Эффективные алгоритмы, основанные на вычислении оценок, с прямоугольными опорными множествами, для задач распознавания изображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Нефёдов, Алексей Валентинович

• Нефёдов, Алексей Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нефёдов, Алексей Валентинович

Введение.

ГЛАВА 1. Алгоритмы вычисления оценок.

1.1. Определение модели АВО.

1.2. Обзор эффективных формул для модели АВО.

1.2.1. Системы опорных множеств комбинаторного типа.

1.2.2. Системы опорных мйожеств, являющиеся интервалами булева куба.

1.2.3. Симметрические функции близости.

1.2.4. Ранги систем опорных множеств.

1.2.5. Абсолютно симметрические системы опорных множеств.

1.2.6. Атомарные системы опорных множеств.

1.3. Общая характеристика результатов исследований модели АВО.

ГЛАВА 2. Алгоритмы вычисления оценок с двухмерными опорными множествами.

2.1. Определение модели ДАВО.

2.2. Специфика задачи распознавания изображений.

2.3. Эффективные алгоритмы ДАВО с прямоугольными опорными множествами.

2.4. Эффективные алгоритмы ДАВО с опорными множествами, являющимися композицией прямоугольников.

2.5. Эффективные алгоритмы ДАВО с прямоугольными опорными множествами и функциями близости, зависящими от двух опорных множеств

2.5.1. Функции близости, зависящие от двух опорных множеств.

2.5.2. Эффективный способ вычисления оценок для функции близости Bl(fblSli&2S2).

2.5.3. Подстановки, обладающие а-свойством относительно системы опорных множеств.

2.5.4. Эффективный способ вычисления оценок для функции близости B2(&iSl,(b2S2) и множества G, обладающего а-свойством.

ГЛАВА 3. Многошаговые процедуры поиска.

3.1. Задача поиска шаблона на растре. Многошаговые процедуры поиска.

3.2. Эффективные двухшаговые процедуры поиска прямоугольника.

3.3. Одномерная задача поиска прямоугольника. Элементарные двухшаговые процедуры поиска.

3.4. Условия оптимальности процедуры Fcr для одномерной задачи поиска прямоугольника.

3.5. Нижняя оценка сложности двухшаговой процедуры одномерного поиска прямоугольника.

ГЛАВА 4. Вычислительные эксперименты.

4.1. Предварительные замечания.

4.2. Модельные задачи.

4.3. Гематологическая задача.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные алгоритмы, основанные на вычислении оценок, с прямоугольными опорными множествами, для задач распознавания изображений»

Задача распознавания (классификации) образов заключается в отнесении объекта к тому или иному классу объектов на основе прецедентной информации, заданной совокупностью объектов с известной классификацией. Объекты представлены своими признаковыми описаниями - как правило, векторами или матрицами чисел; природа объектов может быть самой разной (предмет, состояние, ситуация, процесс и т.д.). Характерной чертой задачи распознавания образов является то, что решение о классификации объекта необходимо принять на основе неформализованной, неполной, косвенной, разнородной, иногда противоречивой информации.

Можно утверждать, что с задачами распознавания образов человек сталкивался с древнейших времен, начиная с первых шагов своего развития. Сегодня, в эпоху информационных технологий, задачи распознавания образов возникают и успешно решаются в самых различных областях человеческой деятельности - в медицине, экологии, социологии, геологии, в технике и на производстве, в военных разработках, криминалистике, управлении, и т.д. Начиная с первой половины прошлого века - времени зарождения математической теории распознавания образов, - создано и исследовано большое количество разнообразных методов и подходов к решению этих задач.

В целом, можно выделить пять основных типов алгоритмов распознавания образов [17]:

1) алгоритмы, основанные на принципе разделения [37, 30],

2) статистические алгоритмы [37, 3],

3) алгоритмы, основанные на принципе потенциалов [1],

4) алгоритмы, основанные на исчислении высказываний [5],

5) алгоритмы, основанные на вычислении оценок [19, 22].

Алгоритмы первого типа основаны на построении в признаковом пространстве, соответствующем числовым описаниям объектов, гиперплоскости (или более сложной поверхности), разделяющей объекты разных классов. Эти алгоритмы различаются типами разделяющих поверхностей и методами их построения.

