Дифференциальные идеалы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Трушин, Дмитрий Витальевич

• Трушин, Дмитрий Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трушин, Дмитрий Витальевич

1 Введение

2 Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов

2.1 Основные определения и понятия

2.2 Идеал сепарант.

2.3 Целые расширения.

2.4 Оценки сложности.

3 Квазиспектр алгебры разделенных степеней

3.1 Основные определения и понятия

3.2 Квазипервичные идеалы.

3.3 Топологический случай.

3.4 Коммутативный случай.

3.5 Ряды Гурвица

4 Общая дифференциальная теория Галуа

4.1 Определения и обозначения.

4.2 Идеалы тензорных произведений.

4.2.1 Алгебраические расширения констант.

4.2.2 Локальная простота.

4.2.3 Универсальные расширения.

4.3 Конструируемые поля.

4.4 Теорема единственности.

4.5 Поля разложений.

4.5.1 Абстрактное поле разложения

4.5.2 Подполе разложения.

4.5.3 Нормальные расширения.

4.6 Соответствие Галуа для нормальных расширений.

4.7 Связь с дифференциально алгебраическими многообразиями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные идеалы»

Понятие дифференциального идеала является одним из наиболее фундаментальных в дифференциальной алгебре. Первый вопрос при изучении дифференциального кольца - это вопрос о структуре его дифференциальных идеалов. Кроме того, в терминах дифференциальных идеалов могут быть выражены различные проблемы, связанные с дифференциальными кольцами. Спектр задач, решаемых на языке дифференциальных идеалов весьма широк (подробный обзор можно найти в [5,24]). Мы опишем лишь направления, затронутые в работе.

Первый большой пласт задач связан со структурной теорией дифференциальных колец. Большой интерес представляет структура дифференциально конечно порожденных алгебр Ритта. Любая такая алгебра может быть представлена в качестве факторкольца кольца дифференциальных многочленов по некоторому дифференциальному идеалу. Таким образом, задача изучения данного класса алгебр сводится к изучению дифференциальных идеалов в кольце дифференциальных многочленов над некоторым дифференциальным полем характеристики нуль. В этом направлении огромную роль играет вычислительная техника работы с многочленами. Так как кольцо дифференциальных многочленов представляет из себя кольцо многочленов от счетного числа переменных, то эффективные вычисления в этом кольце достаточно затруднены. Тем не менее существуют эффективные методы работы с радикальными идеалами, основанные на работе с характеристическими множествами дифференциальных идеалов [8,9,15]. Однако они слабо применимы к нерадикальиым дифференциальным идеалом и к тому же не позволяют отвечать на все интересующие вопросы. В 80-е годы Ф. Оливье [28,29] и Дж. Kappa Ферро [11] были одними из первых, кто ввел понятие дифференциальных стандартных базисов, которые по аналогии с базисами Гребнера решают вычислительные проблемы. Однако такие базисы, вообще говоря, оказываются счетными. И для эффективной работы требуются некоторые критерии конечности для них. Сами основатели теории формулировали некоторые необходимые и достаточные условия конечности, но все они были трудно проверяемы и в результате не давали практической пользы [10,11,28]. Достаточно подробно вопросы конечности дифференциальных стандартных базисов изучались в работах А. И. Зобнина [2,38-40]. Развития в этом направлении удалось достичь за счет расширения класса рассматриваемых упорядочений. С другой стороны, проверку конечности дифференциальных стандартных базисов хотелось бы сформулировать в терминах идеалов, а именно, проверку конечности дифференциального стандартного базиса требуется свести к проверки равенства некоторого идеала всему кольцу. В случае обыкновенного кольца дифференциальных многочленов от одной переменной такой критерий был найден [41]. Для любого дифференциального идеала в кольце обыкновенных дифференциальных многочленов от одной неизвестной можно построить идеал сепарант, который и отвечает за конечность дифференциального стандартного базиса. Указанному критерию посвящена первая часть работы. Более того, предложены способы эффективной проверки требуемого условия, что позволило эффективно опровергать гипотезы о конечности дифференциальных стандартных базисов дифференциальных идеалов из достаточно широкого класса. Следующая задача, возникающая после установления наличия конечного дифференциального стандартного базиса, - это нахождение этого базиса. Первый алгоритмический способ проверки был предложен Ф. Оливье [28]. Впоследствии его значительно улучшил А. И. Зобнин в своей диссертационной работе. Последний предложенный алгоритм заведомо останавливался в случае существования конечного дифференциального стандартного базиса. При этом хочется понять насколько трудоемкими могут быть вычисления. Одной из характеристик сложности работы алгоритма является максимальный порядок элементов стандартного базиса. Используя метод идеала сепарант, можно оценить сверху указанные порядки дифференциального стандартного базиса.

