Линейные вложения графов в трехмерное евклидово пространство тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Глушак, Елена Николаевна

• Глушак, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глушак, Елена Николаевна

1 Введение

1.1 Формулировка задачи и цель работы.

1.2 Исторический обзор.

1.2.1 Линейные вложения полных графов.

1.2.2 Линейные вложения циклов и наборов циклов ( полигональных узлов и зацеплений).

1.3 Главные результаты работы.

1.3.1 Результаты, относящиеся к графам с числом вершин. не превосходящим тести.

1.3.1.1 Линейные вложения графов не более чем с четырьмя вершинами.

1.3.1.2 Линейные вложения графов с пятью вершинами.

1.3.1.3 Диаграммы и графы.

1.3.1.4 Линейные вложения графов с шестью вершинами

1.3.2 Результаты, относящиеся к графам с произвольным числом вершин.

1.3.2.1 Подготовительный материал.

1.3.2.1.1 Инвариант Л: определение и свойства.

1.3.2.1.2 Оценка сверху числа Л (С).

1.3.2.1.3 Оценка снизу числа А (С).

1.3.2.2 Теоремы В и С.

1.3.2.2.1 Свойства инварианта р.

1.3.2.2.2 Оценка сверху числа и {Су).

1.3.2.2.3 Оценка снизу числа ^(С).

1.3.3 Добавление. Зацепления выпуклых плоских кривых

1.4 Расположение материала.

Глава 1. Доказательство теоремы А

2 Доказательство пункта 1 теоремы А

3 Доказательство пункта 2 теоремы А

4 Доказательство части б) пункта 3 теоремы А и следствия из нее

4.1 Доказательство для графа (?12,з

4.1.1 Предварительный материал. Инварианты жесткой изотопии.

4.1.2 Доказательство.

4.2 Доказательство для подграфов графа С^з.

4.3 Доказательство для графов, не рассмотренных в разделах

4.1 и 4.2.

4.3.1 Доказательство для графа (5x5,

4.3.2 Доказательство для графов, не рассмотренных выше

Глава 2. Доказательство результатов, сформулированных в подпункте 1.3.

5 Доказательство лемм и следствия из 1.3.2.

5.1 Доказательство леммы 1.

5.2 Доказательство леммы 3.

5.3 Доказательство леммы 4.

5.4 Доказательство следствия леммы

5.5 Доказательство леммы 5.

6 Доказательство замечания из 1.3.2.1.

7 Доказательство теоремы В

Глава 3. Доказательство результатов, сформулированных в подпункте 1.3.

8 Доказательство теоремы из 1.3.

9 Доказательство следствия из 1.3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные вложения графов в трехмерное евклидово пространство»

1.1 Формулировка задачи и цель работы

Графом называется конечный полиэдр размерности, не превосходящей единицы, т.е. подмножество евклидова пространства, наделенное конечной триангуляцией, все симплексы которой евклидовы.

Пусть С - граф. Топологическое вложение С —> К3 называется линейным, если оно линейно на каждом ребре (= одномерном симплексе) графа. Рассмотрим множество всех линейных вложений графа в пространство М3 и снабдим его компактно-открытой топологией; линейные вложения /, д : С —> М3 называются жестко изотопными, если они лежат в одной компоненте линейной связности этого пространства. Фундаментальной является следующая задача: для любого графа расклас-сифтцироватъ линейные вложения этого графа еМ3 с точностью до 'жесткой изотопии.

Главная цель этой работы - продвинуть, насколько окажется возможным, решение этой задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глушак, Елена Николаевна, 2008 год

1. C.C.Adams, B.M.Brennan, D.L.Greilsheimer, А.К.Woo, Stick numbers and composition of knots and links, J. Knot Theory Ramif. 6 (1997), 1ю.2, 149-161.2j J.A.Calvo, The embedding space of hexagonal knots, Topology and its Applications 112 (2001), 137-174.