Статистические алгоритмы принимают решение о классификации объекта на основе тех или иных принципов математической статистики. Как правило, используется информация о вероятностных характеристиках классов, например, соответствующие функции распределения.

В алгоритмах третьего типа для определения меры сходства объектов используется функция близости, значение которой пропорционально произведению "масс" объектов (определяемых, например, соответственно степени их представительности), и обратно пропорционально расстоянию между их описаниями в признаковом пространстве.

В алгоритмах, основанных на исчислении высказываний, объекты описываются логическими переменными, а классы объектов - булевыми соотношениями между этими переменными. Классификация объекта сводится к проверке для его описания булевых условий, описывающих классы.

Для решения большого количества задач распознавания образов успешно использовалась предложенная Ю.И.Журавлёвым модель алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок (модель АВО). Модель описывает вычислительную структуру алгоритма распознавания, работающего с одномерными признаковыми описаниями объектов (числовыми векторами), и параметры, которые необходимо задать для определения конкретного алгоритма в модели.

Алгоритм АВО классифицирует объект в два этапа. На первом этапе строится вектор оценок объекта по заданным классам; на втором этапе на основе этого вектора принимается решение о зачислении объекта в тот или иной класс. Обычно объект заносится в класс, по которому получена максимальная оценка. Оценка объекта по классу вычисляется на основе последовательного сравнения и вычисления меры сходства признакового описания объекта с признаковыми описаниями объектов обучающей выборки, принадлежащих этому классу. Метод вычисления меры сходства между классифицируемым объектом и прецедентом основан на сравнении значений различных комбинаций признаков двух объектов или, другими словами, на сравнении различных фрагментов их признаковых описаний.

Модель АВО оказалась весьма полезной не только для решения прикладных задач, но также и для теории распознавания образов, где на её примере было предпринято первое глубокое исследование возможностей некорректных (эвристических) алгоритмов обработки данных.

Одной из важных задач, связанных с практическим использованием модели АВО, является задача уменьшения вычислительной сложности алгоритмов для различных типов параметров модели. Алгоритмы с практически приемлемой вычислительной сложностью строятся на основе эффективных формул вычисления оценок, моделирующих работу алгоритма -формул вычисления оценок близости распознаваемых объектов и прецедентов. Параметрами АВО, существенно влияющими на сложность формул вычисления оценок, являются система опорных множеств и вид функции близости. Система опорных множеств представляет собой набор подмножеств признаков, по которым распознающий алгоритм производит сравнение описаний объектов; функция близости определяет, будут ли сравниваемые объекты считаться "близкими" или нет. К настоящему времени довольно полно исследованы задачи, связанные с получением эффективных формул вычисления оценок для случая, когда объекты в задаче описываются векторами признаков, а опорные множества представляют части этих описаний. После построения эффективных формул вычисления оценок может быть решена задача выбора в модели алгоритма, экстремального по функционалу качества классификации [12, 11, 14, 16, 20-24, 26-36].

В большом числе задач распознавания образов исходные данные представляют собой изображения или включают их наряду с другими видами данных. Такие задачи обладают рядом существенных особенностей, обусловленных свойствами изображения как носителя информации, и требуют для своего решения использования специальных методов и подходов, изучаемых в рамках теории обработки и анализа изображений.

Модель алгоритмов вычисления оценок по "двухмерной" информации (модель ДАВО) была определена И.Б.Гуревичем как специализация классической модели АВО для задач распознавания изображений, в которых исходным описанием объекта распознавания - изображения - является числовая матрица (матрица пикселов изображения) [7]. Несмотря на то, что эффективные формулы построены почти для всех интересных на практике моделей АВО, эти результаты оказываются неприменимыми для модели ДАВО. Это проиходит потому, что при распознавании изображений использование многих популярных в модели АВО видов опорных множеств оказывается в большинстве случаев лишённым смысла. Вместе с тем, в модели ДАВО с учётом специфики исходного описания изображения в задаче естественным образом возникают новые типы опорных множеств (а также и функций близости), не рассматривавшиеся ранее в исследованиях модели АВО. Этим объяснятся актуальность исследования модели ДАВО с целью построения эффективных алгоритмов с новыми типами опорных множеств и функций близости.

