Δ 2 (Q)-распределение: Свойства и приложения в задачах моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Пашкус, Наталия Анатольевна

• Пашкус, Наталия Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пашкус, Наталия Анатольевна

СОДЕРЖАНИЕ:

Стр.

Введение

Глава 1. Основные понятия

§ 1. Основные свойства распределения Л2(О)

§2. Некоторые общие понятия регрессии

Глава 2. Некоторые вопросы, связанные с вычислением 16 многократных интегралов

§ 1. Теорема о разложении дисперсии на разноразмерные 16 слагаемые

§2. Связь между коэффициентами чувствительности функции/(х) и

■у

распределением А (О)

§3. Проверка гипотезы о зависимости определенного множества 28 факторов

§ 4. Связь между теорией кубатурных формул и дисперсионным 31 анализом

Глава 3. Оценки параметров регрессии для различных типов 42 эксперимента в связи с распределением ^ (О)

§ 1. Рандомизация МНК-оценок параметров регрессии

§2. Оценки параметров регрессии при различных типах 46 эксперимента

§3. Применение распределения А2(О) в случае нелинейной 56 зависимости от параметров

Глава 4. Некоторые модели активного эксперимента

§ 1. Анализ дисперсии оценок параметров общей линейной 62 регрессии при моделировании данных

§2. Моделирование с распределением А2(0) при наличии ошибок в 74 переменных

Глава 5 ^Практическое применение распределения ¿¿(0)

§ 1. Процедура моделирования распределения А2(О)

§2. Описание эксперимента по обработке данных в случае 90 линейной регрессионной зависимости.

§3. Моделирование параметров нелинейной функции регрессии

Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Библиография

X!

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Δ 2 (Q)-распределение: Свойства и приложения в задачах моделирования»

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена изучению специального распределения, которое было введено для уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методом Монте-Карло. Это распределение впервые было предложено Ермаковым С.М. и Золотухиным В.Г. в их совместной публикации в журнале "Теория вероятностей и ее» применения" [14].

Это распределение описано в литературе, в частности в книге Ермакова С.М. [12]. Далее будем использовать введенное этой книге обозначение для этого распределения: A2(Q). Как уже сказано, оно вводилось в задаче уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методом Монте-Карло, как распределение W0(dQ) узлов квадратурной суммы и определяется равенством W0(dQ) =cA2(Q)jun(dQ), где Q=(x1>...,xrJ -

случайная величина, A(Q)=det а с - константа нормировки,

1 п

равная —если {щ}\ - ортонормированная система функций. Причем п\

п

{(Pi}\ - линейно независимые для почти всех (mod ju)x функции.

В дальнейшем оказалось, что это распределение обладает рядом интересных свойств, которые позволяют обрабатывать данные, полученные, как при помощи моделирования, так и в результате эксперимента.

В математической литературе данной тематике, посвящены исследования следующих авторов: Ермакова С.М., Курочки В., Швабе Р., Седунова Е.В., Хэндскомба Д., Соболя И.М., Шеффе Г., и др. Однако, проведенный автором анализ степени изученности проблемы показывает, что вопросам применения распределения A2(Q) в процессе обработки данных и практической разработке алгоритмов моделирования этого

распределения уделено слишком мало внимания. Кроме того, не была исследована возможность применения этого распределения в задачах определения чувствительности сложных систем к тем или иным факторам, а именно для вычисления коэффициентов чувствительности, которые Соболь И.М. ввел в своей работе [30].

Работа состоит из: введения, четырех глав, заключения и приложений. В первой части содержатся некоторые необходимые

л

сведения, в частности, о распределении А (О), методах его моделирования и основные сведения о регрессиях.

Так как распределение применялось для вычисления

многократных интегралов, то, в связи с этим, первая часть работы будет посвящена вопросам вычисления многократных интегралов применительно к задачам определения чувствительности сложных систем по отношению к тем или иным факторам.

В диссертации будет рассматриваться вопрос о применимости

и 1

случайные квадратурных формул, узлы которых имеют распределение

л

А (О), для вычисления коэффициентов чувствительности. Одновременно будет поставлен вопрос о применении кубатурных формул, уже не только со случайными узлами, к вычислению коэффициентов чувствительности.

Далее будет затрагиваться вопрос о том, какого сорта формулы соответствуют планам латинских квадратов.

Третья часть работы будет посвящена описанию статистических оценок, возникающих при использовании ' случайных планов эксперимента, узлы которых имеют распределение А (О). Кроме того, будут рассматриваться некоторые вопросы использования рандомизованных процедур оценивания в тех случаях, когда данные эксперимента получены заранее и ставится задача их обработки. Как будет показано в работе, в этих случаях применение процедуры А (0) может

привести к специальным методам бутстрепа, и возникает возможность разделить погрешность на систематическую и случайную составляющую.

Как будет показано, полное математическое ожидание оценок параметров регрессии как в случае активного, так и в случае пассивного эксперимента, также для всех М(всех реплик размера т), т<М<Мявляется' одним и тем же, и совпадает с условным (при фиксированных математическим ожиданием их МНК-оценок.

Кроме того, как будет доказано, в случае активного эксперимента рандомизованная процедура МНК оценивания не совпадает со стандартной процедурой МНК-оценок. Будут вычислены дисперсии и корреляции рандомизованных оценок в случае пассивного эксперимента, что может служить основой создания бутстреп-оценок, разделяющих систематическую и случайную погрешность.

В этой же главе будет рассматриваться процедура оценки коэффициентов нелинейной функции регрессии методом Ньютона.

В последней главе будет рассмотрен случай линейной регрессии с ошибками в переменных. Будет показано, что в этом случае также возможно построение бустреп-процедур, однако, рандомизованные МНК-оценки, как и нерандомизованные в этом случае, не являются состоятельными.

