Математическое моделирование и численные расчеты технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Михайлов, Иван Сергеевич

• Михайлов, Иван Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Михайлов, Иван Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

0.1. Математическое моделирование наноструктур как направление развития нанотехнологий.

0.2. Общие сведения об углеродных нанотрубках.

0.3. Внутримолекулярные и межмолекулярные взаимодействия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численные расчеты технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок»

на защиту.18

Глава 1. Математическая модель углеродной нанотрубки в виде многослойной анизотропной оболочки и ее использование в CAD-, САЕ-системах.,.^ 26

1.1. Анизотропия наноструктур и наноматериалов.26

1.2. Изотропный и анизотропный графен.28

1.3. Применение теории анизотропных многослойных оболочек в моделировании нанообъектов.31

1.4. Нанотрубка как многослойная анизотропная оболочка.32

Глава 2. Математические модели внутримолекулярного взаимодействия, связанные с ортогональными финитными функциями (ОФФ), и численные алгоритмы реализации этих моделей.33

2.1. Ортогональные финитные функции, построенные на основе сплайнов.33

2.2. Скалярное произведение двух соседних сеточных ОФФ. 35

2.3. Модель потенциала межатомного взаимодействия, связанная с кусочно-линейными ОФФ.36

2.4. Анализ общего случая построения моделей потенциалов межатомного взаимодействия на основе кусочно-линейных ОФФ. 50

2.5. Анализ методики построения математических моделей потенциала с помощью скалярного произведения ОФФ, основанных на использовании свертки.54

2.6. Построение математических моделей потенциала с помощью одной ОФФ, на основе свертки.«.60

2.7. Численный алгоритм моделирования нанообъектов методом молекулярной динамики с использованием потенциала ОФФ.67

Глава 3. Комплекс программ CompINano, включающий

Nanoengineer-1 и ANSYS.75

3.1. Обзор свободно распространяемых программных средств моделирования в наномасштабе.75

3.2. О применении классических CAD-, CAE-систем в моделировании наноструктур.77

3.3. Основные форматы моделей наноструктур в программах.

STEP как формат моделей наноструктур.78

3.4. Модификация открытого кода программы Nanoengineer-1 для создания комплекса программ ANSYS и Nanoengineer-1 и возможности сохранения модели наноструктуры в формате STEP.81

3.5. Модификация открытого кода программы Nanoengineer-1, связанная с добавлением в нее новых потенциалов на основе ОФФ. 84

3.6. Об использовании ANSYS в наномасштабе в комплексе программ.88

Глава 4. Моделирование и численные расчеты на ЭВМ технических наносистем.91

4.1. Моделирование и расчет свободных колебаний технической системы - двух многослойных углеродных нанотрубок, соединенных химической связью.91

4.2. Моделирование и расчет вероятностного распределения параметров свободных колебаний технических систем - групп многослойных углеродных нанотрубок, случайным образом соединенных химической связью.100

4.3. Расчет оптимальных параметров технической системы -нанозонда, контактирующего с твердой поверхностью.103

4.4. Определение напряженно-деформированного состояния технической системы - нанопластинки, состоящей из связанных химической связью многослойных наноторов.

Свойства нового наноматериала.107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.109

Литература.111

Приложение №1. Листинги кода программных модулей «STEP export»,

ANSYS start» и «Методы ОФФ».124

Приложение №2. Листинги кода моделей технических систем на языке

APDL.133

Приложение №3. Акт о внедрении результатов диссертационной работы.135

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Математическое моделирование наноструктур как направление развития нанотехнологий

Математическое моделирование наноструктур - это одно из направлений развивающейся науки - нанотехнологии.

Нанотехнологии объединяют множество отраслей науки, характерной чертой которых является наномасштаб объектов исследования. Исследуются атомы, молекулы, молекулярные системы, наномеханизмы. Изучаются и учитываются их химические, физические, механические и другие новые и известные свойства.

К настоящему времени понятие "нанотехнология", по видимому, не устоялось. Приведем одно из определений, взятое из статьи Еленина Г.Г. [1, с. 32]: «Нанотехнологией называется междисциплинарная область науки, в которой изучаются закономерности физико-химических процессов в пространственных областях нанометровых размеров с целью управления отдельными атомами, молекулами, молекулярными системами при создании новых молекул, наноструктур, наноустройств и материалов со специальными физическими, химическими и биологическими свойствами».

Главным импульсом к развитию нанотехнологий послужило открытие новых аллотропных форм углерода. Аллотропия - существование химических элементов в виде двух или более простых веществ. Может быть обусловлена образованием молекул с различным числом однотипных атомов (например, кислород СЬ и озон 03), либо кристаллов различных модификаций [2].

Начиная с 1985 года [3], было открыто несколько новых аллотропных форм углерода с различными модификациями кристаллической решетки, составляющими углеродные кластеры. Кластеры - это компактные обособленные группы, связанных друг с другом атомов, молекул или ионов, которые обладают свойствами, в той или иной степени отличными от свойств составляющих их элементов [4].

В число таких объектов входят:

1. Фуллерены [3] - ряд атомных кластеров С„ (п > 20), представляющих собой построенные из атомов углерода замкнутые выпуклые многогранники с пяти- и шестиугольными гранями [4].

Рис.1. Фуллерены

2. Углеродные нанотрубки — полые цилиндрические структуры диаметром от десятых нанометра до нескольких десятков нанометров и длиной от одного до нескольких сотен микрометров и более, образованные только атомами углерода и представляющие собой свернутые в цилиндр плоские слои атомов углерода толщиной в один атом, образующих гексагональную (шестигранную) решетку [4].

Углеродные нанотрубки могут также закрываться на их концах половиной кластера фуллерена (см. рис. 6). Первоначально, в 1991 году, была открыта многослойная углеродная нанотрубка [5], состоящая из нескольких вложенных друг в друга нанотрубок. Позднее, в 1993 году была открыта однослойная углеродная нанотрубка [6,7].

3. Углеродная нанопена (сетка из углеродных нанотрубок и кластеров) открыта в 1997 году [8].

4. Графен (атомарная плоскость графита, отделенная от объемного кристалла, плоская сетка из шестиугольников, в вершинах которой находятся атомы углерода [4]) получен в 2004 году [9].

Рис.3. Углеродная нанопена Рис.4. Графен

5. Углеродные нанопочки (однослойные нанотрубки с фуллеренами, расположенными на нанотрубках подобно почкам на ветках деревьев) открыты в 2006 году [10].

Рис. 5. Различные варианты образования нанопочек

В 1992 году впервые были получены неуглеродные нанотрубки [11]. Они состояли из дисульфида вольфрама WS2.

Интерес к исследованиям аллотропных форм углерода и идентичным им неуглеродным структурам обусловлен, с одной стороны, их уникальными физико-химическими характеристиками, и, с другой стороны, значительным потенциалом прикладного использования. Наиболее интересными разновидностями этих новых углеродных структур сейчас являются фуллерены, нанотрубки и графен. Среди фуллеренов наиболее изучен С60, в котором углеродные атомы образуют усеченный икосаэдр, состоящий из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников. Открытие фуллеренов сэром Harold W. Kroto (University of Sussex, Великобритания), Richard E. Smalley (Rice University, США) и Robert F. Curl Jr. (Rice University, США) [3] отмечено Нобелевской премией по химии за 1996г. А за «передовые опыты с двумерным материалом — графеном» Гейму А. К. и Новосёлову К. С. [9] была присуждена Нобелевская премия по физике за 2010 год.

