Локализованные колебания и волны в предварительно напряженных несжимаемых упругих твердых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Приказчиков, Д.А.

• Приказчиков, Д.А.
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Приказчиков, Д.А.

Введение

1 Основные уравнения

1.1 Конфигурации предварительно напряженного тела.

1.2 Уравнения движения предварительно напряженного несжимаемого упругого твердого тела.

1.3 Сравнение с ненагруженным случаем.

1.3.1 Случай трансверсальной изотропии.

1.3.2 Изотропный случай.

1.4 Некоторые энергетические потенциалы.

1.4.1 Линейный потенциал.

1.4.2 Почти нерастяжимый материал

1.4.3 Предварительно напряженный изотропный несжимаемый материал.

1.5 Дополнительные напряжения на поверхностях.

2 Распространение волн в предварительно напряженном трансверсально анизотропном упругом несжимаемом материале

2.1 Условие распространения.

2.2 Условия сильной эллиптичности.

2.2.1 Достаточные условия сильной эллиптичности.

2.2.2 Необходимые и достаточные условия в главных плоскостях предварительной деформации

2.2.3 Двуосная деформация.

2.3 Поверхность обратных скоростей при двуосной деформации

2.3.1 Пространственный случай.

2.3.2 Поверхность обратных скоростей в плоскости (пх, пг)

2.3.3 Поверхность обратных скоростей в плоскости (пг,п3)

2.3.4 Поверхность обратных скоростей в плоскости (п2,п3)

2.4 Случай почти нерастяжимого материала

2.4.1 Условие распространения в главных плоскостях.

2.4.2 Двуосная деформация.

2.5 Поверхность обратных скоростей и волновая поверхность в случае почти нерастяжимого материала при двуосной деформации.

2.5.1 Поверхность обратных скоростей.

2.5.2 Поверхность обратных скоростей в главных плоскостях

2.5.3 Волновая поверхность в главных плоскостях.

3 Распространение поверхностных волн в предварительно напряженном трансверсально изотропном полу-пространстве.

3.1 Характеристическое уравнение.

3.1.1 Частные случаи.

3.2 Определение перемещений и дополнительного давления.

3.3 Граничные условия.

3.4 Частные случае направления распространения и направления волокна

3.4.1 Распространение перпендикулярно волокну.

3.4.2 Распространение вдоль волокна.

3.5 Случай почти нерастяжимого материала

4 Краевые колебания предварительно напряженной изотропной полубесконечной полосы

4.1 Основные уравнения

4.1.1 Граничные условия

4.2 Краевые колебания.

4.2.1 Гладкое покрытие.

4.2.2 Нерастяжимая мембрана.

4.2.3 Асимметричный случай.

4.3 Свободные колебания полу-полосы.

4.3.1 Свободные колебания в случае гладкого покрытия.

4.3.2 Свободные колебания в случае нерастяжимой мембраны

4.3.3 Свободные колебания в случае асимметричных решений

4.3.4 Предельные случаи.

4.3.5 Графические иллюстрации.

4.4 Вынужденные колебания полу-полосы.

4.4.1 Вынужденные колебания в случае гладкого покрытия

4.4.2 Вынужденные колебания нерастяжимой мембраны.

4.4.3 Численные результаты.ИЗ

5 Трехмерные краевые колебания в упругих изотропных телах

5.1 Трехмерные краевые волны в полубесконечной изотропной упругой плите.

5.1.1 Гладкое покрытие.

5.1.2 Нерастяжимая мембрана.

5.1.3 Асимметричные граничные условия.

5.2 Свободные краевые колебания прямоугольного бруса.

5.2.1 Гладкое покрытие.

5.2.2 Нерастяжимая мембрана.

5.3 Вынужденные краевые колебания прямоугольного бруса.

5.3.1 Гладкое покрытие.

5.3.2 Нерастяжимая мембрана.

6 Трехмерные краевые волны в предварительно напряженной изотропной полу-бесконечной плите

6.1 Основные уравнения

6.2 Гладкое покрытие.

6.2.1 Нерастяжимая мембрана.

6.2.2 Асимметричный случай.

