Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Лепский, Тимур Александрович

• Лепский, Тимур Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лепский, Тимур Александрович

Введение

1 Интегрируемые гамильтоновы системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона

1.1 Основные понятия и утверждения.

1.2 Обзор известных результатов по топологии слоев

1.2.1 Достаточные условия связности слоя.

1.2.2 Топология слоя невырожденного многочлена

1.3 Поведение гамильтонова поля в бесконечно удаленных точках на пополненном слое

1.4 Примеры

2 Гамильтонова классификация систем с эллиптическим гамильтонианом степени 1,2,3,

2.1 Основные понятия и утверждения.

2.2 Гиперэллиптический гамильтониан степени один.

2.3 Гиперэллиптический гамильтониан степени два

2.4 Гиперэллиптический гамильтониан степени три

2.5 Гиперэллиптический гамильтониан степени четыре

3 Топология лагранжевых слоений

3.1 Основные понятия и утверждения.

3.1.1 Важный класс комплексных гамильтоновых систем

3.1.2 Гиперэллиптические многочлены: топология неособого слоя, локальная классификация особенностей лагранжева слоения.

3.1.3 Наборы кратностей критических точек на особых слоях

3.2 Топология слоения в окрестности особой точки (локальная топологическая классификация особенностей).

3.3 Топология слоения в окрестности слоя полулокальная топологическая классификация особенностей)

4 Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов

4.1 Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов нечетной степени

4.1.1 Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое

4.1.2 Семейства геодезических с концами в бесконечно удаленных точках на слоях, близких к нулевому.

4.1.3 Комплексные координаты "действие-угол" и функции перехода. Комплексная теорема Лиувилля.

4.2 Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов четной степени.

4.2.1 Периодичность интегральных траекторий на нулевом слоеЮб

4.2.2 Семейства геодезических с концами в бесконечно удаленных точках на слоях, близких к нулевому

4.2.3 Комплексные координаты "действие-угол" и функции перехода. Комплексная теорема Лиувилля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C2»

Диссертационная работа посвящена решению ряда проблем в активно развивающейся в настоящее время теории гамильтоновых систем, которые играют важную роль при описании физических процессов без диссипации. Важными вопросами в теории гамильтоновых систем являются задачи исследования полноты потока, описывающего систему (необходимое условие интегрируемости системы по Лиувиллю), и задачи классификации (с точностью до различных отношений эквивалентности) таких систем.

Пусть М2п — гладкое многообразие, и — симплектическая структура на М2п, Я : М2п —> М — гладкая функция, называемая гамильтонианом, и пусть sgrad Я — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом Я на М2п. Следуя [7, §1.5], гамильтонову систему (М2п, ш, Я) назовем вполне интегрируемой (или интегрируемой по Лиувиллю), если существует набор гладких функций /х = Я, /2, .,/„ : М2п -> Е, такой что:

1) /ъ ■ ■ • ,/п — первые интегралы sgrad Я;

2) /ъ • • • ,/п функционально независимы на М2п, то есть почти всюду на М2п их градиенты линейно независимы;

• 3) {/»> /Л = 0 при любых «,.7 = 1,., п;

4) векторные поля sgrad /г-, г = 1,., п полны, то есть естественный параметр на их траекториях определен на всей числовой прямой.

Если выполнены лишь условия 1-3 (а условие полноты потоков не обязательно выполнено), то систему с соответствующим набором первых интегралов Л,., /п назовем интегрируемой.

Если естественный параметр на траекториях хотя бы одного из коммутирующих векторных полей sgrad г = 1,., п определен не на всей числовой прямой, то набор векторных полей и набор соответствующих потоков назовем неполными, а систему — интегрируемой гамилътоновой системой с неполными потоками.

Простейшим примером интегрируемой гамильтоновой системы с неполными потоками является система (М2 \ {О}, А ¿у, -у), заданная на К2 \ {О} векторным полем V = (1,0) в стандартных координатах а;, у на Ж.2, где О € К.2 — некоторая точка, см. рис. 1. Однако в данном примере особенность векторного поля V в точке О является устранимой, поскольку можно так определить векторное поле V в точке Ое12, что, во-первых, векторное поле V будет определено корректно на всем Е2, а, во-вторых, поток, соответствующий векторному полю V, будет полным. Данный пример можно также рассматривать как пример динамической системы, заданной векторным полем г» = (1,0) на М2 \ {О}, для которой векторные поля V = (1,0) и и = (0,1) всюду линейно независимы, коммутируют и обладают неполными потоками. Примером динамической системы с неустранимой особенностью и неполными коммутирующими потоками является система на С \ {0}, заданная векторным полем и — в стандартной координате г на С, с парой коммутирующих векторных полей V и г V, где п £ N. Такая особенность называется полюсом порядка п + 1, ее интегральные траектории представлены на рис. 2. О

Рис. 1: Устранимая особенность

Рис. 2: Полюс порядка 2

В классических работах по исследованию интегрируемых гамильтоновых систем:

1) систем, возникающих в механике и описывающих движение твердого тела,

2) систем, заданных уравнениями Эйлера на компактных алгебрах Ли см. [1], [2], [8], [6], [5], [11], [13], [17], [18]) безусловно выполнялось условие полноты потоков, что позволяло использовать классическую теорему Ли-увилля (см. [7]) для описания свойств таких интегрируемых систем. Так как для интегрируемых систем с неполными потоками, по-видимому, неизвестны никакие аналоги теоремы Лиувилля, то класс таких систем представляется весьма трудным для изучения. В связи с этим А.Т. Фоменко поставил задачу об обобщении теоремы Лиувилля на случай интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками, а именно: описание топологии слоя, описание лагранжева слоения в окрестности слоя, построение аналога переменных действие-угол. Отметим также, что задача доказательства интегрируемости видимомГоб ГаМИЛЬТОНОВОЙ с™ сама по себе нетривиальна. Этим, по-ЗГруем^Г™ Т0> НТ° ИССТ—Условия полноты потоков для у. чогаоп [¿9], а.ю: Москвина, Д.В, Новикова. настоящей работе рассматривается класс интегрируемых гамильтоновых систем

-.2

С2, Re(cfe Adw), Re(/(z, w))), (0 0 1) обладающих в .6ольшинстве случаев„ непол потоками ,, . снсГГта^й К0МПЛеКСНЫХ ПеРеМеННЫХ И ^М)

СИСТеМ бЫЛ ПРвДЛ0ЖеН ДЛЯ ™дования А.Т. Фомен-пле^™^™г1аГВИЧеМ' П°СК0ЛЬКУ °Н ТеСН0 связан с квантованием ком

ГвГсТппГ РМ,Т'ПВ Час™0с™> с описанием квантовых систем Калод-жеро-Строкки, см. [12]. Под С-гамильтоновой системой iS fвь7оож31ГРНОе КОМПЛе1СНОе мног°обР^ dime 'Ml = 2, - замкну-наГфунГия fi Г°ЛОМОрфнаЯ 2-Ф0Рма f-.Mi-.C- голоморфнТм*"IK "°НИМать да»—ескую систему, заданную «комплексь равнениями Мильтона i(i) = sgradc/|x((), где * = (^ .ло. о^ной Гтои КСНЬЮ К00рданаты' ^«dc/ := компоненты предполагается^ "2-фоРмы^ в координатах (xW), параметр i TZZeZ ВеЩестве™ьш. В этом случае гамильтонова системно.!) с точки зрения уравнений Гамильтона равносильна С-гамильтоновой системе

C2,dz/\dw,f(z,w)), (0.0.2); см. определение 2.1.5 и лемму 2Л.7. алгебраический' ^'СЛОВИе полноты векторного поля исследовалось в терминал го поля аналитических свойств координатных функций векторнонолГты в Ге о м С ТШ Предс—т "™Р« задача исследования условия н2тош ~РИЧеСКИХ ТеРМИНаХ' Hai™. « ™Р«инах многоугольника чек - и„11~ЯЮЩеГ° СОбОЙ Им,,укл-™ оболочку целочисленных то-(см nZZZ НеН~ коэФфи1™в полиномиального гамильтониана работы дая систем S 0 2? ^ ^^ В Т'^ ^ ™тационной сительнп^ркп ( ) С гамильт°нианом f(z, w), невырожденным относительно своего многоугольника Ньютона (теорема 11 и следствие 1.3.4(B)).

Кроме того, в этой же главе в терминах многоугольника Ньютона вычисляются типы особенностей гамильтонова векторного поля в "бесконечно удаленных" точках пополненного слоя (следствия 1.3.2 и 1.3.4(В)). Многогранники Ньютона (многомерный аналог многоугольников Ньютона) применялись в работах А.Д. Брюно (см. [9]) для описания локальных свойств систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это лежит в стороне от задач настоящей работы, так как в диссертации система рассматривается глобально и, в частности, описаны топология и окрестность неособого слоя /-1(£) в терминах многоугольника Ньютона многочлена /.

В четвертой главе диссертационной работы доказан аналог теоремы Ли-увилля для класса систем (0.0.2) с гиперэллиптическим гамильтонианом /(г, гу) = г2 + Рп(ги), отвечающим многочлену Рп{ги) степени п € N с простыми вещественными корнями, в окрестности нулевого уровня /-1(0) (см. теоремы 25 и 26). Для таких систем лагранжевы слои /-1(£) гомеоморфны сфере с ручками и п — проколами, а при п > 3 система обладает неполными потоками.

Другой важной проблемой в теории гамильтоновых систем является задача классификации систем с точностью до различных отношений эквивалентности. В теории интегрируемых гамильтоновых систем рассматривается несколько отношений эквивалентности систем: гамильтонова эквивалентность (означающая существование симплектоморфизма фазовых пространств, переводящего гамильтониан одной системы в гамильтониан другой системы с точностью до аддитивной константы), топологическая сопряженность, траек-торная эквивалентность, топологическая послойная эквивалентность и другие. Перечисленные выше отношения эквивалентности упорядочены от наигбГ:ГИЛЬН0Г° Д° НаИб°Лее СЛаб0Г°- Задачи классификации интегрируемых гамильтоновых систем в последние годы исследовались в работах А.Т ФопТнМ]' ^ № Б0—а [4]' А-А- °—ваР[19], М. Адлера, П. ван Мербеке [31], [32], Л. Гаврилова [38], В.В. Козлова [14] и других

