Кинетика ночной магнитопаузы магнитосферы Земли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лукин Александр Сергеевич

• Лукин Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Лукин Александр Сергеевич

Введение

Ночная Магнитопауза

Спутниковая миссия ARTEMIS

Спутниковая миссия MMS

Токовый слой магнитопаузы

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Цели и задачи работы

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Методы обработки спутниковых данных

Результаты

Положения, выносимые на защиту

Достоверность результатов

Апробация работы

Публикации и личный вклад автора

Объем и структура диссертации

Глава 1. Плазменная структура ночной магнитопаузы на

лунной орбите

1.1 Введение

1.2 Набор данных

1.3 Пространственный масштаб переходных областей

1.4 Изменение энергии ионов и электронов вблизи магнитопаузы на лунной орбите

1.5 Заключение

Глава 2. Токовый слой ночной магнитопаузы на разных

радиальных расстояниях

2.1 Введение

2.2 Набор данных

2.3 Методы оценки толщины магнитопаузы

2.4 Статистика пространственных масштабов магнитопаузы

2.5 Вариация теплового давления плазмы

2.6 Статистика токовых слоёв магнитопаузы

2.7 Заключение

Глава 3. Кинетика токового слоя магнитопаузы

3.1 Постановка проблемы

3.2 Динамические системы

3.3 Метод главных компонент

3.4 А1 Ротеагё

3.5 МГК и оценка размерности

3.6 Наборы данных

3.7 Динамика ионов в токовых слоях магнитопаузы

3.8 Обзор трех моделей токовых слоев

3.9 Токовые слои с Вх(г), Вг = 0 и Ву =

3.10 Токовые слои с Вх(г), Вг = 0 и постоянным Ву =

3.11 Токовые слои с Вх(г), Вг = 0 и Ву(г)

3.12 Заключение

Заключение

Публикации автора по теме диссертации

Список литературы

Введение

Ночная магнитопауза

Магнитопауза - граница магнитосферы Земли (см. Рисунок 1), которая отделяет области, заполненые потоком холодной плазмы солнечного ветра (плазма магнитослоя), от областей, заполненых горячей магнитосферной плазмой на низких широтах (плазменный слой около магнитного экватора) и сильным магнитным полем на высоких широтах (магнитосферные лобы). Структура и динамика магнитопаузы определяет механизмы транспорта плазмы солнечного ветра в магнитосферу [5—7] и, как следствие, изучение магнитопаузы представлет особый интерес в рамках описания и моделирования вопросов взаимодействия солненого ветра и земной магнитосферы.

Рисунок 1 — Схематичное изображение магнитосферы Земли. Левая панель проекция на плоскость, перпендикулярную плоскости эклиптики и проходящую через линию Земля-Солнце. Рисунки с сайта geography-a.ru.

Наиболее изученной является структура дневной и околоземной фланговой магнитопаузы, большое количество материала по которым было предоставлено многочисленными спутниковыми миссиями, включая Interball [8], Geotail [6], Cluster [9; 10], THEMIS [11], MMS [12]. Гораздо меньше известно о ночной магнитопаузе на дальних радиальных расстояниях, спутниковые данные для которой до недавнего времени были представлены лишь несколькими пролётами ISEE-3 и Geotail [13; 14]. При этом основная плазменная популяция

хвостовой области магнитосферы обеспечена именно транспортом плазмы маг-нитослоя через ночную дальнюю магнитопаузу, а последующая конвекция к Земле [15] и нагрев этой плазмы обеспечивают основную популяцию горячих частиц в ближней магнитосфере Земли, откуда эти частицы инжектируются во внутреннюю магнитосферу, создавая популяции кольцевого тока и внешнего радиационного пояса. Лишь с запуском спутниковой миссии ARTEMIS [16] в 2010 году появилась возможность изучения свойств ночной магнитопаузы на больших радиальных расстояних (миссия работает на лунной орбите, ~ 60 радиусов Земли на ночной стороне, см. примеры изучения ночной магнитопаузы по данным ARTEMIS в работах [17; 18]). При этом с запуском миссии MMS в 2015 году [19] появились новые возможности по изучению ночной магнитопаузы: после 2016 года спутники MMS находятся на околоэкваториальной орбите с апогеем ~ 35 радиусов Земли и, как следствие, регулярно наблюдают ночную околоземную магнитопаузу, позволяя тем самым провести сопоставление структуры магнитопаузы на разных радиальных расстояниях (сравнивая данные измерений MMS и ARTEMIS). Именно реализация данных возможностей лежит в основе данной диссертационной работы.

Спутниковая миссия ARTEMIS

Time History of Events and Macroscale Interactions during Substorms (THEMIS) [20] - спутниковая миссия, действующая под эгидой NASA, и первоначально состоявшая из пяти идентичных аппаратов, запущенных 17 февраля 2007 года. После перемещения двух из пяти, наиболее удаленных от Земли, спутников миссии THEMIS (THEMIS B и C, впоследствии переименованных в ARTEMIS P1 и P2, см. Рисунок 2) с околоземной на лунную орбиту в конце 2010 года, и старта миссии Acceleration, Reconnection, Turbulence, and Electrodynamics of the Moon's Interaction with the Sun (ARTEMIS) [16], в составе миссии осталось три спутника - THEMIS A,D,E.

Миссия ARTEMIS, являющаяся продолжением миссии THEMIS, состоит из двух аппаратов - ARTEMIS P1 и P2, и проводит первые в истории систематические многоспутниковые наблюдения дальнего хвоста магнитосферы Земли,

Рисунок 2 — Орбиты трех спутников миссии THEMIS и двух спутников миссии ARTEMIS после перемещения последних на лунную орбиту. Рисунок

из работы [16].

солнечного ветра и окололунной среды [16]. Спутники миссии совершают полный оборот вокруг Земли за время одного лунного месяца (28 дней) и в течение своего движения находятся как в солнечном ветре (около 80% времени), так и внутри магнитосферы (около 20% времени) (см. Рисунок 3), что позволяет проводить исследования широкого круга научных вопросов. Наиболее важными задачами миссии, помимо исследований Луны и процессов, происходящих рядом с ней, являются изучение динамики и ускорения частиц на разрывах и в областях, где происходят процессы магнитного пересоединения, а также изучение механизмов развития и эволюции турбулентности в магнитном хвосте и солнечном ветре. Важной особенностью миссии, как уже упоминалось, является наличие двух спутников, что позволяет применять некоторые многоспутниковые методы анализа данных, речь о которых пойдет ниже.

Схематичное изображение спутников миссий THEMIS и ARTEMIS с установленными на них приборами, приведено на Рисунке 4. В диссертационной работе мы используем данные нескольких приборов - феррозондового магнетометра (Fluxgate magnetometer, FGM) [21], электростатического анализатора (Electrostatic Analyzer, ESA) [22] и твердотельного телескопа (Solid State Telescope, SST) [20], поэтому в дальнейшем речь пойдет только о них. С полным перечнем установленной аппаратуры можно ознакомиться в обзорных статьях, посвященных миссиям THEMIS и ARTEMIS ([20], [16]). Период обраще-

Рисунок 3 — Области, пересекаемые спутниками ARTEMIS, и соответствующие им научные задачи. Рисунок из работы [16].

ния спутника вокруг своей оси составляет 4с, ось вращения поддерживается направленной под углом меньшим 10 гр. на юг.

Феррозондовый магнитометр THEMIS (FGM) измеряет фоновое магнитное поле и его низкочастотные флуктуации (до 64 Гц) в околоземном пространстве. FGM был специально разработан для изучения резких изменений в структуре земной магнитосферы во время начальной стадии суббурь, что требует стабильного контроля смещения менее 0.2нТл/ч. За счет своей высокой чувствительности, магнитометр способен регистрировать изменения магнитного поля с амплитудами порядка 0.01 нТл. Поскольку прибор изначально разрабатывался для миссии THEMIS, он должен был работать на близких к Земле расстояниях, где амплитуда полей достигает величины 25000 нТл, соответственно, прибор способен измерять магнитные поля в диапазоне шести порядков по амплитуде. Полная информация, касающаяся прибора, опубликована в работе [21].

Твердотельный телескоп THEMIS (SST) измеряет функции распределения сверхтепловых частиц, в диапазоне энергий от 25 кэВ до 6 МэВ. Каждый спутник укомплектован двумя приборами, каждый из которых состоит из двух двухсторонних телескопов, измеряющих ионы с одной стороны и электроны с другой. Телескопы расположены рядом друг с другом и направлены в противоположные стороны, таким образом, что и электроны, и ионы измеряются одновременно с обеих сторон. Полная информация, касающаяся прибора, опубликована в работе [20].

Рисунок 4 — Схематическое изображение одного из спутников миссии THEMIS/ARTEMIS. Рисунок из работы [16].

На спутниках установлены электронный (eESA) и ионный (iESA) электростатические анализаторы, регистрирующие частицы в энергетическом диапазоне от нескольких эВ до 30 кэВ для электронов и 25 кэВ для ионов. Прибор состоит из пары анализаторов с общим полем зрения 180 х 6° и покрывает полный телесный угол за 3 секунды вращения аппарата вокруг своей оси (время выросло до 4с после 2010 года за счёт замедления вращения аппарата). Частицы регистрируются микроканальными детекторами и разбиваются на 6 распределений, энергетическое, угловое и временное разрешение которых зависит от режима работы прибора. Также рассчитываются бортовые моменты функции распределения, учитывающие поправки на потенциал аппарата. Для обеспечения общего поля зрения, ионный и электронный анализаторы установлены вместе. Полная информация, касающаяся прибора, опубликована в работе [22]. Различаются несколько режимов работы данного прибора:

"Full packets" (full) - данные с низким временным разрешением, полезные для просмотра больших временных интервалов. Они включают в себя 32 канала по энергиям и 88 угловых областей. Полные распределения фиксируются за один оборот спутника вокруг своей оси и снимаются, в зависимости от режима работы приборов, один раз в 32 периода ("Fast-Survey Spacecraft Mode"), либо один раз в 128 периодов ("Slow-Survey Spacecraft Mode"). Этот тип данных с высоким энергетическим и угловым разрешением является наиболее важным

для проведения калибровок приборов. Данные формата full используются для проверки вычисления бортовых моментов и предоставляют детализированные функции распределения плазмы во всех областях магнитосферы. Кроме того, в зависимости от региона, в котором находится спутник, могут быть выбраны различные угловые карты.

"Burst packets" (brst) - данные, содержащие трехмерные функции распределения плазмы, имеющие 4-х секундное временное разрешение (соотвеству-ющее полному обороту спутника вокруг своей оси). Из-за некоторых ограничений, запись brst-данных в течение одного орбитального периода ограничена несколькими пятиминутными временными интервалами. Формат этих данных аналогичен формату full-данных, т.е. имеется 32 энергетических канала и 88 угловых сегментов. Выбор временных интервалов для записи brst-данных осуществляется наземными командами, либо производится после срабатывание бортовых триггеров [20]. Brst-данные предоставляют высокое временное разрешение, необходимое для анализа различных разрывов и пограничных слоев, таких как околоземная ударная волна, нейтральный слой хвоста магнитосферы и магнитопауза Земли.

"Reduced packets" (reduced) - данные со спиновым (4х-секундным) временным разрешением, записываемые постоянно, однако имеющие ограниченные угловые и энергетические диапазоны. В режиме slow-survey, reduced-данные состоят из 32-канальных всенаправленных энергетических спектров, которые формируются с такой же частотой, что и рассчитанные на борту моменты функций распределения частиц. В режиме fast-survey ионные данные содержат 32 канала по энергии и 50 угловых секторов, в то время как электронные - те же 32 канала по энергии, но всего 6 угловых секторов. Такой формат в fast-survey моде был выбран для того, чтобы обеспечить достаточное угловое разрешение для расчета моментов функций распределения частиц.

"Moment packets" (mom) содержит вычисленные на борту по данным ESA и SST моменты ионной и электронной функций распределения с 4-х секундным временным разрешением, включающие в себя плотность плазмы, три компоненты потоковой скорости, шесть компонент тензора импульса и три компоненты потока энергии, рассчитанные отдельно для четырех инструментов (eESA, iESA, eSST, iSST). На Земле эти моменты могут быть объединены для расчета скорости частиц и плазменного давления. Объединение данных ESA и SST

может быть особенно полезно для определения полного давления в плазменном слое. Как было отмечено выше, схема расчета моментов уникальна тем, что впервые позволяет учесть поправки на заряд аппарата. Потенциал спутника, измеряемый прибором ЕЙ [23], используется для корректного сдвига по энергиям при расчете моментов. Расчет также включает в себя использование весовых коэффициентов, позволяющих контролировать изменения энергетической и угловой эффективности сенсоров.

Спутниковая миссия MMS

Magnetospheric Multiscale (MMS) - четырехспутниковая миссия NASA, запущенная 12 марта 2015, основным научным направлением которой является изучение магнитного пересоединения [24] в пограничных областях земной магнитосферы, в частности, вдоль ее дневной магнитопаузы и в области перехода от замкнутых силовых линий к открытым в хвостовой области магнитосферы (вдоль нейтрального слоя, см. Рисунок 5). Наиболее важной задачей миссии MMS является сбор статистических данных и выявление причин, вызывающих процессы пересоединения магнитных силовых линий в бесстолкновительной плазме. Важность результатов, получаемых по данным миссии, обуславливается еще и тем фактом, что процессы магнитного пересоединения наблюдаются повсеместно в плазменных системах, например, в межзвездном пространстве, вспышках магнетаров и солнечной короне, где они ответственны за солнечные вспышки и корональные выбросы массы [25; 26]. Миссия MMS была разработана специально для того, чтобы дать ответы на многие вопросы, касающиеся физики пересоединения в земной магнитосфере. Однако помимо основных задач, MMS предоставляет огромное количество данных, которые находят применение в различных областях физики околоземной плазмы.

Основные вопросы, поставленные перед миссией и касающиеся процессов магнитного пересоединения, можно найти в обзорной статье [19]. Огромными достоинствами миссии MMS является наличие данных сразу с четырех близко расположенных спутников, расстояние между которыми для разных этапов миссии варьируется от 10-160 км на дневной стороне магнитосферы, до

Рисунок 5 — Эскиз магнитосферы Земли в плоскости полуденного меридиана. Прямоугольниками выделены участки, где чаще всего наблюдается магнитное

пересоединение. Рисунок из работы [19].

км на ночной стороне, и конфигурация которых образует тетраэдр. Это обеспечивает возможность использования различных четырех-спутниковых методов анализа данных (см. следующий раздел), и позволяет добиться беспрецедентного пространственного разрешения, недоступного ранее. Кроме того, решение поставленных перед миссией задач требует высокочастотных измерений всех необходимых параметров. Так, например, полная функция распределения электронов может измеряться с временным разрешением 0.03с., ионная - 0.15с. Для сравнения, миссия Cluster [27] имела временные разрешения для тех же функций 2 и 4 секунды соответственно.

Для выполнения основных задач, касающихся магнитного пересоединения, орбиты спутниковой миссии должны пересекать регионы, где чаще всего наблюдается данное явление, т.е. наблюдается антипараллельная конфигурация магнитных силовых линий. Кроме того, поскольку области пересоединения обычно очень быстро движутся, спутники должны проводить в этих областях большую часть времени, что достигается выбором орбит спутников с апогеем вблизи гипотетических точек пересоединения - ~ 12 земных радиусов на дневной стороне и ~ 25 земных радиусов на ночной стороне. Для этого необходимы две различные конфигурации орбит, показанные на Рисунке 6, соответствую-

Рисунок 6 — Упрощенная конфигурация орбит миссии MMS в плоскости XY системы координат GSM для первой и второй фазы. Рисунок из работы [19].

щие двум фазам миссии. Более детальную информацию об орбитах можно найти в работе [28].

Все четыре спутника миссии являются идентичными, а описание оборудования, которым укомплектован каждый из них, представлено, например, в работе [19]. Упрощенный внешний вид спутников и расположение приборов на спутнике показано на Рисунке 7. Сбор телеметрии и взаимодействие приборов с центральным процессором описаны в работе [29].

Для измерения магнитных полей на спутниках MMS используются аналоговый (AFG) и цифровой (DFG) феррозондовые магнитометры (FGM)[30], прибор EDI (Electron Drift Instrument) и прибор SCM (Search Coil Magnetometer) [31]. Каждый из приборов AFG и DFG установлен на пятиметровой штанге. Магнетометры имеют два диапазона измерений (Low-field и High-field) в частотном диапазоне до 64 Гц. Величины магнитных полей, при которых происходит смена диапазона, отличаются для AFG и DFG, что полезно при проведении калибровок. Смена диапазона для DFG происходит при 550 нТл при возрастании амплитуды поля и при 500 нТл при уменьшении амплитуды поля. Уровень шума для High-field диапазона (амплитуда поля до 10500 нТл) порядка 100 пТл/Гц на частоте 1 Гц. В случае Low-field диапазона прибор может работать в двух режимах: DEC 32 с уровнем шума порядка 8 пТл/Гц на частоте 1 Гц и DEC 64 с уровнем шума порядка 5 пТл/Гц на частоте 1 Гц [32].