Математическое моделирование наноструктур необходимо для определения свойств новых материалов и для дальнейшего исследования состояний механизмов, изготовленных из них. Первые модели наноустройств предложены К. E. Drexler и R. Merkle. Они спроектировали механизмы [12, 13], в которых валами шестеренок являются углеродные нанотрубки, а зубцами служат молекулы бензола.

Методы моделирования наноструктур относятся к различным предметным областям. Это - квантовая механика, квантовая химия, молекулярная динамика и механика сплошных сред. Многие методы построены на основе эмпирических знаний. Поэтому можно сделать вывод о невысокой точности моделей [1], построенных одним методом, если, конечно, это - не метод квантовой механики (шредингеровские модели [1]), учитывающий известные основные особенности наномира в деталях. Но этот метод имеет серьезный недостаток: для его использования нужны огромные вычислительные ресурсы [1]. Поэтому многие задачи при таком подходе исследуются с помощью распределенных ресурсов, множество компьютеров решают одну задачу, поделенную на подзадачи, а результаты рассмотрения подзадач передаются на главный компьютер для их координации.

Математическое и численное моделирование становится важным инструментом проектирования наноматериалов и нанокомпозитов, позволяющим, во-первых, ответить на вопрос о самой возможности устойчивого существования той или иной наноконструкции, во-вторых, позволяющим оптимизировать устойчивую наноконструкцию на основе анализа ее напряженно-деформированных состояний.

0.2. Общие сведения об углеродных нанотрубках

Нанотрубка - протяженная цилиндрическая структура диаметром от одного до нескольких десятков нанометров. Известны различные типы нанотрубок [5-7, 11], наиболее распространенными из которых являются углеродные нанотрубки.

Официальным годом открытия углеродной нанотрубки является 1991 год, когда Iijima S. (корпорация NEC Corporation) опубликовал статью в журнале Nature [5] о факте наблюдения структуры многослойных «спиралевидных микротрубок», впоследствии названных им нанотрубками. Iijima S. обнаружил углеродные нанотрубки как побочный продукт синтеза фуллерена С60 (бакминстерфуллерена).

Углеродные нанотрубки классифицируются по типам хиральности и по количеству слоев (однослойные и многослойные). Хиральность — геометрическое свойство жесткого объекта (пространственной структуры) быть не совместимым со своим зеркальным отображением в идеальном плоском зеркале [4]. Таким образом, нехиральные нанотрубки симметричны относительно плоскостей, проходящих вдоль нанотрубки по ее центру, и симметричны относительно плоскости, разделяющей нанотрубку пополам.

Хиральность нанотрубок определяется координатой вектора (<т, п), где п>т. Данный вектор строится на условной графеновой плоскости, состоящей из шестиугольников атомов углерода, при умозрительном сворачивании которой получается нанотрубка с заданной хиральностью. На этой графеновой плоскости выбирается начало координат, которым является центр произвольного шестиугольника из атомов углерода. Координата п определяет ряды шестиугольников из атомов углерода по вертикали, а координата т — по горизонтали. Соответственно, при умозрительном соединении шестиугольника, состоящего из атомов углерода и находящегося в начале координат, с шестиугольником, на который указывает вектор (т, п), графеновая плоскость свернется в нанотрубку с хиральностью (т, п). Индексы хиральности однослойной нанотрубки {т, п) однозначным образом определяют её диаметр X) где do — расстояние между соседними атомами графеновой плоскости, для углерода do~ 0,142 нм.

В зависимости от величин пит электронные свойства нанотрубок существенно различаются: нанотрубки, для которых (п — т) делится на 3, проявляют металлические свойства, а все прочие — полупроводниковые, но с ростом диаметра нанотрубки удельная проводимость уменьшается [4].

Выделяются нанотрубки типа zig-zag («зигзагообразные»), или (т, 0), нанотрубки типа armchair («кресельные»), или (п, ri), и хиральные нанотрубки. Первые два типа обладают зеркальной симметрией, тогда как все остальные

14]:

0.1)

7t нанотрубки зеркальной симметрией не обладают и поэтому называются хиральными [4], т.е. без зеркальной симметрии относительно плоскости зеркала. zig-zag

Однослойная хиральная нанотрубка с хиральностью (10, 5)

Многослойная нанотрубка (всех типов хнральности)

Рис.6. Виды нанотрубок

За 20 лет с момента открытия нанотрубок [5] обнаружено множество их разновидностей, определены и использованы на практике их многие свойства.

Углеродные нанотрубки применяются в большом числе областей:

• в модулях оперативной памяти; использование нанотрубок в качестве компонентов компьютерной памяти позволяет снизить ее энергопотребление [15];

• для создания композитов с полимерами с целью улучшения механических свойств композитов [16];

Однослойная нанотрубка типа armchair с хиральностью (10, 10)

Однослойная нанотрубка типа с хиральностью (10, 0)

• в очистке и хранении водорода используются капиллярные свойства нанотрубок [17];

• из нанотрубок изготавливают сенсоры, для этого используются такие свойства нанотрубок, как высокая прочность, малые размеры, хорошая проводимость, термическая и химическая стойкость; была показана чувствительность сенсорных структур на основе углеродных нанотрубок к таким газам, как ЫН3, Ж)2, С12, Н2, С02, и к летучим органическим соединениям [18];

• в качестве нанозондов (малые размеры нанотрубок в сочетании с высокой упругостью идеально подходят для проникновения в клетки живых организмов, а капиллярные свойства позволяют переносить содержимое нанотрубки внутрь клетки) и датчиков для зондовой микроскопии (используются электрические свойства нанотрубок). Нанозонды и датчики создаются, например, путем прикрепления под действием электрического тока многостенных углеродных нанотрубок к остриям из нихромовой проволоки [19];

• в других областях [20-22].

На протяжении восьми лет после их открытия углеродные нанотрубки использовались только в научных исследованиях. Но уже в 1998 году группа исследователей (БЛ-Тапэ, А.К.М.УегБсЬиегеп, С.Беккег) из Дельфтского университета (Нидерланды) изготовила транзистор, присоединяя к единичной однослойной нанотрубке (диаметром 1.4нм при длине ЮОнм) либо два, либо три платиновых электрода. В качестве обратного затвора применялась полупроводниковая кремниевая подложка, покрытая термически выращенным слоем двуокиси кремния. Транзистор работал, но по своим электрическим параметрам был не лучше своего кремниевого аналога [23]. Практическое использование нанотрубок привело к увеличению интереса к ним. Число опубликованных научных статей быстро выросло и продолжает расти.

Но нанотрубки пока не используются широко в качестве конструкционных материалов, в основном, из-за проблем с их масштабным производством и неконкурентоспособными ценами. Так, например, по данным [24] цена одного грамма однослойных углеродных нанотрубок в начале 2011 года в зависимости от их качества варьировалась от 50 до 400 долларов США за грамм. Для сравнения цена золота в то же время составляла около 45 долларов США за грамм [25].

Существует несколько способов получения наноструктур [26], нанотрубок в частности, но их общая проблема - отделение примесей (сажи, частиц аморфного графита, частиц металлов) и получение чистых наноструктур с заданными свойствами. Используются различные методы очистки (механические, химические, электрические), которые значительно увеличивают стоимость конечного продукта. Однако, исследования в области упрощения и удешевления технологии производства наноструктур не стоят на месте, появляются и проходят апробацию новые идеи масштабного производства нанотрубок [27].

