Коллективные явления и структуры в спиральных галактиках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Поляченко, Евгений Валерьевич

• Поляченко, Евгений Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Поляченко, Евгений Валерьевич

Введение

Часть I. Единая теория галактических структур в звездных дисках

Глава 1. Галактические бары и спирали как медленные моды звездных дисков

1.1 Вывод основного интегрального уравнения для низкочастотных мод.

1.2 Общий анализ основного интегрального уравнения

1.3 Бароподобные и спиральные решения для тестовых моделей.

1.4 Исследование линден-белловской производной для типичной модели галактического диска.

1.5 Неустойчивость радиальных орбит и медленные бары

1.5.1 Неустойчивость радиальных орбит.

1.5.2 Наблюдательные свидетельства существования медленных баров Линден-Белла.

1.5.3 Одномерные интегральные уравнения в пределе круговых орбит.

1.6 Спиральные решения основного интегрального уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коллективные явления и структуры в спиральных галактиках»

Среди многообразия галактик разного типа спиральные галактики, безусловно, представляют наиболее интересный объект исследования. По этой причине развитие динамики галактик происходило в основном с целью понять механизмы формирования наблюдаемой структуры спиральных галактик. Данная работа также посвящается изучению спиральных галактик.

В самой грубой схеме классификации (достаточной, однако, для наших целей) спиральные галактики делятся на два сильно различающиеся по внешнему виду класса. Одним из них являются SB-галактики (пересеченные спирали, или галактики с баром), которые имеют спиральные рукава, выходящие из концов бара. Второй класс составляют нормальные SA-галактики, не обладающие заметным баром.

Можно выделить две главных особенности спиральных галактик. Первая особенность геометрическая: звезды и газовые облака, из которых состоят спиральные галактики, сосредоточены в сильно сплюснутых дисках. Такая форма объясняется быстрым вращением спиральных галактик, и вторая особенность, которую мы хотели бы отметить, связана с характером этого вращения и является кинематической. Звезды и облака в спиральных галактиках движутся по почти круговым орбитам с угловой скоростью, зависящей от расстояния г до центра, Q = Q(r); такое вращение галактического диска принято называть дифференциальным.

С дифференциальностью вращения связана одна из основных трудностей, с которой мы сталкиваемся, пытаясь объяснить природу спиральных рукавов. Если бы они представляли собой материальные образования (звезды и газ вместе с магнитным полем), движущиеся в каждой точке с локальной скоростью вращения галактики, такие рукава быстро растянулись бы, так что через несколько оборотов диска они должны были бы полностью раствориться в галактике. Такие спиральные рукава были бы, следовательно, короткоживущими, с типичным временем жизни порядка периода обращения галактики 108 лет). В то же время считается, что возраст галактик ~ ю10 лет, и за это время диск Галактики в окрестности Солнца успел сделать около 100 оборотов. Предпринимавшиеся неоднократно попытки построения регенеративной теории спиральной структуры, в которой она постоянно или периодически возобновляется (наиболее разработанная и известная теория такого рода принадлежит Голдрейху и Линден-Беллу [1]), не имели успеха.

В принципиальном плане проблема была разрешена благодаря высказанной Б.Линдбладом [2] идее, что спиральные рукава представляют собой волны плотности, обращающиеся по галактическому азимуту с некоторой постоянной угловой скоростью Ц>, несмотря на дифференциальность вращения диска. Заметим, однако, что волновая идея Линдблада была развита в современную теорию спиральной структуры лишь в 60 - 80е годы в работах Тоомре [3, 4], Калнайса [5], ф

Лина, Шу и Юаня [6, 7, 8].

Равновесие в галактических дисках устроено просто - оно в основном обусловлено балансом центробежной и гравитационной сил. Однако, использование простейшей модели - бесконечно-тонкого диска с нулевым давлением - было бы некорректно ввиду сильной неустойчивости такого диска. Формально это следует из выведенного Тоомре [3] локального дисперсионного уравнения, которое связывает частоту и и волновое число кг коротковолнового аксиально-симметричного возмущения вблизи некоторого произвольного радиуса г: ш к2 (г) — 2irGcro(r)\kr\, (В.1) где к(г) = у402 + г (JT22)' - эпициклическая частота, Q(r) - угловая скорость вращения, (р,2)' = d£l2fdr, 0о(г) - поверхностная плотность массы диска, G - гравитационная постоянная; возмущение считается пропорциональным ехр(—itot + гкгг), а диск располагается в плоскости х,у. Такой вид дисперсионного уравнения представляется достаточно очевидным. При G = 0, т.е. в пренебрежении самогравитацией диска, мы имеем согласно (В.1) колебания с частотой к - это и есть эпициклические колебания. Самогравитация приводит, как видно из (В.1), к неустойчивости достаточно мелкомасштабных возмущений: и? < 0, если \кг\ > кт = k2/2ttG<jq. Разумеется, физическая природа этой неустойчивости - джинсовская. Квадрат "обычной" джинсовской частоты uj2J3 — 4тгGp0(r) (который должен был бы m стоять в правой части (В.1) для бесконечной по z среды - цилиндра с объемной плотностью ро(г)) в дисковом случае заменяется на coj2 = 2irGcro(r)\kr\. Необходимость именно такой замены следует уже из соображений размерности: из имеющихся в нашем распоряжении трех величин G, сто, кг квадрат частоты конструируется единственным образом: си22 = constGcro(r)|Av|; значение const = 2п соответствует тому, что Uj2 переходит в си23 при кг = 2тг Jh (h - полутолщина диска).

Естественным обобщением (В.1) является дисперсионное уравнение w2 = K\r) - 2irGa0{r)\kr\ + k2rc2s (В.2) для радиальных возмущений тонкого диска с конечным плоским давлением Р± = f Pdz, Pz — О, Р - обычное давление газа, с3 - скорость звука: с^ = дР^/да^. Как и должно быть, при больших кг (В.2) вырождается в дисперсионное уравнение для звуковых волн. В безразмерном виде (В.2) можно представить как ш 1 - \Ц + k2Q2/4 (В.З) где to = и/к, к = кг/кт, а

Я-—7Г-- (В.4)

7ГСтСТд

Поведение функции ш2 — О2 (к) зависит от значения "параметра устойчивости Тоомре" Q1. Величина Q есть комбинация равновесных парадействительности Тоомре [3] определил величину q несколько иначе, а именно: q = Kcr/3.36G0o; именно эта величина равна единице на границе устойчивости радиальных возмущений звездных дисков, которые и рассматривались Тоомре (с,- - дисперсия радиальных скоростей звезд). метров диска, причем в числителе стоят факторы (к,с3), увеличение которых способствует стабилизации диска, а в знаменателе - дестабилизации (сг0). Пограничная кривая й>2 = ш2(к), которая касается оси абсцисс, соответствует Q — 1; при Q > 1 мы имеем кривые, на которых всюду lu2 > 0 (устойчивость), при Q < 1 - кривые, для которых имеется область (ki, к2) неустойчивых волновых чисел.

Таковы основные факты по устойчивости гравитирующих дисков относительно радиальных возмущений: в этом случае устойчивость или неустойчивость определяются значением единственного безразмерного параметра Q. Обратимся теперь к возмущениям, нарушающим исходную аксиальную симметрию диска, т.е. пропорциональным ехр(—icot + ikTr + imp), где - азимут, am- целое число, причем т ^ 0. Эти возмущения, в отличие от кольцевых, подвержены влиянию дифференциальности вращения. С вызванной этой причиной эволюцией возмущений связаны существенные усложнения теории устойчивости для таких (неаксиально-симметричных) возмущений (см. ниже). С другой стороны, неаксиальные возмущения оказываются более неустойчивыми (следовательно, более интересными), чем радиальные; точнее, они труднее поддаются стабилизации. Это, в частности, наглядно продемонстрировали многочисленные компьютерные (N-body) эксперименты. Например, неоднократно проводилось моделирование эволюции первоначально "холодного" диска (с круговыми орбитами всех частиц); при этом диск разваливается на несколько кусков (которые затем слипаются с образованием эли липтического диска с заметной долей радиальных движений частиц). Как мы видим, превалируют здесь отнюдь не кольцевые возмущения. Еще более наглядно преобладающая роль нерадиальных возмущений проявляется в численных экспериментах с дисками, в каждой точке которых выполнено условие устойчивости относительно радиальных возмущений, т.е. Q(r) = 1. Оказывается, что такие диски остаются неустойчивыми к нерадиальным модам.

