Математическое моделирование автоколебательных и автоволновых процессов в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью в электрическом поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Киселева, Татьяна Владимировна

• Киселева, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Киселева, Татьяна Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОВОЛНОВЫХ СИСТЕМ

1.1. Современные представления о моделировании автоколебательных систем

1.2. Методы математического моделирования автоволновых систем

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В ПРИЭЛЕКТРОДНОМ СЛОЕ КОЛЛОИДНОЙ СРЕДЫ (МАГНИТНАЯ ЖИДКОСТЬ)

2.1. Основные уравнения движения проводящей частицы

2.2. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном полях

2.3. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое

2.4. Колебания проводящей частицы в электрическом и магнитном полях

3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА

3.1. Экспериментальное наблюдение автоколебаний и автоволн в коллоидной среде

3.1.1. Описание экспериментальной установки для наблюдения и исследования автоволн

3.1.2. Объект исследования и методика эксперимента

3.2. Математическая модель автоволнового процесса

3.3. Алгоритмы численных методов решения уравнения автоволнового процесса

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРИЭЛЕКТРОДНОМ СЛОЕ ЭЛЕКТРОФОРЕТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКИ С МАГНИТНЫМ КОЛЛОИДОМ

4.1. Моделирование автоволнового процесса в приповерхностном слое магнитной жидкости в электрическом поле в системе COMSOL Multiphysics

4.1.1. Представление уравнения автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics

4.1.2. Решение задачи моделирования автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование автоколебательных и автоволновых процессов в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью в электрическом поле»

Актуальность темы исследования. Современный этап развития науки характеризуется исследованием различного рода нелинейных явлений. Однако к настоящему времени известно не много самоподдерживающихся в активной нелинейной среде волновых процессов, которые можно было бы наблюдать экспериментально за небольшой (порядка 1 минуты) период времени и параметры которого легко можно было бы изменять в лабораторных условиях. Математическая модель такого процесса состоит из ограниченного числа уравнений, т.е., с одной стороны, достаточно проста, а с другой, дает возможность описать и понять большой круг сложных явлений. Приэлектродный слой магнитного коллоида (магнитной жидкости), помещенный в электрофоретическую ячейку, при воздействии электрического поля представляет собой такую активную нелинейную среду, в которой наблюдался автоволновой процесс (АВ-процесс) [122].

Объектом диссертационного исследования является активная среда - приэлектродный слой электрофоретической ячейки с магнитной жидкостью.

Предметом исследования является математическое моделирование автоколебательного и автоволнового процессов в активной среде.

Целыо работы является математическое моделирование автоволн в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью, обоснование возможного механизма автоволнового процесса и численное решение уравнения автоволн.

В ходе достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

- дано обоснование возможного механизма автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью;

- построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке;

- проведен сравнительный анализ методов решения уравнения автоволнового процесса и обоснована оптимальность выбранного метода;

- выполнено численное решение уравнения автоволнового процесса;

- разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Достоверность результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием обоснованных методов численных расчетов, а также качественным совпадением результатов численного решения с данными лабораторных экспериментов.

Научная новизна результатов работы:

1. Впервые предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц при зарядке и разрядке вблизи электрода и в объемном заряде, протекающего в электрофоретической ячейке.

2. Обоснован механизм автоволнового процесса, протекающего в электрофоретической ячейке, как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц в приэлектродном слое.

3. Обоснована оптимальность применения метода конечных элементов для решения уравнения автоволнового процесса и найдено его численное решение.

4. Разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Практическая значимость результатов данной работы: Научно-практическая значимость работы заключается в возможности применения ее результатов при разработке более общих моделей атоволновых процессов, протекающих в физических и химических системах, экономике, природе, обществе. Разработанная программа позволяет наглядно представить численное решение нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса, что может быть использовано в том числе при изучении дисциплин «Синхронизация и хаотизация в нелинейных активных средах», «Теория нелинейных колебаний».