Смена диапазона для AFG происходит при 450 нТл при возрастающей амплитуде поля и при 400 при уменьшении амлитуды поля. Уровеь шума для

Рисунок 7 — Внешний вид спутников и расположение основных элементов миссии MMS. Рисунок с официального NASA.

High-field диапазона (амплитуда поля до 8200 нТл) порядка 10 нТл/^Гц на частоте 1 Гц и порядка 5 пТл/\/Гц на 1 Гц для Low-field диапазона.

Подробное описание всех приборов можно найти в работе [33].

Для измерения свойств плазмы на спутниках миссии MMS установлено два комплекса приборов: Hot plasma suite (HPS) и Energetic Particle Detector Suite (EPD). В нашей работе мы используем данные только HPS, который состоит из двух наборов детекторов: Fast Plasma Investigation (FPI) и Hot Plasma Composition Analyzer (HPCA). FPI включает в себя 8 детекторов - 4 двойных ионных (DIS) и 4 двойных электронных (DES) сенсора, установленных парами. Угол зрения каждого из приборов составляет 45°. Во всех предыдущих миссиях спутнику требовалось совершить полный оборот вокруг своей оси, чтобы получить всенаправленную функцию распределения, в случае MMS такая необходимость отпадает, поскольку вместе детекторы могут покрыть полный телесный угол. FPI может производить измерения трехмерной функции распределения ионов с временным разрешением 150 мс и электронов - с разрешением 30 мс, что в 100 раз превосходит разрешение предыдущих электронных детекторов.

Прибор HPCA обладает 10-секундным временным разрешением и необходим для определения ионного состава регистрируемой плазмы. В отличие от комплекса приборов FPI в данном случае необходим всего один датчик. В

магнитосфере Земли, в отличие от плазмы солнечного ветра, присутствует значительная часть ионов однозарядного гелия и кислорода. Прибор способен замерять время движения попадающих в него частиц, что позволяет определить массу регистрируемых ионов.

Токовый слой магнитопаузы

Ключевой элемент магнитопаузы - это её токовый слой, представляющий собой двумерную, а локально одномерную структуру с высокой плотностью тока, ответственной за вариацию магнитного поля поперёк магнитопаузы [9]. Следует отметить, что изучение структуры токового слоя магнитопаузы следует соотносить с общим контекстом изучения токовых слоёв, так как данные плазменные структуры играют ключевую роль в различных системах космической плазмы. Токовые слои наблюдаются в солнечных вспышках [34—36], формируются в турбулентном потоке солнечного ветра [37—39], хвостовых областях планетарных магнитосфер [40—42] и магнитосфер комет [43—45]. Наиболее важным свойством токового слоя является его устойчивость к внешнему воздействию или собственным неустойчивостям, ведь именно это свойство определяет динамику слоя, ответственную, в частности, за возможность транспорта частиц через магнитные поверхности токового слоя. Устойчивость токовых слоёв в целом определяется их конфигурацией.

В простейшей геометрии магнитного поля токовый слой представляет собой одномерную (Ш) структуру, которая описывается моделью либо тангенциального разрыва, разделяющего две плазмы с различными свойствами, либо вращательного разрыва, характеризующегося конечной составляющей магнитного поля Вп в направлении по нормали к поверхности слоя. Так как тангенциальная компонента магнитного поля В1 изменяет знак в центре разрыва, градиент давления магнитного поля VBl /8л должен быть скомпенсирован либо градиентом давления плазмы,

V пВ2/8ъ + УпР =

(1)

либо градиентом сдвиговой (шировой, shear) компоненты магнитного поля

УпВ}/8ъ + УВ2т= 0, (2)

см. схему на Рисунке 8(a) и работы [46—48]). При этом в одномерных тангенциальных разрывах отсутствуют силы, действующие вдоль разрыва (вдоль I направления).

В одномерном вращательном разрыве помимо вертикального баланса давления Vn), аналогичного балансу в тангенциальном разрыве, горизонтальный (вдоль I направления) баланс давления поддерживается за счёт градиента динамического плазменного давления, уравновешивающего силу натяжения силовых линий магнитного поля < Вп

pVnVnVl = jmBn/c, (3)

см. схему на Рисунке 8(b) и работу [49].

Ненулевая компонента магнитного поля Вп = 0 является неотъемлемой частью двумерных (2D) токовых слоёв [50], и в таких двумерных конфигурациях горизонтальный (вдоль I направления) баланс давления обеспечивается либо градиентом плазменного давления

Vl Р = jmBn/c, (4)

(см. схему на Рисунке 8(c) и обзор двумерных моделей в работе [51]) либо градиентом динамического давления

pVnVnVl + pviVivi = jmBn/c, (5)

(см. схему на Рисунке 8(d) и работы [52—54]). Отметим, что в обоих случаях, показаных на панелях (c,d), градиент теплового давления и градиент динамического давления может быть заменён на градиент сдвиговой компоненты магнитного поля

Vl В2т/8<К = jmBn/c (6)

Первичное представление о структуре токовых слоёв магнитопаузы можно получить, если рассмотреть место, которые данные слои занимают в парамет-

(а

к

I I

Рисунок 8 — Схематичное изображение четырёх конфигураций токовых слоёв. На панелях (а)-(ё) показаны силовые линии магнитного поля и основные компоненты баланса давления для различных конфигураций токовых слоёв. Система координат определена следующим образом: I вдоль направления основной компоненты магнитного поля (тангенциальное направление к плоскости разрыва), меняющей знак в нейтральной плоскости токового слоя (В1 = 0), т вдоль основного направления плотности тока, соответствующего изменению В1, п вдоль пространственного градиента В1 (т.е. 4'к,]т/с = дВ1 /дгп). Направление п часто называют направлением вдоль нормали к плоскости токового слоя. На панели (а) показан одномерный тангенциальный разрыв (Вп = 0, V = 0), а на панели (Ь) показан одномерный вращательный разрыв (Вп = 0, V/ = 0). На панели (с) показан двумерный токовый слой с балансом давления за счёт градиентов теплового давления плазмы. На панели (ё) показан двумерный токовый слой с балансом давления за счёт градиентов динамического давления плазмы.

рическом пространстве, сформированном двумя наиболее важными плазменными параметрами: числом Маха Ма (отношение скорости потока плазмы к скорости Альвена) и плазменным бета р (отношение теплового давления плазмы к давлению магнитного поля). Токовые слои, относящиеся к различным плазменным системам, занимают различные области пространства (Р, Ма)- Тангенциальные разрывы (Вп = 0) не требуют для установления баланса давления вклада от динамического давления плазмы. Эти разрывы существуют в системах либо с большим р (если давление плазмы уравновешивает давление магнитного поля, уравнение 1), либо с малым р (если конфигурация токового слоя не содержит градиентов плазменного давления и поперечных токов, Л х В = 0, уравнение 2). Такие токовые слои часто наблюдаются в солнечном ветре (см. обсуждение в [55; 56]), где они распространяются с потоками плазмы и их Ма ~ 0 в системе отсчета токового слоя (см. примеры моделей таких токовых слоёв в работах [47; 57—59]). Вращательные разрывы также наблюдаются в солнечном ветре (Р ~ 1) и характеризуются градиентами потока плазмы с Ма ~ 1 в системе отсчета токового слоя (см. [56; 60—62] и схематичный Рисунок 8(Ь)). Такие слои описываются уравнением 3. На Рисунке 9 розовым контуром показана параметрическая область, занятая токовыми слоя солнечного ветра в (Р, Ма) пространстве.

Токовые слои в магнитослое (области земной магнитосферы, заполненной солнечным ветром, прошедшим ударную волну) характеризуются меньшими, чем в солнечном ветре, числами Маха Ма (см. Рисунок 8, чёрный контур). На баланс давления в этих токовых слоях значительное влияние оказывают градиенты давления плазмы (уравнение 1), т.е. такие токовые слои - сжимаемые плазменные структуры с параллельными и перпендикулярными токами (см. работы [63; 64]).

Область (Р, Ма) пространства со схожим диапазоном чисел Маха Ма, но существенно большими р соответствует токовым слоям, наблюдаемым в дальней хвостовой области земной магнитосферы Земли, где сильные потоки плазмы могут достигать Ма > 1, а Р £ [10,100] (см., например, работы [65; 66]). Баланс давления в таких токовых слоях в основном выполняется за счет градиентов давления плазмы. Отметим, что конфигурации токовых слоёв магнитослоя и дальнего магнтосферного хвоста характеризуются небольшим, но конечным Вп, и, таким образом, сила натяжения силовых линии магнитного поля < Вп в

этих слоях должна быть уравновешена слабыми потоками плазмы (уравнение 5).

101

10

<

о

10

-1

10

-2

10

-1

10

о

ß

101

10

2

Рисунок 9 — Параметрические области, которые занимают токовые слои, наблюдаемые спутниками THEMIS и ARTEMIS [16; 67] в солнечном ветре (розовый), в магнитослое (черный), околоземном магнитосферном хвосте (синий) и в магнитосферном хвосте на лунной орбите (красный). Жёлтыми сплошным и пунктирным контурами показаны параметрические области, занимаемые токовыми слоями околоземной магнитопаузы и магнитопаузы на

лунной орбите.

Однако в дальнем хвосте наблюдаются и слои с ¡3 < 10, для которых характерна бессиловая конфигурация магнитного поля с Л х В = 0 [68]. Такие токовые слои описывает уравнение 6. Существует ряд моделей таких квазиодномерных токовых слоёв с Вп = 0, которые описывают как слои с большим

ß [69—73], так и бессиловые слои с малым ß [74—76]. На Рисунке 9 красным контуром показана параметрическая область, занятая токовыми слоя дальнего магнитосферного хвоста в (ß, Ма) пространстве.

Параметрическая область (ß, Ма), соответствующая дальнему хвосту магнитосферы, продолжается в диапазон малых чисел Маха Ма при уменьшении радиального расстояния от Земли. Токовые слои околоземного магнитного хвоста (синий контур на Рисунке 9) характеризуются более высоким ß > 100 и их конфигурация существенным образом определяется вкладом давления плазмы в баланс давления [86—88]. Такие токовые слои описывает уравнение

Важным различием между токовыми слоями солнечного ветра/магнито-слоя и токовыми слоями магнитосферного хвоста является конфигурация линий магнитного поля; токовые слои солнечного ветра можно рассматривать как одномерные разрывы, тогда как токовые слои магнитосферного хвоста являются двумерными (см. схематичный Рисунок 8(a-d) и работы [51; 89—91]). В пространстве (ß, Ма) область больших ß может быть описана кинетическими моделями токовых слоев с Вп = 0 (1D модели) и Вп = 0 (2D модели с градиентами давления плазмы). И наоборот, область малого ß с доминирующими параллельными токами и бессиловыми токовыми слоями может быть описана только одномерными кинетическими моделями с Вп =

На Рисунке 9 также показаны параметрические области, соответствующие токовым слоям фланговой магнитопаузы на близких к Земле расстояних (наблюдения спутниковой миссии MMS; жёлтый сплошной контур) и на лунной орбите (наблюдения спутниковой миссии ARTEMIS; жёлтый пунктирный контур). Эти параметрические области отличаются большими числами Маха, что соответствует быстрым плазменным потокам при малых Альвеновских скоростях. Однако основной поток параллелен плоскости магнитопаузы и не вносит существенного вклада в баланс давления [6; 18]. Таким образом, токовые слои фланговой магнитопаузы скорее сбалансированы либо градиентами плазменного давления (уравнение 4), либо являются бессиловыми конфигурациями с доминированием параллельных токов (уравнение 6). Область значений ß для слоёв магнитопаузы крайне широка и покрывает как диапазон, соответствующий слоям солнечного ветра, так и диапазон, соответствующий слоям магни-тосферного хвоста. Таким образом, можно ожидать обнаружение совершенно разных конфигураций токового слоя магнитопаузы.

solar wind lunar orbit magnetotail Mars' magnetotail Jovian magnetotail

2012-03-27 ARTEMIS PI 2016-05-20 ARTEMIS PI 2015-05-01 MAVEN 2017-05-08 JUNO

after 17:45:00

Рисунок 10 — Четыре примера бессиловых токовых слоёв, наблюдаемых в (a)

солнечном ветре, (b) в дальнем хвосте земной магнитосферы, (с) в хвосте марсианской магнитосеферы, (d) в магнитодиске магнитосферы Юпитера. На верхних панелях показаны три компоненты магнитного поля в локальной системе координат [77]. Серая кривая соответствует амплитуде магнитного поля; В « const указывает на бессиловую конфигурацию токового слоя. На промежуточных панелях показаны ионное и электронное ß. На нижних панелях показаны профили параллельного тока и указана основная популяция ионов токового слоя; также изображён соответствующей данным ионом пространственный масштаб. Наблюдения токовых слоев в солнечном

ветре и в дальнем хвосте земной магнитосферы получены спутниками ARTEMIS, изменяющими магнитное поле [21] и плазменные характеристики

[22] с 3с временным разрешением (см. детали отбора и анализа данных в работе [78]). Токовый слой в марсианской магнитосфере обнаружен по данным

спутника MAVEN, параметры измерений магнитного поля и плазменных характеристик на котором можно найти в работах [79—81] (см. детали отбора и анализа данных в работе [66]). Наблюдения токового слоя в магнитосфере Юпитера получены спутником JUNO, параметры измерений магнитного поля и плазменных характеристик на котором можно найти в работах [82—84] (см. детали отбора и анализа данных в работе [85]).

Все токовые слои, показаные на Рисунке 9, кроме слоёв околоземной магнитопаузы, были обнаружены по измерениям магнитометров THEMIS и ARTEMIS [21]. Процедура отбора и обработки данных для токовых слоёв солнечного ветра описаны в работе [78]: температуры ионов рассчитываются с использованием набора данных OMNI [92; 93], потоки плазмы в системе отсчета токового слоя рассчитываются как изменение наиболее вариабельной компоненты потока поперёк токового слоя (подробнее см. в [78]). Те же критерии и методы обработки данных были применены к токовым слоям магнитослоя (дневная сторона), но без использования данных OMNI, поскольку THEMIS хорошо измеряет температуру ионов магнитосферы в этой области [22]. Набор данных о токовых слоях околоземного магнитосферного хвоста (радиальные расстояния ~ 10 — 30 радиусов Земли) описан в работе [94]. Те же критерии и методы обработки данных были применены к токовым слоям магнитосферного хвоста на лунной орбите. Подробности расчета ß и Мд описаны в [66; 78].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетика ночной магнитопаузы магнитосферы Земли»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Актуальность работы обусловлена комбинацией нескольких факторов: во-первых, важной ролью, которую ночная магнитопауза (а точнее ее токовый слой) играет в транспорте заряженных частиц солнечного ветра в магнитосферу Земли, и уникальной ситуацией с доступными данными спутниковых измерений, которая сложилась благодаря нескольким годам одновременного мониторинга ночной магнитопаузы двумя многоспутниковыми миссиями - MMS и ARTEMIS. Наблюдения миссии ARTEMIS, с 2010 года работающей на лунной орбите, впервые позволяют провести статистический анализ свойств ночной фланговой магнитопаузы Земли на больших радиальных расстояниях, а совместные наблюдения миссий ARTEMIS и MMS позволяют изучить вариацию структуры ночной магнитопаузы с изменением радиального расстояния от планеты.

Во-вторых, помимо важности структуры токового слоя магнитопаузы в контексте его устойчивости и транспорта частиц, следует отметить, что фланговая магнитопауза - наиболее доступная для исследования система с токовыми слоями с малыми величинами /3 и малым вкладом динамического давления плазмы. Как следствие, она представляет собой идеальную систему для статистического изучения бессиловых конфигураций токового слоя. Помимо фланговой магнитопаузы данный класс токовых слоев наблюдается в солнечном ветре, в дальнем хвосте магнитосферы Земли, в холодной плазме хвоста магнитосферы Марса [66] и плазме малой плотности хвоста магнитосферы Юпитера [95]. На Рисунке 10 показаны примеры бессиловых токовых слоев, наблюдаемых в солнечном ветре, магнитных хвостах Земли, Марса и Юпитера. Таким образом, фланговая магнитопауза является естественной лабораторией по изучению редкого в магнитосфере Земли, но распространённого в гелиосфере класса токовых слоёв.

Цели и задачи работы

Основной целью диссертационной работы является детальное изучение кинетической структуры токового слоя фланговой ночной магнитопаузы. Основные задачи работы:

1. Исследование пространственных масштабов и плазменных популяций ночной магнитопаузы на больших радиальных расстояниях. Решение данной задачи должно дать представление о структуре переходных областей плазмы и токового слоя ночной фланговой магнитопаузы -ключевого элемента границы между плазменными популяциями магнитосферы и магнитослоя, определяющего свойства транспорта плазмы через магнитопаузу.

2. Исследование вариации структуры ночной фланговой магнитопаузы с радиальным расстоянием. Решение данной задачи должно дать количественную оценку изменения толщины токового слоя магнитопаузы и его конфигурации при увеличении расстояния от Земли.

3. Теоретическое исследование структуры токового слоя ночной фланговой магнитопаузы. Решение этой задачи должно дать ответ о существовании стационарных конфигураций токового слоя или о необходимости построения его динамических моделей.

