Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих циклов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Джасим Махмуд Дия

• Джасим Махмуд Дия
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джасим Махмуд Дия

Оглавление

Введение

1 Особые точки систем дифференциальных уравнений

1.1 Исследование нелинейной системы дифференциальных уравнений

1.2 Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида

1.2.1 Основные понятия

1.2.2 Обобщенно-однородные функции

1.2.3 Системы, близкие к обобщенно-однородным

1.3 О первых интегралах нелинейной системы дифференциальных уравнений

2 Оптимизация бифурцирующих циклов при наличии кратных резонансов

2.1 Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией

2.1.1 Основные предположения и условия

2.1.2 Структура ключевой функции в случае резонанса 1:2

2.1.3 Анализ главной части ключевой функции. Редукция к краевой особенности

2.1.4 Вырождение вдоль края (внутреннее вырождение)

2.1.5 Вырождение вдоль нормали (внешнее вырождение)

2.1.6 Резонанс 1:3

2.1.7 Резонанс р : <?, \р\ + |д| > 5

2.1.8 Пример: зарождение периодических волн в упругой балке на упругом основании

2.2 Непотенциальные уравнения с кратными резонансами

2.3 Двухмодовые бифуркации периодических решений уравнения 4-го порядка

2.4 Алгоритм вычисления коэффициентов главной части ключевого уравнения для ОДУ 4-го порядка

2.5 Трехмодовые вырождения в периодической задаче для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка

2.6 Построение главной части ключевого уравнения

2.7 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции

2.8 Алгоритм вычисления главной части ключевого уравнения

для ОДУ 6-го порядка

2.9 Алгебраическая форма главной части ключевого уравнения в случае резонанса 1:2:3

2.10 Приведенное уравнение

2.11 Анализ ключевых уравнений с двойными резонансами

2.11.1 Одномодовые и двухмодовые решения

2.11.2 Трехмодовые решения

2.12 Другие случаи сильного двойного резонанса

2.13 О бифуркациях циклов из сложного фокуса

2.14 Оптимизация полигармонического колебательного импульса

2.14.1 Переход к экстремальной задаче для алгебраического полинома

2.14.2 Теорема о структуре ШТ-многочлена

2.14.3 Вычислительные формулы

2.14.4 Случай: п = 7

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих циклов»

Введение

Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений, изучением их свойств и поиском их точных или приближенных изображений (аналитических, графических и т.д.). Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, A.A. Андронова и Э. Хопфа и др.

Несмотря на значительные достижения в общей теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений, многие актуальные задачи теории колебаний остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических колебаний, бифур-цирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации мно-гомодового вырождения.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих циклов выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях динамических систем стандартного вида. Задача же приведения произвольной динамической системы к стандартному виду,

вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов решения. И даже для систем стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических колебаний.

Представленные в диссертации численно-аналитические схемы исследования стационарных точек и многомодовых бифуркаций циклов основаны на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, H.H. Красовского, A.A. Шестакова, H.A. Бобылева, М.А. Красносельского, Э.М. Мухамадиева, Ю.И. Сапронова и др. [12], [23], [24], [25], [27], [34], [35] - [37]. В частности, результаты бифуркационного анализа циклов получены на посредством построении (методами нелинейного функционального анализа) «конечномерных усечений» динамической системы и сведения поиска и анализа амплитудно-фазовых показателей периодических колебаний к поиску и анализу ветвящихся решений некоторой системы полиномиальных уравнений на конечномерном пространстве.

К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, климато-тологии, теории фазовых переходов в кристаллах и теории нелинейных волн. Проблема многих мод возникает при моделировании автоколебаний в RC-генераторах, в моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и др. разделах современного естествознания.

В связи с появлением в настоящее время мощных скоростных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов появились и новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических колебаний. Для реализации этих возможностей необходимо развитие аналитической и алгоритмической базы бифуркационного анализа.