7 Трехмерные краевые колебания в случае предварительно напряженного бруса

7.1 Свободные колебания прямоугольного бруса.

7.1.1 Гладкое покрытие.

7.1.2 Нерастяжимая мембрана.

7.2 Вынужденные колебания изотропного предварительно напряженного бруса

7.2.1 Гладкое покрытие.

7.2.2 Нерастяжимая мембрана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локализованные колебания и волны в предварительно напряженных несжимаемых упругих твердых телах»

Данная диссертационная работа посвящена исследованию локализованных волновых движений в упругих телах. Теория поверхностных волн имеет многочисленные приложения, относящиеся, например, к разработке методов неразрушаю-щего контроля конструкций, а также при изучении ряда геофизических процессов. Характеризуя современное состояние исследований в этой области, можно по-видимому выделить два основных научных направления. Первое из них связано с изучением поверхностных волн в средах с усложненными физико-механическими параметрами. В работах второго направления учитывается влияние геометрических свойств тел и конструкций, в частности, устанавливается связь между поверхностными волнами и краевыми колебаниями. Результаты диссертации лежат в русле каждого из этих направлений. В первой части (Главы 1-3) рассматривается влияние трансверсальной анизотропии и предварительной нагрузки на распространение поверхностных волн в полу-пространстве. Заключительные четыре главы работы посвящены анализу краевых колебаний и волн в случае упругой предварительно напряженной изотропной пластины.

Упругие композитные материалы, подкрепленные волокнами, нашли широкое применение в различных областях современной науки и техники, где требуются особые механические свойства материала, например, в аэро-космической промышленности, в строительстве и т.д. Основная причина их использования заключается в чрезвычайно высокой прочности и износостойкости, а также способности выдерживать значительные нагрузки. Типичный композит примерно на 60% составлен волокнами углерода, заключенными в упругую матрицу, с диаметром волокна и расстоянием между нитями порядка 6цт. Широкий обзор механических свойств подобных материалов приведен в монографии Spencer( 1972).

Свойства некоторых типов композитов, например резины, армированной нитями углерода или нейлона, могут быть идеализированы с помощью предположения несжимаемости. Другая возможная идеализация связана с тем, что во многих реальных композитах волокна значительно прочнее упругой матрицы. Таким образом, материал гораздо более устойчив к растяжению вдоль направления волокон, чем к растяжению или сдвигу в перпендикулярном направлении, или к сдвигу при кручении. Благодаря этому свойству, композит может быть назван сильно анизотропным телом, при этом модуль его растяжения в направлении волокна на несколько порядков больше, чем модули растяжения в других направлениях. Отсюда вытекает идеализирующее предположение о нерастяжимости волокон. Такие предположения в литературе часто встречаются под именем внутренних кинематических ограничений материала. Вопрос о механических следствиях введения таких ограничений в рамках теории конечных деформаций обсуждается в монографии Truesdell & Noil (1965, Глава CHI).

В инженерных приложениях композиты часто находятся под действием значительной внешней статической нагрузки, называемой предварительной нагрузкой, присутствующей до какого-либо динамического воздействия. Известно, что наличие предварительной нагрузки оказывает сильное влияние на устойчивость и динамические характеристики материала, см. например, Ogden & Roxburgh (1993) и Fu & Rogerson (1994). Таким образом, безусловно желательно построение модели трансверсально изотропного тела, учитывающей возможность предварительной нагрузки на конструкцию.

Концепция предварительной деформации, которая используется для изучения бесконечно малых дополнительных движений тел, наложенных на конечную статическую деформацию, по-видимому впервые была предложена в работах Biot, см. монографию Biot (1967), обобщающую его предыдущие работы. Основная идея этой концепции сводится к отделению большой статической (обычно однородной) деформации и анализу бесконечно малых движений в окрестности статического напряженного состояния. Это позволяет линеаризовать уравнения движения, при этом сохраняя общую нелинейность упругого поведения. Biot получил основные уравнения в случае изначально изотропного и ортотропного материалов, в основном в рамках двумерной задачи. Похожие идеи были независимо развиты в статье Green et al. (1952), в рамках тензорного подхода.