Часто для изучения кольца полезно ограничиться знаниями о структуре его простых идеалов. Подобная идея идет от теории схем, которые эффективно применяются для изучения алгебраических многообразий. В дифференциальной алгебре естественным образом возникает понятие простого дифференциального идеала и простого дифференциального спектра. Однако имеется один неприятный эффект, для нетривиального дифференциального кольца его дифференциальный спектр может быть пуст. Таким образом, из ноля зрения выпадает очень широкий класс дифференциальных колец. В 80-х годах У. Киром был предложен метод, позволяющий преодолеть это препятствие [16]. Им было введено понятие квазипростого дифференциального идеала. Соответственно, у дифференциальных колец возникают квазиспектры, для которых Кир строил соответствующую теорию [17], [19]. Теория схем очень сильно опирается на категориую точку зрения, которой придерживался и Кир. Для категории дифференциальных колец существует забывающий функтор в категорию колец. Важным наблюдением Кира является существование левого сопряженного к нему. Таким функтором является функтор построения рядов Гурвица над коммутативным кольцом. В работах Кира возникла необходимость выяснить связь квазиспектра исходного дифференциального кольца и кольца его рядов Гурвица. Эта задача связана с изучением естественно возникающего морфизма функторов в категории дифференциальных колец. Автором предложен метод, с помощью которого конструктивно описываются квазипростые дифференциальные идеалы рядов Гурвица в терминах исходного кольца. Для этого требуется ввести некоторую топологию на рядах. При построении теории было замечено, что функтор рядов Гурвица можно обобщить на случай некоммутативного кольца. Соответствующая конструкция возникает как обобщение конструкции алгебры разделенных степеней для некоторой алгебры Ли. В итоге, в работе решается задача описания связи квазиспектров в наиболее общем случае, а именно, в случае некоммутативного кольца, на котором действует некоторая свободная конечно порожденная алгебра Ли.

На сегодняшний день достаточную силу в алгебре (включая коммутативную и дифференциальную алгебру) приобрели методы теории моделей. Особую силу демонстрирует ее часть, называемая теорией стабильности [6, гдава 18]. В работах таких математиков, как А. Пиллай [30,32] и Т. Мак Грэйл [27] получены очень сильные структурные результаты дифференциальной алгебры методами теории моделей, которые пока не имеют чисто алгебраических доказательств. В частности, в работе Т. Мак Грэйла [27] было доказано существование и единственность дифференциального замыкания для дифференциальных полей характеристики нуль, которое, в отличие от оригинального доказательства Колчина [22], более явно описывало структуру дифференциального замыкания. В работах А. Пиллая [30] по общей дифференциальной теории Галуа дано полное конструктивное описание структуры дифференциального замыкания и описано соответствие Галуа в общем виде. Более того, используемые теоретико-модельные методы позволили перекинуть результаты на смежную к дифференциальной алгебре область - на теорию разностных колец, в которой, например, доказано существование разностно замкнутых полей [13,26]. Появление столь мощного логического аппарата позволило продвинуться в получении алгебраических результатов в дифференциальной и разностой алгебре. Однако, несмотря на то, что непосредственные ссылки на теоретико-модельные результаты, дают ответы на алгебраические вопросы, структура и механизм возникающих эффектов остается загадкой. Проблема в том, что непонятно за счет чего вдруг в смежной области появляются результаты сильнее тех, которые можно получить алгебраическим путем. За счет чего, за счет каких эффектов достигается такая эффективность? Сразу встает вопрос о получении адекватной алгебраической техники, позволяющей элиминировать теорию моделей. Так как для дифференциальной алгебры, как и для любой другой науки, очень важно уметь получать сильные результаты внутренними методами, методами самой науки. Построению такой техники, адекватно отражающей методы теории стабильности в дифференциальной алгебре, и посвящен третий раздел работы. Оказывается, что построение желаемого алгебраического аппарата основывается на изучении дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциальных колец. Вопросы существования специальных типов дифференциальных идеалов напрямую связаны со структурой дифференциального замыкания дифференциальных полей характеристики нуль. Более того, полученные алгебраические методы не апеллируют к продвинутой алгебраической технике, все они строятся на классических результатах коммутативной и дифференциальной алгебры. Эта техника развивается таким образом, чтобы как можно меньше апеллировать к дифференциальной структуре кольца, это сделано с целью возможности дальнейшего ее применения и в теории разностных колец. В качестве примера па основе полученного алгебраического аппарата строится самый общий вариант дифференциальной теории Галуа. Тем самым мы иллюстрируем, что все основные механизмы, используемые логиками, задействованы и в нашем подходе, тем самым полученная теория позволяет получать чисто алгебраическими методами те результаты, которые до этого имели только теоретико-модельные доказательства. Ниже мы перечислим явно все основные результаты диссертации:

1. Получен критерий конечности дифференциальных стандартных базисов и эффективный способ его проверки в обыкновенном кольце дифференциальных многочленов с одной неизвестной (теорема 15, следствие 18).