На защиту выносятся следующие положения.

1. Механизм автоволнового процесса как результат синхронизации автоколебательного процесса заряженной частицы дисперсной среды магнитной жидкости в приэлектродном слое электрофоретической ячейки в электрическом и магнитном полях.

2. Алгоритм расчета величины максимального заряда, отнесенного к единице поверхности, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением автоволнового процесса.

3. Результаты численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса и обоснование оптимальности выбранного метода решения.

4. Визуализация численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса (программный код).

5. Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить физические параметры, влияющие на нелинейность модели.

Личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертации получены автором лично; выбор общего научного направления исследований и математическая постановка конкретных задач осуществлялась совместно с научным руководителем. Автору принадлежит самостоятельное численное решение поставленной задачи, обработка результатов и их интерпретация.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: 11-ой и 12-ой международных конференциях по магнитным жидкостям, г. Плес (сентябрь 2004 г., август-сентябрь 2006 г.); VII международной конференции «Циклы» (2005 г.), 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука -Северокавказскому региону», г. Ставрополь, СевКавГТУ; второй международной научно-технической конференции

Инфокоммуникационные технологии в науке и технике», г. Ставрополь, СевКавГТУ, на заседании кафедры прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин Северо-Кавказского гуманитарно-технического института.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, из них 8 статей, среди которых одна статья напечатана в журнале «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 140 наименований и двух приложений. Основная часть работы изложена на 115 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Киселева, Татьяна Владимировна

Выводы

Проведенное моделирование и расчеты показали, что автоволновой процесс полностью зависит от суммы тока заряда, характеризующего фазу рефрактерности и тока разряда, характеризующего фазу возбуждения. Полученное численное решение уравнения автоволнового процесса и форма распределения величины максимального заряда ps, отнесенного к единице поверхности, при вариации параметров уравнения, является характерным для изучаемого автоволнового процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц, протекающий в электрофоретической ячейке, который представляет собой движение заряженной в объемном заряде частицы к электроду, перезарядки ее у электрода и движение обратно к границе приэлектродного слоя. Показано, что вследствие постоянства приложенной внешней силы и периодичности рассматриваемого движения заряженных частиц данный процесс можно отнести к автоколебаниям.

2. Рассчитана скорость движения заряженной частицы в приэлектродной области, которая зависит от проводимости и от напряженности приложенного электрического поля. В математической среде MathCad решено трансцендентное уравнение для определения расстояния, пройденного частицей в приэлектродном слое.

3. Показано, что приложенное неоднородное магнитное иоле компенсирует действие электрического поля: при определенных значениях противоположно направленного электрического поля

2-а r,Vc+-Vc--g-go-E-V— г— и магнитного поля

II

Ц 6 ,та-п заряженной частицы и = 0. скорость

4. Обоснован механизм автоволнового процесса, который представлен как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц, рассматриваемых как система связанных осцилляторов. В этом случае автоволновая система представляет собой цепочку из конечного числа взаимодействующих элементов.

5. Построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью.

6. Выполнен сравнительный анализ методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса с обоснованием оптимальности выбранного метода решения, в результате чего был применен метод конечных элементов.

7. Найдено численное решение уравнения автоволнового процесса, в результате чего была найдена искомая величина ps -максимальный заряд, отнесенный к единице поверхности.

8. Разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса, позволяющая наглядно представить распределение заряда р$ на поверхности электрофоретической ячейки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Киселева, Татьяна Владимировна, 2006 год

1. Aliev R.R., Panfilov A.V. A simple model of cardiac excitation // Chaos, Solitons & Fractals 7 (1996), №3. - P.293 - 301.

2. Andronoff A., Witt A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol. -«Archiv fur Elektrotechnik», 1930. Bd XXIV, P. 99 100. (Андронов А. А. Собр. трудов - M.: Изд-во АН СССР, 1956, с. 51 - 64.)

