Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Григорьев, Сергей Вадимович

• Григорьев, Сергей Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григорьев, Сергей Вадимович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ФЕРРОИКАХ.

ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ФЕРРОИКАХ.

ГЛАВА 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ФАЗОВЫЕ

ПЕРЕХОДЫ В КРИСТАЛЛАХ.

ГЛАВА 4. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДОМЕННЫХ ГРАНИЦАХ

ФЕРРОМАГНЕТИКОВ.

ГЛАВА 5. ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ НА СТРОЕНИЕ

И СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фазовые переходы в кристаллах черно-белой группы симметрии»

Актуальность темы

Термодинамический метод исследования различных фазовых переходов в кристаллах в настоящее время нашел широкое применение. Он, как правило, является первым шагом объяснения результатов экспериментального исследования общих свойств и особенностей фазового перехода в каждом конкретном веществе. Система соотношений между различными физическими характеристиками вещества, находящимися в условиях фазового перехода, которая получена в рамках термодинамического метода, позволяет развить классификацию всей совокупности фазовых переходов. Это дает возможность исследователю по относительно небольшому числу экспериментальных данных понять существенные черты фазового перехода в каждом конкретном случае и проводить осознанное планирование дальнейших исследований. Наиболее важной классификацией фазовых переходов является выделение совокупности фазовых переходов первого и второго рода. В другой классификации принято разделение фазовых переходов на собственные и несобственные. В результате, осмысливание экспериментальных данных методами термодинамики позволяет выработать отправные точки для последующего установления микроскопического механизма фазового перехода в конкретном материале.

Среди всей совокупности фазовых переходов в кристаллических твердых телах большую часть составляют структурные фазовые переходы. Определяющим признаком структурного фазового перехода является факт изменения системы элементов симметрии кристалла в результате фазового перехода. Для исследования структурных фазовых переходов термодинамическими методами важно установить физический смысл макроскопического параметра порядка, являющегося базовой характеристикой состояния вещества при фазовом переходе. Для описания закономерностей нелинейных явлений в кристаллах удобными макроскопическими характеристиками являются тензоры различного ранга. Ранг и симметрия по отношению к обращению времени тензорного параметра порядка служат еще одним основанием для классификации структурных фазовых переходов. Поскольку число групп точечной симметрии кристаллов ограниченно, существует возможность дать полный список возможных фазовых переходов с изменением точечной группы и их полную классификацию по этим признакам. Аналогичный подход применим и для указания возможных структурных фазовых переходов в доменных границах ферроиков различных типов.

Важным аспектом в физике фазовых переходов являются несобственные фазовые переходы. В сегнетоэлектрических материалах физические представления о них давно разработаны и обнаружено большое количество кристаллов, претерпевающих такие переходы. В магнитных кристаллах этой работы не проводилось. Поэтому вопрос о возможных несобственных фазовых переходах с участием магнитной компоненты остается открытым.

Применение черно-белых групп оказывается весьма плодотворным в исследованиях диссипативных процессов в кристаллах, отражающих их сим-метрийные свойства. Такое направление исследований можно использовать для построения физической картины различных зависимостей в этих процессах.

Ферроики являются теми материалами, в которых сильно выражены нелинейные свойства. Поэтому они представляют собой интересные объекты исследования различных нелинейных эффектов. Успехи в развитии физики в этом направлении сулит построение приборов электроники нового поколения, в которой предполагается широкое использование нелинейных свойств материалов.

Цель и задачи работы

Целью работы явилась разработка и применение новых теоретических методов исследования термодинамических потенциалов кристаллических ферроиков. Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи: получение полного списка представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и нахождение тензорных базисов и характеров для всех представлений; выделение тензорных базисов представлений минимального ранга и на их основе получение описания всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах; указание типов параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах и нахождение возможного физического смысла для каждого параметра порядка; нахождение полного списка возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла, а также зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии; определение возможных фазовых переходов в доменных границах ферромагнетиков и получение списка групп симметрии 180°-ных доменных границ для всех групп симметрии кристаллов; разработка метода описания состояния вещества при протекании дисси-пативных процессов, основанная на использовании диссипативной функции как t-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.