0.3. Внутримолекулярные и межмолекулярные взаимодействия

Рассмотрим связи, действующие внутри молекул и между молекулами различных типов. Различают 3 вида внутримолекулярных взаимодействий (ионная, металлическая и ковалентная связи) и межмолекулярные взаимодействия Ван-дер-Ваальса (иногда из последних выделяются водородные и электростатические связи) [28].

Ионная связь - это притяжение ионов как разноименно заряженных объектов. Так же, как и металлическая связь, не характерна для углеродных наноструктур [28].

Металлическая связь - это химическая связь, обусловленная наличием относительно свободных электронов. Связь характерна как для чистых металлов, так и для их сплавов и интерметаллических соединений. В углеродных наноструктурах эта связь не проявляется [28].

Ковалентная связь (атомная связь, гомеополярная связь) — химическая связь, образованная перекрытием пары валентных электронных облаков. Это — единственная химическая связь, которую рассматривают в моделировании методом молекулярной динамики углеродных наноструктур. Ковалентная связь поддерживается за счет энергий растяжения связи, изменения угла между атомами, выхода связей из плоскости, сопровождающегося их кручением, и изгиба самой плоскости. Таким образом, из общей ковалентной связи выделяются линейная, угловая, торсионная и «изгибающая» составляющие связи (рис.7). Взаимодействия, связанные с изгибом плоскости, на рис.7 не указаны, так как они существенны в задачах с большими изгибными деформациями [29].

Рис. 7. Основные составляющие структуры общей ковалентной связи

Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия поддерживаются энергией в 0,8 - 8,16 кДж/моль. Эти значения значительно меньше энергии ковалентной связи углерод-углерод: 343 — 812 кДж/моль. В многослойных нанотрубках Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия поддерживают связь между слоями.

Торсионные взаимодействия взаимодействия

Линейные

Таким образом, полная колебательная потенциальная энергия углеродных наноструктур состоит из четырех компонентов энергии ковалентной связи и энергии Ван-дер-Ваальсовых взаимодествий [29,30].

Начиная с 1903 года [31], было предложено большое количество формул для потенциалов межатомного взаимодействия, четыре основных перечислены далее.

• Гармонический потенциал [29] - простейший потенциал с одним параметром: равновесным расстоянием между атомами г о.

Е(г) = £(Г-Г0)2, (0.2) где Е{г) — потенциальная энергия, зависящая от расстояния между атомами.

• Потенциал Леннарда-Джонса [32] - потенциал с двумя параметрами: равновесным расстоянием между атомами Гд и энергией связи £ на расстоянии Го ( 8 — Е(г0 ) ):

Е(г) = £

Г „ \

Г )

12

-2 г

Го

V Г )

0.3)

В приведенных далее цитатах из [33] выделены основные достоинства и недостатки этого потенциала. «Потенциал Леннарда - Джонса является простейшим потенциалом, позволяющим учесть наиболее общие свойства межатомного взаимодействия — отталкивание при сближении частиц, притяжение при их удалении и практическое отсутствие взаимодействия на больших расстояниях. Потенциал Леннарда-Джонса - двухпараметрический, поэтому он имеет очень ограниченные возможности для вариации макроскопических параметров моделируемого им материала. Фактически он позволяет удовлетворить значению только одного макроскопического параметра — это, например, модуль упругости или предел прочности в статике, скорость распространения продольных волн или откольная скорость в динамике.

Отношение между указанными параметрами остается неизменным. С другой стороны, данный потенциал весьма точно описывает свойства ряда веществ (прежде всего, кристаллических инертных газов), а также силы взаимодействия Ван-дер-Ваальса, играющие важную роль в твердых телах. К несомненному достоинству потенциала Леннарда-Джонса относится также его вычислительная простота, не требующая вычисления иррациональных и трансцендентных функций. Потенциал Леннарда-Джонса широко применяется в качестве классического модельного потенциала, особенно в работах, в которых основной задачей является исследование общих физических закономерностей, а не получение точных количественных результатов» [33].

• Потенциал Морзе [34]

Е(г) = £(е~тг-г0) -2е"ЖГ"Г0)). (0.4)

Потенциал Морзе является трехпараметрическим, к равновесному расстоянию между атомами г о и энергии связи £ на расстоянии г о добавляется дополнительный третий параметр ширины потенциальной ямы Д

Дополнительный параметр /? дает возможность варьировать ширину потенциальной ямы, что приводит к тому, что соответствующий материал становится более или менее хрупким. Простота и наглядность вычисления параметров потенциала делает его весьма удобным для использования. Данный потенциал широко применяется в литературе. Еще одним его достоинством по сравнению с потенциалом Леннарда-Джонса является более быстрое (экспоненциальное) затухание на расстоянии, что удобно, если желательно учитывать взаимодействие только ближайших частиц. Недостатком потенциала Морзе по сравнению с потенциалом Леннарда-Джонса является необходимость вычисления экспоненты и квадратного корня, что может приводить к замедлению расчетов» [33].

В исходном коде программного комплекса №поеп£теег-1 [35] используется потенциал Липпинкотта-Морзе [36, с. 93], состоящий из потенциала Морзе при г < г о и потенциала Липпикотта при г > г д. Потенциал Липпикотта вычисляется по следующей формуле:

УрО-П))2

Е(г) = е( 1-е 2г£ ), (0.5) где эмпирический параметр.

Потенциал Ми [31]

Е{г) = п-т т г „

- п

С „ Vя

Г )

0.6)

Потенциал Ми является четырехпараметрическим (. параметры г о, £ и параметры варьирования графика т, п), что дает значительно большую, чем для потенциала Леннарда-Джонса, свободу в подборе параметров. Однако относительная сложность зависимости свойств потенциала от параметров т, п может затруднить его использование на практике» [33].

В моделировании потенциалов межатомного взаимодействия четвертый параметр (т или п), для которого нужно составлять свои таблицы значений, не приводит к существенному приближению к реальным значениям. Как следствие, потенциал Ми практически не используется в современных исследованиях.

Кроме вышеперечисленных и другие функции для потенциалов межатомного взаимодействия используются для решения локальных задач. В частности, в 1990х годах несколько работ было посвящено исследованию ковалентной связи углерод-углерод (С-С). Потенциал Бреннера [37] -полуэмпирический парный потенциал взаимодействия С-С, позволяющий описать не только решетку алмаза и графита, но и сопряженные связи в углеводородах. Потенциал Че [38] в одной формуле объединяет потенциал Леннарда-Джонса для Ван-дер-Ваальсовых сил и потенциал Бреннера для ковалентной связи [29].

Для точного соответствия графиков потенциалов эмпирическим данным для всех потенциалов составлены [39] таблицы значений их параметров в зависимости от вида атомов и типа их связи. Эти таблицы параметров называются силовым полем. Например, силовое поле ММЗ [39] наиболее широко охватывает различные соединения углерода, см. также таблицу 3, которая далее применяется для формирования нового потенциала, основанного на ортогональных финитных функций.

0.4. Актуальность темы, цель, задачи, объекты и предметы исследования. Новизна результатов. Положения, выносимые на защиту

Актуальность темы

С момента открытия углеродных нанотрубок Гунпа Б. в 1991 году [5] по настоящее время представление о наноструктурах изменилось кардинально. Нанотрубка - теперь не просто новая форма углерода, это - целый класс необычных по свойствам молекул, объект многих исследований [12-22] в области нанотехнологий. В изучении свойств наноструктур объединились физики, химики, механики, биологи и инженеры. С каждым годом растет число применений нанотрубок, разрабатываются новые программные средства для создания моделей наноструктур и их изучения. Нанотрубка, как правило, является одним из важнейших объектов исследования с помощью таких средств. Создание моделей различных видов нанотрубок автоматизируется. Например, в программном комплексе Ыапоег^теег-1 компании Ыапогех [35] нанотрубки, фуллерены, графены, ДНК и протеины являются такими же примитивами, как параллелепипед, конус, тор, пирамида и цилиндр в известных программах компьютерной графики.

