Амебы комплексных плоскостей и разностные уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кузвесов, Константин Валерьевич

• Кузвесов, Константин Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузвесов, Константин Валерьевич

Введение

1 Контуры амеб и логарифмическое отображение Гаусса

1.1 Контур компактифицированной амебы гиперплоскости

1.2 Контуры комплексных прямых

1.3 Примеры амеб комплексных прямых.

1.4 Контуры амеб для ферматик.

1.5 Основная теорема о связи между контурами и логарифмическим отображением Гаусса.

2 Критические точки мономиальных функций на алгебраических множествах и асимптотика разностных уравнений

2.1 Критические точки мономиальных функций на гиперповерхностях и логарифмическое отображение Гаусса.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Теорема о плотности мономиальных функций с морсовскими особенностями.

2.4 Многомерные разностные уравнения.

2.5 Многомерная версия теоремы Перрона об асимптотике решений разностных уравнений 1-го порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Амебы комплексных плоскостей и разностные уравнения»

Определение амебы алгебраической гиперповерхности было сформулировано относительно недавно в известной монографии Гельфанда-Капранова-Зелевинского [13] (1994 г.). Неудивительно, что ввиду фундаментальности понятия амебы оно могло возникнуть и в более ранних исследованиях, связанных с разложением Лорана рациональных функций многих переменных, либо в попытках описать предельные положения алгебраических множеств [10] (1971 г.).

Пионерскими работами по теории амеб являются статьи Форсберга-Пассаре-Циха [12] (2000) и Михалкина [18] (2000). После этих работ появилось множество других, связанных как с описанием самих амеб (Михалкин-Рульгорд [19], Энрикес [15], Теобальд [24], Нисс [20]), так и с их применением в теории димеров (Кеньон-Окуньков-Шеффилд [17]), в теории расширений неархимедовых нолей (Айнзидлер-Капранов-Линд [11]), и др. Благодаря этим работам получило существенное развитие новое направление — тропическая геометрия (Капранов, Штурмфельс, Михалкин и др.) Недавно, Лейнартасом-Пассаре-Цихом [5] (2005) теория амеб была применена к исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров [9].

Несмотря на обилие работ по тематике, лишь в С2 хорошо исследована структура амеб и развиты методы их построения, а в n-мерной ситуации многие фундаментальные вопросы остаются неисследованными. Например, строение контура амеб даже для плоскостей произвольной размерности пока неизвестно (в данной работе полностью исследованы два крайних случая — размерности 1 и коразмерности 1).

Цель диссертации состоит в описании контуров амеб для поверхностей произвольной коразмерности, их логарифмического отображения Гаусса, а также исследовании критических точек мономиальпых функций и приложении полученных результатов к описанию асимптотики решений разностных уравнений.

Исследование контуров амеб комплексных плоскостей проводится с использованием понятия компактифицированной амебы [12] и логарифмического отображения Гаусса [16]. Для формулировки теоремы о контурах амеб произвольных поверхностей понятие логарифмического отображения Гаусса обобщается на случай поверхностей произвольной коразмерности.

Критические точки мономиальных функций исследуются с привлечением теории Морса [6]. В основе исследований асимптотики решений разностных уравнений лежит результат Лейнартаса-Пассаре-Циха — многомерная версия теоремы Пуанкаре для систем разностных уравнений с переменными коэффициентами [5], а также теория многомерных вычетов и некоторые факты топологии гиперповерхностей в комплексном торе [2].

Перейдем к изложению основных результатов диссертации, опубликованных в статьях [25]-[28].

Первая глава посвящена изучению контуров амеб различных поверхностей. Мы будем рассматривать поверхности в (С\{0})п, поэтому введем для этого множества специальное обозначение

Г = (С\{0})п. и будем называть его комплексным n-мерным тором.

Понятие амебы, впервые введенное Гельфандом-Капрановым-Зеле-винским для гиперповерхности в [13], без изменений можно перенести на произвольное алгебраическое множество [21].

Определение. Амебой Лу алгебраического множества V С Т" называется образ V при логарифмическом отображении Log : Tn —► М", действующем по формуле:

Log : (zb.,zn) -f (1од\г} |,., log\zn\).

Важным при изучении амеб является понятие контура амебы [21].

Определение. Контуром амебы Лу называется множество Су критических точек логарифмического отображения Log, суженного на V:

Log : V —> Rn.