Цель данной работы — описание поведения решений систем диффе-

ренциальных уравнений с однородными правыми частями и близких к ним, изучение особых точек динамических систем и областей их влияния, построение первых интегралов и описание условий устойчивости точек покоя, создание алгоритмической основы для анализа, вычисления и оптимизаци ветвей бифурцирующих циклов.

Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования, изолированности и асимптотической устойчивости точки покоя динамической системы.

2. Описание условий обобщенной однородности дифференциальных уравнений, условий существования нескольких независимых первых интегралов динамической системы и их построение.

3. Описание алгебраического строения главной части ключевого отображения в задаче о многомодовой бифуркации циклов, описание формулы асимтотического представления ветвей бифурцирующих циклов.

4. Описание условий оптимальности полигармонического многочлена по коэффициенту несиммстрии, доказательство существования и единственности оптимального полигармонического многочлена.

В работе использованы качественные методы (Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского и др.) анализа особых точек и циклов динамических систем. При изучении многомодовых ветвей бифурцирующих циклов использованы методы функционалного анализа и, в частности, модификацированный метод Ляпунова - Шмидта (в рамках теории фред-гольмовых уравнений), а также методы математического программирования.

Данная работа в целом носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Результаты диссертации были доложены на 5-той международной кон-

ференции по ФДУ и их приложениям (Махачкала, 2011 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2012 г.) и на семинаре «Теория бифуркаций» проф. Ю.И. Сапронова в НИИМ ВГУ.

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из представленных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [42], [44] соответствует списку ВАК РФ.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 45 наименований. Общий объем диссертации — 104 страницы.

Введение содержит краткое описание основных результатов диссертации и близкие результаты других авторов.

В первой главе изложены основы асимптотического анализа траекторий динамических систем. Описано поведение решений системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близкими к ним. Исследование проведено методами Шестакова A.A. и функции Ляпунова-Красовского. Приведены определения особых точек, интегральных прямых и критических направлений входа траекторий системы в особую точку, приведены известные утверждения о существовании критического направления. Доказана общая теорема об асимптотической устойчивости точки покоя с использованием редукции к системе Пуанкаре-Ляпунова

dy п

= -уа + (1~P)Y1 Fsi yj + а (М)' s =

3=1

из которой в качестве следствий выведены новые условия асимптотической устойчивости точки покоя.

Теорема 2. Если существуют числа bs > 0, s = 1 ,п, такие, что собственные значения матрицы ||| (bsasj + отрицательны и

п _

bsois = 0, то тривиальное решение xs(t) =0, s = 1,п, исходной

S=1

системы асимптотически устойчиво.

При доказательстве использована функция Ляпунова

1 п

У{у1,...,уп) =

А 8=1

Следствие 1. Если исходная система треугольная и (1 — р) Г88 (со) — 1 > 0, то тривиальное решение системы Пуанкаре-Ляпунова асимптотически устойчиво.

Следствие 2. Если п = 3 и система имеет вид

% = -5У1 + 6У2,

^ = гу1-у2- 2/12/3, % - -Ьу3 + ШУ2,

т.е. является системой типа Лоренца [38], то тривиальное решение данной системы устойчиво, если <5 > О, Ь> О, г > 0.

Для доказательства второго следствия достаточно в взять Ъ\ = = ¿>з = 1. При этом будем иметь

^ х 2 2 и 2

Например, если 8 — Ъ = 1, то

В случае, когда первая строка вида ^ = — 8(у\ —уг), Лоренц показал, что при 8 = 10, Ь = 8/3 и числе Рэлея г > 24.44 решения системы ведут себя «хаотически», т.е. все решения не устойчивы. Известно (см. [37]), что указанное поведение возникает уже при г > го ~ 13.92.