Потребность в новых материалах с новыми свойствами привела современную науку к исследованиям наноматериалов, но наноразмеры требуют в экспериментах с нанообъектами дорогостоящей высокоточной аппаратуры. Несмотря на большое количество экспериментальных работ по определению механических свойств нанообъектов, информации и понимания внутреннего устройства нанообъектов в полной мере не хватает. Поэтому активно ведутся разнообразные теоретические работы в области описания и моделирования различных свойств наноструктур. В частности, много работ посвящено механическим свойствам нанообъектов. Из зарубежных работ наибольшее значение и цитируемость имеют публикации следующих авторов: Dai H. [40], Qian D., Wagner G J., Liu W.K., Ruoff R.S., Yu M.-F. [41], Ruoff KS., Lorents D.C. [42], Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Jorio A. [43], Govindjee S., Sackman J.L. [44], Popov V.N. [45], Avouris P. и другие [46]. Одной из первых российских статей, посвященных тематике механических свойств наноструктур, была статья Елецкого A.B. [14]. Существуют свидетельства и более ранних открытий углеродных нанотрубок. Так, например, в 1974-1975 гг. Oberlin A., Endo M. и Koyama T. [47] опубликовали ряд работ с описанием тонких трубок с диаметром менее 100 Â (10 нанометров), приготовленных методом конденсации из паров. В 1992 г. в журнале Nature [48] была опубликована статья, в которой утверждалось, что нанотрубки наблюдали в 1953 г. Годом ранее, в 1952, в статье советских учёных Радушкевича JL В. и Лукьяновича В. М. [49, с. 88] сообщалось об электронно-микроскопическом наблюдении волокон с диаметром порядка 100 нм, полученных при термическом разложении окиси углерода на железном катализаторе. В выводах своей работы [49] авторы писали: «При исследовании структуры сажи, полученной из окиси углерода на железных контактах, было обнаружено, что сажа состоит из частиц сложного строения. Большинство частиц имеет вытянутую червеобразную форму с характерными окончаниями, свидетельствующими о направленности роста. Частицы, выращенные в некоторых случаях на отдельных крупинках железа в атмосфере окиси углерода, имеют правильную нитевидную форму с плотными окончаниями». Фактически

19 авторы получили новый материал - углеродные нанотрубки. Но никто тогда такой материал не называл нанотрубками, не было понимания значения и роли полученного результата.

Существует множество теоретических работ по предсказанию аллотропной формы углерода в виде нанотрубки. В 1986 году в работе [50] химик Jones D.E.H. (Daedalus) рассматривал свёрнутые трубки графита.

В работе Косаковской З.Я., Чернозатонского JI. А., Федорова Е.А. [51], опубликованной в одно время с работами Iijima S. [5, 6], были получены и описаны углеродные нанотрубки: «обнаружена новая твердотельная фаза углерода из трубообразных кластеров размером 1 нм, образующих волоконную структуру».

Корнилов М. Ю. [52] не только предсказал существование однослойных углеродных нанотрубок в 1986 году, но и высказал предположение о большой величине их модуля упругости.

Наибольший интерес к работам, связанным с исследованием механических свойств наноматериалов, в России появился после 2005 года. Значительный вклад в такие исследования внесли ученые Института проблем механики РАН, а именно Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., Ченцов A.B., Осипенко Н.М. и другие [29, 53-66]. Актуальные исследования анизотропии нанотрубок, проводимые в Институте проблем механики РАН, здесь дополнены новыми исследованиями нанообъектов, которые связаны с моделированием нанообъектов с использованием теории анизотропных оболочек, описанной Амбарцумяном С.А. в 1961,1974 годах [67,68].

В последние годы увеличилось число работ [69-72], посвященных исследованию наноструктур методом молекулярной механики, в связи с чем упрощение моделей потенциалов межатомного взаимодействия стало актуальной темой. В основе методов молекулярной динамики лежит представление о многоатомной молекулярной системе, в которой все атомы являются

20 материальными точками. Поведение отдельного атома описывается классическими уравнениями движения. В молекулярной динамике ключевым для создания модели является потенциал межатомного взаимодействия.

В данной работе предлагается использовать потенциал межатомного взаимодействия, построенный с помощью ортогональных финитных функций (потенциал ОФФ). Теория ортогональных финитных функций была создана в начале 90-ых годов XX века [73] и развивалась в работах [74-79]. Эта диссертация посвящена расширению области применения этой теории в задачах математического моделирования, и следовательно, расширению возможностей и области применения самой теории математического моделирования.

Исследования потенциалов ОФФ и численных алгоритмов их применения актуальны для современной механики нанообъектов. Потенциал ОФФ представлен далее в двух формах: упрощенной двухпараметрической и уточненной трехпараметрической. Потенциал ОФФ, как и потенциал Морзе, за счет своей формы графика с потенциальной ямой и трех регулирующих параметров более всего подходит для определения энергии ковалентной связи. Но в отличие от потенциала Морзе потенциал ОФФ не требует вычисления экспоненты и квадратного корня. Соответственно, в расчетах на ЭВМ с использованием потенциала ОФФ не требуется интерполировать функцию. Как следствие, процедура вычислений методом молекулярной динамики значительно ускоряется при замене потенциала Морзе на потенциал ОФФ при сохранении качества и точности моделирования.

Цель и задачи диссертации

Цель диссертации состоит в разработке методов и соответствующих им численных алгоритмов моделирования углеродных нанотрубок, связанных с расширением области применения теории анизотропных оболочек и с использованием новых универсальных математических моделей потенциального взаимодействия двух атомов, а также программных комплексов, реализующих эти методы и алгоритмы. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) Расширения области применения моделей анизотропных многослойных оболочек на основе обоснования адекватности этих моделей напряженно-деформированным состояниям углеродных нанотрубок.

2) Создания новых потенциалов внутримолекулярных ковалентных взаимодействий атомов нанообъектов на основе теории ортогональных финитных функций.

3) Разработки новых алгоритмов исследования моделей молекулярной динамики, связанных с устранением процедуры интерполяции классических потенциалов и с использованием новых формул вычисления потенциалов ОФФ.

4) Разработки комплекса программ ComplNano, объединяющего известную CAD-CAE программу и модифицированную программу Nanoengineer-1, существенно ускоряющего проектирование и численные расчеты технических систем, состоящих из нанообъектов.

Объектами исследования являются технические системы, состоящие из углеродных нанотрубок, и внутримолекулярное взаимодействие их атомов.

Предметом исследования являются модели, алгоритмы и процедуры-функции, используемые в программных комплексах для моделирования технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок, и для их исследования.

Научная новизна

Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми, актуальными и представляют теоретический и практический интерес для теории математического моделирования наносистем. Эти результаты могут быть использованы при проектировании и разработке новых технических механизмов и устройств, созданных на основе нанотрубок и других нанообъектов, а также при проектировании микросистем.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Математическая модель нанообъектов, связанная с расширением области применения теории анизотропных оболочек и позволяющая применять методы механики сплошных сред, теории оболочек для изучения углеродных нанотрубок.