Ьажным классом гамильтоновых систем (0.0.2) являются системы с полиномиальным гамильтонианом / малой степени. Это обусловлено прежде всего тем что такие системы либо являются интегрируемыми по Лиувиллю, либо допускают вложение в интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы . поэтому являются актуальными задача о классификации таких систем точностью до гамильтоновой эквивалентности, а также задача о построении канонических координат действие-угол (или их аналогов) в окрестности неособого лагранжева слоя такой системы. Решению этих задач, в случае гиперэллиптических гамильтонианов малой степени, посвящена вторая глава

Ждг^Г1 12' 13' М' 15' 19' "ММУ 2'5'2 И СЛ6ДСТВИЯ 2-2'2'

Более слабым отношением эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем является топологическая послойная эквивалентность, под которой будем понимать существование гомеоморфизма фазовых пространств, переводящего лагранжевы слои одной системы в лагранжевы слои другой си-ГГ" эквивалентность обобщает известную лиувиллеву эквивалентность для интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Лиувилле-ва эквивалентность исследовалась в работах А.Т. Фоменко [23], [25], [26],

ТяТГд ^ [4]' АЛ- °ШеМК0Ва [191' Нг^ен Тьен Зунг [41], [42 , Л кв-рилова [38], И.А. Тайманова [20], Л. Бейтса [33] и других. В отличие от большинства этих работ, в настоящей диссертации не предполагается полнота га-мшшроновьк потоков. Более того, в "большинстве случаев» гамильтоновы потоки не являются полными. В частности, представляет интерес исследование топологии лагранжева слоения в окрестности критических точек, не являющихся, вообще говоря, морсовскими {локальная классификация особенностей лагранжева слоения), а также классификация лагранжева слоения в окрестности особого слоя (полулокальная классификация особенностей лагранжева слоения). Решению этих задач, в случае гиперэллиптических гамильтонианов, посвящена третья глава диссертации (см. предложения 3.2.1, 3.2.3, теорему 24). '

Диссертационная работа состоит из четырех глав.

В первой главе изучается топология неособого слоя {/(*,«;) = £} с С2, 6 С, четырехмерная окрестность неособого слоя и четырехмерная окрестность бесконечно удаленных точек, для невырожденного многочлена двух комплексных переменных и>) — то есть многочлена, ограничение (/ — О |г которого на любую грань Г многоугольника Ньютона не имеет критических точек в (С \ {О})2 ГКО2* "*») е С2 | (/ - £)|г = 0}, удовлевтворяю-щему следующему условию (1): для любой точки (и, у) £ Р прямоугольник сопу{(0, 0), (и, 0), (0, у), (и, «)}сР, где Р — многоугольник Ньютона многочлена /(¿г, ко) — Также изучается пополнение данного слоя относительно метрики пополнения порожденной кососимметричным векторным полем. Топология слоя и особенности кососимметричного векторного поля описаны в терминах многоугольника Ньютона исходного многочлена.

Обозначим через Т^ = е С2|/(;г,и>) = £} — неособый слой невырожденного многочлена /(г, ги), через пд — количество целочисленных точек строго внутри многоугольника Ньютона, через пм — увеличенное на единицу количество целочисленных точек на сторонах многоугольника Ньютона с положительными координатами. Тогда верна следующая теорема, вытекающая из работы А.Г. Хованского [29].

Теорема 1 (А.Г. Хованский). Пусть — £ — невырожденный многочлен. Тогда неособый слой Т^ связен и диффеоморфен сфере с пд ручками, без Пц точек.

Возникает задача уточнения теоремы 1 в случае, когда (С2, ¿.гЛски, /(г, т)) — интегрируемая гамильтонова система. В диссертационной работе был предложен метод пополнения исходного слоя относительно метрики естественным образом связанной с гамильтоновым векторным полем, а именно: интегральные траектории гамильтонова векторного поля совпадают с геодезическими метрики как параметризованные кривые. Заметим, что похожие конструкции использовались в работах С.П. Новикова([43], [44]) и Л. Бейтса([34]). Такой подход позволил связать задачу уточнения теоремы 1 с задачей исследования полноты интегрируемой гамильтоновой системы.

Теорема 2. Пусть т) — £о — невырожденный многочлен относительно своего многоугольника Ньютона Р/-£0, причем многоугольник Ньютона Р/£0 удовлетворяет условию (1) выше, и сНтР/£0 = 2 (см. определение 1.1.1). Тогда существуют е > 0 и К > 0, такие что

1) для любой стороны Г; многоугольника Ньютона, не лежащей на координатных осях, существуют ровно пг, голоморфных вложений «/рип :

Г>|0 £) х \ {0}) С2, 1 < п < пГг, таких что о и) = ^„п^С = ^-"аК + а-^г,-!^ д ^

6 £>|о £ х \ где пг, + 1 равно количеству точек с целочисленными координатами на стороне Г;, (агцРг^ ~~ несократимый вектор внешней нормали стороны Г¡, и € ГI — любая точка на Гц

2) образы всех этихпм = Хл пг( вложений (отвечающих одной и той же стороне, но разным значениям п, либо разным сторонам многоугольника Ньютона) попарно не пересекаются, и объединение этих образов содержит к (т.е. дополнение этого объединения в / 1(£)2о е) ограничено, а потому компактно).