Научная новизна

Новизна основных результатов, полученных в рамках диссертационной работы, обусловлена следующими факторами:

1. Собранная и использованная статистика наблюдений ночной магнито-паузы спутниковой миссией ARTEMIS не имеет аналогов в литературе. Сама возможность сбора такого набора данных появилась лишь в последнее десятилетие, что автоматически делает полученные в рамках его анализа результаты новыми.

2. Аналогичная ситуация имеет место и со статистикой одновременных наблюдений MMS и ARTEMIS, сама возможность сбора которых появилась лишь после 2016 года и была впервые использована в исследованиях, лежащих в основе данной диссертационной работы. Как следствие, полученные по обоим наборам данных результаты не имеют прямых аналогов в литературе и являются абсолютно новыми.

3. Использованный в третьей главе алгоритм машинного обучения, разработанный для поиска инвариантов движения частиц в Гамильтоновых системах, ранее не применялся к задачам о динамике ионов в токовых слоях, т. е. новизна полученных и представленных в третьей главе результатов обеспечена использованием инновационных теоретических подходов к решению задачи о существовании стационарных плазменных равновесий.

Теоретическая и практическая значимость работы

Можно выделить следующие основные аспекты, определяющие значимость полученных результатов: (I) Впервые проведен статистический анализ свойств фланговой ночной магнитопаузы Земли по данным спутниковой миссии ARTEMIS, и показано, что на больших расстояниях от планеты магнито-пауза представляет собой многомасштабную структуру, состоящую из переходных слоёв плотности, температуры и кинетической энергии плазмы различной толщины, с характерными масштабами порядка 3000 км, сопоставимыми с гиро-радиусом ионов плазменного слоя. Этот результат может иметь определяющее значение для построения моделей устойчивости токового слоя магнитопаузы и транспорта плазмы солнечного ветра в магнитосферу.

(II) Приведенные в первой главе результаты показывают, что отношение ионной и электронной температур поперек магнитопаузы на лунной орбите остается постоянным Ti/Te « 5 —10, и транспорт плазмы из магнитослоя в плазменный слой на лунной орбите может объяснить отношение Ti/Te для холодного плазменного слоя. Этот результат указывает на то, что низкочастотные флуктуации магнитного поля, наблюдаемые в магнитослое, могут вносить существенный вклад в динамику частиц вблизи магнитопаузы и приводить к термали-зации ионной популяции магнитослоя. Значимость этого результата состоит в прямом экспериментальном подтверждении необходимости учета низкочастотных электромагнитных колебаний при моделировании динамики частиц вблизи магнитопаузы.

(III) Впервые проведен статистический анализ сопряженных наблюдений магнитопаузы Земли миссиями ARTEMIS и MMS. Показано, что токовый слой ночной магнитопаузы на разных радиальных расстояниях представляет собой самоподобную кинетическую структуру: конфигурация магнитного поля и толщина токового слоя, измеренная в масштабах тепловых гирорадиусов протонов магнитосферы, остаются неизменными в диапазоне радиальных расстояний от 10 до 60 радиусов Земли. Как следствие магнитопауза как в ближнем, так и в дальнем хвосте может быть описана одним и тем же классом моделей токовых слоёв. Основная значимость полученных результатов состоит в существенном ограничении класса теоретических подходов, применимых для моделирования

процессов вблизи магнитопаузы: типичные пространственные масштабы токового слоя магнитопаузы и переходных областей плазменных параметров сопоставимы с гирорадиусом ионов магнитосферы, т.е. для аккуратного описания динамики частиц вблизи магнитопаузы необходимо использовать кинетические или гибридные модели.

(IV) Впервые для анализа динамики ионов в токовом слое ночной магнитопаузы применен метод машинного обучения AI Poincare и показано, что для работы алгоритма вместо численно рассчитанных траекторий частиц можно использовать соответствующие им сечения Пуанкаре. Основной результат данного анализа состоит в том, что в присутствии нормальной к поверхности магнитопаузы компоненты магнитного поля ее токовый слой необходимо описывать динамическим равновесием, в то время как статических равновесий, существующих на длительных временных интервалах, по-видимому, не существует. Значимость этого результата определяется ролью токового слоя в транспорте частиц солнечного ветра в магнитосферу. Кроме того, дополнительную ценность полученным результатам придаёт тот факт, что конфигурация токового слоя магнитопаузы является универсальной для ряда плазменных систем, и, в частности, повторяет конфигурацию кинетических токовых слоёв солнечного ветра, магнитослоя и хвостовых областей магнитосфер Марса и Юпитера.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе использовались как стандартные и верифицированные одно- и многоспутниковые методы анализа структуры токовых слоев, так и специально разработанные для целей работы методы анализа плазменных границ в отсутствии чётких градиентов магнитных полей: вариационный анализ вектора магнитного поля (MVAB) [96], DeHoffmann-Teller анализ (dHT) [97], минимизация отклонения от закона Фарадея (MFR) [98], композиционный метод (COM) [99], метод тайминга Constant Velocity Approach (CVA) [100] и метод курлометра [101]. Все аппроксимации данных аналитическими функциями проводились с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Для численных расчетов траекторий частиц применялся метод Рунге-Кутты четверто-

го порядка. Для обучения нейронных сетей использовался алгоритм обратного распространения ошибки [102] с оптимизатором Adam [103] и условием ранней остановки.

Подробное описание методов анализа спутниковых данных представлено

ниже.

Методы обработки спутниковых данных

Общей проблемой экспериментальной физики космической плазмы является определение ориентации, скорости движения и пространственного масштаба различных МГД структур и разрывов. Типичным примером подобной задачи является восстановление локальной системы координат токовых слоев, наблюдаемых в солнечном ветре, магнитосфере и на магнитопаузе. Чаще всего необходимо определить направление нормали к поверхности изучаемого разрыва и его скорость вдоль данной нормали. Существует несколько различных методов определения локальной системы координат, основанных на измерениях магнитных полей и параметров плазмы по данным одного спутника, пересекающего разрыв [96; 98; 99; 104; 105]. Такие методы позволяют построить новую декар-тову систему координат, называемую системой координат LMN, отражающую свойства каждого конкретного разрыва. Для построения базиса системы LMN используются известные законы сохранения. В новой системе ось L направлена параллельно изучаемой структуре, ось N направлена вдоль нормали к ней, а ось M дополняет систему до правой тройки векторов. Помимо односпутниковых существуют также и многоспутниковые методы, требующие одновременных измерений параметров окружающей среды сразу несколькими аппаратами [100; 106] (как правило, используются четыре спутника). Такие методы при определенных конфигурациях взаимного расположения спутников позволяют получить более точные оценки.

Кроме того, интерес представляет определение плотности электрического тока, текущего через разрыв. В данном случае, при известном пространственном масштабе разрыва L, можно использовать простейшие оценки, полученные по данным измерения магнитного поля: j ~ VB ~ ABi/L, где ABl - измене-

ние основной тангенциальной компоненты магнитного поля поперек разрыва. В случае достаточной точности измерения плазменных параметров можно напрямую использовать определение j = en(Vi — Ve), где е - заряд электрона, п - плотность плазмы, Vi,Ve - потоковые скорости ионной и электронной популяции частиц. Однако наибольшую точность, как правило, можно получить, используя измерения с четырех расположенных рядом аппаратов [101].

В данном разделе мы подробно рассмотрим основные одно- и многоспутниковые методы, которые будут использованы нами в последующих главах.

Мы будем использовать четыре односпутниковых метода восстановления локальной системы координат магнитопаузы и определения скорости ее движения: вариационный анализ вектора магнитного поля (MVAB) [96], DeHoffmann-Teller анализ (dHT) [97], минимизацию отклонения от закона Фарадея (MFR) [98] и композиционный метод (COM) [99]. Первый метод позволяет построить локальную систему координат LMN, второй позволяет оценить скорость движения разрыва, а используя третий и четвертый методы, мы можем сразу найти как необходимую систему координат, так и скорость движения разрыва.

Все рассматриваемые методы вариационного анализа, кроме метода dHT, требуют предположения об одномерности системы, т.е., например, д/дх = д/ду = 0 и, таким образом

V • В = dBz/дх = 0 (7)

В данном случае локальная система координат (x,y,z) изначально неизвестна, а ее ось z направлена вдоль нормали к исследуемой структуре.

В действительности практически все наблюдаемые разрывы не являются идеально одномерными и всегда имеют двух- или трехмерную структуру, кроме того присутсвуют временные флуктуации конфигурации разрывов.

Первый из используемых нами односпутниковых методов - "вариационный анализ вектора магнитного поля" (MVAB), позволяет восстановить локальную систему координат разрыва. Данный метод [96; 99] требует наличия измерений вектора магнитного поля и основан на законе сохранения нормальной к разрыву компоненты поля В^. В качестве оценки нормали к изучаемой поверхности мы получаем направление в пространстве, вдоль которого магнитное поле В • п имеет наименьшую вариацию, где п - искомое направление нормали к разрыву.

Допустим, что за время пересечения изучаемой структуры были получены К измерений вектора магнитного поля В (к\ Тогда направление нормали определяется путем минимизации следующей величины:

1 К

а2 = I *в(к> • «I2 (8)

к=1

при условии |п|2 = 1. Здесь и в дальнейшем символом 5 В мы будем обозначать отклонение измеренной величины Вв точке к от ее среднего значения (В), т. е.

1 К

5В(к) = В(к) — (В) и (В) = К ^ В(к) (9)

к=1

Введя множитель Лагранжа А, процесс минимизации можно свести к решению системы трех уравнений:

(а2 — А(|п|2 - 1))=0

дп

д

(а2 — А(|п|2 - 1)) = 0 (10)

дпу

д

(а2 — А(|п|2 — 1)) = 0

д п

где величина а2 определена выражением 8 и нормаль п = |пж,пу.nz} задана в исходной системе координат (например, GSE или GSM).

Система уравнений 10 может быть переписана в более компактном виде

[96]:

= Апг (11)

2 = 1

где индексы = 1,2,3 обозначают одну из компонент исходной системы координат и матрица вариации магнитного поля имеет вид

М* = (ВгВ3 ) — (Вг)(В]) (12)

Таким образом, процесс минимизации сводится к нахождению трех собственных значений Аг, г = 1,2,3 и соответствующих им ортогональных собствен-

ных векторов Х{, г = 1,2,3 матрицы 12. При этом вектора, соответсвующие двум наибольшим собственным значениям, параллельны исследуемой структуре (в нашем случае - магнитопаузе), а третий вектор, соответствующий наименьшему собственному значению, определяет направление нормали. Найденый базис является искомой собственной системой координат изучаемого разрыва (ЬММ-системой).

При переходе в ЬММ-систему координат матрица 12 приобретает диагональный вид, при этом

МЦ = <В1В1)-(В1)(В1) = Л, (13)

т. е. все собственные значения неотрицательны и представляют собой вариации соответствующих компонент поля в ЬММ-системе.

Таким образом, суть метода МУАБ заключается в построении матрицы вариации магнитного поля 12 по данным измерений в одной из известных систем координат и поиске ее собственных значени и собственных векторов. Вектор, соответствующий наименьшему собственному значению используется в качестве направления нормали к исследуемой структуре.

Важными параметрами являются отношения Л1/Л2 и А2/А3, показывающие, насколько хорошо определены направления наибольшего и наименьшего изменения магнитного поля. В случае Л1 ~ Л2 или Л2 ~ Л3, система координат ЬММ определена с низкой точностью, поскольку вариации вдоль двух осей (Ь и М или М и N соответственно) практически равны, т.е. мы не можем разделить два из трех направлений в новой системе координат. Так, в случае Л 2 ~ А3 нормаль будет лежать в плоскости, определенной векторами х2 и х3, при этом небольшие изменения параметров входных данных, например, сдвиг анализируемого временного интервала, могут поменять местами направления среднего и наименьшего изменения магнитного поля. Принято ситать, что при Л2/Л3 > 3 [107; 108] можно доверять результатам метода МУАБ и прочим вариационным методам, рассмотренным ниже.

Метод 'ЮеНойтапп-ТеПег анализ" ^НТ) позволяет оценить скорость движения разрыва. Суть ёИТ-метода [97] заключается в поиске системы координат, движущейся с постоянной относительно спутника скоростью Улит, в которой электрическое поле равно нулю:

Е' = Е + Уант х В = 0 (14)

Из закона Фарадея, записанного в искомой системе координат, следует, что V х Е' = — (дВ / д1)' = 0, т.е. существование такой системы подразумевает, что магнитное поле в ней является стационарным (обратное в общем случае неверно).

Везде в дальнейшем в качестве электрического поля мы будем использовать величину

Е(к) = ^ х В(к)

где VI - потоковая скорость ионов. Как и в случае с методом МУАБ, скорость Уйнт можно найти путем минимизации функционала электрического поля И:

1 К 1 к ) = ]?Е 1Б'(Ч|2 = ]?Е К"'4 — V) х В<Ч|2 (15)

к=1 к=1

Величина И(У) является положительно определенной квадратичной формой относительно своего аргумента, а значит имеет единственный минимум. Условие минимизации VvD = 0 приводит к следующей системе линейных уравнений:

МоУант = {М (кУк)) (16)

и, предполагая, что матрица М0 = {М(к)) не является сингулярной:

Ушт = М—1{М (к)у(к)) (17)

где, как и ранее, угловыми скобками обозначено усреднение по набору К измерений, а матрица М(к) определена следующим образом:

( в (к)в (к) \ М(к = 5— ) = 5(кЧк) (18)

Заметим, что данный метод применим не только к одномерным структурам.

Для каждого исследуемого разрыва полезно проводить простой тест, показывающий, насколько хорошо найденная скорость Уант описывает имеющиеся

Рисунок 11 — График зависимости измеренных в системе координат ОБЕ компонент поля Е(к[ = х В(к[ от компонент поля

Е^нт = —^ант х В(к[ для пересения магнитопаузы по данным миссии АМРТЕ/ШМ. Коэффициент корреляции в данном случае равен 0.994.

Рисунок из работы [97].

данные: необходимо построить покомпонентные графики зависимостей измерен-

Е(к[ = —'(к[ х В(к[

ного электрического поля еу'"' = х ву"' от поля елнт = — *ант

В идеальном случае мы должно были бы получить, что Е(к[ = Е^Н[Т для всех к, т.е. коэффициент корреляции и коэффициент линейной регресии между двумя полями должны быть близки к 1. Пример такого теста приведен на Рисунке 11.

Односпутниковый метод "Минимизация отклонения от закона Фа-радея" (МЕИ) позволяет восстановить локальную систему координат разрыва и оценить скорость его движения. Данный метод основан на законе электромагнитной индункции Фарадея = —V х Е и подробно описан, например, в работах [98; 99]

Рассмотрим случай идеально одномерной структуры, двигающейся с постоянной за время наблюдения скоростью ип вдоль нормали к ее границе п. Введем новую переменную £ = г • п — ип1, тогда уравнение электромагнитной индункции можно переписать в виде

Е йг = (к[.

(1В (1Е

= п х

которое после интегрирования дает

ипВ = п х Е + С (20)

В данном случае необходимо определить не только нормаль п, но и параметр С. Основываясь на выражении 20, в работе [98] было предложено искать эти параметры путем минимизации следующей квадратичной функции, названной "Faraday residue":

1 К

IF{С,ип, п) = — У \ипВ(к) - п х Е(к) - С|2 (21)

К ^—'

к=1

Минимизация проводится относительно трех параметров: С, ип и п, при условии \п\2 = 1.

Условие минимизации относительно параметра С, VcjIf = 0 дает оптимальную оценку

с = С*(ип, п) = {ипВ - п х Е) (22)

где угловыми скобками обозначено усреднение по набору К измерений. Задача сводится к минимизации следующей величины:

ÎF(ип,п) = IF(С*,ип,п) = {\ипÔB\2 — п х ÔE) =

= и2п{\ÔB\2) - 2ипП{ÔE х ÔB) + {\ôE±\2) (23)

где символом ± обозначены компоненты, перпендикулярные нормали п. Обозначим Е' = Е + ипп х В и перепишем 23 в виде

ÎF = {\SE'±\2) + и2п{(n • ÔB)2) (24)

Таким образом, процесс минимизации функционала 24 представляет собой минимизацию вариации тангенциальной к разрыву компоненты электрического поля, измеренной в собственной системе координат рассматриваемой структуры.

Обозначим вектор {ÔE х ÔB) = Р. Минимизация 23 относительно ип приводит к оценке

ип = <(п) = (п • Р)/{\ÔB\2) (25)

Подставляя выражение для скорости 25 в выражение 23 получаем:

1РК,п) = (\5Е1_\2) — (п Р)2/(\6В\2) (26)

Учтем, что (\5Е±\2) = (\5Е\2) — пМЕп, где

= (5Ег5Е,) (27)

матрица вариации электрического поля. Тогда выражение 26 можно записать в простом виде:

1р (и*п,п) = п<^п (28)

где матрица Q определена выражением

Яц = (\6Е\2)% — М? — РгР3/(\5В\2) (29)

Величина 26 является неотрицательной квадратичной формой относительно вектора нормали п. Как и в случае с методом МУАБ, вектор нормали с точностью до знака совпадает с вектором х3, соответствующим наименьшему собственному значению матрицы 29

п = п* = ±Х3 (30)

Из выражения 25 мы получаем оптимальную оценку скорости магнитопа-

узы:

ип = К(п*) = ±(Х3 Р)/(\6В\2) (31)

Таким образом, метод МБИ, наряду с методами МУАБ и ^Т, дает еще одну оценку направления нормали к изучаемому разрыву и его скорость вдоль полученной нормали. Наличие нескольких различных методов позволяет оценить адекватность полученной системы координат ЬММ и величину скорости магнитопаузы, а кроме того, позволяет получить обобщенную оценку этих величин путем применения композиционной методики, описанной ниже.