Строение контура описывается с помощью логарифмического отображения Гаусса. В данной работе понятие логарифмического отображения Гаусса, введенное Капрановым в [16] для гиперповерхностей, обобщается на случай поверхности V коразмерности к.

Определение. Пусть Gv(n,k) — грассманиан /г-мерных подпространств в Сп. Логарифмическим отображением Гаусса назовем отображение 7 : V —> Gr(n,k), которое каждой гладкой точке z £ reg V ставит в соответствие нормальное подпространство 7(z) к образу log У.

В случае гиперповерхности в торе

V = {z е Г : f{z) = 0} т.е. в случае, когда к = 1 и, тем самым, Gr(n, 1) = CPrai) логарифмическое отображение Гаусса 7 : V —> CP„i имеет следующий аналитический вид:

Теорема [18], [24]. Точка гиперповерхности V является критической для отображения Log\v тогда и только тогда, когда ее образ при логарифмическом отображении Гаусса леснсит в действительном проективном подпространстве МРП

1 С СРП1.

Таким образом, контур Су амебы Ау гиперповерхности есть множество Log(7-1(MPn-i))

Граница амебы дАу для гиперповерхности V всегда входит в контур Су, но в общем случае не совпадает с ним. Поэтому границу дАу мы назовем внешней частью контура, а дополнение Су \ дАу — внутренней частью.

Описание контура амебы поверхности произвольной коразмерности является трудной задачей. Определенные затруднения вызывает уже построение амебы гиперплоскости в С3. Поэтому в первой главе вначале подробно изучаются две крайние ситуации:

1) случай гиперплоскости в Сп и

2) случай комплексной прямой в С".

В обоих случаях описание строения контура амебы дается в явном виде, однако в случае гиперплоскости это удается сделать лишь с привлечением понятия компактифицированной амебы [12].

Определение. Компактифицированной амебой Ау проективного алгебраического многообразия V С СРп, заданного в однородных координатах (Z0 : ■ ■ ■ : Z„), называется образ этого многообразия при моментном отображении /х: СР„ —> Еп

7 . . 7 \ ' ' ' ' в стандартный симплекс Е„ = {£ € En+1 : tj ^ 0,to-\-----h tn = 1}.

Для компактифицированной амебы аналогично определяется ее контур, как образ множества критических точек проекции Log|v при моментном отображении ц.

В параграфе 1.1 доказывается теорема, описывающая строение контура компактифицированной амебы гиперплоскости (данное утверждение является усилением предложения 4.2 из [12]).

Теорема 1.1. Компактифицированная амеба Ау гиперплоскости

V = {z е Г : / = bo + blZl + -. + bnzn = 0}, bj ф 0, есть n-мерный многогранник в симплексе Еп с 2(n + 1) гипергранями, заданный условиями п

Ц > о, ti = 1, Pjtj ^ Pjtk, j = 0,., n, гс>е pj — \bj\. Внешняя часть контура амебы (т.е. лежащая на границе дАу) состоит из п + 1 симплициальных граней Ау: t £ £„ : Pjtj = fatk > , j = 0, • • •, n,

I Mi J а внутренняя часть — из 2n — n — 2 многогранников вида С {0,., п}, 2<#/<п-1.

I fee/ ш )

Амеба комплексной прямой в С™ уже не всегда имеет контур. В параграфе 1.2 приводятся условия существования контура амебы комплексной прямой и описание его строения.

Теорема 1.2. Контур амебы комплексной прямой в Сп,п > 2, задаваемой уравнениями z2 = a2zi + b2

Zn — &nZ\ + bn непуст тогда и только тогда, когда афк

При этих условиях контур амебы представляет собой образ вещественной прямой х Irn ^ = у Re на комплексной плоскости переменного lj Uj z\ = x + iy при отображении Log.

В параграфе 1.3 эта теорема иллюстрируется примерами. Параграф 1.4 посвящен применению контура амебы при построении ретракций ферматик

V = {(zi,z2)e С2: zk1+zk2 = l}.

В заключительном параграфе первой главы описывается связь между контуром амебы и логарифмическим отображением Гаусса для алгебраической поверхности КсС" произвольной комплексной размерности d.

Теорема 1.3. Точка z G reg V является критической для отобра

СНССН11Я/

Log тогда и только тогда, когда образ у(z) логарифмического отображения Гаусса содержит

1) хотя бы п — 2d + 1 линейно независиммх над С вещественных векторов при 2d ^ п,

2) хотя бы один вещественный вектор при 2d ^ п.

