способов оценки структуры многомерных данных на базе анализа фрактальных размерностей данных.

• Создание моделей структур многомерных данных посредством итеративных функциональных систем и исследование их математических свойств.

• Разработка методики анализа и интерпретации результатов работы классификационных алгоритмов в рамках системного подхода, базирующейся на исследовании ранговых распределений.

• Разработка статистических процедур для оценки числа классов разбиений на основе результатов имитационного моделирования.

• Апробация выдвинутых предложений при изучении социальных, экономических, биологических и других объектов исследования.

Методы исследования. В работе используется общая методология математического моделирования сложных систем, последовательно проводится подход построения классификации на основе исследования структуры многомерных данных. Для этого используются методы математической статистики, теории дифференциальных уравнений, методы численного эксперимента и имитационного моделирования, теории фракталов.

Поскольку в области кластерного анализа не существует подходов, позволяющих получить аналитическое решение задачи, все предложенные процедуры и алгоритмы являются численными и имеют соответствующую машинную реализацию и программное обеспечение. На защиту выносятся:

• Методология моделирования классификационных задач, основывающаяся на исследовании механизмов формирования структурных особенностей многомерных данных.

• Методика сравнения структур данных на основе вычисления фрактальных размерностей многомерных данных, полученных в результате работы алгоритмов кластерного анализа.

• Методика моделирования структур многомерных данных с использованием результатов работы итеративных функциональных систем.

• Методика оценки числа классов классификационных разбиений, основанная на результатах имитационного моделирования.

• Методика анализа и интерпретации результатов работы классификационных алгоритмов в рамках системного подхода, базирующаяся на исследовании ранговых распределений.

• Результаты применения предложенных методик в решении практических задачах.

Научная новизна. В работе представлены следующие новые научные результаты:

• Представлен новый методологический подход к задаче классификации, основанный на моделировании механизмов формирования структур многомерных данных.

• Разработана и исследована модель классификационной задачи, основывающаяся на предположении о неоднородности признакового пространства; продемонстрированы возможности описания задачи классификации как задачи о нахождении собственных функций, соответствующих плотностям распределения отдельных классов.

• Разработан новый подход к анализу структуры многомерных данных как фрактальной структуры, продемонстрированы возможности формирования структуры данных в результате выполнения итеративной процедуры.

• Возможности оценки результатов классификации и их интерпретации рассмотрены с точки зрения системного подхода, предложена методика оценки параметра рангового распределения методом имитационного моделирования.

• Предложен новый подход к оценке числа классов разбиения, основанный на методе имитационного моделирования, работоспособность которого продемонстрирована в ходе решения практических задач.

• Приведены результаты решения конкретных практических задач, основывающихся на предложенных методических разработках, в социологии, экономике, селекции и генетике. Практическая ценность. Практическую ценность работы составляют результаты, полученные в таких предметных областях как социология, моделирование экономических систем, а также моделирование в селекции и семеноводстве.

В социологии - предложен новый подход к анализу эмпирической информации, позволяющий установить системность социального объекта.

В моделировании экономических процессов предложена модель оценки уровня сокрытия доходов физических лиц, модель формирования и функционирования теневой экономической деятельности.