В приложении диссертации представлен набор описаний и текстов

л

программ, предназначенных для моделирования распределения Л (О) и обработки данных. Весь этот набор программ представляет собой некоторую систему связанную общим интерфейсом.

ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§1. Основные свойства распределения А (0)

Все исследования, проведенные в данной работе, так или иначе

■у ®

связаны распределением Л (0). Поэтому представляется необходимым привести описание и основные свойства этого распределения, а так же некоторые из содержащихся в литературе результатов, относительно указанного распределения.

Пусть X - множество с определенной на нем а -алгеброй подмножеств и на X задана // -сг -конечная (вероятностная) мера. Далее для простоты предполагается, что ¡л - вероятностная мера.

Если существует и задана ¡л - ортонормированная система ^¡(х),..., (рп(х), такая что

X I = ]

\<Р1 (х)<Ру =

• (1.1.1.)

О, у >

У

то распределение Л (0) для данной системы функций называется распределением с плотностью

п\

Ш~(х1>—>хг)> х/ еХ относительно меры -ПД^-).

Обобщенным распределением ^(0) для системы функций х)}" называют распределение с плотностью

, П\Ш-П)\Л 1|г 1"

Л2(0)= т ^1<Р»<Р4 ,, (1.1.3.)

n n

где относительно меры N > п. Для

1=1 /=1

функций (1.1.2.) и (1.1.3.) в действительности выполняются условия нормировки (смотри [12] стр. 215).

Пусть теперь /: /л - интегрируемая с квадратом на X функция. А

Ф О-

набор точек из Xтакой, что определены/(х^ и р.(х;) Тогда может быть построен интерполяционный многочлен вида

',7=1

/=1

» йе1\(р1(х ),...,(р^х ^Дх ),<рм(х ),...,<рп(х ) (1.1.4.) = 1,——--;--?/(*)

1=1 ёй

',7=1

Или при №>п для набора при аналогичных предположениях

интерполяционный по методу наименьших квадратов многочлен

"Ч

где д=( Х!...^).

Заметим, что равенства (1.1.4.) и (1.1.5.) выполняются для ¡л - почти всех х из X, а Ьп и Ьм определены для //- почти всех и //-почти всех Q соответственно.

Предположим теперь, что ¡0 является случайным вектором с совместным распределением А (О). Тогда справедлива следующая теорема Теорема 1.1.1.: Справедливо равенство

ЕЬпШ,П = ЕЬЫШ] = (1.1.6.)

1=\

где а1 = |/(х)(р1(х)сЬс - коэффициент Фурье функции/

Выражения для дисперсий оценок коэффициентов а/ в (1.1.4.) зависит уже от некоторых свойств системы функций щ(х). Различают (см.

п

[12] стр. 133) регулярные и нерегулярные системы функций {&} \ (по отношению к мере ¡л).

о

п

Система {(р¡} \ называется регулярной относительно меры /л, если

(1.1.7.)

и нерегулярной, если эта мера положительна. Справедлива следующая теорема:

п

Теорема 1.1.2: Для регулярных систем {щ} \ имеет место равенство:

I

О,

¡л{(к),

к = 1

(1.1.8)

А для нерегулярных {1 имеем

»ак<\

/м-

¡и(сЬс)

(1.1.9.)

Аналогичное неравенство имеет место для дисперсий коэффициентов при щ(х) в выражении (1.1.5.) для Оно

справедливо как в регулярном, так и в нерегулярном случае.

Если щ=1, то Еах = ^/(х)]и{с1х) и я у может рассматриваться как

интерполяционно-квадратурная формула со случайными узлами.

Как уже отмечалось, распределение А (0) рассматривалось в связи с вычислением интегралов методом Монте-Карло. Дальнейшие применения

Л

распределения А (О) связаны с задачами, в которых значения функции /(х) в точке могут быть получены с аддитивной случайной ошибкой. В противном случае, когда ошибки независимы с нулевым средним и

2

дисперсией с/ имеем ¿¡(х)=/(х)+е(х)\ значение, полученное в результате (численного) эксперимента Ее(х)=0, %=£(х) и

Ее1е] = {

су , I = ) О, г Ф ]

(1.1.10.)

Формула (1.1.8.) в этом случае имеет вид

Соу{ак,а1) =

\

/л(ск) + сг7

0,

к = 1

(1.1.11.)

Очевидно также, что Еа^щ, где Е есть знак полного математического ожидания (по е ъ. Q, которые полагаются взаимно

Л

независимыми). Указанные свойства распределения Л (О) используются и для сглаживания данных, полученных в результате моделирования.

Случай зависимых <£•, рассматривался в [12]. Некоторые его аспекты обсуждаются также во второй главе диссертации.

Описанные процедуры оценивания коэффициентов Фурье функции /(х) имеют очевидные связи с МНК-оценками в линейном регрессионном анализе.

2

»

§2. Некоторые общие понятия регрессии

Пусть результатом эксперимента является реализация (числовой) случайной функции у=у(х, со), х еХаЯк.

Если получение при фиксированных х] из X значений

у]=у(х^ сор) имеет целью восстановление в X функции Еу(х,со) = т](х), то такой эксперимент относят к числу так называемых регрессионных.

Известно, что без дополнительной информации о гладкости функции 7](х) задача ее восстановления по наблюдаемым с ошибками значениям не имеет смысла. Следовательно, задача для своей корректной постановки требует "априорной информации"— указания множества Ф функций, которому априори принадлежит г}(х). Наиболее простым случаем является случай параметрического задания — т](х)=т]о(х,в). Здесь щ— известная функция, а параметр в из заданного параметрического множества © определяется по значениям у^ Как правило, считают 0аЯп. Функцию" т]0(х, в) часто называют регрессионной моделью.