Исследование алгоритмов ДАВО представляет интерес также и в другом аспекте. Все используемые в настоящее время алгоритмы распознавания изображений предназначены для работы с признаковыми описаниями или моделями изображений. При этом в большинстве задач распознавания изображений выбор адекватного признакового описания или модели изображения имеет важнейшее значение для успешного решения задачи и представляет отдельную трудную проблему. В связи с этим представляет интерес исследование алгоритмов распознавания изображений, работающих, напрямую с изображениями и не использующих каких-либо производных описаний изображений. Нам известна только одна модель алгоритмов распознавания, ориентированных на прямую работу с изображениями - модель ДАВО. Алгоритмы модели ДАВО сопоставляют изображения непосредственно по их фрагментам без использования каких-либо признаков.

Настоящая диссертационная работа посвящена постановке и решению математических задач, возникающих в связи с исследованием и эффективной реализацией моделей ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств. В работе провёден аналитический обзор и систематизация результатов, обеспечивающих построение эффективных формул для различных моделей АВО. Предложены новые методы эффективных реализаций алгоритмов ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств и системами опорных множеств, являющихся композицией прямоугольников. Рассмотрены новые типы функций близости, ориентированные на работу с изображениями. Значение этих функций близости вычисляется на основе сравнения независимых фрагментов двух матриц. Предложены эффективные реализации алгоритмов ДАВО с системой прямоугольных опорных множеств и функциями близости нового типа.

Введено определение многошаговой процедуры поиска шаблона на с растре, предназначенной для исследования сложности алгоритмов ДАВО с системами опорных множеств, порождённых шаблоном. Предложены эффективные двухшаговые процедуры поиска прямоугольника, а также метод комбинирования этих процедур для поиска шаблона, представляющего собой объединение прямоугольников. Определены классы двухшаговых процедур, в которых построенные процедуры поиска прямоугольника имеют наименьшую сложность. Получена нижняя оценка сложности двухшаговой процедуры поиска прямоугольника. Впервые при помощи алгоритмов, работающих напрямую с изображениями и не использующих в явном виде какие-либо признаки, решена практическая задача распознавания.

Полученные в диссертационной работе результаты позволяют создавать имеющие приемлемую вычислительную сложность алгоритмы распознавания изображений, не использующие признаков и моделей изображений (традиционного типа).

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Определения, примеры, утверждения, леммы, теоремы, следствия, рисунки и таблицы нумеруются в пределах главы.

В первой главе описывается модель алгоритмов вычисления оценок и рассматриваются примеры наиболее распространённых видов систем опорных множеств и функций близости - основных параметров модели. Вводятся основные обозначения и понятия, используемые в исследованиях АВО. Определяется проблема построения эффективных формул вычисления оценок, т.е. формул, в которых снимается перебор всех опорных множеств, за счёт чего комбинаторная сложность вычисления оценки понижается до сложности, пропорциональной площади обучающей таблицы (т.е. числу прецедентов, умноженному на число признаков). Приводится подробный обзор основных результатов, связанных с построением эффективных формул вычисления оценок в АВО при различных способах задания систем одномерных опорных множеств.

Во второй главе описывается модель ДАВО - специализация модели АВО для случая распознавания изображений. Приводятся специфические особенности задач распознавания изображений, отличающие их от задач распознавания с начальной информацией другого типа. Описывается идея подхода к построению и оценке вычислительной сложности широкого класса алгоритмов ДАВО с опорными множествами, порождёнными произвольным шаблоном, основанного на решении задачи поиска данного шаблона на растре при помощи многошаговых процедур поиска (определение многошаговых процедур поиска даётся в третьей главе диссертации). Предлагается метод эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств с использованием эффективных двухшаговых процедур поиска прямоугольника. На основе комбинированного использования эффективных двухшаговых процедур поиска прямоугольников предлагается метод эффективной реализации алгоритмов с системами опорных множеств, представляющими собой композицию прямоугольников. Для описанных методов эффективной реализации алгоритмов ДАВО даются точные оценки вычислительной сложности, показывающие, что сложность предложенных алгоритмов меньше сложности алгоритмов, основанных на поиске прямоугольника методом перебора (более подробному и полному исследованию сложности введённых двухшаговых процедур поиска прямоугольников посвящена третья глава диссертации). Вводится новый тип функции близости, зависящей от результата сопоставления разных подописаний двух объектов. Рассматриваются примеры функций близости нового типа. Предлагаются эффективные методы вычисления оценок в ДАВО для двух функций близости нового типа.