В селекции и семеноводстве предложена классификационная модель сортообразцов озимой пшеницы, представляющая практический интерес с точки зрения получения гетерогенных популяций с лучшими сочетаниями признаков.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на Всесоюзной научной конференции «Проблемы применения математических методов и ЭВМ в социологических исследованиях» (Звенигород, 1978), на Всесоюзной школе «Программно -алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистического анализа» (Цахкадзор, 1979), на I Всесоюзной конференции «Системное моделирование социально - экономических процессов» (Воронеж, 1980), на Всесоюзном симпозиуме «Проблемы сравнительных социологических исследований» (Черноголовка, 1982), на II Всесоюзной научной конференции «Системное моделирование социально - экономических процессов» (Таллин, 1983), на Всесоюзной конференции «Теория, методология и практика системных исследований» (Москва, 1984), на 3-й Всесоюзной конференции «Методы социологических исследований» (Звенигород, 1989), на «The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics.» (Hamburg,1995), на 3-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 1996), на Международной конференции «Экология. Экологическое образование. Нелинейное мышление» (Воронеж, 1997), на V международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 1998), на Всероссийской конференции «Математическое моделирование. Методы, приложения и средства» (Воронеж, 1998), на 21-й международной школе - семинаре «Системное моделирование социально - экономических процессов» (Старый Оскол, 1999), на VII международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование.» (Ростов - на - Дону, 1999), на Второй международной конференции «Средства математического моделирования» (С. -Петербург, 1999), на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2000), на Международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» (Воронеж, 2000), на 23-й международной школе - семинар «Системное моделирование социально - экономических процессов» (Дивногорск, 2000), на II Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001), на 8-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2001), на 9-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2002), 10-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2003), на Международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» (Воронеж, 2003), на IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Петрозаводск, 2003), на 11-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2004), на Всероссийской научно - практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы - 2004» (Воронеж, 2004), на 12-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005), на Международной научно -практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2005), на 28-й международной научной школе -семинаре «Системное моделирование социально - экономических процессов» (Н. Новгород, 2005), на международной научно -практической конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), на международной научно - практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2006), на Всероссийской научной конференции «Социологические методы в современной исследовательской практике» (Москва, 2006). Публикации. По теме диссертации опубликовано 78 работ. Основные положения диссертации представлены в монографии «Типология и классификация в социологических исследованиях», М.: Наука, 1982, в журналах РАН и центральной печати, материалах международных конференций.

Объём и структура диссертации. Диссертация изложена на 259 страницах машинописного текста, состоит из введения, шести глав, 37 рисунка, 16 таблиц, заключения, списка литературы, включающего 162 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Буховец, Алексей Георгиевич

Результаты работы остальных четырех алгоритмов приведены в таблице 5.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

6 7 8 9 10 11 12 13 14 X

Рис. 3. Модельный пример 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрение классификационной задачи, как задачи исследования структуры многомерных данных приводит к необходимости изучения механизмов формирования таких структур. Структурные особенности, которые фиксируют алгоритмы классификации, составили основу математической модели такого подхода к решению задачи классификации.

Первый из рассмотренных подходов связан с отказом от однородности признакового пространства. Предполагается, что неоднородность пространства может быть представлена в виде некоторого потенциала Щх). Этот потенциал, являясь функцией от координат, действует на объекты по-разному в разных точках пространства. Взаимодействуя с объектами в пространстве, потенциал Щх) препятствует их свободному перемещению и тем самым формирует структуру. Эти предположения, как показано в работе, можно формализовать и представить в виде математической модели, основу которой составляет уравнение типа уравнения Шрёдингера. В рамках этой модели получает своё объяснение не только появление дискретной структуры классификационной задачи, естественно возникающей при решении полученного уравнения, но и также отсутствие структуры, - в случае, когда потенциал имеет, например, симметричную форму, происходит совмещение в признаковом пространстве мод плотностей распределения отдельных классов. А в случае, когда спектр решаемого уравнения непрерывен, в структуре данных с необходимостью будет присутствовать стохастический шум -что делает в принципе невозможным ставить и решать классификационную задачу. В работе приведёны модельные примеры, иллюстрирующие сформулированные утверждения, а также содержательный пример, демонстрирующий работоспособность этого подхода.

В рамках формализма предложенной модели имеется возможность объяснения и некоторых других особенностей задач статистического анализа данных. В частности, в работе рассматривается модель функционирования теневой экономической деятельности.

Таким образом, в задаче классификации, традиционно считающейся задачей статистического анализа данных, появляется возможность использования некоторых разделов теории дифференциальных уравнений, которая ранее не привлекалась к исследованию такого рода задач. Дальнейшее развитие этого направления в исследовании структур многомерных данных позволяет выдвинуть предположение о том, что анализируемые данные могут представлять собой аттрактор некоторой динамической системы. В связи с этим предположением для сравнения многомерных данных предлагается использовать понятие фрактальной размерности. Сопоставление процедур решения этих задач показывает, что как в теории фракталов при вычислении фрактальной размерности, так и в задачах кластерного анализа при работе некоторых итеративных алгоритмов, приходится строить покрытие множества исходных данных признакового пространства сферами различного радиуса. Это сходство в реализации решений разных задач областей математики наводит на мысль о близости методов и целей, а, следовательно, и необходимости их совместного рассмотрения.