2. На основе критерия получен метод вычисления длительности работы алгоритма построения дифференциального стандартного базиса в случае его конечности (лемма 32).

3. Получена связь квазипростых спектров алгебры разделенных степеней и исходного некоммутативного кольца с действием свободной конечно порожденной алгебры Ли. Описан квазиспектр рядов Гурвица в терминах спектра исходного кольца. (Теорема 45 и теорема 51).

4. Получены алгебраические доказательства теоремы Рессера и теоремы единственности дифференциального замыкания для дифференциального поля нулевой характеристики (теорема 86 и теорема 88).

5. Построена общая теория Галуа для дифференциальных уравнений методами не использующими теоретико-модельную технику. В терминах действия группы Галуа дифференциального замыкания оиисана связь дифференциально алгебраического многообразия со структурой локально замкнутых точек дифференциального спектра (теорема 112 и теорема 114).

В первой части работы применяются классические результаты вычислительной дифференциальной алгебры отраженные в работах Колчина, Kappa Ферро, Зобнина [2,10,11,28,38-40]. Основная техника - вычисления с сепарантами в кольце дифференциальных многочленов.

Во второй части работы в коммутативном случае автор опирается на базовую технику, разработанную Киром [16,20]. Для обобщения полученных результатов на случай некоммутативных колец используются идеи, развитые Размысловым в [7], и общие результаты теории некоммутативных колец. Для ссылок на базовые результаты из некоммутативной алгебры мы используем книгу Ламбека [4].

Наиболее сложной с технической стороны является третья часть работы. Элиминация теоретико-модельных методов требует несколько более изысканной алгебраической техиики. Для нас являются основными методы работы со спектрами коммутативных колец и обобщения этих методов на случай дифференциальной алгебры. В наибольшей степени эта техника представляет из себя обобщение разного сорта результатов из коммутативной алгебры (для ссылок мы используем книгу [1]) и комбинацию их с классическими результатами Колчина, отраженными в книге [23].

Автор выражает признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору кафедры высшей алгебры Александру Васильевичу Михалеву. Неоценимую помощь при работе над результатами диссертации оказали к.ф.-м.н.Марина Владимировна Кондратьева, к.ф.-м.н. Алексей Игоревич Зобнин и к.ф.-м.н. Алексей Игоревич Овчинников. Особенно автор хотел бы поблагодарить Марину Владимировну Кондратьеву за подробное обсуждение работы и помощь в построении примеров и контрпримеров, приведенных в ней. Автор также признателен доктору физико-математических наук профессору Евгению Соломоновичу Голоду и к.ф.-м.н. Александру Геннадьевичу Кузнецову за то, что они познакомили автора с коммутативной алгеброй, к.ф.-м.н. доценту Виктору Тимофеевичу Маркову и к.ф.-м.н. Елене Игоревне Буниной за знакомство автора с некоммутативной теорией колец. Автор благодарит Уильяма Кира1 за плодотворные беседы по теории дифференциальных колец и Юрия Питиримовича Размыслова за знакомство автора с теорией представлений алгебр.

Автор посвящает работу памяти Евгения Васильевича Панкратьева, который ввел автора в прекрасный мир компьютерной и дифференциальной алгебры.

1\\ШЦат КодЬсг

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трушин, Дмитрий Витальевич, 2010 год

1. Атья M., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.

2. Зобнин А., О стандартных базисах в кольце дифференциальных многочленов. Фундаментальная и прикладная математика, том 9, вып. 3, стр. 89-102 (2003).

3. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: Мир, 1959.

4. Ламбек И. Кольца и модули. Факториал-Пресс. 2005.

5. Михалев А. В., Панкратьев Е. В. Дифференциальная и разностная алгебра. Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия, том 25, Москва, 1987

6. Пуаза Б. Курс теории моделей, 2001. Электронная книга http://www.math.nsc.ru/LBRT/logic/books/poizat/

7. Размыслов Ю. П. Введение в теорию алгебр и их представлений. Издательство московского университета. Москва. 1991.

8. Boulier F., Étude et implantation de quelques algorightmes en algèbre différentielle, Thèse de I'Universiteté des Seines et Technologies de Lille, 1994.

9. Boulier F., Lazard D., Ollivier F., Petitot M., Representation for the Radical of a Finitely Generated Differential Ideal, in Prociidings of 1995 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 158166, ACM Press, 1995.