К результатам первой главы относятся теорема 11, в которой были введены координаты (£, и) в четырехмерной окрестности бесконечно удаленных точек, причем координата £ постояна на слое, а координата и задает окрестность бесконечно удаленной точки на слоеТ^, следствие 1.3.4, описывающее пополнение Т^ неособого слоя Т^ относительно метрики а также описывающее в терминах многоугольника Ньютона классификацию систем на слоях с точностью до траекторной эквивалентности.

Во второй главе исследуется классификация гамильтоновых систем с точностью до гамильтоновой эквивалентности в случае гиперэллиптической функции Гамильтона вида / = г2 + Рп(и)), п — 1,2,3,4. Кроме того, в этой главе доказана полнота гамильтоновых векторных полей при п = 1,2, построено вложение при п = 3,4 таких систем во вполне интегрируемые гамильтоновы системы, описана топология неособых слоев, а также построены канонические координаты в окрестности неособых слоев, см. теоремы 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

Обозначим через Жп{а, &о) С-гамильтонову систему (С2, <£гЛе£ги, /(г, ги)) с гамильтонианом /(г, ги) = аг2+Ъпч)п-\-----\-b\w-\-bQ, а, Ьп,., &о £ С, аЬп ф 0.

В следующей теореме собраны результаты настоящей главы, относящиеся к классификации гамильтоновых систем с точностью до гамильтоновой эквивалентности.

Теорема 3. Пусть дана С.-гамильтонова система с гиперэллиптическим гамильтонианом степени п, п <4. Тогда:

• Каоюдая <С-гамильтонова система 6, с) гамильтоново эквивалентна канонической "линейной" ^-гамильтоновой системе

С2(р, q), dpAdq, /о(р, q) = р). Все слои С-гамильтоновой системы<Щ(а, Ь, являются неособыми, <С-диффеоморфными С.

• Каждая <С-гамилътонова система 61, ci, d\) гамильтоново эквивалентна системе ^(а, 1,0,0), для а = а\Ь\ G С \ {0}. Все неособые слои <С-гамилътоновой системы с, d) С-диффеоморфны R х S1.

• Каждая невырожденная С.-гамильтонова система J%(a,b,c,d,e) гамильтоново эквивалентна системе ¿Щ(г, s, s, 0,0) для некоторых г, s £ С7 rs ф 0. Все неособые слои <С-гамильтоновой системы b, с, d, е) гомеоморфны Т2 \ {р}.

• Каждая невырожденная <С-гамильтонова система b, с, d, е, к) гамильтоново эквивалентна системе <Щ>(г, s, s(p + 1), sp, 0,0) для wereo-торыхг, s, р £ <С, rs ф 0. Все неособые слои С-гамильтоновой системы

Ь, с, d, е, к) гомеоморфны Т2 \ {pi, Р2}.

Во второй главе также определена пополненная система при п = 3,4, см. определения 2.4.4, 2.5.5. Это пополнение определено корректно, поскольку функция Гамильтона является аналитической, продолжение симплекти-ческой структуры и>с невырожденно. Отметим, что ограничения неособых слоев пополненной системы на исходную систему являются неособыми слоями исходной системыи.

Одним из основных результатов этой главы являются следствия 2.4.5, 2.5.6 об интегрируемости по Лиувиллю пополненной системы, как вещественной гамильтоновой системы. При этом вещественные канонические координаты для исходной системы получаются ограничением вещественных координат действие-угол, определенных для пополненной системы в окрестности любого неособого слоя, см. следствия 2.4.6, 2.5.7.

В третьей главе изучается топология лагранжевых слоений интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, отвечающих С-гамильтоновым системам с одной комплексной степенью свободы на С2 с гиперэллиптическими функциями Гамильтона / = z2 + Pn(w), п G N. Такая система является интегрируемой (вещественной) гамильтоновой системой (С2, Rewc,i; Н = Re/) с двумя степенями свободы с дополнительным первым интегралом F = 1т/, причем неособые лагранжевы слои /-1(0 гомеоморфны сфере с ручками и п — 2pyi] проколами, а гамильтоновы векторные поля с гамильтонианами Н и F неполны на каждом слое при п > 3. В этой главе развиваются методы, предложенные в работах [16], [21], [22], [24].

Две голоморфные функции /г- : Mi С назовем топологически эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h : М\ —»■ Mi такой, что fi = /2 о h + const. В третьей главе описаны классы топологической эквивалентности гиперэллиптических функций / в малых окрестностях особых слоев в зависимости от п и комбинаторного типа слоя — набора кратностей критических точек в слое (полулокальная топологическая классификация слоения Лиувилля). Две интегрируемые гамильто-новы системы (Mf, Reujc,i, Hi = Re/j) с дополнительным первым интегралом Fi = Im fi, г = 1,2, называют послойно эквивалентными, если существуют сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы h\ : М\ —> М2 и /г2 : С —> С такие, что fi = /г2 о /2 о hi. Результаты главы показывают, что в малой окрестности любого лагранжева слоя /-1(£) послойная эквивалентность систем равносильна топологической эквивалентности функций / и полностью определяется комбинаторным типом слоя, см. теорему 24. На основе теоремы Р. Тома (1965) описаны реализуемые наборы комбинаторных типов особых слоев для гиперэллиптических гамильтонианов.