Сравнение структур многомерных данных с очевидностью подразумевает возможность иметь данные, фрактальный характер которых не вызывает сомнений. Для этого в работе предлагается генерировать многомерные данные посредством специальной итерированной процедуры. Приводится доказательство сходимости этой процедуры и фрактальности получаемых множеств точек. Также приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие, что данные, не имеющие фрактальной структуры, полученные к примеру с помощью датчиков случайных чисел, и данные, генерируемые предложенной процедурой, имеют значимо различающиеся фрактальные размерности.

Кроме этого в работе исследуется проблема оценки ранговых распределений в классификационной задаче. Была установлена связь целостности системы и выполнения на ранговом распределении системы закона Ципфа. Однако способы проверки достоверности этого факта не всегда давали результат, хорошо согласующийся с очевидным положением дел. Решение этого вопроса, предлагаемое в работе, базируется на использовании имитационного моделирования. В работе приведен пример решения практической задачи, иллюстрирующей

•л возможности и работоспособность такого подхода.

Этот же методом предлагается использовать при решении такого важного для практических задач вопроса каким является вопрос о числе классов в результирующем разбиении. Основные положения предложенного подхода были использованы при построении классификационной модели сортообразцов озимой пшеницы.

Обобщая все изложенное, сформулируем ещё раз основные результаты диссертационной работы:

• Разработана модель классификационной задачи, учитывающая неоднородность признакового пространства за счёт введения в рассмотрение потенциала. Показано, что выполнение этих предположений логически приводит к тому, что распределение элементов системы в признаковом пространстве может быть описано уравнением типа уравнения Шрёдингера. Интегрирование этого уравнения, при накладываемых на функцию состояния естественных ограничениях конечности и непрерывной дифференцируемое™, позволяет объяснить наличие устойчивых состояний в системе объектов. Эти состояния в дальнейшем соотносятся с эмпирическими классами, выделяемыми алгоритмами кластерного анализа.

• Представлена методика сравнения структур многомерных данных на базе вычисления их фрактальных размерностей. Для исследования структурных параметров предлагается применить метод статистических испытаний. Это приводит к тому, что фрактальная размерность рассматривается уже не только как предел некоторой порождающей процедуры, но и как некоторая случайная величина, значение которой предстоит оценить в результате проделанных вычислений.

• Разработана и исследована процедура генерирования многомерных данных, обладающих фрактальной структурой. Доказана сходимость этой процедуры и фрактальность получаемых в ходе её реализации многомерных данных.

• Разработана методика анализа и интерпретации результирующего разбиения, базирующаяся на исследовании рангового распределения. Показано, что использование имитационного моделирования позволяет установить выполнение закона Ципфа и ответить на вопрос о целостности рассматриваемой совокупности. Пригодность процедуры к практическому использованию продемонстрирована на решении конкретной содержательной задачи построения типологии увольняющихся.

• Предложена процедура оценки числа классов в результирующем разбиении, основанная на проверке статистической гипотезы. Нулевая гипотеза формулируется как гипотеза об отсутствии в данных какой-либо структуры. В качестве данных, соответствующих нулевой гипотезе, используются многомерные данные, имеющие нормальное распределение. Пригодность процедуры к практическому использованию продемонстрирована на решении конкретной содержательной задачи построения классификационной модели сортообразцов озимой пшеницы.

Таким образом, в настоящей работе представлена методологии построения и анализа математических моделей механизмов формирования кластерных структур многомерных данных, продемонстрирована её работоспособность и практическая целесообразность при решении классификационных задач в различных предметных областях. *

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Буховец, Алексей Георгиевич, 2006 год

1. Айвазян С.А. Классификация многомерных наблюдений / Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов O.B. М.: Статистика, 1974.-240 с.

2. Айвазян С.А. Модель формирования распределения населения России по величине среднедушевого дохода (экспертно-статистический подход). // Экономика и математические методы.1997. т.ЗЗ, вып. 4. С.74-86.

3. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов / Айвазян С.А., Мхитарян B.C. М.: ЮНИТИ,1998,- 1022 с.

4. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности / Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. М.: Финансы и статистика, 1989, - 607 с.

5. Александров В.В. Анализ данных на ЭВМ (на примере системы СИТО) / Александров В.В., Алексеев А.И., Горский Н.Д. М.: Финансы и статистика, 1990, 192 с.

6. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. -М.:- ФИЗМАТГИЗ, 1963. 500 с.

7. Аптон Г. Дж. Анализ таблиц сопряженности. М.: Финансы и статистика, 1982. - 143 с.