Усложнения, возникающие при построении теории устойчивости неосесимметричных возмущений в дифференциально вращающемся гравитирующем диске, во многом сродни, например, проблемам, известным в гидродинамической теории устойчивости. Будем пока интересоваться (как в наших работах [9], [10], [И]) локальными решениями вблизи некоторого радиуса г0, соответственно представляя угловую скорость как fl(r) — fl(ro) + 1У(го)(У — г0) и опуская остальные члены разложения в ряд Тейлора. Такое приближение аналогично приближению Куэтта в случае плоско-параллельного течения, v = vx ~ vx(y), когда принимается линейный закон vx(y) — ^х{уо) + ь'х{Уо){у — Уо)• Как хорошо известно, для несжимаемого течения Куэтта линеаризованная задача сводится к уравнению Рэлея (см., например, [12]); при этом оказывается невозможным удовлетворить необходимым условиям на границах течения (или на \у\ —> оо) (см., например, Кейс [13]). Поэтому для изучения динамики возмущений в таких течениях необходимо решать задачу с начальными условиями. Похожая ситуация возникает и при рассмотрении локальных возмущений в несжимаемом вращающемся потоке (Ломинадзе и др. [14]). Легко показать, что в ^-представлении эта задача также сводится к уравнению Рэлея. Отсюда следует, что не существует собственных решений, которые исчезают вдали от места локализации возмущения, ввиду невозможности удовлетворить граничным условиям.

В рассматриваемых нами дифференциально вращающихся дисках локальные неосесимметричные безвихревые2 возмущения также не могут быть собственными в приближении, аналогичном приближению Куэтта, т.е. при линейном законе для угловой скорости Г2(г)3. Для анализа динамики диска нужно, вообще говоря, решать задачу с начальными условиями. Однако, доступной информации о состоянии и структуре диска, начальном уровне и характере возмущений часто недостаточно для такого анализа. В этой ситуации большое значение могут иметь приближенные критерии, определяющие возможность заметного роста начальных возмущений и зависящие только от основных параметров диска. Методика получения таких критериев (аналогичных критерию Тоомре) для локальных неосесимметричных возмущений диска была предложена в наших работах [9], [10], [11]. Говоря точнее, мы ограничились выводом критериев, устанавливающих невозможность квазиэкспоненциального нарастания возмущений. Заметим, однако,что сильное увеличение начальной амплитуды возму

2Точнее, речь идет о возмущениях, сохраняющих обобщенный вихрь, (rotzv/a)i — 0).

3Как хорошо известно, собственные решения уравнения Рэлея могут существовать при условии, что vq = 0 где-либо внутри области течения. В рассматриваемом нами случае вращающегося потока гравитирующего сжимаемого газа для существования собственных решений тоже, возможно, требуется некоторое аналогичное условие щения происходит только при наличии достаточно протяженного во времени участка квазиэкпоненциального роста.

Оказывается, что подобно тому, как неравенство Q > 1 обеспечивает устойчивость диска к аксиально-симметричным возмущениям, произвольные локальные возмущения гарантированно не нарастают, если выполнено аналогичное, но более сильное неравенство:

Q > Qc > 1, (В.5) где Qc - новое критическое значение параметра Тоомре.

Главной целью цитированных выше наших работ как раз и является вычисление величины Qc для газовых и звездных дисков. Для газовых дисков мы используем две ставшие уже давно стандартными модели: политропных дисков конечной толщины и бесконечно-тонкого диска с плоским гидродинамическим давлением. Выражение для критического Q^ газового диска определяется как функция параметра а2 = 2£2(г)/г|£У(г)|, характеризующего степень дифференциальное™ вращения диска в точке г (см. ниже, формула (В. 17)). Это выражение остается одним и тем же для дисков с произвольным значением показателя адиабаты 7. В значительной степени эти результаты уже содержались в завуалированном виде в работе Голдрейха и Линден-Белла [1], где впервые исследовалась устойчивость газовых дисков конечной толщины с дифференциальным вращением.

Принятый этими авторами подход к задаче заключается в следующем. Прежде всего они вводят сопутствующие невозмущенному потоку газа оси координат (У, у\ z')\ х' = ж, у' = у- 2Axt, z' = г, (В.6) где (x,y,z) - локальная декартова система в данной точке диска, причем ось х направлена по радиусу, ось у - вдоль азимута и ось z - параллельно оси вращения диска; А = rQ!(r)/2. В результате задача сводится к решению системы линеаризованных уравнений гидродинамики и уравнения Пуассона с коэффициентами, зависящими от t и z, но не зависящими от х' и у'. В то же время в исходных, непреобразованных уравнениях коэффициенты зависят от х и г, но не от t и у\ таким образом, пребразование (В.6) позволяет перейти от неоднородности по х к неоднородности по t. Это дает возможность корректного рассмотрения задачи об эволюции во времени возмущений, пропорциональных exp(ikxx' + гкуу') с произвольными постоянными кх, ку. Обратное преобразование этой экспоненты к исходной системе (x,y,z) дает exp(гкхх' + гкуу') = ехр [гку(-тх + у)], (В.7) где введена новая "временная" переменная т 2At кх/ку] т = 0 соответствует положению, когда волновой вектор возмущения в системе (х, у, z) направлен точно по оси у. Вид правой части показывает, что радиальная компонента волнового вектора (в исходной системе координат) меняется со временем по линейному закону: kr — куТ = кх QAkyt. (В.8)

Далее, воспользовавшись некоторыми дополнительными предположениями4, Голдрейх и Линден-Белл выводят эволюционные уравнения для величины 9\ = ui/ctq (ai и сг0 - соответственно, возмущенная и невозмущенная поверхностная плотность) в двух случаях - для дисков с показателями адиабаты 7 = 2 и 7 = 1. В случае изотермического диска (7 = 1) уравнение для нерадиальных возмущений в обозначениях оригинальной работы [1] есть в\ d

Jt \^1+т2 где Р' = ttGPc/A2,

2В/А ВЫ/А2 - Р'/д{т) Н-

1 + т2): l + rJ ш(1 — т2)

91 = 0,

В.9) д{т) 1+т + ±т2Ф'(1 + |)5 ф'(!+|) = Еж оо 1

В.10) f+r)2' in = ку (l + г2)1//2 /ко, В = А + Г2, = 2irGpc/c;2, cs - скорость звука, рс - плотность диска в экваториальной плоскости z = 0; в этой модели объемная плотность p0(z) = pc/cosh2(z/z0), z0 = cs/^/2ttGpc. Аналогичное уравнение для эволюции радиальных возмущений выглядит несколько проще: d2e\ dT2

ВП

Р' А2 д(тх)

ОГ = О,

В.11)

4 Отметим, что в подходе Голдрейха и Линден-Белла используются некоторые предположения, которые делают получаемые результаты заведомо приближенными (мы, однако, считаем, что точные результаты, которые потребуют существенно более сложного вывода, не будут сильно отличаться от полученных Голдрейхом и Линден-Беллом [1] и нами в цитированных выше работах). Прежде всего речь идет об использовании приближения вертикального равновесия: принимается, что зависимость возмущенной плотности от 0 такая же, как у невозмущенной. В будущей детальной теории должны быть учтены точные механизмы установления равновесия по 2: в реальных астрофизических дисках. Обсуждение этой проблемы (как и саму ее постановку) можно найти в работе Фридмана и Хоружего