В частности, в случаях гиперповерхностей (d = п — 1) и кривых (d = 1) точка z критическая тогда и только тогда, когда логарифмическое отображение Гаусса ■j(z) вещественно.

Приведенная теорема 1.3 обобщает результаты статей [18], [24] для гиперповерхностей.

Вторая глава посвящена исследованию критических точек мономи-альных функций на алгебраических поверхностях применительно к описанию асимптотического поведения решений разностных уравнений. Мономиальные функции qe zn, суженные на алгебраическое множество V € Тп, играют важную роль в теории разностных уравнений, т.к. выступают ядрами интегральных представлений для экспоненциальных решений [5], [7] вида г) = Jzxu(z), х е Z", (0.1)

Ck где Ck € Zk(V) — /с-мерный цикл, a j(z) — голоморфная к-форма на характеристическом множестве V разностного уравнения.

С целью изучения асиптотического поведения решения f(x). его рассматривают на диагональной подпоследовательности х = I • q, I —► оо, где q € QPni — фиксированное направление. На такой подпоследовательности интеграл (0.1) представляет собой функцию f(ql) = J (zq)lLu(z) = J ,(z), с с которая уже имеет вид осциллирующего интеграла [8] с фазой F(z) = (q,\nz).

В асимптотической теории таких интегралов важную роль играют критические точки фазы, которые в данном случае совпадают с критическими точками монома zq на V. Эти критические точки связаны с логарифмическим отображением Гаусса следующим утверждением.

Предложение 2.1. Точка z° 6 reg V — критическая для функции zg\v тогда и только тогда, когда логарифмическое отображение Гаусса принимает в ней значение q:

7(2°) = Q■

По методу перевала [8] асимптотика решений f(ql) дается явной формулой в морсовских критических точках. Поэтому, одним из основных результатов второй главы является

Теорема 2.1. На многообразии V = {z Е Tn : P{z) = 0} функции |zq\ = |zi91. znq"\ имеют лишь морсовские критические точки для почти всех направлений q — {q\,., qn) € QPn-i за исключением, может быть, некоторого алгебраического подмножества в QP„i.

Отметим, что в размерности п = 2 эта теорема была доказана в работе [3].

Параграф 2.4 является вводным для следующего параграфа. В нем излагаются известные результаты об асимптотике разностных уравнений.

Пусть f(x) = f(xh.,xn) — комплекснозначная функция дискретного аргумента х € Zn. На векторном пространстве всех таких функций рассмотрим линейные операторы сдвига

8jf(x) = f(x + ej) = f(xi,.,xj-i,xj + . ,xn), j = 1,. ,n.

С помощью набора 5 = (<$],.,8п) можно поставить в соответствие каждому полиномиальному символу P(x,z) = ^ a0{x)za с переменныа€А ми коэффициентами общий скалярный разностный оператор Р(х,ад®) = £ав(х)/(я + а). абД

В одномерном случае асимптотика решений разностного уравнения описывается теоремами Пуанкаре и Перрона.

Теорема Пуанкаре [23], [1]. Предположим, что коэффициенты dj(x) одномерного разностного уравнения f(x + k) + ak-1(x)f(x + k-l) + --- + ao(x)f(x)=0, х е Z, (0.2) имеют конечные пределы lim aj(x) =: aj, j = 0,., k — 1, и корни предельного характеристического уравнения Р(оо, z) =

0 все различны по модулю. Тогда для любого ненулевого решения /(х) уравнения (2.5) предел г Я**1)

Inn . х-оо f{x) существует и равен одному из характеристических корней Aj.

Теорема Перрона [22], [1]. Предположим, что выполнены все условия теоремы Пуанкаре для уравнения (0.2), и, более того, что а0(х) ^ 0 для всех х £ Z. Тогда существуют к решений ,f\(x),., fk{x) этого уравнения, удовлетворяющих

Нт » = Л,

Лейнартасом-Пассаре-Цихом в [5] исследована многомерная ситуация для

1) систем разностных уравнений

P1(x,6)f(x) = --- = Pn(x,6)f(x) = О,

0.3)

2) скалярных разностных уравнений с постоянными коэффициентами

P(5)f(x) = 0.

0.4)

Ими введен вектор Горна

Дж + ei) f(x + е„)

V № ""' /(*) выступающий многомерным аналогом отношения (термин объясняется тем, что такой вектор участвует в определении общего гипергеометрического ряда, введенного Горном в [14]).