В этой же главе описаны области влияния (по В.В. Немыцкому) особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида (шар Тп с центром в начале координат называется сферической областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая

особую точку, в то время как в шаре большего диаметра содержится целиком хотя бы одна подобная траектория). В диссертации введено также понятие условной области влияния особой точки: шар Tn—i с центром в начале координат, где 0 < I < п, принадлежащий подпространству Еп~1 пространства Еп, называется условной областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая особую точку, в то время как в шаре большего диаметра в Еп~1 содержится целиком хотя бы одна подобная траектория, а траектории в шаре Тп произвольны.

Использовано достаточное условие H.H. Красовского о существовании знакоопределенной функции, посредством которой определяется окрестность начала координат, не содержащая (целиком) траекторию системы, отличную от нуля. Доказан ряд утверждений (теоремы 3 - 8 и следствия) о существовании и поведении интегральных кривых.

Установлен критерий обобщенной однородности порядка р (в терминах соотношения, являющегося обобщением формулы Эйлера для однородных функций). Вещественная вектор-функция F(x), определенная и непрерывная в области D С Rn, называется обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(с, х), если она удовлетворяет соотношению

F(z) = (fl{z,x)F{x),

где г = А(с, х)х непрерывно дифференцируема по х £ D и по параметру с £ (а; b), I(z,x) — матрица Якоби.

В доказательствах использовано известное топологическое утверждение о том, что каждое векторное поле непрерывное и отличное от нуля во всех точках сферы Sп~1 четной размерности, имеет, по крайней мере, один вектор, нормальный к этой сфере, и некоторые обобщения этого утверждения.

Рассмотрены также системы, близкие к обобщенно-однородным, для

которых доказаны утверждения о существовании первых интегралах. В частности, найдены условия существование п независимых первых интегралов, причем (п — 1)-штук из них вычислены в явном виде. Найдены условия существования явных независимых первых интегралов системы. Доказано предложение об асимптотической устойчивости (неустойчивости) тривиального решения (теоремы 9 - 11 и следствия).

Во второй главе рассмотрена задача амплитудной оптимизации би-фурцирующих циклов при наличии кратных резонансов. Задачи такого типа появляются в радиофизике при исследовании автоколебаний в КС-генераторах, в реальных моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и в др. разделах современного естествознания.

Материал главы развивает и дополняет более ранние результаты исследований В.М. Даринского, Е.В. Ладыкиной, А.П. Карповой, Д.В. Костина, Ю.И. Сапронова и В.А. Смольянова. Методологической основой представленных результатов является теория гладких 50(2)—эквива-ри-антных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах, центральным звеном которой является модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный элементами теории особенностей гладких отображений.

Изложен алгоритм вычисления бифуркаций циклов и их амплитудной оптимизации (по главным гармоникам).

Доказано (теоремы 12, 13), что в случае произвольного сильного двойного резонанса главная часть ключевого уравнения, соответствующего исходному уравнению, заменами переменных и параметров приводится к системе уравнений следующего вида:

з

А!П 4- а\\Г\Г2 + Й12Г2Г3 + ахзг^гз + аиг1г3 + а^г^г3 + п^ Ъ^г* =

¿=1

= А 2г2 + а21Г? + Й22ПГ3 + а2тп + а24пг2г3 + а25г\ + ¿26^3+

+027^2^3 + ЬЧГ) = A3f3 + 031Г1Г2 + а32Гз +

3 =1

3

+а33г? + а34Г1Г2 + +а35т|г3 + а36Г2 + = 0.

3=1

Ha основе этой теоремы можно приближенно вычислять асимптотик амплитуд бифурцирующих циклов в случае произвольного двойного сильного резонанса и отыскивать значения оптимальных посткритических параметров.

На основе представленной в диссертации теории приближенно вычислять асимптотики амплитуд бифурцирующих циклов в случае произвольного (кратного) резонанса и отыскивать значения оптимальных посткритических параметров.