15]. Еще одним недостатком теории Голдрейха и Линден-Белла является использование формул для изолированного диска при описании равновесия по г: фактически это означает предположение о ци-линдричности внешнего гало (в то время как более естественно было бы считать его сфероидальным). где тх = кх/ко. В случае диска с 7 = 2 уравнения эволюции почти совпадают с (В.9) и (В.11), только вместо Р'/д(т) в них стоит несколько иная функция P/F(K), где Р -константа, аналогичная Р', a F{K) - функция, заменяющая д(т), причем К = куа( 1 + г2)1/2, а - полутолщина диска. Явный вид этой функции, как и константы Р, нам в дальнейшем не понадобится. Важно, что функция 1 /д(тх) и 1 /F(K) обе имеют максимум при некотором значении тх или К. По этой причине из уравнения (В.11) (и аналогичного ему при 7 = 2) следует, что при условии радиальные возмущения являются устойчивыми. Выбрав знак равенства в нижнем соотношении (В.12) (диски с 7 = 2), Голдрейх и Линден-Белл решают затем численно уравнение типа (В.9) для неаксиально - симметричных возмущений в дисках, находящихся вблизи границы устойчивости радиальных мод. Полученные ими решения выглядят примерно так, как показано на Рис. В. 1а и В.1д: вначале мы имеем колебания с малой амплитудой (91){, затем, начиная с некоторого момента г\, возмущение нарастает (особенно быстро вблизи т = 0) и, наконец, после т = т^ устанавливаются колебания с существенно возросшей ампдитудой (9*0 f, коэффициент усиления (91) f / (91){ может достигать значений порядка 103. Заметим, что именно это усиление было впоследствии названо Тоомре [16] свинговым (swing amplification).

В.12)

9[

10 vwiM/wvwx/N^^^/vvvwwwv 10 Р V

10 1,- ' V0 ^ ж (z А

10 ^ 1." T2l'0 1

Рис. В.1. Эволюция неаксиально-симметричных возмущений в газовых дисках: a) Q2 = 1.5, а2 = 2 (галактика с плоской кривой вращения); б) Q2 = 4, а2 — 2; в) /?(г), соответствующая а); г) (3(т), соответствующая б); д) Q2 = 1-5, а2 = 4/3 (аккреционный диск с кеплеровским вращением); е) Q2 — 4, а2 = 4/3; ж) (3{т), соответствующая д); з) (3{т), соответствующая е). Возмущения в звездном диске ведут себя похожим образом, однако эти возмущения стабилизируются при существенно больших значениях параметра Q.

Вопрос о существовании некоторого условия, гарантирующего полную устойчивость диска, Голдрейх и Линден-Белл не ставили. Попробуем извлечь такого рода информацию из уравнений (В.9) и (В.11). Вначале обратимся к уравнению (В.11), которое описывает радиальные возмущения изотермического диска. Обозначив т%х.(1/д(тх)) = с\, запишем условие маржинальной устойчивости в виде к2 сх. (В.13)

AirGpc

Как следует из пояснений, данных выше, условие (В.13) естественно сформулировать как равенство единице параметра устойчивости Тоомре Q. В данном случае, очевидно,

Q= гЛ—> (в.14) у 4ir&pcci поскольку, во-первых, таким образом определенное Q пропорционально, как и должно быть, kcs/ttG<jo (так как ctq ~ pch, a cs/h ~ а/47гGpc, ввиду того, что равновесие по 2; считается таким же, как у изолированного диска), и, во-вторых, Q = 1 на границе устойчивости аксиально-симметричных возмущений согласно (В.13). Заметим, что в данном случае величина Q зависит всего от двух независимых параметров (к и рс). В общем случае (В.4) таких параметров три (к, cs, сг0); ясно, что дополнительная степень свободы предоставляется благодаря произвольности отношения масс гало и диска.

Перейдем теперь к неаксиальным возмущениям. Исключая с помощью замены 9\ = л/1 + т20(т) первую производную из уравнения

В.9), сводим его к уравнению

9 + р(т)9 = О, (В.15) где функцию Р(т) можно преобразовать к виду n 2л 2«2 3 (а4 - а2) причем а2 = 2£7(г)/г|ГУ(г)|. Равенство (5{т) = 0 разделяет квазиэкспо-ненциально растущие (при (3 < 0) и колебательные (при /5 > 0) участки решений в(т) уравнения (В. 15). Пусть а2 фиксировано: например, а2 — 2 в случае плоской кривой вращения, когда V^ = £l(r)r — const; ф такое вращение характерно для большинства спиральных галактик.

Как молено показать, при Q2 « 1 (как в вычислениях Голдрейха и Линден-Белла) (3(т2) обращается в нуль в двух точках (см. Рис. В.1). # Однако, при болыпйх значениях Q2 (и а2 > 3/2) функция /3(т), как видно из (В.16), всюду положительна, так что возмущения никогда не нарастают. Это означает, что функция Q2a2 — Q22(V2, га), определенная ® по (В.16) из условия р = 0, имеет максимум (зависящий лишь от а2) как функция двух переменных (г2 и га). Этот максимум и определяет искомое критическое Q = Qc, гарантирующее полную устойчивость диска (при Q > Qc)\

ВЛ7>

По поводу выведенной формулы (В. 17) необходимо сделать несколько замечаний:

1. Вычисление Q2C не требует знания конкретного значения (ci) максимума функции Р'/д(т)\ достаточно лишь знать, что этот максимум существует. Дело в том, что устойчивость относительно радиальных возмущений определяется, согласно (В.И), той же функцией Р'/д{тх).

2. По той же причине Qc имеет форму (В. 17) и для дисков су — 2.

3. Более того, можно показать, что то же выражение (В. 17) справедливо для диска с любым показателем адиабаты 7. Хотя аналитически эволюционные уравнения удается получить [1] лишь для 7 = 1 и 7 = 2, численно функцию P^/F^K), которая заменяет P/F(K) (при 7 = 2) или Р'/д(т) (при 7 = 1), можно вычислить при любом 7. Это было сделано в работе [17], где также показано, что качественно функции P7/F7(K) ведут себя одинаково при всех 7; в частности, все они при некотором значении аргумента имеют максимум. Впрочем, существование максимума у любой функции P^/F^K) очевидно уже из простых физических соображений. Действительно, квадрат частоты радиальных возмущений в точке г равен

Как отмечено выше, радиальные возмущения, в отличие от нерадиальных, имеют чисто джинсовскую природу. Но это означает, что со2 проходит через минимум (соответственно, функция P1/F1{kx) - через максимум) при kxh ~ 1, где h - порядка толщины диска. В случае неаксиально-симметричных возмущений механизм гравитационного (джинсовского) сжатия не является уже единственной причиной неустойчивости: здесь действует еще и другой механизм, связанный с перераспределением углового момента системы. Этот механизм подробно рассматривался, например, Линден-Беллом и Калнайсом [18]; в уравнении (В. 16) с ним связано появление членов, зависящих от т. Итак, нами показано, что критерий устойчивости вида (В.5) с критическим Qc, которое дается универсальной формулой (В.17), справедлив для дисков с любым показателем адиабаты.

4. Нельзя не обратить внимания на наличие особенности в выражении (В.17): Q\ со при а2 3/2. Этот результат означает присутствие некоторого участка квазиэкспоненциального нарастания неосесимметричных возмущений в дисках с более быстрым, чем Q, ~ г-4/3, падением угловой скорости вращения с радиусом при любом Q. Этот факт можно также рассматривать как свидетельство в некотором смысле большей неустойчивости дисков с более сильной степенью дифференциальности вращения. Фактически, однако, при больших Q протяженность области квазиэкспоненциального роста является очень узкой, и ее наличие практически никак не сказывается на эволюции возмущения.