В данной работе вводится понятие логарифмического вектора Горна log f{x + e i) М bg f(x + e„) m позволяющее формулировать результаты об асимптотике решений разностных уравнений в терминах амеб.

Для систем разностных уравнений (0.3) в (5] доказана многомерная версия теоремы Пуанкаре. Скалярные уравнения (0.4) среди всех решений имеют решения с хаотическим поведением, поэтому для них рассматривается класс допустимых решений, задаваемых интегралами вида (0.1).

Для получения асимптотики допустимых решений скалярного уравнения (0.4) оно дополняется в [5] до системы P(S)f(x) := £««/(* +а) = 0 i аеА f^afix + £*) = .= £ %daf(x + а) ' k аеА аеА которая называется ассоциированной для уравнения (0.4).

Ассоциированной системе удовлетворяют функции l[zxdzdzdzi dzn гЛх) - ,. / тгт-г —, — = —Л. Л—, 7 (2тгг)" J P(z) z z z, гп r„ в которых интегрирование по характеристическому множеству V в решениях общего вида (0.1) заменяется интегрированием по циклам, лежащим в связных компонентах Еи дополнения амебы А у [12]:

IV = Log-1 и, и в Е„.

Эти функции являются фундаментальными решениями для уравнения (0.4), поскольку г„ гДе о ~~ функция, равная нулю на всех х Е Zn, кроме точки 0, в которой ее значение равно 1. Тогда решения уравнения (0.4) получаются как линейные комбинации фундаментальных решений: a„ = 0. (0.5) v v

Такие решения соответствуют решениям общего вида (0.1) в случае циклов Ck максимальной размерности к = п — 1, и для них доказана следующая

Теорема [5]. Если для направления q 6 QP„i все корни Aj(q) предельной характеристической системы P(z) = 0 fi^i = . = 91 Яп простые, и модули |Aj(g)| попарно различны, то для любого ненулевого решения f(x) вида (0.5) предел вектора Горна при х = ql, I —> оо? равен одному из характеристических корней.

Геометрически это означает, что предел логарифмического вектора Горна для направлений q попадает на контур амебы характеристического множества V = {z Е Сп : P(z) — 0}. Однако, в силу определения фундаментальных решений Vu(x), решения вида (0.5) равны нулю для направлений q, соответствующих внутренней части контура амебы Ау. Следовательно, предельные положения вектора Горна для решений (0.5) заполняют лишь внешнюю часть контура амебы характеристического множества.

Итак, решения вида (0.1) в случае циклов с^ максимальной размерности к = п — 1 реализуют асимптотику лишь на внешней части контура амебы Ау■ Поэтому естественно искать решения с асимптотикой на внутренней части контура в классах с^ £ Hk(V), к = 1,., п—2. В соответствии с теоремой Бернштейна-Данилова-Хованского [2] элементы группы Hk(V) реализуются циклами в сечениях V комплексными плоскостями.

В параграфе 2.5 в случае разностных уравнений первого порядка, т.е. с характеристическим полиномом вида

P(z) = b0 + bizi +----Ь bnzn, bj ф О, показывается, что решения вида (0.1) при произвольных к ^ 1 реализуют асимптотику и для направлений q, соответствующих внутренней части контура. Для этого по произвольному мультииндексу

I = (ii,.,ik) С {!,.,п} выбираются специальные сечения V = {P{z) = 0} плоскостями

Sj = {zj = const, j /}.

Затем вводятся фундаментальные решения

1 С zx dz ■ dr/

ViM = l7Глк / л •••А—, (0.6)

2тгг)к J P(z) zh zik

IV,i/ где Г/„ = Log-1 и, и принадлежит Е;м — связной компоненте дополнения амебы Av п s, С К41.

Таким образом, для разностных уравнений 1-го порядка доказывается следующая многомерная версия теоремы Перрона.

Теорема 2.2. Предельные положения логарифмического вектора Горна для фундаментальных решений (0.6) скалярного разностного уравнения P(S)f(x) = 0 первого порядка заполняют весь контур амебы характеристического множества.