Третья глава работы посвящена определению многошаговых процедур поиска шаблона на растре и исследованию вычислительной сложности двухшаговых процедур поиска прямоугольника. На процедурах поиска основан предложенный во второй главе подход к реализации алгоритмов ДАВО с опорными множествами, порождёнными заданным шаблоном. Формулируется задача поиска шаблона на растре, вводится определение многошаговой процедуры поиска, рассматриваются её свойства. В рамках введённого формализма для описания многошаговых процедур поиска рассматриваются эффективные двухшаговые процедуры поиска прямоугольника. Определяются классы процедур, в которых построенные эффективные процедуры имеют наименьшую сложность. Приводится нижняя оценка сложности двухшаговой процедуры поиска прямоугольника.

В четвёртой главе описывается применение разработанных алгоритмов ДАВО для решения трёх задач распознавания изображений с двумя классами. Первые две задачи демонстрируют возможности алгоритмов ДАВО различать модельные текстурные изображения, образованные элементами различного размера, структуры и локализации, и легко разделяемые человеком. Третья задача заключается в классификации изображений ядер лимфоидных клеток больных реактивным лимфаденитом и лимфосаркомой. Она демонстрирует возможности алгоритмов ДАВО различать достаточно сложные текстуры реальных изображений, классификация которых уже не является столь простым делом для человека и требует специального обучения и опыта. Основными результатами работы являются:

1. Аналитический обзор и систематизация результатов, обеспечивающих построение эффективных формул для различных моделей АВО.

2. Метод эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств, основанный на двухшаговых процедурах поиска прямоугольника.

3. Метод эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами опорных множеств, представляющих собой композицию прямоугольников, основанный на комбинированном использовании двухшаговых процедур поиска прямоугольников.

4. Методы эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств и функциями близости, зависящими от двух опорных множеств.

5. Формализм, описывающий многошаговые процедуры поиска шаблона на растре, предназначенный для исследования сложности алгоритмов ДАВО с системами опорных множеств, порождённых данным шаблоном.

6. Условия оптимальности эффективной двухшаговой процедуры поиска прямоугольника для одномерной задачи. Нижняя оценка сложности двухшаговых процедур поиска прямоугольника для одномерной задачи.

Возможность практического использования разработанных алгоритмов проиллюстрирована на модельных задачах и на реальной задаче классификации ядер лимфоидных клеток человека.

Результаты диссертационной работы докладывались на

5-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (2000, Самара, ИСОИ РАН),

Всероссийской с участием стран СНГ конференции "Методы и средства обработки сложной графической информации" (2001, Нижний Новгород, НижГУ),

Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2001", "Ломоносов 2003" (Москва, МГУ),

6-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (2002, Великий Новгород, НовГУ), the 13th Scandinavian conference on image analysis (2003, Гётеборг, Швеция, Halmstad University),

6-м Открытом российско-немецком семинаре "Распознавание образов и понимание изображений" (2003, посёлок Катунь Алтайского края),

7-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (2004, Санкт-Петербург, СПГЭУ).

Результаты работы использовались при выполнении проектов РФФИ (98-07-90180, 99-01-00470, 99-07-90411, 00-07-90004, 01-07-06035, 01-07-90016, 02-01-06479, 02-01-00182, 03-01-06294, 03-07-90406), проекта 37.011.11.0016 Федеральной целевой научно-технической программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 20022006 гг., проектов Программы фундаментальных исследований отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" 2003-2005 гг., Комплексной программы научных исследований РАН "Математическое моделирование и интеллектуальные системы" 2001-2005 гг., проекта 03-55-1759 INTAS Young Scientist Fellowship.

По теме диссертации опубликовано 11 работ. Некоторые результаты работы включены в научные отчёты по указанным выше проектам.