3. Andronov A. A., Chajkin S. Е. Theory of oscillation. (Transl. by S. Lefschetz.) Princeton Univ. Press, 1949.

4. Bandman O.L. Comparative Study of Cellular-Automata Diffusion Models // Lecture Notes in Computer Science. Vol.1662. 1999. Springer-Verlag, Berlin. P.395 -409.

5. Barkley D. A model for fast computer simulation of waves in excitable media // Physica D 49(1991). P.61 -70.

6. Biktashev V.N., Holden A.V. Resonant drift of an autowave vortex in a bounded medium//Phys. Lett. A 181 (1993). P.216 - 224.

7. Birtashev V.N., Holden A.V. Design principales of a low voltage cardiac defibriallator based on the effect of feedback resonant drift // J.Theor. Biol. 169, 1994.-P.101 -112.

8. Dupon G. and Goldbetter A. Oscillations and waves of citosolic calsium: insights from theoretical models. Bioessays, 14, 1992. P. 485 - 493.

9. Fife P.C. Singular perturbation and wave front techniques in reactiondiffusion problems // SIAM-AMS Proceedings 10 (1976). P.23 - 50.

10. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1 (1961). P.445 - 466.

11. Gorelova N.A., Bures J. Spiral waves of spreading depression in the isolated chicken retina//J. Neurobiol. 14, 1983.-P. 353 363.

12. Gray R.A., Jalife J. Spiral waves and the heart // Int. J. Bifurcation and Chaos 6 (1996). -P.415 435.

13. Hagan P.S. Spiral waves in reaction-diffusuon equations // SIAM J. Appl. Math. 42, 1982. P.762 - 781.

14. Higgins J. A. The theory of oscillating reactions. Ing. Chem. V.59, №5, 1967.

15. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J.Physiol. 117 (1952). P.500 - 544.

16. Kopell N., Howard L.N. Plane wave solutions to reaction-diffusion equations//Stud. Appl. Math. 52, 1973, №3. P.291 -310.

17. Lindemayer A.//J. Thcor/Biol/- 1971. V.30. - 445 p.

18. Mathematical Approaches to Cardiac Arrhythmias, a special issue of Ann. N.Y. Acad. Sci. 591,1990.-P. 1-417.

19. Mikhailov A.S., Krinsky V.I. Rotating spiral waves in excitable media: the analitical results // Physica D 9 (1983). P. 346 - 371.

20. Murray J.D. Mathematical Biology. (Biomathematics. Vol. 19.) Berlin -Heidelberg N. Y., 1993.

21. Nobel D. A modification of the Hodzhkin-Huxeley equations applicable to Purkinje fibre action and pacemaker potentials // J.Physiol 160, 1962. P.317 - 352.

22. Novak В., Tyson J.J. Modeling the cell division cycle: M-phase trigger, oscillation and size control, J. Theor. Biol. 165, 1993.-P. 101 104.

23. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic andelliptic equations // J. Indust. Appl. Math., 1955, №3. P. 28 - 41.

24. Toffoli Т., Margolus N. Cellular Automata Machines. // Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 1987.

25. Toffolli T. Cellular Automata as an Alternative to (rather than an Approximation of) Differetial Equations in Modeling Physics // Physica, 1984. Vol. 10 D.- P.117- 127.

26. Wiener N., Rosenblueth A. // Arch. Inst. Cardiol. Mexico. 1946. V. 16, №3 - 4. (Русский перевод. - Кибернетический сб. - М.: ИЛ. 1961. -№3).

27. Winfree А.Т. Science. 1972. - V.175. - Р.634. The Geometry of Biological Time.-N.Y., Heidelberg, В.: Springer-Verlag, 1980.

28. Wolfram S. Cellular Automaton Fluids 1: Basic Theory // Journal of Statistical Physics. Vol.45. 1986. N 3/4. P.471 - 525.