8. Арсенин В.Я., Крянев A.B. Применение статистических методов решения некорректных задач для обработки " результатов физических экспериментов. В кн.: Автоматизация научных исследований в экспериментальной физике. М.: Энергоатомиздат, 1987, с. 19 - 30.

9. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

10. Ю.Богданов Ю.И. Основная задача статистического анализа данных: корневой подход. М.: МИЭТ, 2002. - 96 с.

11. П.Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. -Москва Ижевск, 2001.

12. Бокий Г.Б. Вопросы классификации и системного подхода в минералогии / Классификация в современной науке. Сборник научных трудов, Новосибирск, Наука, 1989, с. 87 100.

13. Бокун Н., Кулибаба И. Проблемы статистической оценки теневой экономики // Вопросы статистики. 1997. - №7.

14. Болч Б. Многомерные статистические методы в экономике / Б. Болч, К. Хуань. -М.: Статистика, 1979. 317 с.

15. Большая Советская энциклопедия, т.12, М., 1973, с. 269.

16. Большой толковый социологический словарь. / Под ред. Д. Джери, Д. Джерри / Пер. с анг. H.H. Марчук. М., 1999, т.2.

17. Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2001. - 655 с.

18. Буховец А.Г. Квантово-механическая интерпретация задачи многомерной классификации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2001, т.8, вып.1, с. 120-121.

19. Буховец А.Г. Моделирование фрактальных структур в классификационных задачах. // Экономическое прогнозирование: модели и методы. Материалы международной научно -практической конференции 29 30 апреля 2005 г. - Воронеж: ВГУ, 2005.-4.2, с, 448-453.

20. Буховец А.Г. Модель классификационной задачи. // Вестник. Научно-технический журнал Воронежского государственного технического университета. Воронеж, 2002, с.40-45.

21. Буховец А.Г. Об интерпретации результатов математической обработки данных социологических исследований. // Математические методы и модели в социологии. Вып.2, ИСИ АН СССР, 1991, с.36-42.

22. Буховец А.Г. Об одном подходе к задаче классификации // Социология: методология, методы, математические модели. 2004. № 18. С.82-105.

23. Буховец А.Г. Системный подход и ранговые распределения в задачах классификации. // Вестник ВГУ, серия «Экономика и управление», 2005, №1, с. 130 142.

24. Буховец А.Г., Гаськов В.М. Изучение трудовой мобильности методами многомерной классификации. // Проблемы воспроизводства и миграции населения. М.; ИСИ АН СССР, 1981, с. 215-228.

25. Буховец А.Г., Гаськов В.М. Стратегия использования методов многомерной классификации при изучении социально-экономических процессов. // Математико-статистические методы анализа в социологических исследованиях. М., ИСИ АН СССР, 1980, с.27-36.

26. Буховец А.Г, Дементьев С.Н., Яновский Л.П, Хоршева Т.Е. О механизме формирования ципфовских распределений при моделировании урожайности зерновых культур. // Труды III Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» М.; 1996, с. 71-76.

27. Буховец А.Г, Кузнецов А.Г, Соловьёв A.C., Разгонер A.C. Алгоритм классификации, использующий понятие нечёткого множества и его применение. // Опыт применения ЭВМ в социологических исследованиях. М.; ИСИ АН СССР, 1977, с.91-100.

28. Буховец А.Г, Семёнов М.Е. Определение фрактальной размерности данных в задачах многомерной классификации. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М, 2006, т. 13, вып. 1, с. 86.

29. Буховец А.Г, Соловьев A.C. Критерий системности социально-экономических объектов // Математические методы в социологических исследованиях. М.: ИСИ АН СССР, 1984, стр. 28-36.

30. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979, 448 с.

31. Зб.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.-Л.: 1950,387 с.

32. Гордон, Ж. К. Теоретическая археология. М.: 1983, с.116.

33. Гуд И. Дж. Ботриология ботриологии. // Классификация и кластер, M.: Мир, 1980, с. 66- 82.

34. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. -М.: Постмаркет, 2001,184 с.

35. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.

36. Дорофеюк A.A. Алгоритмы автоматической классификации (обзор) //Автоматика и телемеханика, 1971, № 12, с. 78 113.

37. Доспехов Б. А. Методика полевого опыта (с основами статистической обработки результатов исследований) / Б.А. Доспехов 5-е изд., доп. и перераб . - М.: Агропромиздат, 1985. -351с.