2) Математические модели потенциального взаимодействия двух атомов, основанные на использовании ортогональных финитных функций и связанные с ними новые методы моделирования внутримолекулярных ковалентных взаимодействий атомов нанообъектов.

3) Численные алгоритмы - результат модификации алгоритма численного метода Верле, связанной с использованием новых математических методов моделирования внутримолекулярных ковалентных взаимодействий нанообъектов, применение которых приводит к снижению машинного времени, затрачиваемого на численные расчеты технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок, на ЭВМ.

4) Комплекс программ ComplNano, объединяющий CAD-CAE программу ANS YS и модифицированную программу Nanoengineer-1, предназначенную для работы с наноструктурами. Модификация открытых кодов программы Nanoengineer-1, реализующая новые математические модели и численные алгоритмы. Интерфейс комплекса, позволяющий проводить эффективное рациональное проектирование и исследование технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок.

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для теории математического моделирования наносистем, могут быть использованы при проектировании и разработке механизмов и устройств, созданных на основе нанотрубок и других нанообъектов.

В главе 1 рассматривается математическая модель углеродной нанотрубки в виде многослойной анизотропной оболочки. Геометрия многих нанообъектов и число атомов в них позволяют проводить аналогии между ними и анизотропными оболочками. Например, углеродные нанотрубки представляют собой полые цилиндры, стенки которых состоят из многих атомов углерода. Для моделирования углеродных нанотрубок применяются уравнения равновесия и соотношения упругости многослойной анизотропной оболочки, предложенные Амбарцумяном С.А. в 1974 году. В работе показывается адекватность моделей анизотропных многослойных оболочек напряженно-деформированным состояниям многослойных углеродных нанотрубок.

В главе 2 описаны математические модели внутримолекулярного ковалентного взаимодействия в углеродной нанотрубке на основе ортогональных финитных функций (ОФФ) и численные алгоритмы реализации этих моделей. Новые модели межатомных взаимодействий принципиально отличаются простотой аналитической формы и позволяют при моделировании нанообъектов не проводить процедуру интерполяции функции потенциала (например, степенными функциями), для которой требуется дополнительное решение систем алгебраических уравнений.

В главе 3 описана реализация комплекса программ ComplNano на основе CAD-системы Nanoengineer-1 и CAE-системы ANSYS. В систему Nanoengineer-1 интегрированы новые модули: модуль моделирования межатомного взаимодействия, основанный на использовании ОФФ, модуль экспорта моделей в универсальный формат STEP и модуль запуска ANSYS и передачи в него модели нанообъекта.

В главе 4 представлены расчеты на ЭВМ технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок, анализ их результатов и эффективности комплекса программ СошрШапо. Проведено сравнительное моделирование технических систем, состоящих из углеродных нанотрубок, различными методами, сделан расчет и анализ статических деформаций и собственных колебаний многослойных углеродных нанотрубок, представленных в виде анизотропных оболочек.

Результаты диссертации были представлены на международных конференциях и опубликованы в статьях [80-93]. Два программных модуля [94, 95], дополняющих и модифицирующих комплекс программ новыми моделями и численными алгоритмами, зарегистрированы Федеральным государственным научным учреждением «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти».

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Виктору Леонтьевичу Леонтьеву за полезные советы и постоянную помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Михайлов, Иван Сергеевич

Основные результаты и выводы:

1) На основе проведенного обоснования адекватности моделей анизотропных многослойных оболочек напряженно-деформированным состояниям многослойных углеродных нанотрубок достигнуто расширение области применения этих моделей.

2) Модель анизотропной многослойной оболочки в рамках задач разработки и исследования радиотехнических устройств, состоящих из углеродных нанотрубок, дополнена учетом пондеромоторных сил, вызванных электромагнитным полем.

3) Теория ортогональных финитных функций впервые применена для ускорения моделирования внутримолекулярных ковалентных взаимодействий атомов нанообъектов методом молекулярной динамики.

4) На основе численного алгоритма метода Верле, используемого для решения задач молекулярной динамики, разработаны новые алгоритмы, связанные с устранением процедуры интерполяции классических потенциалов и с использованием новых формул вычисления потенциалов ОФФ.

5) Разработан комплекс программ ComplNano, объединяющий CAD-CAE программу и модифицированную программу Nanoengineer-1, существенно ускоряющий проектирование и численные расчеты технических систем, состоящих из нанообъектов.

6) Проведены расчеты свободных колебаний технических систем, состоящих из многослойных углеродных нанотрубок, соединенных химической связью, на основании которых рекомендовано использовать при производстве нанорадио группу многослойных нанотрубок вместо однослойных углеродных нанотрубок.

7) Проведено моделирование технического устройства - нанозонда, представляющего собой многослойную углеродную нанотрубку на кремниевом основании, и выполнен численный расчет его устойчивости и оптимальных параметров.

8) Созданный комплекс программ позволил создать модель нового материала - технической системы, состоящей из нанотрубок, свернутых в торы, и провести численное исследование эффективности этого материала.

Таким образом, в диссертации впервые применены математические модели теории анизотропных оболочек в области нанотехнологий для исследования состояний углеродных нанотрубок, разработаны универсальные математические модели межатомного взаимодействия и соответствующие им численные алгоритмы, создан комплекс программ, совмещающий методы молекулярной динамики и механики сплошных сред. Кроме этого, предложена модель многослойных углеродных нанотрубок в виде анизотропной многослойной оболочки, находящейся в электромагнитном поле. Поставлены и решены с использованием созданного комплекса программ несколько технических задач, в том числе задача расчета свободных колебаний пучка многослойных углеродных нанотрубок и задача определения оптимальных параметров нанозонда.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Михайлов, Иван Сергеевич, 2011 год

1. Еленин Г.Г. Нанотехнологии, наноматериалы, наноустройства // Информ. технологии и вычислит, системы. 2002. № 2. С. 32-56.

2. Аллотропия // Большой Энциклопедический словарь: сайт. 2008. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf7enc3p/52190 (дата обращения: 20.03.2011).

3. Kroto Н. W., Heath J. R., O'Brien S. С. et. al. C60: Buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162-163.

4. Нанотехнологический словарь POCHAHO: сайт. 2009. URL: http://thesaurus.rusnano.com/wiki/ (дата обращения: 01.03.2011).

5. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V.354. P.56-58.

6. Iijima S., Ichihashi T. Single-shell carbon nanotubes of 1-nm diameter // Nature. 1993.V.363. P. 603-605.

7. Bethune D.S., Kiang C-H., De Vries M.S. et al. Cobalt-catalysed growth of carbon nanotubes //Nature. 1993. V.363. P. 605-607.

8. Rode A.V., Hyde S. Т., Gamaly E. G., Elliman R. G., McKenzie D. R., Bulcock S. Structural analysis of a carbon foam formed by high pulse-rate laser ablation // Applied Physics A.: Materials Science & Processing. 1999. V. 69. P. 755-758.

9. Novoselov K. S. et al. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films // Science. 2004. V. 306. P. 666-669.

10. Nasibulin A.G. et al. A novel hybrid carbon material // Nature Nanotechnology. 2007. V. 2(3). P. 156-161.

11. Tenne R., Margulis L., Genut M. and Hodes G. Polyhedral and cylindrical structures of tungsten disulphide // Nature. 1992. V. 360. P. 444-446.

12. Drexler К. E. Molecular manufacturing: perspectives on the ultimate limits of fabrication //Phil. Trans. R. Soc. London. 1995. V. 353. P. 323-331.