Заметим, что в дальнейшем мы будем употреблять термин предварительное напряжение, имея в виду конечную деформацию, чтобы показать наличие напряжений до распространения волн и колебаний. Этот термин также иногда встречается в литературе для обозначения напряжений, возникающих в результате некоторого технологического процесса, например, проката. Следует подчеркнуть, что мы будем понимать этот термин именно в смысле напряжений, вызванных значительной внешней нагрузкой.

Еще одним фактором, свидетельствующим в пользу построения модели транс-версально изотропного предварительно напряженного несжимаемого тела, является популярность резины и материалов с подобными свойствами, которые широко используются в промышленности, транспорте и многих других областях повседневной жизни, см. например, Hirst (1969) и Crawford (1985). Некоторые типы резины обладают анизотропными свойствами, вследствие чего не могут быть описаны моделью изотропного тела.

Таким образом, одной из целей настоящей работы является построение модели предварительно напряженного трансверсально изотропного упругого материала и изучение некоторых ее основных свойств. Мы предполагаем, что материал является несжимаемым, что существенно упростит анализ. Мы выведем модель однородной среды, в которой волокна рассматриваются скорее в качестве наследственного свойства материала, нежели инородного включения. Рассматривая композит в качестве однородной среды, мы подразумеваем, что волновое движение определяется макроскопическими свойствами материала. Широкий обзор волокнистых материалов представлен в монографии Spencer (1972).

Модель предварительно напряженного трансверсально изотропного тела была по-видимому впервые получена в статье Chadwick & Whitworth (1986), однако, изучения свойств модели не производилось. В настоящей работе мы изучим некоторые из основных свойств данного материала.

Изучение свойств модели начинается с задачи о распространении плоских гармонических волн в неограниченной среде. Затем анализируется устойчивость материала в смысле условий сильной эллиптичности. Эта проблема относится к числу классических. Условие распространения плоских гармонических волн в неограниченной среде достаточно хорошо изучено для многих моделей материала, см. например, Scott (1986). Условия сильной эллиптичности обеспечивают устойчивость материала в смысле действительной скорости волны, распространяющейся в произвольном направлении. Необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для предварительно напряженного изотропного несжимаемого материала были получены Zee & Stern berg (1983). Из-за сложности проблемы в общем случае предварительно напряженного трансверсально изотропного несжимаемого материала мы ограничимся достаточными условиями сильной эллиптичности. В более частном случае двуосной предварительной деформации становится возможным получение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности.

Затем рассматривается распространение поверхностных волн в предварительно напряженном трансверсально изотропном несжимаемом трехмерном полу-пространстве. Поверхностная волна или волна Релея часто определяется как волна, локализованная вблизи границы полу-пространства. Эта задача также принадлежит к числу классических. Впервые она была исследована в знаменитой статье Релея, см. Rayleigh (1885). В дальнейшем решению этой задачи в самых разных средах было посвящено множество публикаций. В случае предварительно напряженного изотропного материала эта задача также достаточно хорошо изучена. В статье Hayes & Rivlin (1961) изучена задача о распространении волны Релея в плоской постановке для полу-ограниченной среды из предварительно напряженного изотропного материала (в этой статье рассмотрены как сжимаемый, так и несжимаемый материалы). В дальнейшем этот подход был продолжен на случай упругого энергетического потенциала Mooney-Rivlin, см. Flavin (1963). В работах Willson (1973), Willson (1974), and Braun (1978) было исследовано распространение поверхностной волны в предварительно напряженном изотропном материале в некоторых частных случаях предварительной деформации. В отличие от линейной изотропии, в случае предварительной нагрузки скорость поверхностных волн зависит не только от параметров материала, но и направления распространения. Изучение задачи о распространении волн Релея в плоской постановке для случая предварительной напряженных полу-пространств было продолжено, см. Chadwick & Jarvis (1979), Ogden & Dowaikh (1990) и Ogden & Dowaikh (1991). Формальный метод Стро был применен в статье Chadwick (1997). В случае трех измерений уравнение поверхностной волны было недавно получено Rogerson & Sandiford (1999) для случая предварительно напряженного изотропного несжимаемого полу-пространства. Случай идеализированного материала с нерастяжимыми волокнами, рассматривался Rogerson & Cai (2000). Несмотря на длительную историю изучения и наличие множества публикаций по задаче о распространении волны Релея, она по прежнему привлекает внимание исследователей. Так например, любопытный способ получения уравнения поверхностной волны без использования формализма Стро был недавно предложен в статье Fu & Mielke (2002). Акустические поверхностные волны во вращающихся орторомбных кристаллах были изучены в статье Destrade (2004).