Одним из основных результатов главы является описание слоения в локальной окрестности особой точки систем с комплекснозначными полиномиальными гамильтонианами вида f(z, w) = z2 + Pn(w), n E N раздельно для четного и нечетного п. Отдельно исследован случай морсовской особенности. В частности, для четного п описание слоения сформулировано в следующем предложении.

Предложение 0.0.1. При четномп Е N для любого £ > 0 функция g : v\ —> С, где V4S = {(г, w) Е С2 | \z2 + wn\ < sn, Н < 2е}, g{z, w) = z2 + wn + £0; £0 £ С, эквивалентна функции q = qTl : M* —> С, где = ([0,£n] x S1 x Sl x ([—1, 0] |J[0+, 1]))/ отношение эквивалентности ~ в определении M^ порождено следующими п + 1 отношениями:

Г (г, <р mod 2тг, mod 2тг, 0) ~1>А. (г, у mod 2тг, mod 2тг, 0+), (0, (р mod 27г, ф mod 2-к, Л) (0,0 mod 27Г, ф mod 27г, Л),

0.0.3) где 0 < А; < п - 1, </?mod27r 6 M/2ttZ, t Е [-тг,7г], Л G [-1,0] |J[0+, 1], g(r, </?mod27Г, ф mod27г, /¿) = re^mod27r) + Здесь 0+ := 0 G [0+, 1], 0 := 0 е [-1,0] и g(V4£) = g(M£4) = D2^.

Это предложение имеет следующий "геометрический" смысл. В пространстве Мf каждый слой является несвязным объединением двух полуцилиндров {(г,^тос127г)} х 51 х ([0+, 1] [|[-1,0]), причем первые соотношения формулы (0.0.3) превращает его в сферу с п — 1-ой ручкой и двумя проколами. Второе соотношение ~2 в (0.0.3) отождествляет друг с другом слои вида ({(0,</?тос127г)} х^х ([0+, 1] □[—1,0]))/ (рто&2-к 6 51 (особый слой). Из соотношений в (0.0.3) следует, что на этом слое окружность {(0,0)} х й'1 х {0+} стягивается в точку ("перетяжка" на особом слое). Данное пояснение проиллюстрируем следующими рис. 4 и 5.

Рис. 4: Слой близкий к особому

Рис. 5: Монодромия слоя

Кроме того, в третьей главе описано слоение в окрестности особого слоя систем с комплекснозначными полиномиальными гамильтонианами вида/(;г, w) = z2 -Ь РпИ, п 6 N. Полученная конструкция классификации слоения является четырехмерным аналогам понятия атома, введенного А.Т. Фоменко, то есть окрестности особого слоя, расслоенной на линии уровня гамильтониана и рассматриваемой с точностью до послойной эквивалентности. Атомы были классифицированы в работах А.Т. Фоменко [36], [37], A.B. Болсино-ва [35] и других. Кроме того, в этом случае усложняется конструкция так называемого креста (см. [7]), а склейки не имеют столь наглядного вида. Однако при пересечении v\ окрестности неособого слоя с плоскостью П = {(z, w) е С2 | Im z — 0, Imiü = 0} возникает стандартный крест и атом, см. рис. 6 и 7.

Будем использовать следующие обозначения. Пусть Ln^,iu.jk,E '•= \ к

U U?e) ~ комплексное многообразие с краем, dime i1,.,ik,£ = 1, гомеог=1 ' к морфное М2д6 при п > I, М021Д (J МЦХ1 при четном п = Х)/*, и Md,i,i ПРИ

Рис. 6: Двумерный крест нечетном п = Ъи 9 = - £[§], Л = Ъ = £ М02дд г=1 г=1 г=1 проколотый замкнутый двумерный диск. Тогда верна следующая теорема о полулокальной топологической классификации слоения гиперэллиптической голоморфной функции в окрестности особого слоя с несколькими критическими точками, являющаяся одним из основных результатов третьей главы.

Теорема 4. Пусть Т^0 — особый слой гиперэллиптического многочлена f (г, т) степени п > 2, содержащий ровно к критических точек р\,. ,рк £ причем кратности этих точек равны ¿1—1,., 1, Ь, ■ •., Ь > 2, соответственно. Тогда существует £о > 0 такое, что для любого 0 < е < £о функция е) топологически эквивалентна функции/„,

С. Здесь М^^ = ( У VI,) и (Б1,схЬпА1.,„,е) := Ш ШК**

1 фп,к,1ъ.,1к,е г=1 к —4 п,к,1г,:.,1к,г))/(х ~ Фп,к,к,-,1к,Лх)) получено из несвязного объединения У У11б г=1

2 —4 и х Ьп,к,1и.,1к,Е отождествлением любой точки х £ 1 < г < к, с 2 ее образом фп,к,1ъ.,1к,е{х) € при гомеоморфизме фп,к,11г.,1к,е к 4 2 и ^е х задаваемом формулой г=1

Фп.кМ.-.лА2^) + + £о> тос! 2-тг, sgn 1т^г))} i < к, при li четном, f>n,k,h,-,ikAz>w) '■= {z2 + + «(arg w + fa arg w + 7Г - 2 arg z)) mod 4tt) , z,w) e d+v\i £) 1 < i < к, при k нечетном, а функция /пд,г задается формулами fn,k,hr,.,ik\yi (z, w)=z2 + wli + f0, (z, w) € V4li)£, 1 <i<k, 2

При этом fnAh,.,dK,kM,.,lk,e) =

В пятой главе доказан аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых га-мильтоновых систем с неполным гамильтоновым векторным полем в случае гамильтониана вида f(z, w) = z2 + (w — w\). (w — uin), где Wi Wj, i,j = l,.,n,i^j,B окрестности нулевого слоя.