Научная новизна

В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: составлен полный список всех возможных структурных фазовых переходов в магнитных кристаллах; получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы и найдены тензорные базисы и характеры для всех представлений; указаны типы параметров порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах, и найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка; получена классификация возможных фазовых переходов в 180°-ных доменных границах для всех групп симметрии кристаллов; получен полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла; получены зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии; разработан метод нахождения характеристик кристалла при протекании диссипативных процессов, основанный на использовании диссипативной функции как t-нечетного скаляра, являющегося базисом соответствующего представления точечной черно-белой группы кристалла.

Практическая значимость работы

Полный список возможных фазовых переходов в магнитных ферроиках будет способствовать интерпретации экспериментальных закономерностей в каждом конкретном случае фазовых переходов, описанию нелинейных явлений в этих кристаллах и влиянця внешних силовых полей.

Наличие полного списка возможных несобственных фазовых переходов в сегнетоэлектриках - ферромагнетиках позволит провести целенаправленный экспериментальный поиск таких кристаллов.

Результаты исследования фазовых переходов в доменной границе могут быть использованы при интерпретации эффектов, обусловленных строением и движением доменных границ в ферроиках.

Закономерности и теоретико-групповой метод исследования диссипативных явлений в кристаллах позволит построить теоретические модели этих явлений в кристаллах различной симметрии.

Полное описание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах заслуживает его внедрения в учебных курсах для специальностей соответствующего профиля.

Положения, выносимые на защиту: полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллических магнитных ферроиках без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки, соответствующие параметры порядка и тензорные базисы представлений, по которым они преобразуются; тензорные базисы представлений минимального ранга, на основе которых получено описание возможных' структурных фазовых переходов в кристаллах. Минимальный ранг тензорного базиса не превышает трех. Указаны 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка; в кристаллах черно-белой группы симметрии возможны несобственные фазовые переходы, в которых вектор намагниченности выступает в качестве основного, а вектор поляризации - вторичного параметра порядка, и наоборот. Указан список представлений и компонент этих векторов для всех черно-белых групп кристаллов; в 180°-ных доменных границах кристаллических ферромагнетиков возможны фазовые переходы следующих типов: магнитные, сегнетоэлектриче-ские, сегнетоэластические, двухкомпонентные (магнитные-сегнето-электрические, сегнетоэлектрические-сегнетоэластические), тороидальные; метод, основанный на применении диссипативной функции в качестве базиса представления черно-белых групп, позволяет исследовать влияние дисси-пативных процессов на строение кристалла. Наличие диссипативных процессов, в частности, может привести к появлению зависимости намагниченности от четвертой степени напряженности электрического поля.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 4-ом Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003), на 1-ой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке и технике» (Абхазия, Пицунда, 2005), на 41 -44 конференциях профессорско-преподавательского состава, студентов, аспирантов и сотрудников ВГТУ (Воронеж, 2001 - 2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Личный вклад автора

Автор диссертации являлся фактическим исполнителем всех поставленных задач, проводил вывод формул, представленных в работе, давал физическую интерпретацию получающимся результатам, участвовал в их обсуждении, проводил подготовку научных текстов для печати.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографического списка из 88 наименований, приложения. Работа изложена на 80 страницах, включает 72 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Григорьев, Сергей Вадимович

В заключение сформулируем основные результаты и выводы настоящей f главы.

1. Был получен полный список представлений всех классов точечной черно-белой кристаллографической группы. Найдены тензорные базисы и характеры всех представлений.

2. Выделены тензорные базисы представлений минимального ранга и на их основе получено описание возможных структурных фазовых переходов в кристаллах. Показано, что минимальный ранг тензорного базиса не превышает трех. Указаны 15 типов параметра порядка, которые могут возникать в результате структурных фазовых переходов в кристаллах. Найден возможный физический смысл для каждого параметра порядка.

3. Указана необходимость расширения списка справочных данных о кристалле, испытывающего структурный фазовый переход. Такими дополнительными данными являются коэффициенты в линейных соотношения между отдельными компонентами тензоров, входящих в список базиса представления группы, в соответствии с которым происходит структурный фазовый переход.

4. Отметим, что приведенное выше описание основано на симметрийных принципах. Список отличных от нуля параметров порядка зависит от реального положения атомов в кристаллической решетке и от взаимодействия между электронами, что необходимо принимать во внимание для каждого конкретного кристалла.