В настоящей работе мы изучаем задачу о распространении поверхностной волны в случае трехмерного полу-пространства для предварительно напряженного трансверсально изотропного несжимаемого материала. Также анализируется случай почти нерастяжимых волокон.

Вторая часть данной диссертационной работы посвящена анализу краевых колебаний и волн. Краевые волны обычно определяются для тел, обладающих конечным размером хотя бы в одном направлении, и обычно рассматриваются в случае полу-бесконечной пластины или бруса. В данной работе мы установим связь между краевыми колебаниями полу-бесконечной предварительно напряженной изотропной пластины и скоростью волны Релея. Явление краевого резонанса было впервые отмечено в статье Shaw (1956), за которой последовало множество публикаций на эту тему, см. например, Gazis & Mindlin (1960), Torvik (1967), Torvik, & McClatchey (1968), Gregory & Gladwell (1983), Гомилко u dp. (1991), Roitberg е/ а/. (1998). Аи1с1 & Тбэо (1977) предложили вариационный подход к этой задаче. Задачу также изучали численно с использованием метода конечных элементов, см. КовЫЬа е/ а/. (1983). Краевые колебания были также рассмотрены в случае полу-бесконечной цилиндрической оболочки, см. Кар1ипоу е/ а/. (2000).

Краевые волны до настоящего времени изучались в рамках двумерных приближенных теорий, соответствующих длинноволновым низкочастотным движениям. Простейшим примером является волна, распространяющаяся вдоль края полубесконечной пластины в случае обобщенного плоского напряженного состояния. Эта волна является естественным аналогом волны Релея в полу-пространстве, при этом ее скорость определяется из весьма похожего уравнения см. Кар1илоу е/ а/. (2000), где се обозначает скорость краевой волны, а

I 8(/х + 2\)(/л + А)2 у р{2ц + Х){2ц + ЗХ) ' где р - объемная плотность, а Аир - постоянные Ламэ. Единственное различие между приведенным уравнением и классическим уравнением Релея заключается в наличии продольной скорости в пластине сз, которая в случае трехмерной упругости заменяется на

2ц + X

Попутно отметим, что хотя в случае обобщенного плоского напряженного состояния уравнение краевой волны очень похоже на уравнение Релея для изотропного материала, построение аналогичных приближенных теорий в случае анизотропии представляет собой весьма нетривиальную задачу. Эти теории только недавно были получены в случае предварительно напряженного изотропного материала в работе Р1сЬи^п (2002), а также в случае несжимаемого трансверсально изотропного материала, см. МоикЬотосПагоу(2003).

В отличие от симметричного случая длинноволновых низкочастотных приближений, краевая волна в соответствующем анти-симметричном случае является дисперсионной. Впервые эта краевая волна была рассмотрена Коненковым (1960) в рамках теории Кирхгофа для пластин. Величина скорости волны Коненкова имеет значение ск = а \Jc3uh, = - А) + 2 V2 {(Л + мР + Л], где и обозначает частоту, a h полу-толщину пластины, см. Коненков (1960). В 1974 году волна была независимым образом "переоткрыта" Sinha и Thurston & МсКеп-па. История вопроса может быть найдена в статье Norris et al. (2000). Изгиб-ные краевые волны изучались для анизотропных материалов, см. Norris (1994), Thompson et al. (2002) и Zakharov & Becker (2003). Краевые изгибные волны также были исследованы для тел, погруженных в сравнительно легкую жидкость, см. Krylov (1998). Контактные изгибные волны в пластинах изучались Зильберглей-том и Сусловой(1983). Волны на узловом сочленении пластин были исследованы в статье Коузова и др. (1989). Краевые и контактные волны в упругих оболочках вращения были рассмотрены в статье Kaplunov & Wilde (2000). Анализ формальных аспектов существования и единственности краевых волн был произведен Fu (2003).

