Движение механических систем при односторонних связях с трением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Отраднова, Лина Сергеевна

• Отраднова, Лина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Отраднова, Лина Сергеевна

Введение.

1 Математическая модель удара с трением

1.1 Модели удара тела о шероховатую поверхность

1.2 Удар твердого тела.

1.3 Удар свободного шара.

1.4 Удар плоского твердого тела.

1.5 Удар свободного плоского диска.

2 Движение диска между параллельными прямыми

2.1 Алгебраический анализ.

2.2- Метод диаграмм.

2.3 Подвижные прямые.

2.4 Вертикальный канал.

3 Движение шара между параллельными плоскостями

3.1 Неподвижные плоскости.

3.2 Подвижные плоскости.

3.3 Вертикальные плоскости

4 Движение шара внутри сферы и цилиндра

4.1 Движение шара внутри сферы.

4.2 Движение шара внутри цилиндра.

5 Удар катящегося шара о шероховатую стенку

5.1 Удар катящегося тела о шероховатую поверхность

5.2 Удар катящегося шара о шероховатую стенку.

5.3 Шар в прямолинейном канале с шероховатыми стенками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение механических систем при односторонних связях с трением»

Диссертация посвящена задачам о движении твердых тел, соударяющихся с шероховатыми поверхностями. Рассматривается несколько задач о движении: плоского диска, движущегося по инерции в прямолинейном канале; шара, движущегося по инерции между двумя параллельными плоскостями, внутри сферы и внутри кругового цилиндра; а также рассматривается задача об ударе катящегося тела о шероховатую стенку. Считается, что при ударе шероховатых поверхностей происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том, что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обращается в нуль, то есть выполняется условие качения без проскальзывания. Показывается, что во всех случаях движение в пределе выходит на установившийся режим по скорости: угловая скорость шара (или диска) стремится к постоянному значению, а скорость его центра становится периодической. В некоторых случаях на установившийся режим выходят и координаты, определяющие положение и ориентацию шара.

Движение тел с ударами является классической задачей механики. Удар моделирует взаимодействие элементов механической системы кратковременное, но приводящее к конечным изменениям параметров движения системы. Для описания такого взаимодействия используется понятие ударного импульса, т.е. импульса, приобретаемого системой или ее элементами за время взаимодействия. С формальной точки зрения удар можно описывать как движение системы с выходом на границу односторонней связи, или как движение при мгновенном наложении и снятии двухсторонней связи. Систематическое изложение теории удара в механических системах в терминах идеальных (т.е. без трения) связей дано Аппелем [1]. Современное изложение теории идеального удара можно найти в [3]- [12]. Геометрическое описание теории идеального удара состоит в том, что скорость (или импульс) системы в момент удара раскладывается в кинетической метрике на касательную и нормальные компоненты к плоскости удара. Касательная составляющая во время удара сохраняется — этот закон составляет теорему Аппеля о сохранении касательного импульса. Нормальная составляющая меняет направление на противоположное и уменьшается по модулю пропорционально коэффициенту восстановления — этот закон составляет модель

Ньютона при неупругом соударении. Вариационное методы в теории идеального удара описаны в работах [62], [2], [14]- [18]. Вопросы устойчивости в системах с односторонними связями рассмотрены в работах [19]- [22] Обоснование физической реализации односторонних связей методом предельного перехода дано в работах [2], [23]-[32] Обзор современного состояния теории удара механических систем и, в частности, соударения твердых тел дан в [2], [10]- [13], [56].

В настоящее время получило развитие изучение неидеальных ударов, или ударов с трением. Построение таких моделей удара представляет интерес не только при рассмотрении классических задач механики, см., например, [11], [33], но и при изучении динамики робототехнических систем. В частности, учет трения при ударном взаимодействии важен для изучения динамики ходьбы, см., например, [34]- [38].

Раус в [39] рассмотрел удар твердого тела о поверхность при наличии сухого трения, его модель получила развитие в работах [40], [41] (цит. по [11], [33]). Полный анализ этой модели дан в [11]. В этой модели во время ударного взаимодействия контактирующая точка тела может проскальзывать по поверхности контакта. К контактирующей точке тела приложена сила трения, направленная противоположно вектору скорости скольжения. Величина силы трения зависит от силы нормального давления в точке контакта, а также от скорости проскальзывания тела. Считая геометрические параметры тела неизменными на интервале времени контактного взаимодействия, можно выписать точную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую изменение ударного импульса на этом интервале. Под ударным импульсом понимается импульс, приобретенный телом благодаря реакциям, действующим на него в точке контакта на интервале ударного взаимодействия. Применение такой модели может быть затруднительно, поскольку требует анализа изменения скорости проскальзывания и ударного импульса на интервале времени контакта.

В диссертации используется упрощенная модель удара с трением тела о неподвижную поверхность. Предполагается, что коэффициент трения велик, и за время контакта проскальзывание контактирующей точки тела успевает закончиться. Это означает, что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обращается в ноль. Обращение в ноль этой составляющей можно рассматривать как связь, наложенную на движение тела. По окончании контакта тела и поверхности, их взаимодействие прекращается, и, значит, прекращается действие этой связи. В формальной постановке это описывается как мгновенное наложение и снятие идеальной связи, состоящей в том, что в момент удара касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обращается в ноль.

В первой главе диссертации показывается, что такая модель удара тела о неподвижную поверхность является частным случаем общей модели удара с вязким трением, предложенной В.В. Козловым в [33]. В этой модели импульс системы после удара получается применением к импульсу р~ до удара линейного симметрического оператора Л: = Ар^. Считается, что плоскость удара и нормальное к ней пространство инвариантны относительно этого оператора: р.т = Ар^. р,£ = Ар^. Оператор Л называется оператором восстановления. В этой же работе дано обоснование физической реализации такой модели, основанное на предельном переходе в полных уравнениях движения. Заметим, что случаю оператора Л5 общего вида отвечает удар при наличии сил анизотропного трения [42], [43]. Такая модель в диссертации не рассматривается.

Модель удара с мгновенным наложением и снятием связей рассматривалась в работах [44]- [50] и развивалась в работе [51].