ГЛАВА 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

В КРИСТАЛЛАХ

В данной главе предполагается на основе тензорных базисов представлений точечной черно-белой группы симметрии кристаллов и с использованием таблицы умножения неприводимых представлений найти полный список возможных несобственных фазовых переходов, в результате которых появляется поляризация и намагниченность кристалла. А также указать зависимости вторичного параметра порядка от основного для различных классов группы симметрии.

Представления о несобственных фазовых переходах были введены при исследовании сегнетоэлектрических кристаллов. На возможность появления поляризации в результате фазового перехода с укрупнением ячейки кристаллической решетки впервые указал Инденбом [64], термин "improper phase transitions", переведенный на русский язык как "несобственные фазовые переходы", был введен в статье [65]. Теоретическому и экспериментальному исследованию закономерностей несобственных фазовых переходов посвящено большое количество статей (см., например, [66-70]). В результате в 70-х годах в науке о сег-нетоэлектричестве физика несобственных фазовых переходов выделилась как некоторое узкое научное направление.

В большинстве кристаллов, испытывающих несобственный фазовый переход, в качестве основного параметра порядка выступает амплитуда некоторой оптической моды колебаний атомов. Вторичным параметром порядка является вектор поляризации. Однако, как показано в [71], существуют кристаллические классы белой группы, в которых основными параметрами порядка являются макроскопические характеристики, такие как компоненты тензора деформации, вектора поляризации, углы поворота атомных групп в ячейке кристалла. Такие несобственные фазовые переходы происходят без изменения числа атомов в ячейке кристалла. Изображения возможных направлений вектора спонтанной поляризации после таких несобственных фазовых переходах даны в работе [72]. Кристаллографические классы, допускающие наличие макроскопического магнитного и сегнетоэлектрического моментов одновременно, указаны в работах Шувалова и Белова [73]. Вопрос о возможных несобственных магнитных фазовых переходах до настоящего времени не ставился. Это связано с очевидным отсутствием в серой группе инварианта, представляемого произведением компоненты t-нечетного аксиального вектора намагниченности и квадрата какого-либо другого параметра порядка. Как будет видно ниже, в черно-белых группах инварианты такого типа возможны, что позволит предположить существование несобственных магнитных фазовых переходов в кристаллах. В настоящей главе будут указаны кристаллографические классы кристаллов черно-белой группы симметрии, в которых возможны такие переходы, в результате которых возникает поляризация и намагниченность кристалла.

Были рассмотрены все кристаллографические классы кристаллов черно-белой группы симметрии. Для каждого класса будут указаны тензорные базисы представлений и выбраны те представления, базисы которых содержат компоненты полярного вектора поляризации и аксиального вектора намагниченности. Используя, таблицу умножения представлений, будут получены инварианты, ответственные за появление несобственных фазовых переходов. Результаты представлены в таблице 2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григорьев, Сергей Вадимович, 2005 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. -М.: Физматлит, 2002.-616 с.

2. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайник Н.Н., Пасынков Р.Е., Шур М.С. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики.-Ленинград: Наука, 1971. - 476 с.

3. Иона Ф., Шираке Д. Сегнетоэлектрические кристаллы.- М.: Мир, 1965.— 555 с.

4. Лайнс М., Гласе А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. - М.: Мир, 1981.-736 с.

5. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектриков.- М.: Физматлит, 1995.-301 с.

6. Толедано Ж,-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов.- М.: Мир, 1994.-461с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т.- М.: Наука, 1982.-Т. В.-620 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т.- М.: Наука, 1976.-Т. 5.-583 с.

9. Лифшиц Е.М.-ЖЭТФ, 1941, т. 11, с. 255; т.П, с. 269.

10. Лифшиц Е.М. -ЖЭТФ, 1944, т. 14, с. 353.

11. Любарский Г.Я. Теория групп и физика. - М.: Наука, 1986.

12. Дзялошинский И.Е. Модулированная магнитная структура одноосных антиферромагнетиков.- ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 992.

13. Дзялошинский И.Е. К теории экситона Мотта в сильном магнитном поле- ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 1352.

14. Дзялошинский И.Е. Термодинамическая теория «слабого» ферромагнетизма антиферромагнетиков.- ЖЭТФ, 1957, т. 32, с. 1547.

15. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомов в элементарной ячейке кристалла.- Изв. АН СССР, сер. Физ., 1960, т. 24, с.1180.

16. Леванюк А.П., Санников Д.Г. О близких по температуре фазовых переходах второго рода.- ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 256.