В диссертационном исследовании использовались методы дискретной математики и комбинаторного анализа, теории обработки и анализа изображений. Проведены машинные эксперименты, посвящённые исследованию разработанных алгоритмов ДАВО.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Нефёдов, Алексей Валентинович

Заключение

Диссертационная работа посвящена постановке и решению математических задач, возникающих в связи с исследованием и эффективной реализацией моделей ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств. Основными результатами работы являются:

1. Аналитический обзор и систематизация результатов, обеспечивающих построение эффективных формул для различных моделей АВО.

2. Метод эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств, основанный на двухшаговых процедурах поиска прямоугольника.

3. Метод эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами опорных множеств, представляющих собой композицию прямоугольников, основанный на комбинированном использовании двухшаговых процедур поиска прямоугольников.

4. Методы эффективной реализации алгоритмов ДАВО с системами прямоугольных опорных множеств и функциями близости, зависящими от двух опорных множеств.

5. Определение многошаговой процедуры поиска шаблона на растре, предназначенной для исследования сложности алгоритмов ДАВО с системами опорных множеств, порождённых шаблоном.

6. Условия оптимальности эффективной двухшаговой процедуры поиска прямоугольника. Нижняя оценка сложности двухшаговых процедур поиска прямоугольника для одномерной задачи.

Возможность практического использования алгоритмов ДАВО с прямоугольными опорными множествами проиллюстрирована на модельных задачах и на реальной задаче классификации ядер лимфоидных клеток человека.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нефёдов, Алексей Валентинович, 2005 год

1. Айзерман М.А., Браверман Э.М., Розоноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М.: Наука, 1970. - 320 с.

2. Алексанян А.А., Журавлёв Ю.И. Об одном подходе к вопросу построения эффективных алгоритмов распознавания // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. -Т.25. -№ 2. - С.283-291.

3. Вапник В.Н., Червоненкис А .Я. Теория распознавания образов. М.: Наука, 1974.-418 с.

4. Горелик А.Л., Гуревич И.Б., Скрипкин В.А. Современное состояние проблемы распознавания. Некоторые аспекты. М.: Радио и связь, 1985. -160 с.

5. Гуревич И.Б. О выборе ансамбля признаков распознающих систем по принципу распознавания // Автоматика. Киев, 1974. - № 5. - С.43-52.

6. Гуревич И.Б. Проблема распознавания изображений // Распознавание, классификация, прогноз. 1989. - Вып. 2. - С.280-329.

7. Гуревич И.Б. Эффективные распознающие операторы в классе алгоритмов вычисления оценок по двухмерной информации // Цифровые методы в обработке изображений: Межвузовский сборник научных трудов.

8. Свердловск: Изд. Уральского политехнического института им. С.М. Кирова, 1986.-С.З-15.

9. Гуревич И.Б., Журавлёв Ю.И. Минимизация булевых функций и эффективные алгоритмы распознавания // Кибернетика. Киев, 1974. - № 3. -С. 16-20.

10. Докторович А.Б. Задача выбора оптимального алгоритма распознавания в одном классе алгоритмов голосования // Кибернетика. Киев, 1974. - № 4.

11. Дьяконов А.Г. О выборе системы опорных множеств для эффективной реализации алгоритмов распознавания типа вычисления оценок // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т.40. - № 7. - С.1104-1118.

12. Дьяконов А.Г. Эффективные формулы вычисления оценок для алгоритмов распознавания с произвольными системами опорных множеств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. - Т.39. -№11.- С.1904-1918.

13. Енч В. Алгоритм оптимизации параметров одного класса распознающих алгоритмов // Труды Международного симпозиума по практическому применению методов распознавания образов. Изд. ВЦ АН СССР, 1973. -С.23 7-245.

14. Журавлёв Ю.И. Алгоритмы распознавания, основанные на вычислении оценок. Содержательный смысл параметров, задающих алгоритм // Труды Международного симпозиума по практическому применению методов распознавания образов. Изд. ВЦ АН СССР, 1973.

15. Журавлёв Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания или классификации // Проблемы кибернетики. 1978. - Вып. 33. - G.5-68.

16. Журавлёв Ю.И. Экстремальные алгоритмы в математических моделях для задач распознавания и классификации // ДАН СССР. 1976. - Т.231. - № 3. - С.532-535.