Удар тара с наложением неголономных связей (связей качения без проскальзывания) изучалась в работах: [59]- [61].

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения и списка литературы.

В первой главе формулируются основные определения. Рассматривается модель удара с трением, состоящая в том, что при ударе тела о шероховатую поверхность происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том, что равна нулю касательная к поверхности скорость контактирующей точки тела. Эта связь, для краткости, называется связью качения. Такую модель можно рассматривать как упрощенный вариант модели Рауса [39]. Она состоит в том, что шестимерный вектор импульса твердого тела раскладывается на нормальную и касательную составляющие к плоскости удара. Нормальная составляющая при ударе в соответствии с законом отражения Ньютона меняет свой знак, и ее модуль изменяется пропорционально коэффициенту восстановления. Касательная составляющая раскладывается на нормальную и касательную компоненты к линии качения. Линия качения — это гиперплоскость в плоскости удара, в которой лежат все векторы импульса (скорости), отвечающие связи качения. Нормальная составляющая после удара обнуляется, а касательная составляющая сохраняется. В главе показывается, что такая модель может быть описана как частный случай модели В.В. Козлова [33]. Показывается также, что при ударе свободного твердого тела остается справедливым утверждение о максимальности функционала действие на определенном классе вариаций траектории [17].

После формулирования модели, выводятся соотношения, позволяющие определять параметры движения тела после удара с трением по параметрам его движения до удара для следующих случаев удар свободного тела удар шара с симметричным распределением массы удар свободного плоского тела удар плоского диска с симметричным распределением массы.

Эти соотношения используются в следующих главах.

Во второй главе рассматривается плоский диск, движение которого ограничено двумя параллельными шероховатыми прямыми. Эти прямые образуют стенки прямолинейного канала. При движении диск последовательно ударяется о стенки. Считается, что масса диска распределена симметрично так, что центр масс диска совпадает с его геометрическим центром.

Рассматривается несколько задач: движение по инерции в случае неподвижных стенок канала; движение в случае, когда стенки перемещаются по некоторому закону: движение в однородном поле тяжести в случае, когда стенки канала вертикальны. Показывается, что в этих случаях движение диска выходит на периодический режим, или режим, близкий к периодическому. Помимо алгебраического анализа движения рассматривается метод диаграмм, позволяющий наглядно представить процесс выхода движения на периодический режим.

Результаты этой главы используются в Главе 3, в которой показывается, что движение шара между параллельными шероховатыми плоскостями при подходящем выборе системы координат аналогично движению диска между шероховатыми прямыми.

Рассмотрение ведется в системе координат Оху, где ось Ох направлена вдоль канала. Положение диска описывается координатами (х, у) его центра и углом <р поворота диска относительно оси Ох.

Глава разбита на 4 части.

Первая часть — алгебраический анализ движения диска между неподвижными прямыми — состоит из пяти разделов. При анализе используются соотношения для удара диска о неподвижную поверхность, выведенные в главе 1.

В первом разделе рассматривается задача об абсолютно упругом соударении с абсолютно шероховатыми прямыми. Показано, что если вся масса сосредоточена в центре диска, т.е. его момент инерции равен нулю, то скорость движения диска вдоль канала после ударов сохраняется, и диск улетит вдоль канала сколь угодно далеко.

Если вся масса сосредоточена на ободе диска, то угловая скорость и скорость движения диска вдоль канала после первого же удара станут равными нулю. Диск будет совершать движения по нормали к стенкам канала, периодически соударяясь с ними.

В общем случае, в пределе, при стремлении времени к бесконечности, диск выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам канала с нулевой угловой скоростью. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала. Линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометта2 — J рической прогрессии с показателем Л =-^-где т и а — масса таг + Л ' и радиус диска, 7 — центральный момент инерции диска относительно оси, ортогональной его плоскости.

Во втором разделе рассматривается движение диска внутри круга с абсолютно шероховатыми стенками. Показывается, что сразу после первого же удара о стенку круга диск выйдет на периодический режим движения: его угловая скорость будет постоянна, а центр диска будет двигаться так, что величина его вектора скорости будет постоянна, а сам вектор после каждого удара будет поворачиваться на один и тот же угол. Иначе говоря, движение диска будет подобно движению точки в математическом бильярде внутри круга. В главе 4 будет показано, что такое движение в пределе совершает шар. движущийся по инерции внутри кругового цилиндрического канала, в проекции на плоскость, ортогональную оси цилиндра.

В третьем разделе рассматривается движение диска по инерции между неподвижными шероховатыми прямыми в случае неупругого соударения с коэффициентом восстановления V. О < V <

1. Показано, что. если ¡л = — < 1, то движение диска имеет такой ь> же характер, как и в случае абсолютно упругого соударения. Диск выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам канала с нулевой угловой скоростью. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала. Линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометрической прогрессии с показателем Л. Если же ¡1 > 1, то линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометрической прогрессии с показателем Л, однако диск уйдет вдоль канала сколь угодно далеко.

В четвертом разделе рассматривается движение диска по инерции между неподвижными шероховатыми прямыми в случае частичной шероховатости. Рассматривается модель частичной шероховатости, в которой при ударе гасится не вся составляющая импульса, касательная к плоскости удара и нормальная к линии качения, а только ее пропорциональная часть. Коэффициент пропорциональности с лежит в диапазоне: 0 < с < 1. Значение с — 0 отвечает абсолютной шероховатости; значение с = 1 — удару о гладкую поверхность (т.е. трение при ударе отсутствует).

Выводятся матричные рекуррентные соотношения для параметров движения диска. Характер изменения этих параметров определяется собственными числами соответствующих матриц (см., например, [52]). Однако, вычисления получаются довольно громоздкими. Более простым является решение этой задачи методом диаграмм, изложенным в следующей части 2.2 этой главы.