Можно показать [9], что формула (В.17) для критического значения параметра Тоомре сохраняется и в (более простой) модели бесконечно тонкого диска с плоским гидродинамическим давлением. Для звездных дисков также удается вывести [9] аналогичное локальное дисперсионное соотношение (хотя и с большим числом предположений, оговорок и, вообще, существенно менее строго). Здесь также достигается некоторое критическое Q2(a2); в частности, в случае плоской кривой вращения (а2 = 2) Qc « 3.15. Последнее значение находится в согласии с результатами проведенных Тоомре [16] численных (N-body) экспериментов со звездными дисками: по его данным, диски становились полностью устойчивыми как раз при Q > 3.

Бросается в глаза, что значения Qc для звездных дисков существенно выше, чем для газовых: например в наиболее важном для галактик случае плоской кривой вращения (а2 = 2) эти Qc равны, соответственно, л/3 и и 3. Отметим одну, вероятно главную, причину большей неустойчивости неаксиально-симметричных возмущений у звездных систем. Она заключается в том, что звездный дифференциально-вращающийся диск, в отличие от всегда изотропного газового, является в азимутальном направлении более холодным, а, следовательно, и более неустойчивым "по Джинсу". Это вытекает из известного (принадлежащего еще Линдбладу [12]) соотношения между дисперсиями скоростей в радиальном (сг) и азимутальном (с^) направлениях:

Сг = Щ&су > С(р (ft' < 0). (В.19)

Итак, выше получены критерии локальной устойчивости возмущений в газовых и звездных дисках. Эти критерии удобно формулировать в терминах параметра устойчивости Тоомре Q, который по определению равен единице на границе устойчивости радиальных возмущений.

Оказывается, что для стабилизации произвольных возмущений требуется, чтобы Q был больше некоторого критического Qc, причем Qc существенно больше единицы, т.е., можно сказать, возмущения, нарушающие исходную аксиальную симметрию диска, более неустойчивы, чем радиальные. Кроме того, значения Qc для звездных дисков заметно больше, чем для газовых; в конце предыдущего раздела рассмотрена одна из причин, вероятно главная, большей неустойчивости звездных систем. Такая интерпретация локального дисперсионного уравнения, как и условия маржинальной устойчивости, конечно, отличается от обычной интерпретации. Мы получили достаточные критерии устойчивости, которые гарантируют отсутствие любого (даже малого) промежутка времени квази-экспоненциального нарастания возмущений. Ясно, что эти критерии устойчивости являются достаточными с некоторым запасом, так как вблизи Q — Qc возмущения практически не растут. В то же время при обычной интерпретации маржинальной кривой как границы экспоненциальной неустойчивости предполагается, что неустойчивые возмущения даже вблизи границы устойчивости могут за достаточно длительное время вырасти сколь-угодно сильно.

Возвращась к Рис. В.1, который представляет решения эволюционного уравнения (37), можно заметить, что в общем случае возмущение может нарастать по двум причинам: 1) при наличии участков квазиэкспоненциального роста (ri, 12), где отрицателен квадрат характерной частоты си2 = /3 < 0, 2) из-за уменьшения величины (3 (при г < 0). Если воспользоваться оценкой, которая является строгой при сохранении адиабатического инварианта (I = Е/и = const), то изменение амплитуды а вследствие второй причины происходит по закону а ~ 1/VEJ. Этот механизм остается единственным в тех случаях, когда участок квазиэкспоненциального нарастания отсутствует (как на Рис. В.1в). Отметим, однако, что значительный рост амплитуды возмущения происходит лишь при наличии квазиэкспоненциального участка.

В общих рамках волновой картины быстро выделились два конкурирующих подхода. В одном из них ([3, 4], частично [8]) спиральные рукава и галактические бары считаются пакетами бегущих волн, которые управляются дисперсионным уравнением Калнайса - Лина, Шу. Одним из предсказаний этого подхода является радиальный снос волновых пакетов с групповой скоростью, которую обычно оценивают, исходя из коротковолнового дисперсионного уравнения. Во втором подходе галактические структуры рассчитываются как неустойчивые нормальные моды дисковых галактик.

Среди различных вариантов теорий, относящихся к первому подходу, доминирующее положение постепенно заняла предложенная Тоомре [16] теория, центральным пунктом которой является свинго-вый механизм усиления. Последний был открыт сравнительно давно (в середине 60х), в работах Голдрейха, Линден-Белла [1] (для газового диска) и Джулиана, Тоомре [19] (для звездного диска). Они показали, что эволюция начального возмущения в виде лидирующей спирали превращает его в конце концов в туго закрученную отстающую спираль с увеличенной по сравнению с начальным значением амплитудой (см. Рис. В.1). Степень усиления в первую очередь зависит от того, насколько "горячим" является диск галактики, т.е. насколько тоомрев-ский параметр Q превышает единицу. Для типичных условий (когда Q ы 1.5) возмущение усиливается примерно в 20 раз.

Тоомре [16] заметил, что свинговое усиление в галактиках может происходить в районе коротации, где распространяющийся от центра пакет лидирующих спиральных волн трансформируется в пакет отстающих спиралей, дрейфующих в обратном направлении. Поскольку для каждого данного пакета свинговое усиление представляет собой однократный акт (имеющий место в области коротации), глобальная структура может установиться, только если обеспечить необходимую петлю обратной связи, т.е. отражение волны в центре, с превращением ее в лидирующую спираль, дальнейший ее дрейф к коротации, и т.д. За неимением адекватной теории крупномасштабных возмущений, скорость нарастания волн в свинговой картине рассчитывается на языке локальной теории. Общая же схема установления глобальной моды на основе сверхотражения, дополняемого положительной обратной связью, явно позаимствована из аналогии с лазерами (в этом нас также убеждают такие "говорящие" названия, как, например, waser-механизм).

Как будет показано ниже, свинговая картина сталкивается с серьезными трудностями при попытках объяснения формирования как бароподобных, так и спиральных структур. Причины кроются в отмеченных нами выше отсутствии подходящей теории глобальных возмущений и малоудачной лазерной аналогии (которая в действительности оказывается слишком далекой).

Переходя к "модальному" подходу, которому мы отдаем предпочтение, отметим наиболее продвинутый вариант такого рода теории, развивавшийся в недавних работах Бертина и Лина [20]. Очевидным недостатком этой теории, однако, является использование вместо реального звездного диска "эффективного" газового диска (с соответствующей заменой кинетического описания существенно более простыми гидродинамическими уравнениями). Поскольку бесстолкнови-тельная динамика обладает целым рядом специфических особенностей, которые теряются при такой подмене, полученные в этих работах результаты могут применяться к реальным галактикам с большой осторожностью.

Общие интегральные уравнеия для нормальных мод диска были выведены Калнайсом [5] и Шу [21]. Они, однако, оказались настолько сложными, что почти не получили практического применения. Ввиду этой сложности, трудным, если не невозможным, оказалось выявить действительные физические механизмы формирования мод, исходя из общих интегральных уравнений. Наибольшее количество результатов в динамике галактик было до сих пор получено с помощью N-body моделирования. Но эти результаты плохо поддаются физической интерпретации.

В нашей теории галактические структуры рассматриваются как нормальные моды звездного диска. Мы говорим именно о звездном диске, несмотря на реально более сложное строение спиральных галактик, включающих, помимо звезд, также газовые облака и пыль. Звезды, однако, составляют подавляющую долю полной массы галактики. По этой причине обычно считается, что звездный диск играет динамически более важную роль, по сравнению со всеми другими галактическими компонентами. В Части I данной работы мы будем рассматривать структуры, формирующиеся в чисто-звездном диске. Структуры в газовом диске должны рассматриваться отдельно; некоторые из них мы будем изучать во Пой части этой работы.

Главной отличительной особенностью нашего подхода является предположение о том, что для описания галактических структур наибольшее значение имеют низкочастотные моды, угловые скорости которых порядка скорости прецессии звездных орбит. Именно с этим предположением, которое мы в дальнейшем постараемся подробно обосновать (см. Главу 1), связаны все основные упрощения нашей теории.