Для подбора параметра в необходимы также сведения о распределении ошибки £]-у(х^ со)-г](х). Если совместное распределение <£}■ а=1,...,Ы) известно также с точностью до параметра Л, то задача определения (Л, в) является параметрической задачей математической статистики. Параметр в оценивается с помощью статистики

Л Л

0{хх,...,хИ',у{,...,уы), Л— с помощью Л{х1,...,хн\у1,...,уы). При этом, как

Л

правило, оказывается, что погрешность (6и-в) определения истинного значения параметра 9и зависит от выбора точек х1,...ухы в которых измеряется (вычисляется) функция у. Это дает возможность построить критерий качества эксперимента (обычно некоторую норму ошибки

параметра в) и планировать эксперимент, если экспериментатор может распоряжаться выбором точек Х],...^ •

Более сложным оказывается случай, когда Ф задается свойствами гладкости функции г/. В этом случае для восстановления 7] нужно использовать либо непараметрические оценки, свойства оптимальности которых при малых N изучены плохо, либо пытаться подобрать удобный параметрический класс (например, многочленов или сплайн-функций). И в том и в другом случае мы будем иметь дело с ошибками двух сортов: систематической ошибкой (ошибкой модели) и случайной ошибкой (ошибкой определения параметров модели).

Пусть выбрана параметрическая модель и п фиксировано. Имеем

А

следующее разложение погрешности ц(х)- щ(х, в):

т](х) -Т]о(х,0) = [г?(х) - т/о (х,6>и)] + [//о (х,ви) - щ (х, 6>)] (1.2.1.)

XI

Причем ви в данном случае обозначает такое значение параметра в\ при котором т]о(х, ¿^наилучшим образом в выбранной метрике приближает т](х). Вводя метрику р на множестве функций, к которому принадлежит т](х) и т]0(х, 6ц), 6<=0, имеем

А

р{7](х)-Г1й{х,в))<

(1-2.2.)

< р{Г]{х) - 7]0 (х, виУ) + р(7]о (х, ви)-7]0 (х, в)) Каждое из слагаемых в правой части этого неравенства можно выбрать в качестве критерия оптимальности эксперимента. Со вторым слагаемым в (1.2.2.) снова связана параметрическая задача математической статистики, что же касается первого, то оно содержит неизвестные нам функции, которые и надлежит восстановить в процессе эксперимента. Постановка в первое слагаемое вместо т](х) каждой конкретной функции их множества Ф приводит нас к некоторому критерию, зависящему от выбора точек

. Так априорное предположение о том, что Ф содержит конечное число т функций, сделает нашу задачу (т+1)-критериальной, так что Т](х) играет роль индекса а в общей постановке многокритериальной задачи.

Итак, в общей постановке задача описания эмпирической зависимости с помощью параметрической регрессии предполагает, что задается функция, определенная с точностью до нескольких параметров, которые подбирают таким образом, чтобы получающаяся функция с максимальной точностью соответствовала матрице данных (У,Р)=[у1]хц,...,х1П] 1=1,...,N. Функция г] при этом называется эмпирической регрессией. Если т] линейна как функция неизвестных параметров, то регрессия называется линейной (в противном случае - нелинейной).

Рассмотрим одномерную случайную величину £ с функцией распределения Р(х). Повторяя т раз случайный эксперимент, с которым связана случайная величина получим последовательность т

наблюдений х1,х2,...,хт нашей случайной величины. Тогда множество значений х1,х2,...,хт будем называть выборкой из некой совокупности, описываемой функцией распределения Р(х).

Предположим, что задана классическая регрессионная модель, причем независимые в совокупности ошибки наблюдений удовлетворяют стандартным требованиям (см. (1.1.10.)).

Обратимся к линейной по параметрам регрессии. В этом случае можно рассматривать МНК-оценки параметров регрессии.

п

(1.2.3.)

где матрица эксперимента

Х =

4.1

2,1

Vх»«,1

%АГ

2, а'

п,ЫУ

такая, что ХХТ=Х.

Тогда можно составить следующую систему нормальных уравнений для нахождения вектора оценок параметров регрессии

Х^а^ХУ,

где а - вектор оценок параметров регрессии, а У =

вектор

наблюдений.

Будут справедливы следующие факты:

1.) Математическое ожидание Еа = а „ - истинному вектору значений параметров.

2.) Ковариационная матрица оценок будет а2(Х)бу1. Кроме того, явный вид оценок параметров примет вид

¿е^ , х( ^..., > xj j, , х{ j, , Ху ..., £хп, х1

а,

п /=1

(1.2.4.)

Где [хк>Х1 ] = Т72 хихк,; . Л ;=1

Проведем различие между активным и пассивным экспериментом/ Пусть величина £ (отклик) и переменные х связаны, соотношением

где Г](х,а)~ заданная функция аргументов х £Яп и а Индекс "м" здесь

обозначает истинные значения соответствующих величин.

Целью регрессионных экспериментов является оценивание параметров а по наблюдениям над парами (£1^1), 1-1,...,п. Как правило,

хотя бы одна из этих величин известны, но с некоторой ошибкой. Можно рассмотреть различные регрессионные модели.

Классическая регрессия. Пусть исследователю известны величины или в более привычной форме

У1=7](х1,а^£1, (1=1,...,п) (1.2.5.)

где е) - случайные погрешности наблюдений, а величины которые часто называют условиями /-го наблюдения, известны точно.