38. Доспехов Б. А. Методика полевого опыта (с основами статистической обработки результатов исследований) / Б.А. Доспехов 5-е изд., доп. и перераб . - М.: Агропромиздат, 1985. -351 с.

39. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2000.-352 с.

40. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ / Пер с англ.- М.: Статистика, 1977. 128 с.

41. Елисеева И.И., Рукавишников В.О. Группировка, корреляция, распознавание образов (Статистические методы классификации и измерения связей). М.: статистика, 1977,245 с.

42. Измерение теневой деятельности / Под. ред. И.И. Елисеевой и А.Н. Щириной. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2003. - 269 с.

43. Интерпретация и анализ данных в социологических исследованиях. -М.: Наука, 1987.-252 с.

44. Кайгородов А.И. Естественная зональная классификация климатов земного шара. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

45. Кедров Б.М. Классификация. Философская энциклопедия. Т.2. М.: Советская энциклопедия, 1962.

46. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

47. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976, - 736 с.

48. Классификация и кластер. Под ред. Дж. Вэн. Райзин. М.: Мир, 1980, 389 с.

49. Князева E.H., Курдюмов С.П. Будущее и его горизонты: методология в прогнозировании. В сб. Синергетика. Труды семинара. Т.4. Естественнонаучные, социальные и гуманитарные аспекты. М.: МГУ, 2001. -с.5 - 19.

50. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

51. Козлов Ю.Г. Теневая экономика и преступность // Вопросы экономики. 1990. - №3.

52. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

53. Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. -СПб.: Питер. 2004 404 с.

54. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

55. Крянев A.B., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003. - 216 с.

56. Курносов А.П, Буховец А.Г., Давние В.В., Рахметан Р.У. Дискретно-непрерывная модель урожайности. // Математические методы управления сложными системами и их приложения. Всесоюзная конференция. М.; 1984., с. 121 123.

57. Курносов А.П., Буховец А.Г.,., Давние, Рахметан Р.У. Об одном подходе к моделированию урожайности. // Оптимизация размещения, специализации и концентрации сельскохозяйственного производства. Сб. научн. трудов., Воронеж, 1984, с. 111 -117.

58. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. М.: МФТИ, 2000.

59. Любищев A.A. О количественной оценке сходства. В сб.: Применение математических методов в биологии. ЛГУ, 1969.

60. Любищев A.A. О критериях реальности в таксономии. // Информационные вопросы семиотики, лингвистики и автоматического перевода. М.: ВИНИТИ, 1971, вып. 1, с.67- 82.

61. Любищев A.A. Проблемы систематики. В кн.: Проблемы эволюции. Новосибирск, Наука, 1968, т.1, с.7 - 9.

62. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

63. Манд ель И. Д. Кластерный анализ. М.: Финансы и статистика, 1988,- 176 е.: ил.

64. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. М. - Ижевск, 2004, 256 стр.

65. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука. - 1973.

66. Маслов В.П. Эконофизика и квантовая статистика. // Математические заметки. Том 72, вып. 6., 2002, с. 883 891.

67. Математические методы анализа и интерпретация социологических данных. М.: Наука, 1989. - 173 с.

68. Международный классификатор рода Triricum L. / Составители В. Ф. Дорофеев, М. И. Руденко, А. А. Филатенко. JI., 1984.

69. Мережко А. Ф. Проблема доноров в селекции растений / А. Ф. Мережко. СПб, 1994. - 128 с.

70. Методика государственного сортоиспытания сельскохозяйственных культур. М., 1989.

71. Методы анализа данных: Подход, основанный на методе динамических сгущений. М.: Финансы и статистика, 1985. -357 с.

72. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. М.: Статистика, 1980,319 с., ил.

73. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков. М.: Статистика, 1976, 166 с.

74. Многомерные классификации в социально экономических исследованиях. Отв. ред. В. Жуковская. М.: 1973, вып. 2.

75. Моделирование в социологических исследованиях. // И.В. Бестужев Лада, В.Н. Варыгин, В.А. Малахов - М.: Наука, 1978 -103 с.

76. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.

77. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 160 с.

78. Мучник И.Б., Новиков С.Г., Петренко Е.С. Метод структурный классификации в задаче построения типологии городов по социально демографическим характеристикам населения // Социологические исследования, 1975, №2.

79. Налимов В.В. Вероятностная модель языка. // М.: Наука 1979, -303 с.