29. Wolfram S. Universality and complexity in cellular automata. // Physica D, 10:1 -35,1984.

30. Андронов А. А., Витт А. А. К математической теории захватывания. — «Журн. прикл. физики», 1930, т. 7, вып. 4. С. 3 -20. (Андронов А. А. Собр. трудов, С. 70 - 84.).

31. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Изд. 2-е, нерераб. и дополн. Н. А. Железцовым. — М.: Физматгиз, 1959. -915 с.

32. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Часть I. С предисловием акад. JI. И. Мандельштама. 2-е изд. - М.: Наука, 1981.-568 с.

33. Андронов А.А. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1955. -538 с.

34. Андронов А.А., Мандельштам Л.И. Теория нелинейных колебаний В кн.: Академик Мандельштам: К 100-летию со дня рождения -М.: Наука, 1977.-127 с.

35. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. // ДАН СССР. 1937. - Т.14, №5. -С.247 - 250.

36. Атауллаханов Ф.И., Волкова Р.И., Гурия Г.Т., Сарбаш В.И.,

37. Сафрошкина АЛО. Автоволновая гипотеза свертывания крови // Физическая мысль России. 1995. №1.

38. Балкарей Ю.И., Никулин М.Г., Елинсон М.И. Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: ИПФ АН СССР, 1981.-117с.

39. Бандман О.Л. Мелкозернистый параллелизм в математической физике // Программирование, 2001. № 4. С.1 - 17.

40. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.-598 с.

41. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -3-е изд., доп. и перераб. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. -636 с.

42. Белоусов Б.П. Периодически дейстующая реакция и ее механизм // 1.-С. 176-189.

43. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматгиз, 1962. - 680 с.

44. Берковский Б.М., Медведев В.Ф., Краков М.С. Магнитные жидкости. М.: Химия, 1999. - 240 с.

45. Берштейн И. Л., Иконников Е. К математической теории вынужденных колебаний в автоколебательных системах с двумястепенями свободы. «Журн. техн. физики», 1934, т. 4, № 1.

46. Богач П.Г., Решодько JI.B. Алгоритмические и автоматные модели деятельности гладких мышц. Киев: Наук. Думка, 1979.

47. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.-488 с.

48. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Авговолновые процессы./Под ред. Д.С. Чернавского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - (Соврем, пробл. Физики). - 240 с.

49. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.

50. Винер Н., Розенблют А. Проведение импульсов в сердечной мышце. Математическая формулировка проблемы проведения импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности, в сердечной мышце // Кибернетический сборник, вып.З. М.: ИЛ, 1961. - С. 3 -56.

51. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

52. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 439 с.

53. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Изд-во физ. - мат.1. Литературы, 1959. 572 с.

54. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высшая школа, 2001.-395 с.

55. Гуляев В. П., Мигулин В. В. Об устойчивости колебательных систем с периодически изменяющимися параметрами. «Жури, техн. физики», 1934, т. 4, № 1. - С. 49-65.

56. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

57. Духин С.С., Эстрела Льопис В.Р., Жолковский Э.К. Электроповерхностные явления и электрофильтрование. - Киев: Наук, думка, 1985.-288 с.

58. Елькин Ю.Е. Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов: Дисс. . канд. физ.-мат. наук / Институт математических проблем биологии РАН, Пущино, 2000.-149 с.

59. Жаботинский A.M. // Биофизика. 1964. Т. 9. С. 306; Он же. // ДАН СССР. 1964. Т. 157. 392 с.

60. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

61. Жаботинский A.M., Отмер X., Филд Р. и др. Колебания и бегущиеволны в химических системах. — М.: Мир, 1988. 720 с.

62. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. . Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980. - 480 с.

63. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984. - 165 с.

64. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978. - 309 с.

65. Каганов М.И., Цукерник В.М. Природа магнетизма М,: Наука, 1982.-192 с.

66. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

67. Кандаурова Н.В. Автоколебательное течение МЖ в электрическом и магнитном полях // Тезисы докл. V Всесоюзной конфренции по магнитным жидкостям. М.: МГУ, 1988.-С. 114- 116.

68. Кандаурова Н.В. Вынужденные колебания поверхности капли МЖ в магнитном и электрическом полях // Тезисы докл. V Всесоюзного совещания по физике магнитных жидкостей. Пермь , 1990. - С.70 -72.

69. Кандаурова Н.В. Колебания капли и струйное течение в электрическом и магнитномполях: Дисс. . канд. тех. наук / Институт физики УРО АН, Пермь, 1992. 125 с.

70. Кандаурова Н.В. Приповерхностные и межфазные явления в магнитной жидкости в электрическом и магнитном полях и их техническое применение: Дисс.д-ра техн. наук. Ставрополь, СевКавГТУ, 2000 г. 305 с.

71. Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCAD 2001. СПб.: БХВ1. Петербург, 2001. 544 с.

72. Колебания и бегущие волны в химических системах. / Ред. Р. Филд, М. Бургер.-М.: Мир, 1998.

73. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов И.С. Исследование уравнений диффузии, соединенного с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюл.МГУ, 1937. Т. 1, сер.А, вып.Б. - С. 1 - 26.

74. Кринский В.И. Биофизика. 1966. - Т.П. - с. 676; Пробл. Кибернетики. - 1968. - Т.20. - С.59 - 80.

75. Кринский В.И. Автоволновые процессы с системах с диффузией. -Горький: ИПФ СССР, 1981. С. 6 - 33.

76. Кринский В.И., Медвинский А.Б., Панфилов А.В. Эволюция автоволновых вихрей. М.: Знание, 1986. - 48 с.

77. Кринский В.И., Михайлов А.С. Автоволны. М.: Знание, 1984. - С. 22 - 29.

78. Кринский В.И., Холопов А.В. Явление эха в возбудимой ткани. -Биофизика. 1967, т. 12, №3. с. 524 - 528.

79. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

80. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. -733с.

81. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.-620 с.

82. Лоскутов АЛО., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.-272 с.

83. Майер Р.В. Основы компьютерного моделирования: Учебноепособие. Глазов: ГГПИ, 2005. - 25 с.

84. Малинецкий Г.Г., Степанцов М.Е. Моделирование диффузионных процессов клеточными автоматами с окрестностью Марголуса // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. Т.36.№ 6. С. 1017 - 1021.

85. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. -472 с.

86. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 263 с.

87. Минакова И. И., Теодорчик К. Ф. К теории синхронизации автоколебаний произвольной формы. — ДАН, 1956, т. 106, вып. 4. -С. 658.

88. Михайлов А.С., Кринский В.И. Ревербератор в активной среде. Аналитические результаты. Биофизика, 1982, №5. - С. 875 - 879.

89. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. -Едиториал УРСС, 2003. 344 с.

90. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесныхсистемах.-М.: Мир, 1979.-512 с.

91. Общая электротехника: Учеб. пособие для вузов / Под ред. д-ра техн. наук А.Т. Блажкина 4-е изд., перераб. и доп. - Л: Энергоатомиздат, Ленинград, отд.-ние, 1986. - 592 с.

92. Падалка В.В., Ерин К.В. Изучение приэлектродных процессов в . диэлектриках с магнитными коллоидными частицами // VII Международная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей». С.-Перербург, 2003. - С. 208 - 210.

93. Полак Л.С., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесныхфизико-химических системах. М.: Наука, 1983. - 283 с.

94. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2002. - 432 с.

95. Полянин А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики : учеб. пособие для вузов / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. М.: Физматлит, 2005. - 256 с.

96. Поршнев С.В., Беленков И.В. Численные методы на базе MathCad. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 464 с.

97. Привалов В. Е., Фридрихов С. А. Кольцевой газовый лазер. УФН, 1969, т. 97, вып. 3,-С. 377-402.

98. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. -Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика",2001.- 160 с.

99. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984. - 432 с.

100. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в билогии. -Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика",2002.-232 с.

101. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. 472 с.

102. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Физматгиз, 2000. - 272 с.

103. Рязин П. А. Исследование захвата электронов в ускорение вбетатронах и синхротронах. — В кн.: Ускорители. М.: Атомиздат, 1960.-С. 59-104.

104. Савельев И.В. Курс общей физики -М.: Наука, 1968, т. 1.- 202 с.

105. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. испр. М.: Наука, 1989. 616 с.

106. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Науч. мир, 2000.- 316 с.

107. Саульев В.К. Интегрирование параболических уравнений методом сеток. М.: Физматгиз, 1960. - 324 с.

108. Такетоми С., Тикадзуми С. Магнитная жидкость / Пер. с яион. М.: Мир, 1993.-272 с.

109. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-735 с.

110. Торза С., Кокс Р., Мейсон Э. электрогидродинамическая деформация и разрыв капель // Реология суспензии. М. - 1975. -С. 5-38.

111. Фертман В.Е. Магнитные жидкости: Справочное пособие Минск: Выш. школа, 1988.- 184 с.

112. ИЗ. Физический энциклопедический словарь / Под ред. A.M. Прохорова М.: "Советская энциклопедия", 1984.

113. Фомин С.В., Беркинблит М.Б. Математические проблемы в биологии. М.: Наука, 1973.-200 с.

114. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. - 502 с.

115. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.

116. Ходжкин А. Нервный импульс. М.: Мир, 1965. - 128 с.

117. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений параболического типа. // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24.№9.-С. 1172 1188.

118. Цетлин M.J1. Исследование по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: Наука, 1969. - 316 с.

119. Чеканов В. В. Автоколебания в магнитных жидкостях. В сборнике: Физические свойства магнитных жидкостей, Свердловск, 1983. С. 42 - 52.

120. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В., Бондаренко Е.А. Динамическая модель приэлектродного слоя магнитной жидкости как электроактивная среда // 10-я Международная конференция по магнитным жидкостям: Сб. научных трудов. Плес, 2002. - С. 86 -89.

121. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В., Бондаренко Е.А. Синхронизация автоволновых процессов в магнитной жидкости // 10-я юбилейная международная Плеская конференция по магнитным жидкостям. -Плес, 2002.-С. 103 107.

122. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М. О колебаниях в темповых реакциях фотосинтеза. В сб. Колебательные процессы в биологических и химических системах. - М.: Наука, 1967.

123. Юдович В.И. О возникновении автоколебаний в жидкости ПММ, 1971, Т.35.-638 с.126. www.yurae.boom.ru127. http://mathmod.aspu.ru128. www.exponenta.ru129. www.simresinc.com130. http://www.tor.ru/elcut131. www.softline.ru

124. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В., Кандауров B.C. Решениемногомерной задачи распространения автоволн // Журнал «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки». 2006. Приложение №1. С.21 24.

125. Чеканов В.В., Ильюх П.М., Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Агрегирование частиц в диэлектрическом и слабопроводящем магнитном коллоиде // Материалы 11 международной конференции по магнитным жидкостям. Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2004. - С.85 -89.

126. Киселева Т.В. Методы расщепления в решении уравненияавтоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Сборник научных трудов: Вып. V, Т.2. Ставрополь: СевКавГТИ, 2005. - С.40 - 46.

127. Киселева Т.В., Кандауров B.C. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном поле / Материалы VII Международной конференции «Циклы». -. Ставрополь, 2005. Т.2. - С. 7 - 10.

128. Киселева Т.В., Кандауров B.C. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое /

129. Материалы VII Международной конференции «Циклы». -Ставрополь, 2005.-Т.2.- С. 10- 13.

130. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Алгоритмы численных методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Вып. 6. -Ставрополь: СевКавГТИ, 2006. С. 266 - 270.