Активные регрессионные эксперименты (А). Предположим, что исследователь стремится провести наблюдения при условии но в силу тех или иных причин (случайных по своему характеру) изучаемый объект оказывается в условиях причем значения ^ неизвестны. Таким

образом доступными для изучения являются величины

У1=£&£1 и (ри 1=1,...,п.

Значит, можем представить регрессионную модель (в случае А) в

виде:

У1=т]((р[¥^а^£Ь (1.2.6.)

где_у/ и (р1 - известны экспериментатору, а £/ и ¿- случайные погрешности. „

При этом надо заметить, что модель активного эксперимента можно использовать для различных задач. Так как, данные могут быть получены в результате моделирования, а, кроме того, при многократном повторении эксперимента.

Пассивные наблюдения (В). При пассивных наблюдениях условия задаются "природой", а исследователь имеет возможность их наблюдать (со случайной погрешностью одновременно с _у/, то есть известны величины

У1=£&£ь (р1 = XI

Таким образом (в случае В) имеем следующую регрессионную модель

У! =Ф1,<*и)+-£1

I

(1.2.7.)

(р1 = х1 + £

При модели пассивного эксперимента данные уже получены и влиять на них не во власти экспериментатора, следовательно, можно лишь обрабатывать заданные данные.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Пашкус, Наталия Анатольевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были рассмотрены различные свойства специального у распределения Л (О), введенного в связи с задачами уменьшение дисперсии при вычислении интегралов методом Монте-Карло. Изучены подходы к применению этого распределения в различных задачах математического моделирования. Построены некоторые программы, иллюстрирующие приведенные в диссертации методы.

Конкретно, в диссертации изучались следующие задачи:

Рассмотрено применение распределения Л (О) в задаче оценки коэффициентов чувствительности нелинейной функции;

Доказана лемма о разложении функции на разноразмерные слагаемые;

Выявлены связи между кубатурными формулами, применительно к оценке коэффициентов чувствительности, и некоторыми планами дисперсионного анализа;

Использовано распределение А (0) для обработки данных, полученных заранее в эксперименте;

Примененено распределение А (0) при оценки параметров нелинейной функции регрессии;

Получены новые результаты в случае активного эксперимента при наличие ошибок в переменных;

Свойства распределения А2(О) и решенные в диссертации задачи проиллюстрированы соответствующими программами.

Решение поставленных задач имеет огромное практическое значение. Свойства распределения А (О), продемонстрированные в работе, позволяют использовать его в различных прикладных задачах. Приведем некоторые конкретные экономические задачи для которых применение л распределения А (О) целесообразно.

Во-первых, хотелось бы отметить возможность применения л распределения А (О) при оценке инвестиционных проектов. Здесь можно' привести следующую формулировку задачи прогнозирования предстоящего курса акций, а следовательно и целесообразности инвестирования той или иной области.

Инвестор владеющий определенным пакетом акций компании, заинтересован продать свои акции по наивысшей цене, для этого он вынужден заниматься прогнозированием ожидаемого курса продажи акций в определенный момент времени Г. Стоимость акции компании для инвестора будет складываться из приведенной стоимости ожидаемых финансовых потоков. Д — ожидаемый дивиденд, выплачиваемый компанией на акцию в момент tvi.Pt— ожидаемый курс продажи в момент

Метод капитализации дохода предполагает дисконтирование всех дивидендов, которые ожидаются в будущем. Так как упрощенные модели нулевого роста, постоянного роста и переменного роста основаны на этом методе, они также учитывают весь поток дивидендов. Таким образом, может показаться, что этот метод существенен только для тех инвесторов, которые собираются сохранять акции бесконечно долго, так как лишь в этом случае возможно получение всего потока дивидендов.

А если инвестор намерен продать свои акции через год? В этом случае денежные поступления, которые инвестор ожидает получить от приобретения акции, равны величине дивидендов за один год, считая от даты покупки (для удобства можно считать, что дивиденды выплачиваются раз в год), и цене продажи акций через год. Таким образом представляется возможным вычислить истинную стоимость акции для инвестора посредствам дисконтирования этих двух величин с требуемой ставкой доходности: где А -ожидаемый дивиденд, а Р\ -ожидаемый курс продажи в момент Далее потребуется оценить курс продажи акции в этот момент времени, который базируется на дивидендах ожидаемых после срока" продажи. Поэтому

Вообще говоря, это выражение представляет собой ряд по набору заметить, что конкретная система базисных функций определена выбором соответствующей модели. Т.е. в общем случае можно варьировать построенную модель в зависимости от пространства на котором оценивается истинная стоимость акции для инвестора.

Здесь могут существовать две возможности использования тех* результатов, которые были получены в диссертации. С одной стороны, Л можно промоделировать данные с распределением А (О), используя конкретную систему функций, тем самым оценить коэффициенты регрессии, то есть ожидаемые дивиденды, а на основе этой информации составить представление о необходимости инвестировании данного подразделения. Л

Другая возможность применения распределения А (О), может быть реализована при наличии достаточного количества априорной информации о акциях компании. Тогда, используя процедуру бутстрепа, возникающую при обработке этой информации, можно построить экспериментальную функцию распределения, которая так же даст

У =

Д имеют смысл коэффициентов. Здесь надо возможность прогнозировать поведение акций на некоторый промежуток времени.

Во-вторых, можно привести задачу возникающую в инновационном менеджменте. Тут можно рассмотреть проблему инвестирования инноваций. Правильное размещение инвестиций принесет либо немалый доход инвестору, в случае успеха инновации, либо банкротство. Поэтому инвестор заинтересован правильно выбрать фирму, которая первая введет инновацию.