17. Леванюк А.П., Санников Д.Г. - ФТТ, 1970, т. 12, с. 2997.

18. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Несобственные сегнетоэлектрики.- УФЫ, 1974, т. 112, с. 561.

19. Dvorak V. Dynamic Phenomena in Ferroelectric-semiconductors.- Ferroelec- trics, 1974,v. 7, p. 1.

20. Леванюк А.П., Санников Д.Г. - Письма в ЖЭТФ, 1970, т. II, с. 68.

21. Леванюк А.П., Санников Д.Г. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1109.

22. Aizu К. Progress of Theoretical Physics-J. Phys. Soc. Jap., 1978, v. 44, p. 683.

23. Инденбом В.Л. - Кристаллография, 1956, т. 5, с. 115.

24. Желудев И.С, Шувалов Л.А. - Кристаллография, 1956, т. I, с. 681.

25. Желудев И.С. - Симметрия и ее приложения. - М.: Атомиздат, 1976.

26. Birman J. Estimates for the singular numbers of integral operators.- Phys. Rev. 1.ett., 1966, V. 17, p. 1216.

27. Гуфан Ю.М. Фазовые переходы второго рода - ФТТ, 1971, т. 13, с. 225.

28. Гуфан Ю.М. - ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1537.

29. Гуфан Ю.М. Термодинамическая теория фазовых переходов. - Ростов: Изд-во Ростовск. ун-та, 1982.

30. Toledano J.C., Toledano P. The Landau Theory of Phase Transition - Phys. Rev. B, 1980, V. 21, p. 1139.

31. Michel L. The symmetry and renormahzation group fixed points of quartic Hamiltonian, 1981,

32. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме- ФТТ, 1960, т. 2, с. 2031.

33. Леванюк А.П. - ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 810.

34. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - М . : Наука, 1984.

35. Cowley R.A. Structural Phase Transitions - Adv. in Phys., 1980, v. 29, p.l .

36. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. — М.: Наука, 1975.

37. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомов в элементарной ячейке кристалла- Кристаллография, 1960, т. 5, с. 115.

38. Леванюк А.П., Санников Д.Г. Несобственные сегнетоэлектрики - УФН, 1974, т. 112, с. 115.

39. Aizu К. Evaluation of retinal blood flow using time-varying laser speckle - J. Phys. Soc. Jap., 1978, v. 44, p. 683.

40. Aizu K. Possible Species of Ferromagnetic, Ferroelectric and Ferroelastic Crystals-Phys. Rev., 1970, V. 132, p. /54.

41. Ascher E. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Phys- Helv. Phys. Acta, 1966, v. 39, p. 466.

42. Janovec V. System is under an anisotropic influence of "environment"- Czech. J. of Phys. B, 1972, V. 22, p.974.

43. Спенсер Э. Теория инвариантов. - М.: Мир, 1974.

44. Спрингер Т.Э. Теория инвариантности. - М.: Наука, 1981.

45. Smith G.F., Rivlin R.S. The anisotropic tensors. - Arch. Rat. Mech. Ahal., 1963, V. 12,p.93.

46. Грин A., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965.

47. During W. - Ann. Phys., 1958, v. 7, p. 104.

48. Гуфан Ю.М. - ФТТ, 1971, т. 13, с. 225.

49. Гуфан Ю.М., Сахненко В.П. - ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 1909.

50. Michel L., Morzymas J. Physics on and near caustics - In: Lectures Notes in Physics, ed. Kramer P. and Rieckers A. Springer, Berlin, 1978, v. 79, p. 447.

51. Janovec V., Dvorak V., Petzelt J. - Czech. J. Phys. B, 1975, v. 25, p. 1362.

52. Кинев В.Д., Найш B.E., Сыромятников В.Н. Построение целого рацио- нального базиса инвариантов для структурных и магнитных фазовых переходов - Физ. метал, и металловед., 1980, т. 49, с. 241,

53. Лайнс М., Глас А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. - М.: Мир, 1981.

54. V. А. Adamov, В. М. Darinskii and М. N. Chaplygin, Condensed Media and Interface Boundaries, 5, №5 (2003). (in Russian)

55. L. D. Landau and E. M. Lifshits, Statistical Physics. (London, 1958).

56. G. A. Smolenskii, V. A. Bokov, V. A. Isupov et al. Ferroelectrics and Related Materials (Gordon and Breach, New York, 1984).