"Композиционный метод" (СОМ) [99] позволяет получить оценку скорости рассматриваемого разрыва и направление нормали к нему, основываясь

на нескольких односпутниковых вариационных методах, например, на описанных выше MVAB, dHT и MFR.

Суть метода заключается в построении новой вариационной матрицы, путем сложения с некоторыми весами матриц, полученных различными односпут-никовыми методами (причем веса в данном случае определены не единственным образом). Так, например, в работе [104] процесс нормализации заключался в делении соответствующей матрицы на ее наименьшее собственное значение Л3. Более общим подходом яляется деление матрицы на ее след, т.е. на сумму собственных значений, что позволяет избежать ошибок в случае, если Л3 ~ 0. Однако логично учитывать с меньшим весом матрицы, имеющие примерно равные величины собственных значений, поскольку в этом случае собственные вектора плохо различимы. Этого легко добиться, введя весовые множители Wk = тк/^2тк, где индекс к означает конкретный метод (например, MVAB или MFR), а всего рассматривается К различных методов, при этом

тк = (Лк - Лк)(Лк - Лк) (32) т = Лк vrn ()

Итоговая матрица метода COM в результате имеет вид

К ткОк.

О™м = £ ТчОц (зз)

Тг О)

а оценка скорости

К

и *сом = и *к (34)

к=1

Как и ранее, вектор нормали к разрыву соответствует наименьшему собственному значению матрицы 33.

Важно заметить, что данный метод дает оценки направления нормали и скорости магнитопаузы, отличающиеся от средних значений, рассчитанных по нескольким односпутниковым методам. Различные варианты выбора весовых множителей, дополнительные ограничения, которые можно учесть при построении итоговой матрицы, а также другие однопутниковые вариационные методы, представлены в работе [99].

В нашей работе мы также будем использовать два многоспутниковых метода анализа разрывов. Первый - метод тайминга, предполагающий посто-

янную скорость движения рассматриваемой структуры ("Constant Velocity Approach" (CVA) [100]), позволяет восстановить нормаль к разрыву и скорость его движения. Второй метод - "curlometer" [101], позволяет оценить вектор плотности электрического тока.

Существуют различные варианты восстановления локальной системы координат и скорости разрыва по одновременным измерениям четырех спутников. Наиболее распространенными методами являются:

- Метод CVA ("Constant Velocity Approach", [100]), предполагающий, что скорость разрыва не изменяется за время его пересечения спутниками, и позволяющий определить нормаль к разрыву и его скорость вдоль нормали.

- Метод CTA ("Constant Thickness Approach", [100]), предполагающий по-стоянтсво толщины разрыва и позволяющий найти нормаль к нему, а также скорость и ускорение вдоль нормали.

- Метод DA ("Discontinuity Analyzer", [100; 106]), требующий знания нормали к разрыву (которую можно определить, например, из односпутни-ковых методов), но позволяющий найти как его скорость, так и ускорение.

В нашей работе пространственное разделение между спутниками миссии MMS составляет величину порядка 30 км, что позволяет сделать предположение о неизменности скорости движения магнитопаузы за время ее пересечения всеми аппаратами, поэтому мы в дальнейшем будем пользоваться наиболее простым методом CVA.

Каждое пересечение магнитопаузы фиксируется на всех четырех спутниках миссии MMS. Выберем один из них, например MMS1, в качестве опорного, и обозначим Ri = Г{ — Г\, i = 2,3,4, где ri - позиция спутника с номером г в момент пересечения им магнитопаузы, тогда можно записать

Ri •п = VMp • U (35)

где ti = tMPi — tMPx, i = 2,3,4 - задержка во времени между пересечениями магнитопаузы спутниками с номерами i = 2,3,4 и спутником MMS1. Выражение 35 можно переписать в виде

Ri • т = ti (36)

где rn = рД^. Система уравнений 36 может быть легко решена для трех компонент вектора т и, поскольку, \п\2 = 1, находим

Vmp = y^t и п = ш • Vmp (37)

\т\

Опишем также принцип работы метода "curlometer". При наличии всего одного аппарата, как было указано выше, мы можем либо оценить среднее значение плотности электрического тока, текущего через рызрыв, либо использовать моменты функции распределения частиц для определения полного вектора плотности тока. В последнем случае необходимы точные измерения плотности и потоковой скорости плазмы, обладающие высоким временным разрешением.

С запуском четырех-спутниковой миссии Cluster впервые появилась возможность прямого рассчета вектора плотности электрического тока по одновременным измерениям магнитного поля на всех четырех аппаратах миссии.

Метод курлометра ("curlometer") [101] основан на законе Ампера 4f f J • ds = j> В •dl и позволяет восстановить среднее значение вектора плотности тока через объем, занимаемый аппаратами:

— (An х Arj) = ABi • Arj - ABj • An (38)

где Ari = Г{ — Г\ и ABi = В{ — B\, где индекс г = 2,3,4 обозначает номер спутника. Формула 38 дает оценку среднего значения тока, направленного по нормали к поверхности (г,j) (см. Рисунок 12). Поскольку все векторы Ar^ xArj, определяющие нормали, известны, полученный вектор легко можно привести к необходимой декартовой системе координат (например, системе LMN).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукин Александр Сергеевич, 2023 год

Список литературы

5. Chapter 5-Plasma Transfer Processes at the Magnetopause / D. G. Sibeck [et al.] // Space Sci. Rev. — 1999. — Apr. — Vol. 88. — P. 207-283. — DOI: 10.1023/A: 1005255801425.

6. Hasegawa H. Structure and Dynamics of the Magnetopause and Its Boundary Layers // Monographs on Environment, Earth and Planets. — 2012. — Aug.— Vol. 1. — P. 71-119. — DOI: 10.5047/meep.2012.00102.0071.

7. Review of Solar Wind Entry into and Transport Within the Plasma Sheet / S. Wing [et al.] // Space Sci. Rev. — 2014. — Nov. — Vol. 184. — P. 3386. — DOI: 10.1007/s11214-014-0108-9.

8. The structure of magnetopause layers at low latitudes: Interball contributions / Z. Nemecek [et al.] // Geophysical Monograph Series. — 2003. — Vol. 133. — P. 71-82. — DOI: 10.1029/133GM07.

9. Magnetopause and Boundary Layer / J. De Keyser [et al.] // Space Sci. Rev. — 2005. — June. — Vol. 118. — P. 231-320. — DOI: 10. 1007/ s11214-005-3834-1.

10. High-latitude Earth's magnetopause outside the cusp: Cluster observations / E. V. Panov [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2008. — Jan. — Vol. 113. — P. 1220. — DOI: 10.1029/2006JA012123.

11. Characteristics of the flank magnetopause: THEMIS observations / S. Haaland [et al.] // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2019. — DOI: 10 . 1029/2019JA026459. — eprint: https ://agupubs . onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1029/2019JA026459. — URL: https : / / agupubs . onlinelibrary . wiley . com/ doi / abs / 10 . 1029/ 2019JA026459.

12. Characteristics of the Flank Magnetopause: MMS Results / S. Haaland [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2020. — Mar. — Vol. 125, no. 3. — e27623. — DOI: 10.1029/2019JA027623.

13. Structural and dynamical aspects of the distant magnetotail determined from ISEE-3 plasma measurements / J. Hones E. W. [et al.] // Planetary Space Science. — 1986. — Oct. — Vol. 34, no. 10. — P. 889-901. — DOI: 10.1016/0032-0633(86)90001-2.

14. Plasma entry across the distant tail magnetopause 1. Global properties and IMF dependence / H. Hasegawa [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2002. — May. — Vol. 107. — P. 1063. — DOI: 10.1029/2001JA900139.

15. Sergeev V. A., Pellinen R. J., Pulkkinen T. I. Steady Magnetospheric Convection: A Review of Recent Results// Space Sci. Rev. —1996. —Feb.— Vol. 75. — P. 551-604. — DOI: 10.1007/BF00833344.

16. Angelopoulos V. The ARTEMIS Mission // Space Sci. Rev. — 2011. — Dec. — Vol. 165. — P. 3-25. — DOI: 10.1007/s11214-010-9687-2.

17. Chen S.-H., Le G., Fok M.-C. Magnetospheric boundary perturbations on MHD and kinetic scales // Jour. Geophys. Res. — 2015. — Jan. — Vol. 120. — P. 113-137. — DOI: 10.1002/2014JA020141.

18. Properties of the Equatorial Magnetotail Flanks ^50 — 200Re Downtail / A. V. Artemyev [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2017. — Dec. — Vol. 122. — P. 11. — DOI: 10.1002/2017JA024723.

19. Magnetospheric Multiscale Overview and Science Objectives / J. L. Burch [et al.] // Space Sci. Rev. — 2016. — Mar. — Vol. 199. — P. 5-21. — DOI: 10.1007/s11214-015-0164-9.

20. Tail Reconnection Triggering Substorm Onset / V. Angelopoulos [et al.] // Science. — 2008. — Aug. — Vol. 321. — P. 931-935. — DOI: 10.1126/ science.1160495.

21. The THEMIS Fluxgate Magnetometer / H. U. Auster [et al.] // Space Sci. Rev. — 2008. — Dec. — Vol. 141. — P. 235-264. — DOI: 10. 1007/ s11214-008-9365-9.

22. The THEMIS ESA Plasma Instrument and In-flight Calibration / J. P. McFadden [et al.] // Space Sci. Rev. — 2008. — Dec. — Vol. 141. — P. 277-302. — DOI: 10.1007/s11214-008-9440-2.

23. The Electric Field Instrument (EFI) for THEMIS / J. W. Bonnell [et al.] // Space Sci. Rev. — 2008. — Dec. — Vol. 141. — P. 303-341. — DOI: 10.1007/s11214-008-9469-2.

24. Gonzalez W., Parker E. Magnetic Reconnection. Vol. 427. — 2016. — DOI: 10.1007/978-3-319-26432-5.

25. Cassak P., Shay M. Magnetic reconnection for coronal conditions: reconnection rates, secondary islands and onset // Space science reviews. — 2012. — Vol. 172, no. 1. — P. 283-302.

26. A slow coronal mass ejection with rising X-ray source / C. Goff [et al.] // Astronomy & Astrophysics. — 2005. — Vol. 434, no. 2. — P. 761-771.

27. Escoubet C. P., Fehringer M., Goldstein M. Introduction: The Cluster mission // Annales Geophysicae. — 2001. — Oct. — Vol. 19. — P. 11971200. — DOI: 10.5194/angeo-19-1197-2001.

28. Magnetospheric multiscale science mission profile and operations / S. Fuse-lier [et al.] // Space Science Reviews. — 2016. — Vol. 199, no. 1. — P. 77-103.

29. The magnetospheric multiscale constellation / C. Tooley [et al.] // Space Science Reviews. — 2016. — Vol. 199, no. 1. — P. 23-76.

30. The Magnetospheric Multiscale Magnetometers / C. T. Russell [et al.] // Space Sci. Rev. — 2016. — Mar. — Vol. 199. — P. 189-256. — DOI: 10.1007/s11214-014-0057-3.

31. The Search-Coil Magnetometer for MMS / O. Le Contel [et al.] // Space Sci. Rev. — 2016. — Mar. — Vol. 199. — P. 257-282. — DOI: 10.1007/ s11214-014-0096-9.

32. The Magnetospheric Multiscale Magnetometers / C. T. Russell [et al.] // Space Sci. Rev. — 2016. — Mar. — Vol. 199. — P. 189-256. — DOI: 10.1007/s11214-014-0057-3.

33. The FIELDS Instrument Suite on MMS: Scientific Objectives, Measurements, and Data Products / R. B. Torbert [et al.] // Space Sci. Rev. — 2016. — Mar.—Vol. 199. — P. 105-135. — DOI: 10.1007/s11214-014-0109-8.

34. Syrovatskii S. I. Pinch sheets and reconnection in astrophysics // Annual review of astronomy and astrophysics. — 1981. — Vol. 19. — P. 163229. — DOI: 10.1146/annurev.aa.19.090181.001115.

35. Parker E. N. Spontaneous current sheets in magnetic fields: with applications to stellar x-rays // Spontaneous current sheets in magnetic fields: with applications to stellar x-rays. International Series in Astronomy and Astrophysics, Vol. 1. New York : Oxford University Press, 1994. — 1994. — Vol. 1.

36. Fleishman G. D., Pevtsov A. A. Electric Currents in the Solar Atmosphere // Electric Currents in Geospace and Beyond. Vol. 235 / ed. by A. Keiling, O. Marghitu, M. Wheatland. — 03/2018. — P. 43-65. — DOI: 10.1002/9781119324522.ch3.

37. Magnetic reconnection as an element of turbulence / S. Servidio [et al.] // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2011. — Oct. — Vol. 18. — P. 675695. — DOI: 10.5194/npg-18-675-2011.

38. Borovsky J. E. Contribution of Strong Discontinuities to the Power Spectrum of the Solar Wind // Physical Review Letters. — 2010. — Sept. — Vol. 105, no. 11. — P. 111102. — DOI: 10. 1103/PhysRevLett. 105. 111102.

39. Kinetic-scale Current Sheets in the Solar Wind at 1 au: Scale-dependent Properties and Critical Current Density / I. Y. Vasko [et al.] //. — 2022. — Feb. — Vol. 926, no. 2. — P. L19. — DOI: 10.3847/2041-8213/ ac4fc4. —arXiv: 2112.15256 [physics.space-ph].

40. Large-Scale Structure and Dynamics of the Magnetotails of Mercury, Earth, Jupiter and Saturn / C. M. Jackman [et al.] // Space Sci. Rev. — 2014. — Aug. — Vol. 182. — P. 85-154. — DOI: 10.1007/s11214-014-0060-8.

41. Achilleos N. The Nature of Jupiter's Magnetodisk Current System // Electric Currents in Geospace and Beyond. Vol. 235 / ed. by A. Keiling, O. Marghitu, M. Wheatland. — 03/2018. — P. 127-138. — DOI: 10.1002/ 9781119324522.ch8.

42. Lui A. T. Y. Review on the Characteristics of the Current Sheet in the Earth's Magnetotail // Electric Currents in Geospace and Beyond. Vol. 235 / ed. by A. Keiling, O. Marghitu, M. Wheatland. — 03/2018. — P. 155-175. — (Washington DC American Geophysical Union Geophysical Monograph Series). — DOI: 10.1002/9781119324522.ch10.

43. Cravens T. E., Gombosi T. I. Cometary magnetospheres: a tutorial // Advances in Space Research. — 2004. — Jan. — Vol. 33. — P. 19681976. — DOI: 10.1016/j. asr.2003.07.053.

44. A tail like no other. The RPC-MAG view of Rosetta's tail excursion at comet 67P/Churyumov-Gerasimenko / M. Volwerk [et al.] //. — 2018. — June. — Vol. 614. — A10. — DOI: 10.1051/0004-6361/201732198.

45. Volwerk M. Currents in Cometary Comae // Electric Currents in Geospace and Beyond. Vol. 235 / ed. by A. Keiling, O. Marghitu, M. Wheatland. — 03/2018. — P. 513-533. — DOI: 10.1002/9781119324522.ch30.

46. An exact collisionless equilibrium for the Force-Free Harris Sheet with low plasma beta / O. Allanson [et al.] // Physics of Plasmas. — 2015. — Oct. — Vol. 22, no. 10. — P. 102116. — DOI: 10.1063/1.4934611. — arXiv: 1510.07667 [physics.plasm-ph].

47. Kinetic Models of Tangential Discontinuities in the Solar Wind / T. Neukirch [et al.] // APJ. — 2020. — Mar. — Vol. 891, no. 1. — P. 86. — DOI: 10 . 3847/1538-4357/ab7234. —arXiv: 2001.11380 [physics.space-ph].

48. Neukirch T., Wilson F., Allanson O. A family of VlasovMaxwell equilibrium distribution functions describing a transition from the Harris sheet to the force-free Harris sheet // Journal of Plasma Physics. — 2020. — June. — Vol. 86, no. 3. — P. 825860302. — DOI: 10 . 1017 / S0022377820000604. — arXiv: 2005.10238 [physics.plasm-ph].

49. Hudson P. D. Discontinuities in an anisotropic plasma and their identification in the solar wind // Planetary Space Science. — 1970. — Nov. — Vol. 18. — P. 1611-1622. — DOI: 10.1016/0032-0633(70)90036-X.

50. Schindler K. Physics of Space Plasma Activity / ed. by Schindler, K. — Cambridge University Press, 11/2006. — DOI: 10.2277/0521858976.

51. Yoon P. H., Lui A. T. Y. A class of exact two-dimensional kinetic current sheet equilibria //J. Geophys. Res. — 2005. — Jan. — Vol. 110. — P. 1202. — DOI: 10.1029/2003JA010308.

52. Birn J. Quasi-steady current sheet structures with field-aligned flow // Jour. Geophys. Res. — 1992. — Nov. — Vol. 97, A11. — P. 1681716826. — DOI: 10.1029/92JA01527.