Доказательство теоремы основано на разрезании окрестности нулевого слоя Т0 = {f(z,w) = 0} на четырехмерные ручки, на каждой из которых вводятся канонические координаты, вычисляются периоды и вид интегральных траекторий на нулевом слое изображен на рисунке. Теорема доказана раздельно для четного и нечетного п. В частности, ниже сформулирована теорема для нечетного п.

Теорема 5 (комплексная теорема Лиувилля). Для С-гамилътоновой системы (С2, dz A dw, /) с функцией Гамильтона f(z, w) = z2 + P2n+i(w) u соответствующего лагранжева слоения (см. определение 3.1.6), где P2n+i(w) = (w-ai). (w-a2n+1), а{ € Ш, i = 1,. ,2n + l, аг < a2 < . < a2n+i, n € N, существует e > 0, такое что выполнены следующие свойства:

1) для любого £ £ С, |£| < г, слой Т^ = /-1(£) является неособым и гомеоморфен сфере с п ручками и одним проколом;

2) лагранжево слоение в четырехмерной е-окрестности £4(То) слоя То тривиально, т.е. послойно гомеоморфно прямому произведению слоя То на открытый двумерный диск = {£ € С | |£| < е);

3) в окрестности U£(Tq) существуют 2п голоморфных функций h, ■ • • , In, J\i • ■ • : Jn Ue(To) —> C, а для каждой четырехмерной е-ручки G£ik С t/£(To), к = 1,.,тг, существует голоморфное вложение (задаваемое при к > 1 "комплексными координатами действие-угол")

Г С х (С/2тг2), 2 <к<щ

Ак*, <Pk mod 2тг) : G£>k J у {д} х (^(^(Л))) \ 7h, к = 1,

I ^еДгд где при /с = 1 функция mod 27Г является многозначной аналитической функцией, через := C/27r(Z © обозначен комплексный тор с параметром ^{h) 6 С\К, через 7/х С обозначен образ прямолинейного отрезка С С (вырождающегося в точку в случае п = 1, см. п.б) ниже) при проекции С —> и через

Pg(^tt))) \7/i обозначено пополнение "надрезанного тора" \

7/j относительно римановой метрики dipid(p\, со следующими свойствами: а) каждая функция Ik, Jk : U£(То) —> С является голоморфной функцией Ik = Ik(f) и Jk = Jk(f) от f без критических точек, ее мноэюество значений

De,k := Ik{Ue{То)) = h(G£,k), D£;k := Jk(U£(T0)) - Jk{GeJe) С С открыто в С и гомеоморфно открытому кругу, она выражается в окрестности (То) через любую другую такую функцию формулами

Д = Д(/№)), h = Ik{f(Je))> Jk = Jk(f(Ie)), Jk = Hf{Jt))\ где f{Ik) и f(Jk) — функции, обратные к функциям Ik(f) и Jk{f) соответственно (k = 1,., п); б) при любых к = 1,. ,п и Ik Е DEik множество значений "комплексной координаты угол" щ mod 2-к\ае<кптН1к) получается из некоторой замкнутой области Wkjk с С, ограниченной шестиугольником с вершинами А^Цк), ■ ■ ■, А С (вырождающимся при k = п в параллелограмм с вершинами A^ilk),

Af\lk) = A^\lk), A^\lk) — А^\1к)) и сторонами, соответствующими геодезическим dk{f{Ik)), s2k-i(f{Ik)), s2k-2(f(h)) С Тf{Ik), а также геодезическим s2k{f(Ik)), S2k+i(f(h)) С Ty(/fe) в случае к < п, следующим образом: (i) выкидыванием всех вершин (соответствующих бесконечно удаленной точке P/(ik)), и (И) отождествлением (т.е. склеиванием) при помощи параллельного переноса любой пары сторон, отвечающих одной и той же геодезической (либо dk{f{Ik)), либо si(/(/i)) при k = 1); причем шестиугольник (соответственно параллелограмм при к = п) однозначно задается следующими условиями (см. рис. 4.5, 4.6 при 1 < к < п, I < к = п соответственно):

• шестиугольник (или параллелограмм) dWkjk С С образован тремя парами равных и параллельных сторон, соответствующих следующим геодезическим и получающихся друг из друга следующими сдвигами в плоскости С:

Af\lk)Af\lk) = Alk\lk)A?\lk) = <pk(dk{О),

4\h)Af\lk) = ^(^(0) Af\lk)Af{Ik) =

Af\lk)A%\lk) = <pk(S2k(Z)) Af\lk)Af\lk) = y>fc(WO), k < где £ := f(Ik) € Dq £, через 5 : С —> С обозначен параллельный перенос на вектор 5 е С в плоскости С, s0(£) := si(£)> ътт - ^ (g(4) - +.+(-1 )-gwo),

