Диагональные последовательности коэффициентов Лорана мероморфных функций многих переменных и их применение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Почекутов, Дмитрий Юрьевич

• Почекутов, Дмитрий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Почекутов, Дмитрий Юрьевич

Введение

Глава 1 Асимптотика диагональной последовательности коэффициентов Лорана мероморфной функции

1.1 Амебы комплексных алгебраических гиперповерхностей

1.2 Амебы произвольных комплексных гиперповерхностей

1.3 Контур амебы и логарифмическое отображение Гаусса

1.4 Основная теорема об асимптотике.

Глава 2 Производящие функции диагональных последовательностей

2.1 Метод разделяющих циклов.

2.2 Одномерные диагонали и интегральные представления для них.

2.3 Диагонали рациональных функций двух переменных

2.4 Диагонали размерности п — 1.

Глава 3 Применение в статистической физике

3.1 Метод наиболее вероятного распределения.

3.2 Среднее значение для чисел заполнения и коэффициент Лорана.

3.3 Условия простоты контура.

3.4 Асимптотика средних для чисел заполнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диагональные последовательности коэффициентов Лорана мероморфных функций многих переменных и их применение»

По всей видимости, впервые диагональная последовательность коэффициентов сюпенного ряда нескольких переменных была рассмотрена Пуанкаре в [9] при исследовании аномалии движения планет.

Поскольку не существует л нпвсрс длъного опреде юния асимптотического ряда, зависящего от нескольких переменных достаточно мотивированным является вопрос об описании асимптотик диагональных последовательностей коэффициентов ряда. Коэффициенты ряда Тейлора часто имеют комбинаторный смысл, поэтому такая задача является весьма важной в перечислительной комбинаторике (см. [34]). Метод Дарвнна-Фаулера [18, 19] в статистической физике, с помощью которого находится основное состояние термодинамического ансамбля, своди 1ся к задаче об отыскании асимптотики диагональной последовательности коэффициентов ряда Лорана некоторой мероморфной функции дв\ \ переменных.

В работе Циха [15] была решена проблема устойчивости двумерного цифрового фильтра на основании описания асимптотики диагональной последовательности для ряда Тепло]и мероморфной функции двух переменных. Подходы, намеченные в этой статье, а именно представление с помощью методов теории вычетов диагонального коэффициента в виде осциллирующего интеграла и последующее изучение такого интеграла с помощью метода стационарной фазы, в случае многих переменных используются Пемапглом и Вильсоном [34].

В известной монографии [27] Гсльфаида, Зелевпнского, Капранова было дано определение амебы алгебраической гиперповерхности. В работе [6] Лейнартаса. Пассарс. Цпха было показано, что перспективно описывать асимптотику диагональной последовательности ряда Лорана рациональной фукнции в терминах амебы полярной гиперповерхности и понятия логарифмического отображения Гаусса этой гиперповерхности. В ходе работы над диссертацией выяснилось, что при обобщении метода Дарвина-Фаулера на случай ансамбля, системы которого характеризуются п-мернымп параметрами, необходимо рассматривать амебы произвольных комплексных гиперповерхностей.

При исследовании степенного ряда (по положительным степеням) весьма важным является вопрос принадтежности суммы этого ряда какому-либо классу функции рациональных, алгебраических, В-конечных (Фурштенберг [26]. Сафонов [11]. Денсф-Лнпшпц [20, 29]). Некоторые признаки принадлежности могут быть получены в терминах диагональных последовательностей. Например, еще Полна в [35] заметил, что сумма ряда является алгебраичиа, если он является производящей функцией диагональной последоватечьности коэффициентов ряда Тейлора двух переменных, а Сафоновым в [12] доказано обращение этого факта.

Таким образом, вопрос об описании асимптотик диагональных последовательностей и их производящих функций привлекал внимание многих исследователей на протяжении последних ста лет. Он остается ак гуальиым и в настоящее время, причем не только для рациональных, по и гимя мероморфных функций.

Цель диссертации состоит в построении конструктивных формул для асимптотик диагональных последовательностей коэффициентов

Лорана мероморфных функций многих переменных, а также в иссле-довани задачи об алгебраичности производящих функций таких последовательностей в случае коэффициентов рациональной функции. В качестве приложений - исследовать многопараметрическую модель квантовой термодинамики.