Поясним подробнее, что мы подразумеваем под низкочастотными модами. Пусть аксиально-симметричный диск характеризуется невозмущенным потенциалом Фо(г) и соответствующей ему угловой скоростью Q,(r) кругового вращения. Рассмотрим орбиту, прецесси-рующую с угловой скоростью Ц,г, которая подвергается воздействию возмущающего потенциала, вращающегося со скоростью Ц,. Как от метил Линден-Белл [22], при условии

50, — ЦэГ| 1 (В.20) изменение орбиты за период вращения звезды мало. Поэтому можно считать, что орбита как целое (а не отдельные звезды на ней) будет откликаться на действие возмущения. Таким образом, мы приходим к модели диска как совокупности прецессирующих орбит. Галактические структуры в этой модели представляют собой волны — сжатия и разряжения плотности орбит, бегущие по азимуту с некоторой угловой скоростью Ц,, имеющей порядок По сравнению с угловой скоростью вращения центральных областей диска скорость прецессии орбит мала, и в этом смысле бары и спирали представляют собой низкочастотные структуры.

Получающееся при этом описание звездных систем аналогично дрейфовому приближению в физике замагниченной плазмы (см., например, [23, 24, 25]), но для орбит существенно более общего вида: ларморовским кружкам в плазме соответствуют здесь орбиты, вообще говоря, с произвольной степенью вытянутости.

Примем (пока в качестве гипотезы) что наблюдаемые галактические структуры можно описывать как низкочастотные моды. На первый взгляд кажется, что такая гипотеза не может быть правдоподобной, поскольку обычно бары и спирали достигают коротации, где скорость вращения узора сравнивается со скоростью вращения диска. Заметим, однако, что, благодаря сильной концентрации массы в центре диска и быстрому ее падению с увеличением радиуса, дисковая мода может определяться своей центральной частью. Покажем теперь, что имеющиеся в литературе вычисления и оценки угловых скоростей галактических баров и спиралей оправдывают применимость модели диска, состоящего из прецессирующих орбит, т.е. выполнение неравенства (В.20).

Атанасула и Селвуд [26] (далее — АС), используя метод TV-body моделирования, исследовали образование нормальных мод в более чем 30 моделях звездных дисков с различными функциями распределения в потенциале Пламмера, Фо(г) = —1 /\/У2 + 1. На Рис. В.2а показаны зависимости частоты вращения диска Q(r) и скорости прецессии Qpr(r) в эпициклическом приближении, взятые из АС, а также несколько горизонтальных линий, отвечающих скоростям вращения бар-мод. Напомним, что для почти круговых орбит Ц>г(г) = fl(r) — к(г)/2, где к(г) — эпициклическая частота, к2 = 4Q2 + rdQ,2/dr. Сплошная тонкая горизонтальная прямая (Щ1т = 0.14) соответствует минимальному, штрих-пунктир — среднему = 0.21), а пунктир (Qmax о з) наибольшему значениям скорости бар-мод в моделях из списка АС в их Табл. 1. Рис. В.26 представляет отношения SQ/Q для указанных трех мод. Для первой из них, которая локализована, согласно АС, при г < 2, эти отношения, как мы видим, меньше 0.1 (см. тонкие пунктирные прямые на Рис. В.26). Но даже для самой высокочастотной из бар-мод (Цэ = 0,™ах = 0.3) 5П/С1 < 0.3, если учесть, что эта мода сильнее концентрируется к центру. Как мы увидим в дальнейшем, даже если для некоторых орбит выполнено более слабое, по сравнению с (В.20), неравенство 50,/О, < 1 (например, всего в несколько раз, а не на порядок), точность конечного ответа все равно окажется довольно высокой.

Рис. В.3а,б показывают графики, аналогичные Рис. В.2а,б, но для нашей Галактики. Здесь мы используем данные из классической статьи Лина, Юаня и Шу [8]. Горизонтальная прямая на Рис. В.За соответствует среднему значению, Ор = 12 км/с кпс, из рекомендованного в этой статье интервала скоростей спирального узора, Ор =11-13 км/с кпс. Для этого значения Ор, как следует из Рис. В.Зб, отношение 50,/О, <С 1. Здесь нужно оговориться, что в настоящее время нет согласия относительно скорости вращения спирального узора Галактики. Некоторые авторы приводят значения 0,р, в два раза превышающее использованное выше.5 Однако даже в этом случае неравенство (В.20) выполняется, поэтому для исследования собственных мод диска Галактики также можно использовать приближение низкочастотных мод.

Итак, целью 1ой главы Части I данной работы является построение теории низкочастотных мод звездных дисков. В разделе 1, используя теорию возмущений по малому параметру е, выводится основное интегральное уравнение для низкочастотных нормальных мод. Общий качественный анализ решений этого уравнения дается в разде

5 Примерно такие же значения Г2Р даются Блицем [27] для четырехрукавных спиралей за солнечным кругом. Вероятно, речь здесь идет об отдельном, периферическом ярусе спиральной структуры Галактики (подробнее см. в разделе 6).

Рис. В.2. а) Кривые к(г) и Ц,г(г) для потенциала Пламмера, использованного АС для вычисления бар-мод. Горизонтальные линии представляют различные возможные значения угловой скорости моды Ц,. б) Графики 5С1(г)/С1(г), соответствующие рис. а).

Рис. В.З. То же, что на Рис. В.2, но для модели Галактики из работы Лина, Юаня, Шу [8].

Щ ле 2. Отметим, что исходное интегральное уравнение для низкочастотных мод звездного диска было выведено ранее в работе [28]. С ® тех пор оно было использовано (в упрощенном варианте) [29] для расчета аномально-медленных бар-мод, которые обнаружили в своих iV-body симуляциях АС. Дальнейший прогресс был связан с предложенным автором преобразованием исходного интегрального уравнения. Несмотря на простоту преобразования (речь идет о замене одной неизвестной функции другой), в результате мы получили интегральное уравнение в форме классической задачи на собственные значения, причем в роли последних выступают непосредственно скорости узора ® С1Р. Для численного решения этого уравнения и определения всех его собственных мод могут быть использованы стандартные пакеты математических программ, что существенно увеличивает эффективность Ф вычислений. Еще важнее то, что в преобразованной форме интегральное уравнение легко поддается общему анализу, в результате которого можно получить основные свойства его решений. В частности, таким образом демонстрируется решающая роль производной функции распределения, Fq, по угловому моменту L при фиксированном значении линден-белловского инварианта, J/ [22], Р0 = д^о^,Ь)/дЬ. В зависимости от поведения Т7'^ естественным образом строится общая (единая) теория бароподобных и спиральных мод (глава 2). В пренебрежении резонансным взаимодействием бар-мода представляет собой нейтральное возмущение диска. Ее нарастание происходит # благодаря непосредственному действию дальнодействующего гравит тационного поля моды на звезды в области резонансов (коротации и внешнего линдбладовского). Спиральные возмущения представляют собой волны с нулевым полным моментом. Возбуждение спиральных мод связано с внутренним линдбладовским резонансом.

В следующих разделах (3,4,6) рассматриваются конкретные численные решения нашего основного интегрального уравнения для би-симметричных мод (с азимутальным волновым числом т = 2). Прежде всего, для демонстрации возможностей предложенной теории, в разделе 3 мы изучаем тестовые модели, исследованные ранее AC TV-body методом, и показываем, что теория дает результаты, находящиеся в хорошем согласии с iV-body симуляциями АС. Имея в виду некоторую искусственность моделей, рассмотренных АС, мы затем исследуем (в разделах 4 и 6), прежде всего для более адекватного представления спиральных мод, другие, гораздо более реалистические и общие модели, основанные на обобщенной функции распределения Шварцшильда [21]. В разделе 5 рассматриваются одномерные упрощения основного интегрального уравнения, получающиеся для двух предельных случаев: почти-круговых и почти-радиальных орбит. Для последнего случая кратко рассмотрена теория неустойчивости радиальных орбит и связанная с ней проблематика медленных баров Линден-Белла (1979).