• при любом k < п выполнено

Af\lk)At\h) = Af\lk)A?\lk) = <^(/(4))Ь := 2т (^(4) - + . + ,

• точка пересечения диагоналей параллелограммаA^\lk)Af\lk)A^{1к)А^(4) равна \{Af\lk) +Af\lk)) = 0 = <pfc(0, a2k(f(Ik))) (откуда точка пересечения диагоналей (вырождающегося в отрезок при к = п) параллелограмма Af\lk)Af\lk)4\lk)Af) {1к) равна \{J$\lk) + A<?\lk)) = к ~ M0,a2k+1(f{Ik))), а при к = 1 центры отождествляемых сторон

-А-2 w/lf^/iji^/!) суть отождествляемые точки±|(jDi(/(/i)))i =

ViQMtth)))); в частности, при k = 1 для любого Д G Дгд образом комплексной угловой координаты tpx mod 27r|G£>inT/(ii) : G£j1 ПТт) -> (Tg(^-(/x))) \ является весь "пополненный надрезанный тор" \ jIt (совпадающий с тором в случае п = 1) за исключением двух точек A^\li), совпадающих друг с другом в случаен, = 1), являющихся "концами линии надреза" и отвечающих бесконечно удаленной точке; в) (йг Л (1и))\оек = сПк А (крк, к = 1,., п; г) переменная "действие" Iк = 1к(1) и функция Зк = имеют вид

2k+l(£) «2fc(0 Ш = \ J >/S - p2n+i(y)dy, л(0 = i J Vt - £ e где в качестве функции v/ берутся ее ветви, такие что ^J—P2n+i(\(a2k + ^2^+1)) >

0 в первом случае, и iyj—P2n+i(§(a2fc-i + а2/г)) < О во втором случае; д) для любых двух ручек G£te, содержащих в своей границе одно и то же семейство геодезических Sj (£), выполнено к = £dtl, причем в случае

1 < А; гг пересечение Ge,k П GE,k+1 является объединением геодезических

Ge,k П С?6|А+1 = (J (s2fc(0 U s2*+i(0) = U (P^tarHWO). и на этом пересечении комплексные координаты уголек mod 2-к и (pk+i mod 2тг связаны друг с другом формулами:

4+1 (С) Wfc+l|s2fc(f) + ^4+1 (О = 4(0 Ыва*(0 ~ т), (О ¥>a+IU*+i(0 - KJ'k+ЛО = 4(0 (v^Lfc+i(0 е) уравнения Гамильтона в координатах (Ik, ^jtmod27r) на ручке G6lk, к = 1,., п, принимают вид: f п • df(Ik) h = и, <рк= ^ ;

4) антиканоническая инволюция С2 —» С2, (z,w) ь-» (—г, гу), сохраняющая Гамильтониан f, переводит каждую четырехмерную е-ручку G£jk в себя, и ограничение этой инволюции на эту ручку в координатах (Ik, Фк mod 2-к) имеет вид (Ik, щ mod27r) (Ik, — tpk mod27r); 1 < k < п.

Автор выражает глубокую и искреннюю признательность своим научным руководителям академику РАН Фоменко Анатолию Тимофеевичу и кандидату физико-математических наук, доценту Кудрявцевой Елене Александровне за постановку задач и помощь в работе. Автор благодарен академику РАН

Аносову Дмитрию Викторовичу, кандидату физико-математических наук, доценту Жеглову Александру Борисовичу, доктору физико-математических наук, профессору Степину Анатолию Михайловичу и доктору физико-математических наук, профессору Шафаревичу Андрею Игоревичу за внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лепский, Тимур Александрович, 2010 год

1. Архангельский Ю.А. Аналитическая механика твердого тела. М.: Наука, 1977

2. Бобенко А.И. Уравнения Эйлера на so(4) и е(3). Изоморфизм интегрируемых случаев. // Функц. анализ и его приложения, 1986, т. 20, вып. 1, с. 64-66

3. Болсинов A.B. Гладкая траекторная классификация интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Матем. сборник, 1995, т. 186, №1, с.3-28

4. Болсинов A.B. О классификации гамильтоновых систем на двумерных поверхностях. // УМН, 1994, т. 49, вып. 6, с. 195-196

5. Болсинов A.B., Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче Якоби. // Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т. 2, №1, с. 64-74

6. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Геодезические потоки на сфере, порожденные системами Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела. // Матем. заметки, 1994, т. 56, №2, с. 139-142

7. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: ИД "Удмуртский университет", 1999

8. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Траекторная классификация интегрируемых систем типа Эйлера в динамике твердого тела. // УМН, 1993, т. 48, вып. 5, с. 163-164

9. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений М.: Наука, 1979

10. Васильев В.А. Ветвящиеся интегралы. М.: МЦНМО, 2000

11. Горячев Д.Н. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае А = В = АС. // Матем. сборник, 1900, т. 21, №3

12. Зотов В.В., Шафаревич А.И. Интегрируемые гамильтоновы системы с инвариантными поверхностями произвольного рода и их квазиклассическое квантование. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 2005, т. XXVI, с. 285-301

13. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Издательство МГУ, 1980

14. Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем. // ДАН СССР, 1979, т. 249, №6, с. 1299-1302

15. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир, 1971

16. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем. // Функц. анализ и его приложения, 1978, т. 12(2), с. 49-59

17. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли. // Известия АН СССР, сер. матем., 1978, т. 42, №2, с. 396-415