57. Григорьев СВ., Даринский Б.М. Термодинамическое описание магнитных ферроиков// 4 Междунар. семинар по физике сегнетоэластиков: сб. тез. докл. -Воронеж.-2003.-С. 14..

58. G.Ya. Lubarskii, The Application of Group Theory in Physics. (London, 1960).

59. Yu. A, Izyumov and V.N. Syromyatnikov, Fazovye perehody i simmetriya kristallov (Nauka, Moskva, 1984). (in Russian)

60. Адамов B.A., Даринский Б.М., Чаплыгин М.Н. Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии // Конденсированные среды и межфазные границы.-2003.-Т.5.-№3.-С.297-3 02.

61. E.V. Byrsian, 0.1. Zaikovsky and K.V. Makarov, J. Phys. Soc. Jap. 28, Suppl., 416(1970).

62. D. G. Sannikov, Isomorphous phase transitions in ferroelectrics Ferroelectrics, 219, 177 (1998).

63. K. S. Aleksandrov and B. V. Beznosikov. Perovskitopodobnye kristally. (Nauka, Novosibirsk, 1997). (in Russian)

64. Инденбом B.L. // Кристаллография. 1960. Т. 5. № 2. 115.

65. Dvorac V, Petzelt J. // Phys, Lett. 1971. V. A35. P. 209,

66. Aizu K. // Phys. Rev. 1964. V. A136. P. 753.

67. Гуфан Ю.М., Сахненко П.В. // ФТТ. 1972. Т. 14. 1915.

68. Леванюк Ф.П., Санников Д.Г. // УФН. 1980. Т. 132. 694.

69. Toledano Р., Toledano J-C. // Phys. Rev. 1976. V. В14. P. 3097.

70. Toledano P., Toledano J-C. // Phys. Rev. 1992. V. B25. P. 1946.

71. Janovec V., Dvorac V., Petzdt J. // Chech. J. Phys. 1972. В 25. P. 1362.

72. Adamov V.A., Darinsky B.M., D'jachenko A.A., Shuvalov L.A. // Joum. Korean Phys. Soc. 1998. V.32. P. S740.

73. Шувалов Л.A., Белов Н.В. // Кристаллография. 1962. Т. 7. К^ 2. 192.

74. Григорьев СВ., Даринский Б.М. Несобственные ферромагнитные фазовые переходы в кристаллах // Кристаллография. -2005.-Т. 50.-№ 5.-С. 876-879.

75. Богданов А.Н., Галушко В.А., Телепа В.Т., Яблонский Д.А. // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 40. 453.

76. Богданов А.Н., Телепа В.Т., Шатский П.П., Яблонский Д.А. // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 90. 1738.

77. Галкина Е.Г., Завадвский Е.А., Кащенев В.И. и др. // ФТТ. 1986. Т. 28. С 1723.

78. БульбичА.А.,ГуфанЮ.М.//ЖЭТФ. 1988. Т. 94. В. 6. 121.

79. Bulbich А.А., Gufan Yu.M. // Ferroelectrics. 1989. V. 98. P. 277.

80. Даринский Б.М., Дьяченко A.A., Сапронов Ю.И., Чаплыгин М.Н. // Известия РАН. Сер.физ. 2004. Т. 68. №.7. 920.

81. Даринский Б.М., Чаплыгин М.Н. // Системы управления и информационные технологии. 2005. № 1. 85.

82. Барьяхтар В. Г., Львов В.А., Яблонский Д.А. // ЖЭТФ. 1984. Т. 87. В. 5(11). 1863.

83. Darinskii В. М., Grigoriev S. V. // Ferroelectrics. 2004. V. 307. P. 77.

84. Sannikov D. G. // Ferroelectrics. 1998. 219. P. 177.

85. Lubarskii G. Ya. The Application of group Theory in Physics. London. 1960.

86. Изюмов Ю.А., Сыромятников М.Т. Фазовые переходы и симметрия в кристаллах. М. Наука. 1984. 247стр.

87. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М. Мир. 1973. 383 стр.

88. Григорьев СВ., Даринский Б.М. Влияние диссипативных процессов на строение и свойства кристаллов // Конденсированные среды и межфазные границы. 2005.-Т. 7. -№ 3. -С. 240-243.