Вторая часть. В этой части описан метод диаграмм. Он позволяет наглядно показать сходимость предельного движения диска по скорости даже в ряде сложных движений. Уравнение удара для компоненты скорости центра диска отделяется. На плоскости импульсов Рх- Р<р-, линейного вдоль канала и вращательного движений диска, строятся две линии качения Ь\ и £2, отвечающие ударам о стенки канала. Уравнения этих линий — это уравнения качения диска без проскальзывания по соответствующей стенке канала. В процессе соударений изображающая точка щ — {Рхк,Р(рк) ортогонально проектируется на эти прямые последовательно чередующимся образом (к — номер удара). Диаграмма движения изображающей точки на плоскости импульсов рх, фу позволяет изучать предельные движения диска. В случае частичной шероховатости, при проектировании на очередную прямую качения Ь^, изображающая точка сдвигается перпендикулярно к этой прямой так, что расстояние до прямой качения Ьп изменяется в с раз.

С применением метода диаграмм показывается, что характер движения диска для частично шероховатых стенок (0 < с < 1) такой же, как и при абсолютной шероховатости (с = 0). В общем случае, в пределе, при стремлении времени к бесконечности, диск выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам канала с нулевой угловой скоростью. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала. Линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометрической прогрессии с показателем Л.

Третья часть. В этой части рассмотрен случай подвижных шероховатых стенок прямолинейного канала, в котором движется диск. Эта часть состоит из четырех разделов.

В первом разделе выводятся соотношения для удара диска о подвижную прямую, движущуюся вдоль самой себя поступательно со скоростью и. Отличие от неподвижной прямой состоит в том, что линия качения на плоскости импульсов рх,р<р сдвигается параллельно на вектор (и, 0). Полученные соотношения используются в следующих разделах.

Во втором разделе рассматривается движение диска по инерции в канале с прямолинейными шероховатыми стенками, которые движутся поступательно с постоянными скоростями щ и щ вдоль оси канала. Движение рассматривается для случая абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатой прямой, т.е. при и = 1, с — 0. Изучение движения производится с использованием метода диаграмм, описанного в предыдущей части главы. Линии качения Ь\ и 1/2 на плоскости импульсов пересекаются в некоторой точке (Рх,р!р), а в пространстве скоростей эту же точку обозначим \т 3 )

Изложим полученные результаты.

Если вся масса диска сосредоточена в его центре, т.е. 7 = 0, линейная (вдоль канала) скорость центра диска х постоянна, а угловая принимает пару чередующихся значений. Если вся масса диска сосредоточена на его ободе, то линии качения Ь\ и 1/2 при ударе о стенки ортогональны в кинетической метрике. На нулевом шаге проектирования изображающая точка (рх,р>р) попадает на прямую Ь\. а на первом шаге проектирования попадает в начало координат. В пространстве скоростей изображающая точка попадет в точку (£*, ф*) пересечения прямых Ь\ и 1/2. Это означает, что движение выйдет на периодический режим, когда скорость диска между ударами равна х = х*. у — ±?/о, Ф — Ф* • Значит, центр диска будет с постоянной скоростью перемещаться вдоль канала, а его угловая скорость будет постоянна.

Пусть не вся масса диска сосредоточена в его центре или на ободе. Показывается, что в пределе центр диска будет с постоянной Щ + 42 скоростью х = —-— перемещаться вдоль канала, а его угловая скорость будет постоянна и равна ф* = —^—-• Поскольку (х*,ф*) — точка пересечения прямых качения Ь\ и 2/2, то линейная скорость центра х* и угловая скорость ф* такие, как если бы стенки канала прижимали диск сверху и снизу, и он катился бы между ними без проскальзывания.

Если прямые движутся в разные стороны с одинаковыми скоростями, (щ — —щ), то х* — 0. В этом случае, центр диска, пройдя конечное расстояние, стабилизируется, и диск будет совершать движение ортогонально стенкам канала. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала.

В общем случае соотношение щ = — щ скоростей стенок канала будет иметь место, если перейти в подвижную систему координат, щ + 42 движущуюся вдоль канала со скоростью--—.

В третьем разделе рассматривается случай, когда скорость стенок канала переменная: щ = щ^), щ = Обозначим через момент п-го соударения, а через wn — скорость стенки, о которую происходит удар в этот момент. В соответствии с методом диаграмм, перед ударом п + 1 изображающая точка т]п находилась на прямой качения Ln: х — (—1 )пф = wn, а при ударе п + 1 должна в кинетической метрике ортогонально проектироваться на прямую качения Ьп+\: £ + (—1 )пф — wn+1. Точку пересечения этих прямых обозначим через ту* = (£*, ф*п) Пусть скорости движения стенок канала ограничены: щ < щ < и~1, г = 1,2, тогда точки 77* (п = 1,2,.) лежат в некотором прямоугольнике П*. Диаметр этого прямоугольника обозначим через d.

Показывается, что в пределе, при п —» +оо, расстояние от изображающей точки Т)п до прямоугольника П* не превосходит величины d(ma2 -«/), . ^ rs о — -—-. В строгой формулировке: для любого £ > (J найО дется натуральное N такое, что при всех п > N расстояние рп от изображающей точки г]п до прямоугольника П* будет меньше, чем 5 + е.

В частности, если скорости стенок канала ограничены по модулю одинаковым образом: —/ < щ < /, г = 1, 2, то

2/ , fy/ma2 + J {ma2 - J) a = —ymaz + J, 0 =-7a aJ и в пределе диапазоны изменения линейной х* и угловой скоростей после удара такие: f + -?= + e = 0{f)+e, |Й| <£ + -$= + e = 0(f) + e, л/m а у/J при / —»■ +0. Значит, при малых скоростях движения стенок канала, линейная и угловая скорости диска будут с ростом времени падать до небольшой величины, имеющей такой же порядок малости, как и скорости движения стенок канала.

В четвертом разделе рассматривается движение обруча между подвижными стенками. Пусть масса диска сосредоточена на его границе (обруч), тогда J = ma2.

Пусть стенки канала совершают продольные гармонические колебания: ui(t) = А\ sin(io>ii + В1), U2(t) = А2 s'm(u>2t + В2). Поскольку при ударах составляющая скорости центра диска, нормальная к стенкам канала, не меняется по модулю, то время между ударами постоянно. Выберем, для простоты, такой масштаб, чтобы время между ударами составляло единицу: Т — 1. Тогда частота ударов

2тг п равна и>о = — = 2тт.