В работе используются методы многомерной теории вычетов и интегральных представлений. Большую роль играет понятие амебы комплексной гиперповерхности полюсов мероморфной функции. С помощью этого понятия кодируется ряд Лорана мероморфной функции и его область сходимости. В совокупности с теорией вычетов и интегральных представлений методом стационарной фазы исследуется асимптотика коэффициентов Лорана вдоль заданных направлений. В задаче об алгебраичности производящей функции используются методы алгебраической топологии, а именно, свойства гомологических циклов, разделяющих наборы гиперповерхностей в комплексном многообразии.

Основные результаты диссертации являются новыми, перейдем к их краткому изложению.

В первой главе изучаются асимптотики кратной последовательности коэффициентов ряда Лорана мероморфной функции.

Пусть .Р - мероморфная функция п переменных, и

Р{2) = £ сагп (1.1) об 2" некоторый ее ряд Лорана с центром в нуле. Диагональной последовательностью коэффициентов ряда называют одномерную последовательность

КЛ = ск.чик.(1п. к € Z полученную из {са} сужением мультиндекса а на прямую с фиксированным направляющим вектором д £ = Ъп \ {0}.

Важную роль при изучении асимптотики диагональной последовательности играет понятия амебы для полярной гиперповерхности ме-роморфной функции (1.1).

Введем для комплексного тора С \ {0} обозначение Т. Определение ([27], и. 6.1). А чебой Ау комплексно-алгебраической гип ерп оверхност и

V = {z£ Т" : Q{z) = 0} (пли полинома Q) называется образ V при отображении

Log : Т" -»• К", определенном формулой

Log: (zL,.,z„) (log |гх . ,log|~„|).

Обозначим, через Nq многогранник Ньютона полинома Q, те. выпуклую оболочку в М" всех показателей мономов, учавствующих в полиноме Q. Для каждой целочисленной точки v G JJq определим двойственный конус к многограннику Nq в точке и, как множество

Cv = {s 6 К" • (а, и) = max (s.a)}.

Напомним, что конусом рецессии выпуклого множества Е С К" называется наибольший конус, который некоторым сдвигом, можно поместить в Е. Связь между комбинаторикой многогранника Ньютона Nq полинома Q и структурой дополнения Rn \ Ау амебы описывает следующая теорема Форсберга, Пассаре, Циха из [23].

Теорема. На мно'лсестве связных компонент {Е} дополнения Ш"\ Ау существует ишективная функция порядка v : {Е} -»• Z" П Hq такая, что двойственный конус С^) к многограннику Ньютона в точке v{E) есть конус рецессии компоненты Е.

Имеется взаимнооднозначное соответствие между связными компонентами {Ер} дополнения Мп \ Ау и разложениями Лорана (с центром в нуле) несократимой дроби ^Р(^) = Множества Ьой1(£г/) п есть области сходимости соответствующих разложений Лорана. Поэтому можно идентифицировать такое разложение с помощью компоненты дополнения к амебе пли целочисленной точки многогранника Ньютона.

Вместо полинома рассмотрим теперь ряд Лорана переменных 2 = (-!,. 2П):

Предполагаем, что его область сходимости С непустая, и что ф 0. Также будем предполагать, что С] имеет нули в О П Т". Для гиперповерхности нулей суммы ряда в области С определим амебу также, как и в алгебраическом случае: Ау — Ьо&(У).

Введем обозначение

9 = Ъ0£(0 для образа области сходимости С ряда С,). Хорошо известно [2], что 3 -выпуклая область. В алгебраическом случае, когда С} - полином, 3 совпадает со всем М". а амеба Лу является собственным подмножеством в 3 с открытым дополнением. В общем случае это не так, и может иметь место равенство Ау —■ 3- Чтобы исключить эту ситуацию, потребуем. чтобы носитель А ряда С} лежал в некотором заостренном конусе, т.е. чтобы замыкание X выпуклой оболочки ск{А) не содержало прямых. Следующее утверждение обобщает на неалгебраический случай результат М.А. Мкртчяна и А.П. Южакова [8], гг частично - цитированную выше георему Форсберга, Пассаре и Цпха.

Теорема 1.1. Если для ряда Q множество TsT = ch{Ä) не содержит прямых, то дополнение Sj-- 0. Множеству вершин v многогранника N соответсвует семейство попарно различных связных компонент Е = Е„ дополнения S \ Л у.

Контуром Qy амебы Av называется множество критических значений отображения Log, суженного на гиперповерхность V :

Log : V —> R".