53. Nickeler D. H., Wiegelmann T. Thin current sheets caused by plasma flow gradients in space and astrophysical plasma // Annales Geophysicae. — 2010. — Aug. — Vol. 28. — P. 1523-1532. — DOI: 10.5194/angeo-28-1523-2010. — arXiv: 1008.2848 [astro-ph.SR].

54. Cicogna G., Pegoraro F. Magnetohydrodynamic equilibria with incompressible flows: Symmetry approach // Physics of Plasmas. — 2015. — Feb. — Vol. 22, no. 2. — P. 022520. — DOI: 10. 1063/1.4913580. — arXiv: 1502.04542 [physics.plasm-ph].

55. Neugebauer M. Comment on the abundances of rotational and tangential discontinuities in the solar wind // Jour. Geophys. Res. — 2006. — Apr.—Vol. 111. — A04103. — DOI: 10.1029/2005JA011497.

56. On the kinetic nature of solar wind discontinuiti / A. V. Artemyev [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2019. — Vol. 46. — P. 1185-1194. — DOI: 10.1029/2018GL079906.

57. Theoretical Plasma Distributions Consistent with ULYSSES Magnetic Field Observations in a Solar Wind Tangential Discontinuity / J. de Keyser [et al.] // Solar Phys. — 1996. — July. — Vol. 166, no. 2. — P. 415-422. — DOI: 10.1007/BF00149407.

58. Harrison M. G., Neukirch T. One-Dimensional Vlasov-Maxwell Equilibrium for the Force-Free Harris Sheet // Physical Review Letters. — 2009. — Apr. — Vol. 102, no. 13. — P. 135003. — DOI: 10. 1103/ PhysRevLett.102.135003. — arXiv: 0812.1240 [physics.plasm-ph].

59. From one-dimensional fields to Vlasov equilibria: theory and application of Hermite polynomials / O. Allanson [et al.] // Journal of Plasma Physics. — 2016. — June. — Vol. 82, no. 3. — P. 905820306. — DOI: 10. 1017/ S0022377816000519. — arXiv: 1606.01661 [physics.plasm-ph].

60. Solar wind velocity jumps across tangential discontinuities: ULYSSES observations and kinetic interpretation / J. de Keyser [et al.] //. — 1997. — May. — Vol. 321. — P. 945-959.

61. Haaland S., Sonnerup B., Paschmann G. More about arc-polarized structures in the solar wind // Annales Geophysicae. — 2012. — May. — Vol. 30. — P. 867-883. — DOI: 10.5194/angeo-30-867-2012.

62. Discontinuities and Alfvenic fluctuations in the solar wind / G. Paschmann [et al.] // Annales Geophysicae. — 2013. — May. — Vol. 31. — P. 871887. — DOI: 10.5194/angeo-31-871-2013.

63. Chaston C., Travnicek P. Ion scattering and energization in filamentary structures through Earth's magnetosheath // Geophysical Research Letters. — 2021. — Vol. 48, no. 15. — e2021GL094029.

64. Webster L., Vainchtein D., Artemyev A. Solar Wind Discontinuity Interaction with the Bow Shock: Current Density Growth and Dawn-Dusk Asymmetry // Solar Phys. — 2021. — June. — Vol. 296, no. 6. — P. 87. — DOI: 10.1007/s11207-021-01824-2.

65. Earth's distant magnetotail current sheet near and beyond lunar orbit / I. Y. Vasko [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2015. — Oct. — Vol. 120. — P. 8663-8680. — DOI: 10.1002/2015JA021633.

66. Mars's magnetotail: Nature's current sheet laboratory / A. V. Artemyev [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2017. — May. — Vol. 122. — P. 54045417. — DOI: 10.1002/2017JA024078.

67. Angelopoulos V. The THEMIS Mission // Space Sci. Rev. — 2008. — Dec. — Vol. 141. — P. 5-34. — DOI: 10.1007/s11214-008-9336-1.

68. Intense Cross-Tail Field-Aligned Currents in the Plasma Sheet at Lunar Distances / S. Xu [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2018. — May. — Vol. 45. — P. 4610-4617. — DOI: 10. 1029/2018GL077902. — arXiv: 1711.08605 [physics.space-ph].

69. A particle model for magnetotail neutral sheet equilibria / G. R. Burkhart [et al.] // J. Geophys. Res. — 1992. — Sept. — Vol. 97. — P. 1379913815. — DOI: 10.1029/92JA00495.

70. Thin current sheet embedded within a thicker plasma sheet: Self-consistent kinetic theory / M. I. Sitnov [et al.] //J. Geophys. Res. — 2000. — June. — Vol. 105. — P. 13029-13044. — DOI: 10.1029/1999JA000431.

71. Structure and dynamics of a new class of thin current sheets / M. I. Sitnov [et al.] //J. Geophys. Res. — 2006. — Aug. — Vol. 111. — P. 8204. — DOI: 10.1029/2005JA011517.

72. Numerical simulations of plasma equilibrium in a one-dimensional current sheet with a nonzero normal magnetic field component / O. V. Mingalev [et al.] // Plasma Physics Reports. — 2007. — Nov. — Vol. 33. — P. 942955. — DOI: 10.1134/S1063780X07110062.

73. Thin current sheets in collisionless plasma: Equilibrium structure, plasma instabilities, and particle acceleration / L. M. Zelenyi [et al.] // Plasma Physics Reports. — 2011. — Feb. — Vol. 37. — P. 118-160. — DOI: 10.1134/S1063780X1102005X.

74. Artemyev A. V. A model of one-dimensional current sheet with parallel currents and normal component of magnetic field // Physics of Plasmas. — 2011. — Feb.—Vol. 18, no. 2. — P. 022104. — DOI: 10.1063/1.3552141.

75. Kinetic models of current sheets with a sheared magnetic field / O. V. Mingalev [et al.] // Plasma Physics Reports. — 2012. — Apr. — Vol. 38. — P. 300-314. — DOI: 10.1134/S1063780X12030063.

76. Thin current sheets with strong bell-shape guide field: Cluster observations and models with beams / I. Y. Vasko [et al.] // Annales Geophysicae. — 2014. — Vol. 32, no. 10. — P. 1349-1360. — DOI: 10 ,5194/angeo-32-1349-2014. — URL: http://www.ann-geophys.net/32/1349/2014/.

77. Sonnerup B. U. O., Cahill Jr. L. J. Explorer 12 observations of the magnetopause current layer // Jour. Geophys. Res. — 1968. — Mar. — Vol. 73. — P. 1757. — DOI: 10.1029/JA073i005p01757.

78. Artemyev A. V., Angelopoulos V.., Vasko I. Y. Kinetic Properties of Solar Wind Discontinuities at 1 AU Observed by ARTEMIS // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2019. — June. — Vol. 124, no. 6. — P. 3858-3870. — DOI: 10.1029/2019JA026597.

79. The MAVEN Magnetic Field Investigation / J. E. P. Connerney [et al.] // Space Sci. Rev. — 2015. — Dec. — Vol. 195. — P. 257-291. — DOI: 10.1007/s11214-015-0169-4.

80. MAVEN SupraThermal and Thermal Ion Compostion (STATIC) Instrument / J. P. McFadden [et al.] // Space Sci. Rev. — 2015. — Dec. — Vol. 195. — P. 199-256. — DOI: 10.1007/s11214-015-0175-6.

81. The Solar Wind Ion Analyzer for MAVEN / J. S. Halekas [et al.] // Space Sci. Rev. — 2015. — Dec. — Vol. 195. — P. 125-151. — DOI: 10.1007/ s11214-013-0029-z.

82. The Juno Magnetic Field Investigation / J. E. P. Connerney [et al.] // Space Sci. Rev. — 2017. — Nov. — Vol. 213. — P. 39-138. — DOI: 10.1007/s11214-017-0334-z.

83. Jupiter's magnetosphere and aurorae observed by the Juno spacecraft during its first polar orbits / J. E. P. Connerney [et al.] // Science. — 2017. — May. — Vol. 356. — P. 826-832. — DOI: 10.1126/science.aam5928.

84. The Jovian Auroral Distributions Experiment (JADE) on the Juno Mission to Jupiter / D. J. McComas [et al.] // Space Sci. Rev. — 2017. — Nov. — Vol. 213. — P. 547-643. — DOI: 10.1007/s11214-013-9990-9.

85. Force-free current sheets in the Jovian magnetodisk: the key role of electron field-aligned anisotropy / A. V. Artemyev [et al.]. — 2023. — DOI: 10. 48550/ARXIV. 2301 . 03731. — URL: https://arxiv.org/abs/2301. 03731.

86. Local structure of the magnetotail current sheet: 2001 Cluster observations / A. Runov [et al.] // Annales Geophysicae. — 2006. — Mar. — Vol. 24. — P. 247-262.

87. Cluster statistics of thin current sheets in the Earth magnetotail: specifics of the dawn flank, proton temperature profiles and electrostatic effects. / A. V. Artemyev [et al.] // J. Geophys. Res. — 2011. — Vol. 116. — A0923. — DOI: 10.1029/2011JA016801.

88. Current sheets in the Earth magnetotail: plasma and magnetic field structure with Cluster project observations / A. A. Petrukovich [et al.] // Space Sci. Rev. —2015. — Vol. 188. — P. 311-337. — DOI: 10.1007/s11214-014-0126-7.

89. Schindler K., Birn J. Models of two-dimensional embedded thin current sheets from Vlasov theory //J. Geophys. Res. — 2002. — Aug. — Vol. 107. — P. 1193. — DOI: 10.1029/2001JA000304.

90. Birn J., Schindler K., Hesse M. Thin electron current sheets and their relation to auroral potentials //J. Geophys. Res. — 2004. — Feb. — Vol. 109. — P. 2217. — DOI: 10.1029/2003JA010303.

91. Sitnov M. I., Merkin V. G. Generalized magnetotail equilibria: Effects of the dipole field, thin current sheets, and magnetic flux accumulation // Jour. Geophys. Res. — 2016. — Aug. — Vol. 121. — P. 7664-7683. — DOI: 10.1002/2016JA023001.

92. King J. H., Papitashvili N. E. Solar wind spatial scales in and comparisons of hourly Wind and ACE plasma and magnetic field data // Jour. Geophys. Res. — 2005. — Feb. — Vol. 110. — A02104. — DOI: 10 . 1029/ 2004JA010649.

93. Artemyev A. V., Angelopoulos V., McTiernan J. M. Near-Earth Solar Wind: Plasma Characteristics From ARTEMIS Measurements // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2018. — Dec. — Vol. 123. — P. 9955-9962. — DOI: 10.1029/2018JA025904.

94. Artemyev A. V., Angelopoulos V., Runov A. On the radial force balance in the quiet time magnetotail current sheet // Jour. Geophys. Res. — 2016. — May. — Vol. 121. — P. 4017-4026. — DOI: 10 . 1002/ 2016JA022480.

95. Artemyev A. V., Vasko I. Y., Kasahara S. Thin current sheets in the Jovian magnetotail. // Planetary Space Science. — 2014. — Vol. 96. — P. 133145. — DOI: 10.1016/j .pss.2014.03.012.

96. Sonnerup B. U., Scheible M. Minimum and maximum variance analysis // Analysis methods for multi-spacecraft data. — 1998. — Vol. 1. — P. 185220.

97. Khrabrov A. V., Sonnerup B. U. O. DeHoffmann-Teller Analysis // ISSI Scientific Reports Series. — 1998. — Vol. 1. — P. 221-248.

98. Khrabrov A. V., Sonnerup B. U. Orientation and motion of current layers: Minimization of the Faraday residue // Geophysical Research Letters. — 1998. — Vol. 25, no. 13. — P. 2373-2376.

99. Orientation and motion of a plasma discontinuity from single-spacecraft measurements: Generic residue analysis of Cluster data / B. U. A.-. Sonnerup [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2006. — May. — Vol. 111. — A05203. — DOI: 10.1029/2005JA011538.

100. Four-spacecraft determination of magnetopause orientation, motion and thickness: comparison with results from single-spacecraft methods / S. Haa-land [et al.] // Annales Geophysicae. — 2004. — Apr. — Vol. 22. — P. 1347-1365. — DOI: 10.5194/angeo-22-1347-2004.

101. Four-point Cluster application of magnetic field analysis tools: The Cur-lometer / M. W. Dunlop [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2002. — Nov. — Vol. 107. — P. 1384. — DOI: 10.1029/2001JA005088.

102. Rumelhart D. E., Hinton G. E., Williams R. J. Learning representations by back-propagating errors // nature. — 1986. — Vol. 323, no. 6088. — P. 533-536.

103. Kingma D. P., Ba J. Adam: A method for stochastic optimization // arXiv preprint arXiv:1412.6980. — 2014.

104. Orientation and motion of a discontinuity from single-spacecraft measurements of plasma velocity and density: Minimum mass flux residue / B. O. Sonnerup [et al.] // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2004. — Vol. 109, A3.

105. Khrabrov A. V., Sonnerup B. U. O. Error estimates for minimum variance analysis // Jour. Geophys. Res. — 1998. — Apr. — Vol. 103. — P. 66416652. — DOI: 10.1029/97JA03731.

106. Dunlop M., Balogh A., Glassmeier K.-H. Four-point Cluster application of magnetic field analysis tools: The discontinuity analyzer // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2002. — Vol. 107, A11. — SMP-24.

107. Survey of large-amplitude flapping motions in the midtail current sheet / V. A. Sergeev [et al.] // Annales Geophysicae. — 2006. — Aug. — Vol. 24. — P. 2015-2024.

108. Four-point discontinuity observations using Cluster magnetic field data: A statistical survey / T. Knetter [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2004. — June. — Vol. 109. — A06102. — DOI: 10.1029/2003JA010099.

109. The Space Physics Environment Data Analysis System (SPEDAS) / V. Angelopoulos [et al.] // Space Sci. Rev. — 2019. — Jan. — Vol. 215. — P. 9. — DOI: 10.1007/s11214-018-0576-4.

110. Roth M., de Keyser J., Kuznetsova M. M. Vlasov Theory of the Equilibrium Structure of Tangential Discontinuities in Space Plasmas // Space Science Reviews. — 1996. — May. — Vol. 76. — P. 251-317. — DOI: 10.1007/ BF00197842.

111. The distant magnetotail's response to a strong interplanetary magnetic field By - Twisting, flattening, and field line bending / D. G. Sibeck [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 1985. — May. — Vol. 90. — P. 4011-4019. — DOI: 10.1029/JA090iA05p04011.

112. Relationship between field-aligned electron fluxes and field line topology at the tail lobe magnetopause: Geotail observations / H. Hasegawa [et al.] // Advances in Space Research. — 2005. — Vol. 36. — P. 1772-1778. — DOI: 10.1016/j. asr.2004.10.012.

113. Electron-scale measurements of magnetic reconnection in space / J. L. Burch [etal.] //Science. —2016. — DOI: 10.1126/science.aaf2939. — eprint: http ://science.sciencemag.org/content/early/2016/05/10/ science.aaf2939.full.pdf. —URL: http ://science . sciencemag . org/content/early/2016/05/10/science,aaf2939.

114. Paschmann G. Recent in-situ observations of magnetic reconnection in near-Earth space // Geophys. Res. Let. — 2008. — Oct. — Vol. 35. — P. 19109. — DOI: 10.1029/2008GL035297.

115. Paschmann G., 0ieroset M., Phan T. In-Situ Observations of Reconnection in Space // Space Sci. Rev. — 2013. — Oct. — Vol. 178. — P. 385417. — DOI: 10.1007/s11214-012-9957-2.

116. Transport of solar wind into Earth's magnetosphere through rolled-up Kelvin-Helmholtz vortices / H. Hasegawa [et al.] // Nature. — 2004. — Aug. — Vol. 430. — P. 755-758. — DOI: 10.1038/nature02799.

117. Source and structure of bursty hot electron enhancements in the tail magne-tosheath: Simultaneous two-probe observation by ARTEMIS / C.-P. Wang [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2014. — Dec. — Vol. 119. — P. 99009918. — DOI: 10.1002/2014JA020603.

118. Dawn-dusk asymmetry in bursty hot electron enhancements in the midtail magnetosheath / C.-P. Wang [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2015. — Sept. — Vol. 120. — P. 7228-7239. — DOI: 10.1002/2015JA021522.

119. Shabanskiiy V. P. Structure of the Transition Layer Between a Plasma and a Magnetic Field // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1961. — Vol. 13, no. 4. — P. 746.

120. Sestero A. Structure of Plasma Sheaths // Physics of Fluids. — 1964. — Jan.— Vol. 7. — P. 44-51. — DOI: 10.1063/1.1711053.

121. Axford W. I., Hines C. O. A unifying theory of high-latitude geophysical phenomena and geomagnetic storms // Canadian Journal of Physics. — 1961. — Vol. 39. — P. 1433. — DOI: 10.1139/p61-172.

122. Opher M. The Heliosphere: What Did We Learn in Recent Years and the Current Challenges // Space Sci. Rev. — 2016. — Apr. — Vol. 200. — P. 475-494. — DOI: 10.1007/s11214-015-0186-3.