2. J.A.Calvo, Geometric knot spaces and polygonal isotopy, J. Knot Theory Ramif. 10 (2001), 245-267.

3. J.A.Calvo, K.C.Millett, Minimal edge piecewise linear knots, Ideal Knots (A.Stasiak, V.Katrich, L.H.Kauffman, eds.), Series on Knots and Everything, vol. 19, World Scientific, Singapore (1999), 107-128.

4. J.H.Conway, C.McA.Gordon, Knots and links in spatial graphs. J. of Graph Theory 7 (1983), 445-553.

5. C.Ernst, D.W.Sumners, The growth of the number of prime knots, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 102 (1987), 303-315.

6. G.T.Jin, H.S.Kim, Polygonal knots, Jour. Korean Math. Soc. 30 (1993), 371-383.

7. G.T.Jin, Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links, J. Knot Theory Ramif. 6 (1997), no.2, 281-289.

8. Y.Huh, C.B.Jeon, Knots and links in linear embeddings ofK§, J. Korean Math.Soc. 44 (2007), no.3, 661-671.

9. J.P.Levine, An approach to homotopy classification of links, Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988), 361-387.

10. C.McCabe, An upper bound on edge numbers of 2-bridgc knots and links, J. Knot Theory Ramif. 7 (1998), 797-805.

11. B.Mellor, P.Melvin, A geometric interpretation of Milnor's triple linking numbers, Algebraic & Geometric Topology 3 (2003), 557-568.

12. K.C.Millett, Monte Carlo explorations of polygonal knot spaces, Proceedings of the International Conference on Knot Theory and its Ramif., World Scientific Publishing Co., 2001.

13. J.Milnor, Link groups, Annals of Mathematics 59:2 (1954). 177-195.

14. J.Milnor, Isotopy of links, Algebraic geometry and topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, Princeton, N. J. (1957), 280-306.

15. S.Negami, Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 324 (1991), 527-541.

16. B.Podlesny, Minimal stick number for knots arid links, www.math.csusb.edu/reu/bpOl .pdf (2003).

17. J.L.Ramirez Alfonsin, Spatial Graphs and Oriented Matroids: the Trefoil, Discrete Comput. Geom. 22 (1999). 149-158.

18. R.Randell, Conformation spaces of molecular rings, Studies in Physical and Theoretical Chemistry 54 (1988), 141-156.

19. R.Randell, A molecular conformation space, Studies in Physical and Theoretical Chemistry 54 (1988), 125-140.

20. R.Randell, An elementary invariant of knots, J. Knot Theory Ramif. 3 (1994), 279-286.

21. E.J.Rawdon, R.G.Scharein, Upper bounds for equilateral stick numbers, In Physical Knots: Knotting, Linking, and Folding Geometric Objects in R3 (Las Vegas, NV, 2001). Amer.Math.Soc.Contemp.Math (2002), 55-75.

22. H.E.Warren, Lower bounds for approximation by nonlinear manidolds, Trans. Amer. Math. Soc. 133 (1968), 167-178.

23. Ф.Харари, Теория графов, УРСС, Москва, 2003 г., 296 с.

24. Е.Н.Глушак, Линейные вложения полных графов в трехмерное евклидово пространство, Сборник аннотаций работ по грантам Санкт-Петербургского конкурса 2003 г. для студентов, аспирантов и молодых специалистов, 2003 г., с.20.

25. Е.Н.Глушак, Линейные вложения полных графов с пятью вершинами, Материалы Всерос. науч.-метод. конф., Великий Новгород, 2004 г., с.31-34.

26. Е.Н.Глушак, Оцет :и числа классов жестко изотопных полигональных узлов, Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006 г., с.24-25.

27. Е.Н.Глунтак, Зацепления выпуклых плоских узлов, Тезисы докладов 7-й международной конференции по геометрии и топологии, Черкассы, 2007 г., с. 12-13.

28. Е.Н.Глушак, Линейные вложения простых графов в R3, Зап. научн. сем. ПОМИ 353 (2008), 27-34 .

29. Е.Н.Глушак, Линейные вложения графов с шестью вершинами, УМН 63:4(382) (2008), 177-178.

30. E.Glusliak, Linear embeddings of graphs with six vertices in R3, Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина:Тезисы докладов, Москва, 2008 г., с. 437.