Простейшей моделью полигармонического колебательного импульса является тригонометрический полином

п

f{t,X) Аа COS(fet), t е [—7Г, 7г] , Л = (ЛЬ -,Л„). (0.1)

k=1

Коэффициентом несимметрии этого полинома называется число

, fmax

ТГТ

I j тгп I

/шах := max f{t, А), fmin := min f(t, А).

t 1

Достижение коэффициентом несимметрии максимального значения (при вариациях Л) обеспечивается решением следующей задачи математического программирования:

inf f(t, Л) —> sup, t G [0,7г], V^ \к = с (= const > 0). А fc=l Решение этой задачи удобно провести, перейдя к алгебраическому полиному

п

V{x,n) = ^ /1кхк, X G [-1,1], = ... ,/лп),

к=0

который получен заменой косинусов на соответствующие многочлены Чебышева (первого рода). В случае п = 2т + 1 имеем

сов(^) = х, сов(2г) = 2х2 — 1, сов(3£) = 4ж3 — Зх,

со з(п£)

д=0,..., то

где

С?

х,

п,д

= (-1)т+9 Е

А;

г >

(0.2)

Ж

1!(Р-0

А;, г; к—г—т—д , биномиальный коэффициент.

Формула (2.57) для коэффициентов нпл легко выводится из широко известного разложения

сов(п^) = Ые (соз(£) + г зт£)п .

При п = 2т последняя строка в серии аналогичных формул имеет следующий вид

сое

(пЬ) = Е

■X

2«

д=0,... ,то

< ьт < а

т

~ \ к—г=т—д 2к ^г •

п п

Из условия X) Хк = с следует У(1,¡1) = ^ ць = с.

к=1 А;=0

Пусть п = 2т +1 и ~1 < Ъ\ < а\ < Ь2 < а2 < .

критические (экстремальные) точки функции У(х,~р):

= » = 1,2,...,т.

ах

Очевидно, что при этом Ьх, Ь2, ... ,Ьт, 1 — точки локальных максимумов, а —1, ах, а2, ... ,ат — точки локальных минимумов.

Если /I — ц — решение рассмотренной экстремальной задачи, то для него с необходимостью выполняется условие Максвелла

У(-1 = У(о1,Д) = У(а2,Д) = ... = У{ат,'р).

Многочлен степени п = 2т + 1, для которого выполнено условие (2.60), называется Ш-многочленом. Общее значение в выражениях (2.60) обозначается Ш и называется константой Максвелла. Множество всех Ш-многочленов называется минимальным стратом Максвелла в пространстве многочленов степени п. Положим

п

Щх,й) = {х + 1)(х + а1)2 ... (х + ат)2 = ^ йк хк .

к=0

Теорема 14. Каждый оптимальный многочлен У(х,~р,) является Ш-многочленом и для него имеет место следующее представление:

У (ж,/7) = С {Я{х, V)-V).

Константы С,Т> при этом определяются следующими двумя условиями

1 _ У(1,Л)=с, =

-1

В диссертации подробно рассмотрен практически важный случай п = 7. Отыскание экстремумов для коэффицента несимметрии

к ,= Углах = 2(1 - х2)2{1 - Ж4)2(1 - Жб)2 + Т>{х2, Х4, Х6) \Утт\ \Т>(Х2,Х4,Х6)\

в этом случае сводится к отысканию экстремумов функции

(1 - х2)2(1 - х4)2(1 - х6)2

УУ :=

Т>(х2,Х 4,Ж6)

Рассмотрев многочлен

Af(x,~P) = (х+ 1)(х - x2f(x - xAf(x - х6)2 + V = Е "к хк,

к=О

учитывая, что

(х - х2)2(х - х4)2(х - х6)2 = (—аз + а2х - агх2 + ж3)2 =

= <т\- 2сг2оъх + (of + 2(71 (73)ж2 - 2(а3 + (7i(72)a;3 + ((7? + 2а2)х4 - 2crix5 + ж6, где

(71 = Ж2 + Х4 + Xq, а2 = Х2Х4 + X2XQ + Х^Хб, <73 = X2X4XQ

(элементарные симметричные многочлены), получим для коэффициентов искомого многочлена выражения (через а = (од, сг2, (73)т)