Наш подход опирается на недавнее наблюдение о связи между краевым спектром полу-бесконечной полосы и скоростью волны типа Релея, локализованной вблизи края, см. Kaplunov et al. (2000). В настоящей работе мы изучим свободные и вынужденные краевые колебания полу-бесконечной полосы из предварительно напряженного несжимаемого изотропного материала в случае смешанных граничных условий на лицевых поверхностях. Эти граничные условия обладают хорошей физической интерпретацией, а также позволяют выделить решения в явном виде. Этот подход будет в дальнейшем обобщен на случай трех измерений для полубесконечной пластины из линейного изотропного материала, а затем и для случая предварительной нагрузки.

Краткое содержание данной работы приведено ниже. В Главе 1 выводятся основные уравнения теории бесконечно малых движений, наложенных на конечные деформации в случае трансверсально изотропного несжимаемого тела. Рассматриваемое упругое тело имеет три основных конфигурации. Из начального естественного ненагруженного состояния посредством конечной однородной деформации тело переходит в конфигурацию равновесия. Затем на тело накладываются бесконечно малые движения, которые и являются предметом нашего изучения. Выводится модель трансверсально изотропного предварительно напряженного несжимаемого тела. Получены выражения для соответствующего тензора упругости, а также записываются уравнения движения. Влияние анизотропии отражено через существование направления с особыми свойствами, называемого направлением волокна. Производится сравнение с ненагруженным случаем трансверсаль-ной изотропии. В рамках этого сравнения получена связь между нашим подходом и тремя упругими постоянными, соответствующими случаю трансверсальной изотропии. Затем дается небольшой обзор энергетических потенциалов, которые будут использоваться в численных и аналитических вычислениях. В заключение, вводятся дополнительные напряжения на главных поверхностях предварительной деформации, которые затем будут использоваться при постановке краевых задач.

В Главе 2 изучаются некоторые основные свойства полученной модели трансверсально изотропного предварительно напряженного несжимаемого тела. Сначала мы выводим условие распространения плоской однородной гармонической волны в неограниченной среде. В частном случае двуосной деформации, т.е. в случае, когда два главных значения предварительной деформации равны между собой, показано, что условие распространения может быть факторизовано. Затем исследуется устойчивость материала в рамках условий сильной эллиптичности, гарантирующих действительную скорость волны, распространяющейся в произвольном направлении. В общем случае приводятся достаточные условия сильной эллиптичности, поскольку получение необходимых и достаточных условий сопряжено с значительными трудностями. Однако, критерий сильной эллиптичности может быть получен в более частных случаях, т.е. в случае плоского движения в главных плоскостях предварительной деформации, а также в вышеупомянутом случае двуосной деформации. Затем мы переходим к изучению поверхности обратных скоростей. В частности, мы выводим условия, при которых поверхность теряет свойство выпуклости, и становится вогнутой. Затем исследуется важный частный случай почти нерастяжимых волокон. В этом случае также обсуждаются условия сильной эллиптичности, и производится изучение форма поверхности обратных скоростей для различных значений модуля растяжения вдоль волокна. Мы также приводим несколько иллюстраций сечений соответствующей волновой поверхности главными плоскостями предварительной деформации. По результатам этой главы была оформлена публикация, см. РпкагсЫкоу & Ио^егеоп (2003а).

В Главе 3 рассматривается задача о распространении поверхностной волны в полу-пространстве из трансверсально изотропного, предварительно напряженного несжимаемого материала. Мы будем изучать случай произвольного направления распространения и произвольного направления волокна в одной из главных плоскостей предварительной деформации. Показано, что скорость поверхностной волны зависит от величины нормального напряжения Коши в предварительно деформированном состоянии равновесия. После разделения переменных получено би-кубическое характеристическое уравнение, которое затем анализируется на предмет возможных упрощений. Перемещения и дополнительное давление находятся в виде линейных комбинаций решений, экспоненциально затухающих от края. Также изучается частный случай почти нерастяжимых волокон. Проведенный численный и асимптотический анализ в главном порядке представляет собой идеализированный случай абсолютной нерастяжимости. Результаты этой главы опубликованы, см. РпкагсЫкоу & Rogeгson (2004).