Пусть частоты колебаний стенок не кратны частоте ударов, т.е. для любых целых к выполнено: щ ф кшо = 2/с7г, г = 1,2. Показывается, что среднее значение скорости диска вдоль канала и его угловой скорости равны нулю, и во все время движения диск отклонится от начального положения (жо, уо, <ро) на конечную величину.

Показано, что если 3 = та2, то линии качения ортогональны, и, поэтому на каждом ударе п изображающая точка г)п = (хп, фп) попадает в точку пересечения линий качения 77*. Пусть частоты колебаний стенок канала независимы, т.е. для любых целых п\, щ, таких, что п\ + п\ ф 0, выполнено: п\Ш\ + П2^2 ф 0. Показывается, что точки 77* = (ж*, всюду плотно заполняют прямоугольник П*.

Четвертая часть. В этой части рассматривается движение диска в прямолинейном вертикальном канале. Пусть диск движется в однородном поле тяжести, плоскость движения вертикальна. Рассматривается случай абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатыми прямыми, т.е. р = 1, с = 0. Выводятся следующие свойства движения диска.

Если вся масса сосредоточена в центре диска, то 3 = 0 и А1 = 1.

В этом случае модуль угловой скорости при каждом ударе растет тадТ с постоянным ускорением Л2 = -^-г. а сама угловая скорость таг + 3' меняет знак при каждом ударе. Скорость движения диска вдоль канала при каждом ударе растет с постоянным ускорением аЛг.

Если вся масса сосредоточена на ободе диска, то 3 — та2 и А1 = 0. В этом случае, после первого удара, центр диска будет с постоянной скоростью перемещаться вдоль канала (вниз), а его угловая скорость будет постоянна по модулю и менять знак при каждом ударе.

В общем случае, когда 0 < Л1 < 1, в пределе, центр диска будет с постоянной скоростью перемещаться вдоль канала (вниз), а его угловая скорость будет постоянна по модулю и менять знак при каждом ударе.

В третьей главе рассматривается движение шара между двумя параллельными шероховатыми плоскостями.

Пусть в системе координат Охуг движется по инерции шар. имеющий радиус а. Его движение ограничено двумя шероховатыми плоскостями, которые задаются, соответственно, уравнениями: г = —Ь и г — Ь.где Ъ > а > 0. Эти плоскости образуют стенки пространственной полосы, внутри которой движется шар.

Показывается, что движение шара можно разложить на сумму движений по координатным осям Ох и Оу, причем каждое из этих движений аналогично движению диска между параллельными шероховатыми прямыми (см. Главу 2). Рассматриваются следующие случаи: абсолютно и частично шероховатые плоскости; неподвижные и подвижные плоскости; движение шара в однородном поле тяжести между вертикальными плоскостями. Масса шара га распределена симметрично так, что центр масс шара совпадает с его геометрическим центром С. а тензор инерции — шаровой: 1 = Л, Л, Л}.

2 2

Из физических соображений следует, что J < -та . Используются о обозначения: Ус = (£, у, ¿) — скорость центра шара; со = (сох,соу,сог) — угловая скорость шара; (•)". (-)+ — параметры движения шара сразу до и после удара, имеются ввиду моменты £ — 0 и £ + 0 для удара в момент времени £.

Глава разбита на 4 части.

В первой части рассматривается движение шара между неподвижными плоскостями. Эта часть состоит из трех разделов.

В первом разделе рассмотрен случай абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатыми плоскостями, т.е. V — 1, с = 0. Выводятся рекуррентные соотношения, связывающие параметры движения шара на двух последовательных ударах. Уравнения удара разделяются, и их можно рассматривать отдельно для пары (х,соу) и для пары (у,сох). Для каждой пары уравнения по виду совпадают с аналогичными уравнениями для движения диска между параллельными прямыми.

Если повернуть оси координат вокруг оси О г так, чтобы после первого удара было выполнено: у = 0, то дальнейшее движение центра шара будет происходить параллельно оси Ох. При этом будет верно: у = 0, сох = 0, а координаты (х,шу) будут меняться так же, как и для диска между параллельными прямыми. Из физических соображений - < А < 1. Поэтому при каждом ударе о стенку знак о угловой скорости (Оу меняется, а величина скорости уменьшается с коэффициентом Л; направление движения шара вдоль оси Ох сохраняется, но скорость этого движения уменьшается с коэффициентом Л.

Если вся масса сосредоточена в центре шара, то 7 = 0 и Л = 1. В этом случае скорость движения шара вдоль Ох после ударов сохраняется, и шар улетит сколь угодно далеко.

Для случая - < Л < 1 показывается, что в пределе, при стремлео нии времени к бесконечности, шар выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам полости и с вертикальной угловой скоростью. При выходе на этот режим, шар пройдет конечное расстояние вдоль оси Ох. Если в начальный момент вертикальная составляющая угловой скорости равнялась нулю, то, при выходе на периодический режим, суммарный поворот шара будет конечен.

Во втором разделе рассмотрен случай неупругого соударения шара со стенками полости, когда выполнено: с = 0и0<г/< 1.

Случай и — 1 рассмотрен в первом разделе главы. Если и = О, то после первого удара, в соответствии с г = 0, шар останется на стенке полости и будет катиться по ней без проскальзывания.

Пусть 0 < V < 1. Если вся масса сосредоточена в центре шара, то</ = 0иА = 1. В этом случае скорость движения шара вдоль Ох после ударов сохраняется, и шар улетит сколь угодно далеко.