В Заключении 1ой главы (раздел 7) мы проводим подробное сравнение нашего подхода с существующими в настоящее время теориями, среди которых главенствующее положение занимает свинговый механизм усиления [16].

Материал, изложенный в основном тексте главы 1, дополняется двумя Приложениями. Первое из них посвящено описанию численных алгоритмов, которые мы используем при решении основного интегрального уравнения. В Приложении II разбирается весьма популярный (но принципиально неправильный) прием имитационной замены дисперсии скоростей звезд смягченной гравитацией. Важность этого вопроса связана в том числе и с тем, что такая имитация была в свое время использована в некоторых классических работах, а затем вошла в учебники звездной динамики (см., например, [30]).

В главе 2 исследуются спиральные отклики звездного диска, возникающие на основных галактических резонансах под действием гравитационного потенциала бара. В разделе 2.1 этой главы определены орбиты, а в разделе 2.2 — равновесные функции распределения звезд в эпициклическом и пост-эпициклическом приближениях, необходимых для их дальнейшего использования (в разделе 2.3.1) при выводе выражений для резонансных откликов диска. В разделе 2.3.2 эти отклики подробно анализируются. Показано, что спиральные отклики, возникающие под действием баров, обладают характерными свойствами наблюдаемых в этих галактиках спиралей. Для наиболее интересного случая квазистационарного состояния спиральные отклики обладают свойством подобия: толщина спиралей и их угол наклона пропорциональны среднему размеру эпицикла.

В главе 3 дается новая формулировка проблемы собственных значений звездного диска. Она является непосредственным обобщением излагаемой в главе 1 единой теории бароподобных и спиральных мод и позволяет определить пределы применимости этой теории. Кроме того, новый формализм обеспечивает непосредственное определение не только угловых скоростей бар-мод, но также и их инкрементов нарастания. Наконец, в свете предлагаемой общей формулировки легко выявляется относительная важность различных резонансов для возбуждения мод.

В главе 4 рассматриваются нерезонансные спиральные отклики в дисковых галактиках. В разделе 4.1 исследуется поведение гравитационного потенциала внутри (раздел 4.1.1) и вне (раздел 4.1.2) области расположения главных спиральных рукавов в галактиках. С характерными особенностями этого поведения оказываются связанными почти-круговые продолжения главных рукавов, типично имеющие угловую протяженность около 90°. Эти четверть-оборотные спирали, простейшая теория которых строится в разделах 4.2 и 4.3, естественно интерпретировать как соответствующие отклики галактического диска на гравитационное воздействие со стороны главных спиральных рукавов. Теория подтверждена изучением распределения яркости в некоторых галактиках, как нормальных (NGC 3631), так и пересеченных (NGC 1365) (см. раздел 4.4). Краткое обсуждение результатов главы 4 и перспектив дальнейших исследований в этой области содержится в заключительном разделе 4.5.

Часть II работы посвящена наблюдательным проявлениям хаоса в газовых компонентах спиральных галактик.

Помимо хорошо известных спиральных структур в распределении яркости, в галактиках, обладающих крупномасштабной спиральной структурой (grand design), могут также существовать ясно выраженные структуры в полях скоростей газа — гигантские антициклоны и циклоны. Интересно отметить, что антициклонические вихри вначале были обнаружены не в галактических дисках, а в экспериментах на мелкой воде [31], моделировавших формирование спирально-вихревой структуры в галактиках со скачками скорости вращения. Только после этих экспериментов удалось найти гигантские антициклоны в газовом диске спиральной галактики Mkr 1040 [32]. Наблюдательное обнаружение циклонов [33] оказалось более сложным ввиду того, что характер вращения спиральных галактик неблагоприятен для образования циклонов: их существование предсказывалось [35] лишь в галактиках с очень мощными спиральными рукавами. Первые исследования циклонов были выполнены на примере галактики NGC 3631 именно потому, что среди галактик с известными нам полями скоростей именно эта галактика имеет самые большие по амплитуде спиральные рукава.

Антициклоны и циклоны в поле скоростей газа галактики представляют собой области захваченных "жидких частиц". Для их обнаружения необходимо, очевидно, найти распределение скоростей газа в реальных галактиках, тогда как из наблюдений нам доступна только лучевая скорость. Поэтому возникла задача восстановления трехмерного поля скоростей газовых дисков галактик из наблюдаемых полей лучевых скоростей [36], [37]. Решение этой задачи невозможно без построения модели наблюдаемого поля скоростей, что означает постулирование ряда утверждений. В качестве таких постулатов использовались два утверждения. Первое состоит в том, что динамика газового диска галактики описывается линеаризованными уравнениями гидродинамики в приближении тугой закрутки, кг :§> т, где /гит - радиальное и азимутальное волновые числа, соответственно. Согласно второму, неочевидному, требованию, зависимость возмущенных функций (поверхностной плотности и остаточных скоростей) выбирается в виде монохроматических волн вида Ci{r) cos[2<^ — Fi(r)], где Q и ^ — соответствующие амплитуды и фазы. Коэффициент 2 перед ip означает, что рассматриваемая галактика принадлежит к классу grand design: ее спиральная структура состоит из двух ярко выраженных спиральных рукавов. После построения 3-мерного поля скоростей из наблюдаемого поля лучевых скоростей, для каждой из галактик проверяется справедливость используемых двух утверждений с помощью ряда независимых наблюдательных тестов.

В основе численного метода построения 3-мерного поля скоростей лежит простая тригонометрическая зависимость наблюдаемого поля лучевых скоростей, определяемого по допплеровским смещениям линии На, от трех компонент скорости облаков ионизованного водорода. Подставляя в эту формулу три компоненты скорости в виде монохроматических волн, мы практически получаем разложение лучевой скорости в ряд Фурье. Приравнивая коэффициентам этого ряда Фурье соответствующие коэффициенты, получаемые при разложении в ряд Фурье наблюдаемой лучевой скорости, мы находим все три компоненты возмущенной скорости [36], [37]. В найденном таким образом из наблюдений полном поле скоростей газового диска галактики NGC 3631 были обнаружены [33], [34] предсказанные ранее [35] гигантские циклоны.

Как известно из стохастической динамики (см., например, [38]), при возмущении динамической системы зарождение хаотических траекторий происходит вблизи сепаратрис и особых точек системы. Именно поэтому мы предприняли попытку подробно исследовать поле скоростей и свойства траекторий около найденных нами антициклонических и циклонических структур газового диска галактики NGC 3631. Принципиально новым является исследование этой проблемы на примере конкретной реальной галактики (а не какой-либо абстрактной численной модели). Необходимо подчеркнуть, что в данной работе речь идет о так называемом хаосе линий тока. Существование последнего может быть обосновано исходя из того факта, что уравнения трехмерного стационарного движения газа могут быть сведены к нестационарным динамическим уравнениям в двумерном фазовом пространстве [39].

Численное определение стохастической неустойчивости, означающей наличие быстро расходящихся траекторий, сводится к нахождению характеристического показателя Ляпунова. Для его вычисления необходимо задать две близкие начальные точки. В процессе эволюции системы эти точки могут расходиться. Если расхождение этих точек (обычно говорят о расхождении траекторий) происходит экспоненциально быстро, d ~ ехр(А£), то скорость расхождения Л как раз и будет искомым показателем Ляпунова.

Как показано в [42] для абстрактных динамических моделей, показатель Ляпунова не зависит от выбора взаимного расположения двух начальных точек, а также метрики фазового пространства системы (теорема Оселедеца). Это инвариантность являтся фундаментальным свойством показателя Ляпунова.