123. Heliosheath Processes and the Structure of the Heliopause: Modeling Energetic Particles, Cosmic Rays, and Magnetic Fields / N. V. Pogorelov [et al.] // Space Sci. Rev. — 2017. — Apr. — DOI: 10.1007/s11214-017-0354-8. — arXiv: 1612.02339 [physics.space-ph].

124. Comparative investigation of the terrestrial and Venusian magnetopause: Kinetic modeling and experimental observations by Cluster and Venus Express / M. Echim [et al.] // Planetary Space Science. — 2011. — Aug. — Vol. 59. — P. 1028-1038. — DOI: 10.1016/j.pss.2010.04.019.

125. Study of reconnection-associated multiscale fluctuations with Cluster and Double Star / Z. Vöros [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2008. — July. — Vol. 113. — P. 7. — DOI: 10 . 1029/2007JA012688. — arXiv: 0806.1829 [physics.space-ph].

126. Induced magnetosphere and its outer boundary at Venus / T. L. Zhang [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2008. — Dec. — Vol. 113. — E00B20. — DOI: 10.1029/2008JE003215.

127. Three-dimensional lunar wake reconstructed from ARTEMIS data / H. Zhang [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2014. — July. — Vol. 119. — P. 5220-5243. — DOI: 10 . 1002/ 2014JA020111.

128. Large-Scale Survey of the Structure of the Dayside Magnetopause by MMS / G. Paschmann [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2018. — Mar. — Vol. 123. — P. 2018-2033. — DOI: 10.1002/2017JA025121.

129. Reconstruction of the magnetopause and low-latitude boundary layer topology using Cluster multi-point measurements / J. De Keyser [et al.] // Annales Geophysicae. — 2004. — July. — Vol. 22. — P. 2381-2389. — DOI: 10.5194/angeo-22-2381-2004.

130. De Keyser J. Least-squares multi-spacecraft gradient calculation with automatic error estimation // Annales Geophysicae. — 2008. — Oct. — Vol. 26. — P. 3295-3316. — DOI: 10.5194/angeo-26-3295-2008.

131. Characteristics of the flank magnetopause: Cluster observations / S. Haa-land [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2014. — Nov. — Vol. 119. — P. 9019-9037. — DOI: 10. 1002/2014JA020539. —arXiv: 1606.01714 [physics.space-ph].

132. Phan T. D., Paschmann G. Low-latitude dayside magnetopause and boundary layer for high magnetic shear 1. Structure and motion // Jour. Geophys. Res. — 1996. — Apr. — Vol. 101. — P. 7801-7816. — DOI: 10.1029/95JA03752.

133. Low-latitude dusk flank magnetosheath, magnetopause, and boundary layer for low magnetic shear: Wind observations / T. D. Phan [et al.] // Jour.

Geophys. Res. — 1997. — Sept. — Vol. 102. — P. 19883-19896. — DOI: 10.1029/97JA01596.

134. Density profile in the magnetosheath adjacent to the magnetopause / J. Safrankova [et al.] // Advances in Space Research. — 2002. — Vol. 30. — P. 1693-1703. — DOI: 10.1016/S0273-1177(02)00438-6.

135. Определение толщины низкоширотного погранслоя в магнитосфере Земли / С. Знаткова [и др.] // Геомагнетизм и аэрономия. — 2013. — Т. 53, № 6. — С. 745—756.

136. Johnson J. R., Cheng C. Z. Global structure of mirror modes in the magnetosheath // Jour. Geophys. Res. — 1997. — Apr. — Vol. 102. — P. 7179-7190. — DOI: 10.1029/96JA03949.

137. CLUSTER observation of collisionless transport at the magnetopause / E. V. Panov [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2006. — Aug. — Vol. 33. — P. 15109. — DOI: 10.1029/2006GL026556.

138. Treumann R. A. Theory of super-diffusion for the magnetopause // Geophys. Res. Let. — 1997. — Vol. 24. — P. 1727-1730. — DOI: 10.1029/ 97GL01760.

139. The magnetosheath region adjacent to the dayside magnetopause: AMPTE/IRM observations / T.-D. Phan [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 1994. — Jan. — Vol. 99. — P. 121-141. — DOI: 10.1029/93JA02444.

140. Spatial distributions of the ion to electron temperature ratio in the magne-tosheath and plasma sheet / C. Wang [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2012. — Vol. 117. — A08215. — DOI: 10.1029/2012JA017658.

141. Origin of low proton-to-electron temperature ratio in the Earth's plasma sheet / E. E. Grigorenko [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2016. — Vol. 121, no. 10. — P. 9985-10, 004. — DOI: 10.1002/2016JA022874. — URL: http://dx.doi.org/10.1002/2016JA022874.

142. Dimmock A. P., Nykyri K. The statistical mapping of magnetosheath plasma properties based on THEMIS measurements in the magnetosheath interplanetary medium reference frame// Jour. Geophys. Res. —2013. — Aug. — Vol. 118. — P. 4963-4976. — DOI: 10.1002/jgra.50465.

143. Sibeck D. G., Lin R.-Q. Size and shape of the distant magnetotail // Jour. Geophys. Res. — 2014. — Feb. — Vol. 119. — P. 1028-1043. — DOI: 10.1002/2013JA019471.

144. De Keyser J., Echim M., Roth M. Cross-field flow and electric potential in a plasma slab // Annales Geophysicae. — 2013. — Aug. — Vol. 31. — P. 1297-1314. — DOI: 10.5194/angeo-31-1297-2013.

145. Lee L. C., Kan J. R. A unified kinetic model of the tangential magnetopause structure //J. Geophys. Res. — 1979. — Nov. — Vol. 84. — P. 64176426. — DOI: 10.1029/JA084iA11p06417.

146. Whipple E. C., Hill J. R., Nichols J. D. Magnetopause structure and the question of particle accessibility // Jour. Geophys. Res. — 1984. — Mar. — Vol. 89. — P. 1508-1516. — DOI: 10.1029/JA089iA03p01508.

147. Proton/electron temperature ratio in the magnetotail / A. V. Artemyev [et al.] // Annales Geophysicae. — 2011. — Dec. — Vol. 29. — P. 22532257. — DOI: 10.5194/angeo-29-2253-2011.

148. Baumjohann W., Paschmann G., Cattell C. A. Average plasma properties in the central plasma sheet // Jour. Geophys. Res. — 1989. — June. — Vol. 94. — P. 6597-6606. — DOI: 10.1029/JA094iA06p06597.

149. Johnson J. R., Cheng C. Z. Kinetic Alfven waves and plasma transport at the magnetopause // Geophys. Res. Let. — 1997. — Vol. 24. — P. 1423-1426. — DOI: 10.1029/97GL01333.

150. Cluster observations of finite amplitude Alfven waves and small-scale magnetic filaments downstream of a quasi-perpendicular shock / O. Alexan-drova [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2004. — May. — Vol. 109, A5. — A05207. — DOI: 10 . 1029 / 2003JA010056.

151. Alfven vortex filaments observed in magnetosheath downstream of a quasi-perpendicular bow shock / O. Alexandrova [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2006. — Dec. — Vol. 111, A12. — A12208. — DOI: 10.1029/2006JA011934.

152. Турбулентные флуктуации параметров плазмы и магнитного поля в маг-нитослое и формирование низкоширотного погранслоя: многоспутниковые наблюдения 2 марта 1996 г. / С. Россоленко [и др.] // Космические исследования. — 2008. — Т. 46, № 5. — С. 387—397.

153. Ion heating by broadband electromagnetic waves in the magnetosheath and across the magnetopause / C. C. Chaston [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2013. — Sept. — Vol. 118. — P. 5579-5591. — DOI: 10 . 1002/jgra. 50506.

154. Chaston C. C., Travnicek P., Russell C. T. Turbulent Wavefield Morphology and Ion Scattering in the Magnetosheath // Geophys. Res. Let. — 2020. — Nov. — Vol. 47, no. 22. — e89613. — DOI: 10 . 1029 / 2020GL089613.

155. Treumann R. A. Wave turbulence in the plasma sheet and low latitude boundary layers // Advances in Space Research. — 1999. — Jan. — Vol. 24. — P. 3-12. — DOI: 10.1016/S0273-1177(99)00416-0.

156. Yoon P. H., Lui A. T. Model of ion-or electron-dominated current sheet // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2004. — Vol. 109, A11.

157. Jokipii J. R. Cosmic-Ray Propagation. I. Charged Particles in a Random Magnetic Field // APJ. — 1966. — Nov. — Vol. 146. — P. 480. — DOI: 10.1086/148912.

158. Exact Vlasov-Maxwell equilibria for asymmetric current sheets / O. Allan-son [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2017. — Sept. — Vol. 44. — P. 8685-8695. — DOI: 10. 1002/2017GL074168. — arXiv: 1709.02659 [physics.plasm-ph].

159. Belmont G., Aunai N., Smets R. Kinetic equilibrium for an asymmetric tangential layer // Physics of Plasmas. — 2012. — Feb. — Vol. 19, no. 2. — P. 022108. — DOI: 10.1063/1.3685707.

160. Asymmetric kinetic equilibria: Generalization of the BAS model for rotating magnetic profile and non-zero electric field / N. Dorville [et al.] // Physics of Plasmas. — 2015. — Sept. — Vol. 22, no. 9. — P. 092904. — DOI: 10.1063/1.4930210.

161. Lemaire J., Burlaga L. F. Diamagnetic boundary layers - A kinetic theory // Astrophysics and Space Science. — 1976. — Dec. — Vol. 45. — P. 303-325. — DOI: 10.1007/BF00642667.

162. Small Scale Alfvenic Structure in the Aurora / K. Stasiewicz [et al.] // Space Sci. Rev. — 2000. — May. — Vol. 92. — P. 423-533.

163. Energy transport by kinetic-scale electromagnetic waves in fast plasma sheet flows / C. C. Chaston [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2012. — Sept. — Vol. 117. — P. 9202. — DOI: 10.1029/2012JA017863.

164. Hasegawa A., Chen L. Kinetic process of plasma heating due to Alfven wave excitation // Physical Review Letters. — 1975. — Aug. — Vol. 35. — P. 370-373. — DOI: 10.1103/PhysRevLett.35.370.

165. Hasegawa A., Mima K. Anomalous transport produced by kinetic Alfven wave turbulence // Jour. Geophys. Res. — 1978. — Mar. — Vol. 83. — P. 1117-1123. — DOI: 10.1029/JA083iA03p01117.

166. Lee L. C., Johnson J. R., Ma Z. W. Kinetic Alfven waves as a source of plasma transport at the dayside magnetopause // Jour. Geophys. Res. — 1994. — Sept. — Vol. 99, A9. — P. 17405-17412. — DOI: 10. 1029/ 94JA01095.

167. Electromagnetic waves on ion gyro-radii scales across the magnetopause / Y. Yao [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2011. — May. — Vol. 38. — P. L09102. — DOI: 10.1029/2011GL047328.

168. Plasma transport induced by kinetic Alfven wave turbulence / T. Izutsu [et al.] // Physics of Plasmas. — 2012. — Oct. — Vol. 19, no. 10. — P. 102305. — DOI: 10.1063/1.4759167.

169. Johnson J. R., Cheng C. Z. Stochastic ion heating at the magnetopause due to kinetic Alfven waves // Geophys. Res. Let. — 2001. — Vol. 28. — P. 4421-4424. — DOI: 10.1029/2001GL013509.

170. The Turbulent Alfvenic Aurora / C. C. Chaston [et al.] // Physical Review Letters. — 2008. — May. — Vol. 100, no. 17. — P. 175003. — DOI: 10.1103/PhysRevLett.100.175003.

171. Moore T. W., Nykyri K., Dimmock A. P. Cross-scale energy transport in space plasmas // Nature Physics. — 2016. — Dec. — Vol. 12, no. 12. — P. 1164-1169. — DOI: 10.1038/nphys3869.

172. Temperature variations in the dayside magnetosheath and their dependence on ion-scale magnetic structures: THEMIS statistics and measurements by MMS / A. P. Dimmock [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2017. — June. — Vol. 122, no. 6. — P. 6165-6184. — DOI: 10.1002/2016JA023729.

173. Ion-scale kinetic Alfven turbulence: MMS measurements of the Alfven ratio in the magnetosheath / O. Roberts [et al.] // Geophysical Research Letters. — 2018. — Vol. 45, no. 16. — P. 7974-7984.

174. Voitenko Y., Goossens M. Excitation of kinetic Alfven turbulence by MHD waves and energization of space plasmas // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2004. — Vol. 11, no. 5/6. — P. 535-543. — DOI: 10 . 5194/npg-11-535-2004. — URL: http ://www . nonlin-processes -geophys.net/11/535/2004/.

175. Stochastic proton heating by kinetic-Alfven-wave turbulence in moderately high-ß plasmas / I. W. Hoppock [et al.] // Journal of Plasma Physics. — 2018. — Dec. — Vol. 84, no. 6. — P. 905840615. — DOI: 10. 1017/ S0022377818001277. — arXiv: 1811.08873 [physics.plasm-ph].

176. Hybrid-kinetic Simulations of Ion Heating in Alfvenic Turbulence / L. Arza-masskiy [et al.] // APJ. — 2019. — July. — Vol. 879, no. 1. — P. 53. — DOI: 10 . 3847/1538-4357/ab20cc. —arXiv: 1901.11028 [astro-ph.HE].

177. Ion acceleration and heating by kinetic Alfven waves associated with magnetic reconnection / J. Liang [et al.] // Physics of Plasmas. — 2017. — Oct. — Vol. 24, no. 10. — P. 102110. — DOI: 10.1063/1.4991978.

178. Peroomian V. Interplanetary magnetic field-dependent impact of solar wind ions on Earth's magnetopause // Washington DC American Geophysical Union Geophysical Monograph Series. — 2003. — Vol. 133. — P. 4552. — DOI: 10.1029/133GM04.

179. Champeaux S., Passot T., Sulem P. L. Alfvén-wave filamentation // Journal of Plasma Physics. — 1997. — Dec. — Vol. 58, no. 4. — P. 665-690. — DOI: 10.1017/S0022377897006119.

180. Laveder D., Passot T., Sulem P. L. Transverse dynamics of dispersive Alfvén waves. I. Direct numerical evidence of filamentation // Physics of Plasmas. — 2002. — Jan. — Vol. 9, no. 1. — P. 293-304. — DOI: 10.1063/1.1417510.

181. Formation and disruption of Alfvenic filaments in Hall magnetohydrody-namics / J. Dreher [et al.] // Physics of Plasmas. — 2005. — May. — Vol. 12, no. 5. — P. 052319. — DOI: 10.1063/1.1897717.

182. Plasma sheet PV5/3 and nV and associated plasma and energy transport for different convection strengths and AE levels / C. Wang [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2009. — Apr. — Vol. 114. — A00D02. — DOI: 10.1029/2008JA013849.

183. Wing S., Newell P. T. 2D plasma sheet ion density and temperature profiles for northward and southward IMF // Geophys. Res. Let. — 2002. — May. — Vol. 29. — P. 21-1. — DOI: 10.1029/2001GL013950.

184. Karimabadi H., Daughton W., Quest K. B. Physics of saturation of colli-sionless tearing mode as a function of guide field //J. Geophys. Res. — 2005. — Mar. — Vol. 110. — P. 3214. — DOI: 10.1029/2004JA010749.

185. Kuznetsova M. M., Roth M. Thresholds for magnetic percolation through the magnetopause current layer in asymmetrical magnetic fiels // J. Geo-phys. Res. — 1995. — Jan. — Vol. 100. — P. 155-174. — DOI: 10.1029/94JA02329.

186. Experimental study of nonlinear interaction of plasma flow with charged thin current sheets: 1. Boundary structure and motion / E. Amata [et al.] // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2006. — Vol. 13, no. 4. — P. 365-376.

187. Spatial scales and plasma properties of the distant magnetopause: evidence for selective ion and electron transport / A. S. Lukin [et al.] // Journal of Geophysical Research: Space Physics. — 2019. — July. — Vol. 124, no. 7. — P. 5027-5041. — DOI: 10 . 1029 / 2019JA026638. — eprint:

https : / / agupubs . onlinelibrary . wiley . com/ doi / pdf / 10 . 1029/ 2019JA026638. — URL: https : //agupubs . onlinelibrary. wiley. com/ doi/abs/10.1029/2019JA026638.

188. Experimental study of nonlinear interaction of plasma flow with charged thin current sheets: 2. Hall dynamics, mass and momentum transfer / S. Savin [et al.] // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2006. — Vol. 13, no. 4. — P. 377-392.

189. A new functional form to study the solar wind control of the magnetopause size and shape / J.-H. Shue [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 1997. — May. — Vol. 102. — P. 9497-9512. — DOI: 10.1029/97JA00196.

190. Wu D. J., Chao J. K., Lepping R. P. Interaction between an interplanetary magnetic cloud and the Earth's magnetosphere: Motions of the bow shock // Jour. Geophys. Res. —2000. — June. — Vol. 105. — P. 1262712638. — DOI: 10.1029/1999JA000265.

191. Fast Plasma Investigation for Magnetospheric Multiscale / C. Pollock [et al.] // Space Sci. Rev. — 2016. — Mar. — Vol. 199. — P. 331-406. — DOI: 10.1007/s11214-016-0245-4.

192. Harris E. On a plasma sheet separating regions of oppositely directed magnetic field // Nuovo Cimento. — 1962. — Vol. 23. — P. 115-123.