Решение данной проблемы можно получить на основе так называемой модели патентной гонки, введенной французским экономистом Жаком Тиролем. Эта модель в простейшей форме имеет следующую постановку.1

Пусть на товарном рынке существуют к фирм, где к>2. После инновации фирма А (одна из существующих) - монополист, производящий единицу продукции с удельными затратами с и прибылью Пт( с). До инновации все фирмы потенциальные новички, т. е. имеют очень высокий (бесконечный) уровень удельных затрат.

Для различных фирм строятся функционалы, характеризующие с побуждение к инновации: V,, Эти функционалы изучаются в связи с моделью патентной гонки.

Предположим, что фирма г расходует {х$)Ж} за период от t до г+ск, где XI — факторы от которых зависит интенсивность расходов. Вероятность для каждой фирмы сделать открытие в течении этого периода Щх)^, где /г, — убывающая функция, график которой вогнут. И к!(0) "очень велико". Вероятность для фирмы сделать открытие в момент t зависит от потока ее расходов в этот момент, а не от прошлых ее расходов.

1 См., например, изложение этой модели в работе: Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: Теория организации промышленности. СПб. 1996.

Вероятность сделать открытие не зависит ни от времени, ни от предыстории исследовательской работы конкурента. Модель исследует игру без памяти, т. е. в каждый момент времени, если открытие не сделано, игра идентична первоначальной.

Вводится дисконтированная ценность ожидаемой прибыли, как функция времени, для каждой фирмы /'. Обозначим ее Поскольку процесс инновации Пуассоновского типа, вероятность того, что к моменту к t ни одна из фирм не сделает открытия, будет в 1=1 , если патентная гонка начинается в момент 0. Пусть г — ставка процента, тогда (в предположении, что в гонке участвуют только новички) К, можно представить как г / -\ \

1*

V У Л

Далее требуется оптимизировать приведенный функционал. Но к перед тем возникает проблема оценки следующей функции в ,=1 что само по себе является достаточно сложной задачей, так как функции Л,-, вообще говоря, нелинейны. И здесь себя может хорошо зарекомендовать метод оценки параметров нелинейной функции регрессии, который позволит по набору случайных реализаций этой функции построить их зависимость.

Можно привести и другие задачи в которых возможно использование специального распределения А (()). Эти задачи достаточно разносторонни. Автором были изучены возможности применения этого распределения в задачах анализа финансового риска, построения банковских рейтингов и при оценке будущих дивидендов о инвестиционного проекта. Приведенные здесь аспекты использования этого распределения более подробно рассмотрены в статьях автора.

Таким образом, распределение Л2(О) имеет огромное значение для различных прикладных задач. А следовательно изучение его свойств является своевременной и важной задачей, решение которой даст набор практических методов разрешения тех или иных практических проблем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пашкус, Наталия Анатольевна, 1998 год

Литература:

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кабельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

2. Бородюк В.П., Вощинин А. П. Ошибки регисирации независимых переменных в задачах множественной регрессии. М.: Зав. лаб., 1973, т. 39, с. 831-835.

3. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений. М.: Мир, 1975, 475 с.

4. Грановский Б.Л. О случайных квадратурах гауссовского типа // Журнал вычислит, матем. и матем. физики, 1968, 8, № 4, 879-884.

5. Грановский Б.Л., Ермаков С.М. О непараметрическом подходе к задачам планирования регрессионных экспериментов // ДАН, СССР, 1968, 180, №2, 273-275.

6. Грановский Б.Л., Ермаков С.М. Случайные квадратуры с частично фиксированными узлами // Метод вычислений (сб.), Изд-во ЛГУ, 1970, 6, 79-88.

7. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика. М.: Наука, 1971.

8. Ермаков С.М. Интерполирование по случайным точкам // Журнал вычислител. матем. и матем. физ., 1963, 3, №1,186-189.

9. Ермаков С.М. Случайные квадратуры повышенной точности // Журнал вычисл. матем. и матем. физ., 1964, 4, №3, 540-550.

Ю.Ермаков С.М. О допустимости процедур метода Монте-Карло // * ЛДН СССР, 1967, 172, № 2, 262-263.

П.Ермаков С.М. Об оптимальных несмещенных планах регрессионных экспериментов // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1970, Т. 111, с. 252-258.

12.Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1983.

13.Ермаков С.М., Ван Сяо Цюнь. Случайные инвариантные кубатурные формулы // Весстник С-Петерб. ун-та, Сер.1, 1994, Вып.4.

14.Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального планирования эксперимента. М.: Наука, 1987.

15.Ермаков С.М., Золотухин В.Г. Полиномиальные приближения и метод Монте-Карло // Теория вероятн. и ее применение, 1960, 5, №4, 473-476.

16.Ермаков С.М., Мелас В.Б. Математический эксперимент с моделями сложных стохастических систем. СПб.: Изд-во С.- » Петербургского университета, 1993.

17.Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

18.Ермаков С.М., Седунов Е.В. Рандомизованные планы регрессионных экспериментов с одной свободной точкой // Исследование операций и статистическое моделирование (сб.) Вып. 1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972, 61-71.

19.Ермаков С.М., Седунов Е.В. Об оптимальных рандомизованных процедурах планирования и анализа регрессионных экспериментов // Математические методе планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981, с. 141-154.

20.Жиглявский A.A. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: ЛГУ, 1978.

21.Жилинская Е.И., Товмаченко H.H., Федоров В.В. Методы регрессинного анализа при наличии ошибок в предикторных переменных. // АНСССР, М. 1979.

22.Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука., 1973, 899 с.

23 .Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

24.Кривулин Н.К. Оптимизация сложных систем при имитационном моделировании. // Вестник Ленинградского Университета. 1990. № 8, 100-102.