Пусть U С (С \ 0)" малая окрестность точки с 6 reg V. Выберем ветвь голоморфного в U отображения log^ : U —> С"'. Тогда логарифмическое отображение Гаусса поверхности V - это отображение

7 : reg V СРНЬ которое точке z ставит в соответствие нормальную прямую к образу logf/(V) в точке \ogu(z). Очевидно, действие 7(z) не зависит от выбора ветви log и . В координатной записи оно задается формулой [30]: 9Q dQ\

Известно [30], что контур амебы e^ = Log(7-1(MP»-i))) иными словами, логарифмическое отображение Гаусса переводит критические точки отображения Log|F в вещественные. Обращение 7~1({?) логарифмического отображения Гаусса является решением системы уравнений (1.2) qnziQz, - <liZnQzn = 0, г = 1,., n - 1, где Q-i = fß-- Если V - алгебраическая гиперповерхность в торе Т". то степень deg7 логарифмического отображения Гаусса равна нормированном}' объему многогранник Ньютона для Q(z) [30J: cleg7 = 7i\ • voI(Nq).

Если при этом V - гиперповерхность общего положения (гладкая в подходящей торической компактификации X э Т"), то степень deg-) равна числу прообразов #7'~1(д) точек q G CP„i общего положения (в них система (1.2) не имеет корней в1\Т",а все корни в Тп простые).

Структура контура амебы может быть довольно сложной: содержать внутренную часть, точки контура могут иметь различное число прообразов. Введем понятие простоты для участка контура, являющегося границей связной Е компоненты дополнения S \Л\-.

Конусом компоненты Е с гладкой границей дЕ назовем конус Ке . порожденный внешними нормалями к дЕ. Иными словами, Ке - это образ дЕ при обычном отображении Гаусса а : дЕ —> S"^1.

Определение 1.2. Гладкую границу дЕ связной компоненты Е назовем простой, если для каждого ,т € дЕ вещественный тор Log-1 (ж) пересекает V в единственной точке zd-, причем логарифмическое отображение Гаусса 7 гиперповерхности V локально обратимо в этой точке.

Рассмотрим разложение мероморфной функции в ряд Лорана (1.1), сходящийся в прообразе Log~1(£') компоненты Е.

Теорема 1.2. Пусть граница дЕ простая. Тогда для любого q 6 Z"ПКе диагональная последовательность {г^.д-} имеет при к —4 +оо асимптотику вида с, А- = А-1? • z-*k\q) ■ {C(q) + 0(k~1)} , (1.4) где z(q) = V П Log"-1^-1^)), а константа C(q) обращается в нуль лишь в случае, когда P(z(q)) = 0.

Вторая глава посвящена исследованию вопроса об алгебраичности производящих функций для диагональных последовательностей лора-новских коэффициентов рациональной функции многих переменных.

При рассмотрении степенного ряда одним из основных вопросов является вопрос принадлежности суммы этого ряда некоторому классу функций (рациональных, алгебраических, У^-копечных). Критерии ал-гебраичности степенных рядов, в частности, диагоналей рядов Тейлора, могут быть найдены в работах Сафонова [11, 36]. Изучению принадлежности диагоналей рядов Тейлора рациональных и алгебраических функций так называемому классу Г)-финигных функций посвящены работы Денефа и Липшица. Отдельный интерес представляют диагонали степенных рядов над нолями конечной характеристики (см. [20, 26, 29]).

Пусть дана рациональная функция п переменных

Ы .*„)'■ где Р и - несократимые полиномы. Рассмотрим произвольный ряд Лорана для ^ с центром в нуле: I] ^ = Л с«1-«п^1а1 * • • (2.2)

В Ъ" зафиксируем направление д, которое определяет две диагональные подпоследовательности {сг.9}/ег+ и {с/.^}/^. кратной последовательности {с,.у} (для определенности полагаем, что - это множество неотрицательных целых чисел, а Z - множество отрицательных целых чисел).

Производящие функции = (2.3) б2± указанных подпоследовательностей назовем односторонним и д-диагоналями ряда (2.2). Соответственно, сумму назовем полной (¡-диагональю.

Вначале детально изучается случай рациональной функции двух переменных:

Рассмотрим ее произвольный ряд Лорана с центром в нуле:

F{zuZ2)= ]Г (2.6)

В предположении несократимости дроби этот ряд сходится в некою-рой области Log~l(E), соответствующей компоненте Е из дополнения Ж2 \ Ау.

Теорема 2.1. Для любого q= (r/i. (¡2) G Z; полная диагональ эо к=—ОС всякого ряда Лорана (2.6) является алгебраической функцией.

Теорема 2.2. Для любого q = (qi, </2) £ Z'f односторонняя диагональ ряда Лорана (2.6), связанного с неограниченной компонентой Е, является алгебраической функцией.