193. A three-dimensional high Mach number asymmetric magnetopause model from global MHD simulation / Z. .-. Liu [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2015. — July. — Vol. 120, no. 7. — P. 56455666. — DOI: 10.1002/2014JA020961.

194. The IMF dependence of the magnetopause from global MHD simulations / J. Y. Lu [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2013. — June. — Vol. 118, no. 6. — P. 3113-3125. — DOI: 10. 1002/ jgra.50324.

195. Ion density and temperature profiles along (Xgsm) and across (Zgsm) the magnetotail as observed by THEMIS, Geotail, and ARTEMIS / A. V. Arte-myev [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2017. — Feb. — Vol. 122. — P. 1590-1599. — DOI: 10.1002/2016JA023710.

196. The ion temperature gradient: An intrinsic property of Earth's magneto-tail / S. Lu [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2017. — Aug. — Vol. 122. — P. 8295-8309. — DOI: 10.1002/2017JA024209.

197. Berchem J., Russell C. T. Magnetic field rotation through the magnetopause - ISEE 1 and 2 observations // Jour. Geophys. Res. — 1982. — Oct. — Vol. 87. — P. 8139-8148. — DOI: 10.1029/JA087iA10p08139.

198. Reconstruction of the magnetotail current sheet structure using multi-point Cluster measurements / A. Runov [et al.] // Planetary Space Science. — 2005. — Jan.—Vol. 53. — P. 237-243. — DOI: 10.1016/j.pss.2004. 09.049.

199. Structure, force balance, and topology of Earth's magnetopause / C. T. Russell [et al.] // Science. — 2017. — Vol. 356, no. 6341. — P. 960963. —DOI: 10 ,1126/science. aag3112. —eprint: https://science . sciencemag.org/content/356/6341/960.full.pdf. —URL: https : //science.sciencemag.org/content/356/6341/960.

200. Давление плазмы под магнитопаузой на вечернем фланге в экваториальной плоскости при больших отрицательных Х GSM / С. Знаткова [и др.] // Геомагнетизм и аэрономия. — 2018. — Т. 58, № 6. — С. 731—739.

201. Dependence of the distant tail magnetopause position on the solar wind and IMF / H. Hasegawa [et al.] // Advances in Space Research. — 2000. — Vol. 25, no. 7/8. — P. 1485-1488.

202. Adiabatic electron heating in the magnetotail current sheet: Cluster observations and analytical models. / A. V. Artemyev [et al.] //J. Geophys. Res. —2012. — Vol. 117. — A06219. — DOI: 10.1029/2012JA017513.

203. Lyons L. R. Electron energization in the geomagnetic tail current sheet // Jour. Geophys. Res. — 1984. — July. — Vol. 89. — P. 5479-5487. — DOI: 10.1029/JA089iA07p05479.

204. Two Types of Tangential Magnetopause Current Sheets: Cluster Observations and Theory / E. V. Panov [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2011. — Vol. 116. — A12204. — DOI: 10.1029/2011JA016860.

205. Cluster observations of the exterior cusp and its surrounding boundaries under northward IMF / B. Lavraud [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2002. — Oct. — Vol. 29, no. 20. — P. 1995. — DOI: 10.1029/2002GL015464.

206. In situ detection of collisionless reconnection in the Earth's magnetotail / M. 0ieroset [et al.] // Nature. — 2001. — July. — Vol. 412. — P. 414417. — DOI: 10.1038/35086520.

207. Polar-Interball coordinated observations of plasma and magnetic field characteristics in the regions of the northern and southern distant cusps / E. Dubinin [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2002. — May. — Vol. 107, A5. — P. 1053. — DOI: 10 . 1029 / 2001JA900068.

208. A magnetic reconnection X-line extending more than 390 Earth radii in the solar wind / T. D. Phan [et al.] // Nature. — 2006. — Jan. — Vol. 439. — P. 175-178. — DOI: 10.1038/nature04393.

209. Current sheet structure near magnetic X-line observed by Cluster / A. Runov [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2003. — June. — Vol. 30. — P. 1579. — DOI: 10.1029/2002GL016730.

210. De Keyser J., Roth M. Equilibrium conditions and magnetic field rotation at the tangential discontinuity magnetopause // Jour. Geophys. Res. — 1998. — Apr.—Vol. 103. — P. 6653-6662. — DOI: 10.1029/97JA03710.

211. Hilmer R. V., Voigt G. The effects of magnetic B(y) component on geomagnetic tail equilibria // Jour. Geophys. Res. — 1987. — Aug. — Vol. 92. — P. 8660-8672. — DOI: 10.1029/JA092iA08p08660.

212. Two-dimensional self-similar plasma equilibria / A. S. Lukin [et al.] // Physics of Plasmas. — 2018. — Jan. — Vol. 25, no. 1. — P. 012906. — DOI: 10.1063/1.5016178.

213. Harrison M. G., Neukirch T. Some remarks on one-dimensional force-free Vlasov-Maxwell equilibria // Physics of Plasmas. — 2009. — Feb. — Vol. 16, no. 2. — P. 022106. — DOI: 10. 1063/1.3077307. — arXiv: 0811.4604 [physics.plasm-ph].

214. Investigation of storm time magnetotail and ion injection using three-dimensional global hybrid simulation / Y. Lin [et al.] // Jour. Geo-phys. Res. — 2014. — Sept. — Vol. 119. — P. 7413-7432. — DOI: 10.1002/2014JA020005.

215. Formation and transport of entropy structures in the magnetotail simulated with a 3-D global hybrid code / Y. Lin [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2017. — June. — Vol. 44. — P. 5892-5899. — DOI: 10.1002/ 2017GL073957.

216. Omidi N., Sibeck D. G., Blanco-Cano X. Foreshock compressional boundary // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2009. — Aug. — Vol. 114. — A08205. — DOI: 10.1029/2008JA013950.

217. Impacts of spontaneous hot flow anomalies on the magnetosheath and magnetopause / N. Omidi [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2016. — Apr. — Vol. 121, no. 4. — P. 3155-3169. — DOI: 10.1002/2015JA022170.

218. Peroomian V., El-Alaoui M. The storm-time access of solar wind ions to the nightside ring current and plasma sheet // Jour. Geophys. Res. — 2008. — June. — Vol. 113. — A06215. — DOI: 10.1029/2007JA012872.

219. Reconnection driven lobe convection: Interball tail probe observations and global simulations / J. Raeder [et al.] // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. — 2000. — July. — Vol. 62. — P. 833-849. — DOI: 10.1016/S1364-6826(00)00041-9.

220. Bagenal F. Giant planet magnetospheres // Annual Review of Earth and Planetary Sciences. — 1992. — Vol. 20. — P. 289-328. — DOI: 10.1146/ annurev.ea.20.050192.001445.

221. Bagenal F., Murdin P. Planetary Magnetospheres // Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics. — 11/2000. — DOI: 10. 1888/0333750888/ 2322.

222. Khurana K. K., Liu J. Dawn-Dusk and Noon-Midnight Asymmetries in Saturn's Magnetospheric Field // AGU Fall Meeting Abstracts. Vol. 2018. — 12/2018. — SM52A-06.

223. Particle acceleration in the magnetotail and aurora / J. Birn [et al.] // Space Sci. Rev. — 2012. — Vol. 173. — P. 49-102. — DOI: 10.1007/ s11214-012-9874-4.

224. Explosive Magnetotail Activity / M. I. Sitnov [et al.] // Space Sci. Rev. — 2019. — June. — Vol. 215, no. 4. — P. 31. — DOI: 10. 1007/s11214-019-0599-5.

225. Artemyev A. V., Zelenyi L. M. Kinetic Structure of Current Sheets in the Earth Magnetotail // Space Sci. Rev. — 2013. — Vol. 178. — P. 419440. — DOI: 10.1007/s11214-012-9954-5.

226. Hall effect control of magnetotail dawn-dusk asymmetry: A three-dimensional global hybrid simulation / S. Lu [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2016. — Dec. — Vol. 121. — P. 11. — DOI: 10 . 1002/ 2016JA023325.

227. Schindler K., Birn J., Hesse M. Kinetic model of electric potentials in localized collisionless plasma structures under steady quasi-gyrotropic conditions // Physics of Plasmas. — 2012. — Aug. — Vol. 19, no. 8. — P. 082904. — DOI: 10.1063/1.4747162.

228. Zelenyi L. M., Artemyev A. V., Petrukovich A. A. Earthward electric field in the magnetotail: Cluster observations and theoretical estimates // Geo-phys. Res. Let. — 2010. — Mar. — Vol. 37. — P. 6105. — DOI: 10.1029/2009GL042099.

229. Hesse M., Winske D., Birn J. On the ion-scale structure of thin current sheets in the magnetotail // Physica Scripta Volume T. — 1998. — Jan. — Vol. 74. — P. 63-66. — DOI: 10.1088/0031-8949/1998/T74/012.

230. Thin embedded current sheets: Cluster observations of ion kinetic structure and analytical models / A. V. Artemyev [et al.] // Annales Geophysicae. — 2009. — Oct. — Vol. 27. — P. 4075-4087.

231. The Hall Electric Field in Earth's Magnetotail Thin Current Sheet / S. Lu [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2019. — Feb.— Vol. 124, no. 2. — P. 1052-1062. — DOI: 10.1029/2018JA026202.

232. Thin current sheets and loss of equilibrium: Three-dimensional theory and simulations / J. Birn [et al.] // J. Geophys. Res. — 2004. — Feb. — Vol. 109. — P. 2215. — DOI: 10.1029/2003JA010275.

233. Thinning and stretching of the plasma sheet / A. A. Petrukovich [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2007. — Oct. — Vol. 112. — P. 10213. — DOI: 10.1029/2007JA012349.

234. Hsieh M.-S., Otto A. Thin current sheet formation in response to the loading and the depletion of magnetic flux during the substorm growth phase // Jour. Geophys. Res. — 2015. — June. — Vol. 120. — P. 4264-4278. — DOI: 10.1002/2014JA020925.

235. Cluster observations of an ion-scale current sheet in the magnetotail under the presence of a guide field / R. Nakamura [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2008. — Apr. — Vol. 113. — P. 7. — DOI: 10. 1029/ 2007JA012760.

236. Intense current sheets in the magnetotail: Peculiarities of electron physics / A. V. Artemyev [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2013. — June. — Vol. 118. — P. 2789-2799. — DOI: 10.1002/jgra.50297.

237. Electron currents supporting the near-Earth magnetotail during current sheet thinning / A. V. Artemyev [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2017. — Jan. — Vol. 44. — P. 5-11. — DOI: 10.1002/2016GL072011.

238. Magnetotail dynamics at Mars: Initial MAVEN observations / G. A. Di-Braccio [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2015. — Nov. — Vol. 42. — P. 8828-8837. — DOI: 10.1002/2015GL065248.

239. The flapping motion of the Venusian magnetotail: Venus Express observations / Z. J. Rong [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2015. — July. — Vol. 120. — P. 5593-5602. — DOI: 10.1002/2015JA021317.

240. Behannon K. W., Burlaga L. F., Ness N. F. The Jovian magnetotail and its current sheet // Jour. Geophys. Res. — 1981. — Sept. — Vol. 86. — P. 8385-8401. — DOI: 10.1029/JA086iA10p08385.

241. Drake J. F., Lee Y. C. Kinetic theory of tearing instabilities // Physics of Fluids. — 1977. — Aug. — Vol. 20. — P. 1341-1353. — DOI: 10.1063/ 1.862017.

242. Zelenyi L. M., Taktakishvili A. L. Spontaneous magnetic reconnection mechanisms in plasma // Astrophysics and Space Science. — 1987. — June. — Vol. 134. — P. 185-196. — DOI: 10.1007/BF00636466.

243. Particle-in-cell simulations of collisionless magnetic reconnection with a non-uniform guide field / F. Wilson [et al.] // Physics of Plasmas. — 2016. — Mar. — Vol. 23, no. 3. — P. 032302. — DOI: 10 . 1063/1 . 4942939. — arXiv: 1512.07844 [astro-ph.SR].

244. Yamada M., Kulsrud R., Ji H. Magnetic reconnection // Reviews of Modern Physics. — 2010. — Jan. — Vol. 82. — P. 603-664. — DOI: 10 . 1103/RevModPhys.82.603.

245. Low B. C. Nonlinear force-free magnetic fields // Reviews of Geophysics and Space Physics. — 1982. — Feb. — Vol. 20. — P. 145-159. — DOI: 10.1029/RG020i001p00145.

246. Wiegelmann T., Sakurai T. Solar Force-free Magnetic Fields // Living Reviews in Solar Physics. — 2012. — Sept. — Vol. 9. — P. 5. — DOI: 10.12942/lrsp-2012-5. —arXiv: 1208.4693 [astro-ph.SR].

247. Podesta J. J. The most intense current sheets in the high-speed solar wind near 1 AU // Jour. Geophys. Res. — 2017. — Mar. — Vol. 122. — P. 2795-2823. — DOI: 10.1002/2016JA023629.

248. Current sheet statistics in the magnetosheath / E. Yordanova [et al.] // Frontiers in Astronomy and Space Sciences. — 2020. — Vol. 7. — P. 2.

249. Frank A. G. Dynamics of current sheets underlying flare-type events in magnetized plasmas // Physics Uspekhi. — 2010. — Dec. — Vol. 53. — P. 941-947. — DOI: 10.3367/UFNe.0180.201009h.0982.

250. Formation of a Quasi-One-Dimensional Current Sheet in the Laboratory Experiment and in the Earths Magnetotail / E. V. Yushkov [et al.] // Plasma Physics Reports. — 2015. — Vol. 41. — P. 71-87.

251. Kan J. R. On the structure of the magnetotail current sheet. //J. Geophys. Res. — 1973. — Vol.78. — P. 3773-3781. — DOI: 10.1029/ JA078i019p03773.

252. Zwingmann W. Self-consistent magnetotail theory - Equilibrium structures including arbitrary variation along the tail axis //J. Geophys. Res. — 1983. — Nov. — Vol. 88. — P. 9101-9108. — DOI: 10 . 1029 / JA088iA11p09101.

253. Earthward electric field and its reversal in the near-Earth current sheet / A. V. Artemyev [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 2016. — Nov. — Vol. 121. — P. 10. — DOI: 10.1002/2016JA023200.

254. Configuration of the Earth's Magnetotail Current Sheet / A. V. Artemyev [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2021. — Mar. — Vol. 48, no. 6. — e92153. — DOI: 10.1029/2020GL092153.

255. Chandrasekhar S., Kendall P. C. On Force-Free Magnetic Fields. // APJ. — 1957. — Sept. — Vol. 126. — P. 457. — DOI: 10.1086/146413.

256. Formation of sub-ion scale filamentary force-free structures in the vicinity of reconnection region / L. M. Zelenyi [et al.] // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2016. — May. — Vol. 58, no. 5. — P. 054002. — DOI: 10.1088/0741-3335/58/5/054002.

257. Wilson F., Neukirch T. A family of one-dimensional Vlasov-Maxwell equilibria for the force-free Harris sheet // Physics of Plasmas. — 2011. — Aug. — Vol. 18, no. 8. — P. 082108. — DOI: 10. 1063/1. 3623740. — arXiv: 1108.0534 [physics.plasm-ph].

258. Low B. C., Lou Y. Q. Modeling solar force-free magnetic fields // APJ. — 1990. — Mar. — Vol. 352. — P. 343-352. — DOI: 10.1086/168541.

259. Kinetic models of two-dimensional plane and axially symmetric current sheets: Group theory approach / I. Y. Vasko [et al.] // Physics of Plasmas. — 2013. — Feb. — Vol. 20, no. 2. — P. 022110. — DOI: 10.1063/ 1.4792263.

260. Shafranov V. D. On Magnetohydrodynamical Equilibrium Configurations // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1958. — Vol. 6. — P. 545.

261. Zheng S. B., Wootton A. J., Solano E. R. Analytical tokamak equilibrium for shaped plasmas // Physics of Plasmas. — 1996. — Mar. — Vol. 3. — P. 1176-1178. — DOI: 10.1063/1.871772.

262. Mc Carthy P. J. Analytical solutions to the Grad-Shafranov equation for tokamak equilibrium with dissimilar source functions // Physics of Plasmas. — 1999. — Sept. — Vol. 6. — P. 3554-3560. — DOI: 10.1063/1. 873630.

263. Analytical solutions to the Grad-Shafranov equation / C. V. Atanasiu [et al.] // Physics of Plasmas. — 2004. — July. — Vol. 11. — P. 35103518. — DOI: 10.1063/1.1756167.

264. Bogoyavlenskij O. I. Astrophysical Jets as Exact Plasma Equilibria // Physical Review Letters. — 2000. — Feb. — Vol. 84. — P. 1914-1917. — DOI: 10.1103/PhysRevLett. 84.1914.

265. Kocharovsky V. V., Kocharovsky V. V., Martyanov V. J. Self-Consistent Current Sheets and Filaments in Relativistic Collisionless Plasma with Arbitrary Energy Distribution of Particles // Physical Review Letters. — 2010. — May. — Vol. 104, no. 21. — P. 215002. — DOI: 10. 1103/ PhysRevLett.104.215002.