25.Лемешко Б.Ю. Об оценивании параметров распределений по группам наблюдений. // Планирование эксперимента в прикладных иссследованиях. М.: 1977, вып. 30, с. 80-97.

26.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

27.Марчук Г.И., Ермаков С.М. О некоторых проблемах теории планирования эксперимента // Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981, с. 3-17.

28.Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: * Наука, 1987.

29.Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории метода Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1974.

30.Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.

31 .Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.

32.Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М: Наука, 1974.

33.Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.

34.Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.; 1973.

35. Соболь И.М. Об оценке чувствительности нелинейных математических моделей // Математическое моделирование. 1990. Т.2.№1. С.с. 112-118.

36.Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: 1971.

37.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. М.: Мир, 1984.

38.Фролов Ф.С., Ченцов Н.Н. Использование зависимых испытаний в методе Моннте-Карло для получения гладких кривых. // Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1962, 425437.

39.Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, 1980.

40.Chambers J.M. Fitting nonlinear models: numerical techniques. Biometrika, 1973, v.60, pp.1-13.

41.Deming W.E. Statistical adjustment of data, Wiley and Sons. London., 1943, 453 p.

42.Ermakov S.M. Random interpolation in the theory of experimental design. // Сотр. Stat. & Data Anal. 1989, Vol. 8, P. 75-80.

43.Ermakov S.M., Wang Xiao Qun. Superposition principle for unbiased random quadrature formuias // International work shop on Mathematical methods and Tools in computer simulation. St.-Petersburg, 1994, p. 52-53.

44.Ermakov S.M., Kurotschka V. Zufallikationen von Regressionsexperimenten in der Modellbildung // Preprint No. A-31/95, FU Berlin.

45.Gramer H. Mathematical methods of statistics // Stocholm. 1946.

46.Haber S. A combination of Monte Carlo and classical method for evaluating multiple integrals // Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 683-686.

47.Haber S. Numerical evaluation of vultiple integrals. // SLAM, Rev., 1970, 12, №4, p. 481-526.

48.Haber S. Stochastic quadrature formulas. // Math. Сотр. 1969, 23, p. 751-764.

49.Halton J.N. A retrospective and prospective surver of the Monte Carlo method. // SLAM Rev., 1970, 12, № 1, p. 1-63.

50.Hammersley J.M., Handscomb D.C. Monte Carlo method. London, N.Y., 1964.

51.Hammersley J.N., Morton K.W. A new Monte Carlo techniquean-tithetic variates. //Proc. Cambr. Pril. Soc., 1956, 52, p. 449-474.

52.Handscomb D.C. Remarks on a Monte Carlo integration method. // 'Numer. Math., 1964, № 4, p. 261-268.

53.Humak K.M.S. Statistische Methoden der Modellbildung. // Band 1. Akademie-Verlang. 1990.

54.Nelson B.L., Schmeiser B.W. Decomposition of some wellknown variance reduction techniques. Journal of Statistical Computation and Simulation., 1986, Vol. 23, p. 183-209.

55.Rubinstein R.Y. Simulation and the Monte Carlo method. N.Y., 1981.

56.Stroud A.H. Approximmate calcuiation of multiple integrals.

Englewood Cliffs, New Jersey: Rretice-Hall, 1971. 57.Wilson J.R. Variance reduction techiques for diqital simulation. // Amer. Journal of Mathematical and Management Science., 1984, Vol. 4, p. 277-312.

Приложенние 1 Программа моделирования распределения Л (Q).

Uses Crt,Dos,Graph; Label W,WW,WR; Type Mysm=array [1.. 16,1.. 16] of real; Ylla=array [1.. 16] of real; Ah=string[50]; Var u: Mysm; {Описание переменных} L: Ylla;

D,Alpha,Dmax,Dmin: real; n,ijj,ii,Imax,Imin,Im: integer; Ye,Mo,Da,Ho,Mi,Se,Se 100,Dw : word; OutFile,OutF : Text; xiops : string [8]; ModeSystemFunc: Ah; Fu: char;

Ad: Array [1 ..10] of real;

{Задаем размерность определителя} Procedure RanSysFunc (V ar Razmernost:integer; SystemFunc: Ah);

Begin

{Можно задать значения 4, 6 (для двух переменных),} {8,12 (для трех переменных) и 16 (для четырех переменных)}

Razmernost:=8;

{Например, система функций может выглядеть следующим образом:} If Razmernost=4 then

SystemFunc:- {1 ,X, Y,XY} ';

If Razmernost=6 then

SystemFunc:-{1,X,Y,(XA2)Y,(YA2)X,XY} ';

If Razmernost=8 then

SystemFunc:='{l>X>Y,Z,XY,XZ,YZ,XYZ} ..

If Razmernost=12 then

SystemFunc:- {1 ,X, Y,Z,XY,XZ, YZ,(XA2) Y,(XA2)Z,(YA2)X,(YA2)Z,XYZ}';

If Razmernost= 16 then

SystemFunc :=' {1 ,X,Y,Z,W,XY,XZ,YZ,XW,YW,ZW,XYZ,XYW,XZW,YZW,XYZW}'; End;

{Задаются функции (no столбцам определителя)} Function Fil(xl: Ylla):real; Begin Fil:=l; end;

Function Fi2(yl: Ylla):real;

Begin

Fi2:=yl[2];

end;

Function Fi3(zl: Ylla):real;

Begin

Fi3:=zl[3];

end;

Function Fi4(x2: Ylla):real;

Begin

Fi4:=x2[4];

end;

Function Fi5(y2: Ylla):real; Begin

Fi5:=y2[3]*y2[2]; end;

Function Fi6(z2: Ylla):real; Begin

Fi6:=z2[2]*z2[4]; end;

Function Fi7(x3: Ylla):real; Begin

Fi7:=x3[3]*x3[4]; end;