Я выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задач и внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Кузвесов, Константин Валерьевич

Основные результаты:

1. Описаны контуры компактифицированной амебы гиперплоскости и амебы комплексной прямой произвольной коразмерности;

2. Доказана теорема о связи контуров амеб поверхностей произвольной коразмерности с логарифмическим отображением Гаусса;

3. Доказана теорема о плотности мономиальных функицй с морсов-скими особенностями;

4. Получена многомерная версия теоремы Перрона об асимптотике решений разностных уравнений первого порядка.

Заключение

Полученные результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и алгебраической геометрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузвесов, Константин Валерьевич, 2007 год

1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. — М.:Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. — 400 с.

2. Данилов В.И., Хованский А.Г. Многогранники Ньютона и алгоритм вычисления чисел Ходжа-Делиня // Изв. РАН. Сер. мат. 1986. Т. 50, вып. 5, с. 925-945.

3. Лейнартас Д.Е. Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональных функций многих переменных. Дисс. к.ф.-м.н. КрасГУ, 2002 -65 с.

4. Лейнартас Е.К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений // Сиб. мат. жур. Т. 48 (2007), №2, с. 335-340.

5. Лейнартас Е.К., Пассаре М., Цих А.К. Асимптотика многомерных разностных уравнений // Успехи мат. наук. Т. 6 (2005), №5, с. 155156.

6. Милнор Дж. Теория Морса. М.:Мир, 1965 182 с.

7. Трутнев В.М., Цих А.К. О структуре вычетных потоков и функционалов, ортогональных идеалам в пространстве голоморфных функций // Изв. РАН. Сер. мат. 1995, №5, с. 203-224.

8. Федорюк М.В. Метод перевала. М.:Наука, 1977.

9. Цих А.К. Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных // Матем. сб. Т. 182 (1991), №11, с. 1588-1612.

10. Bergman G.M. The logarithmic limit set of an algebraic variety // Trans. AMS, V. 157 (1971), p. 459-469.

11. Einsiedler M., Kapranov M., Lind D. Non-archimedean amoebas and tropical varieties // J. Reine Angew. Math. V. 601 (2006), p. 139-157.

12. Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas // Adv. in Math. V. 151 (2000), p. 54-70.

13. Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. — Birkhauser, Boston, 1994.

14. Horn J. Uber die Convergenz der hypergeometrischen Reihen zweier und dreier Veranderlichen // Math. Ann. V. 34 (1889), p. 544 -600.

15. Henriques A. An analogue of convexity for complements of amoebas of varieties of higher codimension, an answer to a question asked by B. Sturmfels // Advances in Geometry. V. 4, I. 1 (2004), p. 61 73.

16. Kapranov M.M. A characterization of A-discriminantal hypersurfaces in terms of the logarithmic Gauss map // Math. Ann. 290 (1991), p. 277285.

17. Kenyon R., Okounkov A., Sheffield S. Dimers and Amoebae // Ann. of Math, V. 163, (2006), p. 1019-1056.

18. Mikhalkin G. Real algebraic curves, the moment map and amoebas / Ann. Math. V. 151 (2000), p. 309-326.

19. Mikhalkin G., Rullgard H. Amoebas of maximal area // Internat. Math. Res. Notices (2001), p. 441-451.

20. Nisse M. Maximally Sparse Polynomials have Solid Amoebas // arXiv:math.AG/0704.2216 vl (17 Apr 2007)

21. Passare M., Tsikh A. Amoebas: their spines and contours // Contemporary maths. V. 377 (2005), p. 275-288.

22. Perron О. Uber die Poincaresche linear e Differenzengleichung //J. Reine Angew. Math. V. 137 (1909), p. 6-64.

23. Poincare H. Sur les equations lineaires aux differ entielles ordinaires et aux differences finies // Amer. J. Math. V. 7 (1885), p. 203-258.

24. Theobald T. Computing amoebas // Experimental Math. V. 11 (2002), p. 513-526.

25. Работы автора по теме диссертации

26. Кузвесов К.В. О критических точках мономиальных функций на алгебраических гиперповерхностях // Вестник КрасГУ, 2006, вып. 1, с. 72-76.

27. Кузвесов К.В. Контур компактифицированной амебы гиперплоскости // Вестник КрасГУ, 2006, вып. 7, с. 85-90.

28. Кузвесов К.В. Контур амебы комплексной прямой в С" // Вестник КрасГУ, 2006, вып. 9, с. 81-84.

29. Кузвесов К.В., Ульверт Р.В. О группах гомологий некоторых поверхностей с самопересечением // Вестник КрасГУ, 2002, вып. 1, с. 143-145.