Рассмотрим основной случай, когда — < А < 1. Уравнения удара о

разделяются, и их можно рассматривать отдельно для пары (х,иу) и для пары (у,их). Для каждой пары уравнения по виду совпадают с аналогичными уравнениями для движения диска между параллельными прямыми. Если повернуть оси координат вокруг оси О г так, чтобы было у = 0, то дальнейшее движение центра шара будет происходить параллельно оси Ох. При этом будет выполнено: у — О, шх = 0, а координаты (х,иу) будут меняться так же, как и для диска между параллельными прямыми (см. Главу 2). Обозначим, как и выше, ц — —. Если д < 1. то. в пределе, при стремлении времени к V бесконечности, шар выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам полости с вертикальной угловой скоростью. При выходе на этот режим, он пройдет конечное расстояние вдоль оси Ох. Если в начальный момент вертикальная составляющая угловой скорости равнялась нулю, то, при выходе на периодический режим, суммарный поворот шара будет конечен.

Если ¡1 > 1, то, при стремлении времени к бесконечности, шар уйдет сколь угодно далеко вдоль оси Ох.

В третьем разделе рассмотрен случай соударения шара с частично шероховатыми стенками полости, когда г/=1и0<с<1.

Случай с — 0 рассмотрен в первом разделе главы. Если с = 1, то после любого соударения будет справедливо: х+ = х~. у+ = у~, . и)у = , т.е. удар эквивалентен обычному удару об одностороннюю связь. Если в начальный момент угловая скорость шара и проекция скорости центра шара на плоскость Оху были отличны от нуля, то при стремлении времени к бесконечности шар повернется на сколь угодно большой угол вокруг оси параллельной вектору угловой скорости, и его центр уйдет сколь угодно далеко вдоль направления (±О)УО)0)

Пусть 0 < с < 1, тогда уравнения удара разделяются, и их можно рассматривать отдельно для пары (х,шу) и для пары (у,сох). Для каждой пары уравнения по виду совпадают с аналогичными уравнениями для движения диска между параллельными прямыми. Если повернуть оси координат вокруг оси О г так, чтобы после первого удара было у — 0, то дальнейшее движение центра шара будет происходить параллельно оси Ох. При этом будет выполнено: у = О, сох = 0, а координаты (х,шу) будут меняться так же, как и для диска между параллельными прямыми.

Характер движения для 0 < с < 1 такой же, как и при с = 0.

Если вся масса сосредоточена в центре шара, то 7 = 0 и Л = 1. В этом случае скорость движения шара вдоль Ох после ударов сохраняется, и шар улетит сколь угодно далеко.

Если 7>0. то — <Л<1.В пределе, при стремлении времени к о бесконечности, шар выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам полости с вертикальной угловой скоростью. При выходе на этот режим шар пройдет конечное расстояние вдоль оси Ох. Если в начальный момент вертикальная составляющая угловой скорости равнялась нулю, то при выходе на периодический режим суммарный поворот шара будет конечен.

Во второй части рассматривается движение шара между подвижными плоскостями. Эта часть состоит из трех разделов.

В первом разделе выводятся соотношения для удара шара о движущуюся плоскость. Движение шара ограничено плоскостью г = —Ь, причем эта плоскость движется поступательно с постоянной скоростью (их, иу, 0). Полученные соотношения используются в следующих разделах. Уравнения удара разделяются, и их можно рассматривать отдельно для пары (х,и>у) и для пары (у,их). Для каждой пары уравнения по виду совпадают с аналогичными уравнениями для движения диска между параллельными прямыми.

Во втором разделе рассматривается движение шара между плоскостями, движущимися с постоянной скоростью. Задача рассматривается для случая абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатой плоскостью, т.е. при и = 1, с = 0. Пусть шар движется по инерции между плоскостями г = — Ь и г = Ь, причем эти плоскости движутся поступательно с постоянными скоростями {иХ1,иУ1, 0), (их2, иу2,0) (т.е. вдоль самих себя).

Если 7 > 0, то найдутся такие пары (х*,и>*). (у*,ш*), что при п —> +оо будет выполнено: хп —» х*. сиуп —и*. уп —> у*. и)хп —> ы*. где п — номер удара. Значит, в пределе центр шара будет с постоянной скоростью перемещаться вдоль стенок полости, а угловая скорость шара будет постоянна. При этом (х*,и>у), (у*, со*) — точки пересечения прямых качения, отвечающие движению шара вдоль осей Ох и Оу. Поэтому-то линейная скорость центра (х*,у*) и угловая скорость Со* — (со*,со*, 9) такие, как если бы плоскости £1 и £2 прижимали птар сверху и снизу (т.е. при Ь — а), и он катился бы между ними без проскальзывания. Вертикальная составляющая угловой скорости сог остается постоянной.

Если вся масса шара сосредоточена в его центре, т.е. 7 = 0, то линейная скорость центра х постоянна, а каждая компонента угловой скорости принимает два чередующиеся значения.

В третьем разделе рассматривается движение шара между плоскостями, движущимися с переменной скоростью: (щх(Ь), щу^),0), (и2х&). (¿), 0). Обозначим за £п — момент п-го соударения, а за (г^жги ^г/п, 0) — скорость стенки, о которую происходит удар в этот момент.

Уравнения удара разделяются, и их можно рассматривать отдельно для пары (х,соу), т.е. для проекции движения шара на плоскость Охг, и отдельно для пары (у,сох), т.е. для проекции движения шара на плоскость Оуг. Соответственно, можно применять метод диаграмм отдельно для движения шара в проекции на плоскости Oxz и на ось Oz.

В соответствии с методом диаграмм перед ударом п + 1 изображающая точка г)хп — {хп,ооуп) находилась на прямой качения Lxn : х + (—1)пашу — wxn. Это линия качения для проекции на плоскости Oxz — она отвечает качению тпара без проскальзывания вдоль оси Ох. Изображающая точка г)уп = (уп,и;хп) находилась на прямой качения Lyn : у — (—1)пасих = wyn. Это линия качения для проекции на плоскости Oyz,она отвечает качению шара без проскальзывания вдоль оси Oy.

При ударе п + 1 изображающие точки r\xn = (xn,cüyn) и г]уп = {Уп^хп) проектируются ортогонально в кинетической метрике на прямые качения Lx(n+i) и L(n+1). Точки пересечения прямых Lxn, Lx(n+1) и прямых Lyn, Ьу(п+!) обозначим, соответственно, г]*п = iK^ln) И Г)1п = {Уп,<п)

Пусть скорости движения стенок полости ограничены: и~х < uix{t) < U+, и~ < Uiy(t) < и+, г = 1,2. Тогда точки г]*хп и г]*уп, п = 1,2,., лежат в некоторых прямоугольниках П* и П* . Диаметры этих прямоугольников обозначим через dx и dy.