18. Ошемков A.A. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы имнтегрируемых случаев динамики твердого тела на SO{4). // УМН, 1990, т. 42, вып. 2, с. 199-200

19. Ошемков A.A. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1993, т. XXV, с. 23-109

20. Тайманов И.А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков. // Матем. заметки, 1988, т. 44, вып. 2, 283-284

21. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли. // УМН, 1984, т. 39, вып. 2, с. 3-56

22. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем. // УМН, 1989, т. 44, вып. 1, 145-173

23. Фоменко А.Т, Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем. // Известия АН СССР, сер. матем., 1991, т. 55, №4, с. 747-779

24. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. // ДАН СССР, 1986, т. 287, №5, с. 1071-1075

25. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю. // Функц. анализ и его приложения, 1988, т. 22, вып. 4, с. 38-51

26. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях. // Функц. анализ и его приложения, 1991, т. 25, вып. 4, с. 23-35

27. Форстер О. Римановы поверхности М.: Мир, 1980

28. Хартсхорн Р. // Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981

29. Хованский А.Г. Многогранники Ньютона и род полных пересечений. // Функц. анализ и его приложения, 1978, т. 12, вып. 1, с. 51-61

30. Хованский А.Г. Многогранники Ньютона и торические многообразия. // Функц. анализ и его приложения, 1977, т. 11, вып. 4, с. 56-67

31. Adler М., van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves and linialization Hamiltonian systems, Jacobi varites and representation theory. // Adv. math., 1980, v. 30, pp. 267-379

32. Adler M., van Moerbeke P. The Kowalewski and Henon-Heiles motions as Manakov geodesic flows on S'0(4). A two-dimensional family of Lax pairs. // Somm. math. phys. 1988, v. 113, №4, pp. 659-700

33. Bates L. Monodromy in the champagne bottle. // Journal of app. math, and phys., 1991, v. 42, pp. 837-847

34. Bates L., Lerman E. Proper group actions and symplectic stratified spaces. // Pacific J. Math., 1997, v. 181(2), pp. 201-229

35. Bolsinov A.T. Fomenko's invariants in the theory of integrable Hamiltonian systems. // Topology and Applications. International Topological Conference dedicated to P.S. Alexandroff's 100-th birthday. Moscow, Phasis, 1996, pp. 27-34

36. Fomenko A.T. Rough classification of integrable Hamiltonians on four-dimensional symplectic manifolds. // In: "from Topology to Computation". Proceedings of the Smalefest., 1993, Springer-Verlag, pp. 561-586

37. Gavrilov L. Complex geometry of Lagrange top. // Prepublication №61 du Laboratorie de Mathématiques Emile Picard. Université Toulouse 111,1995

38. Gordon W. On the Completeness of Hamiltonian Vector Fields. // Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 26, No. 2 (Oct. 1970), pp.329-331

39. Matsumura H. Commutative algebra. New York: W.A. Benjamin Co., 1970

40. Nguen T.Z. Singularities of integrable geodesic flows on multidimensional torus and sphere. // Journal of geometry and physics, 1996, v. 18, issue 2, pp. 147-162

41. Nguen T.Z., Polyakova L.S. A topological classification of integrable geodesic flows of the two-dimensional sphere with quadratic in momenta additional nitegral. // Journal of nonlinear scinces, 1992, v. 6, pp. 85-108

42. Novikov S.P. Dynamical Systems and Differential Forms. Low Dimensional Hamiltonian Systems. // Contemporary mathematics, v. 469, pp. 271-288

43. Novikov S.P. Topology of Generic Hamiltonian Foliations on Riemann Surfaces. // Moscow Math. J., 2005, v. 5(3), pp. 633-667

44. Thom R. L'équivalence d'une fonction différentiable et d'un polynome // Topology, 1965, v. 3(2), pp. 297-307Работы автора по теме диссертации

45. Лепский Т.А. Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с комплексным полиномиальным гамильтонианом малой степени. // Матем. сборник, 2010, т. 201, №10, с. 109-136.

46. Кудрявцева Е.А., Лепский Т.А. Топология лагранжевых слоений интегрируемых систем с гиперэллиптическим гамильтонианом. // Матем. сборник, 2011, т. 202, №3, с. 69-106.

47. Лепский Т.А. Оператор монодромии интегрируемой системы (К4,о>,#) в условии неполноты кососимметричных векторных полей. // Вестник МГУ, 2006 №6, с. 6-10.

48. Лепский Т.А. Фазовые потоки гамильтоновой системы (К4, и;, // Тезисы XVIII международной летней школы современных проблем теоретической и математической физики Волга-2006, Казань, 2006, с. 54.

49. Лепский Т.А. Оператор монодромии интегрируемой системы (М4, и, Н) в условии неполноты кососимметричных векторных полей, // Труды Воронежской зимней математической школы-2006, Воронеж, 2006, с. 117-128.

50. Лепский Т.А. Группы монодромии некоторых систем, в условии неполноты полей. // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы-2006, Воронеж, 2006, с. 58.

51. Лепский Т.А. Топология неособого слоя интегрируемой гамильтоновой системы и особенности векторного поля косой градиент в условии неполноты. // Тезисы докладов Воронежской математической зимней школы-2010, Воронеж, 2010, с. 97.