Исследование задач, возникающих при изучении функционально-дифференциальных уравнений, методами спектральной теории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Медведев, Данил Александрович

• Медведев, Данил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Медведев, Данил Александрович

Введение

1 Уравнения нейтрального типа

1.1 Уравнения нейтрального типа первого дифференциального порядка

1.2 Уравнения нейтрального типа высокого дифференциального порядка

2 Уравнения запаздывающего типа

2.1 Уравнения запаздывающего тина первого дифференциального порядка

2.2 Уравнения запаздывающего типа высокого дифференциального порядка

3 Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве 72 3.1 Функционально-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование задач, возникающих при изучении функционально-дифференциальных уравнений, методами спектральной теории»

Актуальность темы исследования. Основы теории функционально-дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве заложены в работах А. Д. Мышкиса, Р. Беллмана, К. Кука, Н. В. Азбелева, Н. Н. Краковского, Дж. Хейла, Л. Э. Эльсгольца. Ряд глубоких результатов для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных изложен в недавних монографиях Дж. Ву и А. Л. Скубаческого. Несмотря на значительное число работ, посвященных изучению функционально-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, получение наиболее точных (неулучшаемых) оценок их решений и изучение асимптотического поведения решении остается актуальной задачей, играющей важную роль в теории динамических систем и теории управления. Особый интерес в настоящее время представляет изучение функционально-дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах; при этом активно используются методы теории полугрупп и спектральной теории операторных пучков. Наиболее близкими в этом направлении являются работы В. В. Власова, Д. В. Якубовича, С. В. Лунела, Г. Ди Блазио, К. Куниша, Е. Синестрари, В. Шагшахера. Результаты, представленные в диссертации, являются естественным развитием и обобщением результатов упомянутых авторов.

Большой интерес представляет собой исследование экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений. Свойства полноты и базисности систем экспонент и систем собственных и присоединенных функций несамосопряженных задач изучались много и интенсивно. Наиболее близкими к тематике диссертации являются работы В. В. Власова, В. А. Ильина, А. Г. Костючеико, М. Г. Крейна, Б. Я. Левина, Н. Левин-сона, В. Б. Лидского, И. С. Ломова, А. С. Маркуса, В. П. Михайлова, Е. И. Моисеева, Н. К. Никольского, Б. С. Павлова, А. М. Седлецкого, А. П. Хромова, А. А. Шкаликова.

Цель работы. Изучение вопросов асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального и запаздывающего типов, первого и произвольного дифференциальных порядков в различных функциональных пространствах, в том числе в пространствах Соболева. Рассмотрение в этой связи ряда спектральных вопросов, включающих в себя исследования полноты, минимальности и базисности систем экспоненциальных решений упомянутых уравнений. Изучение поведения решении функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве на основе исследования оператор-функций, являющихся символами этих уравнений.

Методы исследования. В работе, использованы методы спектральной теории операторов и операторных пучков, а также теории целых функций, теории полугрупп и теории функционально-дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по спектральной теории операторных пучков (оператор-функций), теории функционально-дифференциальных уравнений, а также в дальнейших исследованиях в ряде математических задач теории управления и задачах математической теории распространения тепла в средах с памятью.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Установлены утверждения о полноте, минимальности и базисности Рисса систем экспоненциальных решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа в пространствах Соболева и других функциональных пространствах. На основе этих результатов получены неулучшаемые оценки решений упомянутых функционально-дифференциальных уравнений.

Получены неулучшаемые оценки решений функционально-дифференциальных уравпений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Установлены результаты о разложении решений упомянутых уравнений в сумму линейной комбинации экспоненциальных решений и функции с меньшим показателем экспоненциального роста на основе результатов о поведении и оценках операто1>-функций с экспоненциальным вхождением спектрального параметра, являющихся символами рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений.

Получены результаты об асимптотическом поведении и неулучшаемые оценки решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа и в конечномерных пространствах.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ, излагаются цели, методы и основные результаты исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Медведев, Данил Александрович, 2006 год

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1907.

2. Власов В. В. О поведении решений некоторых классов дифференциаяьно-]тностних уравнений с операторными коэффициентами. // Изв. вузов. Математика, 1992, вып. 8 (303), С. 80-83.

3. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с поледействием в гильбертовом пространстве. // Изв. вузов. Математика, 1993, Л*2 5, С. 24-35.

4. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. // Мат. сб., 1995, Т. 180, Л"« 8, С. 07-92.

5. Власов В. В., Иванов С. А. Оценки решений неоднородных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Изв. вузов, Математика, 2006, Т. 526, вып. 3, С. 24-30.

6. Власов В. В., Иванов С. А. О точных оце)1ках дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // ДАН, 2006, Т. 406, У- 5, С. 1-3.

7. Гохберг II. Ц., Крепи М.Г. Введение в теорию линейных пссамосопряжепных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1905.

8. Зверкин А. М. Разложение в ряд решений линейных дифф>еренциалыю-разностных уравнений. Ч. 1. Квазиполиномы. // Тр. семин. по теории дифференц. уравнении с отклоняют,, аргументом, 1905, Т. 5, С. 3-37.

9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

10. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов. // УМН, 1971, Т. 26, У- 4, С. 15-41.11| Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространсгпве. — М.: Наука, 1967.

11. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в Ь2. // Зап. Харьковск. Матем. о-ва, 1961, Т. 27, .V« 4, С. 39-48.

12. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

13. Лужина Л.М. Регулярный спектральные задачи в пространстве вектор-функций. // Вестник Моск. университета. Сер. 1. Математика и механика, 1988, 1, С. 31-35.

14. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев: Штиница, 198G.

15. Милославский А. II. Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений. // Сиб. матем. журнал, 1985, Т. 26, С. 118-132.

16. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

17. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.

18. Пинии Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

19. Радзиевский Г. В. Асимптотика распределения характеристических чисел оператор-функций, аналитических в угле. // Мат. сб., 1980, Т. 112, Х°- 3, С. 396-420.

20. Седлецкий А. М Биортогопальные разложелия функций в ряды экспонент па интервалах вещественной оси. // УМН, 1982, Т. 37, вып. 5, С. 51-95.

21. Хейл Дж. Теория функционалыю-диф/ферепциалытх ypaeiienuii. — М.: Мир, 1984.

22. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М., О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в L2(0,1). // ДАН СССР, 1991, Т. 321, .Vs G, С. 11581163.

23. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Тр. семнн. им. П.Г.Петровского, 1983, вып. 9, С. 190-229.

24. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями. // Вестник МГУ, Сер. .матем., 1982, Х°- 6, С. 12-21.

25. Эльсгольц Э. Л. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1964.

26. Burns J. A., Hcrdman Т. L., and Stcch H.W. Linear functional differential equations as semigroups on product spaces. // SIAM J. Math. Anal., 1983, V. 14, .V« 1, P. 98-116.

27. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delays in the highest order derivatives. // J. Math. Anal, and Appl., 1984, V. 102, P. 38-57.

28. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. Stability for abstract linear functional differential equations /'/ Izrael Journal of Mathematics, 1985, V. 50, .Vs 3, P. 231-263.

29. Engel K-J., Xagel R. One-Parameter Semigroup for Linear Evolution Equations. Springer, 1999.

30. Власов В. В., Медведев Д. А. Оценки решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Доклады Академии наук, 2003, Т. 389, Л"« 2, С. 15G-158.

31. Власов В. В., Медведев Д. А. Об оценках решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Известия высших учебных заведений, Математика, 2004, Д* G, С. 21-29.

32. Медведев Д. А. Асимптотическое поведение решений уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Успехи математических наук, 2007, Т. 62, вып. 1, С. 201-202.

33. Ylasov Y. V. and Medvedev D. A. On asymptotic behavior and estimates of solutions to neutral equations. // Functional Differential Equations, 2006, Y. 13, .Y® 2, P. 207-223.

34. Власов В. В., Медведев Д. А. Об асимптотических свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Современная математика. Фундаментальные направления, 2006, Т. 15, У 3, С. 112-125.

35. Медведев Д. А. Асимптотическое поведение решений уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве j j Современная математика. Фундаментальные направления, 2007, Т. 21, .Vs 1, С. 83-92.32 33 [3435 36 [37 [38 [39 [40 (41