Показывается, что в пределе, при п —> +оо, расстояние от изображающих точек г)хп и 7]уп до прямоугольников П* и П* не превосmo2 — J) 2J формулировке: для любого £ > 0 найдется натуральное N такое, что при всех п > N расстояние рхп от изображающей точки г)хп до прямоугольника П* будет меньше, чем 5Х + е, и расстояние руп от изображающей точки г]уп до прямоугольника П* будет меньше, чем Sy + е.

В частности, если скорости стенок канала ограничены по модулю одинаковым образом: — / < uXi,uyi < f (i = 1,2), то dx = dy = d, öx = 5y = 8. vi ъ пределе диапазоны изменения линейных и угловых (с0уП, скоростей после удара такие: при / —> +0 хЦ И < / + ^ = 0(/), |а;ж+п| + = O(f).

Значит, при малых скоростях движения стенок полости проекции линейной и угловой скоростей шара на плоскости стенок будут с ростом времени падать до небольшой величины, имеющей такой же

I и OUi - О \ ходит величин 8Х = dxD и оу = dyD, где D =-—-. В строгой порядок малости, как скорости движения стенок полости.

В третьей части рассматривается движение шара между вертикальными плоскостями. Пусть шар движется в однородном поле тяжести. Будем считать, что ось Ох направлена вертикально вниз. Тогда оси Оу и О г буду горизонтальны, а ограничивающие плоскости г = — Ь ц г = Ь — вертикальны. Рассматривается случай абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатыми плоскостями, т.е. щ — 1, Сг = 0, ъ = 1,2.

Выписываются уравнения удара. Они разделяются, и их можно рассматривать отдельно для пары {х,сиу) и для пары {у,шх). Для каждой пары уравнения по виду совпадают с аналогичными уравнениями для движения диска между параллельными прямыми. Для движения вдоль оси Оу это будет движение по инерции, а для движения вдоль Ох это будет движение в вертикальном канале (см. п 2.4).

Выводятся следующие свойства движения шара. Если 0 < J < 2 2

-та . то в пределе центр шара остановит свое движение вдоль оси О

Оу (в горизонтальном направлении) и будет с постоянной скоростью перемешаться вдоль оси Ох (вниз), а его угловая скорость в проекции на ось Ох станет равной нулю, а в проекции на ось Оу будет постоянна по модулю и будет менять знак при каждом ударе.

Если вся масса сосредоточена в центре диска (У = 0), то скорость движения шара вдоль Оу постоянна, а вдоль Ох при каждом ударе растет с постоянным ускорением а\2. Компонента угловой скорости их при каждом ударе растет по модулю с постоянным ускорением Л2 и меняет знак при каждом ударе.

В четвертой главе рассматривается движение по инерции шара с симметричным распределением масс в сферической и цилиндрической полости. Считается, что при ударе шара о стенки полости происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящей в том, что равна нулю касательная к стенке составляющая скорости точки шара, которой он соударяется со стенкой. Показывается, что в обоих случаях скорость движения центра шара и угловая скорость шара выходят на периодический режим — угловая скорость постоянна, а скорость после каждого удара поворачивается на постоянный угол вокруг оси, параллельной угловой скорости.

При движении внутри цилиндра после первого же удара диск выйдет на периодический режим движения в том смысле, что его угловая скорость будет постоянна, а центр диска будет двигаться так, что величина его вектора скорости будет постоянна, а сам вектор после каждого удара будет поворачиваться на один и тот же угол. Иначе говоря, движение шара в проекции на плоскость ортогональную оси цилиндра будет подобно движению точки в математическом бильярде внутри круга.

В пятой главе рассматривается задача об ударе катящегося тела о шероховатую стенку. Сначала рассматривается задача в общей постановке, а затем задача об ударе однородного шара, катящегося по горизонтальной плоскости, об вертикальную плоскую шероховатую стенку. В задаче о движении шара в канале с параллельными плоскими стенками показано, что в общем случае в пределе движение центра масс шара стремится к периодическому, при котором центр шара между ударами движется по нормали к стенкам, его продольная скорость равна нулю, а угловая скорость горизонтальна и параллельна стенкам канала. Эта часть состоит из трех разделов.

В первом разделе выводятся соотношения для удара тела, катящегося без проскальзывания по некоторой поверхности, о другую шероховатую поверхность (стенку). Предполагается, что поверхности строго выпуклы, и тело ограничено строго выпуклой гладкой поверхностью, и, поэтому, точки соприкосновения тела и поверхностей единственны. Считается, что при ударе тела о поверхность происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящей в том, что касательная к стенке составляющая скорости соприкасающейся точки шара равна нулю.

Во втором разделе выводятся соотношения для удара шара, катящегося без проскальзывания по некоторой плоскости. Исследуются некоторые свойства такого удара. В частности, если рассматривать движение центра С шара, то показывается, что угол отражения меньше угла падения (углы между траекторией движения центра С и нормалью к поверхности стенке). Отыскивается условие, при котором центр шара после удара будет двигаться по траектории ортогональной стенке: условия, при которых шар совершит возвратное движение, т.е. его траектория совпадет с траекторией движения до удара, но движение будет происходить в противоположном направлении.

В третьем разделе рассматривается движение шара в прямолинейном канале с шероховатыми стенками. Пусть в системе координат Охуг шар, описанный в предыдущем разделе, катится по инерции без проскальзывания по плоскости Оху. Его движение ограничено двумя шероховатыми плоскостями х = Ь и х = —Ь, Ь > 2а > 0. Удары шара об эти поверхности рассматриваются в модели с полным мгновенным наложением и снятием связи качения без проскальзывания по этим поверхностям. Показывается, что в общем случае в пределе движение центра масс тттара стремится к периодическому, при котором центр шара между ударами движется по нормали к стенкам, его ^/-координата равна у*, а угловая скорость шара горизонтальна и параллельна стенкам канала.