V0 = al + V, V\ = -2(72(73 + (73, 772 = 2(71(73 - 2(72(73 + сг|,

2 _ 2

Z73 = (72 - 2(71(72 + 2(71(73 — 2(73, = 2(72 ~~ 2(73 + (71 ~ 2(7i(72,

гл _

Z?5 = —2(71 + 2(72 + 01, = 1 ~ 2(71, = 1-

р2 ( \

Несложные преобразования приводят к представлению W = Ц^) > Р(а) = 1 - аг + аз - (73, Q(a) = 3/8(7? + 1/2<т| +

— 3/4(71(72 + (7i(73 — (72(73 — 5 /8(7I + 3/4(72 ~ 3/4(73 + 5/16 .

Экстремальные значения коэффициентов многочлена N определяются уравнениями

0W

— =0, fc = 1,2,3.

dak

На рисунке изображен график оптимального импульса в случае с = 1 и соответствующего этому случаю (единственного) экстремального набора значений коэффициентов .М-многочлсна

1/65432 1\Т 4' V 7' 7' Г Г Г 7J '

В диссертации приведено графическое оптимального импульса в случае с = 1 и соответствующего этому случаю (единственного) экстремального набора значений коэффициентов Л4-многочлена. Минимальное значение Л4 функции импульса при с = 1 равно

(2 (А2 + А4 + Ав) - 1) = ( 0 + ? + ^ - = Коэффициент несимметрии равен 7.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джасим Махмуд Дия, 2012 год

Литература

[1] Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И.

Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // - М.: МЦНМО. 2004.

- 672 с.

[2] Афанасьев А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непре-

рывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба //

- М.: ЛКИ. 2007. - 240 с.

[3] Бардин Б.С. Локальная теория существования периодических волно-

вых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/ Б.С Бардин , С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. - М.: Эльф. - 1998. - С. 13-22.

[4] Бахвалов И.В. Численные методы. Издание восьмое / И.В.Бахвалов,

Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков //- Физматлит. Невский диалект. Москва - Санкт-Петербург - 2000.

[5] Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1./' И.С.Березин, Н.П. Жидков

- М.: Наука, 1966.

[6] Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифур-

кации / Ю.Н.Бибиков - Ленинград: изд. ЛГУ. 1991. 144 с.

[7] Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах /

Н.А.Бобылев, С.В.Емельянов, С.К.Коровин - М.: Магистр, 1998. -658 с.

[8] Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория

Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. - Т.32, вып.4. - С. 3-54.

[9] Брокер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л.

Ландер // - М. : Мир, 1977. - 208 с.

[10] Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей/ Дж. Брус , П. Джиблин // Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 262 с.

[11] Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны/Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. - 2003. - С. 52-67.

[12] Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12. - 2004. -С. 3-140.

[13] Ермоленко В.Н. Инновационные решения для свайного фундамен-тостроения. Стройпрофиль, № 6 (84), 2010. С. 20-22.

[14] Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ A.B. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). - Воронеж: изд. "ТЕ-ФА"ю - 2004. - С.48-55.

[15] Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // - Воронеж: ВГУ. - 2002. - 185 с.

[16] Инфельд Э. Нелинейные волны, солитоны и хаос / Э. Инфельд, Дж. Роуландс // - пер. с англ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 480 с.

[17] Карпова А.П. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки/А.П. Карпова, H.A. Копы-тин, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 4. - Воронеж: ВГУ, изд во "Созвездие. - 2007. - С.69-90.

[18] Карпова А.П. Бифуркации решений в резонансной особой точке фредгольмова уравнения с круговой симметрией/ А.П. Карпова// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2007. -СПб., 2007. С.65-72.

[19] Карпова А.П. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика/ А.П. Карпова// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С. 184-194.

[20] Карпова А.П. Приближенное вычисление амплитуд циклов, би-фурцирующих при наличии резонансов/ А.П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2008, вып. 3. - С.12-22.

[21] Костин Д.В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях/ Д.В. Костин// Матем. заметки, 83:1. - 2008. - С. 50-60.