266. Analytical theory of self-consistent current structures in a collisionless plasma / V. V. Kocharovsky [et al.] // Physics Uspekhi. — 2017. — Mar.— Vol. 59. — P. 1165. — DOI: 10.3367/UFNe.2016.08.037893.

267. Benford G., Book D. L. Relativistic Beam Equilibria // Advances in Plasma Physics. — 1971. — Vol. 4. — P. 125.

268. Birn J., Sommer R., Schindler K. Open and closed magnetospheric tail configurations and their stability // Astrophysics and Space Science. — 1975. — July. — Vol. 35. — P. 389-402. — DOI: 10.1007/BF00637005.

269. Lembege B., Pellat R. Stability of a thick two-dimensional quasineutral sheet // Physics of Fluids. — 1982. — Nov. — Vol. 25. — P. 19952004. — DOI: 10.1063/1.863677.

270. White R. L., Hazeltine R. D. Symmetry analysis of the Grad-Shafranov equation // Physics of Plasmas. — 2009. — Dec. — Vol. 16, no. 12. — P. 123101. — DOI: 10.1063/1.3267211.

271. Litvinenko Y. E. A similarity reduction of the Grad-Shafranov equation // Physics of Plasmas. — 2010. — July. — Vol. 17, no. 7. — P. 074502. — DOI: 10.1063/1.3456519.

272. Cicogna G., Pegoraro FCeccherini F. Symmetries, weak symmetries, and related solutions of the Grad-Shafranov equation // Physics of Plasmas. — 2010. — Oct. — Vol. 17, no. 10. — P. 102506. — DOI: 10. 1063/1 . 3491426. — arXiv: 1012.1460 [math-ph].

273. Ibragimov N. K. Group analysis of ordinary differential equations and the invariance principle in mathematical physics (for the 150th anniversary of Sophus Lie) // Russian Mathematical Surveys. — 1992. — Aug. — Vol. 47. — P. 89-156. — DOI: 10.1070/RM1992v047n04ABEH000916.

274. Barenblatt G. I., Zel'dovich Y. B. Intermediate Asymptotics in Mathematical Physics // Russian Mathematical Surveys. — 1971. — Apr. — Vol. 26. — P. 45-61. — DOI: 10.1070/RM1971v026n02ABEH003819.

275. Sinitsyn A., Dulov E., Vedenyapin V. Kinetic Boltzmann, Vlasov and Related Equations. — Elsevier, 2011.

276. Priest E. R. The magnetohydrodynamics of current sheets // Reports on Progress in Physics. — 1985. — July. — Vol. 48. — P. 955-1090. — DOI: 10.1088/0034-4885/48/7/002.

277. Loureiro N. F., Schekochihin A. A., Cowley S. C. Instability of current sheets and formation of plasmoid chains // Physics of Plasmas. — 2007. — Oct. — Vol. 14, no. 10. — P. 100703-100703. — DOI: 10 . 1063/1 . 2783986. — arXiv: astro-ph/0703631 [astro-ph].

278. Fast reconnection in high-Lundquist-number plasmas due to the plasmoid Instability / A. Bhattacharjee [et al.] // Physics of Plasmas. — 2009. — Nov. — Vol. 16, no. 11. — P. 112102. — DOI: 10.1063/1.3264103. — arXiv: 0906.5599 [physics.plasm-ph].

279. Pucci F., Velli M. Reconnection of Quasi-singular Current Sheets: The "Ideal" Tearing Mode //. — 2014. — Jan. — Vol. 780, no. 2. — P. L19. — DOI: 10.1088/2041-8205/780/2/L19.

280. Onset of fast "ideal" tearing in thin current sheets: Dependence on the equilibrium current profile / F. Pucci [et al.] // Physics of Plasmas. — 2018. — Mar. — Vol. 25, no. 3. — P. 032113. — DOI: 10. 1063/1 . 5022988. — arXiv: 1801.08412 [physics.plasm-ph].

281. Fluid models for kinetic effects on coherent nonlinear Alfvén waves. II. Numerical solutions / M. V. Medvedev [et al.] // Physics of Plasmas. — 1997. — May. — Vol.4. — P. 1257-1285. — DOI: 10.1063/1.872356. — eprint: physics/9612018.

282. Vasquez B. J., Hollweg J. V. Formation of pressure-balanced structures and fast waves from nonlinear Alfven waves// Jour. Geophys. Res. —1999. — Mar. — Vol. 104. — P. 4681-4696. — DOI: 10.1029/1998JA900090.

283. A kinetic model of plasma turbulence / S. Servidio [et al.] // Journal of Plasma Physics. — 2015. — Jan. — Vol. 81, no. 1. — P. 325810107. — DOI: 10.1017/S0022377814000841.

284. Schindler K. Adiabatic Particle Orbits in Discontinuous Fields // Journal of Mathematical Physics. — 1965. — Feb. — Vol. 6. — P. 313-321. — DOI: 10.1063/1.1704282.

285. Sonnerup B. U. O. Adiabatic particle orbits in a magnetic null sheet. //J. Geophys. Res. — 1971. — Vol. 76. — P. 8211-8222. — DOI: 10.1029/ JA076i034p08211.

286. Whipple E. C., Northrop T. G., Birmingham T. J. Adiabatic theory in regions of strong field gradients // Jour. Geophys. Res. — 1986. — Apr. — Vol. 91. — P. 4149-4156. — DOI: 10.1029/JA091iA04p04149.

287. Büchner J., Zelenyi L. M. Regular and chaotic charged particle motion in magnetotaillike field reversals. I - Basic theory of trapped motion //J. Geophys. Res. — 1989. — Sept. — Vol. 94. — P. 11821-11842. — DOI: 10.1029/JA094iA09p11821.

288. Quasiadiabatic dynamics of charged particles in a space plasma / L. M. Zelenyi [et al.] // Physics Uspekhi. — 2013. — Apr. — Vol. 56. — P. 347394. — DOI: 10.3367/UFNe.0183.201304b.0365.

289. Landau L. D., Lifshitz E. M. Vol. 1: Mechanics. — Oxford: Pergamon, 1988. — (Course of Theoretical Physics).

290. Lyons L. R., Williams D. J. Quantitative aspects of magnetospheric physics. / ed. by Lyons, L. R. & Williams, D. J. — 1984.

291. Schulz M., Lanzerotti L. J. Particle diffusion in the radiation belts. — Springer, New York, 1974.

292. Ukhorskiy A. Y., Sitnov M. I. Dynamics of Radiation Belt Particles // Space Sci. Rev. — 2013. — Nov. — Vol. 179. — P. 545-578. — DOI: 10.1007/s11214-012-9938-5.

293. Quasiadiabatic description of nonlinear particle dynamics in typical mag-netotail configurations / D. L. Vainchtein [et al.] // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2005. — Jan. — Vol. 12. — P. 101-115.

294. Malara F., Perri S., Zimbardo G. Charged-particle chaotic dynamics in rotational discontinuities // Phys. Rev. E. — 2021. —Aug. —Vol. 104, no. 2. — P. 025208. — DOI: 10.1103/PhysRevE.104.025208.

295. Liu Z., Tegmark M. Machine learning conservation laws from trajectories // Physical Review Letters. — 2021. — Vol. 126, no. 18. — P. 180604.

296. Neishtadt A. On mechanisms of destruction of adiabatic invariance in slow-fast Hamiltonian systems // Nonlinearity. — 2019. — Oct. — Vol. 32, no. 11. — R53-R76. — DOI: 10 . 1088/1361-6544/ab2a2c. — URL: https ://doi.org/10.1088°/„2F1361-6544°/„2Fab2a2c.

297. Liu Z., Madhavan V., Tegmark M. AI Poincar\'{e} 2.0: Machine Learning Conservation Laws from Differential Equations // arXiv preprint arXiv:2203.12610. — 2022.

298. Mototake Y.-i. Interpretable conservation law estimation by deriving the symmetries of dynamics from trained deep neural networks // Physical Review E. — 2021. — Vol. 103, no. 3. — P. 033303.

299. Discovering symmetry invariants and conserved quantities by interpreting siamese neural networks /S.J. Wetzel [et al.] // Phys. Rev. Research. — 2020. — Sept. — Vol. 2, issue 3. — P. 033499. — DOI: 10 .1103/ PhysRevResearch. 2. 033499. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevResearch.2.033499.

300. Jolliffe I. T., Cadima J. Principal component analysis: a review and recent developments // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2016. — Vol. 374, no. 2065. — P. 20150202.

301. Glorot X., Bordes A., Bengio Y. Deep sparse rectifier neural networks // Proceedings of the fourteenth international conference on artificial intelligence and statistics. — JMLR Workshop, Conference Proceedings. 2011. — P. 315-323.

302. Amari S.-i. Backpropagation and stochastic gradient descent method // Neurocomputing. — 1993. — Vol. 5, no. 4/5. — P. 185-196.

303. Ruder S. An overview of gradient descent optimization algorithms // arXiv preprint arXiv:1609.04747. — 2016.

304. Büchner J., Zelenyi L. M. Deterministic chaos in the dynamics of charged particles near a magnetic field reversal // Physics Letters A. — 1986. — Nov.— Vol. 118. — P. 395-399. — DOI: 10.1016/0375-9601(86)90268-9.

305. Sivukhin D. V. Motion of charged particles in electromagnetic fields in the drift approximation // Reviews of Plasma Physics. Vol. 1 / ed. by Leontovich, M.A. — New York : Consultants Bureau, 1965. — P. 1-104.

306. Alfven H., Falthammar C. .-. Cosmic electrodynamics. — Clarendon press, Oxford, 1963.

307. Northrop T. G. The adiabatic motion of charged particles. — Interscience Publishers John Wiley, Sons, New York-London-Sydney, 1963.

308. Thin and superthin ion current sheets. Quasi-adiabatic and nonadiabatic models / L. M. Zelenyi [et al.] // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2000. — Vol. 7. — P. 127-139.

309. Collisionless reconnection in two-dimensional magnetotail equilibria / P. L. Pritchett [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 1991. — July. — Vol. 96. — P. 11. — DOI: 10.1029/91JA01094.

310. "Aging" of the magnetotail thin current sheets / L. M. Zelenyi [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2002. — June. — Vol. 29, no. 12. — P. 1608. — DOI: 10.1029/2001GL013789.

311. Zelenyi L. M., Malova H. V., Popov V. Y. Splitting of Thin Current Sheets in the Earth's Magnetosphere // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2003. — Sept. — Vol. 78. — P. 296-299. — DOI: 10.1134/1.1625728.

312. Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Physics Reports. — 1979. — May. — Vol. 52. — P. 263-379. — DOI: 10.1016/0370-1573(79)90023-1.

313. Birmingham T. J. Pitch angle diffusion in the Jovian magnetodisc // Jour. Geophys. Res. — 1984. — May. — Vol. 89. — P. 2699-2707. — DOI: 10.1029/JA089iA05p02699.

314. Current sheets at low altitudes in the Martian magnetotail / J. S. Halekas [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2006. — July. — Vol. 33, no. 13. — P. L13101. — DOI: 10.1029/2006GL026229.

315. Bursty escape fluxes in plasma sheets of Mars and Venus / E. Dubinin [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2012. — Jan. — Vol. 39. — P. L01104. — DOI: 10.1029/2011GL049883.

316. Mercury's cross-tail current sheet: Structure, X-line location and stress balance / G. Poh [et al.] // Geophys. Res. Let. — 2017. — Jan. — Vol. 44, no. 2. — P. 678-686. — DOI: 10.1002/2016GL071612.

317. Evidence for quasi-stationary reconnection at the dayside magnetopause / J. T. Gosling [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 1982. — Apr. — Vol. 87, A4. — P. 2147-2158. — DOI: 10.1029/JA087iA04p02147.

318. Chen J. Nonlinear dynamics of charged particles in the magnetotail // J. Geophys. Res. — 1992. — Oct. — Vol. 97. — P. 15011. — DOI: 10.1029/92JA00955.

319. Burkhart G. R., Chen J. Differential memory in the earth's magnetotail // Jour. Geophys. Res. — 1991. — Aug. — Vol. 96. — P. 14033-+. — DOI: 10.1029/91JA01137.

320. Delcourt D. C., Martin Jr. R. F., Alem F. A simple model of magnetic moment scattering in a field reversal // Geophys. Res. Let. — 1994. — July. — Vol. 21. — P. 1543-1546. — DOI: 10.1029/94GL01291.

321. Centrifugally driven phase bunching and related current sheet structure in the near-Earth magnetotail / D. C. Delcourt [et al.] // Jour. Geophys. Res. — 1996. — Sept. — Vol. 101. — P. 19839. — DOI: 10. 1029/ 96JA01772.

322. Shustov P. I., Artemyev A. V., Yushkov E. V. Intermediate regime of charged particle scattering in the field-reversal configuration // Chaos. — 2015. — Dec. — Vol. 25, no. 12. — P. 123118. — DOI: 10 . 1063/1 . 4938535.

323. Charged particle scattering in dipolarized magnetotail / A. S. Lukin [et al.] // Physics of Plasmas. — 2021. — Oct. — Vol. 28, no. 10. — P. 102901. — DOI: 10 . 1063/ 5 . 0062160. — arXiv: 2105 . 05397 [physics.space-ph].

324. Neishtadt A. I. Change of an adiabatic invariant at a separatrix // Soviet Journal of Plasma Physics. — 1986. — Vol. 12. — P. 568-573.

325. Cary J. R., Escande D. F., Tennyson J. L. Adiabatic-invariant change due to separatrix crossing // Physical Review A. — 1986. — Vol. 34, no. 5. — P. 4256-4275.

326. Cohen R. H., Rowlands G., Foote J. H. Nonadiabaticity in mirror machines // Physics of Fluids. — 1978. — Apr. — Vol. 21. — P. 627-644. — DOI: 10.1063/1.862271.

327. Neishtadt A. I. On the accuracy of persistence of adiabatic invariant in single-frequency system // Regular and chaotic dynamics. — 2000. — Vol. 5. — P. 213-218. — DOI: 10.1070/RD2000v005n02ABEH000143.

328. Comparison of the Flank Magnetopause at Near-Earth and Lunar Distances: MMS and ARTEMIS Observations / A. S. Lukin [et al.] // Journal of Geophysical Research (Space Physics). — 2020. — Nov. — Vol. 125, no. 11. — e28406. — DOI: 10.1029/2020JA028406.

329. Karimabadi H., Pritchett P. L., Coroniti F. V. Particle orbits in two-dimensional equilibrium models for the magnetotail // Jour. Geophys. Res. — 1990. — Oct. — Vol. 95. — P. 17153-17166. — DOI: 10.1029/ JA095iA10p17153.

330. Chapman S. C., Rowlands G. Are particles detrapped by constant By in static magnetic reversals? // Jour. Geophys. Res. — 1998. — Mar. — Vol. 103. — P. 4597-4604. — DOI: 10.1029/97JA01737.

331. Delcourt D. C., Zelenyi L. M., Sauvaud J.-A. Magnetic moment scattering in a field reversal with nonzero By component // Jour. Geophys. Res. — 2000. — Jan.—Vol. 105. — P. 349-360. — DOI: 10.1029/1999JA900451.

332. Artemyev A. V., Neishtadt A. I., Zelenyi L. M. Ion motion in the current sheet with sheared magnetic field - Part 1: Quasi-adiabatic theory // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2013. — Vol. 20, no. 1. — P. 163178. — DOI: 10.5194/npg-20-163-2013. — URL: http://www.nonlin-processes-geophys.net/20/163/2013/.

333. Artemyev A. V., Neishtadt A. I., Zelenyi L. M. Ion motion in the current sheet with sheared magnetic field - Part 2: Non-adiabatic effects // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2013. — Oct. — Vol. 20. — P. 899-919. — DOI: 10.5194/npg-20-899-2013.

334. Neukirch T., Wilson F., Allanson O. Collisionless current sheet equilibria // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2018. — Jan. — Vol. 60, no. 1. — P. 014008. — DOI: 10.1088/1361-6587/aa8485.

335. Superfast ion scattering by solar wind discontinuities / A. V. Artemyev [et al.] // Phys. Rev. E. — 2020. — Sept. — Vol. 102, no. 3. — P. 033201. — DOI: 10.1103/PhysRevE.102.033201.

336. Neishtadt A., Treschev D. Polymorphisms and adiabatic chaos // Ergodic theory and dynamical systems. — 2011. — Vol. 31, no. 1. — P. 259284. — DOI: 10.1017/S0143385709001060.

337. Artemyev A. V., Neishtadt A. I., Zelenyi L. M. Rapid geometrical chao-tization in slow-fast Hamiltonian systems // Phys. Rev. E. — 2014. — June. — Vol. 89, no. 6. — P. 060902. — DOI: 10 . 1103/PhysRevE. 89 . 060902.

338. Neishtadt A. On the change in the adiabatic invariant on crossing a sepa-ratrix in systems with two degrees of freedom // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1987. — Vol. 51. — P. 586-592. — DOI: 10.1016/0021-8928(87)90006-2.

339. Regimes of ion dynamics in current sheets: The machine learning approach / A. S. Lukin [et al.] // Phys. Rev. E. — 2022. — Dec. — Vol. 106,

no. 6. — P. 065205. — DOI: 10.1103/PhysRevE.106.065205. —arXiv: 2211.03787 [physics.plasm-ph].