13. Drexler К. E. Building Molecular Machine Systems // Trends in Biotechnology. 1999. V. 17. P. 5-8.

14. Елецкий A.B. Механические свойства углеродных наноструктур и материалов на их основе // УФН. 2007. Т.177. N 3. С. 233-274.

15. Xiong F., Liao A., Estrada D., Pop E. Low-Power Switching of Phase-Change Materials with Carbon Nanotube Electrodes // Science: сайт. 2011. URL: http://www.sciencemag.org/content/early/2011/03/09/science.1201938 (дата обращения: 10.03.2011).

16. Spitalsky Z., Galiotis C., Tasis D., Papagelis K. Carbon nanotube-polymer composites: chemistry, processing, mechanical and electrical properties // Progress in Polymer Science. 2010. V. 35. № 3. P. 357-401.

17. Shen K., Xu H., Jiang Y., Pietra T. The role of carbon nanotube structure in purification and hydrogen adsorption // Carbon. 2004. V. 42. № 11. P. 2315-2322.

18. Бобринецкий И.И. Сенсорные свойства структур на основе однослойных углеродных нанотрубок // Российские нанотехнологии. 2007. Т. 2. № 5-6. С. 90-94.

19. Демичева О.В., Мешков Г.Б., Синицына О.В., Томишко А.Г., Яминский И.В. Иглы на основе многостенных углеродных нанотрубок для сканирующей зондовой микроскопии // Российские нанотехнологии. 2008. Т. 3. № 11-12. С.118-123.

20. Соколов Ю.В., Битюцкая JI.A., Перцев В.Т., Гончарова Н.С. Применение фуллеренов и углеродных нанотрубок для создания композиционных материалов // Физика и химия обработки материалов. 2009. № 6. С. 94-95.

21. Зайцев Н. А. Применение углеродных нанотрубок в экстремальных областях электроники // Нано-и микросистемная техника. 2008. № 11. С. 8-12.

22. Мордкович В.З., Караева А.Р., Хасков М.А., Ермолаев И.С. Перспективные пути производства и практическое применение длинных углеродных нанотрубок // Известия высших учебных заведений / Химия и химическая технология. 2010. Т. 53. № 10. С. 84-89.

23. Tans S.J., Verschueren A.R.M., Dekker С. Room-temperature transistor based on a single carbon nanotube //Nature. 1998. V. 393 (6680), P. 49-52.

24. Products // Carbon Solution, Inc: сайт. 2011. URL: http://www.carbonsolution.com/products/products.html (дата обращения: 10.03.2011).

25. Учетные цены на аффинированные драгоценные металлы // Центральный банк Российской Федерации: сайт. 2011. URL: http://www.cbr.ru/metallbase/ Newdynamics.asp (дата обращения: 10.03.2011).

26. Учебный модуль Ульяновского Государственного Университета «Введение в нанотехнологии»: сайт. 2008. URL: http://www.nano-edu.ulsu.ru/ w/index.php/Глaвa6.Ocoбaяpoльyглepoдaвнaнoмиpeдата обращения: 10.03.2011).

27. Guzman De Villoria R., Figueredo S.L., Hart A.J., Steiner III S.A., Slocum, A.H., Wardle, B.L. High-yield growth of vertically aligned carbon nanotubes on a continuously moving substrate // Nanotechnology. 2009. V. 20. N. 40 (405611). P. 1-8.

28. Аликберова Л.Ю., Савинкина E.B., Давыдова M.H. Основы строения вещества / МИТХТ, 2004. URL : http://www.alhimik.ru/stroenie/titul.htm (дата обращения: 14.03.2011).

29. Ченцов А.В. Разработка дискретно-континуальных моделей деформирования и разрушения наноматериалов // Канд. дисс. М.: ИПМех РАН. 2008. 120 с.

30. Комолкин А.В., Шеляпина М.Г. Метод молекулярной динамики: Учеб.-метод. пособие. СПб.: Изд-во "Соло", 2007.72 е., ил.

31. Mie G. Zur Kinetischen Theorie der einatomigen korper // Annalen der Physik. 1903. Bd. 11. N. 8. P. 657-697.

32. Lennard-Jones J. E. The Determination of molecular fields of the viscosity of a gas with temperature // Proc. Roy, Soc. 1924. V. 106A. P. 441-463.

33. Иванова E. А., Кривцов A. M., Морозов H. Ф., Фирсова А. Д. Теоретическая механика. Определение эквивалентных упругих характеристик дискретных систем: Учеб. пособие СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 32 с.

34. Morse P. М. Diatomic molecules according to the wave mechanics // II. Vibrational levels. Phys. Rev. 1929. V. 34. P. 57-64.

35. Сайт компании Nanorex Электронный ресурс. 2008. URL: http://nanoengineer-l.com/ (дата обращения: 10.03.2011).

36. Шахпоронов М.И. Введение в современную теорию растворов М.: Высшая школа, 1976.296 с.

37. Brenner D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films // Phys. Rev. B. 1990. И, V. 42. P. 94589471.

38. Che J., Cagin Т., Goddard W.A. Studies of fullerenes and carbon nanotubes by an extended bond order potential // Nanotechnology. 1999. No. 10. P. 263-268.

39. Allinger N.L., Yuh Y.H., Lii J.-H. Molecular Mechanics. The MM3 Force Field for Hydrocarbons // J. Am. Chem. Soc. 1989. V. 111. P. 8551-8566.

40. Dai H. Carbon nanotubes: opportunities and challenges // Surface Science. 2002. V. 500. №1-3. P. 218-241.

41. Qian D., Wagner G.J., Liu W.K., Ruoff R.S., Yu M.-F. Mechanics of carbon nanotubes // Applied Mechanics Reviews. 2002. V. 55. № 6. P. 495-532.

42. Ruoff R.S., Lorents D.C. Mechanical and thermal properties of carbon nanotubes // Carbon. 1995. V. 33. № 7. P. 925-930.

43. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Jorio A. Unusual properties and structure of carbon nanotubes // Annual Review of Materials Research. 2004. V. 34. P. 247—278.

44. Govindjee S., Sackman J.L. On the use of continuum mechanics to estimate the properties of nanotubes // Solid State Communications. 1999. V. 110. № 4. P. 227-230.

45. Popov V.N. Carbon nanotubes: properties and application. // Materials Science and Engineering: R: Reports, 2004. V. 43. № 3. P.61-102.

46. Avouris Ph., Hertel Т., Martel R., Schmidt Т., Shea H. R., Walkup R. E. Carbon Nanotubes: Nanomechanics, Manipulation, and Electronic Devices // Applied Surface Science. 1999. V. 141. P. 201-209.

47. Oberlin A., Endo M., Koyama T. High resolution electron microscope observations of graphitized carbon fibers // Carbon. 1976. V. 14. P. 133-135.

48. Gibson J.A.E. Early nanotubes? // Nature. 1992. V. 359. P. 369.

49. Радушкевич JI. В., Лукьянович В. М. О структуре углерода, образующегося при термическом разложении окиси углерода на железном контакте // ЖФХ. 1952. Т. 26. С. 88-95.

50. Корнилов М. Ю. Нужен трубчатый углерод // Химия и жизнь. 1985. № 8. С. 22-23.

51. Гольднггейн Р.В., Ченцов A.B. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 57-74.

52. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Об изменчивости упругих свойств многослойных углеродных нанотрубок // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. В. 1. С. 35-41.