[22] Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки/ Д.В. Костин// Доклады Академии Наук, том 418, т. - 2008. - С. 295-299

[23] Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А.Красносельский, П.П.Забрейко - М.: Наука, 1975. - 512 с.

[24] Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисле-

ния / М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. - 1978. - Т. 240, №3. - С. 530-533.

[25] Красовский H.H. Об обращении теорем Ляпунова и Четаева о неустойчивости для стационарных систем дифференциальных уравнений/ H.H. Красовский// ПММ, т.18, вып.5. - 1954. - С.513-533.

[26] Митропольский Ю.О.Дослщження коливанъ в системах з розподше-ними параметрами (асимптотичш методи)/Ю.О. Митропольский, Б.1. Мосеенков// Видавництво Кшвського ун1верситету. - 1961. -123 п.

[27] Немыцкий В.В. О некоторых методах качественного исследования

"в большом "многомерных автономных систем/ В.В. Немыцкий// Труды ММО, 4. - 1956. - С.455-483.

[28] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер - М.: Мир. - 1989. - 639 с.

[29] Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М. : Мир, 1980. - 608 с.

[30] Проскуряков И В. Сборник задач по линейной алгебре/И. В. Проскуряков - 1957.

[31] Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. - 1996. Т. 51, №1. - С. 101-132.

[32] Сапронов Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Матем. заметки. - 2000. Т. 58, №5. - С. 745-754.

[33] Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн - М.: Мир. - 1985. - 280 с.

[34] Шестаков А.А. Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений/ А.А. Шестаков // Ученые записки Всесоюзного заочного института инженеров железнодорожного транспорта, вып.7. - 1961. - С.3-105.

[35] Эфендиев А.Р. Программа и методические указания к спецкурсу

"Избранные главы качественной теории дифференциальных равне-ний"/Эфендиев А.Р. - Махачкала, ДГУ. - 1983.

[36] Эфендиев А.Р. Об области влияния особой точки высшего порядка/ А.Р. Эфендиев// Вестник МГУ, Ш. - 1963. - с.14-25.

[37] Эфендиев А.Р, Балитинов М.А. Об асимптотической устойчивости в целом одной нелинейной системы/ А.Р. Эфендиев, М.А. Балитинов// Диф. уравнения, т.44. - 1968.

[38] Lorenz Е. Deterministic non-periodic flow/ Е. Lorcnz// - I.Atmos. Set. - 1963. В.20. - P. 130-141.

[39] Markus L. Quadratic differential equations and nonassociative algebras/ L. Markus// Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, vol.5. - 1961. - P.185-213.

[40] Джасим M.Д. Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида/М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ, вып.6. - 2010. - С.55-63.

[41] Джасим М.Д. О первых интегральных нелинейной системы дифференциальных уравнений/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Материалы 5 международной конференции «ФДУ и их приложения». Махачкала, ДГУ. 26-29 сентября 2010. - С. 96-102.

[42] Джасим М.Д. Исследование нелинейной системы дифференциальных уравнений/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ, вып.1. - 2012. - С. 72-74.

[43] Джасим М.Д. Об одной задаче П.К. Суетина в математической теории антенн/ М.Д. Джасим, Д.В. Костин// Материалы Международной конференции ВЗМШ им. С.Г. Крейна, 25января - 2 февраля 2012 г. Воронеж, изд. ВГУ, 2012. С.112-114.

[44] Джасим М.Д. Амплитудная оптимизация циклов, бифурцирующих при наличии кратных резонансов/ М.Д. Джасим, А.П. Карпова, Д.В. Костин, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ, вып.1, 2012. - С. 99105.

[45] Джасим М.Д. Оптимизация циклов, бифурцирующих при наличии кратных резонансов/ М.Д. Джасим, А.П. Карпова, Д.В. Костин, А.Р. Эфендиев// Препринт № 43 НИИМ ВГУ,2012, Воронеж: ВГУ. - 2012. - 23 с.