Следующие четыре главы посвящены анализу краевых волн и колебаний. В Главе 4 исследуются двумерные краевые колебания, а также краевые резонансы в случае предварительно напряженной изотропной несжимаемой полу-бесконечной полосы. Рассматриваются три типа смешанных граничных условий на лицевых поверхностях, обладающие достаточно прозрачной физической интерпретацией. Показано, что собственные частоты колебаний полу-полосы связаны со скоростью поверхностной волны. Более того, в случае, когда нормальное напряжение стремится к одному из двух критических значений, соответствующих нулевой скорости релеевской волны, плотность краевого спектра неограниченно возрастает.

В этом случае мы имеем контрпример к знаменитой гипотезе Вейля, утверждающей, что вклад краевого спектра в спектр всего тела сравнительно мал. Однако, соответствующая теорема была доказана при выполнении условия Шапиро-Лопатинского, которое нарушается в нашем случае. Также показано, что если нормальное напряжение стремится к критическому значению, соответствующему переходу поверхностной волны в объемную, то явление краевого резонанса не возникает в принципе. Некоторые предварительные результатов приложении к угольному слою были опубликованы, см. РпкагсЫкоу & Rogeгson (2002). Более общие результаты также оформлены в виде публикации, см. Кар1ипоу е1 а1. (2004а).

В последних трех главах рассматриваются трехмерные краевые волны и колебания в случае полу-пластины, а также полу-бесконечного бруса прямоугольного сечения. В Главе 5 изучаются краевые волны в полу-бесконечной изотропной пластине, а также свободные и вынужденные колебания бруса в рамках линейной теории упругости. В обоих случаях показано наличие связи между краевым спектром и скоростью волны типа Релея в соответствующей задаче для полу-пространства. В случае полу-пластины мы рассматриваем три типа перекрестных граничных условий на лицевых поверхностях, введенных в четвертой главе, для каждого из которых выделяются два семейства решений. Также мы приводим несложные длинноволновые и коротковолновые приближения. В случае бруса изучаются первые два типа смешанных граничных условий, имеющие очевидную физическую интерпретацию. В каждом из случаев выделяются четыре семейства решений. В заключение главы анализируются вынужденные колебания бруса. Основные результаты этой главы, а также двух последующих глав, подготовлены к публикации, см. Кар1ипоу е/ а/. (2004 Ь).

В Главе 6 мы распространяем результаты, полученные в пятой главе для свободных колебаний полу-пластины, на случай предварительно напряженного изотропного несжимаемого материала. Как и в Главе 5, отмечается связь между собственными частотами свободных колебаний и скоростью волны типа Релея. Однако, в отличие от Главы 5, скорость поверхностной волны в предварительно напряженном теле зависит от направления распространения. На лицевых поверхностях рассматриваются три типа смешанных граничных условий, для каждого из которых выделяются два семейства решений. Также изучается трехмерный интервал стабильности для нормального напряжений. Как и в Главе 4, отмечен случай увеличения плотности краевого спектра. Влияние предварительной деформации проявляется в появлении областей с отрицательной групповой скоростью в случае достаточно сильной предварительной деформации. В окрестности частот среза строятся длинноволновые приближения; также выделяется параметр, определяющий знак групповой скорости в окрестности частот среза.

В Главе 7 мы приводим результаты для свободных и вынужденных краевых колебаний полу-бесконечного предварительно напряженного изотропного несжимаемого бруса прямоугольного сечения. Как и в Главе 5, мы рассматриваем два типа смешанных граничных условий на лицевых поверхностях, для каждого из которых выделяются четыре семейства решений. Устанавливается связь между дискретным краевым спектром бруса и скоростью волны типа Релея.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Приказчиков, Д.А., 2004 год

1. ЗильБЕРГЛЕЙТ, A. C.& СУСЛОВА, И.Б.(1983)Контактныеволныизгибавтонких пластинах. Акуст. Журнал, 29, pp. 186—191.