Утверждение последней теоремы неверно для рядов, соответствующих ограниченным компонентам Е. Рассмотрим, например, рациональную функцию двух переменных

1 1

Q(z) zfz2 — ^ZiZo + Z1Z2 + 1'

На единичном остове = \zi\ = 1 модуль монома AZ{Z2 больше суммы модулой трех остальных мономов, поэтому точка (0. 0) = (log 1 Jog L) не принадлежит амебе полинома Q, более того, она лежит в компоненте с порядком v = (1Л). Так как точка (1,1) - внутренняя точка многогранника Ныотона Nq, то Е = Е\Л - ограниченная компонета.

Разложение Лорана для 1/Q(z) в Log~1(E\.i) следующее:

1 v- /1 + zxz\ + z\z2У 4*1*2 fM 4ZIZ2 J

Ег -«1 „<*2

Ж2 где ^ 1 / А,'1 + к2 \ { «о + Ь + 1 с<"-"г= Ь. Ь А

А1!—2кг=п\ 1 "2+2

Диагонали с/* представленного разложения Лорана не являются алгебраическими.

Заметим, что Теоремы 2.1 и 2.2 не остаются справедливыми уже при п = 3. Так диагональ ряда Тейлора для функции 1

1 — ^1 — г-2 — ^з не является алгебраической [26].

Введем важный класс диагоналей, для которого Теорема 2.1 обобщается на случай нескольких неременных. Рассмотрим для ряда Лорана (2.2) следующую (п — 1)-мерную диагональ

12 := Е (2.11) „о.Лбг»-1

Ранее в [20] такие диагонали рассматривались для степенных рядов по положительным степеням и были названы примитивными. По аналогии назовем (2.11) полной примитьвпой диагональю ряда Лорана (2.2).

Заметим, что полная (1., 1)-диагональ является композицией примитивных, например, при п — 3

1.1.1 )(*)=/2з(/12(^)).

Поэтому в указанном смысле следующая теорема дает обобщение Теоремы 2.1 на многомерный случай.

Теорема 2.3. Полная примитивная диагональ (2 11) ряда Лорана (2.2), связанная с компонентой Е. является алгебраической функцией.

Третья глава посвящена применению диагональных последовательностей к задачам статистической физики. Мы рассматриваем термодинамический ансамбль И, состоящий из N идентичных слабовзаи-модействующих систем. В классическом случае энергия каждой системы может принимать одно из прокваптованных значений

О = £() < £\ < £2 < ■ • ■, £

Каждый выбор энергий из всего спектра {0, £\,£2- ■ ■ •} характернее г состояние ансамбля. Будем полагать, что суммарная энергия £ ансамбля постоянна. При изучении поведения ансамбля основным является вопрос об отыскании распределения систем ансамбтя по состояниям, в которых он может находиться.

Вообще говоря, состояния ансамбля можно классифицировать различными способами. Так можно рассматривать задачу нахождения наиболее вероятного состояния ансамбля при N >> 1. Дарвин и Фау-лер в [18, 19] предложили другой мегод по описанию распределении энергий, основанный на асимптотическом описании средних значений для распределений. Отметим, что работы Дарвина и Ф аул ера сыграли большую роль в части внедрения в математическую физику метода стационарной фазы.

Основная цель третьей главы состоит в распространении результата Дарвина-Фаулера на случай, когда система ансамбля характеризуется »-мерным параметром = (е^,. ,£'{.) из заданного спектра. В этом случае статистическая сумма (сумма по состояниям) ансамбля есть ряд

3.5) к а основные соотношения термодинамики приобретают вид z:

Uj = 3 = 1, • • • • (3.6) и lт^ ak = N~, (3.7) где и = (lii,. .un) = E/N - средняя энергия ансамбля, a а^ - число систем ансамбля 11 со спектральным значением гд. Эти соотношения трактуются так: наиболее вероятные значения а/, выражаются при N » 1 формулой (3.7), где является решением из М" системы (3.6).

Рассмотрим задачу об асимптотическом поведении средних значений 1ц для чисел заполнения сц- при фиксированных отношениях и = E/N. В случае, когда V = Гz - график статистической функции w = Z(zi,., zn), критические точки для Logl^ определяются поднятием на график V решения £ — z(u) системы уравнений (3.6) для и G М" С RIP,, С С1Р„. На амебе графика Г % такие решения параметризуют контур амебы. С помощью Теоремы 1.2 доказывается

Теорема 3.1. Пусть спектр S = {гд} порождает решетку Z", и точка z = z(u) G М" удовлетворяет систе.ие (3.6). Тогда при N —> оо средние значения ak для чисел заполнения энергии с/,- имеют вид ак ~ N z г=г(„) и совпадают с наиболее вероятными значениями а^.