Function Fi8(y4: Ylla):real; Begin

Fi8:=y4[2]*y4[3]*y4[4]; end;

Function Fi9(z3: Ylla):real; Begin Fi9:=l; end;

Function Fil0(x4: Ylla):real; Begin FilO:—1; end;

Function Fill(y4: Ylla):real; Begin Fill:=l; end;

Function Fil2(z4: Ylla):real;

Begin

Fil2:=l;

end;

Function Fil3(x5: Ylla):real;

Begin

Fil3:=l;

end;

Function Fil4(y5: Ylla):real;

Begin

Fil4:=l;

end;

Function Fil5(z5: Ylla):real; Begin Fil5:=l; end;

Function Fil6(x6: Ylla):real;

Begin

Fil6:-1;

end;

Определяем максимум определителя: Function DetMax(n:integer):real; Label Rf; Var Ufo : real; i: integer; ADM : Ylla; Begin

{Вычисление максимума определителя no Адамару} {MAX=SUM(ABS(A [i, 1]) *... *SUM(ABS(A[i,n])} {Значение элементов берем равным заданная функция от Random, так как имеем дело с определителями в строках, которых стоят заданные функции от

случайных чисел}

Randomize;

For i:=l to n do ADM[i].-random;

{Оцениваем максимальное кол-во не нулевых элементов в строчке равным 4} Ufo :={sqr(Fi 1 (ADM))+} sqr(Fi2(ADM))+sqr(Fi3 (ADM)); Ufo:=Ufo+sqr(Fi4(ADM)); If n=4 then Goto Rf;

Ufo:=Ufo+sqr(Fi5(ADM))+sqr(Fi6(ADM)); If n=6 then Goto Rf;

Ufo:=Ufo+sqr(Fi7(ADM))+sqr(Fi8(ADM)); If n=8 then Goto Rf; Ufo :=Ufo+sqr(Fi9( ADM))+sqr(Fi 10(ADM))+sqr(Fi 11 (ADM))+sqr(Fi 12(ADM));

If n=12 then Goto Rf; Ufo :=Ufo+sqr(Fi 13(ADM))+sqr(Fil4(ADM))+sqr(Fil5(ADM))+sqr(Fil6(ADM)); Rf: DetMax:=sqrt(Ufo); end;

Подпрограмма вычисления определителя Function Det(n: integer; a: Mysm): real; Label R, RS, RQ; Var k,j,iq,b,c,q: integer;

p,z,s,e,g,d: real; Begin p:=0; z:=l; d:=l; For k:=l to (n-2) do begin E:=0;

For iq:=k to (n-1) do begin For j:=k to (n-1) do begin If Abs(a[iqj])<Abs(e) then If Abs(a[iq j ])=Abs(e) then goto R; E:=a[iqj]; b:=iq; c:=j; R: end; end;

Ifk=b then goto RS; For j:=k to (n-1) do begin

S:=A[kj]; a[kj]:=a[bj]; a[bj]:=s; end;

z:=-z;

RS: Ifk=c then goto RQ; For iq:=k to (n-1) do begin S:=a[iq,k]; a[iq,k]:=a[iq,c]; a[iq,c]:=s; end;

z:=-z;

RQ: For iq:=(k+l) to (n-1) do begin

If a[k,k]=0 then a[k,k]:=a[k,k]+0.0000001; G:=a[iq,k]/ a[k,k]; Forj:=kto (n-1) do a[iqj]:=a[iqj]-G*a[kj]; end; end;

For iq:=l to (n-1) do d:=d*A[iq,iq];

det:=d*z; end;

Подпрограмма построения столбика: данная процедура предполагает построение столбика высотой равной величине вычисляемого в программе определителя, который изменяется в процессе деятельности программы и двигается относительно черты, проведенной на высоте равной величине Мах, оцененного ранее. Процедура позволяет визуально убедиться сколь хорошо найден Мах, и сколь близко к нему подходит столбик, знаменующий величину текущего определителя. Procedure BarDet; Type S=array [1 ..10] of real; Var

i, k, t, j, Md, d, b : integer;

TextStr:string;

RizXY:real;

InF: Text;

Det:S;

MaxDet,MinDet:real; Begin

Assign(InF,'C:/datal .txt'); Reset(InF); Readln(Inf,MaxDet); ReadIn(Inf,MinDet); For t.-l to 10 do Readln(Inf,Det[t]); {инициализация графики} DetectGraph(i J); InitGraph(ij,"); Md:=GetGraphMode; SetGraphMode(Md); {заголовок} SetColor(5);

OutTextXY(0,5,'Random determinant'); lрисуем максимум и минимум и максимум}

SetColor(5); OutTextXY(350,Ю,'Maximum'); SetColor(15); Line(350,40,550,40); SetColor(5);

OutTextXY(350,420-Round(MinDet/MaxDet*400),'Minimum'); SetColor(15);

Line(350,440-Round(MinDet/MaxDet*400),550,440-Round(MinDet/MaxDet*400)); {рисуем столбики} for к := 1 to 10 do begin SetFillStyle(l,4);

Bar(200,440-Round(Det[k]/MaxDet*400),250,440); Delay (500); SetFilIStyle(l,0); Bar(150,0,300, 440); end;

{выводим текстовое сообщение} SetColor(5);

SetTextStyle(DefaultFont, HorizDir, 1); OutTextXY(250,470,'Press "Enter" key!'); Readln; CloseGraph; Close(InF); end; Begin

RanSysFunc(n,ModeSystemFunc); xiops :='########'; Im:=10; For ii:=l to 10 do begin Dmax:=Detmax(n); lmax:=0; lmin:=0;