Наряду с показателем Ляпунова можно рассмотреть спектр коэффициентов растяжения 5(a), которые показывают скорость разбе-гания траекторий в данной точке фазового пространства6 [40]. Спектр коэффициентов растяжения играет в стохастической динамике важную роль, поскольку показатель Ляпунова является его первым моментом

Интересным фактом является неинвариантность спектра 5(a) по отношению к изменению метрики фазового пространства (несмотря на утверждение обратного в [40]). Данный результат был впервые получен численно при исследовании именно поля скоростей реального физического объекта (газовой компоненты галактики NGC 3631), а затем перепроверен на примере хорошо известных моделей Чирикова и

6Иногда эту величину называют локальным показателем Ляпунова [43].

В.21) странного аттрактора Лоренца.

Суммируя вышесказанное, перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. Единая теория формирования спиральных и бароподобных структур в звездных галактических дисках, рассматривающая эти структуры как низкочастотные нормальные моды (с характерными частотами порядка типичных скоростей прецессии звезд).

2. Теория резонансных откликов, объясняющая образование спиральных ветвей на галактических резонансах.

3. Теория нерезонансных откликов, приводящих к формированию четверть-оборотных спиралей сразу за основными спиральными рукавами.

4. Новая формулировка проблемы нормальных мод звездного диска в виде системы интегральных уравнений в переменных действие — угол. С ее помощью устанавливаются пределы применимости единой теории галактических структур.

5. Восстановление полного поля скоростей газовой компоненты галактики NGC 3631, используя данные по лучевым скоростям.

6. Регулярные и хаотические траектории газовых облаков в спиральных галактиках на примере галактики NGC 3631.

7. Неинвариантность спектра коэффициентов растяжения относительно изменения метрики.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Астрофизических семинарах Института астрономии РАН, Объединенном астрофизическом семинаре (ГАИШ), теоретическом семинаре ФИАН, семинарах ИКИ РАН; на всероссийской астрономической конференции (Москва, МГУ, 2004), на ежегодной научной школе "Нелинейные волны" (Нижний Новгород, 2004); на международной конференции "Галактики и хаос" (Афины, 2002), на JENAM 2004 (Испания); в университетах США: Принстоне, Мериленде, Карнельском, MIT, Беркли, Стенфорде; в ряде университетов Тайваня, Германии, Великобритании, Франции.

Основные результаты опубликованы в центральных российских и международных журналах. Всего по теме диссертации опубликовано 2"7работ; основные результаты, выносимые на защиту, изложены в 18 работах.

Часть I

Единая теория галактических структур в звездных дисках t*

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Поляченко, Евгений Валерьевич, 2005 год

1. Goldreich, P., Lynden-Bell, D., 1965. Моп. Not. Roy. Astron. Soc., 130, 125.

2. Lindblad, В., 1938. Stockholm Obs. Ann. 17, No. 6.

3. Toomre, A., 1964. Astrophys.J., 139, 1217.

4. Toomre, A, 1969. Astrophys.J., 158, 899.

5. Kalnajs, A.J., 1965. Ph.D. thesis, Harvard Univ.

6. Lin, C.C., Shu, F.H., 1964. Astrophys.J., 140, 646.

7. Lin, C.C., Shu, F.H., 1966. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 55, 229 (1966).

8. Lin, C.C., Yuan, C„ Shu, F.H., 1969. Astrophys.J., 155, 721.

9. Поляченко В.Л., Поляченко Е.В., 1997. ЖЭТФ, 112,771.

10. Поляченко В.Л., Поляченко Е.В., Стрельников А.В., 1997. Письма в Астрой. Ж., 23, 551.

11. Поляченко В.Л., Поляченко Е.В., Стрельников А.В., 1997. Письма в Астрой. Ж., 23, 598.

12. Линь, Ц.Ц., 1958. Теория гидродинамической устойчивости. ИЛ, Москва.

13. Case, К.М., 1960. Phys. Fluids, 3, 149.

14. Ломинадзе, Д.Г., Чагелашвили, Г.Д., Чанашвили, Р.Г., 1998. Письма в Астрон. Ж., 14, 856.

15. Фридман, A.M., Хоружий, О.В., 1994. Приложения 1,2 в кн.H.Н. Горькавый, А.М Фридман, Физика планетных колец Наука, Москва.

16. Toomre, А., 1981. // Structure and evolution of normal galaxies. Eds.: S.M. Fall, D. Lynden-Bell. Cambridge Univ. Press. P. 111.

17. Поляченко, В.Л., Чурилов C.M., Шухман, И.Г., 1980. Астрон. ж., 57, 497.

18. Lynden-Bell, D., Kalnajs, A.J., 1972. Mori. Not. Roy. Astron. Soc., 157,1.

19. Julian, W.H., Toomre, A., 1966. Astrophys.J., 146, 810.

20. Bertin, G., Lin, C.C., 1996. Spiral Structure in Galaxies. A density wave theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

21. Shu, F.H., 1970. Astrophys.J., 160, 89.

22. Lynden-Bell, D., 1979. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 187,101.

23. Боголюбов H.H., Зубарев Д.Н., 1955. Укр. матем. ж., 7, 69.

24. Спитцер Л., 1957. Физика полностью ионизованного газа. — М., ИЛ.

25. Рудаков Л.И., Сагдеев Р.З., 1958 // Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций. Т. III. — М., Изд-во АН СССР, стр. 268.

26. Athanassoula, E., Sellwood, J., 1986. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 221, 213.

27. Blitz, L., Fich, M., Kulkarni, S., 1983. Science, 220, 1233B.

28. Поляченко, В.Л., 1992a. ЖЭТФ, 59, 228.

29. Поляченко, В.Л., 19926. Астрон. Ж. 69,10.

30. Binney, J., Tremaine, S., 1987. Galactic Dynamics. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey.

31. M. В. Незлин, В. Л. Поляченко, Е. Н. Снежкин, А. С. Трубников, и А. М. Фридман. Письма в Астрон. ж. 12, 504 (1986).

32. В. Л. Афанасьев и А. М. Фридман. Письма в Астрон. ж. 19, 787 (1993).

33. А. М. Fridman, О. V. Khoruzhii, Е. V. Polyachenko, А. V. Zasov, О. К. Sil'chenko, V. L. Afanasiev, S. N. Dodonov, and A. V. Moiseev Physics Lett. A 264, 85 (1999).

34. A. M. Fridman, О. V. Khoruzhii, E. V. Polyachenko, A. V. Zasov, О. K. Sil'chenko A. V. Moiseev, A. N. Burlak, V. L. Afanasiev, S. N. Dodonov, and J. Knapen. Monthly. Not. Roy. Astron. Soc. 323, 651 (2001).

35. A. M. Fridman, О. V. Khoruzhii, V. V. Lyakhovich, О. K. Sil'chenko, A. V. Zasov, V. L. Afanasiev, S. N. Dodonov, and J. Boulesteix. Astron. & Astroph., 371, 538 (2001).yt

36. A. M. Fridman, О. V. Khoruzhii, V. V. Lyakhovich V. S. Avedisova, O. K.Sil'chenko, A. V. Zasov, A. S. Rastorguev, V. L. Afanasiev, S. N. Dodonov, J. Boulesteix. Astroph. and Space Sci. 252, 115 (1997).

37. В. В. Ляхович, A. M. Фридман, О. В. Хоружий, и А. И. Павлов. Астрон. ж. 74, 509(1997).

38. Заславский, Г.М., Сагдеев, Р.З., 1988. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука.

39. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А., 1991. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. — М.: Наука.

40. Voglis N., Contopoulos G„ 1994J. Phys., A27,4899.

41. Contopoulos G., Voglis N., 1997. Astron. &Astrophys., 317, 73.

42. Оселедец В.И., 1968. Труды Моск. Мат. Общ. Т. 19. С. 179.

43. Froeschle С., Froeschle Ch., Lohinger Е., 1993. Cel. Mech. Dyn. • Astron., 56, 307.

44. Ландау, Л.Д., Лифшиц, E.M., 1988. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. — М.: Наука.

45. Арнольд В.И., 1979. Математические методы классической механики. — М.: Наука.