80. Налимов В.В. Мир как геометрия и мера. // Разбрасываю мысли. В пути и на перепутье. М.'Прогресс-Традиция, 2000 - 344 е., ил.

81. Налимов В.В. Теория эксперимента. // М.: Наука 1971.

82. Нейман фон Дж. Математические основы квантовой механики. -М.: Наука, 1964.

83. Огурцов А.П. Типология // Новая философская энциклопедия. М., 2001.Т.4. с. 69-72.94.0рлов А.И. Заметки по теории классификации. Социология: методология, методы, математические модели. 1991, № 2, с.28 -50.

84. Орлов А.И. Устойчивость в социально экономических моделях. М.: Наука, 1979,296 с.96.0рлов А.И. Эконометрика: учебник для вузов. М.: Экзамен, 2003, - 576 с.

85. Пайтген X. О., Рихтер П. X. Красота фракталов. М.: Мир, 1993.

86. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. М.: Мир. 2000. - 333 с.ил.

87. Пешек И. Взаимодействие генотипов и среды и анализ продукционной устойчивости / И. Пешек, И. Гартман, И. Недерле // Взаимодействие генотип среда и его роль в селекции. -Краснодар, 1988. - С. 19-35.

88. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1967,237 с.

89. Ю1.Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1989. -351 е.: ил.

90. Развитие сельских поселений (лингвистический метод типологического анализа социальных объектов). Под ред. Т.И. Заславской, И.Б. Мучника. М.: Статистика, 1977.

91. Распознавание образов в социальных исследованиях. Отв. ред. Загоруйко Н.Г., Заславская Т.И. Новосибирск, Наука, 1968, -196 с.

92. Ю4.Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003,333 с.

93. Розова С.С. Классификационная проблема в современной науке. -Новосибирск: Наука, 1986,223 с.

94. Розова С.С. Классификация как метод научного познания (опыт анализа функции классификации в познавательной деятельности)- В Философские проблемы сознания и познания. -Новосибирск, Наука, 1965, с. 255 278.

95. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

96. Садовский М.В. Лекции по статистической физике. Москва -Ижевск, 2003, 336 с.

97. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Дрофа, 2001. - 384 с.

98. Самарский A.A. Теория разностных схем М., Наука, 1983, 616 с.

99. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. -ВИНИТИ, вып. 36,1990. 185 с.

100. Социально-экономическое положение России. Январь-сентябрь 1996 г. №9. Госкомитет РФ по статистике, 1996, № 9.

101. ПЗ.Струмилин С.Г. Естественно историческое районирование СССР. Методология работы. - М. - Л.: Изд-во АН СССР, 1947.

102. Татарова Г.Г. Основы типологического анализа в социологических исследованиях: Учебное пособие / Г.Г. Татарова. М.: Издательский дом «Новый учебник», 2004. - 206 с.

103. Терлецкий Я.П. Статистическая физика. М.: Высшая школа, 1994.-350 с.

104. Типология и классификация в социологических исследованиях.- М.: Наука, 1982,296 с.

105. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач . -М.: Наука, 1979.

106. Типология потребления. М.: Наука, 1978,168 с.

107. Толстова Ю.Н. Глава 2. Этапы решения задач типологии. Комплексное использование математических методов. В кн.: Типология и классификация. М.: Наука, 1982, с. 29 - 56.

108. Толстова Ю.Н. Корректность функции расстояния относительно используемых шкал в социально экономических задачах. - Экономика и математические методы, 1978, № 3.

109. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978,411 с.

110. Тюрин Ю.Н., Макаров A.A. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. М.: ИНФРА-М, 2003. - 544 е., ил.

111. Фадцева Л.Д., Якубовского О.А Лекции по квантовой механике для студентов математиков», 2-ое изд.,. - М., 2001, с. 256.

112. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ: Пер. с англ./ Под ред. И. С. Енюкова. М.: Финансы и статистика. 1989. -215с.: ил.

113. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. 4-е изд.-М.: Политиздат, 1981. - 445 с

114. Философский энциклопедический словарь. М., Советская энциклопедия, 1983.

115. Фок A.B. Начала квантовой механики М., Наука, 1976,376 с.

116. Формальная логика. Учебник для философских факультетов университетов.-М.: 1977.

117. Хайтун С.Д. Наукометрия. Состояние и перспективы. М.: Наука, 1983, - 344 с.

118. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.

119. Холево A.C. Безгранично делимые измерения в квантовой теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения, вып. 31, №3,1986-е. 560-564.

120. Холево А.С. Статистическая структура квантовой механики. -Москва Ижевск: 2003. - 192 с.

121. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 296 с.

122. Шрейдер Ю.А. Логика классификации. Научно - техническая информация, Сер. 1,1973, №5, с. 3 - 7.

123. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. М.: Радио и связь, 1982.- 152 е., ил.

124. Шурыгин. A.M. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз. М.: Финансы и статистика, 2ООО.

125. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002, - 344 с.

126. Яблонский А.И. Математические модели в исследовании науки. -М.; Наука, 1986.

127. Яновский Л.П. Введение в эконометрику / Яновский Л.П., Буховец А.Г. Воронеж: АОНО «ИММиФ», 2003,176 с.

128. Anderberg М. R. Cluster Analysis for Applications. Academic Press, New York, 1973.

129. Barnsey M. Fractals Everywhere. Academic Press, Boston, 1988.

130. Cormak R.V. A Review of Classification // J. of the Royal Statistical society, 1971. vol. 134, p. 125 - 162.

131. Everitt B. Cluster Analysis. New York, 1974.

132. Fisher R.A. The Use Multiple Measurement in Taxonomy Problems. Hum. Genet. 1949,1936, № 6, p. 179 188.

133. Fisher L., Van Ness J.W. Admissible Clustering Procedure // Biometrika, 1971, vol. 58, № 1, p. 91 104.

134. Friedmann H.P., Rubin J. On Some Invariant Criteria for Grouping Data. JASA, 1967, p. 1159-1178.

135. Fromm R.F., Norsouse R.A. A CLASS: a Nonparametric Clustering Algorithm. Patter Recognition, 1976, vol, 8, p. 107 - 114.

136. Gitman I., Levin M. An Algorithm for Detecting Unimodal Fuzzy Sets and Its Application as a Dustering Technique. IEEE Trans. Comput., 1970 v. C-15, № 7, pp. 583 593.

137. Hartigan J.A. Clustering Algorithms. London 1975.

138. Koontz W., Narendra P., Fukunaga R. A Graph Theoretic Approach to Nonparametric Clustering Analysis. IEEE Trans. Comput., 1976, v C-25, № 9, pp. 936 - 943.

139. Lorenz H.-W. Nonlinear Dynamical Economics Chaotic Motion. -Berlin.: Springer-Verlag, 1993.

140. Lorr M. Cluster Analysis for Social Sciences. San Francisco: Jossey -Bass, 1983.

141. MacQueen J. Some Methods of Classification and Analysis of Multivariate Data (Observations) In Proc. 5-th Berkeley Symp. on Math. Prob. And Statist., University of California Press, Berkeley, 1967, v. 1, p.281 -297.

142. Mosteller F., Tukey J.W. Data Analysis and Regression: A Second Course in Statistics/ Reading. Addison Wesley, 1977.

143. Odell P.L., Duran B.S. Cluster Analysis (a survey). Berlin, 1974.

144. Parzen E. On estimation of probabilities for sums of bounded random variables // Annals of Mathematical Statistics. 1962, v. 33, p. 1065-1076.

145. Renyi A. Probability Theory. Amsterdam: North-Holland 1970.

146. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // Annals of Mathematical Statistics. 1956. v.27, p. 832-835.

147. Software Digest Rating Report, 1991, vol. 8, № 5.

148. Sokal R., Sneth P. Numerical Taxonomy. San Francisco: W.H. Freeman, 1973.

149. Sokal R., Sneth P. Principles of Numerical Taxonomy. San Francisco: W.H. Freeman, 1963.

150. Zipf G.K. Human Behavior and the principle of Least Effort. Cambridge 1949.1. СПРАВКАо применении в ООО «Воронежская инвестиционная палата» научных разработок А.Г. Буховца

151. Буховец А.Г. ведет исследования по проблемам построения классификаций на основе формирования структур объектов со сравнимым горизонтом постоянной прибыльности, что имеет существенное значение при оценках предприятий на рынке слияний и поглощений.

152. Таким образом, разработанные А.Г. Буховцом методики, имеют ясные перспективы практического применения в деятельности инвестиционных компаний и банков.1. Директор по развитию

153. ООО «Воронежская инвестиционная палата»,