10. Carrà Ferro G. Grôbner bases and differential algebra. Lectures notes in computer science, 356:129-140, 1989

11. Carra Ferro G. Differential Grôbner Bases in One Variable and in the Partial Case, Math. Comput. Model., Pergamon Press, vol. 25, 1-10, 1997.

12. Chatzidakis Z., Hrushovski E., Model theory of difference fields, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), no. 8, 2997-3071

13. Eisenbud D. Commutative algebra with a view Toward Algwbraic Geometry. Springer-Verlag. 1994.

14. Hubert E., Notes on triangular sets and triangulation-décomposition algorithms. II: Differential Systems, Symbolic and Numerical Scientific Computing 2001, 40-87, 2003.

15. Kcighcr W. Quasi-prime ideals in differential rings. Houston J. Math 4, (1978), 379-388.

16. Kcigher W. On the quasi-affine scheme of a differential ring. Advances in Math. 42 (1981), 143-153.

17. Keigher W. Differential rings constructed from quasi-prime ideals. J. Pure Appl. Algebra 26 (1982), 191-201.

18. Keigher W. On the structure sheaf of a differential ring. J. Pure Appl. Algebra 27 (1983) 163-172.

19. Keigher W. On the ring of Hurwitz series. Comm. Algebra 25 (1997), 18451859.

20. Kolchin E. R. On the Exponents of Differential Ideals. The Annals of Mathematics, Second Series, Volume 42, Issue 3 (Jul., 1941), 740-777.

21. Kolchin E. R. Constrained Extensions of Differential Fields. Advances in Math, 12, 1974, pp. 141-170.

22. Kolchin E. R. Differential Algebra and Algebraic Groups. Academic Press, New York, 1976.

23. Kondratieva M. V., Levin A. B., Mikhalev A.V., Pankratiev E.V. Differential and Difference Dimension Polynomials, Kluwcr Academic Publisher, 1999.

24. Kovacic J. J. The differential Galois theory of strongly normal extensions. Trans. AMS, Vol 355, Number 11, 2003, pp. 4475-4522.

25. Macintyre A., Generic automorphisms of fields, Ann. Pure Appl. Logic 88:2-3 (1997), 165-180.

26. McGrail T., The Model Theory of Differential Fields with Finitely Many Commuting Derivations, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 65, No. 2 (Jun., 2000), pp. 885-913

27. Ollivier F. Standard bases of differential ideals. Lectures notes in computer science, 508: 304-321, 1990

28. Ollivier F., Le problème de l'identifiablité structurelle globale, thèse de doctorat, École polytechnique, 1990.

29. Pillay A. Differential Galois theory II. Annals of Pure and Applied Logic Volume 88, Issues 2-3, 17 November 1997, Pages 181-191

30. Pillay A., Marker D. Differential Galois Theory III: some inverse problems. Journal of Mathematics, vol 3, 1997, pp. 453-461

31. Pillay A. Differential Galois theory I., Illinois J. Math., 42 (1998), 678-699.

32. Ritt J. F. Differential Algebra, volume 33 of American Mathematical Society Colloquium Publication. Lectures notes in computer science American Mathematical Society, New York, 1950.

33. Rosenlicht. M. The nonminimality of the differential closure. Pacific J. Math, vol 52 issue 2, 1974, pp. 529-537

34. Scanlon T. Model Theory and differential algebra. World Scientific. 2002, pp. 125-150

35. Shelah S. Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally transcendental first order theories. J. Symbolic Logic, vol 37, 1972, pp. 107-113

36. Singer M. F. and vander Put M. and Galois Theory of Linear Differential Equations Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 328, Springer, 2003.

37. Zobnin A., On Testing the Membership to Differential Ideals. In Proceedings of the 7th International Workchop on Computer Algebra in Scintific Computin (CASC-2004), July 12-19, St. Petersburg, Russia, pp. 485-496 (2004).

38. Zobnin A., Admissible Orderings and Finitness Criteria for Differential Standard Bases. In Proceeding of International Symposiom on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC-2005), Jully 24-27, Beijing, China, pp. 365-372 (2005)

39. Zobnin A., Some Results on Differential Grobncr Bases. Om Proceeding of A3L-2005 (Conference in Homor of the 60th Birthday of Volker Weispfenning), April 3-6, Passau^ Germany, pp. 309-314.

40. Трушин Д., Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов. Фундаментальная и прикладная математика, том 13, вып. 1, стр. 215227 (2007).

41. Трушин Д., Квазиспектр алгебры разделенных степеней. Фундаментальная и прикладная математика, том 14, вып. 4, стр. 213-226 (2008).

42. Трушин Д., Общая дифференциальная теория Галуа. Вестник московского университета, вып. 3, 2010, стр. 38-39.

43. Трушин Д., Поля разложения и общая дифференциальная теория Галуа. Математический сборник, том 21, ном. 9, 2010, стр. 77-110