46. Мак-Интайр, М., 1984, "Миф о волновом импульсе" // Современная гидродинамика: успехи и проблемы. Под ред. Дж. БатчеЧ" лор, Г. Моффат, М.: Мир, стр. 454.

47. Поляченко, В.Л., Шухман, И.Г, 1982. Астрон. Ж., 59, 228.Ж

48. Goldreich, P., Tremaine, S., 1979. Astrophys.J., 233, 857.

49. Polyachenko, E.V., 2002a. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 330, 105.

50. Polyachenko, E.V., 2002b. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 331, 394.

51. Kalnajs, A.J., 1976. Astrophys.J., 205, 751.

52. Поляченко В.Л., Поляченко, E.B., 1994. Письма в Астрон. Ж., 20, 491-500.

53. Polyachenko E.V., Polyachenko, V.L., 1996. // ASP Series. Proc. IAU Colloq. 157, Eds.: R. Buta, D.A. Crocker, B.G. Elmegreen, 91, PP. 476-479.

54. Polyachenko E.V., Polyachenko, V.L., 1998. // Proceedings of the conference: 'Galaxy Dynamics', Rutgers Univ., August 8-12, 1998.

55. Polyachenko, V.L., 1994 // Physics of Gaseous and Stellar Disks of the Galaxy, ed. I.R. King, ASP Conference Series, 66,103.

56. Hickernell F.J., 1984J. Fluid. Meek, 142, 431-449.

57. Shukhman I.G., 1991J. Fluid. Meek, 233, 587-612.

58. Tremaine S. 2001. Astron. J., 121, 1776.

59. Lindblad, В., Langebartel, R., 1953. Stockholm Obs. Ann. 17, No. 6.

60. Lynden-Bell, D., 1996. Lecture Notes in Physics, 474, 7.

61. Kalnajs, A., 1973. Proc. Astron. Soc. Australia. 2, 174.V

62. Contopoulos, G., 1975. Astrophys.J., 201, 566.

63. Contopoulos, G., Mertzanides, C., 1977. Astron. Astrophys. 61, 477.

64. Sellwood, J.A., Wilkinson, A, 1993. Rep. Prog. Phys. 56, 173.

65. Erickson, S.A., 1974. Ph.D. thesis, MIT, Cambridge, Mass.

66. Meyer-Vernet N., Sicardy, В., 1987. Icarus, 69,157.

67. Mark, J.W-K., 1976. Astrophys. J., 205, 363.

68. Polyachenko, E.V., Polyachenko, V.L., 2002, astro-ph/0212553.

69. Поляченко В.Л., Поляченко E.B., 2003. Письма в Астрон. ж., 29, 447.

70. Fridman A.M., Khoruzhii O.V., 2003. Space Sci. Rev. 105, Issue 1, 1-284.

71. Поляченко, В.Л., Фридман, A.M., 1976. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. Наука, Москва.

72. Fridman, A.M., Polyachenko, V.L., 1984. Physics of Gravitating Systems. Springer-Verlag, New York, vol. 1,2.

73. Михайловский, А.Б., Фридман, A.M., Эпельбаум, Я.Г., 1970. ЖЭТФ 59,1608.

74. Shu, F.H., 1970. Astrophys.J., 160, 99.jr;

75. Бисноватый-Коган, Г.С., Михайловский, А.Б., 1973. Астрон. ж. 50,312.

76. Pasha, I.I., Polyachenko, V.L., 1994. Моп. Not. Roy. Astron. Soc., 266, 92.

77. Fridman, A.M., Khoruzhii, O.V., 2000. Physics Lett. A 276,199.

78. Fridman, A.M., Khoruzhii, O.V., Polyachenko, E.V., Polyachenko, V.L., Sil'chenko, O.K., Zasov, A.V., Afanas'ev, V.L., Dodonov, S.N., Moiseev, A.V., Boulesteix, J., Knapen, J.H., 2001 // ASP Conf. Ser. Eds. J.G.Fines, E.M.Consini.

79. Lynden-Bell, D., Ostriker, J.P., 1967. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 136, 293.У 81. Kalnajs, A., 1977. Astrophys.J., 212, 637.

80. Lin C.C., 1970 // Proc. IAU Sympos. №38: The Spiral Structure of our Galaxy. Eds.: W. Becker, G. Contopoulos. Dordrecht, D.Reidel. P. 377.

81. Patsis P.A., Kaufmann D.E., 1999. Astron. Astrophys. 352, 469.

82. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н., 1963. Курс современного анализа. Т. 2. ГИФМЛ, М. С. 110.

83. Градштейн И.С., Рыжик И.М., 1971. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., ГИФМЛ. С. 1039.

84. Lindblad P.O., 1999. Astron. Astrophys. Review., 9, 221.

85. Fridman A.M., Khoruzhii O.V., Polyachenko E.V. et. al., 1999. Physics Lett., A264, 85.

86. Elmegreen B.G., Elmegreen D.M., 1985. Astrophys.J., 288, 438.

87. Elmegreen B.G., 1992. Astrophys.J. Suppl. Ser., 79, 37.

88. Паша И.И., Поляченко В.Л., 1993. Письма в Астрон. ж., 19, 3.

89. Elmegreen B.G., Elmegreen D.M., 1989. Astrophys.J., 342, 677.

90. Sandage A., 1961. The Hubble Atlas of Galaxies. Carnegie Inst. Washington.

91. Englmaier P., Gerhard O., 1997. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 287, 57.

92. Vaucouleurs G., de Vaucouleurs A., and H. G. C. et. al, 1991. Third Reference Catalogue of Bright Galaxies. Springer, New York.

93. Knapen J. H.,1997. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 286, 403.

94. A. M. Фридман, О. В. Хоружий, А. В. Засов, О. К. Сильченко, А. В. Моисеев, А. Н. Бурлак, В. Л. Афанасьев, С. Н. Додонов и Дж. X. Кнапен, 1998. Письма в Астрон. ж., 24, 764.

95. В. Canzian, 1993. Astrophys.J., 414, 487.

96. Ф. X. Сахибов и М. А. Смирнов, 1989. Астрон. ж. 66, 921.

97. Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zaslavsky G.M., 1988. Nonlinear Physics. Harwood Academic Publishers, New Your.

98. Засов A.B., Симаков С., 2002. Астрофизика, 29,190.

99. Засов А.В., Рубцова Т.В., 1989. Письма а Астрон. Ж., 15,118.

100. Fridman A.M., Polyachenko V.L., Zasov A.V., 1991. // Dynamics of galaxies and mo-lecular cloud distribution. Eds. F.Combes and F. Casoli. Kluwer Acad. Publishers. Dordrecht, Boston, London. P. 109.

101. Martin C., Kennicutt R.C., 2001. Astrophys.J., 555, 301.

102. Wong Т., Blitz L., 2002. Astrophys.J., 569,157.

103. Boissier S., Prantoz N., Boseli A., Gavazzi G. // (astro-ph 0309372)

104. Fridman A.M., Khoruzhii O.V., Polyachenko E.V., 2002 // Obser-vational Manifestation of Chaos in Astrophysical Objects, International Workshop, Moscow, August 28-29, 2001. Ed. by A.M. Fridman, M.Ya. Marov, R.H. Miller. // Space Science Rev., 102, 51.

105. Lichtenberg A.J., Lieberman M.A., 1983. Regular and Stochastic Motion Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin.

106. Govorukhin V.N., Morgulis A., Yudovich V.I., Zaslavsky G.M., 1999. Rhys. Rev. E, 60, 2788.

107. Лойцянский Л.Г., 1973. Механика жидкости и газа. — М.: Наука.

108. Casartelli М., Diana Е., Galgani L., Scotti А., 1976. Rhys. Rev., А13, 1921.

109. Bennetin G., Galgani L., Strelcyn J.-M., 1976. Rhys. Rev., 14, 2338.

110. Elskens Y., 1997. PhysicaD, 100, 142.