53. Городцов В .А., Лисовенко Д.С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (растяжение и кручение) // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 42-56.

54. Городцов В.А., Готлиб В.А., Лисовенко Д.С., Салганик Р.Л. Некоторые особенности прочности углеродных усов при растяжении // ПЖТФ. 2006. Т. 32. В. 19. С. 28-34.

55. Гольднггейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Мезомеханика многослойных углеродных нанотрубок и наноусов // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. №6. С. 25-42.

56. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М., Ченцов A.B. К определению прочности наноразмерных объектов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 3. С. 164-181.

57. Гольдштейн Р.В., Ченцов A.B., Кадушников P.M., Штуркин H.A. Методы и метрологическое обеспечение механических испытаний нано- и микромасштабных объектов, материалов и изделий нанотехнологий // Российские Нанотехнологии. 2008. Т. 3. № 1-2. С. 114-124.

58. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. К механике углеродных и других слоистых наноусов // Инженерная Физика. 2009. № 4. С. 36-38.

59. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Ченцов A.B., Шушпанников П.С., Liu C.W., Lee С.-Н. Напряжённо-деформированное состояние в псевдоморфных и релаксированных гетероструктурах // Инженерная физика. №5.2009. С.44-46.

60. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. К описанию многослойных нанотрубок в рамках моделей цилиндрически анизотропной упругости // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 13. № 5. С. 5-14.

61. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Об отрицательности коэффициента Пуассона для анизотропных материалов // ДАН. 2009. Т. 429. № 5. С. 614-616.

62. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Аномальные величины коэффициента Пуассона для наночастиц // Вестник Тамбовского Университета. Серия: Естественные и технические науки. 2010. Т. 15, В. 3, С. 1177—1181.

63. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетическая механика кристаллических материалов // Известия РАН. МТТ. 2010. № 4. С. 43-62.

64. Лисовенко Д.С. Описание механических свойств углеродных и неуглеродных наноусов и нанотрубок в рамках теории упругости анизотропного тела // Автореферат канд. дисс. М.: ИПМех РАН. 2010.27 с.

65. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Гос. из-во физ.-мат. лит-ры, 1961.384 с.

66. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446с.

67. Глухова О.Е. Изучение механических свойств углеродных нанотрубок стручкового типа на молекулярно-механической модели / О.Е. Глухова // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. Т. 12. № 1. С. 69-75.

68. Zhou L.G., Shi S.Q. Molecular dynamic simulations on tensile mechanical properties of single-walled carbon nanotubes with and without hydrogen storage // Computational Materials Science. 2002. № 23. P. 166-174.

69. Meo M., Rossi M. Prediction of Young's modulus of single wall carbon nanotubes by molecular-mechanics based finite element modeling // Composites Science and Technology. 2006. № 66. P. 1597-1605.

70. Проценко Е.Б., Емельяненко B.B., Карпеченко А.Д. Математическое моделирование упругих свойств однослойной углеродной нанотрубки типа «armchair» методом молекулярной механики // Сложные системы и процессы. 2010. № 1.С. 6-12.

71. Леонтьев В.Л. Об одном обобщении функций Куранта. Теория функций и приближений // Труды 7-й Саратовской зимней школы. 30 января 4 февраля 1994 года. Межвуз. научн. сб. Саратов: СГУ, 1995. Ч. 3. С. 36-40.

72. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции в задачах на собственные значения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. № 6. С. 874-880.

73. Леонтьев В.Л. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода // Сибирский журнал вычислительной математики. 2002. Т. 5. № 1. С. 25-34.

74. Леонтьев В.Л. О сходимости численных методов, связанных с ортогональными финитными функциями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 1. С. 218.

75. Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 3. С. 497-504.

76. Леонтьев В.Л. Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 3. С. 117-127.

77. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы / Ульяновск: УлГУ, 2003. 178 с.

78. Михайлов И.С. О сравнении программных средств моделирования нанотрубок // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы: Труды X международной конференции. Ульяновск: УлГУ, 2008. С. 116.

79. Леонтьев В.Л., Михайлов И.С. Математическое моделирование нанообъектов, связанное с теорией анизотропных оболочек // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы: Труды X международной конференции. Ульяновск: УлГУ, 2008. С. 11.

80. Михайлов И.С. Обзор программных средств моделирования нанообъектов // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов: Труды седьмой международной конференции. Ульяновск: УлГУ, 2009. С. 188-190.

81. Леонтьев В.Л., Михайлов И.С. О математических моделях нанотрубок // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2009. С. 93-95.

82. Леонтьев В.Л., Михайлов И.С. Математическое моделирование нанообъектов, основанное на теории анизотропных многослойных оболочек // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 5. С. 881—882.

83. Михайлов И.С., Леонтьев В.Л. Об использовании ортогональных функций с компактными носителями в математическом моделировании нанообъектов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 6. С. 912-913.

84. Леонтьев В.Л., Михайлов И.С. Математическое моделирование нанотрубок // Тезисы докладов 45-й научно-технической конференции УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях". Ульяновск: УлГТУ, 2011. С. 193.

85. Леонтьев В.Л., Михайлов И.С. Ортогональные финитные функции и теория многослойных анизотропных оболочек в моделировании нанообъектов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород, 2011. № 4 (2). С. 486—487.

86. Михайлов И.С. О свободных колебаниях многослойных углеродных нанотрубок, соединенных химической связью // Научный электронный архив. Электронный ресурс. 2011. URL: http://econf.rae.ru/article/6292 (дата обращения: 21.10.2011).

87. Михайлов И.С. Об ускорении моделирования нанообъектов методом молекулярной динамики // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии имикросистемы: Труды XIII международной конференции. Ульяновск: УлГУ, 2011. С. 165.

88. Михайлов И.С. О программном обеспечении моделирования нанообъектов // Современные проблемы науки и образования Электронный ресурс. 2011. №3. URL: http://www.science-education.ru/97-4691 (дата обращения: 10.09.2011).

89. Леонтьев BJL, Михайлов И.С. О построении потенциала взаимодействия атомов, основанном на ортогональных финитных функциях. Нано- и микросистемная техника. 2011. №9. С. 48 — 50.

90. Леонтьев В.Л., Михайлов И.С. Программный модуль «Пакет дополнений «Методы ОФФ» для программного комплекса Nanoengineer-1» М.: ВНТИЦ, 2011. № гос. per. 50201150772.

91. Михайлов И.С. Программный модуль «Пакет дополнений «STEP экспорт» для программного комплекса Nanoengineer-1» М.: ВНТИЦ, 2011. № гос. per. 50201150771.

92. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.

93. Meyer J.C. et al. The structure of suspended graphene sheets // Nature. 2007. V. 446. P. 60-63.

94. Беринский И.Е. и др.: под редакцией Кривцова A.M. Теоретическая механика. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов. Учебное пособие. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009.144 с.

95. Blakslee O.L., Proctor D.G., Seldin E.J., Spence G.B., Weng Т. Elastic constants of compression-annealed pyrolytic graphite // J. Appl. Phys. 1970. V. 41. №. 8. P. 3373-3382.

96. Seldin E.J., Nezbeda C.W. Elastic constants and electron-microscope observations of neutron-irradiated compression-annealed pyrolytic and single-crystal graphite // J. Appl. Phys. 1970. V. 41. №. 8. P. 3389-3400.

97. Bosak A., Krisch M., Mohr M., Maultzsch J., Thomsen C. Elasticity of single-crystalline graphite: Inelastic X-ray scattering study // Phys. Rev. B. 2007. V. 75. №. 15. P. 153408-1-4.

98. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука, 1971.408 с.

99. Jackson D. Fourier Series and Orthogonal Polynomials Washington, DC: Mathematical Association of America, 1941. 234 pp.

100. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 349 с.

101. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math. 41.1988. P. 909-996.

102. Котов Д.В. Моделирование неравновесных процессов в молекулярном газе методом молекулярной динамики с учетом колебательных степеней свободы: Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный: 2005. Ч. IV. С. 23-24.

103. Drexler К.Е. Nanosystems: Molecular Machinery, Manufacturing, and Computation. New York: John Wiley & Sons, 1992. 576 p.

104. Leach A.R. Molecular modelling. Principles and applications, 2nd ed. New York: Prentice Hall, Pearson Ed. Ltd., 2001. 768 p.

105. Ким A.B., Медведев H.H. Плавление и гомогенная кристаллизация леннард-джонсовской системы. // Журн. Структ. Хим. 2006. Т.47. С.144-154.

106. Назаров А.А., Мулюков P.P. Атомистическое моделирование материалов, наноструктур и процессов нанотехнологии. Учебное пособие для студентов-физиков. Уфа: РИО БашГУ, 2010. 156 с.

107. Verlet L. Computer Experiments on Classical Fluids // Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 98.

108. List of software for molecular mechanics modeling // Wikipedia Электронный ресурс. 2011. URL: http://en.wikipedia.org/wiki/1.stofsoftwareformolecularmechanicsmodeling (дата обращения: 10.09.2011).

109. Python Programming Language Official Website Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.python.org (дата обращения: 10.09.2011).

110. Drug Design Laboratory Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.ddl.unimi.it/ (дата обращения: 10.09.2011).

111. JCiystalSoft Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.jcrystal.com/ (дата обращения: 10.09.2011).

112. CoNTub 1.0 Электронный ресурс. 2004. URL: http ://www.ugr.es/~gmdm/j ava/contub/contub.html (дата обращения: 10.09.2011).

113. CoNTub 2.0 Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.ugr.es/~gmdm/contub2 (дата обращения: 10.09.2011).

114. File Format Documentation // Worldwide Protein Data Bank Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.wwpdb.0rg/d0cs.html#f0rmat (дата обращения: 10.09.2011).

115. Open Babel: The Open Source Chemistry Toolbox Электронный ресурс. 2011. URL: http://openbabel.org/wiki/MainPage (дата обращения: 10.09.2011).

116. Supported File Formats and Option // Сайт проекта OpenBabel Электронный ресурс. 2011. URL: http://openbabel.Org/docs/2.3.0/FileFormats/Overview.html (дата обращения: 10.09.2011).

117. NX // Продуты и решения Siemens PLM Software Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.plm.automation.siemens.com/ruru/products/nx/index.shtml (дата обращения: 10.09.2011).

118. САПА // Продукты Dassault Systemes Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.3ds.com/ru/products/catia/welcome/ (дата обращения: 10.09.2011).

119. AutoCAD // Продукты Autodesk Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.autodesk.ru/autocad (дата обращения: 10.09.2011).

120. SolidWorks Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.solidworks.ru/ (дата обращения: 10.09.2011).

121. ANSYS Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.ansys.com (дата обращения: 10.09.2011).

122. ISO 10303 STEP Standards Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.steptools.com/library/standard/ (дата обращения: 10.09.2011).

123. A General Description of IGES Электронный ресурс. 2002. URL: http://ts.nist.gov/standards/iges/ (дата обращения: 10.09.2011).

124. Спецификация формата XYZ Электронный ресурс. 2007. URL: http://openbabel.org/wiki/XYZ (дата обращения: 10.09.2011).

125. What is STEP? Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.steptools.com/library/standard/stepl.html (дата обращения: 10.09.2011).

126. Архиватор 7-Zip Электронный ресурс. 2011. URL: http://7-zip.org.ua/ru/ (дата обращения: 10.09.2011).

127. Модифицированный модуль Олега Щербакова для создания SFX архивов Электронный ресурс. 2011. URL: http://7zsfx.info/ru/ (дата обращения: 10.09.2011).

128. Программные продукты ANSYS Электронный ресурс. 2011. URL: http://www.ansys.ru/product/overview (дата обращения: 10.09.2011).

129. Юдинцев В. МЭМС-датчики: нанотехнологии наступают // Электроника: наука, технология, бизнес. 2006. № 8. С. 26-30.

130. Pentaras D. Vibration, buckling and impact of carbon nanotubes // Dissertation Ph.D. Florida Atlantic University. 2009. 136 p.

131. Izadi-Najafabadi A, Futaba DN, Iijima S, et al. Ion Diffusion and Electrochemical Capacitance in Aligned and Packed Single-Walled Carbon Nanotubes // Journal of the American Chemical Society. 2010. V. 132 (51). P. 18017-18019.

132. Sazonova V. et al. A tunable carbon nanotube electromechanical oscillator // Nature. 2004. V. 431. P. 284-287.

133. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 1. 536 с.

134. Jensen К., Weldon J., et.al. Nanotube radio // Nano Lett. V. 7. № 11. 2007. P. 3508-3511.

135. Koksal С. E., Ekici E. A nanoradio architecture for interacting nanonetworking tasks //Nano Communication Networks. № 1 (1). 2010. P. 63-75 .

136. Chaste J., Lechner L., et.al. Single Carbon Nanotube Transistor at GHz Frequency //Nano Letters. V. 8 (2). P. 525-528.

137. Свидиненко Ю. Нано-радио из одной нанотрубки прорыв в НЭМС-устройствах Электронный ресурс. 2007. URL: http://www.nanonewsnet.ru/ articles/2007/nano-radio-iz-odnoi-nanotrubki-proryv-v-nems-ustroistvakhдата обращения: 10.09.2011).

138. Huang J. Y. et al. Atomic-Scale Imaging of Wall-by-Wall Breakdown and Concurrent Transport Measurements in Multiwall Carbon Nanotubes // Phys. Rev. Lett. 2005. V.94. P.236802.

139. Meunier V., Lambin Ph., Lucas A. A. Atomic and electronic structures of large and small carbon tori // Phys. Rev. B. 1998. V.57. №.23. P. 14886-14890.

140. Oh D.-H., Park J. M., KimK. S. Structures and electronic properties of small carbon nanotube tori // Phys. Rev. B. 2000. V.62. №.3. P.l600-1603.

141. Liu L., Guo G.Y., Jayanthi C.S., Wu S.Y. Colossal paramagnetic moments in metallic carbon nanotori // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88 P. 2172061-2172064.

142. Sun B. Deformation, vibration, buckling of continuum nanotorus // Journal of Nanomaterials. 2010. P. 480628-480633.

143. Cagin Т., Gao G., Goddard III W. A. Computational studies on mechanical properties of carbon nanotori // Turkish Journal of Physics. 2006. V. 30. P.221-229.

144. Андреева A.A. Формирование структуры углеродных наноторов // Тезисы докладов международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. С. 156.

145. Беленков Е.А. Лаборатория наноструктур Электронный ресурс. 2011. URL: http://teachmen.ru/others/Laboratory/Belenkov/Belenkov.htm (дата обращения: 10.09.2011).

146. Алексеева O.K. Оригинальные фильтры из нанотрубок // Экспресс-бюллетень "ПерсТ" Электронный ресурс. 2010. URL: http://perst.isssph.kiae.ru/Inform/perst/ 2010/101516/perst.htm (дата обращения: 10.09.2011).