17. Журавлёв Ю.И. Экстремальные задачи, возникающие при обосновании эвристических процедур // Проблемы прикладной математики и механики. -1971. С.67-75.

18. Журавлёв Ю.И., Камилов М.М., Туляганов Ш.Е. Алгоритмы вычисления оценок и их применение. Ташкент: Изд. "Фан", 1974.

19. Журавлёв Ю.И., Михалевич B.C. Алгоритмы распознавания, основанные на вычислении оценок для задач с пересекающимися классами // Труды ВЦ Польской АН. Варшава, 1974. - Вып. 145.

20. Журавлёв Ю.И., Никифоров В.В. Алгоритмы распознавания, основанные на вычислении оценок // Кибернетика. 1971. - № 3. - С. 1-11.

21. Задорожный В.В. Алгоритмы вычисления оценок для распознавания изображений // Кибернетика. 1985. - № 1. - С. 103-107.

22. Ищук В.И. О поиске оптимальных весовых коэффициентов для одного класса алгоритмов вычисления оценок // Сборник работ по математической кибернетике. Изд. ВЦ АН СССР, 1976. - Вып.1. - С. 186-194.

23. Камилов М.М. Об оптимизации и некоторых применениях алгоритмов вычисления оценок // Труды Международного симпозиума попрактическому применению методов распознавания образов. Изд. ВЦ АН СССР, 1973.

24. Камилов М.М., Алиев Э.М. Выбор длины голосующих наборов в алгоритмах вычисления оценок // Вопросы кибернетики. Ташкент, 1971. — Вып. 44.

25. Камилов М.М., Алиев Э.М., Ким А.Н. О вычислении в-порогов при распознавании объектов алгоритмами голосования // Вопросы кибернетики. Ташкент, 1971. - Вып. 43.

26. Кульянов Е.Г. Об оптимизации одного класса алгоритмов распознавания // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. - Т. 14. - № 3. - С.756-767.

27. Мазуров В.Д., Казанцев B.C., Белецкий Н.Г, Кривоногов А.И., Смирнов А.И. Вопросы обоснования и применения комитетных алгоритмов распознавания // Распознавание, классификация, прогноз. 1988. - Вып. 1. -С.114-148.

28. Нефёдов А.В. Нижняя оценка сложности двухшаговой процедуры одномерного поиска прямоугольника // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2003". Изд. отдел фак. ВМиК МГУ, 2003. - С.12-13.

29. Рязанов В.В. Оптимизация алгоритмов вычисления оценок по параметрам, характеризующим представительность эталонных строк // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. -Т.16. -№ 6. - С. 1559-1570.

30. Слуцкая Т.Д. Алгоритм вычисления информационных весов признаков // Дискретный анализ. Новосибирск, 1968. - Вып. 12. - С.75-90.

31. Слуцкая Т.Д. Об эффективности алгоритмов голосования для одного класса бинарных таблиц // Кибернетика. Киев, 1973. - № 2.

32. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. -416 с.

33. Хилков А.В. Формулы вычисления оценок для алгоритмов распознавания с опорными множествами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. - Т.29. -№ 10. - С.1565-1571.

34. Gurevich I.B., Jernova I.A., Trykova A.A., Nefyodov A.V., and Vorobjev I.A.

35. Automation of hematopoietic tumor diagnostics: an approach to extraction of• th diagnostic data from cytological specimens // Proceedings of the 6 German

36. Russian workshop "Pattern recognition and image understanding". 2003.pp. 167-170.

37. Gurevich I.B., Nefyodov A.V. Efficient implementation of 2D-AEC algorithms. // Proceedings of the 6th German-Russian workshop "Pattern recognition and image understanding". 2003. - pp.96-99.

38. Nefyodov A.V. A search reducing method in algorithms for an estimate calculation with rectangular support sets // Pattern recognition and image analysis: advances in mathematical theory and applications. 2003. - Vol.13. -№ 1. - pp. 155-157.

39. Nefyodov A.V. Efficient image matching algorithms based on procedures of searching for 2D templates // Proceedings of the 13 th Scandinavian conference on image analysis. Springer publ., 2003. - pp.991-997.