Assign(OutF,'C:\datal .txt'); Rewrite(OutF); Writeln(OutF,Dmax); W: Randomize;

[Вычисление минимума определителя, который служит для ограничения нижней границы, в которую должны попадать случайные точки имеющие распределение Д(Q)} Randomize;

Alpha:=Random; Dmin:=Alpha*Dmax;

{Считаем определитель для соответствующих значений п (размерности)} If п=4 then begin For i:=l to n do begin

{Формирование массива случайных точек, заданной размерности} For jj:=l to n do L[]j]:=Random; u[i,l]:=Fil(L); u[i,2]:=Fi2(L); u[i,3]:=Fx3(L);

u[i,4]:=Fi4(L); end;

end;

If л=б then begin For i:=l to n do begin

{Формирование массива случайных точек} For jj:=l to n do L[jj]:=Random;

u[i,l]:=Fil(L); u[i,2]:=Fi2(L); u[i,3]:=Fi3(L); u[i,4]:=Fi4(L); u[i,5]:=Fi5(L); u[i,6]:=Fi6(L); end;

end;

If n=8 then begin For i:=l to n do begin

For jj:=l to n do L[jj]:=Random; u[i,l]:=Fil(L); u[i,2]:=Fi2(L); u[i,3]:=Fi3(L); u[i,4]:=Fi4(L); u[i,5]:=Fi5(L); u[i,6]:=Fi6(L); u[i,7]:=Fi7(L); u[i,8]:=Fi8(L); end; end;

\fn=12 then begin

For i:=l to n do begin

{Формирование массива случайных точек} For jj r=l to n do L[jj]:=Random; u[i,l]:=Fil(L); u[i,2]:=Fi2(L); u[i,3]:=Fi3(L); u[i,4]:=Fi4(L); u[i,5]:=Fi5(L); u[i,6]:=Fi6(L); u[i,7]:=Fi7(L); u[i,8]:=Fi8(L); u[i,9]:=Fi9(L); u[i,10]:=Fil0(L); u[i,l l]:=Fill(L); u[i,12]:=Fil2(L); end; end;

If n=16 then begin For i:=l to n do begin

For jj:=l to n do L[jj]:=Random;

u[i,l]:=Fil(L); u[i,2]:=Fi2(L); u[i,3]:=Fi3(L); u[i,4]:=Fi4(L); u[i,5]:=Fi5(L); u[i,6]:=Fi6(L); u[i,7]:=Fi7(L); u[i,8]:=Fi8(L); u[i,9]:=Fi9(L); u[i,10]:=Fil0(L); u[i,ll]:=Fill(L); u[i,12]:=Fil2(L); u[i,13]:=Fil3(L); u[i,14]:=Fil4(L); u[i,15]:=Fil5(L); u[i,16]:=Fil6(L); end;

end; d:=det(n,U); Im:=Im+l;

If Im>10 then Im:=Im-10;

Ad[im]:=d;

WriteCii/^Imax,' *, Imin,' Det=',D:8:5,' Dmax=');

WriteIn(Dmax: 6:3Dmin=',Dmin:6:3);

{Сравниваем с минимумом и максимумом определителя} If d<Dmin then begin Imin:=Imin+l;

If Imin=500 then begin

Writeln('0nni6Ka в области задания случайных чисел!!!'); Dmax:=Dmax/l .5; Goto WW; end; Goto W; end;

If d>Dmax then begin Imax:=Imax+l; If Imax=10 then begin \Угйе1п('Ошибка генератора случайных чисел!!!'); Goto WW; end;

{Изменение принятых выше значений Мах и Min, в случае, если текущий определитель имеют величину, выпадающую за границы промежутка, ими ограниченного. В этом случае предполагается повторение процедуры сначала, сбросив все принятые до этого случайные точки.} Dmax:=Dmax* 1.5;Dmin:=Dmin*0.5; goto W; end;

Ad[10]:=d;

{Формирование вывода необходимых сведений на печать. Все результаты выводятся на экран, и одновременно записываются в текстовый файл} Writeln(OutF,Dmin);

For jj:=l to 9 do begin

WR: If AdOj]>Dmin then

Begin Ad[jj]:=Ad[jj]-0.05; Goto WR; End; End;

For jj:=l to 10 do Writeln(OutF,Ad[jj]); Close(OutF); Bardet;

УУгйеЫСОпределителы'ДЭ^З,' Dmax-,Dmax:6:3,' Dmin-,Dmin:6:3); Writeln('Imax:=',Imax,' Imin:=',Imin); Assign(OutFile,'c:\User_Pgm\pascal\modell.txt'); Append(OutFile); Writeln(OutFile);

Writeln(OutFile '*****************!!!***********************')• Writeln(OutFile,'Моделирование распределение DELTAA2(Q):'); WriteIn(OutFile,'rio системе функций:'); WriteLn(OutFile,ModeSystemFunc); Writeln(OutFile,'Область задания точек: единичный куб'); WriteIn(OutFile,'C лучайный массив'); For i:=l to n do begin

For jj:=l ton do Write(OutFile,' \U[ijj]:6:4);

Writeln(OutFile);

end;

CIose(OutFile);

Writeln('** ********************************** ****')' Writeln('Moдeлиpoвaниe распределение DELTAA2(Q):'); Writeln('no системе функций {1,X,Y,Z,XY,XZ,YZ,XYZ}'); Writeln('Oблacть задания точек: единичный куб'); For i:=l to 8 do begin Write(' (X',i,',Y',i,', Z',i,')='); WritelnCGLtil.-e.-^'ALtiJ.-e.-S/ALti].^.^,')'); end;

Writeln('BBeflHTe число для продолжения:'); Read(fu); WW: end; end.