Вопрос о допустимых средних значениях энергий и. т.е. обеспечивающих сз'ществоваиие решения z(u) € М" для системы (3.6), решается следующей теоремой, где через № обозначена внутренность выпуклой оболочки в Е'г спектра S = {еа-} С N".

Теорема 3.2. Пусть спектр 5 = {е^} порождает решетку Ъп. Тогда для всякого и € № система (3.6) имеет в Ж" единственное решение г = г (и), и для таких и средние значения сЦ~- совпадают с ■1 шиболее вероятными.

Важную роль в доказательстве этого результата играет Теорема 1.1.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Почекутов, Дмитрий Юрьевич

Основные результаты:

1) Найдена асимптотика коэффициентов Лорана мероморфных функций многих переменных в терминах контура амебы гиперповерхности полюсов.

2) Доказано, что полная диагональ ряда Лорана рациональной функции п переменных явчяетоя алгебраической функцией. В случае г/ = 2 доказана алгебрапчноегь односторонней диагонали, если ряд сходится в неограниченной области.

3) Получено обобщение метода Дарвина-Фаулера на случай мульти-энергстического спектра: а) доказано, что в термодинамическом пределе средние значения чисел заполнения энергий совпадают с наиболее вероятными; б) найдена область допустимых значений средней энергии для существования термодинамического предела.

Заключение

Полученные результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и теоретической физике.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Почекутов, Дмитрий Юрьевич, 2010 год

1. Айзенберг И.А. Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты многомерном комплекоюм анализе, Новосибирск: Наука. 1979.

2. Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М.: Наука, 1964.

3. В.А. Зорин., Математический анализ задач естествознания, МЦНМО, 2008.

4. Кузвесов К.В., О критических точках мономиальных функций на алгебраических гиперповерхностях. Вестник Крас ГУ 1 (2006), '72-76.

5. Кузвесов К.В., Контур компактифицированной амебы гиперплоскости, Вестник КрасГУ 7 (2006). 85-90.

6. Лейнартас Е., Пассаре М., Цих А. Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнении. Матом, сб. 199:10 (2008), 87-104.

7. Лере Ж., Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии, М.: ПЛ, 1961.

8. Мкртчян М.А., Южаков А.П., Многогранник Ньютона и ряды Лорана рациональных функций п переменных. Изв. Акад. Наук АрмССР. 17 (1982), 99-105.

9. Пуанкаре А., Избранные труды в трех томах, Т 1. М.: Наука, 1971.

10. Сафонов К.В., Цих А.К., Об особенностях вычета Гротендика, зависящего от параметра, и диагонали двойных степенных рядов, Изв. вузов. Математика. 4 (1984), 57-58.

11. Сафонов К.В., Об условиях алгебраичности и рациональности суммы степенного ряда, Матем. заметки. 41:3 (1987), 325-332.

12. Сафонов К.В., Критерий алгебраичности суммы степенного ряда (обобщение критерия Кронекера) и его применение. Доклады Акад. Наук. 424:1 (2009), 19-21.

13. Федорюк М.В., Метод перевала, М.: Наука, 1977.

14. Цих А.К., Многомерные вычеты и их приложения, Новосибирск: Наука, 19S8.

15. Цих А.К., Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных, Матем. сб. 182:11 (1991), 1588-1612.

16. Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ. Часть 2, М.: Наука, 1985.

17. Born М. Natural philosophy of cause and chance, Oxford, 1949.

18. Darwin C.G., Fowler R.H., On the partition of energy, Phil. Mag. 44: (1922):261, 450-479.

19. Darwin C.G., Fowler R.H. On the partition of energy Part II Statistical principles and thermodynamics, Phil. Mag. 44: (1922):261, 823-842.

20. Dencf J., Lipshitz L., Algebraic power series and diagonals. J. Number Theory. 26 (1987), 46-67.

21. Djokovic D.Z. A propetries of the Taylor expansion of rational function in several variables J. of Math. Anal, and Appl. 66 (1978), 679-685.

22. Forsberg M., Amoebas and Laurent series, Doctoral thesis. Royal Institute of Technology. Stockholm. 1998.

23. Forsberg M., Passare M., Tsikh A., Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas, Adv. in Math. 151 (2000). 5470.24 2526