4. Апробация работы.

Результаты работы докладывались: на научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова:

- Семинар по аналитической механике и теории устойчивости (имени В.В.Румянцева) под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В.Белецкого, проф. А.В.Карапетяна (2011),

- Семинар по математическим методам технической механики под руководством доц. А.А.Бурова, проф. С.Я.Степанова (2012),

- Семинар по аналитической механике и теории устойчивости (имени В.В.Румянцева) под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В.Белецкого, проф. А.В.Карапетяна (2012); на конференциях:

- Конференции-конкурсе молодых ученых, НИИ Механики МГУ им.М.В. Ломоносова, 2008 г.;

- Симбирской молодежной научной школе по аналитической механике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященной памяти академика Валентина Витальевича Румянцева, Ульяновск, июнь 2009 г.;

- Научной конференции "Ломоносовские чтения". МГУ им. М.В.Ломоносова, апрель 2010 г.;

- Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "JIomohocob-2010". МГУ им.М.В. Ломоносова, апрель 2010;

XI Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Конференции Пятницкого), Москва, 2010 г.;

XXIII - Международной научной конференции "Математические Методы в Технике и Технологиях" (ММТТ-23), Саратов, июнь 2010 г.;

Научной конференции "Ломоносовские чтения". МГУ им.М.В.Ломоносова, ноябрь 2011 г.;

XII Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Конференции Пятницкого), Москва, 2012 г.;

4th Chaotic Modeling and Simulation Conference (Chaos 2011), Crete, Greece, June 2011;

Международной конференции "Optimization and applications" (OPTIMA 2011), Petrovac, Montenegro, 2011;

Международной конференции по механике "Шестые По-ляховские чтения посвященной 95-летию со дня рождения С.В.Валландера, Санкт-Петербург, 2012;

5th Chaotic Modeling and Simulation Conference (Chaos 2012), Athens, Greece, June 2012;

Всероссийском конкурсе студентов и аспирантов в области математических наук (победитель, диплом первой степени), Ульяновский Государственный Университет, Ульяновск, 2012;

ICNPAA Congress: Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences, Vienna University of Technology, Vienna, Austria, 2012.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Отраднова, Лина Сергеевна

Заключение.

В работе рассмотрена модель удара твердого тела о шероховатую поверхность с трением, состоящая в мгновенном наложении связи качения тела по поверхности без проскальзывания, действующей только в момент удара. Показано, что такое взаимодействие тела с поверхностью при ударе может быть описано в рамках модели удара с вязким трением В.В.Козлова, имеющей обоснование физической реализации. В рамках предложенной модели исследовано несколько задач о предельных движениях тела, соударяющегося с шероховатыми поверхностями.

Для диска, перемещающегося с ударами между параллельными прямыми показан выход движения на предельные режимы в случае неподвижных и подвижных прямых. Предложен метод диаграмм, при помощи которого найдены предельные режимы движения для частично шероховатых прямых. Рассмотрено движение диска в вертикальном канале.

Для движения шара, перемещающегося с ударами между параллельными плоскостями, показано, что движение в пределе выходит на установившийся режим по скорости и координатам, угловая скорость шара стремится к постоянному значению, а скорость его центра становится периодической. Рассмотрена задача для плоскостей, совершающих поступательные колебания в своей плоскости. Показан выход на предельный режим с точностью до величины порядка размаха колебаний плоскостей.

Для движения шара, перемещающегося внутри сферы и цилиндра, показано, что движение в пределе выходит на установившийся режим по скорости: угловая скорость шара стремится к постоянному значению, а скорость его центра становится условно периодической. Движение в цилиндре в общем случае сходится к движению в поперечной плоскости и аналогично математическому бильярду для движения точки в круге.

Для катящегося тиара, ударяющегося о шероховатую стенку, выведены общие соотношения, описывающие удар. Изучены простые свойства удара. В задаче о движении шара в канале с параллельными плоскими стенками показано, что в общем случае, в пределе, движение центра масс шара стремится к периодическому, при котором центр шара между ударами движется по нормали к стенкам, его продольная скорость равна нулю, а угловая скорость горизонтальна и параллельна стенкам канала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Отраднова, Лина Сергеевна, 2012 год

1. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., МГУ, 1991, 168 с.

2. Жуковский H. Е. Теоретическая механика. М., Гостехиздат, 1947, 811 с.

3. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М., Гостехиздат, 1946, 655 с.

4. Парс JI.A. Аналитическая динамика. М., Наука, 1971, 636 с.

5. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск, "Регулярная и хаотическая динамика 569 с.

6. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000, 719 с.

7. Вильке В.Г. Теоретическая механика. М., МГУ, 1998, 272 с.

8. Болотин C.B., Карапетян A.B., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М., Академия, 2010, 432 с.

9. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М., Физмат-лит, 2008, 304 с.

10. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., "Международная программа образования 1997, 336 с.

11. Brogliato В. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited 1996, 400 p.

12. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. M., Мир, 1980, 293 с.

13. Румянцев B.B. О вариационных принципах для систем с неудер-живающими связями.// ПММ, 2006, т. 70, вып. 6, с. 902-914.

14. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск, 1999, 407 с.

15. Буторина JI.B., Кугушев Е.И. Структурная эквивалентность математических бильярдов. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 2009, N 5, с.66-69.

16. Отраднова JI.C. Максимальность действия по Гамильтону для систем с односторонними связями.// Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат.,мех., 2012, N4, 70-72с.

17. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями. // ПММ, 1984, т. 48, N 4, с. 632-636.

18. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. // ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732.

19. Иванов А.П. Устойчивость движений с соударениями. В сб. Нелинейная механика. Ред. В.М. Матросов, В.В. Румянцев, A.B. Карапетян. М. Физматлит, 2001, с. 240-256.

20. Ляйне Р.И., ван де Bay Н. Устойчивость и конвергенция механических систем с односторонними связями. М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 292 с.

21. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями I. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1982, N 3, с.92-100.

22. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями II. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1982, N 4, с.70-76.

23. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями III. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1983, N 3, с.102-111.

24. Козлов B.B. Динамика систем с неинтегрируемыми связями IV. // Вестник МГУ., сер. мат.-мех., 1987, N 5, с.76-83.

25. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями V. // Вестник МГУ, сер. мат.-мех.„ 1988, N 6, с.51-54.

26. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями. // ПММ, 1988, т. 52, N 6, с. 883894.

27. Дерябин М. В., Козлов В. В. К теории систем с односторонними связями. // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 4. с. 531-539.

28. Журавлев В.Ф. Уравнения движеняи механических систем с идеальными одностороннми связями. // ПММ, 1978, т. 42, N 5, с. 781-788.

29. Журавлев В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживающими связями. М., Наука, 1993, 240 с.

30. Попова Т.В. О реализации неудерживающих связей в механических системах с вырождением кинетической энергии. // ПММ, 2006, т. 70, N 1, с. 20-34.

31. Козлов В.В. Об ударе с трением. // Изв. АН СССР, сер. МТТ, 1989, N 6, с. 54-60.

32. Охоцимский Д. Е., Голубев Ю. Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М, Наука, 1984 480 с.

33. В.В. Белецкий. Двуногая ходьба. Модельные задачи динамики и управления. М.: Наука, 1984. 288 с

34. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М. Наука, 1974, 368 с.

35. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. М. Наука, 1982, 368 с.

36. Формальский A.M., Шевальро К., Перра Б. Об ударном взаимодействии твердого тела с опорой. Вестник МГУ, сер. мат.-мех. 2000, N 1, с. 27-32.

37. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. Том I. М., Наука, 1983, 464 с.

38. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том II. М., Иностр.лит., 1951, 555 с.

39. Болотов Е.А. О движении материальной плоской фигуры, стесненной связями с трением. М. Университетская типография, Страстной бульвар, 1906. 147 с.

40. Вильке В.Г. Динамика систем с анизотропным трением. // Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат.,мех., 2007, N4.

41. Вильке В.Г. Об анизотропном сухом трении и неудерживающих неголономных связях // Прикладная математика и механика (ПММ). 2008. - Т. 72, Вып. 1. - С.3-12

42. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2002, N 14, с. 32.

43. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 15, 2002, с. 28.

44. Березинская С. Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2002, N 16, 32 с.

45. О.В. Сорокина, С.Н. Березинская, В.В. Белецкий, Е.И. Кугушев О периодических движениях динамических биллиардов. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2003, N 14, с. 32.

46. С.Н. Березинская, О.В. Сорокина, Е.И. Кугушев Об односторонних неголономных связях. // Препринт ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, 2003, N 16, 20 с.

47. Березинская С.Н. Несколько задач на системы с односторонними неголономными связями. // Сборник трудов конференции-конкурса молодых ученых, Москва, 12.10-14.10.2004г., под ред. Г.Г. Черного и В.А. Самсонова, М., МГУ, 2004 г. с. 63-71.

48. Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О движении механических систем с односторонними связями. // Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат.,мех., 2005, N3, 18-24с.

49. Барбашова Т.Ф., Отраднова JI.C., О движении шара с ударами о шероховатую поверхность.// Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат., мех., 2012, N5, 35-39 с.

50. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Физматгиз, 1959, 400 с.

51. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М., Наука, 1992, 336 с.

52. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по модулю один. 1916, в кн. Герман Вейль. Избранные труды. М. Наука, 1984, с.58-93.

53. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1979, 472 с.

54. Табачников С. Геометрия и биллиарды. М., Ижевск, РХД, 2011, 1979 с.

55. Трещев Д.В. К вопросу о существовании периодических траекторий бильярда Биркгофа // Вестн. Моск. ун-та. сер.1, мат.,мех., 1987, N5, с.72-75.

56. Трещев Д.В. К вопросу об устойчивости периодических траекторий бильярда Биркгофа // Вестн. Моск. ун-та, сер.1, мат.,мех., 1988, N2, с.44-50.

57. Borisov А.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. On the model of Non-holonomic Billiard// Regular and Chaotic Dynamics, Vol.16, No. 16, 2011, pp. 653-662.

58. Treschev D.V., Zubelevich O.E. On weak solutions to the Lagrange-D'Alambert equation.// 2000 Mathematics Subject Classification. 70F25, 70F35.

59. Борисов A.B., Килин A.A., Мамаев И.С. Качение однородного шара по динамически несимметричной сфере.// Нелинейная динамика, 2010, Т.6, N4, с. 869-889.

60. Rumyantsev V.V. Forms of Hamilton's Principle for Nonholonomic Systems.// Facta Universitatis, ser.: Mechanics, Automatic Control and Robotics, Vol. 2, No. 10, 2000, pp. 1035-1048.1. Тезисы на конференциях.

61. Barbashova T.F., Glukhova L.S., Kugushev E.I. Ball Motion with Rough Surfaces Impacts// 4th Chaotic Modeling and Simulation International Conference (Chaos 2011), Book of Abstracts. Agios Nikolaos, Creete Greece, 2011, p. 11.

62. Kugushev E.I., Glukhova L.S. Ball motion with rough surfaces impacts// II International "Optimization and applications" (OPTIMA 2011), Book of Abstracts, Petrovac,Montenegro, 2011, p. 144.

63. Кугушев Е.И., Отраднова JI.C. О движении механической системы с соударениями.// Международная конференция по механике "Шестые Поляховские чтения посвященная 95-летию со дня рождения С.В.Валландера, Тезисы докладов, Санкт-Петербург, Россия, 2012, с. 50.

64. Barbashova T.F., Kugushev E.I., Otradnova L.S. About motion of a spherical body with numerous impacts on symmetric surfaces.// 5th Chaotic Modeling and Simulation International Conference (Chaos 2012), Book of Abstracts, Athens, Greece, 2012, p. 15.

65. Барбашова Т.Ф., Глухова Л.С. О движении шара с ударами о шероховатую плоскость// XIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях Сборник трудов, Т.5, Саратов, Россия, 2010 г., с. 121-122.